Как найти апофему правильной четырехугольной пирамиды формула

Пирамидой в стереометрии называется объёмная фигура, образуемая многоугольником и расположенной вне
его плоскости точкой. Эта точка соединена с точками в вершинах многоугольника отрезками, которые
называются рёбрами пирамиды. Сам многоугольник — это основание пирамиды. При треугольном
основании пирамида будет носить название треугольной, при четырёхугольном – четырёхугольной, и так
далее.

Приведём варианты вычисления апофемы правильной четырёхугольной пирамиды в зависимости от исходных
данных пространственной фигуры. Заданная пирамида обозначена SABCD, где S – вершина, а ABCD –
вершины квадрата в основании.

Вычисление апофемы при известных значениях высоты пирамиды и ребра основания

Апофема пирамиды при известных значениях её высоты SO и стороны квадрата в основании AD=DC=BC=AB
вычисляется по формуле гипотенузы для прямоугольного треугольника SOK. В этом треугольнике одним из
катетов будет высота SO, вторым – половинное значение заданной стороны основания OK=1/2 AD.
Значит: SK²= OK²+ SO² или SK= (1/2 AD) ²+ SO²)
или

L = √ (H² + (a / 2 tan45º)²)

где H — высота, a — ребро основания.

Пример. Пусть высота SO = 4, а сторона основания AD = 6. Тогда апофема L находится
следующим образом: L = √ (( 6 / 2)² + 4²) = 5

Вычисление апофемы при известном значении бокового ребра и ребра основания

При известном значении бокового ребра SD и стороны основания CD для нахождения апофемы SK также
используется теорема Пифагора. В этом случае рассматривается прямоугольный треугольник SKD,
гипотенузой которого выступает боковое ребро SD, одним из катетов – отрезок стороны основания DK, а
вторым – апофема SK. Первый катет равен половине стороны квадрата в основании, поскольку апофема
равнобедренного треугольника, коим является боковая грань пирамиды, является для него и медианой,
делящей основание пополам: DK = 1/2 DC. Отсюда следует, что SD²= DK²+ SK², а SK²= SD²- DK² или, подставляя, получаем выражение:
SK² = SD² — (1/2 DC)², откуда SK = √(SD² — (1/2 DC )²)
или

L = √ (b² — (a / 2)²)

где a — ребро основания, b — боковое ребро.

Пример. Пусть боковое ребро SD равно 5, а сторона основания – 6. Тогда, подставляя
указанные числовые значения, вычисляем значение апофемы: SK =5² – (6 / 2)² ) = 4.

Нахождение апофемы при заданной площади боковых поверхностей и известном ребре основания

Апофема при известной суммарной площади боковых поверхностей Sбок и значении ребра основания CD
вычисляется по следующей схеме. Вначале следует определить площадь каждой из четырёх граней, что
легко сделать, зная, что все они для правильной пирамиды равны между собой. Поэтому общая площадь
делится на четыре равные части: Ssdc = Sбок /4. Затем, при известном
значении площади боковой грани и ребра основания, по формуле площади равнобедренного треугольника
находится его высота, то есть искомая апофема: Ssdc = ½ SK * CD откуда
SK = 2Ssdc / CD. Или, подставляя выведенную площадь грани, SK = 2(Sбок /4) / CD. Преобразив, получаем: SK = Sбок /2CD
или

L = Sбок / 2a

где Sбок — площадь боковых поверхностей, a — ребро основания.

Пример. Допустим, в задаче задана общая площадь боковой поверхности правильной
четырёхугольной пирамиды Sбок = 48 и ребро основания CD = 6. Найдём, используя выведенную формулу,
значение апофемы: SK = 48 / 2 * 6 = 4.

Вычисление апофемы при заданной площади боковых поверхностей и площади основания

Апофема при известных значениях суммарной площади боковых поверхностей Sбок и площади основания Sосн
вычисляется следующим образом. В первую очередь следует найти ребро основания. Площадь основания
пирамиды – квадрата – является произведением двух его сторон либо квадратом стороны. Значит,
значение стороны основания вычисляем по формуле Sосн = CD² или CD = √Sосн. Теперь, зная суммарную площадь боковой поверхности
четырёхугольной пирамиды, делением на 4 находим площадь боковой грани – равнобедренного треугольника
SCD: Ssdc = Sбок / 4. Его площадь также вычисляется, как произведение
основания на высоту, делённое на два: Ssdc =½CD * SK или Sбок/4 =½CD * SK отсюда SK = 2 (Sбок / 4) / CD
или, сократив и подставив выражение для CD: SK = Sбок / 2 Sосн, где SK –
высота грани и искомая апофема.

L = Sбок / (2 * √Sосн)

где Sбок — площадь боковых поверхностей, Sосн — площадь основания.

Пример. Возьмём для примера численные значения, Sбок = 48 и Sосн = 36. Подставляя,
получаем результат: SK = 48 / (2 * √36) = 4.

Вычисление апофемы при заданной площади боковых поверхностей и радиусе описанной вокруг основания
окружности

Найдём апофему при известной площади боковых поверхностей Sбок и радиусе R описанной вокруг основания
ABCD окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник COD, образованный половинами диагоналей этого
квадрата CO и OD, равными заданному радиусу, и гранью в основании CD. Эта сторона в данном
треугольнике выступает гипотенузой. Её можно вывести из теоремы Пифагора: CD² = OD² + OC²,
откуда CD = √(OD²+OC²) или CD = √2R²= R√2.
Теперь определим площадь каждой боковой грани. Она находится путём деления площади полной боковой
поверхности пирамиды на 4: Ssdc = Sбок / 4. По формуле, связывающей
площадь равнобедренного треугольника SDC с его высотой и основанием, выделяем высоту-апофему: Ssdc =½CD * SK Или, подставляя выведенное выше выражение: Sбок/4 = ½CD * SK. Далее преобразовываем для выделения SK: SK=(2 Sбок/4) / CD или, подставляя выведенное для CD выражение и
сокращая, получаем: SK= Sбок / 2R * √2.

L = Sбок / 2R * √2

где Sбок — площадь боковых поверхностей, R — радиус описанной окружности.

Пример. Подставляя для примера числовые значения R = 3√2 и Sбок = 48, получаем в
результате значение апофемы: SK=48 / 2 * (3√2 * √2)=4.

Способ вычисления апофемы при известной площади боковых поверхностей и диагональ основания

Поскольку стороны квадрата ABCD в основании равны и угол между смежными сторонами прямой, значения
этих сторон можно найти, рассматривая прямоугольный треугольник ADC, где заданная диагональ AC
является гипотенузой, а неизвестные стороны AD и CD – равными катетами. Вычисляем их значения по
теореме Пифагора: AC² = AD² + CD² = 2CD² откуда CD = √(AC² / 2)  = AC / √2. Найденное
значение стороны основания позволяет найти апофему — высоту боковой грани SK — при
известной площади этой грани. Суммарная площадь боковой поверхности заданной фигуры Sбок даёт
возможность найти площадь каждой её боковой плоскости. То есть Sscd = Sбок / 4. А теперь Sscd иначе выразим через высоту и основание
грани: Sscd = 1/2 * (SK * CD) или, подставляя ранее выведенную формулу для
CD: Sscd = 1/2 * (SK * ( AC / √2). Теперь все данные кроме искомой апофемы
SK у нас присутствуют, поэтому преобразуем выражение, заменяя SSCD и сокращая: SK= 2 * √2 * Sscd / AC = 2 * √2 (Sбок / 4) / AC = Sбок * √2 / 2АС.

L = Sбок / (2 * √(D² / 2))

где Sбок — площадь боковых поверхностей, D — диагональ основания.

Пример. Допустим, диагональ в основании равна 6√2, а суммарная площадь боковых
граней – 48. Тогда, подставляя числовые значения в полученное выше выражение, вычисляем: SK = 48√2 / 2 * (6√2) = 4

Нахождение апофемы при заданной площади боковых поверхностей и известном периметре основания

Исходными данными, на которые можно опереться при вычислении апофемы для этой задачи, являются Sбок и
Росн. Известное значение периметра квадрата ABCD в основании пирамиды Росн даёт возможность найти
значение его сторон, которые равны между собой как стороны квадрата и находятся путём деления
периметра на 4 равные части: AB = BC = CD = AD = Рabcd / 4. Теперь ребро
CD, одновременно являясь основанием боковой грани SCD, позволяет вычислить её высоту SK – искомую
апофему, при известном значении боковой площади пирамиды. Площадь каждой из 4-х граней найдём путём
деления общей площади на равные части: Sscd= Sбок/4. Далее из формулы
площади равнобедренного треугольника SCD через высоту и основание найдём апофему SK.  Sscd = 1/2 * (SK * CD) или SK = 2* Sscd / CD. Подставляя
выведенные выше через общую площадь и периметр основания значения площади грани и ребро её основания
соответственно, получаем: SK = 2 * (Sбок / 4) / (Рabcd / 4). Или SK = 2Sбок / Рabcd

L = Sбок / (P / 2)

где Sбок — площадь боковых поверхностей, P — периметр основания.

Пример. Предположим, что площадь боковой поверхности Sбок равно 48, периметр
основания – 24. Подставляя данные числовые значения, получаем следующий результат: SK= 2 * (48 / 4) / (24 / 4) = 4.

Вычисление апофемы при заданных значениях площади полной поверхности пирамиды и ребра её
основания

Полная площадь поверхности Sполн в этом случае представляет собой сумму полной площади боковой
поверхности Sбок фигуры и площади квадрата в её основании – Sabcd, сторона которого CD задана
условием задачи. Апофему удобнее всего найти через площадь боковой грани, имея значение её
основания: Sscd = 1/2 * (SK * CD). Преобразуя формулу, получаем: SK = 2* Sscd / CD. Вычтя из площади полной поверхности пирамиды площадь
основания, которую можно найти при его заданном ребре, получаем полную площадь боковой поверхности:
Sполн= Sбок + Sabcd, откуда Sбок= Sполн — Sabcd. Здесь площадь квадрата в основании легко
найти, зная его ребро: Sabcd = CD² и тогда, подставляя: Sбок = Sполн — CD². Разделив Sбок на 4 равные части, получим
площадь боковой грани: Sбок / 4 = (Sполн- CD²) / 4= Sscd. Теперь,
подставив в формулу для вычисления высоты боковой грани найденное выражение, получим: SK = 2* ((Sполн — CD²) /4) / CD или, выполнив сокращение: SK = (Sполн — CD²) /2CD.

L = (Sпол / a — a) / 2

где Sполн — площадь полной поверхности, a — ребро основания.

Пример. Допустим, нам задана общая площадь фигуры S = 84, а ребро её основания – CD
= 6. Тогда, подставляя значения в полученное выражение, находим:
SK = (84 — 62) / (2 * 6) = 4.

Правильной пирамидой называется такая фигура, в основании которой лежит многоугольник с равными
сторонами, то есть правильный. При этом проекция вершины на его плоскость является центром вписанной
в это многоугольное основание и описанной вокруг него окружностей. Отличительными признаками
правильной четырёхугольной пирамиды являются квадрат в основании и лежащая в точке пересечения его
диагоналей проекция вершины на этот квадрат.

Боковые плоскости (грани) правильной пирамиды – равнобедренные треугольники. Основание каждого из них
одновременно является и стороной основания пирамиды.
Проведенная к основанию высота боковых
граней, имеющая для каждой из них одинаковое значение, называется апофемой. Это понятие применяется
при решении множества геометрических задач, в которых фигурирует правильная пирамида с квадратом в
основании. В зависимости от других исходных данных, апофема даёт возможность вычислить площадь
боковой поверхности фигуры, её высоту, длину ребер и сторону основания.

Апофема правильной пирамиды, формула

Апофема правильной пирамиды находится по формуле [ f = sqrt{ h^2 + Big( frac{a}{2tg(frac{180°}{n})} Big) ^2 } ]

f — апофема правильной пирамиды (SF)
n — число сторон правильного многоугольника – основания правильной пирамиды
a — сторона правильного многоугольника (AB или BC или CD или DE или EA) – основания правильной пирамиды

h — высота правильной пирамиды (OS)

Апофема правильной пирамиды выводится из следующих формул

Синим цветом на рисунке изображена вписанная в основание правильной пирамиды окружность. Треугольник SFO прямоугольный.
Его стороны: OS — высота правильной пирамиды (h), OF —
радиус вписанной окружности в правильный многоугольник (основание правильной пирамиды (r)),
SF — апофема правильной пирамиды (f).
По теореме Пифагора

[ SF = f = sqrt{ h^2 + r^2 } ]

подставив сюда только радиус вписанной окружности получается формула (1).

Вычислить, найти апофему правильной пирамиды по формуле (1)

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Для успешного решения задач по геометрии необходимо четко понимать термины, которые использует эта наука. Например, таковыми являются “прямая”, “плоскость”, “многогранник”, “пирамида” и многие другие. В данной статье ответим на вопрос, что такое апофема.

Двоякое использование термина “апофема”

В геометрии значение слова “апофема” или “апотема”, как ее еще называют, зависит от того, к какому объекту ее применяют. Существует два принципиально разных класса фигур, в которых она является одной из их характеристик.

В первую очередь это плоские многоугольники. Что такое апофема для многоугольника? Это высота, проведенная из геометрического центра фигуры к любой из ее сторон.

Чтобы было понятнее, о чем идет речь, рассмотрим конкретный пример. Предположим, что имеется правильный шестиугольник, показанный ниже на рисунке.

Символом l обозначена длина его стороны, буквой a – апофема. Для отмеченного треугольника она является не только высотой, но и биссектрисой, и медианой. Несложно показать, что через сторону l ее можно вычислить так:

a = √3/2*l

Аналогичным образом апофема определяется для любого n-угольника.

Во вторую очередь – это пирамиды. Что такое апофема для такой фигуры? Этот вопрос требует более детального рассмотрения.

Пирамиды и их апофемы

Для начала дадим определение пирамиде с точки зрения геометрии. Эта фигура представляет собой объемное тело, образованное одним n-угольником (основание) и n треугольниками (боковые стороны). Последние соединены в одной точке, которая называется вершиной. Расстояние от нее до основания – это высота фигуры. Если она попадает на геометрический центр n-угольника, то пирамида называется прямой. Если к тому же n-угольник имеет равные углы и стороны, то фигура называется правильной. Ниже показан пример пирамиды.

Что такое апофема для такой фигуры? Это перпендикуляр, который соединяет стороны n-угольника с вершиной фигуры. Очевидно, что она представляет собой высоту треугольника, являющегося боковой стороной пирамиды.

Апофему удобно использовать при решении геометрических задач с правильными пирамидами. Дело в том, что для них все боковые грани являются равными друг другу равнобедренными треугольниками. Последний факт означает, что все n апофем равны, поэтому для правильной пирамиды можно говорить об одной-единственной такой прямой.

Апофема четырехугольной пирамиды правильной

Пожалуй, самым наглядным примером этой фигуры будет знаменитое первое чудо света – пирамида Хеопса. Она находится в Египте.

Для любой такой фигуры с правильным n-угольным основанием можно привести формулы, позволяющие определить ее апофему через длину a стороны многоугольника, через боковое ребро b и высоту h. Здесь запишем соответствующие формулы для прямой пирамиды с квадратным основанием. Апофема h_b для нее будет равна:

h_b = √(b² – a²/4);

h_b = √(h² + a²/4)

Первое из этих выражений справедливо для любой правильной пирамиды, второе – только для четырехугольной.

Покажем, как эти формулы можно использовать для решения задачи.

Геометрическая задача

Пусть задана прямая пирамида, имеющая квадратное основание. Необходимо рассчитать ее основания площадь. Апофема пирамиды равна 16 см, а ее высота в 2 раза больше стороны основания.

Каждый школьник знает: чтобы найти площадь квадрата, которым является основание рассматриваемой пирамиды, следует знать его сторону a. Для ее нахождения воспользуемся следующей формулой для апофемы:

h_b = √(h² + a²/4)

Значение апофемы известно из условия задачи. Поскольку высота h в два раза больше длины стороны a, это выражение можно преобразовать следующим образом:

h_b = √((2*a)² + a²/4) = a/2*√17 =>

a = 2*h_b/√17

Площадь квадрата равна произведению его сторон. Подставляя полученное выражение для a, имеем:

S = a² = 4/17*h_b²

Остается подставить в формулу значение апофемы из условия задачи и записать ответ: S ≈ 60,2 см².

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия, задачи о пирамиде). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет – пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа “квадратный корень” применяется функция sqrt(), в которой sqrt – символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак “√”.

Теоретические материалы и формулы см. в главе “Правильная пирамида”.

Задача

Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4см, а двугранный угол при основании равен 60 градусов. Найдите объем пирамиды.

Решение.

Поскольку пирамида правильная, учтем следующее:

• Высота пирамиды проецируется на центр основания
• Центр основания правильной пирамиды по условию задачи – равносторонний треугольник
• Центр равностороннего треугольника является одновременно центром вписанной и описанной окружности
• Высота пирамиды образует с плоскостью основания прямой угол

Объем пирамиды можно найти по формуле:

V = 1/3 Sh

Поскольку апофема правильной пирамиды образует вместе с высотой пирамиды прямоугольный треугольник, для нахождения высоты используем теорему синусов. Кроме того, примем во внимание:

• Первый катет рассматриваемого прямоугольного треугольника является высотой, второй катет – радиусом вписанной окружности (в правильном треугольнике центр одновременно является центром вписанной и описанной окружности), гипотенуза является апофемой пирамиды
• Третий угол прямоугольного треугольника равен 30 градусам ( сумма углов треугольника – 180 градусов, угол 60 градусов дан по условию, второй угол – прямой по свойствам пирамиды, третий 180-90-60 = 30 )
• синус 30 градусов равен 1/2
• синус 60 градусов равен корню из трех пополам 
• синус 90 градусов равен 1
  

Согласно теореме синусов:

4 / sin( 90 ) = h / sin ( 60 ) = r / sin( 30 )

4 = h / ( √3 / 2 ) = 2r

откуда

r = 2

h = 2√3

В основании пирамиды лежит правильный треугольник, площадь которого можно найти по формуле:

S _{правильного треугольника} = 3√3 r².

S = 3√3 2² .

S = 12√3 .

Теперь найдем объем пирамиды:

V = 1/3 Sh

V = 1/3 * 12√3  * 2√3 

V = 24 см³ .

Ответ: 24 см³ .

Задача

Высота и сторона основания правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 24 и 14. найдите апофему пирамиды.

Решение.

Поскольку пирамида правильная, то в ее основании лежит правильный четырехугольник – квадрат. Кроме того, высота пирамиды проецируется в центр квадрата. Таким образом, катет прямоугольного треугольника, который образован апофемой пирамиды, высотой и отрезком, их соединяющим, равен половине длины основания правильной четырехугольной пирамиды.

Откуда по теореме Пифагора длина апофемы будет найдена из уравнения:

7² + 24² = x²

x² = 625

x = 25

Ответ: 25 см

0
 

 Правильная пирамида |

Описание курса

| Объем правильной усеченной пирамиды