Как найти arctg через arctg

Как найти arctg через arctg

Формулы с обратными тригонометрическими функциями: arcsin, arccos, arctg и arcctg

Ранее мы рассматривали обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Как и в случае с другими функциями, между ними существуют связи и зависимости, реализуемые в виде формул, которые можно использовать для решения задач.

Сейчас мы будем рассматривать основные формулы с использованием этих функций: какие они бывают, на какие группы их можно разделить, как их доказать и как решать задачи с их помощью.

Формулы котангенса арккотангенса, тангенса арктангенса, синуса арксинуса и косинуса арккосинуса

Для начала сгруппируем формулы, в которых содержатся основные свойства обратных тригонометрических функций. Мы уже обсуждали и доказывали их ранее, а здесь приведем, чтобы логика объяснения была более понятной и все формулы были в одной статье.

для α∈-1, 1  sin(arccis α)=α,   cos(arccos α)=α,для α∈(-∞, ∞)  tg(arctg α)=α, ctg(arcctg α)=α

Указанное в них легко сформулировать из самих определений обратных тригонометрических функций числа. Если вы забыли, как найти, например, тангенс арктангенса, все можно посмотреть в этой формуле.

Формулы арккотангенса котангенса, арктангенса тангенса и арксинуса синуса и арккосинуса косинуса

для -π2≤α≤π2  arcsin (sin α)=α,для 0≤α≤π arccos(cos α)=α,для -π2<α<π2 arctg (tg α)=α,для 0<α<π arcctg (ctg α)=α

Здесь все также более-менее очевидно, как и в предыдущем пункте: эти формулы можно вывести из определений арксинуса, арккосинуса и др. Единственное, на что нужно обратить пристальное внимание: они будут верны только в том случае, если a (число или угол) будут входить в указанный предел. В противном случае расчет по формуле будет ошибочен, и применять ее нельзя.

Как соотносятся между собой арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы противоположных чисел

В этом блоке мы сформулируем важное утверждение:

Определение 1

Обратные тригонометрические функции отрицательного числа можно выразить через арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс противоположного ему положительного числа.

для α∈-1, 1  arccis (-α)=-arcsin α,   arccos (-α)=π-arccos α,для α∈(-∞, ∞)  arctg (-α)=-arctg α, arcctg (-α)=π-arcctg α

Таким образом, если в расчетах нам встречаются эти функции для отрицательных чисел, мы можем от них избавиться, преобразовав их в аркфункции положительных чисел, с которыми иметь дело проще.

Формулы суммы: арксинус + арккосинус, арктангенс + арккотангенс

Они выглядят следующим образом:

для α∈-1, 1  arccis α+arccos α=π2,для α∈(-∞, ∞)  arctg α+arcctg α=π2

Из написанного видно, что арксинус некоторого числа можно вывести с помощью его арккосинуса, и наоборот. С арктангенсом и арккотангенсом аналогично – они соотносятся между собой аналогичным образом.

Формулы связи между прямыми и обратными тригонометрическими функциями

Знать связи между прямыми функциями и их аркфункциями очень важно для решения многих практических задач. Как же быть, если у нас есть необходимость вычислить, к примеру, тангенс арксинуса? Ниже приведен список основных формул для этого, которые полезно выписать себе.

-1≤α≤1,sin (arcsin α)=α -1≤α≤1,sin (arccos α)=1-α2 -∞≤α≤+∞,sin (arctg α)=α1+α2 -∞≤α≤+∞, sin (arcctg α)=11+α2
-1≤α≤1,cos (arcsin α)=1-α2 -1≤α≤1,cos (arccos α)=α -∞≤α≤+∞,cos (arctg α)=11+α2 -∞≤α≤+∞, cos (arcctg α)=11+α2
-1<α<1,tg (arcsin α) =α1-α2 α∈(-1, 0)∪(0, 1),tg (arccos α) =1-α2α -∞≤α≤+∞,tg (arctg α)=α α≠0 ,tg (arcctg α)=1α
α∈(-1, 0)∪(0, 1),ctg (arcsin α)=1-α2α -1<α<1,ctg (arccos α)=α1-α2 α≠0,ctg (arctg α)=1α -∞≤α≤+∞, ctg (arcctg α)=α

Теперь разберем примеры, как они применяются в задачах.

Пример 1

Вычислите косинус арктангенса из 5.

Решение

У нас для этого есть подходящая формула следующего вида: cos(arctg α)=11+α2

Подставляем нужное значение: cos(arctg5)=11+(5)2=26

Пример 2

Вычислить синус арккосинуса 12.

Решение

Для этого нам понадобится формула: sin (arccos α)=1-a2

Подставляем в нее значения и получаем: sin (arccos 12)=1-(12)2=32

Обратите внимание, что непосредственные вычисления приводят к аналогичному ответу: sin(arccos 12)=sin π3=32

Если вы забыли, как правильно вычислять значения прямых и обратных функций, вы всегда можете вернуться к нашим предыдущим материалам, где мы разбирали это.

Доказательства формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса

Для того, чтобы наглядно вывести полученные формулы, нам понадобятся основные тригонометрические тождества и собственно формулы основных обратных функций – косинуса арккосинуса и др. Мы их уже выводили ранее, поэтому тратить время на их доказательства не будем. Начнем сразу с формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса. Используя тождество, получим:

sin2α+cos2α=11+ctg2α=1sin2α

Вспомним, что tgα·ctgα=1. Из этого можно получить:

sinα=1-cos2α, 0≤α≤π sinα=tgα1+tg2α, -π2<α<π2sinα=11+ctg2α, 0<α<π

У нас получилось, что мы выразили синус через необходимые аркфункции при заданном условии.

Теперь в первой формуле вместо a мы добавим arccos a. Итог – формула синуса арккосинуса.

Далее во вторую вместо a ставим arctg a. Это формула синуса арктангенса.

Аналогично с третьей – если мы добавим в нее arcctg a, будет формула синуса арктангенса.

Все наши расчеты можно сформулировать более емко:

  1. sinα=1-cos2α, 0≤α≤π

Следовательно, sin(arccosα)=1-cos2(arccosα)=1-a2

  1. sinα=tgα1+tgα, -π2<α<π2,

Следовательно, sin(arctgα)=tg(arctgα)1+tg2(arctgα)=α1+α2

  1. sinα=11+ctg2α, 0<α<π

Следовательно, sin(arctgα)=11+tg2(arctgα)=11+α2

Выводим формулы косинуса арксинуса, косинуса арктангенса и косинуса арккотангенса.

Их мы выведем по имеющемуся шаблону:

  1. Из cosα=1-sin2α, -π2≤α≤π2 следует, что

cos(arcsin α)=1-sin2(arcsin α)=1-a2

  1. Из cosα=11+tg2α, -π2<α<π2 следует, что
  2. Из cosα=ctgα1+ctg2α, 0<α<πcos(arctgα)=11+tg2(arctgα)=11+α2

следует, что cos(arctgα)=ctg(arcctgα)1+ctg2(arcctgα)=α1+α2

Доказательства формул тангенсов арксинуса, арккосинуса и арккотангенса

  1. Исходим из tgα=sin α1-sin2α, -π2<α<π2. Получаем tg(arcsin α)=sin(arcsinα)1-sin2(arcsinα)=α1-α2 при условии, что -1<α<1.
  2. Исходим из tgα=1-cos2αcosα, α∈[0, π2)∪(π2, π], получаем

tg(arccosα)=1-cos2(arccosα)cos(arccosα)=1-α2α при условии α∈(-1, 0)∪(0, 1).

  1. Исходим из tgα=1ctgα, α∈(0, π2)∪(π2, π), получаем tg(arcctgα)=1ctg(arcctgα)=1α при условии, что α≠0.

Теперь нам нужны формулы котангенсов арксинуса, арккосинуса и арктангенса. Вспомним одно из тригонометрических равенств:

ctgα=1tgα

Используя его, мы можем сами вывести необходимые формулы, используя формулы тангенса арксинуса, тангенса арккосинуса и тангенса арктангенса. Для этого понадобится поменять в них местами числитель и знаменатель.

Как выразить арксинус через арккосинус, арктангенс и арккотангенс и так далее

Мы связали между собой прямые и обратные тригонометрические функции. Полученные формулы дадут нам возможность связать и одни обратные функции с другими, то есть выразить одни аркфункции через другие аркфункции. Разберем примеры.

Здесь мы можем заменить арксинус на арккосинус, арктангенс и арккотангенс соответственно, и получить искомую формулу:

arcsinα=arccos1-α2, 0≤α≤1-arccos1-a2, -1≤α<0arcsinα=arctgα1-α2, -1<α<1arcsinα=arcctg1-α2α, 0<α≤1arcctg1-α2α-π, -1≤α≤0

А так мы выразим арккосинус через остальные обратные функции:

arccosα=arcsin1-α2, 0≤α≤1π-arcsin1-α2, -1≤α<0arccosα=arctg1-α2α, 0<α≤1π+arctg1-α2α, -1<α<0arccosα=arcctgα1-α2, -1<α<1

Формула выражения арктангенса:

arctgα=arcsinα1+α2, -∞<α<+∞arctgα=arccos11+α2, α≥0-arccos11+α2, α<0arctgα=arcctg1α, α≠0

Последняя часть – выражение арккотангенса через другие обратные функции:

arcctgα=arcsin11+α2, α≥0π-arcsin11+α2, α<0arcctgα=arccosα1+α2, -∞<α<+∞arcctgα=arctg1α, α≠0

Теперь попробуем доказать их, опираясь на основные определения обратных функций и ранее выведенных формул.

Возьмём arcsinα=arctgα1-α2, -1<α<1 и постараемся вывести доказательство.

Мы знаем, что arctgα1-α2 – это число, величина которого составляет от минус половины пи до плюс половины пи. Из формулы синуса арктангенса получим:

sin(arctgα1-α2)=α1-α21+(α1-α2)2=α1-α21+α21-α2=α1-α21+α21-α2=α1-α211-α2=α

Получается, что arctgα1-α2 при условии 1<a<1 – это и есть арксинус числа a.

Вывод: arcsina=arctga1-a2, -1<a<1

Прочие формулы доказываются по аналогии.

В завершение разберем один пример применения формул на практике.

Пример 3

Условие Вычислить синус арккотангенса минус корня из 3.

Решение

Нам понадобится формула выражения арккотангенса через арксинус: arcctgα=arcsin11+a2, α≥0π-arcsin 11+a2, α<0
Подставим в нее α=-3 и получим ответ – 12. Непосредственное вычисление дало бы нам те же результаты: sin(arcctg(-3))=sin5π6=12 Для решения задачи можно взять и другую формулу, выражающую синус через котангенс: sinα=11+ctg2α, 0<α<π

В итоге у нас бы вышло: sin(arcctg(-3))=11+ctg2(arcctg(-3))=11+(-3)2=12

Или возьмем формулу синуса арккотангенса и получим тот же ответ: sin(arcctgα)=11+α2  sin(arcctg(-3))=11+(-3)2=12

Прочие формулы с обратными функциями

Мы рассмотрели самые основные формулы, которые понадобятся вам при решении задач. Однако это не все формулы с аркфункциями: есть и ряд других, специфичных, которые употребляются нечасто, но все же их знание может быть полезно. Запоминать их особого смысла нет: проще вывести их тогда, когда они нужны.

Разберем одну из них, называемую формулой половинного угла. Она выглядит следующим образом:

sin2α2=1-cosα2

Если угол альфа при этом больше нуля, но меньше числа пи, то у нас выходит:

sinα2=1-cosα2

Учитывая данное условие, заменяем упомянутый угол на arccos. В итоге наша предварительная формула выглядит так:

sinarccosα2=1-cos(arccosα)2⇔sinarccosα2=1-α2

Отсюда мы выводим итоговую формулу, в которой арксинус выведен через арккосинус:

arccosα2=arcsin1-α2

Мы перечислили не все связи, которые имеются между обратными тригонометрическими функциями, а лишь наиболее употребляемые из них. Важно подчеркнуть, что ценность имеют не столько сами сложные формулы, что мы привели в статье: заучивать их наизусть не нужно. Гораздо важнее уметь самому делать нужные преобразования, и тогда сложные вычисления не потребуется хранить в голове.

В продолжение темы в следующей статье мы рассмотрим преобразование выражений с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом.

Источник

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arcus — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Так, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Манера обозначать таким образом обратные тригонометрических функции появилась у австрийского математика XVIII века Карла Шерфера и закрепилась благодаря Лагранжу. Впервые специальный символ для обратной тригонометрической функции использовал Даниил Бернулли в 1729 году. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: {displaystyle sin ^{-1},{frac {1}{sin }},} но они не прижились[1].
Лишь изредка в иностранной литературе, также как и в научных/инженерных калькуляторах, пользуются обозначениями типа sin−1, cos−1 для арксинуса, арккосинуса и т. п.[2], — такая запись считается не очень удобной, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.

Тригонометрические функции периодичны, поэтому функции, обратные к ним, многозначны. То есть, значение аркфункции представляет собой множество углов (дуг), для которых соответствующая прямая тригонометрическая функция равна заданному числу. Например, arcsin 1/2 означает множество углов left ( frac{pi}{6}, frac{5 pi}{6}, frac{13 pi}{6}, frac{17 pi}{6} dots ~ (30^circ, 150^circ, 390^circ, 510^circ dots) right ), синус которых равен 1/2. Из множества значений каждой аркфункции выделяют её главные значения (см. графики главных значений аркфункций ниже), которые обычно и имеют в виду, говоря об арксинусе, арккосинусе и т. д.

В общем случае при условии -1leqslant alpha leqslant 1 все решения уравнения sin x=alpha можно представить в виде x=(-1)^{n}arcsin alpha +pi n,~n=0,pm 1,pm 2,dots ~.[3]

Основное соотношение[править | править код]

arcsin x+arccos x={frac {pi }{2}}
operatorname {arctg},x+operatorname {arcctg},x={frac {pi }{2}}

Функция arcsin[править | править код]

График функции y=arcsin x

Аркси́нусом числа x называется такое значение угла y, выраженного в радианах, для которого {displaystyle sin y=x,quad -{frac {pi }{2}}leqslant yleqslant {frac {pi }{2}},quad |x|leqslant 1.}

Функция y=arcsin x непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей.

Свойства функции arcsin[править | править код]

Получение функции arcsin[править | править код]

Дана функция y=sin x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, на всей числовой прямой обратное соответствие y=arcsin x функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок {displaystyle [-pi /2;pi /2]}, на котором функция y=sin x строго монотонно возрастает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на отрезке {displaystyle [-pi /2;pi /2]} существует обратная функция y=arcsin x, график которой симметричен графику функции y=sin x относительно прямой y=x.

Функция arccos[править | править код]

График функции y=arccos x

Аркко́синусом числа x называется такое значение угла y в радианной мере, для которого {displaystyle cos y=x,qquad 0leqslant yleqslant pi ,quad |x|leqslant 1.}

Функция y=arccos x непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей и неотрицательной.

Свойства функции arccos[править | править код]

Получение функции arccos[править | править код]

Дана функция y=cos x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, на всей числовой прямой обратное соответствие y=arccos x функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок [0;pi ], на котором функция y=cos x строго монотонно убывает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на отрезке [0;pi ] существует обратная функция {displaystyle y=arccos x}, график которой симметричен графику функции y=cos x относительно прямой y=x.

Функция arctg[править | править код]

График функции y=operatorname {arctg},x

Аркта́нгенсом числа x называется такое значение угла {displaystyle y,} выраженное в радианах, для которого {displaystyle operatorname {tg} y=x,quad -{frac {pi }{2}}<y<{frac {pi }{2}}.}

Функция y=operatorname {arctg}x определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго возрастающей.

Свойства функции arctg[править | править код]

Получение функции arctg[править | править код]

Дана функция y=operatorname {tg},x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y=operatorname {arctg},x функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал {displaystyle (-pi /2;pi /2)}, на котором функция y=operatorname {tg},x строго монотонно возрастает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на интервале {displaystyle (-pi /2;pi /2)} существует обратная функция y=operatorname {arctg},x, график которой симметричен графику функции y=operatorname {tg},x относительно прямой y=x.

Функция arcctg[править | править код]

График функции {displaystyle y=operatorname {arcctg} x}

Арккота́нгенсом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого {displaystyle operatorname {ctg} ,y=x,quad 0<y<pi .}

Функция y=operatorname {arcctg},x определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго убывающей и всюду положительной.

Свойства функции arcctg[править | править код]

Получение функции arcctg[править | править код]

Дана функция y=operatorname {ctg},x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y=operatorname {arcctg},x функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал (0;pi ), на котором функция y=operatorname {ctg},x строго монотонно убывает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на интервале (0;pi ) существует обратная функция y=operatorname {arcctg},x, график которой симметричен графику функции y=operatorname {ctg},x относительно прямой y=x.

График арккотангенса получается из графика арктангенса, если последний отразить относительно оси ординат (то есть заменить знак аргумента, xrightarrow -x) и сместить вверх на π/2; это вытекает из вышеупомянутой формулы operatorname {arcctg}x=operatorname {arctg}(-x)+pi /2.

Функция arcsec[править | править код]

График функции {displaystyle y=operatorname {arcsec} x}

Арксе́кансом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого {displaystyle sec y=x,qquad |x|geqslant 1,quad 0leqslant yleqslant pi .}

Функция {displaystyle y=operatorname {arcsec} x} непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей и всюду неотрицательной.

Свойства функции arcsec[править | править код]

Функция arccosec[править | править код]

График функции {displaystyle y=operatorname {arccosec} x}

Арккосе́кансом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого {displaystyle operatorname {cosec} y=x,qquad |x|geqslant 1,quad -pi /2leqslant yleqslant pi /2.}

Функция {displaystyle y=operatorname {arccosec} x} непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей.

Свойства функции arccosec[править | править код]

Разложение в ряды[править | править код]

Производные от обратных тригонометрических функций[править | править код]

Все обратные тригонометрические функции бесконечно дифференцируемы в каждой точке своей области определения. Первые производные:

производные обратных тригонометрических функций

Функция f(x) Производная f'(x) Примечание
{displaystyle arcsin {x}} {frac {1}{{sqrt {1-x^{2}}}}}

Доказательство                                 

Найти производную арксинуса можно при помощи взаимно обратных функций.
{displaystyle sin(arcsin((x))=x}
После чего мы должны взять производную этих обеих функций.
{displaystyle [sin(arcsin((x))]'=x'}
{displaystyle cos(arcsin(x))cdot (arcsin(x))'=1}
Теперь мы должны выразить производную арксинуса.
{displaystyle (arcsin(x))'={frac {1}{cos(arcsin(x))}}}
Исходя из тригонометрического тождества({displaystyle sin^{2}x+cos^{2}x=1}) — получаем.
{displaystyle (arcsin(x))'={frac {1}{pm {sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))}}}}}
Для того, чтобы понять плюс должен стоять или минус взглянем какие значения.
{displaystyle D(cos(x))=[{frac {pi }{2}};-{frac {pi }{2}}]}
Так как косинус находится в 2-й и 4-й четвертях то, получается что косинус положительный.
{displaystyle (arcsin(x))'={frac {1}{sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))}}}}
Получается.
{displaystyle (arcsin(x))'={frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}}

{displaystyle arccos {x}} -{frac {1}{{sqrt {1-x^{2}}}}}

Доказательство                                 

Найти производную арккосинуса можно при помощи данного тождества:
{displaystyle arcsin(x)+arccos(x)={frac {pi }{2}}}
Теперь находим производную обеих частей этого тождества.
{displaystyle [arcsin(x)+arccos(x)]'=({frac {pi }{2}})'}
{displaystyle (arcsin(x))'+(arccos(x))'=0}
Теперь выражаем производную арккосинуса.
{displaystyle (arccos(x))'=-(arcsin(x))'}
Получается.
{displaystyle (arccos(x))'=-{frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}}

{displaystyle mathrm {arctg} x} {displaystyle {frac {1}{1+x^{2}}}}

Доказательство                                 

Найти производную арктангенса можно при помощи взаимнообратной функции:
{displaystyle tg(arctg(x))=x}
Теперь находим производную обеих частей этого тождества.
{displaystyle [tg(arctg(x))]'=1}
{displaystyle {frac {1}{cos^{2}(arctg(x))}}cdot (arctg(x))'=1}
Теперь мы должны выразить производную арктангенса:
{displaystyle (arctg(x))'=cos^{2}(arctg(x))}
Теперь на помощь нам придет на помощь тождество({displaystyle cos(x)={frac {1}{sqrt {1+tg^{2}(x)}}}}):
{displaystyle (arctg(x))'=({frac {1}{sqrt {1+tg^{2}(arctg(x))}}})^{2}}
Получается.
{displaystyle (arctg(x))'={frac {1}{1+x^{2}}}}

{displaystyle mathrm {arcctg} x} {displaystyle -{frac {1}{1+x^{2}}}}

Доказательство                                 

Найти производную арккотангенса можно при помощи данного тождества:
{displaystyle arctg(x)+arcctg(x)={frac {pi }{2}}}
Теперь находим производную обеих частей этого тождества.
{displaystyle [arctg(x)+arcctg(x)]'=({frac {pi }{2}})'}
{displaystyle (arctg(x))'+(arcctg(x))'=0}
Теперь выражаем производную арккотангенса.
{displaystyle (arcctg(x))'=-(arctg(x))'}
Получается.
{displaystyle (arcctg(x))'=-{frac {1}{1+x^{2}}}}

{displaystyle mathrm {arcsec} x} {displaystyle {frac {1}{|x|{sqrt {x^{2}-1}}}}}

Доказательство                                 

Найти производную арксеканса можно при помощи тождества:

{displaystyle arcsec(x)=arccos({frac {1}{x}})}

Теперь находим производную обеих частей этого тождества.

{displaystyle (arcsec(x))'=(arccos({frac {1}{x}}))'}

{displaystyle (arcsec(x))'=-{frac {1}{sqrt {1-{frac {1}{x^{2}}}}}}cdot (-{frac {1}{x^{2}}})}

{displaystyle (arcsec(x))'={frac {1}{x^{2}{sqrt {frac {x^{2}-1}{x^{2}}}}}}}

{displaystyle (arcsec(x))'={frac {1}{x^{2}{frac {sqrt {x^{2}-1}}{|x|}}}}}

Получается.

{displaystyle (arcsec(x))'={frac {1}{|x|{sqrt {x^{2}-1}}}}}

{displaystyle mathrm {arccosec} x} {displaystyle -{frac {1}{|x|{sqrt {x^{2}-1}}}}}

Доказательство                                 

Найти производную арккосеканса можно при помощи данного тождества:
{displaystyle arccosec(x)+arcsec(x)={frac {pi }{2}}}
Теперь находим производную обеих частей этого тождества.
{displaystyle [arccosec(x)+arcsec(x)]'=({frac {pi }{2}})'}
{displaystyle (arccosec(x))'+(arcsec(x))'=0}
Теперь выражаем производную арккосинуса.
{displaystyle (arccosec(x))'=-(arcsec(x))'}
Получается.
{displaystyle (arccosec(x))'=-{frac {1}{|x|{sqrt {x^{2}-1}}}}}

Интегралы от обратных тригонометрических функций[править | править код]

Неопределённые интегралы[править | править код]

Для действительных и комплексных x:

{begin{aligned}int arcsin x,dx&{}=x,arcsin x+{sqrt {1-x^{2}}}+C,\int arccos x,dx&{}=x,arccos x-{sqrt {1-x^{2}}}+C,\int operatorname {arctg},x,dx&{}=x,operatorname {arctg},x-{frac {1}{2}}ln left(1+x^{2}right)+C,\int operatorname {arcctg},x,dx&{}=x,operatorname {arcctg},x+{frac {1}{2}}ln left(1+x^{2}right)+C,\int operatorname{arcsec} x,dx&{}=x,operatorname{arcsec} x-ln left(xleft(1+{sqrt {{x^{2}-1} over x^{2}}},right)!right)+C,\int operatorname {arccosec},x,dx&{}=x,operatorname {arccosec},x+ln left(xleft(1+{sqrt {{x^{2}-1} over x^{2}}},right)!right)+C.end{aligned}}

Для действительных x ≥ 1:

{begin{aligned}int operatorname{arcsec} x,dx&{}=x,operatorname{arcsec} x-ln left(x+{sqrt {x^{2}-1}}right)+C,\int operatorname {arccosec},x,dx&{}=x,operatorname {arccosec},x+ln left(x+{sqrt {x^{2}-1}}right)+C.end{aligned}}
См. также Список интегралов от обратных тригонометрических функций

Использование в геометрии[править | править код]

Обратные тригонометрические функции используются для вычисления углов треугольника, если известны его стороны, например, с помощью теоремы косинусов.

В прямоугольном треугольнике эти функции от отношений сторон сразу дают угол.
Так, если катет длины a является противолежащим для угла alpha , то

{displaystyle alpha =arcsin(a/c)=arccos(b/c)=operatorname {arctg} (a/b)=operatorname {arccosec} (c/a)=operatorname {arcsec}(c/b)=operatorname {arcctg} (b/a).}

Связь с натуральным логарифмом[править | править код]

Для вычисления значений обратных тригонометрических функций от комплексного аргумента удобно использовать формулы, выражающие их через натуральный логарифм:

{displaystyle {begin{aligned}arcsin z&{}=-iln(iz+{sqrt {1-z^{2}}})={frac {pi }{2}}-iln(z+{sqrt {z^{2}-1}})=-ioperatorname {arsh} ,iz,end{aligned}}}
{displaystyle arccos(z)={dfrac {pi }{2}}+iln(iz+{sqrt {1-z^{2}}})=-ioperatorname {arch} (iz)}
{displaystyle operatorname {arctg} (z)={dfrac {i}{2}}(ln(1-iz)-ln(1+iz))=-ioperatorname {arth} (iz)}
{displaystyle operatorname {arcctg} (z)={dfrac {i}{2}}left(ln left({dfrac {z-i}{z}}right)-ln left({dfrac {z+i}{z}}right)right)=ioperatorname {arcth} (iz)}
{displaystyle operatorname {arcsec}(z)=arccos left(z^{-1}right)={dfrac {pi }{2}}+iln left({sqrt {1-{dfrac {1}{z^{2}}}}}+{dfrac {i}{z}}right),}
{displaystyle operatorname {arccosec} ,(z)=arcsin left(z^{-1}right)=-iln left({sqrt {1-{dfrac {1}{z^{2}}}}}+{dfrac {i}{z}}right).}

См. также[править | править код]

  • Обратные гиперболические функции
  • Теорема Данжуа — Лузина

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

  • Weisstein, Eric W. Обратные тригонометрические функции (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская Энциклопедия», 1982. — [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3612/%D0%9E%D0%91%D0%A0%D0%90%D0%A2%D0%9D%D0%AB%D0%95 Т. 3. — с. 1135].
  • Обратные тригонометрические функции — статья из Большой советской энциклопедии.  — М.: «Советская Энциклопедия», 1974. — Т. 18. — с. 225.
  • Обратные тригонометрические функции // Энциклопедический словарь юного математика / Савин А.П. — М.: Педагогика, 1985. — С. 220—221. — 352 с.
  • Построение графиков обратных тригонометрических функций онлайн
  • Онлайн калькулятор: обратные тригонометрические функции

Некоторые внешние ссылки в этой статье ведут на сайты, занесённые в спам-лист.

Эти сайты могут нарушать авторские права, быть признаны неавторитетными источниками или по другим причинам быть запрещены в Википедии. Редакторам следует заменить такие ссылки ссылками на соответствующие правилам сайты или библиографическими ссылками на печатные источники либо удалить их (возможно, вместе с подтверждаемым ими содержимым).

Список проблемных доменов

  • dic.academic.ru
Источник
  • Определение

  • График арктангенса

  • Свойства арктангенса

  • Таблица арктангенсов

Определение

Арктангенс (arctg или arctan) – это обратная тригонометрическая функция.

Арктангенс x определяется как функция, обратная к тангенсу x, где x – любое число (x∈ℝ).

Если тангенс угла у равен х (tg y = x), значит арктангенс x равняется y:

arctg x = tg-1 x = y, причем -π/2<y<π/2

Примечание: tg-1x означает обратный тангенс, а не тангенс в степени -1.

Например:

arctg 1 = tg-1 1 = 45° = π/4 рад

График арктангенса

Функция арктангенса пишется как y = arctg (x). График в общем виде выглядит следующим образом:

График арктангенса

Свойства арктангенса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства арктангенса с формулами.

Таблица арктангенсов
arctg x (°) arctg x (рад) x
-90° -π/2 -∞
-71.565° -1.2490 -3
-63.435° -1.1071 -2
-60° -π/3 -√3
-45° -π/4 -1
-30° -π/6 -1/√3
-26.565° -0.4636 -0.5
0° 0 0
26.565° 0.4636 0.5
30° π/6 1/√3
45° π/4 1
60° π/3 √3
63.435° 1.1071 2
71.565° 1.2490 3
90° π/2 ∞

microexcel.ru

Источник

Как выразить арккотангенс через арктангенс?

Андрей Г



Ученик

(109),
закрыт



10 лет назад

Дополнен 10 лет назад

Ответ arcctg(x) = arctg(1/x) не является правильным.
Это верно только при x > 0.

Дополнен 10 лет назад

А нельзя ли выразить через arctg(x), а не через arctg(1/x).

Дополнен 10 лет назад

Всем спасибо, ответ нашел:
arcctg(x) = Pi / 2 – arctg(x)

Источник

Арктангенс(y = arctg(x)) – это обратная тригонометрическая функция к тангенсу x = tg(y). Область определения -∞ ≤ x ≤ +∞ и множество значений -π/2 ≤ y ≤ +π/2.

arctg(0) = 0° arctg(-1.732050808) = 120° arctg(1.732050808) = 240°
arctg(0.01745506493) = 1° arctg(-1.664279482) = 121° arctg(1.804047755) = 241°
arctg(0.03492076949) = 2° arctg(-1.600334529) = 122° arctg(1.880726465) = 242°
arctg(0.05240777928) = 3° arctg(-1.539864964) = 123° arctg(1.962610506) = 243°
arctg(0.06992681194) = 4° arctg(-1.482560969) = 124° arctg(2.050303842) = 244°
arctg(0.08748866353) = 5° arctg(-1.428148007) = 125° arctg(2.144506921) = 245°
arctg(0.1051042353) = 6° arctg(-1.37638192) = 126° arctg(2.246036774) = 246°
arctg(0.1227845609) = 7° arctg(-1.327044822) = 127° arctg(2.355852366) = 247°
arctg(0.1405408347) = 8° arctg(-1.279941632) = 128° arctg(2.475086853) = 248°
arctg(0.1583844403) = 9° arctg(-1.234897157) = 129° arctg(2.605089065) = 249°
arctg(0.1763269807) = 10° arctg(-1.191753593) = 130° arctg(2.747477419) = 250°
arctg(0.1943803091) = 11° arctg(-1.150368407) = 131° arctg(2.904210878) = 251°
arctg(0.2125565617) = 12° arctg(-1.110612515) = 132° arctg(3.077683537) = 252°
arctg(0.2308681911) = 13° arctg(-1.07236871) = 133° arctg(3.270852618) = 253°
arctg(0.2493280028) = 14° arctg(-1.035530314) = 134° arctg(3.487414444) = 254°
arctg(0.2679491924) = 15° arctg(-1) = 135° arctg(3.732050808) = 255°
arctg(0.2867453858) = 16° arctg(-0.9656887748) = 136° arctg(4.010780934) = 256°
arctg(0.3057306815) = 17° arctg(-0.9325150861) = 137° arctg(4.331475874) = 257°
arctg(0.3249196962) = 18° arctg(-0.9004040443) = 138° arctg(4.704630109) = 258°
arctg(0.3443276133) = 19° arctg(-0.8692867378) = 139° arctg(5.144554016) = 259°
arctg(0.3639702343) = 20° arctg(-0.8390996312) = 140° arctg(5.67128182) = 260°
arctg(0.383864035) = 21° arctg(-0.8097840332) = 141° arctg(6.313751515) = 261°
arctg(0.4040262258) = 22° arctg(-0.7812856265) = 142° arctg(7.115369722) = 262°
arctg(0.4244748162) = 23° arctg(-0.7535540501) = 143° arctg(8.144346428) = 263°
arctg(0.4452286853) = 24° arctg(-0.726542528) = 144° arctg(9.514364454) = 264°
arctg(0.4663076582) = 25° arctg(-0.7002075382) = 145° arctg(11.4300523) = 265°
arctg(0.4877325886) = 26° arctg(-0.6745085168) = 146° arctg(14.30066626) = 266°
arctg(0.5095254495) = 27° arctg(-0.6494075932) = 147° arctg(19.08113669) = 267°
arctg(0.5317094317) = 28° arctg(-0.6248693519) = 148° arctg(28.63625328) = 268°
arctg(0.5543090515) = 29° arctg(-0.600860619) = 149° arctg(57.28996163) = 269°
arctg(0.5773502692) = 30° arctg(-0.5773502692) = 150° arctg(∞) = 270°
arctg(0.600860619) = 31° arctg(-0.5543090515) = 151° arctg(-57.28996163) = 271°
arctg(0.6248693519) = 32° arctg(-0.5317094317) = 152° arctg(-28.63625328) = 272°
arctg(0.6494075932) = 33° arctg(-0.5095254495) = 153° arctg(-19.08113669) = 273°
arctg(0.6745085168) = 34° arctg(-0.4877325886) = 154° arctg(-14.30066626) = 274°
arctg(0.7002075382) = 35° arctg(-0.4663076582) = 155° arctg(-11.4300523) = 275°
arctg(0.726542528) = 36° arctg(-0.4452286853) = 156° arctg(-9.514364454) = 276°
arctg(0.7535540501) = 37° arctg(-0.4244748162) = 157° arctg(-8.144346428) = 277°
arctg(0.7812856265) = 38° arctg(-0.4040262258) = 158° arctg(-7.115369722) = 278°
arctg(0.8097840332) = 39° arctg(-0.383864035) = 159° arctg(-6.313751515) = 279°
arctg(0.8390996312) = 40° arctg(-0.3639702343) = 160° arctg(-5.67128182) = 280°
arctg(0.8692867378) = 41° arctg(-0.3443276133) = 161° arctg(-5.144554016) = 281°
arctg(0.9004040443) = 42° arctg(-0.3249196962) = 162° arctg(-4.704630109) = 282°
arctg(0.9325150861) = 43° arctg(-0.3057306815) = 163° arctg(-4.331475874) = 283°
arctg(0.9656887748) = 44° arctg(-0.2867453858) = 164° arctg(-4.010780934) = 284°
arctg(1) = 45° arctg(-0.2679491924) = 165° arctg(-3.732050808) = 285°
arctg(1.035530314) = 46° arctg(-0.2493280028) = 166° arctg(-3.487414444) = 286°
arctg(1.07236871) = 47° arctg(-0.2308681911) = 167° arctg(-3.270852618) = 287°
arctg(1.110612515) = 48° arctg(-0.2125565617) = 168° arctg(-3.077683537) = 288°
arctg(1.150368407) = 49° arctg(-0.1943803091) = 169° arctg(-2.904210878) = 289°
arctg(1.191753593) = 50° arctg(-0.1763269807) = 170° arctg(-2.747477419) = 290°
arctg(1.234897157) = 51° arctg(-0.1583844403) = 171° arctg(-2.605089065) = 291°
arctg(1.279941632) = 52° arctg(-0.1405408347) = 172° arctg(-2.475086853) = 292°
arctg(1.327044822) = 53° arctg(-0.1227845609) = 173° arctg(-2.355852366) = 293°
arctg(1.37638192) = 54° arctg(-0.1051042353) = 174° arctg(-2.246036774) = 294°
arctg(1.428148007) = 55° arctg(-0.08748866353) = 175° arctg(-2.144506921) = 295°
arctg(1.482560969) = 56° arctg(-0.06992681194) = 176° arctg(-2.050303842) = 296°
arctg(1.539864964) = 57° arctg(-0.05240777928) = 177° arctg(-1.962610506) = 297°
arctg(1.600334529) = 58° arctg(-0.03492076949) = 178° arctg(-1.880726465) = 298°
arctg(1.664279482) = 59° arctg(-0.01745506493) = 179° arctg(-1.804047755) = 299°
arctg(1.732050808) = 60° arctg(0) = 180° arctg(-1.732050808) = 300°
arctg(1.804047755) = 61° arctg(0.01745506493) = 181° arctg(-1.664279482) = 301°
arctg(1.880726465) = 62° arctg(0.03492076949) = 182° arctg(-1.600334529) = 302°
arctg(1.962610506) = 63° arctg(0.05240777928) = 183° arctg(-1.539864964) = 303°
arctg(2.050303842) = 64° arctg(0.06992681194) = 184° arctg(-1.482560969) = 304°
arctg(2.144506921) = 65° arctg(0.08748866353) = 185° arctg(-1.428148007) = 305°
arctg(2.246036774) = 66° arctg(0.1051042353) = 186° arctg(-1.37638192) = 306°
arctg(2.355852366) = 67° arctg(0.1227845609) = 187° arctg(-1.327044822) = 307°
arctg(2.475086853) = 68° arctg(0.1405408347) = 188° arctg(-1.279941632) = 308°
arctg(2.605089065) = 69° arctg(0.1583844403) = 189° arctg(-1.234897157) = 309°
arctg(2.747477419) = 70° arctg(0.1763269807) = 190° arctg(-1.191753593) = 310°
arctg(2.904210878) = 71° arctg(0.1943803091) = 191° arctg(-1.150368407) = 311°
arctg(3.077683537) = 72° arctg(0.2125565617) = 192° arctg(-1.110612515) = 312°
arctg(3.270852618) = 73° arctg(0.2308681911) = 193° arctg(-1.07236871) = 313°
arctg(3.487414444) = 74° arctg(0.2493280028) = 194° arctg(-1.035530314) = 314°
arctg(3.732050808) = 75° arctg(0.2679491924) = 195° arctg(-1) = 315°
arctg(4.010780934) = 76° arctg(0.2867453858) = 196° arctg(-0.9656887748) = 316°
arctg(4.331475874) = 77° arctg(0.3057306815) = 197° arctg(-0.9325150861) = 317°
arctg(4.704630109) = 78° arctg(0.3249196962) = 198° arctg(-0.9004040443) = 318°
arctg(5.144554016) = 79° arctg(0.3443276133) = 199° arctg(-0.8692867378) = 319°
arctg(5.67128182) = 80° arctg(0.3639702343) = 200° arctg(-0.8390996312) = 320°
arctg(6.313751515) = 81° arctg(0.383864035) = 201° arctg(-0.8097840332) = 321°
arctg(7.115369722) = 82° arctg(0.4040262258) = 202° arctg(-0.7812856265) = 322°
arctg(8.144346428) = 83° arctg(0.4244748162) = 203° arctg(-0.7535540501) = 323°
arctg(9.514364454) = 84° arctg(0.4452286853) = 204° arctg(-0.726542528) = 324°
arctg(11.4300523) = 85° arctg(0.4663076582) = 205° arctg(-0.7002075382) = 325°
arctg(14.30066626) = 86° arctg(0.4877325886) = 206° arctg(-0.6745085168) = 326°
arctg(19.08113669) = 87° arctg(0.5095254495) = 207° arctg(-0.6494075932) = 327°
arctg(28.63625328) = 88° arctg(0.5317094317) = 208° arctg(-0.6248693519) = 328°
arctg(57.28996163) = 89° arctg(0.5543090515) = 209° arctg(-0.600860619) = 329°
arctg(∞) = 90° arctg(0.5773502692) = 210° arctg(-0.5773502692) = 330°
arctg(-57.28996163) = 91° arctg(0.600860619) = 211° arctg(-0.5543090515) = 331°
arctg(-28.63625328) = 92° arctg(0.6248693519) = 212° arctg(-0.5317094317) = 332°
arctg(-19.08113669) = 93° arctg(0.6494075932) = 213° arctg(-0.5095254495) = 333°
arctg(-14.30066626) = 94° arctg(0.6745085168) = 214° arctg(-0.4877325886) = 334°
arctg(-11.4300523) = 95° arctg(0.7002075382) = 215° arctg(-0.4663076582) = 335°
arctg(-9.514364454) = 96° arctg(0.726542528) = 216° arctg(-0.4452286853) = 336°
arctg(-8.144346428) = 97° arctg(0.7535540501) = 217° arctg(-0.4244748162) = 337°
arctg(-7.115369722) = 98° arctg(0.7812856265) = 218° arctg(-0.4040262258) = 338°
arctg(-6.313751515) = 99° arctg(0.8097840332) = 219° arctg(-0.383864035) = 339°
arctg(-5.67128182) = 100° arctg(0.8390996312) = 220° arctg(-0.3639702343) = 340°
arctg(-5.144554016) = 101° arctg(0.8692867378) = 221° arctg(-0.3443276133) = 341°
arctg(-4.704630109) = 102° arctg(0.9004040443) = 222° arctg(-0.3249196962) = 342°
arctg(-4.331475874) = 103° arctg(0.9325150861) = 223° arctg(-0.3057306815) = 343°
arctg(-4.010780934) = 104° arctg(0.9656887748) = 224° arctg(-0.2867453858) = 344°
arctg(-3.732050808) = 105° arctg(1) = 225° arctg(-0.2679491924) = 345°
arctg(-3.487414444) = 106° arctg(1.035530314) = 226° arctg(-0.2493280028) = 346°
arctg(-3.270852618) = 107° arctg(1.07236871) = 227° arctg(-0.2308681911) = 347°
arctg(-3.077683537) = 108° arctg(1.110612515) = 228° arctg(-0.2125565617) = 348°
arctg(-2.904210878) = 109° arctg(1.150368407) = 229° arctg(-0.1943803091) = 349°
arctg(-2.747477419) = 110° arctg(1.191753593) = 230° arctg(-0.1763269807) = 350°
arctg(-2.605089065) = 111° arctg(1.234897157) = 231° arctg(-0.1583844403) = 351°
arctg(-2.475086853) = 112° arctg(1.279941632) = 232° arctg(-0.1405408347) = 352°
arctg(-2.355852366) = 113° arctg(1.327044822) = 233° arctg(-0.1227845609) = 353°
arctg(-2.246036774) = 114° arctg(1.37638192) = 234° arctg(-0.1051042353) = 354°
arctg(-2.144506921) = 115° arctg(1.428148007) = 235° arctg(-0.08748866353) = 355°
arctg(-2.050303842) = 116° arctg(1.482560969) = 236° arctg(-0.06992681194) = 356°
arctg(-1.962610506) = 117° arctg(1.539864964) = 237° arctg(-0.05240777928) = 357°
arctg(-1.880726465) = 118° arctg(1.600334529) = 238° arctg(-0.03492076949) = 358°
arctg(-1.804047755) = 119° arctg(1.664279482) = 239° arctg(-0.01745506493) = 359°
Источник

Добавить комментарий