- Определение
- График арктангенса
- Свойства арктангенса
- Таблица арктангенсов
Определение
Арктангенс (arctg или arctan) – это обратная тригонометрическая функция.
Арктангенс x определяется как функция, обратная к тангенсу x, где x – любое число (x∈ℝ).
Если тангенс угла у равен х (tg y = x), значит арктангенс x равняется y:
arctg x = tg-1 x = y, причем -π/2<y<π/2
Примечание: tg-1x означает обратный тангенс, а не тангенс в степени -1.
Например:
arctg 1 = tg-1 1 = 45° = π/4 рад
График арктангенса
Функция арктангенса пишется как y = arctg (x). График в общем виде выглядит следующим образом:
Свойства арктангенса
Ниже в табличном виде представлены основные свойства арктангенса с формулами.
Таблица арктангенсов
| arctg x (°) | arctg x (рад) | x |
| -90° | -π/2 | -∞ |
| -71.565° | -1.2490 | -3 |
| -63.435° | -1.1071 | -2 |
| -60° | -π/3 | -√3 |
| -45° | -π/4 | -1 |
| -30° | -π/6 | -1/√3 |
| -26.565° | -0.4636 | -0.5 |
| 0° | 0 | 0 |
| 26.565° | 0.4636 | 0.5 |
| 30° | π/6 | 1/√3 |
| 45° | π/4 | 1 |
| 60° | π/3 | √3 |
| 63.435° | 1.1071 | 2 |
| 71.565° | 1.2490 | 3 |
| 90° | π/2 | ∞ |
microexcel.ru
Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:
Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arcus — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Так, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Манера обозначать таким образом обратные тригонометрических функции появилась у австрийского математика XVIII века Карла Шерфера и закрепилась благодаря Лагранжу. Впервые специальный символ для обратной тригонометрической функции использовал Даниил Бернулли в 1729 году. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: 
но они не прижились[1].
Лишь изредка в иностранной литературе, также как и в научных/инженерных калькуляторах, пользуются обозначениями типа sin−1, cos−1 для арксинуса, арккосинуса и т. п.[2], — такая запись считается не очень удобной, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.
Тригонометрические функции периодичны, поэтому функции, обратные к ним, многозначны. То есть, значение аркфункции представляет собой множество углов (дуг), для которых соответствующая прямая тригонометрическая функция равна заданному числу. Например, 
означает множество углов 
, синус которых равен 
. Из множества значений каждой аркфункции выделяют её главные значения (см. графики главных значений аркфункций ниже), которые обычно и имеют в виду, говоря об арксинусе, арккосинусе и т. д.
В общем случае при условии 
все решения уравнения 
можно представить в виде 
[3]
Основное соотношение[править | править код]
Функция arcsin[править | править код]
График функции 
Аркси́нусом числа x называется такое значение угла y, выраженного в радианах, для которого 
Функция непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей.
Свойства функции arcsin[править | править код]
Получение функции arcsin[править | править код]
Дана функция 
. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, на всей числовой прямой обратное соответствие функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок ![{displaystyle [-pi /2;pi /2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e194f6091eb1b362d19112a5bffdab91ef2a07df)
, на котором функция строго монотонно возрастает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на отрезке существует обратная функция , график которой симметричен графику функции относительно прямой 
.
Функция arccos[править | править код]
График функции 
Аркко́синусом числа x называется такое значение угла y в радианной мере, для которого 
Функция непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей и неотрицательной.
Свойства функции arccos[править | править код]
Получение функции arccos[править | править код]
Дана функция 
. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, на всей числовой прямой обратное соответствие функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок ![[0;pi ]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45ba33419dc889bf6c0c684b11285afda3437c95)
, на котором функция строго монотонно убывает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на отрезке существует обратная функция , график которой симметричен графику функции относительно прямой .
Функция arctg[править | править код]
График функции 
Аркта́нгенсом числа x называется такое значение угла 
выраженное в радианах, для которого 
Функция 
определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго возрастающей.
Свойства функции arctg[править | править код]
Получение функции arctg[править | править код]
Дана функция 
. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал 
, на котором функция строго монотонно возрастает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на интервале существует обратная функция , график которой симметричен графику функции относительно прямой .
Функция arcctg[править | править код]
График функции 
Арккота́нгенсом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого 
Функция 
определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго убывающей и всюду положительной.
Свойства функции arcctg[править | править код]
Получение функции arcctg[править | править код]
Дана функция 
. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал 
, на котором функция строго монотонно убывает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на интервале существует обратная функция , график которой симметричен графику функции относительно прямой .
График арккотангенса получается из графика арктангенса, если последний отразить относительно оси ординат (то есть заменить знак аргумента, 
) и сместить вверх на π/2; это вытекает из вышеупомянутой формулы 
Функция arcsec[править | править код]
График функции 
Арксе́кансом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого 
Функция непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей и всюду неотрицательной.
Свойства функции arcsec[править | править код]
Функция arccosec[править | править код]
График функции 
Арккосе́кансом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого 
Функция непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей.
Свойства функции arccosec[править | править код]
Разложение в ряды[править | править код]
Производные от обратных тригонометрических функций[править | править код]
Все обратные тригонометрические функции бесконечно дифференцируемы в каждой точке своей области определения. Первые производные:
производные обратных тригонометрических функций
Функция  |
Производная  |
Примечание |
|---|---|---|
 |
 |
Доказательство Найти производную арксинуса можно при помощи взаимно обратных функций. |
 |
 |
Доказательство Найти производную арккосинуса можно при помощи данного тождества: |
 |
 |
Доказательство Найти производную арктангенса можно при помощи взаимнообратной функции: |
 |
 |
Доказательство Найти производную арккотангенса можно при помощи данного тождества: |
 |
 |
Доказательство Найти производную арксеканса можно при помощи тождества:
Теперь находим производную обеих частей этого тождества.
Получается.
|
 |
 |
Доказательство Найти производную арккосеканса можно при помощи данного тождества: |
![{displaystyle [sin(arcsin((x))]'=x'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be684108880964393fc7a90ba55f07de0e6d659a)
![{displaystyle D(cos(x))=[{frac {pi }{2}};-{frac {pi }{2}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1cb9db2cfdfe382a787aa5288735756e8dcb12e)
![{displaystyle [arcsin(x)+arccos(x)]'=({frac {pi }{2}})'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3606594a168f2f06eb6faddfaac18f1c85324466)
![{displaystyle [tg(arctg(x))]'=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ce9406b214a5266d0bf8282fd6aae4b59602c66)
![{displaystyle [arctg(x)+arcctg(x)]'=({frac {pi }{2}})'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f84cee67adf89ef76bfaa5c415907cce038d455)
![{displaystyle [arccosec(x)+arcsec(x)]'=({frac {pi }{2}})'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4847d93af2226f3ab5e1ba20940ec8530526b49e)
Интегралы от обратных тригонометрических функций[править | править код]
Неопределённые интегралы[править | править код]
Для действительных и комплексных x:
Для действительных x ≥ 1:
- См. также Список интегралов от обратных тригонометрических функций
Использование в геометрии[править | править код]
Обратные тригонометрические функции используются для вычисления углов треугольника, если известны его стороны, например, с помощью теоремы косинусов.
В прямоугольном треугольнике эти функции от отношений сторон сразу дают угол.
Так, если катет длины 
является противолежащим для угла 
, то
Связь с натуральным логарифмом[править | править код]
Для вычисления значений обратных тригонометрических функций от комплексного аргумента удобно использовать формулы, выражающие их через натуральный логарифм:
См. также[править | править код]
- Обратные гиперболические функции
- Теорема Данжуа — Лузина
Примечания[править | править код]
Ссылки[править | править код]
- Weisstein, Eric W. Обратные тригонометрические функции (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская Энциклопедия», 1982. — [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3612/%D0%9E%D0%91%D0%A0%D0%90%D0%A2%D0%9D%D0%AB%D0%95 Т. 3. — с. 1135].
- Обратные тригонометрические функции — статья из Большой советской энциклопедии. — М.: «Советская Энциклопедия», 1974. — Т. 18. — с. 225.
- Обратные тригонометрические функции // Энциклопедический словарь юного математика / Савин А.П. — М.: Педагогика, 1985. — С. 220—221. — 352 с.
- Построение графиков обратных тригонометрических функций онлайн
- Онлайн калькулятор: обратные тригонометрические функции
|
|
Некоторые внешние ссылки в этой статье ведут на сайты, занесённые в спам-лист. Эти сайты могут нарушать авторские права, быть признаны неавторитетными источниками или по другим причинам быть запрещены в Википедии. Редакторам следует заменить такие ссылки ссылками на соответствующие правилам сайты или библиографическими ссылками на печатные источники либо удалить их (возможно, вместе с подтверждаемым ими содержимым). Список проблемных доменов
|
- Понятие арктангенса
- График и свойства функции y=arctgx
- Уравнение tgx=a
- Понятие арккотангенса
- График и свойства функции y=arcctgx
- Уравнение ctgx=a
- Формулы преобразований аркфункци
- Примеры
Определение тангенса и котангенса через отношение сторон прямоугольника и с помощью касательной к числовой окружности – см. §3 данного справочника.
Свойства функции y=tgx на всей области определения (xinmathbb{R}) – см. §6 данного справочника.
Свойства функции y=ctgx на всей области определения (xinmathbb{R}) – см. §7 данного справочника.
Определение и свойства взаимно обратных функций – см. §2 справочника для 9 класса.
п.1. Понятие арктангенса
В записи (y=tgx) аргумент x – это значение угла (в градусах или радианах), функция y – тангенс угла, действительное число в пределах от (-infty;) до (+infty). Т.е., по заданному углу мы находим тангенс.
Можно поставить обратную задачу: по заданному тангенсу найти угол. Но одному значению тангенса соответствует бесконечное количество углов. Например, если (tgx=1), то (x=fracpi4+pi k, kinmathbb{Z}); если (tgx=0), то (x=pi k, kinmathbb{Z}) и т.д.
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x главной ветвью тангенса: (-fracpi2leq xleq fracpi2) (правая половина числовой окружности, вся ось тангенсов).
Арктангенсом числа (a (ainmathbb{R})) называется такое число (xin[-fracpi2; fracpi2]), тангенс которого равен (a). $$ arctg a=x Leftrightarrow begin{cases} tgx=a\ -fracpi2leq xleq fracpi2 end{cases} $$
Например:
(arctgfrac{1}{sqrt{3}}=fracpi6, arctg(-sqrt{3})=-frac{pi}{3}, arctg1=fracpi4).
п.2. График и свойства функции y=arctgx
1. Область определения (xinmathbb{R}).
2. Функция ограничена сверху и снизу асимптотами (-fracpi2leq arctgxleq fracpi2).
Область значений (yinleft(-fracpi2; fracpi2right))
3. Функция стремится к максимальному значению (y_{max}=fracpi2 text{при} xrightarrow +infty)
Функция стремится к минимальному значению (y_{min}=-fracpi2 text{при} xrightarrow -infty)
Функция имеет две горизонтальные асимптоты (y=pmfracpi2).
4. Функция возрастает на всей области определения.
5. Функция непрерывна на всей области определения.
6. Функция нечётная: (arctg(-x)=-arctg(x)).
п.3. Уравнение tgx=a
 |
На оси тангенсов каждому углу на числовой окружности в интервале (-fracpi2leq xleq fracpi2) соответствует одно действительное число.
Например: |
 |
2) Решим уравнение (tgx=2) Числу (frac{1}{sqrt{3}}) на оси тангенсов соответствует угол (arctg2) на числовой окружности. Учитывая период тангенса (pi), получаем ответ: (x=arctg2+pi k) |
В общем случае:
Уравнение (tgx=a) имеет решения $$ x=arctga+pi k, kinmathbb{Z}, ainmathbb{R} $$
п.4. Понятие арккотангенса
По аналогии с арктангенсом, арккотангенс определяется на главной ветви котангенса: (0lt xlt pi) (верхняя половина числовой окружности, вся ось котангенсов).
Арккотангенсом числа (a (ainmathbb{R})) называется такое число (xin(0;pi)), котангенс которого равен (a). $$ arcctg a=x Leftrightarrow begin{cases} ctgx=a\ 0lt xlt pi end{cases} $$
Например:
(arcctgfrac{1}{sqrt{3}}=fracpi3, arcctg(-sqrt{3})=-frac{pi}{6}, arcctg1=fracpi4).
п.5. График и свойства функции y=arcctgx
1. Область определения (xinmathbb{R}).
2. Функция ограничена сверху и снизу асимптотами (0lt arcctgxlt pi).
Область значений (yin(0;pi))
3. Функция стремится к максимальному значению (y_{max}=pi text{при} xrightarrow -infty)
Функция стремится к минимальному значению (y_{min}=0 text{при} xrightarrow +infty)
Функция имеет две горизонтальные асимптоты (y=0 text{и} y=pi).
4. Функция убывает на всей области определения.
5. Функция непрерывна на всей области определения.
6. Функция ни чётная, ни нечётная.
п.6. Уравнение ctgx=a
В общем случае:
Уравнение (ctgx=a) имеет решения $$ x=arcctga+pi k, kinmathbb{Z}, ainmathbb{R} $$
Часто уравнение (ctgx=a) преобразуют в уравнение (tgx=frac{1}{a}), и ищут его корни.
Например:
1) (ctgx=sqrt{3})
(x=fracpi6+pi k)
Можно также преобразовать уравнение в (tg x=frac{1}{sqrt{3}})
Получаем тот же ответ: (x=fracpi6+pi k)
2) (ctgx=2)
(x=arcctg2+pi k)
Можно также преобразовать уравнение в (tg x=frac{1}{2})
Получаем ответ: (x=arctgfrac12+pi k)
Очевидно, что (arcctg 2=arctgfrac{1}{2}) (см. ниже формулы для аркфункций).
п.7. Формулы преобразования аркфункций
begin{gather*} arcsin(sinalpha)=alpha, alphainleft[-fracpi2;fracpi2right], arccos(cosalpha)=alpha, alphain[0;pi]\ arctg(tgalpha)=alpha, alphainleft(-fracpi2;fracpi2right), arcctg(ctgalpha)=alpha, alphain(0;pi) end{gather*}
begin{gather*} arcsin(-alpha)=-arcsinalpha, arccos(-alpha)=pi-arccosalpha\ arctg(-alpha)=-arctgalpha, arcctg(-alpha)=pi-arcctgalpha end{gather*}
begin{gather*} arcsinalpha+arccosalpha=fracpi2, arctgalpha+arcctgalpha=fracpi2 end{gather*}
Сводная таблица тригонометрических функций от аркфункций
| arcsin | arccos | arctg | arcctg | |
| sin | begin{gather*} a\ ain[-1;1] end{gather*} | begin{gather*} sqrt{1-a^2}\ ain[-1;1] end{gather*} | begin{gather*} frac{a}{sqrt{1+a^2}}\ ainmathbb{R} end{gather*} | begin{gather*} frac{1}{sqrt{1+a^2}}\ ainmathbb{R} end{gather*} |
| cos | begin{gather*} sqrt{1-a^2}\ ain[-1;1] end{gather*} | begin{gather*} a\ ain[-1;1] end{gather*} | begin{gather*} frac{1}{sqrt{1+a^2}}\ ainmathbb{R} end{gather*} | begin{gather*} frac{a}{sqrt{1+a^2}}\ ainmathbb{R} end{gather*} |
| tg | begin{gather*} frac{a}{sqrt{1-a^2}}\ ain(-1;1) end{gather*} | begin{gather*} frac{sqrt{1-a^2}}{a}\ ain(-1;0)cup(0;1) end{gather*} | begin{gather*} a\ ainmathbb{R} end{gather*} | begin{gather*} frac{1}{a}\ ane 0 end{gather*} |
| ctg | begin{gather*} frac{sqrt{1-a^2}}{a}\ ain(-1;0)cup(0;1) end{gather*} | begin{gather*} frac{a}{sqrt{1-a^2}}\ ain(-1;1) end{gather*} | begin{gather*} frac{1}{a}\ ane 0 end{gather*} | begin{gather*} a\ ainmathbb{R} end{gather*} |
Аркфункции, выраженные через другие аркфункции
| arcsin | |
| arccos | $$ arcsina= begin{cases} arccossqrt{1-a^2}, 0leq aleq 1\ -arccossqrt{1-a^2}, -1leq alt 0 end{cases} $$ |
| arctg | $$ arcsina=arctgfrac{a}{sqrt{1-a^2}}, -1lt alt 1 $$ |
| arcctg | $$ arcsina= begin{cases} arcctgfrac{sqrt{1-a^2}}{a}, 0lt aleq 1\ -arcctgfrac{sqrt{1-a^2}}{a}-pi, -1leq alt 0 end{cases} $$ |
| arccos | |
| arcsin | $$ arccosa= begin{cases} arcsinsqrt{1-a^2}, 0leq aleq 1\ pi-arcsinsqrt{1-a^2}, -1leq alt 0 end{cases} $$ |
| arctg | $$ arccosa= begin{cases} arcctgfrac{sqrt{1-a^2}}{a}, 0lt aleq 1\ pi+arctgfrac{sqrt{1-a^2}}{a}, -1leq alt 0 end{cases} $$ |
| arcctg | $$ arccosa=arcctgfrac{a}{sqrt{1-a^2}}, -1lt alt 1 $$ |
| arctg | |
| arcsin | $$ arctga=arcsinfrac{a}{sqrt{1+a^2}}, ainmathbb{R} $$ |
| arccos | $$ arctga= begin{cases} arccosfrac{1}{sqrt{1+a^2}}, ageq 0\ -arccosfrac{1}{sqrt{1+a^2}}, alt 0 end{cases} $$ |
| arcctg | $$ arctga=arcctgfrac{1}{a}, ane 0 $$ |
| arcctg | |
| arcsin | $$ arcctga= begin{cases} arcsinfrac{1}{sqrt{1+a^2}}, ageq 0\ pi-arcsinfrac{1}{sqrt{1+a^2}}, alt 0 end{cases} $$ |
| arccos | $$ arcctga=arccosfrac{a}{sqrt{1+a^2}}, ainmathbb{R} $$ |
| arctg | $$ arcctga=arctgfrac{1}{a}, ane 0 $$ |
п.8. Примеры
Пример 1. Найдите функцию, обратную арктангенсу. Постройте графики арктангенса и найденной функции в одной системе координат.
Для (y=arctgx) область определения (xinmathbb{R}), область значений (-fracpi2leq yleq fracpi2).
Обратная функция (y=tgx) должна иметь ограниченную область определения (-fracpi2leq xleq fracpi2) (главная ветвь) и область значений (yinmathbb{R}).
Строим графики:
Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.
Пример 2. Решите уравнения:
| a) (tg x=-1) (x=fracpi4+pi k) |
б) (ctgx=-1) (x=frac{3pi}{4}+pi k) Если решать через (tgx=-1) |
| в) (tg x=-5) (x=arctg(-5)+pi k=-arctg5+pi k) |
г) (ctgx=3) (x=arcctg3+pi k) Если решать через (tgx=frac13) |
Пример 3. Вычислите:
a) (2arccosleft(-frac12right)+arctg(-1)+arcsinfrac{sqrt{2}}{2}=2cdotfrac{2pi}{3}-fracpi4+fracpi4=frac{4pi}{3})
б) (arcsin1-arccosfrac{sqrt{3}}{2}-arctg(sqrt{-3})=arcsin1-fracpi3+fracpi3=arcsin1)
в) (arctg4+arcsin0-arccos1=arctg4+0-0=arctg4)
г) (5-2arccos0+arcsinfrac{sqrt{2}}{2}+3arccosfrac{sqrt{2}}{2}=5-2cdotfracpi2+fracpi4+3cdotfracpi4=5)
Пример 4. Постройте графики функций:
(a) y=arccosleft(frac{1}{x}right)+arccosleft(-frac{1}{x}right))
Сумма арккосинусов (arccosa+arccos(-a)=pi), где (-1leq aleq 1).
Получаем систему для определения ОДЗ: begin{gather*} -1leq frac{1}{x}leq 1Rightarrow 0leq frac{1}{x}+1leq 2Rightarrow begin{cases} frac{x+1}{x}geq 0\ frac{x+1}{x}leq 2 end{cases} Rightarrow begin{cases} frac{x+1}{x}geq 0\ frac{-x+1}{x}leq 0 end{cases} Rightarrow begin{cases} frac{x+1}{x}geq 0\ frac{x-1}{x}geq 0 end{cases} Rightarrow\ Rightarrow left[ begin{array}{l l} begin{cases} xgt 0\ x+1geq 0\ x-1geq 0 end{cases} \ begin{cases} xlt 0\ x+1leq 0\ x-1leq 0 end{cases} end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l l} begin{cases} xgt 0\ xgeq 1 end{cases} \ begin{cases} xlt 0\ xleq -1 end{cases} end{array} right. Rightarrow xleq -1cup xgeq 1 end{gather*} Заметим, что используя модуль, тот же результат можно получить значительно быстрей: $$ -1leqfrac{1}{x}leq 1Leftrightarrow |frac{1}{x}|leq 1Leftrightarrow |x|geq 1 $$ Таким образом, ОДЗ – вся числовая прямая, кроме (xnotin(-1;1).) $$ y=arccosleft(frac{1}{x}right)+arccosleft(-frac{1}{x}right)Leftrightarrow begin{cases} y=pi\ xnotin (-1;1) end{cases} $$ Строим график:
(б) y=arcctg(sqrt{x})+arcctg(-sqrt{x}))
Сумма арккотангенсов (arcctga+arcctg(-a)=pi), где (ainmathbb{R})
ОДЗ ограничено требованием к подкоренному выражению: (xgeq 0)
$$ y=arcctgleft(sqrt{x}right)+arcctgleft(-sqrt{x}right)Leftrightarrow begin{cases} y=pi\ xgeq 0 end{cases} $$ Строим график:
Пример 5*. Запищите в порядке возрастания:
$$ arctgleft(fracpi4right), arcsinleft(fracpi4right), arctg1 $$
 |
Способ 1. С помощью числовой окружности.
Отмечаем точку (fracpi4) на оси синусов (ось OY) и точки (fracpi4) и 1 на оси тангенсов (касательная к окружности). |
| Способ 2. Аналитический Арктангенс – функция возрастающая: (fracpi4approx 0,79lt 1Rightarrow arctgleft(fracpi4right)lt arctg 1) Сравним (arctg1=fracpi4=arcsinleft(frac{sqrt{2}}{2}right)) и (arcsinleft(fracpi4right)) (frac{sqrt{2}}{2} ? fracpi4) – возведем в квадрат обе части (frac12 ? frac{pi^2}{16}Leftrightarrow 8 ? pi^2) (8ltpi^2Rightarrowfrac{sqrt{2}}{2}ltfracpi4 Rightarrow arcsinleft(frac{sqrt{2}}{2}right)lt arcsinleft(fracpi4right)Rightarrow 1lt arcsinleft(fracpi4right)) Получаем: $$ arctgleft(fracpi4right)lt underbrace{arctg1}_{=fracpi4} lt arcsinleft(fracpi4right) $$ |
Пример 6*. Решите уравнения:
a) (arccosx=arctgx)
ОДЗ определяется ограничением для арккосинуса: (-1leq xleq 1)
Арккосинус ограничен (0leq arccosxleq pi), арктангенс (-fracpi2leq arctgxltfracpi2)
Т.к. по условию они равны, ограничение сужается до (0leq arctgxlt fracpi2) и (0leq arccos xlt fracpi2) $$ arccosx=arctgxLeftrightarrow begin{cases} x=cos(arctgx)\ -1leq xleq 1\ 0leq arctgxltfracpi2\ 0leq arccosxltfracpi2 end{cases} Leftrightarrow begin{cases} x=cos(arctgx)\ -1leq xleq 1\ 0leq x\ 0lt xleq 1 end{cases} Leftrightarrow begin{cases} x=cos(arctgx)\ 0lt xlt 1 end{cases} $$ Для решения можно воспользоваться готовой формулой для (cos(arctgx)).
Выведем её. Пуcть (arctgx=varphi). Тогда (x=tgvarphi) и $$ cos(arctgx)=cosvarphi=sqrt{frac{1}{1+tg^2varphi}}=sqrt{frac{1}{1+x^2}} $$ Получаем уравнение: $$ x=sqrt{frac{1}{1+x^2}}Rightarrow x^2=frac{1}{1+x^2}Rightarrow x^2(1+x^2)=1Rightarrow x^4+x^2-1=0 $$ $$ D=1+4=5, x^2=frac{-1pmsqrt{5}}{2} $$ Квадрат числа не может быть отрицательным. Остаётся корень (x^2=frac{sqrt{5}-1}{2})
Откуда (x=pmsqrt{frac{sqrt{5}-1}{2}})
По условию (0lt xlt 1). Получаем (x=sqrt{frac{sqrt{5}-1}{2}})
Ответ: (sqrt{frac{sqrt{5}-1}{2}})
б) (arccos^2x+arcsin^2x=frac{5pi^2}{36})
Используем формулу для суммы: (arccosx+arcsinx=fracpi2)
Получаем: begin{gather*} arccos^2x+left(fracpi2-arccosxright)^2=frac{5pi^2}{36}\ arccos^2x+frac{pi^2}{4}-pi arccosx+arccos^2x=frac{5pi^2}{36}\ 2arccos^2x-pi arccosx+frac{pi^2}{9}=0\ D=(-pi)^2-4cdot 2cdot frac{pi^2}{9}=pi^2-frac89pi^2=frac{pi^2}{9}\ arccosx=frac{pipmfracpi3}{4}Rightarrow left[ begin{array} {l l} arccosx_1=fracpi6\ arccosx_2=fracpi3 end{array} right. Rightarrow left[ begin{array} {l l} x_1=cosfracpi6=frac{sqrt{3}}{2}\ x_2=cosfracpi3=frac12 end{array} right. end{gather*} Ответ: (left{frac12; frac{sqrt{3}}{2}right})
в) (arcsinfrac{sqrt{3x+2}}{2}=arcctgsqrt{frac{2}{x+1}})
ОДЗ определяется ограничением для арксинуса: ( -1leq frac{sqrt{3x+2}}{2}leq 1)
Арксинус ограничен (-fracpi2leq arcsinfrac{sqrt{3x+2}}{2}leqfracpi2), арккотангенс (0leq arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}ltpi)
Т.к. по условию они равны, ограничение сужается до (0leq arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}ltfracpi2) и (0leq arcsinfrac{sqrt{3x+2}}{2}ltfracpi2). begin{gather*} arcsinfrac{sqrt{3x+2}}{2}=arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}Leftrightarrow begin{cases} frac{sqrt{3x+2}}{2}=sinleft(arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}right)\ -1leqfrac{sqrt{3x+2}}{2}leq 1\ 0leq arcsinfrac{sqrt{3x+2}}{2}ltfracpi2\ 0leq arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}ltfracpi2 end{cases} Leftrightarrow\ Leftrightarrow begin{cases} frac{sqrt{3x+2}}{2}=sinleft(arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}right)\ -1leqfrac{sqrt{3x+2}}{2}leq 1\ 0leq frac{sqrt{3x+2}}{2}lt 1\ 0leq sqrt{frac{2}{x+1}} end{cases} Leftrightarrow begin{cases} frac{sqrt{3x+2}}{2}=sinleft(arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}right)\ 0leq frac{sqrt{3x+2}}{4}lt 1\ frac{4}{x+1}geq 0 end{cases} end{gather*} Для ОДЗ получаем: $$ begin{cases} 0leq 3x+2lt 4\ x+1gt 0 end{cases} Rightarrow begin{cases} -2leq 3x lt 2\ xgt -1 end{cases} Rightarrow begin{cases} -frac23leq x lt frac23\ xgt -1 end{cases} Rightarrow -frac23leq xltfrac23 $$ ОДЗ: (-frac23leq xlt frac23)
Выведем формулу для синуса арккотангенса.
Пусть (arcctgx=varphi Rightarrow x=ctgvarphi)
Тогда (sin(arcctgx)=sinvarphi=sqrt{frac{1}{1+ctg^2varphi}}=sqrt{frac{1}{1+x^2}})
Правая часть уравнения: $$ sinleft(arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}right)= sqrt{frac{1}{1+left(sqrt{frac{2}{x+1}}right)}}= sqrt{frac{1}{1+frac{2}{x+1}}}=sqrt{frac{x+1}{x+3}} $$ Подставляем: begin{gather*} frac{sqrt{3x+2}}{2}=sqrt{frac{x+1}{x+3}}Rightarrow frac{3x+2}{4}=frac{x+1}{x+3}Rightarrow (3x+2)(x+3)=4(x+1)Rightarrow\ Rightarrow 3x^2+11x+6=4x+4Rightarrow 3x^2+7x+2=0\ D=49-4cdot 3cdot 2=25\ x=frac{-7pm5}{6}Rightarrow left[ begin{array} {l l} x_1=-2 – text{ не подходит по ОДЗ}\ x_2=-frac13 end{array} right. end{gather*} Ответ: (-frac13)
Формулы с обратными тригонометрическими функциями: arcsin, arccos, arctg и arcctg
Ранее мы рассматривали обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Как и в случае с другими функциями, между ними существуют связи и зависимости, реализуемые в виде формул, которые можно использовать для решения задач.
Сейчас мы будем рассматривать основные формулы с использованием этих функций: какие они бывают, на какие группы их можно разделить, как их доказать и как решать задачи с их помощью.
Формулы котангенса арккотангенса, тангенса арктангенса, синуса арксинуса и косинуса арккосинуса
Для начала сгруппируем формулы, в которых содержатся основные свойства обратных тригонометрических функций. Мы уже обсуждали и доказывали их ранее, а здесь приведем, чтобы логика объяснения была более понятной и все формулы были в одной статье.
для α∈-1, 1 sin(arccis α)=α, cos(arccos α)=α,для α∈(-∞, ∞) tg(arctg α)=α, ctg(arcctg α)=α
Указанное в них легко сформулировать из самих определений обратных тригонометрических функций числа. Если вы забыли, как найти, например, тангенс арктангенса, все можно посмотреть в этой формуле.
Формулы арккотангенса котангенса, арктангенса тангенса и арксинуса синуса и арккосинуса косинуса
для -π2≤α≤π2 arcsin (sin α)=α,для 0≤α≤π arccos(cos α)=α,для -π2<α<π2 arctg (tg α)=α,для 0<α<π arcctg (ctg α)=α
Здесь все также более-менее очевидно, как и в предыдущем пункте: эти формулы можно вывести из определений арксинуса, арккосинуса и др. Единственное, на что нужно обратить пристальное внимание: они будут верны только в том случае, если a (число или угол) будут входить в указанный предел. В противном случае расчет по формуле будет ошибочен, и применять ее нельзя.
Как соотносятся между собой арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы противоположных чисел
В этом блоке мы сформулируем важное утверждение:
Обратные тригонометрические функции отрицательного числа можно выразить через арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс противоположного ему положительного числа.
для α∈-1, 1 arccis (-α)=-arcsin α, arccos (-α)=π-arccos α,для α∈(-∞, ∞) arctg (-α)=-arctg α, arcctg (-α)=π-arcctg α
Таким образом, если в расчетах нам встречаются эти функции для отрицательных чисел, мы можем от них избавиться, преобразовав их в аркфункции положительных чисел, с которыми иметь дело проще.
Формулы суммы: арксинус + арккосинус, арктангенс + арккотангенс
Они выглядят следующим образом:
для α∈-1, 1 arccis α+arccos α=π2,для α∈(-∞, ∞) arctg α+arcctg α=π2
Из написанного видно, что арксинус некоторого числа можно вывести с помощью его арккосинуса, и наоборот. С арктангенсом и арккотангенсом аналогично – они соотносятся между собой аналогичным образом.
Формулы связи между прямыми и обратными тригонометрическими функциями
Знать связи между прямыми функциями и их аркфункциями очень важно для решения многих практических задач. Как же быть, если у нас есть необходимость вычислить, к примеру, тангенс арксинуса? Ниже приведен список основных формул для этого, которые полезно выписать себе.
| -1≤α≤1,sin (arcsin α)=α | -1≤α≤1,sin (arccos α)=1-α2 | -∞≤α≤+∞,sin (arctg α)=α1+α2 | -∞≤α≤+∞, sin (arcctg α)=11+α2 |
| -1≤α≤1,cos (arcsin α)=1-α2 | -1≤α≤1,cos (arccos α)=α | -∞≤α≤+∞,cos (arctg α)=11+α2 | -∞≤α≤+∞, cos (arcctg α)=11+α2 |
| -1<α<1,tg (arcsin α) =α1-α2 | α∈(-1, 0)∪(0, 1),tg (arccos α) =1-α2α | -∞≤α≤+∞,tg (arctg α)=α | α≠0 ,tg (arcctg α)=1α |
| α∈(-1, 0)∪(0, 1),ctg (arcsin α)=1-α2α | -1<α<1,ctg (arccos α)=α1-α2 | α≠0,ctg (arctg α)=1α | -∞≤α≤+∞, ctg (arcctg α)=α |
Теперь разберем примеры, как они применяются в задачах.
Вычислите косинус арктангенса из 5.
Решение
У нас для этого есть подходящая формула следующего вида: cos(arctg α)=11+α2
Подставляем нужное значение: cos(arctg5)=11+(5)2=26
Вычислить синус арккосинуса 12.
Решение
Для этого нам понадобится формула: sin (arccos α)=1-a2
Подставляем в нее значения и получаем: sin (arccos 12)=1-(12)2=32
Обратите внимание, что непосредственные вычисления приводят к аналогичному ответу: sin(arccos 12)=sin π3=32
Если вы забыли, как правильно вычислять значения прямых и обратных функций, вы всегда можете вернуться к нашим предыдущим материалам, где мы разбирали это.
Доказательства формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса
Для того, чтобы наглядно вывести полученные формулы, нам понадобятся основные тригонометрические тождества и собственно формулы основных обратных функций – косинуса арккосинуса и др. Мы их уже выводили ранее, поэтому тратить время на их доказательства не будем. Начнем сразу с формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса. Используя тождество, получим:
sin2α+cos2α=11+ctg2α=1sin2α
Вспомним, что tgα·ctgα=1. Из этого можно получить:
sinα=1-cos2α, 0≤α≤π sinα=tgα1+tg2α, -π2<α<π2sinα=11+ctg2α, 0<α<π
У нас получилось, что мы выразили синус через необходимые аркфункции при заданном условии.
Теперь в первой формуле вместо a мы добавим arccos a. Итог – формула синуса арккосинуса.
Далее во вторую вместо a ставим arctg a. Это формула синуса арктангенса.
Аналогично с третьей – если мы добавим в нее arcctg a, будет формула синуса арктангенса.
Все наши расчеты можно сформулировать более емко:
- sinα=1-cos2α, 0≤α≤π
Следовательно, sin(arccosα)=1-cos2(arccosα)=1-a2
- sinα=tgα1+tgα, -π2<α<π2,
Следовательно, sin(arctgα)=tg(arctgα)1+tg2(arctgα)=α1+α2
- sinα=11+ctg2α, 0<α<π
Следовательно, sin(arctgα)=11+tg2(arctgα)=11+α2
Выводим формулы косинуса арксинуса, косинуса арктангенса и косинуса арккотангенса.
Их мы выведем по имеющемуся шаблону:
- Из cosα=1-sin2α, -π2≤α≤π2 следует, что
cos(arcsin α)=1-sin2(arcsin α)=1-a2
- Из cosα=11+tg2α, -π2<α<π2 следует, что
- Из cosα=ctgα1+ctg2α, 0<α<πcos(arctgα)=11+tg2(arctgα)=11+α2
следует, что cos(arctgα)=ctg(arcctgα)1+ctg2(arcctgα)=α1+α2
Доказательства формул тангенсов арксинуса, арккосинуса и арккотангенса
- Исходим из tgα=sin α1-sin2α, -π2<α<π2. Получаем tg(arcsin α)=sin(arcsinα)1-sin2(arcsinα)=α1-α2 при условии, что -1<α<1.
- Исходим из tgα=1-cos2αcosα, α∈[0, π2)∪(π2, π], получаем
tg(arccosα)=1-cos2(arccosα)cos(arccosα)=1-α2α при условии α∈(-1, 0)∪(0, 1).
- Исходим из tgα=1ctgα, α∈(0, π2)∪(π2, π), получаем tg(arcctgα)=1ctg(arcctgα)=1α при условии, что α≠0.
Теперь нам нужны формулы котангенсов арксинуса, арккосинуса и арктангенса. Вспомним одно из тригонометрических равенств:
ctgα=1tgα
Используя его, мы можем сами вывести необходимые формулы, используя формулы тангенса арксинуса, тангенса арккосинуса и тангенса арктангенса. Для этого понадобится поменять в них местами числитель и знаменатель.
Как выразить арксинус через арккосинус, арктангенс и арккотангенс и так далее
Мы связали между собой прямые и обратные тригонометрические функции. Полученные формулы дадут нам возможность связать и одни обратные функции с другими, то есть выразить одни аркфункции через другие аркфункции. Разберем примеры.
Здесь мы можем заменить арксинус на арккосинус, арктангенс и арккотангенс соответственно, и получить искомую формулу:
arcsinα=arccos1-α2, 0≤α≤1-arccos1-a2, -1≤α<0arcsinα=arctgα1-α2, -1<α<1arcsinα=arcctg1-α2α, 0<α≤1arcctg1-α2α-π, -1≤α≤0
А так мы выразим арккосинус через остальные обратные функции:
arccosα=arcsin1-α2, 0≤α≤1π-arcsin1-α2, -1≤α<0arccosα=arctg1-α2α, 0<α≤1π+arctg1-α2α, -1<α<0arccosα=arcctgα1-α2, -1<α<1
Формула выражения арктангенса:
arctgα=arcsinα1+α2, -∞<α<+∞arctgα=arccos11+α2, α≥0-arccos11+α2, α<0arctgα=arcctg1α, α≠0
Последняя часть – выражение арккотангенса через другие обратные функции:
arcctgα=arcsin11+α2, α≥0π-arcsin11+α2, α<0arcctgα=arccosα1+α2, -∞<α<+∞arcctgα=arctg1α, α≠0
Теперь попробуем доказать их, опираясь на основные определения обратных функций и ранее выведенных формул.
Возьмём arcsinα=arctgα1-α2, -1<α<1 и постараемся вывести доказательство.
Мы знаем, что arctgα1-α2 – это число, величина которого составляет от минус половины пи до плюс половины пи. Из формулы синуса арктангенса получим:
sin(arctgα1-α2)=α1-α21+(α1-α2)2=α1-α21+α21-α2=α1-α21+α21-α2=α1-α211-α2=α
Получается, что arctgα1-α2 при условии 1<a<1 – это и есть арксинус числа a.
Вывод: arcsina=arctga1-a2, -1<a<1
Прочие формулы доказываются по аналогии.
В завершение разберем один пример применения формул на практике.
Условие Вычислить синус арккотангенса минус корня из 3.
Решение
Нам понадобится формула выражения арккотангенса через арксинус: arcctgα=arcsin11+a2, α≥0π-arcsin 11+a2, α<0
Подставим в нее α=-3 и получим ответ – 12. Непосредственное вычисление дало бы нам те же результаты: sin(arcctg(-3))=sin5π6=12 Для решения задачи можно взять и другую формулу, выражающую синус через котангенс: sinα=11+ctg2α, 0<α<π
В итоге у нас бы вышло: sin(arcctg(-3))=11+ctg2(arcctg(-3))=11+(-3)2=12
Или возьмем формулу синуса арккотангенса и получим тот же ответ: sin(arcctgα)=11+α2 sin(arcctg(-3))=11+(-3)2=12
Прочие формулы с обратными функциями
Мы рассмотрели самые основные формулы, которые понадобятся вам при решении задач. Однако это не все формулы с аркфункциями: есть и ряд других, специфичных, которые употребляются нечасто, но все же их знание может быть полезно. Запоминать их особого смысла нет: проще вывести их тогда, когда они нужны.
Разберем одну из них, называемую формулой половинного угла. Она выглядит следующим образом:
sin2α2=1-cosα2
Если угол альфа при этом больше нуля, но меньше числа пи, то у нас выходит:
sinα2=1-cosα2
Учитывая данное условие, заменяем упомянутый угол на arccos. В итоге наша предварительная формула выглядит так:
sinarccosα2=1-cos(arccosα)2⇔sinarccosα2=1-α2
Отсюда мы выводим итоговую формулу, в которой арксинус выведен через арккосинус:
arccosα2=arcsin1-α2
Мы перечислили не все связи, которые имеются между обратными тригонометрическими функциями, а лишь наиболее употребляемые из них. Важно подчеркнуть, что ценность имеют не столько сами сложные формулы, что мы привели в статье: заучивать их наизусть не нужно. Гораздо важнее уметь самому делать нужные преобразования, и тогда сложные вычисления не потребуется хранить в голове.
В продолжение темы в следующей статье мы рассмотрим преобразование выражений с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом.
Сферы применения правил обратных тригонометрических функций
Определение
Тригонометрия — раздел математики, объясняющий зависимость между сторонами и углами треугольника, правила используют для расчета углов.
Изучая постулаты тригонометрических функций, ученики и студенты часто задаются вопросом, где эти знания могут пригодиться. Сфер применения достаточно много. Астрономы используют понятия для расчёта положения небесных объектов, тригонометрия помогает выполнять чертежи и создавать архитектурные шедевры, выстраивать модель биологических ритмов. В морской и воздушной навигации, акустике и оптике, в анализе финансового рынка, статистике, медицине, химии, во многих областях используются тригонометрические вычисления. Поэтому так важно научиться применять и выводить формулы самостоятельно.
Обратные функции тригонометрии
Обратными называются функции, которые ещё называют арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.
Название данный вид тригонометрической зависимости, получил от соответствующей прямой функции с приставкой арк — дуга. Взаимосвязь просматривается между длиной дуги единичной окружности и соответствующим определённым отрезком.
Правила обратной функции справедливы в пределах интервалов, например,
формула арксинуса возможна при:
[arcsin (sin mathrm{x})=mathrm{x} text { при }-frac{pi}{2} leq mathrm{x} leq frac{pi}{2}]
[arccos (cos mathrm{x})=mathrm{x} text { при } 0 leq mathrm{x} leq pi]
и так далее.
Формулы с обратными функциями тригонометрии
Уже были рассмотрены обратные тригонометрические функции. Они, как и другие функции имеют между собой связи и зависимости, которые можно выразить в виде формул и использовать для решения задач.
В данной работе мы рассмотрим основные формулы, в которых применяются функции тригонометрии. Разберём их виды, деление на группы, доказательства и способы решения задач с их помощью.
Группировка основных понятий
Сначала проведём группировку формул, для того чтобы сделать более понятной логику объяснений. И объединим все правила и доказательства в одну статью.
Синус от арксинуса для [alpha in(-1 ; 1) sin (arcsin alpha)=alpha, cos (arccos alpha)=alpha]
Тангенса от арктангенса для [alpha in(-infty, infty) operatorname{tg}(operatorname{arctg} alpha)=alpha, operatorname{ctg}(operatorname{arctg} alpha)=alpha].
Указанное в данных выражениях легко выводится из самих определений обратных функций тригонометрии. При необходимости найти arcsin tg, можно использовать приведённые формулы.
Тангенс, арктангенс, котангенс, арккотангенс, синус, арксинус, косинус, арккосинус и формулы
[text{Для }-frac{pi}{2} leq alpha leq frac{pi}{2} arcsin (sin alpha)=alpha],
[text{Для } leq alpha leq pi arccos (cos alpha)=alpha],
[text{Для }-frac{pi}{2}<alpha<frac{pi}{2} operatorname{arctg}(operatorname{tg} alpha)=alpha],
[text{Для } 0<alpha<pi operatorname{arcctg}(operatorname{ctg} alpha)=alpha].
В данном примере собраны тригонометрические выражения, достаточно очевидные, которые можно вывести из определений функций тригонометрии. Необходимо обратить внимание, на то, что высказывания будут верны, если «а» (угол, или числовое значение) будет входить в определённый предел. Если условие не выполняется, расчёт будет не верен и формулу использовать нельзя.
Соотношение между собой обратных тригонометрических функций противоположных чисел
Рассмотрим важное определение:
Обратные функции тригонометрии можно выразить через аркфункции противоположного положительного числа.
[text{Для }alpha in operatorname{open}-1,1] text { arccis }(-alpha)= -operatorname{arc} sin alpha, quad operatorname{arc} cos (-alpha)=pi -a r c cos alpha]
[text { Для } alpha in(-infty, infty) operatorname{arctg}(-alpha)= -operatorname{arctg} alpha, operatorname{arcctg}(-alpha)=pi-operatorname{arcctg} alpha]
Это значит, если расчёты имеют функции отрицательного числа, от них можно избавиться. Для этого необходимо преобразовать их в аркфункции положительных чисел. Такие вычисления проводить проще.
Формулы суммы: arcsin + arccos, arctg +arcctg
Правила суммы выглядят так:
Для [alpha in[-1,1] arcsin alpha+arccos alpha=frac{pi}{2}],
Для [alpha in[-infty, infty] operatorname{arctg} alpha+operatorname{arctg} alpha=frac{pi}{2}].
Отсюда видно, что arcsin определённого числа можно выразить через его arccos , и наоборот. Тоже правило касается и arctg и arcctg, которые выражаются аналогично.
Формулы связи между обратными и прямыми тригонометрическими функциями
Чтобы иметь возможность решить множество задач, требуется знание связей между прямыми тригонометрическими функциями, и их аркфункциями. Рассмотрим, как необходимо поступить, если нужно вычислить тангенс арксинуса. Ниже представлен список основных формул, которые помогут в решении таких задач.
| [-1 leq alpha leq 1], [sin (arcsin alpha)=alpha] |
[-1 leq alpha leq 1], [sin (arccos alpha) =sqrt{1-alpha^{2}}] |
[-infty leq alpha leq+infty], [sin (operatorname{arctg} alpha)=frac{alpha}{sqrt{1+alpha^{2}}}] |
[-infty leq alpha leq+infty], [sin (operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}] |
| [-1 leq alpha leq 1], [cos (arcsin alpha)=sqrt{1-alpha^{2}}] |
[-1 leq alpha leq 1], [cos (arccos alpha)=alpha] |
[-infty leq alpha leq+infty], [cos (operatorname{arctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}] |
[-infty leq alpha leq+infty], [cos (operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}] |
| [-1<alpha<1], [operatorname{tg}(arcsin alpha)=frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}] |
[alpha in(-1,0) cup(0,1)], [operatorname{tg}(arccos alpha)=frac{sqrt{1-a^{2}}}{alpha}] |
[-infty leq alpha leq+infty], [operatorname{tg}(operatorname{arctg} alpha)=alpha] |
[alpha neq 0], [operatorname{tg}(operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{alpha}] |
| [alpha in(-1,0) cup(0,1)], [operatorname{ctg}(arcsin alpha)=frac{sqrt{1-alpha^{2}}}{alpha}] |
[-1<alpha<1], [operatorname{ctg}(arccos alpha)=frac{alpha}{sqrt{1-a^{2}}}] |
[alpha neq 0], [operatorname{ctg}(operatorname{arctg} alpha)=frac{1}{alpha}] |
[-infty leq alpha leq+infty], [operatorname{ctg}(operatorname{arcctg} alpha)=alpha] |
Примеры 1 — 2
Нужно найти косинус арктангенса из 5.
Решение. Для этого необходимо воспользоваться формулой следующего вида: [cos (operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}]
Подставим необходимое значение: [cos (operatorname{arctg} sqrt{5})=frac{1}{sqrt{1+sqrt{5^{2}}}}=frac{2}{sqrt{6}}]
Определить синус арккосинуса [frac{1}{2}]
Решение. Реализовать решение нам поможет формула: [sin (arccos alpha)=sqrt{1-alpha^{2}}]
Ставим значение и получаем: [sin left(arccos frac{1}{2}right)=sqrt{1-left(frac{1}{2}right)^{2}}=frac{sqrt{3}}{2}]
Заметим, что непосредственное вычисление приведёт к тому же ответу: [sin left(arccos frac{1}{2}right)=sin frac{pi}{3}=frac{sqrt{3}}{2}]
Для правильного вычисления значений прямых и обратных тригонометрических функций, стоит вспомнить начальные материалы.
Доказательство формул синуса от арккосинуса, арккотангенса и арктангенса
Чтобы вывести формулы и разобрать их более наглядно, необходимо применить основные тригонометрические тождества и правила обратных тригонометрических функций, которые были выведены ранее.
Доказательство формул 1
Используя тождества получим:
[sin ^{2} alpha+cos ^{2} alpha=1]
[1+operatorname{ctg}^{2} alpha=frac{1}{sin ^{2} alpha}]
Вспомним тот факт, что tg α *ctg α= 1, следовательно
[sin alpha=sqrt{1-cos ^{2} alpha}, 0 leq alpha leq pi]
[sin alpha=frac{operatorname{tg} alpha}{sqrt{1+operatorname{tg}^{2} alpha}},-frac{pi}{2}<alpha<frac{pi}{2}]
[sin alpha=frac{1}{sqrt{1+c t g^{2} alpha}}, 0<alpha<pi]
Результатом станет вывод синуса через подходящие аркфункции в заданном условии.
В математическое выражение вместо α, ставим arccos α, получаем в итоге формулу синуса арккосинуса.
Во втором случае вместо α подставляем arctg α, соответственно получаем формулу синуса арктангенса.
В третьем варианте проводим аналогичную операцию и подставляем arcctg α для выражения формулы синуса арккотангенса.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Доказательство формул для тангенса, обратных функций(arcsin, arccos, arcctg)
В данном разделе рассмотрим доказательство закона тангенса обратных функций тригонометрии.
Доказательство формул 2
- Исходя из: [frac{sin alpha}{sqrt{1-sin alpha^{2}}},-frac{pi}{2}<alpha<frac{pi}{2}]Получим [operatorname{tg}(arcsin alpha)=frac{sin (arcsin alpha)}{sqrt{1-sin ^{2}(arcsin alpha)}}=frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}]При условии [-1<alpha<1]
- Из выражения [operatorname{tg} alpha=frac{sqrt{1-cos ^{2} alpha}}{cos alpha}, alpha inleft[0, frac{pi}{2}right) cupleft(frac{pi}{2}, piright]]
Получаем [operatorname{tg}(arccos alpha)=frac{sqrt{1-cos ^{2}(arccos alpha)}}{cos (arccos alpha)}=frac{sqrt{1-alpha^{2}}}{alpha}] при условии [alpha in(-1,0) cup(0,1)]. - Исходя из [operatorname{tg} alpha=frac{1}{operatorname{ctg} alpha}, alpha inleft(0, frac{pi}{2}right) cupleft(frac{pi}{2}, piright)] получаем [operatorname{tg}(operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{operatorname{ctg}(operatorname{arcctg} alpha)}=frac{1}{alpha}] при условии, что [alpha neq 0].
Далее нам понадобятся понятия котангенсов арксинуса, арккосинуса, арктангенса. Напомним такое тригонометрическое равенство:
[operatorname{ctg} alpha=frac{1}{operatorname{tg} alpha}]
Применяя данное выражение можно вывести необходимые формулы, вставляя выражения тангенса обратных функций тригонометрии. Практически необходимо поменять местами числитель и знаменатель.
Выражение арксинуса с помощью арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
Прямые и обратные функции в тригонометрии связаны между собой. Полученные в результате выведения формулы помогут найти связь и между обратными функциями тригонометрии, выразив одни аркфункции через другие. Рассмотрим примеры.
В первом случае меняем арксинус на арккосинус, а арктангенс на арккотангенс, получим следующие формулы арксинуса и арккосинуса:
[begin{aligned}
&arcsin a=left{begin{array}{l}
arccos sqrt{1-a^{2}}, 0 leq a leq 1 \
-arccos sqrt{1-a^{2}},-1 leq a<0
end{array}right. \
&arcsin a=operatorname{arctg} frac{a}{sqrt{1-a^{2}}},-1<a<1 \
&arcsin a=left{begin{array}{l}
operatorname{arcctg} frac{sqrt{1-a^{2}}}{a}, 0<a leq 1 \
operatorname{arcctg} frac{sqrt{1-a^{2}}}{a}-pi,-1 leq a<0
end{array}right.
end{aligned}]
Для арккосинуса также есть свои формулы:
[begin{aligned}
&arccos a=left{begin{array}{l}
arcsin sqrt{1-a^{2}}, 0 leq a leq 1 \
pi-arcsin sqrt{1-a^{2}},-1 leq a<0
end{array}right. \
&arccos a=left{begin{array}{l}
operatorname{arctg} frac{sqrt{1-a^{2}}}{a}, 0<a leq 1 \
pi+operatorname{arctg} frac{sqrt{1-a^{2}}}{a},-1 leq a<0
end{array}right. \
&arccos a=operatorname{arcctg} frac{a}{sqrt{1-a^{2}}},-1<a<1
end{aligned}]
Выражения для арктангенса:
[begin{aligned}
&operatorname{arctg} a=arcsin frac{a}{sqrt{1+a^{2}}},-infty<a<+infty\
&operatorname{arctg} a=left{begin{array}{l}
arccos frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}, a geq 0 \
-arccos frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}, a<0
end{array}right.\
&operatorname{arctg} a=operatorname{arcctg} frac{1}{a}, a neq 0
end{aligned}]
Последний блок формул покажет преобразование арккотангенса через другие обратные функции тригонометрии:
[begin{aligned}
&operatorname{arcctg} a=left{begin{array}{l}
arcsin frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}, a geq 0 \
pi-arcsin frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}, a<0
end{array}right.\
&operatorname{arctg} a=arccos frac{a}{sqrt{1+a^{2}}},-infty<a<+infty\
&operatorname{arcctg} a=operatorname{arctg} frac{1}{a}, a neq 0
end{aligned}]
Рассмотренные формулы арксинуса, арккосинуса, арктангенса помогут в решении различных задач. Разберём доказательство с использованием основных определений обратных функций и ранее рассмотренных правил.
Возьмём arcsin [alpha=operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}},-1<alpha<1] для выведения доказательства.
Мы имеем выражение [operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}] — число, которое имеет значение от минус половины [pi] до плюс половины [pi]. Используя выражение синуса арктангенса, получаем следующее:
[sin left(operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}right)=frac{frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}}{sqrt{1+left(frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}right)^{2}}}=frac{frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}}{sqrt{1+frac{alpha^{2}}{1-alpha^{2}}}}=frac{frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}}{frac{1}{sqrt{1-alpha^{2}}}}=alpha]
Получается, что [operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}] с условием [-1<alpha<1] — арксинус числа [alpha].
Вывод: [arcsin alpha=operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}},-1<alpha<1].
Другие подобные формулы доказываются по аналогичной схеме.
Рассмотрим пример применения полученных истин.
Пример 3
Необходимо вычислить синус арккотангенса — [sqrt{3}]
Решение. Для того чтобы провести решение задачи, необходимо использовать формулу связи арккотангенса и арксинуса: [arcsin alpha=operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}]
Подставим в неё [alpha=-sqrt{3}] и получим [-frac{1}{2}].
Используя непосредственное вычисление ответ был бы такой же: [sin (operatorname{arcctg}(-sqrt{3}))=sin frac{5 pi}{6}=frac{1}{2}]
Можно использовать и следующую формулу:
[sin (operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}]
[sin (operatorname{arcctg}(-sqrt{3}))=frac{1}{sqrt{1+(-sqrt{3})^{2}}}=frac{1}{2}]
Другие формулы, в которых используются обратные функции тригонометрии
Разобраны основные функции, которые чаще всего используются для решения задач. Но представлены не все формулы с обратными тригонометрическими функциями, есть некоторые специфичные, употребляемые редко, но они тоже полезны. Учить их нет смысла, лучше вывести при необходимости.
Пример 4
Разберём для примера одну такую формулу. Выглядит она так:
[sin ^{2} frac{alpha}{2}=sqrt{frac{1-cos alpha}{2}}]
Если представленный угол имеет значение больше нуля, но меньше Пи, то получаем:
[sin frac{arccos alpha}{2}=sqrt{frac{1-cos (arccos alpha)}{2}}]
[Leftrightarrow sin frac{arccos alpha}{2}=frac{sqrt{1-alpha}}{2}]
Здесь мы выводим следующую готовую формулировку, арксинус которой выведен через арккосинус:
[frac{arccos alpha}{2}=arcsin sqrt{frac{1-alpha}{2}}]
В тексте рассмотрены лишь некоторые, самые популярные виды связей между прямыми и обратными функциями тригонометрии. Главное не выучить наизусть данные постулаты, а научиться их применять и выводить, исходя из уже известных определений.
Удобно использовать инженерный вид калькулятора, на котором есть, необходимые для вычислений тригонометрические формулы и функции.
