В данной статье рассматриваются вопросы нахождения значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса заданного числа. Для начала вводятся понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Рассматриваем основные их значения, по таблицам, в том числе и Брадиса, нахождение этих функций.
Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
Необходимо разобраться в понятиях «значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса».
Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа помогут разобраться в вычислении заданных функций. Значение тригонометрических функций угла равняется числу a, тогда автоматически считается величиной этого угла. Если a – число, тогда это и есть значение функции.
Для четкого понимания рассмотрим пример.
Если имеем арккосинус угла равного π3, то значение косинуса отсюда равно 12 по таблице косинусов. Данный угол расположен в промежутке от нуля до пи, значит, значение арккосинуса 12 получим π на 3. Такое тригонометрическое выражение записывается как arcos(12)=π3.
Величиной угла может быть как градус, так и радиан. Значение угла π3 равняется углу в 60 градусов (подробней разбирается в теме перевода градусов в радианы и обратно). Данный пример с арккосинусом 12 имеет значение 60 градусов. Такая тригонометрическая запись имеет вид arccos12=60°
Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg
Благодаря таблице синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, мы имеет точные значения угла при 0, ±30, ±45, ±60, ±90, ±120, ±135, ±150, ±180 градусов. Таблица достаточно удобна и из нее можно получать некоторые значения для аркфункций, которые имеют название как основные значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.
Таблица синусов основных углов предлагает такие результаты значений углов:
sin(-π2)=-1, sin(-π3)=-32, sin(-π4)=-22, sin(-π6)=-12,sin 0 =0, sinπ6=12, sinπ4=22, sinπ3=32, sinπ2=1
Учитывая их, можно легко высчитать арксинус числа всех стандартных значений, начиная от -1 и заканчивая 1, также значения от –π2 до +π2 радианов, следуя его основному значению определения. Это и является основными значениями арксинуса.
Для удобного применения значений арксинуса занесем в таблицу. Со временем придется выучить эти значения, так как на практике приходится часто к ним обращаться. Ниже приведена таблица арксинуса с радианным и градусным значением углов.
α | -1 | -32 | -22 | -12 | 0 | 12 | 22 | 32 | |
arcsin αкак угол |
в радианах |
-π2 | -π3 | -π4 | -π6 | 0 | π6 | π4 | π3 |
в градусах | -90° | -60° | -45° | -30° | 0° | 30° | 45° | 60° | |
arcsin α как число | -π2 | -π3 | -π4 | -π6 | 0 | π6 | π4 | π3 |
Для получения основных значений арккосинуса необходимо обратиться к таблице косинусов основных углов. Тогда имеем:
cos 0=1, cos π6=32 , cos π4=22, cos π3=12, cosπ2=0,cos2π3=-12, cos3π4=-22, cos5π6=-32, cosπ=-1
Следуя из таблицы, находим значения арккосинуса:
arccos (-1)=π, arccos (-32)=5π6, arcocos (-22)=3π4, arccos-12=2π3, arccos 0 =π2, arccos 12=π3, arccos 22=π4, arccos32=π6, arccos 1 =0
Таблица арккосинусов.
α | -1 | -32 | -22 | -12 | 0 | 12 | 22 | 32 | 1 | |
arccos αкак угол |
в радианах |
π | 5π6 | 3π4 | 2π3 | π2 | π3 | π4 | π6 | 0 |
в градусах | 180° | 150° | 135° | 120° | 90° | 60° | 45° | 30° | 0° | |
arccos α как число | π | 5π6 | 3π4 | 2π3 | π2 | π3 | π4 | π6 | 0 |
Таким же образом, исходя из определения и стандартных таблиц, находятся значения арктангенса и арккотангенса, которые изображены в таблице арктангенсов и арккотангенсов ниже.
α | -3 | -1 | -33 | 0 | 33 | 1 | 3 | |
arctg aкак угол | в радианах | -π3 | -π4 | -π6 | 0 | π6 | π4 | π3 |
в градусах | -60° | -45° | -30° | 0° | 30° | 45° | 60° | |
arctg a как число | -π3 | -π4 | -π6 | 0 | π6 | π4 | π3 |
Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса
arcsin, arccos, arctg и arcctg
Для точного значения arcsin, arccos, arctg и arcctg числа а необходимо знать величину угла. Об этом сказано в предыдущем пункте. Однако, точное значении функции нам неизвестно. Если необходимо найти числовое приближенное значение аркфункций, применяют таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса.
Такая таблица позволяет выполнять довольно точные вычисления, так как значения даются с четырьмя знаками после запятой. Благодаря этому числа выходят точными до минуты. Значения arcsin, arccos, arctg и arcctg отрицательных и положительных чисел сводится к нахождению формул arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел вида arcsin(-α)=-arcsin α, arccos(-α)=π-arccos α, arctg(-α)=-arctg α, arcctg(-α)=π-arcctg α.
Рассмотрим решение нахождения значений arcsin, arccos, arctg и arcctg с помощью таблицы Брадиса.
Если нам необходимо найти значение арксинуса 0,2857, ищем значение, найдя таблицу синусов. Видим, что данному числу соответствует значение угла sin 16 градусов и 36 минут. Значит, арксинус числа 0,2857 – это искомый угол в 16 градусов и 36 минут. Рассмотрим на рисунке ниже.
Правее градусов имеются столбцы называемые поправки. При искомом арксинусе 0,2863 используется та самая поправка в 0,0006, так как ближайшим числом будет 0,2857. Значит, получим синус 16 градусов 38 минут и 2 минуты, благодаря поправке. Рассмотрим рисунок с изображением таблицы Брадиса.
Бывают ситуации, когда искомого числа нет в таблице и даже с поправками его не найти, тогда отыскивается два самых близких значения синусов. Если искомое число 0,2861573, то числа 0,2860 и 0,2863 являются ближайшими его значениями. Этим числам соответствуют значения синуса 16 градусов 37 минут и 16 градусов и 38 минут. Тогда приближенное значение данного числа можно определить с точностью до минуты.
Таким образом находятся значения arcsin, arccos, arctg и arcctg.
Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg
Чтобы найти арксинус через известный арккосинус данного числа, нужно применить тригонометрические формулы arcsin α+arccos α=π2, arctg α+arcctg α=π2 (не обходимо просмотреть тему формул суммы арккосинуса и арксинуса, суммы арктангенса и арккотангенса).
При известном arcsin α= -π12 необходимо найти значение arccos α, тогда необходимо вычислить арккосинус по формуле:
arccos α=π2−arcsin α=π2−(−π12)=7π12.
Если необходимо найти значение арктангенса или арккотангенса числа a с помощью известного арксинуса или арккосинуса, необходимо производить долгие вычисления, так как стандартных формул нет. Рассмотрим на примере.
Если дан арккосинус числа а равный π10, а вычислить арктангенс данного числа поможет таблица тангенсов. Угол π10 радиан представляет собой 18 градусов, тогда по таблице косинусов видим, что косинус 18 градусов имеет значение 0,9511, после чего заглядываем в таблицу Брадиса.
При поиске значения арктангенса 0,9511 определяем, что значение угла имеет 43 градуса и 34 минуты. Рассмотрим по таблице ниже.
Фактически, таблица Брадиса помогает в нахождении необходимого значения угла и при значении угла позволяет определить количество градусов.
Арктангенс(y = arctg(x)) – это обратная тригонометрическая функция к тангенсу x = tg(y). Область определения -∞ ≤ x ≤ +∞ и множество значений -π/2 ≤ y ≤ +π/2.
arctg(0) = 0° | arctg(-1.732050808) = 120° | arctg(1.732050808) = 240° |
arctg(0.01745506493) = 1° | arctg(-1.664279482) = 121° | arctg(1.804047755) = 241° |
arctg(0.03492076949) = 2° | arctg(-1.600334529) = 122° | arctg(1.880726465) = 242° |
arctg(0.05240777928) = 3° | arctg(-1.539864964) = 123° | arctg(1.962610506) = 243° |
arctg(0.06992681194) = 4° | arctg(-1.482560969) = 124° | arctg(2.050303842) = 244° |
arctg(0.08748866353) = 5° | arctg(-1.428148007) = 125° | arctg(2.144506921) = 245° |
arctg(0.1051042353) = 6° | arctg(-1.37638192) = 126° | arctg(2.246036774) = 246° |
arctg(0.1227845609) = 7° | arctg(-1.327044822) = 127° | arctg(2.355852366) = 247° |
arctg(0.1405408347) = 8° | arctg(-1.279941632) = 128° | arctg(2.475086853) = 248° |
arctg(0.1583844403) = 9° | arctg(-1.234897157) = 129° | arctg(2.605089065) = 249° |
arctg(0.1763269807) = 10° | arctg(-1.191753593) = 130° | arctg(2.747477419) = 250° |
arctg(0.1943803091) = 11° | arctg(-1.150368407) = 131° | arctg(2.904210878) = 251° |
arctg(0.2125565617) = 12° | arctg(-1.110612515) = 132° | arctg(3.077683537) = 252° |
arctg(0.2308681911) = 13° | arctg(-1.07236871) = 133° | arctg(3.270852618) = 253° |
arctg(0.2493280028) = 14° | arctg(-1.035530314) = 134° | arctg(3.487414444) = 254° |
arctg(0.2679491924) = 15° | arctg(-1) = 135° | arctg(3.732050808) = 255° |
arctg(0.2867453858) = 16° | arctg(-0.9656887748) = 136° | arctg(4.010780934) = 256° |
arctg(0.3057306815) = 17° | arctg(-0.9325150861) = 137° | arctg(4.331475874) = 257° |
arctg(0.3249196962) = 18° | arctg(-0.9004040443) = 138° | arctg(4.704630109) = 258° |
arctg(0.3443276133) = 19° | arctg(-0.8692867378) = 139° | arctg(5.144554016) = 259° |
arctg(0.3639702343) = 20° | arctg(-0.8390996312) = 140° | arctg(5.67128182) = 260° |
arctg(0.383864035) = 21° | arctg(-0.8097840332) = 141° | arctg(6.313751515) = 261° |
arctg(0.4040262258) = 22° | arctg(-0.7812856265) = 142° | arctg(7.115369722) = 262° |
arctg(0.4244748162) = 23° | arctg(-0.7535540501) = 143° | arctg(8.144346428) = 263° |
arctg(0.4452286853) = 24° | arctg(-0.726542528) = 144° | arctg(9.514364454) = 264° |
arctg(0.4663076582) = 25° | arctg(-0.7002075382) = 145° | arctg(11.4300523) = 265° |
arctg(0.4877325886) = 26° | arctg(-0.6745085168) = 146° | arctg(14.30066626) = 266° |
arctg(0.5095254495) = 27° | arctg(-0.6494075932) = 147° | arctg(19.08113669) = 267° |
arctg(0.5317094317) = 28° | arctg(-0.6248693519) = 148° | arctg(28.63625328) = 268° |
arctg(0.5543090515) = 29° | arctg(-0.600860619) = 149° | arctg(57.28996163) = 269° |
arctg(0.5773502692) = 30° | arctg(-0.5773502692) = 150° | arctg(∞) = 270° |
arctg(0.600860619) = 31° | arctg(-0.5543090515) = 151° | arctg(-57.28996163) = 271° |
arctg(0.6248693519) = 32° | arctg(-0.5317094317) = 152° | arctg(-28.63625328) = 272° |
arctg(0.6494075932) = 33° | arctg(-0.5095254495) = 153° | arctg(-19.08113669) = 273° |
arctg(0.6745085168) = 34° | arctg(-0.4877325886) = 154° | arctg(-14.30066626) = 274° |
arctg(0.7002075382) = 35° | arctg(-0.4663076582) = 155° | arctg(-11.4300523) = 275° |
arctg(0.726542528) = 36° | arctg(-0.4452286853) = 156° | arctg(-9.514364454) = 276° |
arctg(0.7535540501) = 37° | arctg(-0.4244748162) = 157° | arctg(-8.144346428) = 277° |
arctg(0.7812856265) = 38° | arctg(-0.4040262258) = 158° | arctg(-7.115369722) = 278° |
arctg(0.8097840332) = 39° | arctg(-0.383864035) = 159° | arctg(-6.313751515) = 279° |
arctg(0.8390996312) = 40° | arctg(-0.3639702343) = 160° | arctg(-5.67128182) = 280° |
arctg(0.8692867378) = 41° | arctg(-0.3443276133) = 161° | arctg(-5.144554016) = 281° |
arctg(0.9004040443) = 42° | arctg(-0.3249196962) = 162° | arctg(-4.704630109) = 282° |
arctg(0.9325150861) = 43° | arctg(-0.3057306815) = 163° | arctg(-4.331475874) = 283° |
arctg(0.9656887748) = 44° | arctg(-0.2867453858) = 164° | arctg(-4.010780934) = 284° |
arctg(1) = 45° | arctg(-0.2679491924) = 165° | arctg(-3.732050808) = 285° |
arctg(1.035530314) = 46° | arctg(-0.2493280028) = 166° | arctg(-3.487414444) = 286° |
arctg(1.07236871) = 47° | arctg(-0.2308681911) = 167° | arctg(-3.270852618) = 287° |
arctg(1.110612515) = 48° | arctg(-0.2125565617) = 168° | arctg(-3.077683537) = 288° |
arctg(1.150368407) = 49° | arctg(-0.1943803091) = 169° | arctg(-2.904210878) = 289° |
arctg(1.191753593) = 50° | arctg(-0.1763269807) = 170° | arctg(-2.747477419) = 290° |
arctg(1.234897157) = 51° | arctg(-0.1583844403) = 171° | arctg(-2.605089065) = 291° |
arctg(1.279941632) = 52° | arctg(-0.1405408347) = 172° | arctg(-2.475086853) = 292° |
arctg(1.327044822) = 53° | arctg(-0.1227845609) = 173° | arctg(-2.355852366) = 293° |
arctg(1.37638192) = 54° | arctg(-0.1051042353) = 174° | arctg(-2.246036774) = 294° |
arctg(1.428148007) = 55° | arctg(-0.08748866353) = 175° | arctg(-2.144506921) = 295° |
arctg(1.482560969) = 56° | arctg(-0.06992681194) = 176° | arctg(-2.050303842) = 296° |
arctg(1.539864964) = 57° | arctg(-0.05240777928) = 177° | arctg(-1.962610506) = 297° |
arctg(1.600334529) = 58° | arctg(-0.03492076949) = 178° | arctg(-1.880726465) = 298° |
arctg(1.664279482) = 59° | arctg(-0.01745506493) = 179° | arctg(-1.804047755) = 299° |
arctg(1.732050808) = 60° | arctg(0) = 180° | arctg(-1.732050808) = 300° |
arctg(1.804047755) = 61° | arctg(0.01745506493) = 181° | arctg(-1.664279482) = 301° |
arctg(1.880726465) = 62° | arctg(0.03492076949) = 182° | arctg(-1.600334529) = 302° |
arctg(1.962610506) = 63° | arctg(0.05240777928) = 183° | arctg(-1.539864964) = 303° |
arctg(2.050303842) = 64° | arctg(0.06992681194) = 184° | arctg(-1.482560969) = 304° |
arctg(2.144506921) = 65° | arctg(0.08748866353) = 185° | arctg(-1.428148007) = 305° |
arctg(2.246036774) = 66° | arctg(0.1051042353) = 186° | arctg(-1.37638192) = 306° |
arctg(2.355852366) = 67° | arctg(0.1227845609) = 187° | arctg(-1.327044822) = 307° |
arctg(2.475086853) = 68° | arctg(0.1405408347) = 188° | arctg(-1.279941632) = 308° |
arctg(2.605089065) = 69° | arctg(0.1583844403) = 189° | arctg(-1.234897157) = 309° |
arctg(2.747477419) = 70° | arctg(0.1763269807) = 190° | arctg(-1.191753593) = 310° |
arctg(2.904210878) = 71° | arctg(0.1943803091) = 191° | arctg(-1.150368407) = 311° |
arctg(3.077683537) = 72° | arctg(0.2125565617) = 192° | arctg(-1.110612515) = 312° |
arctg(3.270852618) = 73° | arctg(0.2308681911) = 193° | arctg(-1.07236871) = 313° |
arctg(3.487414444) = 74° | arctg(0.2493280028) = 194° | arctg(-1.035530314) = 314° |
arctg(3.732050808) = 75° | arctg(0.2679491924) = 195° | arctg(-1) = 315° |
arctg(4.010780934) = 76° | arctg(0.2867453858) = 196° | arctg(-0.9656887748) = 316° |
arctg(4.331475874) = 77° | arctg(0.3057306815) = 197° | arctg(-0.9325150861) = 317° |
arctg(4.704630109) = 78° | arctg(0.3249196962) = 198° | arctg(-0.9004040443) = 318° |
arctg(5.144554016) = 79° | arctg(0.3443276133) = 199° | arctg(-0.8692867378) = 319° |
arctg(5.67128182) = 80° | arctg(0.3639702343) = 200° | arctg(-0.8390996312) = 320° |
arctg(6.313751515) = 81° | arctg(0.383864035) = 201° | arctg(-0.8097840332) = 321° |
arctg(7.115369722) = 82° | arctg(0.4040262258) = 202° | arctg(-0.7812856265) = 322° |
arctg(8.144346428) = 83° | arctg(0.4244748162) = 203° | arctg(-0.7535540501) = 323° |
arctg(9.514364454) = 84° | arctg(0.4452286853) = 204° | arctg(-0.726542528) = 324° |
arctg(11.4300523) = 85° | arctg(0.4663076582) = 205° | arctg(-0.7002075382) = 325° |
arctg(14.30066626) = 86° | arctg(0.4877325886) = 206° | arctg(-0.6745085168) = 326° |
arctg(19.08113669) = 87° | arctg(0.5095254495) = 207° | arctg(-0.6494075932) = 327° |
arctg(28.63625328) = 88° | arctg(0.5317094317) = 208° | arctg(-0.6248693519) = 328° |
arctg(57.28996163) = 89° | arctg(0.5543090515) = 209° | arctg(-0.600860619) = 329° |
arctg(∞) = 90° | arctg(0.5773502692) = 210° | arctg(-0.5773502692) = 330° |
arctg(-57.28996163) = 91° | arctg(0.600860619) = 211° | arctg(-0.5543090515) = 331° |
arctg(-28.63625328) = 92° | arctg(0.6248693519) = 212° | arctg(-0.5317094317) = 332° |
arctg(-19.08113669) = 93° | arctg(0.6494075932) = 213° | arctg(-0.5095254495) = 333° |
arctg(-14.30066626) = 94° | arctg(0.6745085168) = 214° | arctg(-0.4877325886) = 334° |
arctg(-11.4300523) = 95° | arctg(0.7002075382) = 215° | arctg(-0.4663076582) = 335° |
arctg(-9.514364454) = 96° | arctg(0.726542528) = 216° | arctg(-0.4452286853) = 336° |
arctg(-8.144346428) = 97° | arctg(0.7535540501) = 217° | arctg(-0.4244748162) = 337° |
arctg(-7.115369722) = 98° | arctg(0.7812856265) = 218° | arctg(-0.4040262258) = 338° |
arctg(-6.313751515) = 99° | arctg(0.8097840332) = 219° | arctg(-0.383864035) = 339° |
arctg(-5.67128182) = 100° | arctg(0.8390996312) = 220° | arctg(-0.3639702343) = 340° |
arctg(-5.144554016) = 101° | arctg(0.8692867378) = 221° | arctg(-0.3443276133) = 341° |
arctg(-4.704630109) = 102° | arctg(0.9004040443) = 222° | arctg(-0.3249196962) = 342° |
arctg(-4.331475874) = 103° | arctg(0.9325150861) = 223° | arctg(-0.3057306815) = 343° |
arctg(-4.010780934) = 104° | arctg(0.9656887748) = 224° | arctg(-0.2867453858) = 344° |
arctg(-3.732050808) = 105° | arctg(1) = 225° | arctg(-0.2679491924) = 345° |
arctg(-3.487414444) = 106° | arctg(1.035530314) = 226° | arctg(-0.2493280028) = 346° |
arctg(-3.270852618) = 107° | arctg(1.07236871) = 227° | arctg(-0.2308681911) = 347° |
arctg(-3.077683537) = 108° | arctg(1.110612515) = 228° | arctg(-0.2125565617) = 348° |
arctg(-2.904210878) = 109° | arctg(1.150368407) = 229° | arctg(-0.1943803091) = 349° |
arctg(-2.747477419) = 110° | arctg(1.191753593) = 230° | arctg(-0.1763269807) = 350° |
arctg(-2.605089065) = 111° | arctg(1.234897157) = 231° | arctg(-0.1583844403) = 351° |
arctg(-2.475086853) = 112° | arctg(1.279941632) = 232° | arctg(-0.1405408347) = 352° |
arctg(-2.355852366) = 113° | arctg(1.327044822) = 233° | arctg(-0.1227845609) = 353° |
arctg(-2.246036774) = 114° | arctg(1.37638192) = 234° | arctg(-0.1051042353) = 354° |
arctg(-2.144506921) = 115° | arctg(1.428148007) = 235° | arctg(-0.08748866353) = 355° |
arctg(-2.050303842) = 116° | arctg(1.482560969) = 236° | arctg(-0.06992681194) = 356° |
arctg(-1.962610506) = 117° | arctg(1.539864964) = 237° | arctg(-0.05240777928) = 357° |
arctg(-1.880726465) = 118° | arctg(1.600334529) = 238° | arctg(-0.03492076949) = 358° |
arctg(-1.804047755) = 119° | arctg(1.664279482) = 239° | arctg(-0.01745506493) = 359° |
Арктангенс — обратная тригонометрическая функция. Общепринятое обозначение арктангенса — arctg x. При этом довольно часто, особенно в зарубежной литературе можно встретить иное обозначение — arctan x.
Арктангенс калькулятор
Калькулятор арктангенса
Как пользоваться калькулятором арктангенса
Введите значение тангенса угла и нажмите кнопку посчитать. В результате вы получите значение арктангенса выраженное в градусах и радианах.
Что такое арктангенс
Арктангенс числа x — это значение угла в радианах, для которого справедливо равенство tg a = m.
К примеру, что такое arctg 1? Это угол в радианах, тангенс которого равен 1.
Ваша оценка
[Оценок: 9097 Средняя: 3.8]
Арктангенс Автор admin средний рейтинг 3.8/5 – 9097 рейтинги пользователей
- Определение
- График арктангенса
- Свойства арктангенса
- Таблица арктангенсов
Определение
Арктангенс (arctg или arctan) – это обратная тригонометрическая функция.
Арктангенс x определяется как функция, обратная к тангенсу x, где x – любое число (x∈ℝ).
Если тангенс угла у равен х (tg y = x), значит арктангенс x равняется y:
arctg x = tg-1 x = y, причем -π/2<y<π/2
Примечание: tg-1x означает обратный тангенс, а не тангенс в степени -1.
Например:
arctg 1 = tg-1 1 = 45° = π/4 рад
График арктангенса
Функция арктангенса пишется как y = arctg (x). График в общем виде выглядит следующим образом:
Свойства арктангенса
Ниже в табличном виде представлены основные свойства арктангенса с формулами.
Таблица арктангенсов
arctg x (°) | arctg x (рад) | x |
-90° | -π/2 | -∞ |
-71.565° | -1.2490 | -3 |
-63.435° | -1.1071 | -2 |
-60° | -π/3 | -√3 |
-45° | -π/4 | -1 |
-30° | -π/6 | -1/√3 |
-26.565° | -0.4636 | -0.5 |
0° | 0 | 0 |
26.565° | 0.4636 | 0.5 |
30° | π/6 | 1/√3 |
45° | π/4 | 1 |
60° | π/3 | √3 |
63.435° | 1.1071 | 2 |
71.565° | 1.2490 | 3 |
90° | π/2 | ∞ |
microexcel.ru
Чтобы воспользоваться калькулятором арктангенса (arctan), введите число и нажмите Рассчитать. Ответ будет возвращен в радианах и градусах.
.
Поделиться расчетом:
Число:
Радианы:
Градусы:
Рассчитать
Арктангенс — это функция, обратная к тангенсу ( x = tg y ).