Как найти аргумент мнимого числа

Как найти аргумент мнимого числа

Уважаемые студенты!
Срочно заказать решение своих задач можно здесь всего за 10 минут.

Модуль и аргумент комплексного числа

Пусть задано комплексное число $ z = a+bi $.

Формула
Модуль комплексного числа равен корню квадратному из суммы квадратов мнимой и действительной части и находится по формуле: $$ |z| = sqrt{a^2 + b^2} $$

Если комплексное число состоит только из действительной части $ z = a $, то его модуль равен $ |z| = |a| $.

Стоит заметить, что модуль комплексных чисел всегда неотрицательный $ |z| ge 0 $ и равен нулю $ |z| = 0 $, только в случае $ z = 0 $.

Формула
Аргумент комплексного числа обозначается $ varphi = arg z $ и зависит от полуплоскости, в которой лежат числа $a,b$:

  1. $ a > 0 $, тогда $ varphi = arctg frac{b}{a} $
  2. $ a < 0, b ge 0 $, тогда $ varphi = pi + arctg frac{b}{a} $
  3. $ a < 0, b < 0 $, тогда $ varphi = -pi + arctg frac{b}{a} $
  4. $ a = 0, b > 0 $, тогда $varphi = frac{pi}{2}$
  5. $ a = 0, b < 0 $, тогда $varphi = -frac{pi}{2}$ 

Введите комплексное число

Пример 1 Пример 2 Правила ввода

Пример 1
Найти модуль и аргумент комплексного числа $ z = 3 – 4i $.
Решение

Комплексное число состоит из действительной и мнимой части:

$$ a = Re z = 3 $$ $$ b = Im z = -4 $$

Применяя формулу вычисления модуля получаем:

$$ |z| = sqrt{a^2 + b^2} = sqrt{3^2 + (-4)^2} = sqrt{9+16} = 5 $$

Теперь вычисляем аргумент. Так как $a = 3 > 0$, то получаем аргумент:

$$varphi = arctg frac{b}{a} = arctg frac{-4}{3} = -arctg frac{4}{3}.$$
Ответ
$$ |z| = 5, varphi = -arctg frac{4}{3} $$
Пример 2
Найти модуль и аргумент комплексного числа $ z = 3i $
Решение

В данном случае отсутствует действительная часть, а вернее она равна нулю:

$$ a = Re z = 0 $$

Мнимая часть комплексного числа равна: $$ b = Im z = 3 $$

Вычисляем модуль по уже известной формуле:

$$ |z| = sqrt{a^2 + b^2} = sqrt{0^2 + 3^2} = sqrt{9} = 3 $$

А вот аргумент здесь попадает под правило при $a = 0, b>0$ и значит равен $$varphi = frac{pi}{2}.$$
Ответ
$$ |z| = 3, varphi = frac{pi}{2} $$
Пример 3
Найти модуль и аргумент комплексного числа $$ z = 1+sqrt{3}i $$
Решение

Выписываем действительную и мнимую часть:

$$ a = 1 $$ $$ b = sqrt{3} $$

Так как $ a > 0 $, то аргумент равен

$$ varphi = arctg frac{sqrt{3}}{1} = arctg sqrt{3} = frac{pi}{3} $$

Находим модуль извлекая квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой части: $$|z| = sqrt{1^2 + (sqrt{3})^2} = sqrt{1+3}=2.$$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$ varphi = frac{pi}{3}, |z| = 2 $$
Пример 4
Найти аргумент комплексного числа $$ z = -1 + sqrt{3}i $$
Решение

Действительная часть $$ a = Re z = -1 $$

Мнимая часть $$ b = Im z = sqrt{3} $$

Так как $ a < 0 $ и $ b > 0 $, то пользуемся второй формулой:

$$ varphi = arg z = pi + arctg frac{sqrt{3}}{-1} = pi + arctg (-sqrt{3}) = $$

$$ = pi – arctg(sqrt{3}) = pi – frac{pi}{3} = frac{2pi}{3}. $$
Ответ
$$ varphi = frac{2pi}{3} $$
Источник
Автор статьи

Щебетун Виктор

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Определение 1

Длина радиус-вектора, который изображает заданное комплексное число $z=a+bi$, называется модулем данного комплексного числа.

Модуль заданного комплексного числа вычисляется по следующей формуле:

[r=|z|=|a+bi|=sqrt{a^{2} +b^{2} } .]

Пример 1

Вычислить модуль заданных комплексных чисел $z_{1} =13,, , z_{2} =4i,, , , z_{3} =4+3i$.

Решение:

Модуль комплексного числа $z=a+bi$ вычислим по формуле: $r=sqrt{a^{2} +b^{2} } $.

Для исходного комплексного числа $z_{1} =13$ получим $r_{1} =|z_{1} |=|13+0i|=sqrt{13^{2} +0^{2} } =sqrt{169} =13$

Для исходного комплексного числа $, z_{2} =4i$ получим $r_{2} =|z_{2} |=|0+4i|=sqrt{0^{2} +4^{2} } =sqrt{16} =4$

Для исходного комплексного числа $, z_{3} =4+3i$ получим $r_{3} =|z_{3} |=|4+3i|=sqrt{4^{2} +3^{2} } =sqrt{16+9} =sqrt{25} =5$

Определение 2

Угол $varphi $, образованный положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором $overrightarrow{OM} $, который соответствует заданному комплексному числу $z=a+bi$, называется аргументом данного числа и обозначается $arg z$.

Примечание 1

Модуль и аргумент заданного комплексного числа в явном виде используются при представлении комплексного числа в тригонометрической или показательной форме:

  • $z=rcdot (cos varphi +isin varphi )$ – тригонометрическая форма;
  • $z=rcdot e^{ivarphi } $ – показательная форма.

Пример 2

Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах, заданное следующими данными: 1) $r=3;varphi =pi $; 2) $r=13;varphi =frac{3pi }{4} $.

«Модуль и аргумент комплексного числа» 👇

Решение:

1) Подставим данные $r=3;varphi =pi $ в соответствующие формулы и получим:

$z=3cdot (cos pi +isin pi )$ – тригонометрическая форма

$z=3cdot e^{ipi } $ – показательная форма.

2) Подставим данные $r=13;varphi =frac{3pi }{4} $ в соответствующие формулы и получим:

$z=13cdot (cos frac{3pi }{4} +isin frac{3pi }{4} )$ – тригонометрическая форма

$z=13cdot e^{ifrac{3pi }{4} } $ – показательная форма.

Пример 3

Определить модуль и аргумент заданных комплексных чисел:

1) $z=sqrt{2} cdot (cos 2pi +isin 2pi )$; 2) $z=frac{5}{3} cdot (cos frac{2pi }{3} +isin frac{2pi }{3} )$; 3) $z=sqrt{13} cdot e^{ifrac{3pi }{4} } $; 4) $z=13cdot e^{ipi } $.

Решение:

Модуль и аргумент найдем, используя формулы записи заданного комплексного числа в тригонометрической и показательной формах соответственно

[z=rcdot (cos varphi +isin varphi );] [z=rcdot e^{ivarphi } .]

1) Для исходного комплексного числа $z=sqrt{2} cdot (cos 2pi +isin 2pi )$ получим $r=sqrt{2} ;varphi =2pi $.

2) Для исходного комплексного числа $z=frac{5}{3} cdot (cos frac{2pi }{3} +isin frac{2pi }{3} )$ получим $r=frac{5}{3} ;varphi =frac{2pi }{3} $.

3) Для исходного комплексного числа $z=sqrt{13} cdot e^{ifrac{3pi }{4} } $ получим $r=sqrt{13} ;varphi =frac{3pi }{4} $.

4) Для исходного комплексного числа $z=13cdot e^{ipi } $ получим $r=13;varphi =pi $.

Аргумент $varphi $ заданного комплексного числа $z=a+bi$ можно вычислить, используя следующие формулы:

[varphi =tgfrac{b}{a} ;cos varphi =frac{a}{sqrt{a^{2} +b^{2} } } ;sin varphi =frac{b}{sqrt{a^{2} +b^{2} } } .]

На практике для вычисления значения аргумента заданного комплексного числа $z=a+bi$ обычно пользуются формулой:

$varphi =arg z=left{begin{array}{c} {arctgfrac{b}{a} ,age 0} \ {arctgfrac{b}{a} +pi ,a

или решают систему уравнений

$left{begin{array}{c} {cos varphi =frac{a}{sqrt{a^{2} +b^{2} } } } \ {sin varphi =frac{b}{sqrt{a^{2} +b^{2} } } } end{array}right. $. (**)

Пример 4

Вычислить аргумент заданных комплексных чисел: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

Решение:

1) $z=3$

Так как $z=3$, то $a=3,b=0$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

[varphi =arg z=arctgfrac{0}{3} =arctg0=0.]

2) $z=4i$

Так как $z=4i$, то $a=0,b=4$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

[varphi =arg z=arctgfrac{4}{0} =arctg(infty )=frac{pi }{2} .]

3) $z=1+i$.

Так как $z=1+i$, то $a=1,b=1$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, решая систему (**):

[left{begin{array}{c} {cos varphi =frac{1}{sqrt{1^{2} +1^{2} } } =frac{1}{sqrt{2} } =frac{sqrt{2} }{2} } \ {sin varphi =frac{1}{sqrt{1^{2} +1^{2} } } =frac{1}{sqrt{2} } =frac{sqrt{2} }{2} } end{array}right. .]

Из курса тригонометрии известно, что $cos varphi =sin varphi =frac{sqrt{2} }{2} $ для угла, соответствующего первой координатной четверти и равного $varphi =frac{pi }{4} $.

4) $z=-5$

Так как $z=-5$, то $a=-5,b=0$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

[varphi =arg z=arctgfrac{0}{-5} +pi =arctg0+pi =0+pi =pi .]

5) $z=-2i$

Так как $z=-2i$, то $a=0,b=-2$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

[varphi =arg z=arctgfrac{-2}{0} =arctg(-infty )=frac{3pi }{2} .]

Примечание 3

Аргумент чисто мнимых чисел равен соответственно:

  • $frac{pi }{2} $ с положительной мнимой частью;
  • $frac{3pi }{2} $ с отрицательной мнимой частью.

Решение:

Число $z_{1} $ изображено точкой $(3;0)$, следовательно, длина радиус-вектора равна 3, т.е. $r=3$, а аргумент $varphi =0$ по примечанию 2.

Число $z_{2} $ изображено точкой $(-2;0)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 2, т.е. $r=2$, а аргумент $varphi =pi $ по примечанию 2.

Число $z_{3} $ изображено точкой $(0;1)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 1, т.е. $r=1$, а аргумент $varphi =frac{pi }{2} $ по примечанию 3.

Число $z_{4} $ изображено точкой $(0;-1)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 1, т.е. $r=1$, а аргумент $varphi =frac{3pi }{2} $ по примечанию 3.

Число $z_{5} $ изображено точкой $(2;2)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна $sqrt{2^{2} +2^{2} } =sqrt{4+4} =sqrt{8} =2sqrt{2} $, т.е. $r=2sqrt{2} $, а аргумент $varphi =frac{pi }{4} $ по свойству прямоугольного треугольника.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Запросы «Re», «Im» и «Мнимая величина» перенаправляются сюда; см. также другие значения терминов Re, Im и Мнимая величина.

Ко́мпле́ксные чи́сла (от лат. complexus — связь, сочетание[1]; о двойном ударении см. примечание[K 1]) — числа вида {displaystyle a+bi,} где a,b — вещественные числа, i — мнимая единица[2], то есть число, для которого выполняется равенство: {displaystyle i^{2}=-1.} Множество комплексных чисел обычно обозначается символом {displaystyle mathbb {C} .} Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид {displaystyle a+0i.} Главное свойство mathbb {C}  — в нём выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен n-й степени (ngeqslant 1) имеет n корней. Доказано[⇨], что система комплексных чисел логически непротиворечива[K 2].

Так же как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания[⇨], умножения[⇨] и деления[⇨]. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел; например, нельзя указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше[⇨]. Удобно представлять комплексные числа a+bi точками на комплексной плоскости[⇨]; например, для изображения сопряжённых чисел используется операция отражения относительно горизонтальной оси[⇨]. Альтернативное представление комплексного числа в тригонометрической записи оказалось полезным для вычисления степеней и корней[⇨]. Функции комплексного аргумента изучаются в комплексном анализе[⇨].

Первоначально идея о необходимости использования комплексных чисел возникла в результате формального решения кубических уравнений, при котором в формуле Кардано под знаком квадратного корня получалось отрицательное число[3]. Большой вклад в исследование комплексных чисел внесли такие математики как Эйлер, который ввёл общепризнанное обозначение i для мнимой единицы, Декарт, Гаусс[⇨]. Сам термин «комплексное число» ввёл в науку Гаусс в 1831 году[4].

Уникальные свойства комплексных чисел и функций нашли широкое применение для решения многих практических задач в различных областях математики, физики и техники: в обработке сигналов, теории управления, электромагнетизме, теории колебаний, теории упругости и многих других[5][⇨]. Преобразования комплексной плоскости оказались полезны в картографии и гидродинамике. Современная физика полагается на описание мира с помощью квантовой механики, которая опирается на систему комплексных чисел.

Известно также несколько обобщений комплексных чисел — например, кватернионы[⇨].

Комплексная арифметика[править | править код]

Связанные определения[править | править код]

Всякое комплексное число z=a+bi состоит из двух компонентов[6]:

Противоположным для комплексного числа z=a+bi является число {displaystyle -z=-a-bi.} Например, для числа {displaystyle 1-2i} противоположным будет число {displaystyle -1+2i.}

В отличие от вещественных, комплексные числа нельзя сравнивать на больше/меньше; доказано, что нет способа распространить порядок, заданный для вещественных чисел, на все комплексные так, чтобы порядок был согласован с арифметическими операциями (чтобы из a<b вытекало {displaystyle a+c<b+c}, а из {displaystyle 0<a} и {displaystyle 0<b} вытекало {displaystyle 0<ab}). Однако, комплексные числа можно сравнивать на равно/не равно[6]:

Четыре арифметические операции для комплексных чисел (определённые ниже) имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами.

Сложение и вычитание[править | править код]

Определение сложения и вычитания комплексных чисел[6]:

{displaystyle left(a+biright)+left(c+diright)=left(a+cright)+left(b+dright)i,}
{displaystyle left(a+biright)-left(c+diright)=left(a-cright)+left(b-dright)i.}

Следующая таблица[6] показывает основные свойства сложения для любых комплексных {displaystyle u,v,w.}

Свойство Алгебраическая запись
Коммутативность (переместительность) {displaystyle u+v=v+u}
Ассоциативность (сочетательность) {displaystyle u+left(v+wright)=left(u+vright)+w}
Свойство нуля {displaystyle u+0=u}
Свойство противоположного элемента {displaystyle u+left(-uright)=0}
Выполнение вычитания через сложение {displaystyle u-v=u+left(-vright)}

Умножение[править | править код]

Определение произведения[6] комплексных чисел a+bi и {displaystyle c+dicolon }

{displaystyle left(a+biright)cdot left(c+diright)=ac+bci+adi+bdi^{2}=left(ac+bdi^{2}right)+left(bc+adright)i=left(ac-bdright)+left(bc+adright)i.}

Следующая таблица[6] показывает основные свойства умножения для любых комплексных {displaystyle u,v,w.}

Свойство Алгебраическая запись
Коммутативность (переместительность) {displaystyle ucdot v=vcdot u}
Ассоциативность (сочетательность) {displaystyle ucdot left(vcdot wright)=left(ucdot vright)cdot w}
Свойство единицы {displaystyle ucdot 1=u}
Свойство нуля {displaystyle ucdot 0=0}
Дистрибутивность (распределительность) умножения относительно сложения {displaystyle ucdot left(v+wright)=ucdot v+ucdot w}

Правила для степеней мнимой единицы:

{displaystyle i^{2}=-1;;i^{3}=-i;;i^{4}=1;;i^{5}=i} и т. д.

То есть для любого целого числа n верна формула {displaystyle i^{n}=i^{n{bmod {4}}}}, где выражение {displaystyle n{bmod {4}}} означает получение остатка от деления n на 4.

После определения операций с комплексными числами выражение a+bi можно воспринимать не как формальную запись, а как выражение, составленное по приведённым выше правилам сложения и умножения. Чтобы это показать, раскроем все входящие в него переменные, следуя вышеприведённым соглашениям и определению сложения и умножения:

{displaystyle left(a+0iright)+left(b+0iright)cdot left(0+1iright)=left(a+0iright)+left(0+biright)=a+bi.}

Деление[править | править код]

Комплексное число {bar z}=x-iy называется сопряжённым к комплексному числу z=x+iy (подробнее ниже).

Для каждого комплексного числа {displaystyle a+bi,} кроме нуля, можно найти обратное к нему[10] комплексное число {displaystyle {frac {1}{a+bi}}.} Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число {displaystyle a-bi,} комплексно сопряжённое знаменателю

{displaystyle {frac {1}{a+bi}}={frac {a-bi}{left(a+biright)left(a-biright)}}={frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i.}

Определим результат деления[6] комплексного числа a+bi на ненулевое число {displaystyle c+dicolon }

{displaystyle {frac {a+bi}{c+di}}={frac {left(a+biright)left(c-diright)}{left(c+diright)left(c-diright)}}={frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}i.}

Как и для вещественных чисел, деление можно заменить умножением делимого на число, обратное к делителю.

Другие операции[править | править код]

Для комплексных чисел определены также извлечение корня, возведение в степень и логарифмирование.

Основные отличия комплексных чисел от вещественных[править | править код]

Уже упоминалось, что комплексные числа нельзя сравнивать на больше-меньше (иными словами, на множестве комплексных чисел не задано отношение порядка). Другое отличие: любой многочлен степени n>0 с комплексными (в частности, вещественными) коэффициентами имеет, с учётом кратности, ровно n комплексных корней (основная теорема алгебры)[11].

В системе вещественных чисел из отрицательного числа нельзя извлечь корень чётной степени. Для комплексных чисел возможно извлечение корня из любого числа любой степени, однако результат неоднозначен — комплексный корень n-й степени из ненулевого числа имеет n различных комплексных значений[12]. См., например, корни из единицы.

Дополнительные отличия имеют функции комплексного переменного[⇨].

Замечания[править | править код]

Число i не является единственным числом, квадрат которого равен -1. Число -i также обладает этим свойством.

Выражение {sqrt {-1}}, ранее часто использовавшееся вместо i, в современных учебниках считается некорректным, и под знаком радикала стали допускаться только неотрицательные выражения (см. «Арифметический корень»). Во избежание ошибок, выражение с квадратными корнями из отрицательных величин в настоящее время принято записывать как {displaystyle 5+i{sqrt {3}},} а не {displaystyle 5+{sqrt {-3}},} несмотря на то, что даже в XIX веке второй вариант записи считался допустимым[13][14].

Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

{displaystyle {sqrt {-3}}cdot {sqrt {-3}}={sqrt {left(-3right)cdot left(-3right)}}={sqrt {left(-3right)^{2}}}={sqrt {9}}=3.}

Эта ошибка связана с тем, что квадратный корень из -3 определён неоднозначно (см. ниже #Формула Муавра и извлечение корней). При использовании современной записи такой ошибки не возникло бы[14]:

{displaystyle left(i{sqrt {3}}right)cdot left(i{sqrt {3}}right)=left(icdot {sqrt {3}}right)^{2}=i^{2}cdot left({sqrt {3}}right)^{2}=-3.}

Геометрическое представление[править | править код]

Комплексная плоскость[править | править код]

Геометрическое представление комплексного числа

Комплексные числа можно представить на плоскости с прямоугольной системой координат: числу z=x+iy соответствует точка плоскости с координатами {displaystyle left{x,yright}} (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней расположены на горизонтальной оси, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями[15].

Модуль r и аргумент varphi комплексного числа

Бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат (см. рисунок справа), в которой координатами точки являются расстояние r до начала координат (модуль[⇨]) и угол varphi радиус-вектора точки с горизонтальной осью (аргумент[⇨]).

В этом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов, а вычитанию чисел соответствует вычитание радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются (последнее несложно вывести из формулы Эйлера или из тригонометрических формул суммы). Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него соответствует повороту радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа[16]. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза»[17].

Пример: умножение на i поворачивает радиус-вектор числа на прямой угол в положительном направлении, а после умножения на -i радиус-вектор поворачивается на прямой угол в отрицательном направлении.

Модуль[править | править код]

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же самое, расстояние от точки комплексной плоскости до начала координат). Модуль комплексного числа z=x+iy обозначается {displaystyle left|zright|} (иногда r или rho ) и определяется выражением[16]

{displaystyle left|zright|={sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}

Если z является вещественным числом, то {displaystyle left|zright|} совпадает с абсолютной величиной этого числа в вещественном понимании термина.

Для любых комплексных {displaystyle z,z_{1},z_{2}} имеют место следующие свойства модуля[16][18]:

1) {displaystyle left|zright|geqslant 0}, причём {displaystyle left|zright|=0} только при {displaystyle z=0;}
2) {displaystyle left|z_{1}+z_{2}right|leqslant left|z_{1}right|+left|z_{2}right|} (неравенство треугольника);
3) {displaystyle left|z_{1}cdot z_{2}right|=left|z_{1}right|cdot left|z_{2}right|;}
4) {displaystyle left|{frac {z_{1}}{z_{2}}}right|={frac {left|z_{1}right|}{left|z_{2}right|}};}
5) для пары комплексных чисел z_{1} и z_{2} модуль их разности {displaystyle left|z_{1}-z_{2}right|} равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости;
6) модуль числа z связан с вещественной и мнимой частями этого числа соотношениями:

{displaystyle -left|zright|leqslant operatorname {Re} (z)leqslant left|zright|;quad -left|zright|leqslant operatorname {Im} (z)leqslant left|zright|;quad left|zright|leqslant left|operatorname {Re} left(zright)right|+left|operatorname {Im} left(zright)right|.}

Аргумент[править | править код]

Аргументом ненулевого комплексного числа называется угол varphi между радиус-вектором соответствующей точки и положительной вещественной полуосью. Аргумент числа z измеряется в радианах и обозначается {displaystyle operatorname {Arg} left(zright)}. Из этого определения следует, что[16]

{displaystyle operatorname {tg} varphi ={frac {y}{x}};quad cos varphi ={frac {x}{left|zright|}};quad sin varphi ={frac {y}{left|zright|}}.}

Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа z аргумент определяется с точностью до {displaystyle 2pi k}, где k — любое целое число. Главным значением аргумента называется такое значение varphi , что {displaystyle -pi <varphi leqslant pi .} Главное значение может обозначаться {displaystyle operatorname {arg} left(zright)}[19].

Некоторые свойства аргумента[18]:

1) аргумент обратного числа отличается знаком от аргумента исходного:

{displaystyle operatorname {Arg} left({frac {1}{z}}right)=-operatorname {Arg} left(zright);}
2) аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей:

{displaystyle operatorname {Arg} (z_{1}z_{2})=operatorname {Arg} (z_{1})+operatorname {Arg} (z_{2});}
3) аргумент частного от деления равен разности аргументов делимого и делителя:

{displaystyle operatorname {Arg} {frac {z_{1}}{z_{2}}}=operatorname {Arg} (z_{1})-operatorname {Arg} (z_{2}).}

Сопряжённые числа[править | править код]

Геометрическое представление сопряжённых чисел

Если комплексное число z равно {displaystyle x+iy,} то число {bar z}=x-iy называется сопряжённым (или комплексно-сопряжённым) к z (обозначается также z^{*}). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются друг из друга зеркальным отражением относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как исходного, а их аргументы различаются знаком[20]:

  • {displaystyle left|{bar {z}}right|=left|zright|;quad operatorname {Arg} ({bar {z}})=-operatorname {Arg} (z).}

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию, которая сохраняет все арифметические и алгебраические свойства. Эта операция имеет следующие свойства[20]:

Произведение комплексно-сопряжённых чисел — неотрицательное вещественное число, равное нулю только для нулевого z[18]:

  • {displaystyle zcdot {bar {z}}=left|zright|^{2}=x^{2}+y^{2}.}

Сумма комплексно-сопряжённых чисел — вещественное число[18]:

  • {displaystyle z+{bar {z}}=2operatorname {Re} left(zright)=2x.}

Другие соотношения[18]:

  • {displaystyle operatorname {Re} ,z={frac {z+{bar {z}}}{2}};quad operatorname {Im} ,z={frac {z-{bar {z}}}{2i}}.}
  • {displaystyle {overline {z_{1}+z_{2}}}={bar {z}}_{1}+{bar {z}}_{2};}
  • {displaystyle {overline {z_{1}-z_{2}}}={bar {z}}_{1}-{bar {z}}_{2};}
  • {displaystyle {overline {z_{1}cdot z_{2}}}={bar {z}}_{1}cdot {bar {z}}_{2};}
  • {displaystyle {overline {z_{1}/z_{2}}}={bar {z}}_{1}/{bar {z}}_{2};}

Или, в общем виде: {displaystyle {overline {pleft(zright)}}=pleft({bar {z}}right),} где {displaystyle pleft(zright)} — произвольный многочлен с вещественными коэффициентами. В частности, если комплексное число z является корнем многочлена с вещественными коэффициентами, то сопряжённое число overline{z} тоже является его корнем. Из этого следует, что существенно комплексные корни такого многочлена (то есть корни, не являющиеся вещественными) разбиваются на комплексно-сопряжённые пары[18].

Пример[править | править код]

Тот факт, что произведение {displaystyle z{bar {z}}} есть вещественное число, можно использовать, чтобы выразить комплексную дробь в канонической форме, то есть избавиться от мнимости в знаменателе. Для этого надо умножить числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю выражение[21], например:

{displaystyle {frac {2+5i}{3-4i}}={frac {(2+5i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}}={frac {-14+23i}{25}}=-{frac {14}{25}}+{frac {23}{25}}i.}

Формы представления комплексного числа[править | править код]

Алгебраическая форма[править | править код]

Выше использовалась запись комплексного числа z в виде {displaystyle x+iy;} такая запись называется алгебраической формой комплексного числа. Две другие основные формы записи связаны с представлением комплексного числа в полярной системе координат.

Тригонометрическая форма[править | править код]

Тригонометрическое представление

Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль {displaystyle r=left|zright|} и аргумент varphi (то есть x=rcos varphi , y=rsin varphi ), то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме[16]:

{displaystyle z=rleft(cos varphi +isin varphi right)}

Как уже сказано выше, для нуля аргумент varphi не определён; для ненулевого числа varphi определяется с точностью до целого кратного 2pi .

Показательная форма[править | править код]

Фундаментальное значение в комплексном анализе имеет формула Эйлера[21]:

{displaystyle e^{ivarphi }=cos varphi +isin varphi ,}

где e — число Эйлера, cos, sin — косинус и синус, e^{{ivarphi }} — комплексная экспонента, продолжающая вещественную на случай общего комплексного показателя степени.

Применяя эту формулу к тригонометрической форме, получим показательную форму комплексного числа[21]:

{displaystyle z=re^{ivarphi }.}

Следствия

(1) Модуль выражения {displaystyle e^{ivarphi },} где число varphi вещественно, равен 1.
(2) {displaystyle cos varphi ={frac {e^{ivarphi }+e^{-ivarphi }}{2}};quad sin varphi ={frac {e^{ivarphi }-e^{-ivarphi }}{2i}}} — при существенно комплексном аргументе varphi эти равенства могут служить определением (комплексного) косинуса и синуса.

Пример[22]. Представим в тригонометрической и показательной форме число {displaystyle z=-1-{sqrt {3}}icolon }

{displaystyle |z|={sqrt {(-1)^{2}+(-{sqrt {3}})^{2}}}={sqrt {1+3}}=2;}
{displaystyle varphi =-pi +operatorname {arctg} {Bigl (}{frac {-{sqrt {3}}}{-1}}{Bigr )}=-pi +operatorname {arctg} ({sqrt {3}})=-{frac {2pi }{3}}} (поскольку z находится в III координатной четверти).

Отсюда:

{displaystyle z=2left(cos {frac {-2pi }{3}}+isin {frac {-2pi }{3}}right)=2e^{i{frac {-2pi }{3}}}.}

Формула Муавра и извлечение корней[править | править код]

Эта формула помогает возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид[12]:

{displaystyle z^{n}=left[rleft(cos varphi +isin varphi right)right]^{n}=r^{n}left(cos nvarphi +isin nvarphi right),}

где r — модуль, а varphi  — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведённая формула справедлива при любом целом n, не обязательно положительном.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-й степени из ненулевого комплексного числа[21]:

{displaystyle {begin{alignedat}{2}z^{1/n}&=left[rleft(cos left(varphi +2pi kright)+isin left(varphi +2pi kright)right)right]^{1/n}=\&={sqrt[{n}]{r}}left(cos {frac {varphi +2pi k}{n}}+isin {frac {varphi +2pi k}{n}}right),\end{alignedat}}}

где k принимает все целые значения от k=0 до {displaystyle k=n-1}. Это значит, что корни n-й степени из ненулевого комплексного числа существуют для любого натурального n, и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса {sqrt[ {n}]{r}} с центром в начале координат (см. рисунок).

Главное значение корня[править | править код]

Если в формуле Муавра в качестве аргумента varphi выбрано его главное значение, то значение корня при k=0 называется главным значением корня[23]. Например, главное значение числа {displaystyle {sqrt[{3}]{2+11i}}} равно {displaystyle 2+i.}

Квадратный корень[править | править код]

Для извлечения квадратного корня из комплексного числа можно преобразовать это число в тригонометрическую форму и воспользоваться формулой Муавра для {displaystyle n=2.} Но существует и чисто алгебраическое представление для двух значений корня. При bneq 0 корнями из числа a+bi является пара чисел: {displaystyle pm (c+di),} где[24]:

{displaystyle c={sqrt {frac {a+{sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}},}
{displaystyle d=operatorname {sgn}(b){sqrt {frac {-a+{sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}.}

Здесь operatorname{sgn}  — функция «знак», а радикалы обозначают обычный арифметический корень из неотрицательного вещественного числа. Формула легко проверяется возведением {displaystyle c+di} в квадрат. Число {displaystyle c+di} является главным значением квадратного корня.

Пример: для квадратного корня из {displaystyle 3+4i} формулы дают два значения: {displaystyle 2+i;;-2-i.}

История[править | править код]

Впервые, по-видимому, мнимые величины были упомянуты в труде Кардано «Великое искусство, или об алгебраических правилах» (1545), в рамках формального решения задачи по вычислению двух чисел, сумма которых равна 10, а произведение равно 40. Он получил для этой задачи квадратное уравнение, корни которого: 5+{sqrt {-15}} и {displaystyle 5-{sqrt {-15}}.} В комментарии к решению он написал: «эти сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма хитроумны», и «арифметические соображения становятся всё более неуловимыми, достигая предела столь же утончённого, сколь и бесполезного»[25].

Возможность использования мнимых величин при решении кубического уравнения впервые описал Бомбелли (1572), он же дал правила сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел. Уравнение x^{3}=15x+4 имеет вещественный корень {displaystyle x=4,} однако по формулам Кардано получаем: {displaystyle x={sqrt[{3}]{2+11i}}+{sqrt[{3}]{2-11i}}.} Бомбелли обнаружил, что {displaystyle {sqrt[{3}]{2pm 11i}}=2pm i,} так что сумма этих величин даёт нужный вещественный корень. Он отметил, что в подобных (неприводимых) случаях комплексные корни уравнения всегда сопряжены, поэтому в сумме и получается вещественное значение. Разъяснения Бомбелли положили начало успешному применению в математике комплексных чисел[26][25].

Выражения, представимые в виде {displaystyle a+b{sqrt {-1}},} появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, где {displaystyle bneq 0,} стали называть «мнимыми» в XVI—XVII веках с подачи Декарта, который называл их так, отвергая их реальность. Для многих других крупных учёных XVII века природа и право на существование мнимых величин тоже представлялись весьма сомнительными. Лейбниц, например, в 1702 году писал: «Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы». Несмотря на эти сомнения, математики уверенно применяли к «мнимым» числам привычные для вещественных величин алгебраические правила и получали корректные результаты[25].

Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным результатам или же, например, извлечение корня может привести к открытию ещё какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени n из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722)[27].

Символ i для обозначения мнимой единицы предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву латинского слова imaginarius — «мнимый». Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль, что в системе комплексных чисел любой многочлен имеет корень (основная теорема алгебры, до Эйлера сходные предположения высказывали Альбер Жирар и Рене Декарт)[28]. К такому же выводу пришёл д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799)[26]. Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году (ранее термин использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году, но тогда он не получил распространения)[29].

Геометрическое представление комплексных чисел, немало способствовавшее их легализации, предложили в конце XVIII — начале XIX веков сначала Вессель и Арган (их работы не привлекли внимания), а затем Гаусс[30]. Арифметическая (стандартная) модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном («Теория алгебраических пар», 1837); это доказало непротиворечивость их свойств. Термины «модуль», «аргумент» и «сопряжённое число» ввёл в начале XIX века Коши, значительно продвинувший комплексный анализ. С XIX века началось бурное и чрезвычайно плодотворное развитие исследований функций комплексного переменного[2][31].

С учётом этого успешного подхода начались поиски способа представления векторов в трёхмерном пространстве, аналогичное комплексной плоскости. В результате пятнадцатилетних поисков Гамильтон предложил в 1843 году обобщение комплексных чисел — кватернионы, которые он был вынужден сделать не трёхмерными, а четырёхмерными (трёхмерные векторы изображала мнимая часть кватернионов); также Гамильтону пришлось отказаться от коммутативности операции умножения[2].

В 1893 году Чарлз Штейнмец предложил использовать комплексные числа для расчётов электрических цепей переменного тока (см. ниже).

Комплексные функции[править | править код]

Аналитические функции[править | править код]

Комплексная функция одной переменной — это функция w=f(z), которая определена на некоторой области комплексной плоскости и ставит в соответствие точкам z этой области комплексные значения w[32]. Примеры:

{displaystyle w=z^{2}+z+1;quad w=z+{frac {1}{z}}.}

Каждая комплексная функция w=f(z)=f(x+iy) может рассматриваться как пара вещественных функций от двух переменных: {displaystyle f(z)=u(x,;y)+iv(x,;y),} определяющих её вещественную и мнимую часть соответственно. Функции u, v называются компонентами комплексной функции {displaystyle f(z).} Аналогично определяется функция нескольких комплексных переменных[32].

Наглядное представление комплексной функции графиком затруднительно, так как даже для функции одной комплексной переменной график требует четырёх измерений (два на область определения и ещё два для области значений). Если вместо значения функции рассматривать её модуль {displaystyle |w|=|f(z)|,} то полученный рельеф функции размещается в трёх измерениях и даёт некоторое представление о поведении функции[33].

Все стандартные функции анализа — многочлен, дробно-линейная функция, степенная функция, экспонента, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, логарифм — могут быть распространены на комплексную плоскость. При этом для них будут иметь место те же алгебраические, дифференциальные и другие тождества, что и для вещественного оригинала[32], например:

{displaystyle sin ^{2}z+cos ^{2}z=1;qquad e^{u}cdot e^{v}=e^{u+v}.}

Для комплексных функций определяются понятия предела, непрерывности и производной так же, как в вещественном анализе, с заменой абсолютной величины на комплексный модуль[32].

Дифференцируемые комплексные функции (то есть функции, имеющие производную) обладают рядом особенностей по сравнению с вещественными[34].

  • Вещественная и мнимая часть дифференцируемой функции — гармонические функции, связанные условиями Коши — Римана.
  • Всякая дифференцируемая в некоторой окрестности точки z комплексная функция дифференцируема неограниченное число раз в этой точке (то есть аналитична, или голоморфна).

Определённый интеграл для функций одной комплексной переменной, вообще говоря, зависит от пути интегрирования (то есть выбора кривой от начальной до конечной точки в комплексной плоскости). Однако если интегрируемая функция аналитична в односвязной области, то её интеграл внутри этой области не зависит от пути[35].

Преобразования комплексной плоскости[править | править код]

Всякая комплексная функция может рассматриваться как преобразование комплексной плоскости (или как преобразование одной комплексной плоскости в другую). Примеры:

Поскольку любое движение на плоскости есть комбинация перечисленных трёх преобразований, функции {displaystyle w=uz+c} и {displaystyle w=u{bar {z}}+c} дают общее выражение для движения на комплексной плоскости[36].

Другие линейные преобразования[36]:

Важную роль в комплексном анализе играют дробно-линейные преобразования[37]:

{displaystyle w={frac {az+b}{cz+d}}.}

При этом {displaystyle adneq bc} (иначе функция w(z) вырождается в константу). Характеристическое свойство дробно-линейного преобразования: оно переводит окружности и прямые в окружности и прямые (то есть в так называемые обобщённые окружности[38][39], в число которых входят «окружности бесконечного радиуса» — прямые). При этом образом окружности может оказаться прямая, и наоборот[37].

Среди других практически полезных функций преобразования: инверсия {displaystyle w=1/{bar {z}},} функция Жуковского. Инверсия, как и дробно-линейное преобразование, переводит обобщённые окружности в обобщённые окружности.

Аналитическая геометрия на комплексной плоскости[править | править код]

Исследование плоских фигур нередко облегчается, если перенести их на комплексную плоскость. Многие теоремы планиметрии допускают наглядную и компактную запись с помощью комплексных чисел, например[40]:

  • Три (различные) точки {displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}} лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие:
{displaystyle {frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}} является вещественным числом.
  • Четыре (различные) точки {displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}} лежат на одной обобщённой окружности (окружности или прямой) тогда и только тогда, когда выполняется условие:
отношение {displaystyle {frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}:{frac {z_{1}-z_{4}}{z_{2}-z_{4}}}} является вещественным числом.

Параметрическое уравнение прямой на комплексной плоскости имеет вид[42]:

{displaystyle z=ut+v,} где u,v — комплексные числа, {displaystyle uneq 0,t} — произвольный вещественный параметр.

Угол между двумя прямыми {displaystyle z=ut+v} и {displaystyle z=u't+v'} равен {displaystyle operatorname {arg} (u'/u).} В частности, прямые перпендикулярны, только когда {displaystyle u'/u} — чисто мнимое число. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда {displaystyle u'/u} есть вещественное число; если при этом {displaystyle (v'-v)/u} также вещественно, то обе прямые совпадают. Каждая прямая {displaystyle z=ut+v} рассекает комплексную плоскость на две полуплоскости: на одной из них выражение {displaystyle t=operatorname {Im} {frac {z-v}{u}}} положительно, на другой — отрицательно[42].

Уравнение окружности с центром c и радиусом r имеет чрезвычайно простой вид: {displaystyle |z-c|=r.} Неравенство {displaystyle |z-c|<r} описывает внутренность окружности (открытый круг)[42]. Часто удобна параметрическая форма уравнения окружности[43]: {displaystyle z=c+e^{ivarphi }.}

Место в общей алгебре, топологии и теории множеств[править | править код]

Множество комплексных чисел mathbb {C} образует поле, которое является конечным расширением степени 2 поля вещественных чисел mathbb{R}. Основное алгебраическое свойство mathbb {C}  — оно алгебраически замкнуто, то есть в нём любой многочлен имеет (комплексные) корни и, следовательно, распадается на линейные множители. Говорят также, что mathbb {C} есть алгебраическое замыкание[44] поля mathbb{R}.

Характеристика комплексного поля равна нулю, мощность mathbb {C} как множества та же, что и у поля вещественных чисел, то есть континуум. Теорема Фробениуса установила, что существуют только два тела, являющиеся конечными расширениями mathbb {R}  — поле комплексных чисел и тело кватернионов[45].

Превратить поле комплексных чисел в упорядоченное поле невозможно, потому что в упорядоченном поле квадрат любого элемента неотрицателен, и мнимая единица в нём не может существовать.

Из свойств модуля следует, что комплексные числа образуют структуру двумерного нормированного пространства над полем mathbb{R}.

Поле mathbb {C} допускает бесконечно много автоморфизмов, но только один из них (не считая тождественного) оставляет вещественные числа на месте[46].

Поля mathbb {R} и mathbb {C}  — единственные связные локально компактные топологические поля[47].

Некоторые практические применения[править | править код]

Те особенности комплексных чисел и функций, которые отличают их от вещественных, оказались полезными, а часто и незаменимыми в математике, в естественных науках и технике.

Математика[править | править код]

Приложения комплексных чисел сами по себе занимают видное место в математике — в частности, понятия алгебраических чисел, нахождение корней многочленов, теория Галуа, комплексный анализ и т. д.

Перенеся геометрическую задачу с обычной плоскости на комплексную, мы нередко получаем возможность значительно упростить её решение[48][49].

Многие сложные задачи теории чисел (например, теория биквадратичных вычетов) и вещественного математического анализа (например, вычисление сложных или несобственных интегралов) удалось решить только с помощью средств комплексного анализа. Мощным инструментом для открытий в теории чисел оказались, например, гауссовы числа вида {displaystyle a+bi,} где a,b — целые числа[50]. Для исследования распределения простых чисел понадобилась комплексная дзета-функция Римана[51].

Нередко проблемы вещественного анализа проясняются при их комплексном обобщении. Классический пример — разложение в ряд Тейлора

{frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+ldots

Этот ряд сходится только в интервале (-1;;1), хотя точки pm 1 не являются какими-то особенными для приведённой функции. Положение проясняется при переходе к функции комплексного переменного {displaystyle f(z)={frac {1}{1+z^{2}}},} у которой обнаруживаются две особые точки: полюса {displaystyle pm i.} Соответственно, эту функцию можно разложить в ряд только в круге единичного радиуса[52].

При решении линейных дифференциальных уравнений важно сначала найти все комплексные корни характеристического многочлена, а затем попытаться решить систему в терминах базовых экспонент[53]. В разностных уравнениях используются для аналогичной цели комплексные корни характеристического уравнения системы разностных уравнений[54]. С помощью теории вычетов, являющейся частью комплексного анализа, вычисляются многие сложные интегралы по замкнутым контурам[55]..

Исследование функции часто связано с анализом её частотного спектра с помощью комплексного преобразования Фурье или Лапласа[56].

О представлении комплексных чисел в информатике и компьютерной поддержке комплексной арифметики изложено в статье Комплексный тип данных.

Конформное отображение[править | править код]

Как уже отмечалось выше, всякая комплексная функция может рассматриваться как преобразование одной комплексной плоскости в другую. Гладкая (аналитическая) функция обладает двумя особенностями: если в заданной точке производная не равна нулю, то коэффициент растяжения/сжатия при этом преобразовании одинаков по всем направлениям, угол поворота также постоянен (конформное отображение)[57]. С этим фактом связано широкое применение комплексных функций в картографии[58][59] и гидродинамике[60].

Квантовая механика[править | править код]

Основой квантовой механики является понятие комплексной волновой функции, Для описания динамики квантовой системы используются дифференциальные уравнения с комплексными коэффициентами типа уравнения Шрёдингера. Решения этих уравнений заданы в комплексном гильбертовом пространстве. Операторы, соответствующие наблюдаемым величинам, эрмитовы. Коммутатор операторов координаты {hat {x}} и импульса {displaystyle {hat {p}}_{x}} представляет собой мнимое число:

{displaystyle left[{hat {x}},{hat {p}}_{x}right]={hat {x}}{hat {p}}_{x}-{hat {p}}_{x}{hat {x}}=ihbar }

Здесь hbar  — редуцированная постоянная Планка h, то есть h/2pi (постоянная Дирака)[61].

Важную роль в квантовой механике играют матрицы Паули и матрицы Дирака, некоторые из них содержат комплексные значения[61]. Ю. Вигнер уточнял, что «…использование комплексных чисел в квантовой механике не является вычислительным трюком прикладной математики; они входят в самую суть формулировки основных законов квантовой механики.»[62].

Электротехника[править | править код]

Поскольку переменный ток есть колебательный процесс, его удобно описывать и исследовать с применением комплексных чисел. Вводятся также понятия импеданса, или комплексного сопротивления, для реактивных элементов электрической цепи, таких как ёмкость и индуктивность, — это помогает рассчитать токи в цепи[63]. Ввиду того, что традиционно символ i в электротехнике обозначает величину тока, мнимую единицу там обозначают буквой j,[64]. Во многих областях электротехники (в основном радиочастотной и оптической) используется не запись уравнений тока и напряжения для цепи, а напрямую уравнения Максвелла в их спектральном представлении, физические величины которых заданы в комплексной плоскости, и при переходе из {displaystyle (t,x)}– в {displaystyle (omega ,k)}-пространство (где t — время, omega  — угловая частота) посредством преобразования Фурье получаются более простые уравнения без производных[65].

Логические основания[править | править код]

Расширение поля вещественных чисел до комплексных, как и любое другое расширение алгебраической структуры, ставит множество вопросов, основные из которых — это вопросы о том, как определить операции над новым типом чисел, какие свойства будут иметь новые операции и (главный вопрос) допустимо ли такое расширение, не приведёт ли оно к неустранимым противоречиям.

Для анализа подобных вопросов в теории комплексных чисел надо сформировать набор аксиом.

Аксиоматика комплексных чисел[править | править код]

Можно определить аксиоматику множества комплексных чисел mathbb {C} , если опираться на аксиоматическую теорию вещественных чисел mathbb {R} . А именно, определим mathbb {C} как минимальное поле, содержащее множество вещественных чисел и по меньшей мере одно число, вторая степень которого равна −1, — мнимую единицу. Говоря более строго, аксиомы комплексных чисел следующие[66][67].

С1: Для всяких комплексных чисел u,v определена их сумма {displaystyle u+v.}
С2: Сложение коммутативно: {displaystyle u+v=v+u.} Далее в некоторых аксиомах для краткости будем опускать оговорку «для всяких u,v,w».
С3: Сложение ассоциативно: {displaystyle (u+v)+w=u+(v+w).}
С4: Существует элемент 0 (ноль) такой, что {displaystyle u+0=u.}
С5: Для всякого комплексного числа u существует противоположный ему элемент {displaystyle -u} такой, что {displaystyle u+(-u)=0.}
С6: Для всяких комплексных чисел u,v определено их произведение {displaystyle uv.}
С7: Умножение коммутативно: {displaystyle uv=vu.}
С8: Умножение ассоциативно: {displaystyle (uv)w=u(vw).}
С9: Умножение связано со сложением распределительным (дистрибутивным) законом: {displaystyle (u+v)w=uw+vw.}
С10: Существует элемент 1 (единица), не равный нулю и такой, что {displaystyle ucdot 1=u.}
С11: Для всякого ненулевого числа u существует обратное ему число {displaystyle u'} такое, что {displaystyle ucdot u'=1.}
С12: Множество комплексных чисел mathbb {C} содержит подполе, изоморфное полю вещественных чисел mathbb{R}. Для простоты далее это подполе обозначается той же буквой mathbb{R}.
С13: Существует элемент i (мнимая единица) такой, что {displaystyle i^{2}+1=0.}
С14 (аксиома минимальности): Пусть M — подмножество {displaystyle mathbb {C} ,} которое: содержит mathbb {R} и мнимую единицу и замкнуто относительно сложения и умножения. Тогда M совпадает со всем {displaystyle mathbb {C} .}

Из этих аксиом вытекают как следствия все прочие свойства. Первые 11 аксиом означают, что mathbb {C} образует поле, а 12-я аксиома устанавливает, что это поле является расширением mathbb{R}. Приведённая аксиоматика категорична, то есть любые её модели изоморфны[68].

Существуют и другие варианты аксиоматики комплексных чисел. Например, вместо того, чтобы опираться на уже построенное упорядоченное поле вещественных чисел, можно в качестве базы использовать аксиоматику теории множеств[69].

Непротиворечивость и модели[править | править код]

Стандартный способ доказать непротиворечивость новой структуры — смоделировать (интерпретировать) её аксиомы с помощью объектов другой структуры, чья непротиворечивость сомнений не вызывает. В нашем случае мы должны реализовать эти аксиомы на базе вещественных чисел[70].

Стандартная модель[править | править код]

Рассмотрим всевозможные упорядоченные пары вещественных чисел. В данной модели каждая такая пара (a,b) будет соответствовать комплексному числу {displaystyle a+bi.}[71]

Далее определим[70]:

  1. пары (a,b) и {displaystyle (c,d)} считаются равными, если a=c и {displaystyle b=d;}
  2. сложение: сумма пар (a,b) и {displaystyle (c,d)} определяется как пара {displaystyle (a+c,b+d);}
  3. умножение: произведение пар (a,b) и {displaystyle (c,d)} определяется как пара {displaystyle (ac-bd,ad+bc).}

Пояснение: сложное, на первый взгляд, определение умножения легко выводится из соотношения {displaystyle i^{2}=-1colon }

{displaystyle (a+bi)(c+di)=(a+bi)c+(a+bi)di=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+i(ad+bc).}

Несложно убедиться, что описанная структура пар образует поле и удовлетворяет всему приведённому перечню аксиом комплексных чисел. Вещественные числа моделируются парами {displaystyle (a,0)}, образующими подполе mathbb {R} , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Пары (0,0) и (1,0) соответствуют нулю и единице поля. Такой способ является частным случаем процедуры Кэли — Диксона.

Мнимая единица — это пара {displaystyle (0,1),} Квадрат её равен {displaystyle left(-1,;0right),} то есть -1. Любое комплексное число можно записать в виде {displaystyle (a,b)=(a,0)(1,0)+(b,0)(0,1)=a(1,0)+b(0,1)=a+bi.}

Описанная модель доказывает, что приведённая аксиоматика комплексных чисел непротиворечива. Потому что если бы в ней было противоречие, то это означало бы противоречие и в базовой для данной модели арифметике вещественных чисел, которую мы заранее предположили непротиворечивой[70].

Матричная модель[править | править код]

Комплексные числа можно также определить как подкольцо кольца вещественных матриц 2×2 вида

{displaystyle {begin{pmatrix}x&-y\y&xend{pmatrix}}}

с обычным матричным сложением и умножением[2]. Вещественной единице будет соответствовать

{begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix}},

мнимой единице —

{displaystyle {begin{pmatrix}0&-1\1&0end{pmatrix}}}.

Множество таких матриц является двумерным векторным пространством. Умножение на комплексное число x+iy является линейным оператором. В базисе {displaystyle e_{1}=1,e_{2}=i} линейный оператор умножения на x+iy представляется указанной выше матрицей, так как[2]:

{displaystyle (x+iy)cdot 1=xcdot 1+ycdot i;}
{displaystyle (x+iy)cdot i=(-y)cdot 1+xcdot i.}

Матричная модель позволяет легко продемонстрировать связь между комплексными числами и линейными преобразованиями плоскости определённого типа.
А именно, существует взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и поворотными гомотетиями плоскости (комбинациями растяжения относительно точки и поворота): каждая поворотная гомотетия может быть представлена на комплексной плоскости как умножение на комплексное число[72].

Модель факторкольца многочленов[править | править код]

Рассмотрим кольцо многочленов mathbb{R}[x] с вещественными коэффициентами и построим его факторкольцо по модулю многочлена x^{2}+1 (или, что то же, по идеалу, порождённому указанным многочленом). Это значит, что два многочлена из mathbb{R}[x] мы будем считать эквивалентными, если при делении на многочлен x^{2}+1 они дают одинаковые остатки. Например, многочлен x^{2} будет эквивалентен константе {displaystyle -1,} многочлен x^{3} будет эквивалентен -x и т. д.[73]

Множество классов эквивалентности образует кольцо с единицей. Так как многочлен x^{2}+1 неприводим, то это факторкольцо является полем. Роль мнимой единицы играет многочлен {displaystyle i(x)=x,} поскольку квадрат его (см. выше) эквивалентен -1. Каждый класс эквивалентности содержит остаток вида {displaystyle a+bx} (от деления на x^{2}+1), который в силу сказанного можно записать как {displaystyle a+bi.} Следовательно, это поле изоморфно полю комплексных чисел[73].

Данный изоморфизм был обнаружен Коши в 1847 году. Этот подход может быть использован для построения обобщений комплексных чисел, таких как алгебры Клиффорда[74].

Расширенное комплексное поле как фактор-поле рациональных дробей полиномов с вещественными коэффициентами[править | править код]

Нетривиальная факторизация поля в поле невозможна, но поля, расширенные бесконечностью, могут нетривиально факторизоваться. Более того, возможны нетривиальные факторизации обычных полей в расширенные. В частности, обычное или расширенное поле рациональных дробей полиномов одной переменной с вещественными коэффициентами факторизуется в расширенное поле комплексных чисел (сферу Римана) путём отождествления полинома x^{2}+1 с нулём. Каждая дробь при этом заменяется на частное остатков от деления числителя и знаменателя своего несократимого представления на x^{2}+1. В силу несократимости, при этом не может образоваться неопределённость 0/0, в остальных случаях знаменатель, равный нулю, означает бесконечность, случай знаменателя, не равного нулю, рассматриваются в стандартной технике (домножением на сопряжённый знаменателю). Другим способом получения того же результата является параметризация полиномов числителя и знаменателя несократимого представления дроби мнимой единицей.

Параметризуя рациональные дроби полиномов различными числами, можно получать различные факторизации: при параметризации вещественным числом — расширенное поле вещественных, комплексным (не вещественным) — комплексных чисел. Число, используемое для параметризации, есть корень простого (над вещественным полем) полинома, отождествляемого с нулём, т. е. по модулю которого берутся числители и знаменатели (в случае вещественного числа — первой степени, комплексного — квадратный с отрицательным дискриминантом и, соответственно, двумя сопряжёнными комплексными корнями).

Алгебраическая характеризация[править | править код]

Как уже упоминалось выше, поле комплексных чисел алгебраически замкнуто и имеет характеристику ноль (из последнего свойства вытекает, что оно содержит подполе рациональных чисел mathbb {Q} ). Кроме того, любой базис трансцендентности mathbb {C} над mathbb {Q} имеет мощность континуум[K 3]. Этих трёх свойств достаточно, чтобы задать поле комплексных чисел с точностью до изоморфизма полей — между любыми двумя алгебраически замкнутыми полями характеристики 0 с континуальным базисом трансцендентности существует некоторое отождествление, согласованное с операциями сложения и умножения этих полей[75][76][K 4].

При этом отождествлении другие структуры, вроде нормы или топологии, могут не сохраняться. Например, алгебраическое замыкание {displaystyle {overline {mathbb {Q} }}_{p}} поля p-адических чисел также удовлетворяет трём указанным свойствам. Однако p-адическая норма не является архимедовой[en] и, следовательно, не эквивалентна обычной норме комплексных чисел при любом выборе изоморфизма[77]. Поэтому они задают различную структуру топологического векторного пространства: множество из любого элемента векторного пространства и его целозначных кратностей дискретно в комплексном случае и компактно — в p-адическом[77].

Вариации и обобщения[править | править код]

Ближайшее обобщение комплексных чисел было обнаружено в 1843 году. Им оказалось тело кватернионов, которое, в отличие от поля комплексных чисел, содержит три мнимые единицы, традиционно обозначаемые {displaystyle i,j,k.} Согласно теореме Фробениуса, комплексные числа являются одним из трёх возможных случаев конечномерной алгебры с делением над полем вещественных чисел. В 1919 году выяснилось, что и комплексные числа из вещественных, и кватернионы из комплексных чисел могут быть получены единой процедурой удвоения размерности, также известной как «процедура Кэли — Диксона»[78].

Дальнейшим применением этой процедуры образуются числа, описанные Артуром Кэли в 1845 году, до обнаружения этой процедуры, и названные «числами Кэли» (октонионы, октавы). Числа, получаемые следующим применением процедуры, названы седенионами. Несмотря на то, что эту процедуру можно повторять и далее, дальнейшие числа названий пока не имеют[78].

Другие типы расширений комплексных чисел (гиперкомплексные числа):

  • Бикватернионы
  • Комплексные числа гиперболического типа (двойные)
  • Комплексные числа параболического типа (дуальные)

Примечания[править | править код]

Комментарии
  1. ↑ Два возможных ударения указаны согласно следующим источникам.
    • Большая советская энциклопедия, 3-е изд. (1973), том 12, стр. 588, статья Ко́мпле́ксные числа.
    • Советский энциклопедический словарь (1982), стр. 613, статья Ко́мпле́ксное число.
    • Последнее издание «Словаря трудностей русского языка» (Розенталь Д. Э., Теленкова М. А., Айрис-пресс, 2005, стр. 273) указывает оба варианта: ко́мплексные (компле́ксные) числа.
    • В Большой российской энциклопедии (том 14, 2010 год) приводятся варианты: Компле́ксное число (стр. 691, автор не указан), но Ко́мплексный анализ Архивная копия от 2 июля 2019 на Wayback Machine (стр. 695, автор: член-корр. РАН Е. М. Чирка).
    • Орфографический словарь русского языка (изд. 6-е, 2010), Грамматический словарь русского языка, Русский орфографический словарь Российской академии наук под ред. В. В. Лопатина (изд. 4-е, 2013) и ряд других словарей указывают варианты: ко́мплексный и компле́ксный (матем.).

  2. ↑ При условии непротиворечивости системы вещественных чисел.
  3. ↑ То есть отличается от {displaystyle mathbb {Q} (x_{i}),iin mathbb {R} } (поля рациональных функций для набора переменных x_{i} мощности континуум) на алгебраическое расширение
  4. ↑ Поскольку отображение в алгебраически замкнутое поле всегда может быть продлено на алгебраическое расширение, для установления изоморфизма между алгебраическими замкнутыми полями достаточно установить изоморфизм между их простыми подполями и биекцию между базисами трансцендентности.
Использованная литература
  1. ↑ Краткий словарь иностранных слов. — 7-е изд. — М.: Русский язык, 1984. — С. 121. — 312 с.
  2. ↑ 1 2 3 4 5 Комплексное число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2. — С. 1007.
  3. ↑ Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 227.
  4. ↑ Справочник по элементарной математике, 2006, с. 211, подстрочное примечание.
  5. ↑ Справочник по элементарной математике, 2006, с. 222.
  6. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 Алгебра и математический анализ, 1998, с. 180—181.
  7. ↑ Real Part. Дата обращения: 16 января 2018. Архивировано 31 марта 2018 года.
  8. ↑ Мнимое число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 708.
  9. ↑ Imaginary Part. Дата обращения: 16 января 2018. Архивировано 31 марта 2018 года.
  10. ↑ Ahlfors Lars V., 1979, с. 2.
  11. ↑ История математики, том III, 1972, с. 72.
  12. ↑ 1 2 Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 237—239.
  13. ↑ История математики, том III, 1972, с. 61—66.
  14. ↑ 1 2 Bunch, Bryan. Mathematical Fallacies and Paradoxes. Chapter «Eliminating paradox by definition». — Dover Publications, 1997. — 240 p. — (Dover Books on Mathematics). — ISBN 978-0486296647.
  15. ↑ Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 233—234.
  16. ↑ 1 2 3 4 5 Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 234—235, 239—240.
  17. ↑ ГОСТ Р 52002-2003. Электротехника. Термины и определения основных понятий Архивная копия от 16 марта 2018 на Wayback Machine. Пункт 152. Комплексная амплитуда (синусоидального электрического) тока — комплексная величина, модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде и начальной фазе данного синусоидального электрического тока.
  18. ↑ 1 2 3 4 5 6 Ahlfors Lars V., 1979, с. 6—10.
  19. ↑ Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, с. 14—15.
  20. ↑ 1 2 Алгебра и математический анализ, 1998, с. 183—1851.
  21. ↑ 1 2 3 4 Ahlfors Lars V., 1979, с. 15—16.
  22. ↑ Соломенцев Е. Д., 1988, с. 7.
  23. ↑ Weisstein, Eric W. nth Root (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  24. ↑ Ahlfors Lars V., 1979, с. 3—4.
  25. ↑ 1 2 3 Клайн Моррис. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. — С. 138—139.
  26. ↑ 1 2 Стиллвелл Д. Математика и ее история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — С. 258—266. — 530 с.
  27. ↑ История математики, том III, 1972, с. 57—61.
  28. ↑ Юшкевич А. П. Леонард Эйлер. Жизнь и творчество // Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука. Сб. статей. — М.: Наука, 1988. — ISBN 5-02-000002-7. — С. 15—47.
  29. ↑ Острая О. Теория функций комплексного переменного. Дата обращения: 30 ноября 2017.
  30. ↑ Ренэ Декарт. Геометрия. С приложением избранных работ П. Ферма и переписки Декарта. — М.—Л.: Гостехиздат, 1938. — С. 233. — 297 с. — (Классики естествознания).
  31. ↑ Глейзер Г. И. История математики в школе. IX—X классы. — М.: Просвещение, 1983. — С. 193. — 351 с.
  32. ↑ 1 2 3 4 Смирнов В. И., 2010, с. 7—15.
  33. ↑ Бронштейн, Семендяев, 1985, с. 360.
  34. ↑ Смирнов В. И., 2010, с. 15—22.
  35. ↑ Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, с. 44.
  36. ↑ 1 2 Заславский А. А. Геометрические преобразования. — 2-е изд.. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 58. — 86 с. — ISBN 5-94057-094-1.
  37. ↑ 1 2 Евграфов М. А., 1968, с. 180—186.
  38. ↑ MAXimal :: algo :: Преобразование геометрической инверсии. e-maxx.ru. Дата обращения: 9 мая 2021. Архивировано 7 мая 2021 года.
  39. ↑ Е. А. Морозов, “Обобщённая задача Аполлония”, Матем. просв., сер. 3, 23, Изд-во МЦНМО, М., 2019, 80–111. www.mathnet.ru. Дата обращения: 9 мая 2021. Архивировано 9 мая 2021 года.
  40. ↑ Привалов И. И., 1984, с. 43.
  41. ↑ Соломенцев Е. Д., 1988, с. 10.
  42. ↑ 1 2 3 Ahlfors Lars V., 1979, с. 17—18.
  43. ↑ Соломенцев Е. Д., 1988, с. 12.
  44. ↑ Числовые системы, 1975, с. 165.
  45. ↑ Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 249—251.
  46. ↑ Числовые системы, 1975, с. 167.
  47. ↑ Топологическое поле // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 386.
  48. ↑ Комплексные числа. 9—11 классы, 2012, Глава 5.
  49. ↑ Реальные применения мнимых чисел, 1988, с. 78.
  50. ↑ Реальные применения мнимых чисел, 1988, с. 114—124.
  51. ↑ Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. — Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2.
  52. ↑ Привалов И. И., 1984, с. 14.
  53. ↑ Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — Эдиториал УРСС, 2004. — 240 с. — ISBN 5354004160.
  54. ↑ Разностное уравнение // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 838. Архивировано 21 января 2022 года.
  55. ↑ Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, Глава 5.
  56. ↑ Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, Глава 8.
  57. ↑ Смирнов В. И., 2010, с. 22—25.
  58. ↑ Маркушевич А. И. Комплексные числа и конформные отображения. — М.: Гостехиздат, 1954. — 52 с. — (Популярные лекции по математике, выпуск 13). Архивировано 28 января 2018 года.
  59. ↑ Shao-Feng Bian, Hou-Pu Li. Mathematical Analysis in Cartography by Means of Computer Algebra System. Дата обращения: 28 января 2018. Архивировано 29 января 2018 года.
  60. ↑ Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. — М.: Наука, 1973.
  61. ↑ 1 2 Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2.
  62. ↑ Е. Вигнер. Непостижимая эффективность математики в естественных науках // УФН. — 1968. — Т. 93. — С. 535—546. — doi:10.3367/UFNr.0094.196803f.0535.
  63. ↑ Реальные применения мнимых чисел, 1988, с. 132—144.
  64. ↑ Молчанов А. П., Занадворов П. Н. Курс электротехники и радиотехники, глава «Линейные цепи». — BH V. — 608 с. — ISBN 978-5-9775-0544-4.
  65. ↑ Афонский А. А., Дьяконов В. П. Цифровые анализаторы спектра, сигналов и логики / Под ред. проф. В. П. Дьяконова. — М.: СОЛОН-Пресс, 2009. — С. 248. — ISBN 978-5-913-59049-7.
  66. ↑ Числовые системы, 1975, с. 164—165.
  67. ↑ Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 227—233.
  68. ↑ Числовые системы, 1975, с. 166.
  69. ↑ Real and Complex Numbers. Дата обращения: 13 февраля 2018. Архивировано 6 февраля 2021 года.
  70. ↑ 1 2 3 Числовые системы, 1975, с. 167—168.
  71. ↑ Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 230—233.
  72. ↑ John Stillwell. The Four Pillars of Geometry. — Springer Science & Business Media, 2005-12-30. — С. 84—86. — 240 с. — ISBN 9780387290522.
  73. ↑ 1 2 Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — М.: Наука, 1984. — С. 200—201. — 416 с.
  74. ↑ F. Brackx, R. Delanghe, H. Serras. Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics: Proceedings of the Third Conference held at Deinze, Belgium, 1993. — Springer Science & Business Media, 2012-12-06. — С. 33. — 405 с. — ISBN 9789401120067.
  75. ↑ David Marker. Model Theory: An Introduction, ISBN 978-0-387-22734-4. Proposition 2.2.5. Springer Science & Business Media, 2002. См. также некоторые пояснения Архивная копия от 14 мая 2018 на Wayback Machine.
  76. ↑ William Weiss and Cherie D’Mello. Fundamentals of Model Theory Архивная копия от 13 апреля 2018 на Wayback Machine. Lemma 7: Any two algebraically closed fields of characteristic 0 and cardinality aleph_1 are isomorphic и комментарий после неё.
  77. ↑ 1 2 p-адическое число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 100.: «Это расширение есть пополнение поля рациональных чисел относительно неархимедова нормирования… Поле Q_p локально компактно».
  78. ↑ 1 2 Dickson, L. E. (1919), On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem, Annals of Mathematics, Second Series (Annals of Mathematics) . — Т. 20 (3): 155–171, ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/1967865

Литература[править | править код]

  • Балк М. Б., Балк Г. Д., Полухин А. А. Реальные применения мнимых чисел. — Киев: Радянська школа, 1988. — 255 с. — ISBN 5-330-00379-2.
  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — изд. 13-е. — М.: Наука, 1985. — 544 с.
  • Бурбаки, Н. Очерки по истории математики. — М., 1963.
  • Виленкин Н. Я., Ивашов-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 11 класса. Учебное пособие. — Изд. 6-е. — М.: Просвещение, 1998. — 288 с. — ISBN 5-09-008036-4.
  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.
  • Глазков Ю. А., Варшавский И. К., Гаиашвили М. Я. Комплексные числа. 9—11 классы. — М.: Экзамен, 2012. — 157 с. — ISBN 978-5-377-03467-4.
  • Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
  • Кириллов А. А. Что такое число?. — М., 1993. — 80 с. — ISBN 5-02-014942-3.
  • Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — 4-е изд. — М.: Наука, 1972.
  • Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
  • Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — 199 с.
  • Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 13-е изд.. — М.: Физматлит, 1984. — 432 с.
  • Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — 304 с.
  • Смирнов В. И. Курс высшей математики в трёх томах. — Изд. 10-е. — СПб.: БХВ-Петербург, 2010. — Т. 3, часть 2-я. — 816 с. — ISBN 978-5-9775-0087-6.
  • Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного и их применения. — М.: Высшая школа, 1988. — 167 с. — ISBN 5-06-003145-6.
  • Энциклопедия элементарной математики (в 5 томах). — М.: Физматгиз, 1951. — Т. 1. — С. 160—168. — 448 с.
  • Ahlfors Lars V. Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. — Third edition. — Harvard University: McGraw-Hill Book Company, 1979. — 317 с. — ISBN 0-07-000657-1.

Ссылки[править | править код]

Источник

Вычислить аргумент и модуль комплексного числа.
Аргументом комплексного числа z называется угол φ в радианах радиус-вектора точки, соответствующей данному комплексному числу и обозначается Arg(z) = φ

Аргументом комплексного числа z называется угол φ в радианах радиус-вектора точки,
соответствующей данному комплексному числу и обозначается Arg(z) = φ

Из определения следуют следующие формулы:

Для числа z = 0 аргумент не определен.

Главным значением аргумента называется такое значение φ, что .
Обозначается: arg(z).

Свойства аргумента:

Модулем комплексного числа z = x + iy называется вещественное число |z| равное:

Формула вычисление комплексного числа

Для любых комплексных чисел z, z1, z2 имеют место следующие свойства модуля:

для пары комплексных чисел z1 и z2 модуль их разности |z1 − z2|
равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.
Источник

Что такое комплексное число

Комплексное число — это выражение типа (z;=;a;+;ib). Здесь a и b будут являться любыми действительными числами, а i — специальным числом, называемым мнимой единицей. Действительная часть комплексного числа обозначается как (a;=;RE;z ), а мнимая часть — (b;=;Im;z).

Во множестве комплексных чисел содержится множество вещественных чисел. Если множество комплексных чисел — это всевозможные пары (x, y), то содержащееся в нем множество вещественных чисел — это пары (x, 0). Те же комплексные числа, которые задают пары (0, y) являются мнимыми.

Что такое модуль комплексного числа

Модуль комплексного числа — это длина вектора, который изображает комплексное число.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Любое комплексное число кроме 0 может быть выражено в тригонометрической форме.

(z;=;left|zright|;cdot;(cosleft(varphiright);+;isinleft(varphiright)))

В этом виде (left|zright|) — модуль комплексного числа z. Может обозначаться как p и r. 

Если (left|zright|;=;r,) то r будет обозначать длину радиус-вектора точки M (x, y).

Вычисление модуля комплексного числа, если в алгебраической форме оно выглядит как z = x + iy, возможно по следующей формуле:

(left|zright|;=;sqrt{x^2;+;y^2})

То есть модуль комплексного числа можно вычислить как квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой его частей.

Модуль комплексного числа имеет следующие свойства:

  1. Модуль не отрицателен — (left|xright|;geq;0). (left|xright|;=;0) только в том случае, если z = 0.
  2. Модуль суммы двух комплексных чисел будет меньше или равен сумме модулей: (left|z_1;+;z_2right|;leq;left|z_1right|;+;left|z_2right|.)
  3. Модуль результата умножения двух комплексных числе будет равен произведению модулей: (left|z_1;cdot;z_2right|;=;left|z_1right|;cdot;left|z_2right|.)
  4. Модуль результата деления двух комплексных чисел будет равняться частному модулей: (left|z_1;div;z_2right|;=;left|z_1right|;div;left|z_2right|.)
  5. Модуль неравенства комплексных чисел будет равен расстоянию между этими числами на комплексной плоскости: (left|z_1;-;z_2right|;=;sqrt{left(x_1;-;x_2right)^2;+;left(y_1;-;y_2right)^2}).

Что такое аргумент комплексного числа

Аргумент комплексного числа — это угол (varphi) радиус-вектора точки, соответствующей комплексному числу (z;:;varphi;=;arg;z) на комплексной плоскости. Этот угол измеряется в радианах.

Каждое комплексное число, которое не равно нулю, имеет бесконечное множество аргументов. Эти аргументы отличаются друг от друга на целое число полный оборотов — (360^circ;cdot;k) при k — любое число.

Связь аргумента комплексного числа с его координатами отражена в следующих формулах:

(tanleft(varphiright);=;frac ba)

(cosleft(varphiright);=;frac a{sqrt{a^2;+;b^2}})

(sinleft(varphiright);=;frac b{sqrt{a^2;+;b^2}})

Важно помнить, что ни одна из этих формул отдельно недостаточна для того, чтобы найти аргументы. Формулы используются в совокупности, а также учитывается номер четвертый на координатной плоскости, в которой находится комплексное число.

Аргумент может быть записан в тригонометрической форме. Для комплексного числа (z = x + iy), это будет выглядеть следующим образом:

(z;=;r;(cosleft(varphiright);+;i;sinleft(varphiright)))

Здесь (r) будет модулем комплексного числа (z), а (varphi) — arg z.

Важно отметить, arg z имеет смысл лишь при (z neq 0), комплексное число ноль не имеет аргумента.

Как вывести формулу модуля

В соответствии с теоремой Пифагора длина вектора с координатами a и b равна (sqrt{a^2;+;b^2}).

Так как именно эта величина называется модулем комплексного числа (z = a + bi), тогда (left|xright|;=;sqrt{a^2;+;b^2}).

Примеры решения задач

Задача 

Найти модуль числа (z;=;-5;+;15i)

Решение

(x;=;Re;z;=;-15) — действительная часть, а (y;=;Im;z;=;15) — мнимая часть комплексного числа (z;=;-5;+;15i.)

Таким образом, модуль числа равен следующему выражению:

(r;=;sqrt{x^2;+;y^2};=sqrt{{(-5)}^2;+;15^2};=;sqrt{25;+;225};=;sqrt{250} )

Ответ: (r;=;sqrt{250})

Задача

Найти расстояние между числами (z_1;=;1;-;3i,;z_2;=;-2;+;2i) на комплексной плоскости.

Решение

Расстояние между двумя комплексными числами находятся как модуль разности комплексных чисел. Используем необходимую формулу:

(left|z_1;-;z_2right|;=;sqrt{{(x_1;-;x_2)}^2;+;left(y_1;-;y_2right)^2};=;sqrt{(1;-;{(-2))}^2;+;{(-2;-;2)}^2};=;sqrt{34})

Ответ: (sqrt{34})

Задача

Найти значение аргумента комплексного числа (sqrt{34}) и выразить его в тригонометрической форме.

Решение

Если действительно частью комплексного числа (z;=;1;+;sqrt{3i}) является число (x = Re z = 1), а мнимой частью является (y = Im z;=sqrt3), то аргумент можно вычислить по формуле:

(varphi;=;arg;z;=;arctg;frac yx;=;arctg;frac{sqrt3}1;=;arctg;sqrt3;=;frac{mathrmpi}3)

Теперь для нахождения тригонометрической формы записи комплексного числа необходимо найти модуль. 

(r;=;sqrt{x^2;+;y^2};=;sqrt{1^2;+;{(sqrt3)}^2};=;sqrt{1+3};=;sqrt4;=;2)

Исходя из этого, тригонометрическая форма комплексного числа выглядит следующим образом:

(z;=;2;(cosleft(frac{mathrmpi}3right);+;i;sinleft(frac{mathrmpi}3right)))

Ответ: аргумент равен (frac{mathrmpi}3). Тригонометрическая форма записана выше.

Задача

Найти модуль и аргумент числа (z = 2 – i)

Решение

Найдем (left|zright|;=;sqrt{2^2;+;{(-;1)}^2};=;sqrt5.)

Так как (Re z = 2 > 0), (Im z = -1 < 0), точка расположена в 4 четверти. Тогда из равенства (tanleft(varphiright);=;-frac12) следует:

(varphi;=;arctanleft(-frac12right))

Ответ: (varphi;=;arctanleft(-frac12right))

Источник

Добавить комментарий