Модуль и аргумент комплексного числа
Пусть задано комплексное число $ z = a+bi $.
| Формула |
| Модуль комплексного числа равен корню квадратному из суммы квадратов мнимой и действительной части и находится по формуле: $$ |z| = sqrt{a^2 + b^2} $$ |
Если комплексное число состоит только из действительной части $ z = a $, то его модуль равен $ |z| = |a| $.
Стоит заметить, что модуль комплексных чисел всегда неотрицательный $ |z| ge 0 $ и равен нулю $ |z| = 0 $, только в случае $ z = 0 $.
| Формула |
Аргумент комплексного числа обозначается $ varphi = arg z $ и зависит от полуплоскости, в которой лежат числа $a,b$:
|
Введите комплексное число
Пример 1 Пример 2 Правила ввода
| Пример 1 |
| Найти модуль и аргумент комплексного числа $ z = 3 – 4i $. |
| Решение |
|
Комплексное число состоит из действительной и мнимой части: $$ a = Re z = 3 $$ $$ b = Im z = -4 $$ Применяя формулу вычисления модуля получаем: $$ |z| = sqrt{a^2 + b^2} = sqrt{3^2 + (-4)^2} = sqrt{9+16} = 5 $$ Теперь вычисляем аргумент. Так как $a = 3 > 0$, то получаем аргумент: $$varphi = arctg frac{b}{a} = arctg frac{-4}{3} = -arctg frac{4}{3}.$$ |
| Ответ |
| $$ |z| = 5, varphi = -arctg frac{4}{3} $$ |
| Пример 2 |
| Найти модуль и аргумент комплексного числа $ z = 3i $ |
| Решение |
|
В данном случае отсутствует действительная часть, а вернее она равна нулю: $$ a = Re z = 0 $$ Мнимая часть комплексного числа равна: $$ b = Im z = 3 $$ Вычисляем модуль по уже известной формуле: $$ |z| = sqrt{a^2 + b^2} = sqrt{0^2 + 3^2} = sqrt{9} = 3 $$ А вот аргумент здесь попадает под правило при $a = 0, b>0$ и значит равен $$varphi = frac{pi}{2}.$$ |
| Ответ |
| $$ |z| = 3, varphi = frac{pi}{2} $$ |
| Пример 3 |
| Найти модуль и аргумент комплексного числа $$ z = 1+sqrt{3}i $$ |
| Решение |
|
Выписываем действительную и мнимую часть: $$ a = 1 $$ $$ b = sqrt{3} $$ Так как $ a > 0 $, то аргумент равен $$ varphi = arctg frac{sqrt{3}}{1} = arctg sqrt{3} = frac{pi}{3} $$ Находим модуль извлекая квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой части: $$|z| = sqrt{1^2 + (sqrt{3})^2} = sqrt{1+3}=2.$$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ varphi = frac{pi}{3}, |z| = 2 $$ |
| Пример 4 |
| Найти аргумент комплексного числа $$ z = -1 + sqrt{3}i $$ |
| Решение |
|
Действительная часть $$ a = Re z = -1 $$ Мнимая часть $$ b = Im z = sqrt{3} $$ Так как $ a < 0 $ и $ b > 0 $, то пользуемся второй формулой: $$ varphi = arg z = pi + arctg frac{sqrt{3}}{-1} = pi + arctg (-sqrt{3}) = $$ $$ = pi – arctg(sqrt{3}) = pi – frac{pi}{3} = frac{2pi}{3}. $$ |
| Ответ |
| $$ varphi = frac{2pi}{3} $$ |
Комплексные числа
Комплексное число в тригонометрической форме:
z=|z|[cos(φ+2πk)+i·sin(φ+2πk)]
Комплексное число в показательной форме: z=|z|eiφ
Угол φ называют аргументом числа z и обозначают Arg(z).
Назначение. Данный сервис предназначен для представления комплексного числа в тригонометрической и показательной формах в онлайн режиме. Результаты вычисления оформляются в формате Word.
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
Правила ввода функции
Все математические операции выражаются через общепринятые символы +, -, *, /.
Примеры
≡ 1/2+sqrt(3)*I
Если 0 ≤ arg z ≤ 2π: 
см. также Как извлечь корень из комплексного числа
Действия с комплексными числами
z2=-1-i
Сложение комплексных чисел (отдельно складываются действительные и мнимые части)
Вычитание комплексных чисел (отдельно вычитаются действительные и мнимые части)
Умножение комплексных чисел
Деление комплексных чисел (подвести под общий знаменатель)
При умножении двух комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1), z2 = r2(cos φ2 + i sin φ2)
Тогда
z1 · z2 = r1r2[cos(φ1 + φ2)+ i sin(φ1 + φ2)]
Что делать, если задано сложное комплексное выражение. Его можно упростить с помощью следующего правила. Например:
Необходимо умножить дробь на сопряженное выражение (2-i).
Возведение в степень. Формула Муавра
При возведении комплексного числа в натуральную степень, модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.
Пример. Найти 
Решение.
=218(cos6π + i*sin6π)=218=262144
Что делать, если комплексное число необходимо возвести в большую степень. Например: (1+i)988. Достаточно это комплексное число сначала возвести во вторую степень:
(1+i)2 = 2i, а затем 2i988/2 = 2i494 = 2494i494 = 2494(-1)247 = -2494
Все вычисления с комплексными числами можно проверить в онлайн режиме.
Примечание:
- abs – модуль комплексного числа |z|. Пример:
abs(-5.5-6.6i) - arg – аргумент комплексного числа φ. Пример:
arg(5.5+6.6i)
Пример №1. Записать комплексное число в тригонометрической форме.
z=-1-4i
Базовая формула:
z = |z|[cos(φ+2πk) + i sin(φ+2πk)]
где φ=arctg((-4)/(-1));
Алгоритм
- находим угол φ.
- находим модуль
|z| = sqrt(x2 + y2).
1. Находим тригонометрическую форму комплексного числа z=-1-4i
Действительная часть комплексного числа: x = Re(z) = -1
Мнимая часть: y = Im(z) = -4
Модуль комплексного числа равен:
Поскольку x<0, y<0, то arg(z) находим как:
Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа z=-1-4i
2. Находим показательную форму комплексного числа
Пример №2. Как из тригонометрической формы комплексного числа преобразовать в алгебраическую форму.
Модуль комплексного числа равен 2 ,т.е. 
или x2+y2=4
Аргумент комплексного числа
или 
Получаем систему из двух уравнений:
x2+y2=4
Выразим 
и подставим в первое выражение:
Поскольку 
, то получаем:
или 
или 
.
Таким образом, из выражения 
можно сразу было получить:
, 
Вычислить аргумент и модуль комплексного числа.
Аргументом комплексного числа z называется угол φ в радианах радиус-вектора точки, соответствующей данному комплексному числу и обозначается Arg(z) = φ
Аргументом комплексного числа z называется угол φ в радианах радиус-вектора точки,
соответствующей данному комплексному числу и обозначается Arg(z) = φ
Из определения следуют следующие формулы:
Для числа z = 0 аргумент не определен.
Главным значением аргумента называется такое значение φ, что 
.
Обозначается: arg(z).
Свойства аргумента:
Модулем комплексного числа z = x + iy называется вещественное число |z| равное:
Для любых комплексных чисел z, z1, z2 имеют место следующие свойства модуля:
|
|
для пары комплексных чисел z1 и z2 модуль их разности |z1 − z2| равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости. |
Калькулятор комплексных чисел. Вычисление выражений с комплексными числами
Калькулятор комплексных чисел позволяет вычислять арифметические выражения, содержащие комплексные числа, знаки арифметических действий (+, -, *, /, ^), а также некоторые математические функции.
Калькулятор комплексных чисел
7
8
9
+
–
*
/
^
4
5
6
i
(
)
π
e
1
2
3
sin
cos
tg
ctg
ln
.
0
√
sh
ch
th
cth
abs
Скрыть клавиатуру
С решением
Тригонометрическая форма
Показательная форма
Десятичных знаков:
Вычислить
Вычислено выражений:
Как пользоваться калькулятором
- Введите в поле ввода выражение с комплексными числами
- Укажите, требуется ли вывод решения переключателем “С решением”
- Нажмите на кнопку “Построить”
Ввод комплексных чисел
комплексные числа можно вводить в следующих трёх форматах:
- Только действительная часть:
2, 2.5, -6.7, 12.25 - Только мнимая часть:
i, -i, 2i, -5i, 2.16i, -12.5i - Действительная и мнимая части:
2+i, -5+15i, -7+2.5i, -6+i - Математические константы:
π, e
Поддерживаемые операции и математические функции
- Арифметические операции:
+, -, *, /, ^ - Получение абсолютного значения числа:
abs - Базовые математические функции:
exp, ln, sqrt - Получение действительной и мнимой частей:
re, im - Тригонометрические функции:
sin, cos, tg, ctg - Гиперболические функции:
sh, ch, th, cth - Обратные тригонометрические функции:
arcsin, arccos, arctg, arcctg - Обратные гиперболические функции:
arsh, arch, arth, arcth
Примеры корректных выражений
- (2+3i)*(5-7i)
- sh(i)
- (4+i) / (3 – 4i)
- sqrt(2i)
- (-3+4i)*2i / exp(2i + (15 – 8i)/4 – 3.75)
Комплексные числа
Комплексные числа — это числа вида x+iy, где x, y — вещественные числа, а i – мнимая единица (специальное число, квадрат которого равен -1, то есть i2 = -1).
Так же, как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, разности, умножения и деления, однако комплексные числа нельзя сравнивать.
Примеры комплексных чисел
4+3i— действительная часть = 4, мнимая = 3-2+i— действительная часть = -2, мнимая = 1i— действительная часть = 0, мнимая = 1-i— действительная часть = 0, мнимая = -110— действительная часть = 10, мнимая = 0
Основные действия с комплексными числами
Основными операциями, определёнными для комплексных чисел, являются сложение, разность, произведение и деление комплексных чисел. Операции для двух произвольных комплексных чисел (a + bi) и (c + di) определяются следующим образом:
- сложение: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
- вычитание: (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
- умножение: (a + bi) · (c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac – bd) + (bc + ad)i
- деление: = = + i
Примеры
Найти сумму чисел 5+7i и 5.5-2i:
Найдём отдельно суммы действительных частей и сумму мнимых частей: re = 5 + 5.5 = 10.5, im = 7 – 2 = 5.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 10.5 + 5i
Полученное число и будет ответом:5+7i + 5.5-2i = 10.5 + 5i
Найти разность чисел 12-i и -2i:
Найдём отдельно разности действительных частей и разности мнимых частей: re = 12 – 0 = 12, im = -1 – (-2) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 12 + 1i
Полученное число и будет ответом:12-i – (-2i) = 12 + i
Найти произведение чисел 2+3i и 5-7i:
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = 2·5 – 3·(-7) = 31, im = 3·5 + 2·(-7) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 31 + 1i
Полученное число и будет ответом:2+3i * (5-7i) = 31 + i
Найти отношение чисел 75-50i и 3+4i:
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = (75·3 – 50·4) / 25 = 1, im = (-50·3 – 75·4) / 25 = -18.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 1 – 18i
Полученное число и будет ответом:75-50i / (3+4i) = 1 - 18i
Другие действия над комплексными числами
Помимо базовых операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел существуют также различные математические функции. Рассмотрим некоторые из них:
- Получение действительной части числа:
Re(z) = a - Получение мнимой части числа:
Im(z) = b - Модуль числа:
|z| = √(a2 + b2) - Аргумент числа:
arg z = arctg(b / a) - Экспонента:
ez = ea·cos(b) + i·ea·sin(b) - Логарифм:
Ln(z) = ln |z| + i·arg(z) - Тригонометрические функции: sin z, cos z, tg z, ctg z
- Гиперболические функции: sh z, ch z, th z, cth z
- Обратные тригонометрические функции: arcsin z, arccos z, arctg z, arcctg z
- Обратные гиперболические функции: arsh z, arch z, arth z, arcth z
Примеры
Найти действительную и мнимую части числа z, а также его модуль, если z = 4 – 3i
Re(z) = Re(4 – 3i) = 4
Im(z) = Im(4 – 3i) = -3
|z| = √(42 + (-3)2) = √25 = 5
Формы представления комплексных чисел
Комплексные числа принято представлять в одной из трёх следующих форм: алгебраической, тригонометрической и показательной.
- Алгебраическая форма — наиболее часто используемая форма комплексного числа, запись числа в виде суммы действительной и мнимой частей:
x+iy, где x — действительная часть, а y — мнимая часть - Тригонометричкая форма — запись вида
r·(cos φ + isin φ), где r — модуль комплексного числа (r = |z|), а φ — аргумент этого числа (φ = arg(z)) - Показательная форма — запись вида
r·eiφ, где r — модуль комплексного числа (r = |z|), e — число Эйлера, а φ — аргумент комплексного числа (φ = arg(z))
Пример:
Переведите число 1+i в тригонометрическую и показательную формы:
Решение:
- Найдём радиус (модуль) комплексного числа r: r = √(12 + 12) = √2
- Найдём аргумент числа: φ = arctan() = = 45°
- Запишем результат в тригонометрической форме:
√2·(cos(45°) + isin(45°)) - Запишем результат в показательной форме:
√2·eπi/4
Комплексные числа по-шагам
Примеры комплексных выражений
- Деление комплексных чисел
-
(1-2i)/(1+4i)
- Умножение комплексных чисел
-
(5+4i)*(8-2i)
- Комплексные уравнения
-
z - |z| = 2 + i
-
(i + 5)*z - 2*i + 1 = 0
- Возведение комплексного числа в степень
-
i^15
-
(1 - 2*i)^32
- Квадратный корень из комплексного числа
-
sqrt(1-24*i)
- Кубический корень
-
cbrt(1-24*i)
- Корни четвертой и пятой степени
-
(1-11*i)^(1/4)
-
(1-11*i)^(1/5)
- Мнимая и действительная часть
-
im(re(x) + y)
- Комплексно-сопряженное число
-
conj(1 + 4j)
-
(3/2-3*sqrt(3)/2*i)/conj(-5/2-1/3*i)
- Реальная часть комплексного числа
-
re(1+I)
- Мнимая часть
-
im(1+I)
- Модуль комплексного числа
-
absolute(1+I)
- Аргумент
-
arg(1+I)
- Комплексный знак числа
-
sign(1+I)
Что умеет?
- Простые операции с комплексными числами
- Выполнять деление с подробным решением
- Находить разные формы комплексных чисел:
- Алгебраическую
- Тригонометрическую
- Показательную
- Модуль и аргумент комплексного числа
- Комплексно-сопряжённое к данному
- Геометрическую интерпретацию комплексного числа
Подробнее про Комплексное число
.
Указанные выше примеры содержат также:
- модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
-
квадратные корни sqrt(x),
кубические корни cbrt(x) -
тригонометрические функции:
синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x) - показательные функции и экспоненты exp(x)
-
обратные тригонометрические функции:
арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x),
арккотангенс acot(x) -
натуральные логарифмы ln(x),
десятичные логарифмы log(x) -
гиперболические функции:
гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x),
гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x) -
обратные гиперболические функции:
гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x),
гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x) -
другие тригонометрические и гиперболические функции:
секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x),
арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x),
гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x),
гиперболический арккосеканс acsch(x) -
функции округления:
в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x) -
знак числа:
sign(x) -
для теории вероятности:
функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности),
функция Лапласа laplace(x) -
Факториал от x:
x! или factorial(x) - Гамма-функция gamma(x)
- Функция Ламберта LambertW(x)
-
Тригонометрические интегралы: Si(x),
Ci(x),
Shi(x),
Chi(x)
Правила ввода
Можно делать следующие операции
- 2*x
- – умножение
- 3/x
- – деление
- x^2
- – возведение в квадрат
- x^3
- – возведение в куб
- x^5
- – возведение в степень
- x + 7
- – сложение
- x – 6
- – вычитание
- Действительные числа
- вводить в виде 7.5, не 7,5
Постоянные
- pi
- – число Пи
- e
- – основание натурального логарифма
- i
- – комплексное число
- oo
- – символ бесконечности
