Как найти арифметический центр

Самоцентированный эллипс (круг, другая геометрическая фигура плоскости или объёма) – это то, что обычно мы чертим на листе. Абстрактная фигура, замкнутая сама на себя. Излучённые эллипсы – это орбиты планет, которые (планеты) обращаются вокруг Солнца. Если быть точным, то планеты обращаются вокруг Солнца по объёмному эллипсу – эллипсоиду (форма дыни). Но есть и симбиоз этих двух форм существования эллипсов или эллипсоидов.

Движение планет, образующих планетную пару (Меркурий-Земля, Венера-Марс, Юпитер-Уран, Сатурн-Нептун) обладает смешанными свойствами: с одной стороны – планеты пары движутся вокруг своей общей для них двоих оси (как бы “меняются орбитами вокруг Солнца”), и в этом смысле они – самоцентриированные, а с другой стороны – само положение ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО (а не арифметического) центра планетной пары задаётся расстоянием этих планет от Солнца, что делает планетную пару зависимой от Солнца, а значит – излучённой.

( Read more…Collapse )
Двойная центровка планет (А и Г) может рассматриваться в контексте двойственной сущности планетных пар и планетных групп, которые одновременно являются и самоцентрированными (коэффициент А), и излучёнными Солнцем, ещё не порвавшими своей, тянущейся от Солнца, пуповины (коэффициент Г).

(Примечание от 01.04.2022 г.: С утверждением, что коэффициент А не зависит от Солнца, я погорячился. Арифметические центры планетных пар – не зависят от Солнца, а вот отношение этих центров между собой – зависит, так как взвешиваются делением не внутренние радиусы, а именно арифметические центры – как удалённость планетных пар от Солнца. Таким образом, двойная центровка – есть, она от Солнца. И та, и другая. К настоящему времени не удалось найти внутригрупповых закономерностей, которые в случае их обнаружения, действительно, произвели бы ещё одну революцию в науке. Поиск продолжается…)

Из этой короткой заметки следуют выводы (я не считаю своевременным озвучивать их здесь и сейчас), ценность которых трудно переоценить.

22.03.2022 Вадим Тюменцев,
“Группа Солнца. Сибирский аналитический центр” https://vk.com/club210636869
https://vadim1980.livejournal.com/286336.html

Tags: Земная группа, Сибирский аналитический центр, Солнечная система, Юпитерианская группа, арифметический центр, геометрический центр, коэффициент А, коэффициент Г, планетная группа, планетная пара, планеты рождены Солнцем, эллипс

Как определить подходящую меру центральной тенденции?

Мера центральной тенденции (measure of central tendency) представляет из себя статистическую величину, которая характеризует целый набор данных одним единственным числом. Ее также называют мерой центрального расположения (measure of central location). Она описывает, как выглядит приблизительный центр набора данных.

Но сам по себе термин “центр” может подразумевать немного разные значения в зависимости от конкретной ситуации. Вы можете считать “центром” среднее арифметическое. Вы также можете назвать “центром” данные, которые просто находятся в середине вашей выборки. А еще вы можете рассматривать в качестве “центра” данные, которые повторяются чаще всего. Все эти центры по-своему характеризуют ваши данные.

Поскольку человеческое понимание “центра” может разниться, статистика позаботилась определить каждый вариант. Таким образом мы имеем следующие общепринятые меры центральной тенденции:

1. Среднее арифметическое.

2. Медиана.

3. Мода.

В этой статье я расскажу, каким образом распределение вашего набора данных играет роль в выборе подходящей меры центральной тенденции. А объяснять я буду это на примере реальных наборов данных.

1. Среднее арифметическое

Среднее арифметическое — это среднее значение всех элементов в наборе данных. Оно рассчитывается как сумма всех значений, деленная на общее количество значений.

Среднее арифметическое = сумма всех значений / общее количество значений

Когда следует использовать среднее арифметическое?

Среднее арифметическое лучше всего использовать для описания данных, которые имеют нормальное распределение. Нормальное распределение — это когда построив график по “значениям” и их “частоте” (количеству появлений каждого значения в наборе данных), вы получаете кривую, по форме напоминающую колокол. Центр этой кривой совпадает со средним арифметическим.

Пример — набор данных с длинами крыльев комнатной мухи

В качестве примера я буду использовать реальный набор данных — это набор данных с длинами крыльев комнатной мухи, который естественным образом имеет нормальное распределение.

Источник набора данных: [Sokal, R.R. and F.J. Rohlf, 1968. Biometry, Freeman Publishing Co., p 109.  Original data from Sokal, R.R. and P.E. Hunter. 1955. A morphometric analysis of DDT-resistant and non-resistant housefly strains Ann. Entomol. Soc. Amer. 48: 499-507.]

Набор данных содержит длины крыльев комнатной мухи в миллиметрах. В нем 100 элементов.

Я построил гистограмму (по “значениям” и “количествам повторений этих значений”) этих данных, которую вы можете наблюдать ниже. Если мы проведем по внешним краям столбцов плавную линию, то она образует колоколообразную кривую. Вычислив среднее арифметическое значение этих данных, мы получим 45,5. А теперь давайте поищем на приведенном ниже графике полученное значение 45,5. Он находится прямо по середине.

Колоколообразная кривая со средним значением в центре дает нам четкое понимание, что этот набор данных имеет нормальное распределение.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
data_housefly = np.loadtxt("housefly_wing_length.txt")
plt.hist(data_housefly)
plt.xlabel("Wing length")
plt.ylabel("Number of occurences")
plt.title("Histogram - Housefly wing lengths")
plt.show()

Это хороший пример, наглядно демонстрирующий, что для нормально распределенных данных имеет смысл использовать “среднее арифметическое” как меру центральной тенденции.

Когда НЕ стоит использовать среднее арифметическое?

Хотя среднее арифметическое является одной из основных мер центральной тенденции, иногда (на самом деле очень часто) оно наоборот может ввести вас в заблуждение. Данные из реального мира не всегда имеют нормальное распределение. В подавляющем большинстве случаев есть вероятность, что ваши данные ассиметричны.

Ассиметричные данные — это данные, в которых несколько элементов у верхнего или нижнего пределов имеют заметно отличающийся паттерн по сравнению с остальной частью набора данных.

Пример — набор данных с зарплатами игроков NBA

Давайте посмотрим на набор данных с зарплатами игроков NBA. Этот набор данных содержит зарплаты в долларах США за период с 2017 по 2018 годы.

Я построил гистограмму столбца c зарплатой (название столбца “season17_18”).

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
data_nba = pd.read_csv("NBA_player_salary.csv")
plt.hist(data_nba.season17_18)
plt.xlabel("Salary in US Dollars")
plt.ylabel("Number of occurrences")
plt.title("NBA Player Salary - Histogram")
plt.show()

Глядя на приведенное выше распределение, становится очевидным, что данные распределены не нормально. Из 573 игроков более 300 получают зарплату ниже 2,5 миллионов долларов (из графика выше). Но когда мы вычисляем среднее арифметическое заработной платы, оно составляет 5,85 миллиона долларов.

Как вы считаете, годится ли среднее арифметическое в качестве лучшего представления этих данных в целом?

Уж точно нет. Те немногие игроки, которые получали огромные зарплаты, утащили среднее арифметическое далеко от центра. Это называется асимметрией данных.

Не имеет смысла и говорить о том, что среднее арифметическое, ​​которое составляет 5,85 миллиона, является центром, потому что абсолютное большинство из игроков получили зарплату менее 2,5 миллиона долларов.

Таким образом, в случае подобных асимметрий наборов данных среднее арифметическое хорошим выбором для представления данных не является. Здесь нам может помочь медиана.

2. Медиана

Медиана — это значение, которое находится в центре (прямо посередине), если данные расположены в порядке возрастания или убывания.

Если общее количество значений в наборе данных нечетное, то в центральной позиции будет только одно число. Это и будет наша медиана. Если общее количество значений в наборе данных четное, в центральной позиции будет два значения. В этом случае медиана представляет собой среднее значение этих двух значений.

Когда следует использовать медиану?

Если набор данных асимметричен или содержит выбросы, среднее арифметическое — не лучший способ представления данных. В таком случае как меру центральной тенденции можно использовать медиану. Выбросы не портят медиану. Потому что само название “выбросы” означает, что они располагаются снаружи, либо в нижнем, либо в верхнем диапазоне. В таком случае медиана — это среднее значение, не нарушенное выбросами.

Еще раз давайте рассмотрим ассиметричный набор данных с зарплатами игроков NBA. (Который мы рассматривали в предыдущем разделе “Когда НЕ стоит использовать среднее арифметическое?”). Медиана по зарплате составляет 2,38 миллиона долларов.

Это значение находится в первой столбце. Обратите внимание, что ось X это 10^7. Итак, первый столбик представляет зарплату до 2,5 миллионов. Таким образом, медианное значение 2,38 миллиона лучше всего представляет эти данные, потому что большинство игроков получают зарплату, близкую к этому показателю.

Когда НЕ стоит использовать медиану?

Если и среднее арифметическое, и медиана одного и того же набора данных не сильно отклоняются, то можно использовать обе эти меры. В любом случае расчет среднего арифметического предполагает учет всех элементов данных и их усреднение. Таким образом, логичнее, что среднее арифметическое является более точной мерой (когда среднее арифметическое и медиана не сильно отклоняются).

Как определить, является ли ваш набор данных асимметричным или содержит выбросы?

Самый банальный способ определить, является ли ваш набор данных асимметричным или содержит выбросы, — это вычислить среднее арифметическое и медиану. Если обе меры не сильно отклоняются, то с вашим набором данных все в порядке. И вы сэкономили время, которое в противном случае было бы потрачено на очистку и преобразование данных.

Если среднее арифметическое и медиана очень сильно отклоняются, ваш набор данных асимметричен или содержит выбросы. Следующий шаг — провести исследование с целью выявить и удалить выбросы, если таковые имеются. Или применить какое-либо преобразование, чтобы уменьшить асимметрию в ваших данных, если таковая имеется.

3. Мода

Мода — это значение, которое чаще всего встречается в наборе данных. В гистограмме мода — это значение с самым высоким столбцом.

Если набор данных имеет более одного значения с одинаковой максимальной частотой появления, набор данных имеет мультимодальное распределение, поскольку он имеет несколько мод. Если в наборе данных нет повторяющихся значений, то и моды у него тоже нет.

Когда стоит использовать моду?

Моду можно использовать для анализа часто встречающихся значений как числовых, так и категориальных данных.

Мода — единственная мера центральной тенденции, которую можно использовать с категориальными данными. Для категориальных данных вы не можете вычислить среднее арифметическое или медиану. Мода – единственный выбор в таких случаях.

Пример — Простое перечисление

Ниже приведен учебный набор данных, отражающий любимый вид искусства семерых человек. Построим частотный график (гистограмму).

data_art = [‘music’, ‘painting’, ‘pottery’, ‘painting’, ‘dance’, ‘music’, ‘music’]

import matplotlib.pyplot as plt
data_art = ['music', 'painting', 'pottery', 'painting', 'dance', 'music', 'music']
plt.hist(data_art)
plt.xlabel("Favorite art")
plt.ylabel("Number of occurrences")
plt.title("Histogram of favorite art")
plt.show()

---

Во многих областях машинного обучения возникают функции многих переменных и их производные. Такие производные ещё называют “матричными”. На открытом уроке мы поговорим про отличие таких производных от обычных, изучаемых в школе, разберём необходимую теорию, научимся такие производные считать, а также посмотрим, где и как матричные производные используются. Регистрация открыта по ссылке для всех желающих.

Помогаю со студенческими работами здесь

Как из последовательности 20 чисел вычислить сумму нечетных чисел и определить количество четных чисел.
Помогите пожалуйста !!!!
Из последовательности 20 чисел вычислить сумму нечетных чисел и…

Для N вводимых с клавиатуры чисел определить количество четных чисел и сумму нечетных чисел
Для N вводимых с клавиатуры чисел определить количество четных чисел и
сумму нечетных чисел.

Не работает: поиск через win+F, центр поддержки, центр управления
сетями, сразу после авторизации вылетает скайп, некорректно отображаются в опере яндекс и гугл…

В двух заданных массивах найти количество чётных и нечётных чисел (в первом – чётных, во втором – нечётных)
Даны два массива целых чисел А (15) и В (15). Найти количество четных чисел в первом массиве и…

Найдите сумму S и произведение Р целых чисел от 1 до n нечетных чисел
Найдите сумму S* и произведение Р целых чисел от 1 до n *нечетных чисел
Тест -n=5 —- s=25,…

Из одномерного массива1 сформировать массив2 (четных чисел) и массив3 (нечетных чисел)
с одномерного массива1,сформировать массив2,который состоит из парных чисел массива1,и…

Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:

attempt at finding center of arithmetic spiral to be tangent to two lines

Given the two orange lines in the picture, how can I calculate the center for an arithmetic spiral that will join the two lines whilst simultaneously being tangent to the ends of those lines. There is a similar question that has already been solved that deals with finding the center of logarithmic spirals in How to find the center of a log spiral? but the properties of logarithmic spirals being a constant angle means that it is inapplicable in this case though it does seem close. I believed that it could be possible to constrain the angles to find the center but an arithmetic spiral has different angles at every point of the curve so I would need to somehow use the fact that the radius changes linearly with the change in angle. I don’t quite know how to do that though.

Any Ideas?

Update: I now have something that almost works, thanks to the image provided in the comments and with that I have this spiral that is tangent to one original line and needs a separate line shown in green that is parallel to the unused orange original line. I had just renamed aθ to be either r1 or r2 as that is more relevant in my use case than knowing what the θ is but it should not create the error that is shown in the image.

Suggestions?

Here is what the tool for creating the spiral is doing. It requires a circle to be drawn first for the starting diameter of the spiral and takes in the variables of start angle, swept angle and pitch in order to fully define the spiral. All those values are pulled directly from the earlier sketch or calculated for the pitch by multiplying dimension a times 2pi.

Цель урока: сформировать у учащихся
представление о медиане набора чисел и умение
вычислять ее для несложных числовых наборов,
закрепление понятия среднего арифметического
набора чисел.

Тип урока: объяснение нового материала.

Оборудование: доска, учебник под ред. Ю.Н
Тюрина “Теория вероятностей и статистика”,
компьютер с проектором.

Ход урока

1. Организационный момент.

Сообщить тему урока и сформулировать его цели.

2. Актуализация прежних знаний.

Вопросы учащимся:

• Что называется средним арифметическим набора
  чисел?
• Где располагается среднее арифметическое
  внутри набора чисел?
• Что характеризует среднее арифметическое
  набора чисел?
• Где часто применяется среднее арифметическое
  набора чисел?

Устные задачи:

Найти среднее арифметическое набора чисел:

• 1, 3, 5, 7, 9;
• 10, 12, 18, 20

Проверка домашнего задания с помощью проектора
(Приложение 1):

Учебник: :№12(б,г), №18(в,г)

3. Изучение нового материала.

На предыдущем уроке мы познакомились с такой
статистической характеристикой как среднее
арифметическое набора чисел. Сегодня мы посвятим
урок еще одной статистической характеристике –
медиане.

Не только среднее арифметическое показывает,
где на числовой прямой располагаются числа
какого-либо набора и где их центр. Другим
показателем является медиана.

Медианой набора чисел называется такое число,
которое разделяет набор на две равные по
численности части. Вместо “медиана” можно было
бы сказать “середина”.

Сначала на примерах разберем, как найти
медиану, а затем дадим строгое определение.

 Рассмотрим следующий устный пример с
применением проектора (Приложение
2)

В конце учебного года 11 учеников 7-го класса
сдали норматив по бегу на 100 метров. Были
зафиксированы следующие результаты:

После того как ребята пробежали дистанцию, к
преподавателю подошел Петя и спросил, кокой у
него результат.

“Самый средний результат: 16,9 секунды”, –
ответил учитель

“Почему?” – удивился Петя. – Ведь среднее
арифметическое всех результатов – примерно 18,3
секунды, а я пробежал на секунду с лишним лучше. И
вообще, результат Кати (18,4) гораздо ближе к
среднему, чем мой”.

“Твой результат средний, так как пять человек
пробежали лучше, чем ты, и пять – хуже. То есть ты
как раз посередине”, – сказал учитель. [ 2 ]

Далее предложить учащимся самостоятельно
рассмотреть по учебнику примеры 1,2,3 и
сформулировать алгоритм нахождения медианы
набора чисел.

 Записать алгоритм нахождения медианы
набора чисел:

1. Упорядочить числовой набор (составить
   ранжированный ряд).
2. Одновременно зачеркиваем “самое большое” и
   “самое маленькое” числа данного набора чисел до
   тех пор пока не останется одно число или два
   числа.
3. Если осталось одно число, то оно и есть медиана.
4. Если осталось два числа, то медианой будет
   среднее арифметическое двух оставшихся чисел.

Предложить учащимся самостоятельно
сформулировать определение медианы набора
чисел, затем прочитать в учебнике два
определения медианы ( стр. 50), далее разобрать
примеры 4 и 5 учебника (стр.50-52)

Замечание:

Обратить внимание учащихся на важное
обстоятельство: медиана практически не
чувствительна к значительным отклонениям
отдельных крайних значений наборов чисел. В
статистике это свойство называется
устойчивостью. Устойчивость статистического
показателя – очень важное свойство, оно страхует
нас от случайных ошибок и отдельных
недостоверных данных.

4. Закрепление изученного материала.

Решение номеров из учебника к п.11 “Медиана”.

№ 1(а)

Набор чисел: 1,3,5,7,9

=( 1+3+5+7+9):5=25:5=5

Ме = 5

= Ме

№1(б)

Набор чисел: 1,3,5,7,14.

=( 1+3+5+7+14):5=30:5=6

Ме = 5

> Ме

№5

а) Набор чисел: 3,4,11,17,21

Ме=11

б) Набор чисел: 17,18,19,25,28

Ме=19

в) Набор чисел:25, 25, 27, 28, 29, 40, 50

Ме = 28

Вывод : медиана набора чисел, состоящего из
нечетного числа членов равна числу, стоящему
посередине.

№ 6

а) Набор чисел:2, 4, 8, 9.

Ме = (4+8):2=12:2=6

б) Набор чисел:1,3,5,7,8,9.

Ме = (5+7):2=12:2=6

Медиана набора чисел, содержащего четное число
членов равна полусумме двух чисел, стоящих
посередине.

Задача 1.

Ученик получил в течении четверти следующие
оценки по алгебре:

5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.

Найдите средний балл и медиану этого набора. [ 3 ]

1. Найдем средний балл, то есть среднее
   арифметическое:

= ( 5+4+2+5+5+4+4+5+5+5): 10=44:10 =
4,4

2. Найдем медиану этого набора чисел:

Упорядочим набор чисел: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5

Всего 10 чисел, чтобы найти медиану надо взять
два средних числа и найти их полусумму.

Ме = (5+5):2 = 5

Вопрос к учащимся: Если бы вы были учителем,
какую бы вы поставили оценку за четверть этому
ученику? Ответ обоснуйте.

Задача 2.

Президент компании получает зарплату 300000 руб.
три его заместителя получают по 150000 руб., сорок
служащих – по 50000 руб. и зарплата уборщицы
составляет 10000 руб. Найдите среднее
арифметическое и медиану зарплат в компании.
Какую из этих характеристик выгоднее
использовать президенту в рекламных целях?

= (
300000+3·150000+40·50000+10000):(1+3+40+1) = 2760000:4561333,33 (руб.)

Ме = 50000 руб.

В рекламных целях выгоднее использовать
среднее арифметическое зарплат, т.к. она выше.

Задача 3. (Предложить учащимся решить
самостоятельно, задачу спроецировать с помощью
проектора)

В таблице показан примерный объем воды
крупнейших озер и водохранилищ России в куб. км. (Приложение 3) [ 4 ]

А) Найдите средний объем воды в данных водоемах
(среднее арифметическое);

Б) Найдите объем воды в среднем по величине
водоеме (медиану данных);

В) По вашему мнению, какая из этих характеристик
– среднее арифметическое или медиана – лучше
описывает объем типичного крупного водоема
России? Ответ объясните.

Ответ :

а) 2459 куб. км

б) 60 куб. км

в) Медиана, т.к. данные содержат значения сильно
отличающиеся от всех прочих.

Задача 4. Устно.

А) Сколько чисел в наборе, если его медианой
служит ее девятый член?

Б) Сколько чисел в наборе, если его медианой
служит среднее арифметическое 7-го и 8-го членов?

В) В наборе из семи чисел наибольшее число
увеличили на 14. Изменится ли при этом и как
среднее арифметическое и медиана ?

Г) Каждое из чисел набора увеличили на 3. Что
произойдет со средним арифметическим и медианой?

Задача 5.

Конфеты в магазине продают на вес. Чтобы узнать,
сколько конфет содержится в одном килограмме,
Маша решила найти вес одной конфеты. Она взвесила
несколько конфет и получила следующие
результаты:

12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.

Решение.

= 13,33

Ме = 13

Для оценки веса одной конфеты пригодны обе
характеристики, т.к. они не сильно отличаются
друг от друга.

Итак, для характеристики статистической
информации используют среднее арифметическое и
медиану. Во многих случаях какая-то из
характеристик может не иметь никакого
содержательного смысла( например, имея сведения
о времени дорожно-транспортных происшествий,
вряд ли имеет смысл говорить о среднем
арифметическом этих данных).

1. Домашнее задание :пункт 11, № 3,4,9,11.
2. Итоги урока. Рефлексия.

Литература:

1. Ю.Н. Тюрин и др. “Теория вероятностей и
   статистика”, Издательство МЦНМО, ОАО
   “Московские учебники”, Москва 2008.
2. Е.А. Бунимович, В.А. Булычев “Основы статистики и
   вероятность”, ДРОФА, Москва 2004.
3. Газета “Математика” №23, 2007 год.
4. Демоверсия контрольной работы по теории
   вероятностей и статистике для 7 класса, 2007/2008 уч.
   год.