Как найти арифметическое число дроби 5 класс

Среднее арифметическое

Содержание

Возможно, вы слышали выражения «средний балл за контрольную», «среднее количество осадков» или «средняя годовая температура». Этот урок посвящён среднему арифметическому – тому, что это такое, как находится и где может пригодиться.

Знакомство со средним арифметическим

Решавр, Вообразавр и Иксератопс собирали грибы. Решавр нашёл $5$ грибов, Вообразавр – $7$, а Иксератопс целых $9$! Друзья решили разделить найденное количество грибов поровну.

Они сложили все грибы в кучку, а потом каждый взял себе равное число грибов, то есть они поделили общее количество на $3$.

То число грибов, которое получилось у каждого из друзей, будет средним арифметическим.

Среднее арифметическое нескольких чисел – это сумма этих чисел, разделённая на количество слагаемых.

Задачи на нахождение среднего арифметического

Автомобиль $2$ часа ехал через город со скоростью $30$ км/ч, по пригороду час со скоростью $60$ км/час, а затем ещё $3$ часа по трассе со скоростью $100$ км/час. Вычислите среднюю скорость автомобиля.

Сначала найдём сумму всех расстояний. У нас получится $30 cdot 2 + 60 + 100 cdot 3 = 420$

Теперь разделим эту сумму расстояний на количество часов.

Следовательно, если бы автомобиль ехал со скоростью $70$ км/ч в течение такого же времени ($6$ часов), он проехал бы такое же расстояние.

Рассмотрим другую задачу.

Первый рабочий за рабочий день собирает $50$ деталей, второй – $44$ более сложные детали, а третий работает над самыми сложными и делает за день гораздо меньше деталей. Сколько деталей он делает, учитывая, что средняя производительность всех трёх рабочих $38$ деталей за смену?

Зная, что средняя производительность $38$, а рабочих трое, мы можем найти сумму деталей, которые они собирают за день.

Теперь просто вычтем из этого числа то, что делают первые двое рабочих и найдём количество деталей, которые делает третий.

$$(50 + 44 + 20) : 3 = 114 : 3 = 38$$

Среднее арифметическое десятичных дробей

Решать задачи на среднее арифметическое достаточно просто, если речь идёт о натуральных числах. Ненамного сложнее дело обстоит с десятичными дробями.

На рисунке 3 изображены три отрезка. Длина отрезка АВ $5.9$ см, отрезка CD – $7.3$ см, а отрезок EF равен среднему арифметическому первых двух отрезков. Какова длина отрезка EF?

Сложим длины отрезков АВ и CD и вычислим их среднюю длину.

Теперь решим задачу на нахождение слагаемых. Два кролика ели морковку, серый кролик съел в $1.4$ раза больше морковки, чем белый. Сколько морковки съел каждый, если среднее количество съеденного – $7.5$ морковок?

Начинаем «распутывать» наш пример. Если мы знаем, что среднее арифметическое двух чисел – $7.5$, значит, их сумма – $7.5 cdot 2 = 15$

Примем количество съеденного белым кроликом за $x$, тогда серый съел $1.4 cdot x$. Можно составить уравнение:

$$1.4 cdot x + x = 15$$

Вычислим, сколько съел каждый из кроликов.

Сначала найдём значение выражения.

$$1.4 cdot x + x = 2.4 cdot x = 15$$

Мы получили число моркови, которую съел белый кролик. Теперь давайте определим, сколько съел серый.

$$6.25 cdot 1.4 = 8.75$$

Проверим наше решение, сложив количество съеденного обоими кроликами и найдя среднее арифметическое.

Значит, наше решение было верным.

Среднее арифметическое обыкновенных дробей

Вычислять среднее арифметическое обыкновенных дробей приходится не так уж часто. Но давайте рассмотрим, как это делается.

Особенность поиска среднего арифметического обыкновенных дробей состоит в том, что нужно складывать их, а, значит, приводить к общему знаменателю.

Напомним, что приведение к общему знаменателю основывается на основном свойстве дроби, которое позволяет умножить обе части дроби на одно и то же число без изменения значения. Таким образом, мы можем найти для дробных слагаемых дополнительные множители, с помощью которых знаменатели слагаемых станут одинаковыми.

Найдём среднее арифметическое дробей $frac<2><3>$ и $frac<4><7>$.

Мы можем выполнить сложение только в том случае, если у обоих слагаемых будет одинаковый знаменатель. Сначала нужно понять, к какому наименьшему общему знаменателю нужно привести эти дроби. Для этого требуется найти число, которое делится и на $3$, и на $7$. Это число будет называться НОК (наименьшее общее кратное). Для чисел $3$ и $7$ это будет произведение этих чисел, $21$.

Для того чтобы вычислить дополнительные множители, нужно разделить НОК на каждый из знаменателей. Таким образом, для $3$ дополнительным множителем будет $7$, а для $7$ это будет $3$.

Умножаем обе части дроби на один и тот же дополнительный множитель.

Теперь у нас две дроби с одинаковым знаменателем, и мы можем легко их сложить.

Осталось только разделить эту сумму на число слагаемых. При делении обыкновенной дроби нужно умножить знаменатель дроби на делитель:

Эту дробь можно сократить, разделив обе части на $2$. У нас получится $frac<13><21>$.

Многие операции, которые мы разобрали подробно, можно сделать и устно – здесь они расписаны так только для того, чтобы немного повторить пройденный материал.

Разберём ещё пример со смешанными дробями. Найдём среднее арифметическое для дробей $2frac<1><6>$ и $3frac<1><15>$.

Сначала нужно перевести каждую из этих смешанные дробей в неправильную. Для этого нужно умножить целое число на знаменатель и прибавить числитель.

Теперь приведём эти дроби к общему знаменателю. НОК $(15$ и $6) = 30$

Теперь подбираем дополнительные множители и складываем наши дроби.

Мы могли бы выделить целую часть из этой дроби, но нет необходимости, так как мы не закончили вычисления. Для нахождения среднего арифметического разделим полученное число на $2$ (другими словами, умножим дробь на число, обратное делителю, в данном случае $frac<1><2>$).

Если мы захотим поделить $37$ на $60$, у нас получится периодическая дробь: $0.61(6) $

Если нужно записать ответ в виде десятичной дроби, то можно использовать периодическую дробь. В некоторых случаях можно округлить эту дробь, например, $0.61(6) $ приблизительно равно $0.62$

Но если в условиях не сказано, что нужна именно десятичная дробь, лучше оставить обыкновенную, так как она будет точно передавать значение выражения.

Простая формула, чтобы подсчитать среднее арифметическое

О чем эта статья:

Понятие среднего арифметического

Среднее арифметическое нескольких чисел — это сумма этих чисел, которую разделили на количество слагаемых. Формула среднего арифметического, которую обычно проходят в 5 классе, выглядит так:

Потренируемся использовать формулу среднего арифметического.

Например, найдем среднее арифметическое чисел 2, 3 и 4. Обозначим среднее значение латинской буквой «m» и посчитаем сумму этих чисел.

Разделим результат на количество чисел в задании, то есть на 3, и получим ответ — 3.

Применить эти знания можно в любой сфере жизни, где нужно обобщить и дать среднюю оценку: узнать среднюю цену товара в разных магазинах, вычислить среднюю зарплату сотрудников компании, сравнить среднюю посещаемость занятий учениками 5А и 5Б.

Средняя скорость движения — это весь пройденный путь, поделенный на время движения. Формула:

Так мы рассмотрели самые основные методы нахождения среднего значения. Теперь осталось попрактиковаться на примерах, чтобы быстро решать задачки на контрольной.

Примеры расчета среднего арифметического

Пример 1. Вычислить среднее арифметическое 33,3 и 55,5.

Чтобы найти среднее арифметическое двух чисел, надо сложить эти числа и результат разделить на 2: (33,3 + 55,5) : 2 = 88,8 : 2 = 44,4.

Пример 2. Подсчитать среднее арифметическое 7,5 и 8 и 0,5.

Чтобы найти среднее арифметическое трех чисел, надо сложить эти числа и результат разделить на 3: (7,5 + 8 + 0,5) : 3 = 16 : 3 = 5,33.

Пример 3. Найти среднее арифметическое 202, 105, 67 и 9.

Чтобы найти среднее арифметическое четырех чисел, надо сложить эти числа и результат разделить на 4: (202 + 105 + 67 + 9) : 4 = 383 : 4 = 95,75.

Пример 4. Сколько в среднем тратит школьник денег в неделю, если в понедельник он потратил 80 рублей, во вторник 75 рублей, в среду и четверг по 100 рублей, в пятницу 50 рублей.

Чтобы найти сколько в среднем школьник потратил за пять дней, надо сложить эти суммы и результат разделить на 5: (80 + 75 + 100 + 100 + 50) : 5 = 405 : 5 = 81.

Ответ: школьник в неделю тратит в среднем 81 рубль.

Еще больше интересных практических заданий — на курсах математики в онлайн-школе Skysmart. Вводный урок — бесплатно!

“Среднее арифметическое”. Урок математики в 5-м классе

Разделы: Математика

Тема урока: «Среднее арифметическое».

Класс: 5.

Цели:

• Образовательная: ввести понятие среднего арифметического, формирование умений вычислять среднее арифметическое чисел;
• Воспитательная: воспитание дисциплинированности, аккуратности, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при нахождении среднего арифметического чисел;
• Развивающая: развитие математической речи.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Вид урока: мультимедийный урок.

Методы:

• обучения – эвристический;
• преподавания – объяснительно-побуждающий;
• учения– частично-поисковый.

Оборудование:мультимедийный проектор, слайды, созданные в программе Microsoft Power Point (Приложение), доска.

Эпиграф к уроку:Чем больше я знаю, тем больше умею.

I. Организационный момент

II. Устная работа

(Начинается демонстрация слайда )

1. Вычислите сумму:

а) 0,14 + 0,06; б) 2,78 + 5,22;
в) 3,7 + 1,13; г) 4 + 0,4;
д) 1,45 + 0,5; е) 16,3 + 3,07.

2. Найдите частное:

а) 0,42 : 7; б) 4,08 : 0,04;
в) 50 : 0,5; г) 0,18 : 0,6;
д) 1 : 0,2; е) 6 : 0,03.

III. Изучение нового материала

Учитель.Ребята, сегодня мы изучим новую тему. Называется она «Среднее арифметическое». Запишем число и тему урока.
(Демонстрируется слайд 2).
(Начинается демонстрация слайда 3). Рассмотрим задачу: У Ани 14 конфет, у Кати 9 конфет, а у Оли 10 конфет. Сколько конфет достанется каждой девочке, если конфеты разделить между ними поровну? Решение обсуждается с учащимися.
14 + 9 + 10 = 33 (конфеты)
33 : 3 = 11 (конфет)
Число 11 называют средним арифметическим чисел 14; 9 и 10.
Рассмотрим еще задачу (демонстрируется слайд 4): Миша, Петя и Коля были в походе. Подойдя к лесу, они решили сделать привал. У Миши было 2 пирожка, у Пети 4 и у Коли 6. Все пирожки мальчики разделили поровну и съели. Сколько пирожков съел каждый?
Совместно с учащимися получается:
2 + 4 + 6 = 12 (пирожков)
12 : 3 = 4 (пирожка)
Число 4 называется средним арифметическим чисел 2; 4 и 6.
Ребята, что же называется средним арифметическим чисел? ( Ответы учащихся)
(Далее демонстрируется слайд 5)
Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.
Как найти среднее арифметическое нескольких чисел? (Ответы ребят)
(Слайд 6)
Среднее арифметическое = (Сумма чисел) : (количество слагаемых)
(Учащиеся записывают в тетрадях)

IV. Закрепление изученного материала

Ребята, давайте закрепим наши знания, решаем номер № 1497 (б, в). (Начинается демонстрация слайда 7).
№ 1497 (б) решается совместно с учителем.
0,1 + 0,2 + 0,3 = 0,6
0,6 : 3 = 0,2
Можно писать короче: (0,1 + 0,2 + 0,3) : 3 = 0,2. Пишем ответ.
Ответ: 0,2.
№ 1497 (в) – у доски
№ 1502 – у доски
(5,3 + 5,4 + 4,8 + 5,0 + 5,3 + 5,4 + 5,3 + 5,2 + 5,1) : 9 = 46,8 : 9 = 5,2
Ответ: 5,2.

Физкультминутка

Поднимает руки класс – это «раз».
Повернулась голова – это «два».
Руки вниз, вперед смотри – это «три».
Руки в стороны пошире развернули на «четыре»,
С силой их к плечам прижать – это «пять».
Всем ребятам надо сесть – это «шесть».

(Демонстрируется слайд 8)

1) Найти среднее арифметическое первых пяти натуральных чисел.
Вспоминаем какие числа называются натуральными. Решают самостоятельно.
(1 + 2 + 3 + 4 + 5) : 5 = 15 : 5 = 3. Ответ: 3.
2) Сумма пяти чисел 20,5. Каково среднее арифметическое этих чисел?
После обсуждения решают самостоятельно.
20,5 : 5 = 4,1. Ответ: 4,1.
3). Утром температура воздуха была 15,3 °С, в полдень 23,4 °С, а вечером 17,1 °С. Вычислить среднюю температуру воздуха за этот день.

V. Задание на дом: № 1525, 1528* (для сильных) (Слайд 9)

VI. Итог урока. Выставление оценок

– Что мы сегодня узнали нового на уроке?
– Что мы научились делать?

Литература:

1. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений/ Н.Я. Виленкин и др. – М.: Мнемозина, 2007.
2. Газета «Математика», № 10 / 2003г.
3. Сборник задач по математике для 5 класса: Пособие для учителей/ С.А. Пономарев, П.В. Стратилатов, Н.И. Сырнев. – М.: Просвещение, 1990.

[spoiler title=”источники:”]

http://skysmart.ru/articles/mathematic/kak-najti-srednee-arifmeticheskoe

http://urok.1sept.ru/articles/564231

[/spoiler]