Как найти арккосинус углов

В данной статье рассматриваются вопросы нахождения значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса заданного числа. Для начала вводятся понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Рассматриваем основные их значения, по таблицам, в том числе и Брадиса, нахождение этих функций.

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Необходимо разобраться в понятиях «значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса».

Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа помогут разобраться в вычислении заданных функций. Значение тригонометрических функций угла равняется числу a, тогда автоматически считается величиной этого угла. Если a – число, тогда это и есть значение функции.

Для четкого понимания рассмотрим пример.

Если имеем арккосинус угла равного π3, то значение косинуса отсюда равно 12 по таблице косинусов. Данный угол расположен в промежутке от нуля до пи, значит, значение арккосинуса 12 получим π на 3. Такое тригонометрическое выражение записывается как arcos(12)=π3.

Величиной угла может быть как градус, так и радиан. Значение угла π3 равняется углу в 60 градусов (подробней разбирается в теме перевода градусов в радианы и обратно). Данный пример с арккосинусом 12 имеет значение 60 градусов. Такая тригонометрическая запись имеет вид arccos12=60°

Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg

Благодаря таблице синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, мы имеет точные значения угла при 0, ±30, ±45, ±60, ±90, ±120, ±135, ±150, ±180 градусов. Таблица достаточно удобна и из нее можно получать некоторые значения для аркфункций, которые имеют название как основные значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Таблица синусов основных углов предлагает такие результаты значений углов:

sin(-π2)=-1, sin(-π3)=-32, sin(-π4)=-22, sin(-π6)=-12,sin 0 =0, sinπ6=12, sinπ4=22, sinπ3=32, sinπ2=1

Учитывая их, можно легко высчитать арксинус числа всех стандартных значений, начиная от -1 и заканчивая 1, также значения от –π2 до +π2 радианов, следуя его основному значению определения. Это и является основными значениями арксинуса.

Для удобного применения значений арксинуса занесем в таблицу. Со временем придется выучить эти значения, так как на практике приходится часто к ним обращаться. Ниже приведена таблица арксинуса с радианным и градусным значением углов.

α -1 -32 -22 -12 0 12 22 32
arcsin αкак угол

в радианах

-π2 -π3 -π4 -π6 0 π6 π4 π3
в градусах -90° -60° -45° -30° 30° 45° 60°
arcsin α как число -π2 -π3 -π4 -π6 0 π6 π4 π3

Для получения основных значений арккосинуса необходимо обратиться к таблице косинусов основных углов. Тогда имеем:

cos 0=1, cos π6=32 , cos π4=22, cos π3=12, cosπ2=0,cos2π3=-12, cos3π4=-22, cos5π6=-32, cosπ=-1

Следуя из таблицы, находим значения арккосинуса:

arccos (-1)=π, arccos (-32)=5π6, arcocos (-22)=3π4, arccos-12=2π3, arccos 0 =π2, arccos 12=π3, arccos 22=π4, arccos32=π6, arccos 1 =0

Таблица арккосинусов.

α -1 -32 -22 -12 0 12 22 32 1
arccos αкак угол

в радианах

π 5π6 3π4 2π3 π2 π3 π4 π6 0
в градусах 180° 150° 135° 120° 90° 60° 45° 30°
arccos α как число π 5π6 3π4 2π3 π2 π3 π4 π6 0

Таким же образом, исходя из определения и стандартных таблиц, находятся значения арктангенса и арккотангенса, которые изображены в таблице арктангенсов и арккотангенсов ниже.

α -3 -1 -33 0 33 1 3
arctg aкак угол в радианах -π3 -π4 -π6 0 π6 π4 π3
в градусах -60° -45° -30° 30° 45° 60°
arctg a как число -π3 -π4 -π6 0 π6 π4 π3

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

arcsin, arccos, arctg и arcctg

Для точного значения arcsin, arccos, arctg и arcctg числа а необходимо знать величину угла. Об этом сказано в предыдущем пункте. Однако, точное значении функции нам неизвестно. Если необходимо найти числовое приближенное значение аркфункций, применяют таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса.

Такая таблица позволяет выполнять довольно точные вычисления, так как значения даются с четырьмя знаками после запятой. Благодаря этому числа выходят точными до минуты. Значения arcsin, arccos, arctg и arcctg отрицательных и положительных чисел сводится к нахождению формул arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел вида arcsin(-α)=-arcsin α, arccos(-α)=π-arccos α, arctg(-α)=-arctg α, arcctg(-α)=π-arcctg α.

Рассмотрим решение нахождения значений  arcsin, arccos, arctg и arcctg с помощью таблицы Брадиса.

Если нам необходимо найти значение арксинуса 0,2857, ищем значение, найдя таблицу синусов. Видим, что данному числу соответствует значение угла sin 16 градусов и 36 минут. Значит, арксинус числа 0,2857 – это искомый угол в 16 градусов и 36 минут. Рассмотрим на рисунке ниже.

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

Правее градусов имеются столбцы называемые поправки. При искомом арксинусе 0,2863 используется та самая поправка в 0,0006, так как ближайшим числом будет 0,2857. Значит, получим синус 16 градусов 38 минут и 2 минуты, благодаря поправке. Рассмотрим рисунок с изображением таблицы Брадиса.

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

Бывают ситуации, когда искомого числа нет в таблице и даже с поправками его не найти, тогда отыскивается два самых близких значения синусов. Если искомое число 0,2861573, то числа 0,2860 и 0,2863 являются ближайшими его значениями. Этим числам соответствуют значения синуса 16 градусов 37 минут и 16 градусов и 38 минут. Тогда приближенное значение данного числа можно определить с точностью до минуты.

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

Таким образом находятся значения arcsin, arccos, arctg и arcctg.

Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Чтобы найти арксинус через известный арккосинус данного числа, нужно применить тригонометрические формулы arcsin α+arccos α=π2, arctg α+arcctg α=π2 (не обходимо просмотреть тему формул суммы арккосинуса и арксинуса, суммы арктангенса и арккотангенса).

При известном arcsin α= -π12 необходимо найти значение arccos α, тогда необходимо вычислить арккосинус по формуле:

arccos α=π2−arcsin α=π2−(−π12)=7π12.

Если необходимо найти значение арктангенса или арккотангенса числа a с помощью известного арксинуса или арккосинуса, необходимо производить долгие вычисления, так как стандартных формул нет. Рассмотрим на примере.

Если дан арккосинус числа а равный π10, а вычислить арктангенс данного числа поможет таблица тангенсов. Угол π10 радиан представляет собой 18 градусов, тогда по таблице косинусов видим, что косинус 18 градусов имеет значение 0,9511, после чего заглядываем в таблицу Брадиса.

Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

При поиске значения арктангенса 0,9511  определяем, что значение угла имеет 43 градуса и 34 минуты. Рассмотрим по таблице ниже.

Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Фактически, таблица Брадиса помогает в нахождении необходимого значения угла и при значении угла позволяет определить количество градусов.

  • Определение

  • График арккосинуса

  • Свойства арккосинуса

  • Таблица арккосинусов

Определение

Арккосинус (arccos) – это обратная тригонометрическая функция.

Арккосинус x определяется как функция, обратная к косинусу x, при -1≤x≤1.

Если косинус угла у равен х (cos y = x), значит арккосинус x равняется y:

arccos x = cos-1 x = y

Примечание: cos-1x означает обратный косинус, а не косинус в степени -1.

Например:

arccos 1 = cos-1 1 = 0° (0 рад)

График арккосинуса

Функция арккосинуса пишется как y = arccos (x). График в общем виде выглядит следующим образом:

График арккосинуса

Свойства арккосинуса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства арккосинуса с формулами.

Таблица арккосинусов

x arccos x (рад) arccos x (°)
-1 π 180°
-√3/2 5π/6 150°
-√2/2 3π/4 135°
-1/2 2π/3 120°
0 π/2 90°
1/2 π/3 60°
2/2 π/4 45°
3/2 π/6 30°
1 0

microexcel.ru

Арккосинус(y = arccos(x)) – это обратная тригонометрическая функция к косинусу x = cos(y). Область определения -1 ≤ x ≤ 1 и множество значений 0 ≤ y ≤ π.

arccos(1) = 0° arccos(-0.5) = 120° arccos(-0.5) = 240°
arccos(0.9998476952) = 1° arccos(-0.5150380749) = 121° arccos(-0.4848096202) = 241°
arccos(0.999390827) = 2° arccos(-0.5299192642) = 122° arccos(-0.4694715628) = 242°
arccos(0.9986295348) = 3° arccos(-0.544639035) = 123° arccos(-0.4539904997) = 243°
arccos(0.9975640503) = 4° arccos(-0.5591929035) = 124° arccos(-0.4383711468) = 244°
arccos(0.9961946981) = 5° arccos(-0.5735764364) = 125° arccos(-0.4226182617) = 245°
arccos(0.9945218954) = 6° arccos(-0.5877852523) = 126° arccos(-0.4067366431) = 246°
arccos(0.9925461516) = 7° arccos(-0.6018150232) = 127° arccos(-0.3907311285) = 247°
arccos(0.9902680687) = 8° arccos(-0.6156614753) = 128° arccos(-0.3746065934) = 248°
arccos(0.9876883406) = 9° arccos(-0.629320391) = 129° arccos(-0.3583679495) = 249°
arccos(0.984807753) = 10° arccos(-0.6427876097) = 130° arccos(-0.3420201433) = 250°
arccos(0.9816271834) = 11° arccos(-0.656059029) = 131° arccos(-0.3255681545) = 251°
arccos(0.9781476007) = 12° arccos(-0.6691306064) = 132° arccos(-0.3090169944) = 252°
arccos(0.9743700648) = 13° arccos(-0.6819983601) = 133° arccos(-0.2923717047) = 253°
arccos(0.9702957263) = 14° arccos(-0.6946583705) = 134° arccos(-0.2756373558) = 254°
arccos(0.9659258263) = 15° arccos(-0.7071067812) = 135° arccos(-0.2588190451) = 255°
arccos(0.9612616959) = 16° arccos(-0.7193398003) = 136° arccos(-0.2419218956) = 256°
arccos(0.956304756) = 17° arccos(-0.7313537016) = 137° arccos(-0.2249510543) = 257°
arccos(0.9510565163) = 18° arccos(-0.7431448255) = 138° arccos(-0.2079116908) = 258°
arccos(0.9455185756) = 19° arccos(-0.7547095802) = 139° arccos(-0.1908089954) = 259°
arccos(0.9396926208) = 20° arccos(-0.7660444431) = 140° arccos(-0.1736481777) = 260°
arccos(0.9335804265) = 21° arccos(-0.7771459615) = 141° arccos(-0.156434465) = 261°
arccos(0.9271838546) = 22° arccos(-0.7880107536) = 142° arccos(-0.139173101) = 262°
arccos(0.9205048535) = 23° arccos(-0.79863551) = 143° arccos(-0.1218693434) = 263°
arccos(0.9135454576) = 24° arccos(-0.8090169944) = 144° arccos(-0.1045284633) = 264°
arccos(0.906307787) = 25° arccos(-0.8191520443) = 145° arccos(-0.08715574275) = 265°
arccos(0.8987940463) = 26° arccos(-0.8290375726) = 146° arccos(-0.06975647374) = 266°
arccos(0.8910065242) = 27° arccos(-0.8386705679) = 147° arccos(-0.05233595624) = 267°
arccos(0.8829475929) = 28° arccos(-0.8480480962) = 148° arccos(-0.0348994967) = 268°
arccos(0.8746197071) = 29° arccos(-0.8571673007) = 149° arccos(-0.01745240644) = 269°
arccos(0.8660254038) = 30° arccos(-0.8660254038) = 150° arccos(0) = 270°
arccos(0.8571673007) = 31° arccos(-0.8746197071) = 151° arccos(0.01745240644) = 271°
arccos(0.8480480962) = 32° arccos(-0.8829475929) = 152° arccos(0.0348994967) = 272°
arccos(0.8386705679) = 33° arccos(-0.8910065242) = 153° arccos(0.05233595624) = 273°
arccos(0.8290375726) = 34° arccos(-0.8987940463) = 154° arccos(0.06975647374) = 274°
arccos(0.8191520443) = 35° arccos(-0.906307787) = 155° arccos(0.08715574275) = 275°
arccos(0.8090169944) = 36° arccos(-0.9135454576) = 156° arccos(0.1045284633) = 276°
arccos(0.79863551) = 37° arccos(-0.9205048535) = 157° arccos(0.1218693434) = 277°
arccos(0.7880107536) = 38° arccos(-0.9271838546) = 158° arccos(0.139173101) = 278°
arccos(0.7771459615) = 39° arccos(-0.9335804265) = 159° arccos(0.156434465) = 279°
arccos(0.7660444431) = 40° arccos(-0.9396926208) = 160° arccos(0.1736481777) = 280°
arccos(0.7547095802) = 41° arccos(-0.9455185756) = 161° arccos(0.1908089954) = 281°
arccos(0.7431448255) = 42° arccos(-0.9510565163) = 162° arccos(0.2079116908) = 282°
arccos(0.7313537016) = 43° arccos(-0.956304756) = 163° arccos(0.2249510543) = 283°
arccos(0.7193398003) = 44° arccos(-0.9612616959) = 164° arccos(0.2419218956) = 284°
arccos(0.7071067812) = 45° arccos(-0.9659258263) = 165° arccos(0.2588190451) = 285°
arccos(0.6946583705) = 46° arccos(-0.9702957263) = 166° arccos(0.2756373558) = 286°
arccos(0.6819983601) = 47° arccos(-0.9743700648) = 167° arccos(0.2923717047) = 287°
arccos(0.6691306064) = 48° arccos(-0.9781476007) = 168° arccos(0.3090169944) = 288°
arccos(0.656059029) = 49° arccos(-0.9816271834) = 169° arccos(0.3255681545) = 289°
arccos(0.6427876097) = 50° arccos(-0.984807753) = 170° arccos(0.3420201433) = 290°
arccos(0.629320391) = 51° arccos(-0.9876883406) = 171° arccos(0.3583679495) = 291°
arccos(0.6156614753) = 52° arccos(-0.9902680687) = 172° arccos(0.3746065934) = 292°
arccos(0.6018150232) = 53° arccos(-0.9925461516) = 173° arccos(0.3907311285) = 293°
arccos(0.5877852523) = 54° arccos(-0.9945218954) = 174° arccos(0.4067366431) = 294°
arccos(0.5735764364) = 55° arccos(-0.9961946981) = 175° arccos(0.4226182617) = 295°
arccos(0.5591929035) = 56° arccos(-0.9975640503) = 176° arccos(0.4383711468) = 296°
arccos(0.544639035) = 57° arccos(-0.9986295348) = 177° arccos(0.4539904997) = 297°
arccos(0.5299192642) = 58° arccos(-0.999390827) = 178° arccos(0.4694715628) = 298°
arccos(0.5150380749) = 59° arccos(-0.9998476952) = 179° arccos(0.4848096202) = 299°
arccos(0.5) = 60° arccos(-1) = 180° arccos(0.5) = 300°
arccos(0.4848096202) = 61° arccos(-0.9998476952) = 181° arccos(0.5150380749) = 301°
arccos(0.4694715628) = 62° arccos(-0.999390827) = 182° arccos(0.5299192642) = 302°
arccos(0.4539904997) = 63° arccos(-0.9986295348) = 183° arccos(0.544639035) = 303°
arccos(0.4383711468) = 64° arccos(-0.9975640503) = 184° arccos(0.5591929035) = 304°
arccos(0.4226182617) = 65° arccos(-0.9961946981) = 185° arccos(0.5735764364) = 305°
arccos(0.4067366431) = 66° arccos(-0.9945218954) = 186° arccos(0.5877852523) = 306°
arccos(0.3907311285) = 67° arccos(-0.9925461516) = 187° arccos(0.6018150232) = 307°
arccos(0.3746065934) = 68° arccos(-0.9902680687) = 188° arccos(0.6156614753) = 308°
arccos(0.3583679495) = 69° arccos(-0.9876883406) = 189° arccos(0.629320391) = 309°
arccos(0.3420201433) = 70° arccos(-0.984807753) = 190° arccos(0.6427876097) = 310°
arccos(0.3255681545) = 71° arccos(-0.9816271834) = 191° arccos(0.656059029) = 311°
arccos(0.3090169944) = 72° arccos(-0.9781476007) = 192° arccos(0.6691306064) = 312°
arccos(0.2923717047) = 73° arccos(-0.9743700648) = 193° arccos(0.6819983601) = 313°
arccos(0.2756373558) = 74° arccos(-0.9702957263) = 194° arccos(0.6946583705) = 314°
arccos(0.2588190451) = 75° arccos(-0.9659258263) = 195° arccos(0.7071067812) = 315°
arccos(0.2419218956) = 76° arccos(-0.9612616959) = 196° arccos(0.7193398003) = 316°
arccos(0.2249510543) = 77° arccos(-0.956304756) = 197° arccos(0.7313537016) = 317°
arccos(0.2079116908) = 78° arccos(-0.9510565163) = 198° arccos(0.7431448255) = 318°
arccos(0.1908089954) = 79° arccos(-0.9455185756) = 199° arccos(0.7547095802) = 319°
arccos(0.1736481777) = 80° arccos(-0.9396926208) = 200° arccos(0.7660444431) = 320°
arccos(0.156434465) = 81° arccos(-0.9335804265) = 201° arccos(0.7771459615) = 321°
arccos(0.139173101) = 82° arccos(-0.9271838546) = 202° arccos(0.7880107536) = 322°
arccos(0.1218693434) = 83° arccos(-0.9205048535) = 203° arccos(0.79863551) = 323°
arccos(0.1045284633) = 84° arccos(-0.9135454576) = 204° arccos(0.8090169944) = 324°
arccos(0.08715574275) = 85° arccos(-0.906307787) = 205° arccos(0.8191520443) = 325°
arccos(0.06975647374) = 86° arccos(-0.8987940463) = 206° arccos(0.8290375726) = 326°
arccos(0.05233595624) = 87° arccos(-0.8910065242) = 207° arccos(0.8386705679) = 327°
arccos(0.0348994967) = 88° arccos(-0.8829475929) = 208° arccos(0.8480480962) = 328°
arccos(0.01745240644) = 89° arccos(-0.8746197071) = 209° arccos(0.8571673007) = 329°
arccos(0) = 90° arccos(-0.8660254038) = 210° arccos(0.8660254038) = 330°
arccos(-0.01745240644) = 91° arccos(-0.8571673007) = 211° arccos(0.8746197071) = 331°
arccos(-0.0348994967) = 92° arccos(-0.8480480962) = 212° arccos(0.8829475929) = 332°
arccos(-0.05233595624) = 93° arccos(-0.8386705679) = 213° arccos(0.8910065242) = 333°
arccos(-0.06975647374) = 94° arccos(-0.8290375726) = 214° arccos(0.8987940463) = 334°
arccos(-0.08715574275) = 95° arccos(-0.8191520443) = 215° arccos(0.906307787) = 335°
arccos(-0.1045284633) = 96° arccos(-0.8090169944) = 216° arccos(0.9135454576) = 336°
arccos(-0.1218693434) = 97° arccos(-0.79863551) = 217° arccos(0.9205048535) = 337°
arccos(-0.139173101) = 98° arccos(-0.7880107536) = 218° arccos(0.9271838546) = 338°
arccos(-0.156434465) = 99° arccos(-0.7771459615) = 219° arccos(0.9335804265) = 339°
arccos(-0.1736481777) = 100° arccos(-0.7660444431) = 220° arccos(0.9396926208) = 340°
arccos(-0.1908089954) = 101° arccos(-0.7547095802) = 221° arccos(0.9455185756) = 341°
arccos(-0.2079116908) = 102° arccos(-0.7431448255) = 222° arccos(0.9510565163) = 342°
arccos(-0.2249510543) = 103° arccos(-0.7313537016) = 223° arccos(0.956304756) = 343°
arccos(-0.2419218956) = 104° arccos(-0.7193398003) = 224° arccos(0.9612616959) = 344°
arccos(-0.2588190451) = 105° arccos(-0.7071067812) = 225° arccos(0.9659258263) = 345°
arccos(-0.2756373558) = 106° arccos(-0.6946583705) = 226° arccos(0.9702957263) = 346°
arccos(-0.2923717047) = 107° arccos(-0.6819983601) = 227° arccos(0.9743700648) = 347°
arccos(-0.3090169944) = 108° arccos(-0.6691306064) = 228° arccos(0.9781476007) = 348°
arccos(-0.3255681545) = 109° arccos(-0.656059029) = 229° arccos(0.9816271834) = 349°
arccos(-0.3420201433) = 110° arccos(-0.6427876097) = 230° arccos(0.984807753) = 350°
arccos(-0.3583679495) = 111° arccos(-0.629320391) = 231° arccos(0.9876883406) = 351°
arccos(-0.3746065934) = 112° arccos(-0.6156614753) = 232° arccos(0.9902680687) = 352°
arccos(-0.3907311285) = 113° arccos(-0.6018150232) = 233° arccos(0.9925461516) = 353°
arccos(-0.4067366431) = 114° arccos(-0.5877852523) = 234° arccos(0.9945218954) = 354°
arccos(-0.4226182617) = 115° arccos(-0.5735764364) = 235° arccos(0.9961946981) = 355°
arccos(-0.4383711468) = 116° arccos(-0.5591929035) = 236° arccos(0.9975640503) = 356°
arccos(-0.4539904997) = 117° arccos(-0.544639035) = 237° arccos(0.9986295348) = 357°
arccos(-0.4694715628) = 118° arccos(-0.5299192642) = 238° arccos(0.999390827) = 358°
arccos(-0.4848096202) = 119° arccos(-0.5150380749) = 239° arccos(0.9998476952) = 359°

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс – начальные сведения

Задача, обратная нахождению значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса данного угла (числа), подразумевает нахождение угла (числа) по известным значениям тригонометрических функций. Она приводит к понятиям арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.

В этой статье мы дадим определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа, введем принятые обозначения, а также приведем примеры арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. В заключение упомянем про аркфункции и покажем, как арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс связаны с единичной окружностью.

Навигация по странице.

Определения, обозначения, примеры

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс можно определить как угол и как число. Это связано с тем, что мы определили синус, косинус, тангенс и котангенс как угла, так и числа (смотрите синус, косинус, тангенс и котангенс в тригонометрии). Остановимся на обоих подходах к определению арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс как угол

Пусть про угол альфа α известно лишь то, что его синус равен числу 1/2 , то есть, sinα=1/2 . Последнее равенство определяет угол α неоднозначно, так как ему удовлетворяет бесконечное множество углов α=(−1) k ·30°+180°·k ( α=(−1) k ·π/6+π·k ), где k∈Z . Однако, если потребовать, чтобы величина угла α в градусах принадлежала отрезку [−90, 90] (в радианах – отрезку [−π/2, π/2] ), то равенство sinα=1/2 будет определять угол альфа однозначно. При этом условии равенству удовлетворяет единственный угол в 30 градусов ( π/6 радианов).

Вообще, равенство sinα=a (не путайте a и альфа: a и α ) при любом числе a∈[−1, 1] и условии −90°≤α≤90° ( −π/2≤α≤π/2 ) определяет единственный угол α . Этот угол называют арксинусом числа a .

Арксинус числа a∈[−1, 1] – это угол −90°≤α≤90° ( −π/2≤α≤π/2 ), синус которого равен a .

Аналогично определяются арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Арккосинус числа a∈[−1, 1] – это угол 0°≤α≤180° ( 0≤α≤π ), косинус которого равен a .

Арктангенс числа a∈(−∞, +∞) – это угол −90° ( −π/2 ), тангенс которого равен a .

Арккотангенс числа a∈(−∞, +∞) – это угол 0° ( 0 ), котангенс которого равен a .

Для записи арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса приняты следующие обозначения: arcsin , arccos , arctg и arcctg . То есть, арксинус числа a можно записать как arcsin a , арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа a запишутся соответственно как arccos a , arctg a и arcctg a .

Также можно встретить обозначения arctan и arccot , они являются другой формой обозначения арктангенса и арккотангенса, которая принята в англоязычной литературе. Мы же арктангенс и арккотангенс будем обозначать как arctg и arcctg .

В свете введенных обозначений, определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа можно записать более формально:

arcsin a , a∈[−1, 1] , есть такой угол α , что −90°≤α≤90° ( −π/2≤α≤π/2 ) и sinα=a ;

arccos a , a∈[−1, 1] , есть такой угол α , что 0°≤α≤180° ( 0≤α≤π ) и cosα=a ;

arctg a , a∈(−∞, +∞) , есть такой угол α , что −90° ( −π/2 ) и tgα=a ;

arcctg a , a∈(−∞, +∞) , есть такой угол α , что 0° ( 0 ) и ctgα=a .

Подчеркнем, что арксинус и арккосинус числа определен для чисел, принадлежащих отрезку [−1, 1] , для остальных чисел арксинус и арккосинус не определен. Например, не имеет смысла запись arcsin2 . Аналогично не определен арксинус пяти, арксинус минус корня из трех, арккосинус семи целых двух третьих и арккосинус минус пи, так как числа 2 , 5 , , −π выходят за пределы числового отрезка от −1 до 1 . В свою очередь записи arctg a и arcctg a имеют смысл для любого действительного числа a , например, имеют смысл записи arctg0 , arctg(−500,2) , arcctg(6·π+1) и т.п.

Теперь можно привести примеры арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.

Начнем с примеров арксинуса. Определение арксинуса позволяет утверждать, что угол π/3 является арксинусом числа , то есть, (здесь и α=π/3 ). Действительно, число принадлежит отрезку [−1, 1] , угол π/3 лежит в пределах от −π/2 до π/2 и . Приведем еще несколько примеров арксинуса числа: arcsin(−1)=−90° , arcsin(0,5)=π/6 , .

А вот π/10 не является арксинусом 1/2 , так как sin(π/10)≠1/2 . Еще пример: несмотря на то, что синус 270 градусов равен −1 , угол 270 градусов не является арксинусом минус единицы, так как 270 градусов не является углом в пределах от −90 до 90 градусов. Более того, угол 270 градусов вообще не может быть арксинусом какого-либо числа, так как арксинус числа должен лежать в пределах от −90 до 90 градусов.

Для полноты картины приведем примеры арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа. Например, угол 0 радианов является арккосинусом единицы, то есть, arccos1=0 (так как выполняются все условия из определения арккосинуса: число 1 принадлежит отрезку от −1 до 1 , угол нуль радианов лежит в пределах от нуля до пи включительно и cos0=1 ). Аналогично, угол π/2 есть арккосинус нуля: arccos0=π/2 . По определению арктангенса числа arctg(−1)=−π/4 или arctg(−1)=−45° . Арктангенс корня из трех равен 60 градусам ( π/3 рад). А из определения арккотангенса можно заключить, что arcctg0=π/2 , так как угол π/2 лежит в рамках от 0 до пи и ctg(π/2)=0 .

Подобный подход к определению арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса описан в учебнике Кочеткова [1, с. 260-278] .

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс как число

Когда мы имеем дело с синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом угла, то естественно арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс определять как угол. Если же мы начинаем говорить про синус, косинус, тангенс и котангенс числа, а не угла, то естественно арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс определять уже как число.

Арксинусом числа a∈[−1, 1] называется такое число t∈[−π/2, π/2] , синус которого равен a .

Алгебра

Лучшие условия по продуктам Тинькофф по этой ссылке

Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера

. 500 руб. на счет при заказе сим-карты по этой ссылке

Лучшие условия по продуктам
ТИНЬКОФФ по данной ссылке

План урока:

Арккосинус

Напомним, что на единичной окружности косинус угла – это координата х точки А, соответствующей этому углу:

Можно утверждать, что косинус – это ф-ция, которая ставит каждому углу в соответствие некоторую координату х. Теперь предположим, что нам известна эта координата (пусть она будет равна величине а), и по ней надо определить значение угла. Отложим на оси Ох отрезок длиной а, проведем через него вертикальную прямую и отметим ее точки пересечения с единичной окружностью. Если – 1 1 либо а n ,будет равно единице, и мы получим первую серию. Если же n – нечетное число, то, то выражение (– 1) n окажется равным (– 1), и мы получим вторую серию.

Задание. Решите ур-ние

Задание. Запишите корни ур-ния

Теперь будем подставлять в это решение значения n, чтобы найти конкретные значения х. Нас интересуют корни, которые больше π, но меньше 4π, поэтому будем сразу сравнивать полученные результаты с этими числами.

Получили два корня, относящихся к промежутку – это 7π/3 и 8π/3. Нет смысла проверять другие возможные значения n, ведь они будут давать корни, заведомо меньшие 2π/3 или большие 13π/3:

Ответ: 7π/3 и 8π/3.

Как и в случае с косинусом, есть несколько частных случаев, когда решение ур-ния записывается проще. Ур-ние

Это видно из графика, где корням ур-ния соответствуют точки пересечения синусоиды с осью Ох:

Наконец, решениями ур-ния

Решение уравнений tgx = a и ctgx = a

Ур-ния вида tgx = a отличаются тем, что имеют решение при любом значении а. Действительно, построим одну тангенсоиду и проведем горизонтальную линии у = а. При любом а прямая пересечет тангенсоиду, причем ровно в одной точке, которая имеет координаты (arctga; a):

Таким образом, у ур-ния tgx = a существует очевидное решение

Однако напомним, что тангенс является периодической ф-цией, его график представляет собой бесконечное множество тангенсоид, расстояние между которыми равно π. Поэтому корень х = arctga порождает целую серию корней, которую можно записать так:

Задание. Решите ур-ние

Задание. Запишите формулу корней ур-ния

Далее рассмотрим ур-ние вида

Задание. Решите ур-ние

Существует особый случай, когда нельзя заменить котангенс на тангенс. В ур-нии

Из сегодняшнего урока мы узнали про обратные тригонометрические ф-ции – арксинус, арккосинус и арктангенс. Также мы научились находить решения простейших тригонометрических уравнений. Это поможет нам в будущем при изучении более сложных ур-ний.

Нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

В данной статье рассматриваются вопросы нахождения значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса заданного числа. Для начала вводятся понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Рассматриваем основные их значения, по таблицам, в том числе и Брадиса, нахождение этих функций.

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Необходимо разобраться в понятиях «значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса».

Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа помогут разобраться в вычислении заданных функций. Значение тригонометрических функций угла равняется числу a , тогда автоматически считается величиной этого угла. Если a – число, тогда это и есть значение функции.

Для четкого понимания рассмотрим пример.

Если имеем арккосинус угла равного π 3 , то значение косинуса отсюда равно 1 2 по таблице косинусов. Данный угол расположен в промежутке от нуля до пи, значит, значение арккосинуса 1 2 получим π на 3 . Такое тригонометрическое выражение записывается как a r cos ( 1 2 ) = π 3 .

Величиной угла может быть как градус, так и радиан. Значение угла π 3 равняется углу в 60 градусов (подробней разбирается в теме перевода градусов в радианы и обратно). Данный пример с арккосинусом 1 2 имеет значение 60 градусов. Такая тригонометрическая запись имеет вид a r c cos 1 2 = 60 °

Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg

Благодаря таблице синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, мы имеет точные значения угла при 0 , ± 30 , ± 45 , ± 60 , ± 90 , ± 120 , ± 135 , ± 150 , ± 180 градусов. Таблица достаточно удобна и из нее можно получать некоторые значения для аркфункций, которые имеют название как основные значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Таблица синусов основных углов предлагает такие результаты значений углов:

sin ( – π 2 ) = – 1 , sin ( – π 3 ) = – 3 2 , sin ( – π 4 ) = – 2 2 , sin ( – π 6 ) = – 1 2 , sin 0 = 0 , sin π 6 = 1 2 , sin π 4 = 2 2 , sin π 3 = 3 2 , sin π 2 = 1

Учитывая их, можно легко высчитать арксинус числа всех стандартных значений, начиная от – 1 и заканчивая 1 , также значения от – π 2 до + π 2 радианов, следуя его основному значению определения. Это и является основными значениями арксинуса.

Для удобного применения значений арксинуса занесем в таблицу. Со временем придется выучить эти значения, так как на практике приходится часто к ним обращаться. Ниже приведена таблица арксинуса с радианным и градусным значением углов.

в р а д и а н а х

α – 1 – 3 2 – 2 2 – 1 2 0 1 2 2 2 3 2
a r c sin α к а к у г о л – π 2 – π 3 – π 4 – π 6 0 π 6 π 4 π 3
в г р а д у с а х – 90 ° – 60 ° – 45 ° – 30 ° 0 ° 30 ° 45 ° 60 °
a r c sin α к а к ч и с л о – π 2 – π 3 – π 4 – π 6 0 π 6 π 4 π 3

Для получения основных значений арккосинуса необходимо обратиться к таблице косинусов основных углов. Тогда имеем:

cos 0 = 1 , cos π 6 = 3 2 , cos π 4 = 2 2 , cos π 3 = 1 2 , cos π 2 = 0 , cos 2 π 3 = – 1 2 , cos 3 π 4 = – 2 2 , cos 5 π 6 = – 3 2 , cos π = – 1

Следуя из таблицы, находим значения арккосинуса:

a r c cos ( – 1 ) = π , arccos ( – 3 2 ) = 5 π 6 , arcocos ( – 2 2 ) = 3 π 4 , arccos – 1 2 = 2 π 3 , arccos 0 = π 2 , arccos 1 2 = π 3 , arccos 2 2 = π 4 , arccos 3 2 = π 6 , arccos 1 = 0

в р а д и а н а х

α – 1 – 3 2 – 2 2 – 1 2 0 1 2 2 2 3 2 1
a r c cos α к а к у г о л π 5 π 6 3 π 4 2 π 3 π 2 π 3 π 4 π 6 0
в г р а д у с а х 180 ° 150 ° 135 ° 120 ° 90 ° 60 ° 45 ° 30 ° 0 °
a r c cos α к а к ч и с л о π 5 π 6 3 π 4 2 π 3 π 2 π 3 π 4 π 6 0

Таким же образом, исходя из определения и стандартных таблиц, находятся значения арктангенса и арккотангенса, которые изображены в таблице арктангенсов и арккотангенсов ниже.

α – 3 – 1 – 3 3 0 3 3 1 3
a r c t g a к а к у г о л в р а д и а н а х – π 3 – π 4 – π 6 0 π 6 π 4 π 3
в г р а д у с а х – 60 ° – 45 ° – 30 ° 0 ° 30 ° 45 ° 60 °
a r c t g a к а к ч и с л о – π 3 – π 4 – π 6 0 π 6 π 4 π 3

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g

Для точного значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g числа а необходимо знать величину угла. Об этом сказано в предыдущем пункте. Однако, точное значении функции нам неизвестно. Если необходимо найти числовое приближенное значение аркфункций, применяют таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса.

Такая таблица позволяет выполнять довольно точные вычисления, так как значения даются с четырьмя знаками после запятой. Благодаря этому числа выходят точными до минуты. Значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g отрицательных и положительных чисел сводится к нахождению формул a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g противоположных чисел вида a r c sin ( – α ) = – a r c sin α , a r c cos ( – α ) = π – a r c cos α , a r c t g ( – α ) = – a r c t g α , a r c c t g ( – α ) = π – a r c c t g α .

Рассмотрим решение нахождения значений a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g с помощью таблицы Брадиса.

Если нам необходимо найти значение арксинуса 0 , 2857 , ищем значение, найдя таблицу синусов. Видим, что данному числу соответствует значение угла sin 16 градусов и 36 минут. Значит, арксинус числа 0 , 2857 – это искомый угол в 16 градусов и 36 минут. Рассмотрим на рисунке ниже.

Правее градусов имеются столбцы называемые поправки. При искомом арксинусе 0 , 2863 используется та самая поправка в 0 , 0006 , так как ближайшим числом будет 0 , 2857 . Значит, получим синус 16 градусов 38 минут и 2 минуты, благодаря поправке. Рассмотрим рисунок с изображением таблицы Брадиса.

Бывают ситуации, когда искомого числа нет в таблице и даже с поправками его не найти, тогда отыскивается два самых близких значения синусов. Если искомое число 0,2861573, то числа 0,2860 и 0,2863 являются ближайшими его значениями. Этим числам соответствуют значения синуса 16 градусов 37 минут и 16 градусов и 38 минут. Тогда приближенное значение данного числа можно определить с точностью до минуты.

Таким образом находятся значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g .

Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Чтобы найти арксинус через известный арккосинус данного числа, нужно применить тригонометрические формулы a r c sin α + a r c cos α = π 2 , a r c t g α + a r c c t g α = π 2 (не обходимо просмотреть тему формул суммы арккосинуса и арксинуса, суммы арктангенса и арккотангенса).

При известном a r c sin α = – π 12 необходимо найти значение a r c cos α , тогда необходимо вычислить арккосинус по формуле:

a r c cos α = π 2 − a r c sin α = π 2 − ( − π 12 ) = 7 π 12 .

Если необходимо найти значение арктангенса или арккотангенса числа a с помощью известного арксинуса или арккосинуса, необходимо производить долгие вычисления, так как стандартных формул нет. Рассмотрим на примере.

Если дан арккосинус числа а равный π 10 , а вычислить арктангенс данного числа поможет таблица тангенсов. Угол π 10 радиан представляет собой 18 градусов, тогда по таблице косинусов видим, что косинус 18 градусов имеет значение 0 , 9511 , после чего заглядываем в таблицу Брадиса.

При поиске значения арктангенса 0 , 9511 определяем, что значение угла имеет 43 градуса и 34 минуты. Рассмотрим по таблице ниже.

Фактически, таблица Брадиса помогает в нахождении необходимого значения угла и при значении угла позволяет определить количество градусов.

[spoiler title=”источники:”]

http://100urokov.ru/predmety/urok-4-prostejshaya-trigonometriya

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/trigonometrija/nahozhdenie-znachenij-arksinusa-arkkosinusa-arktan/

[/spoiler]

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arcus — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Так, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Манера обозначать таким образом обратные тригонометрических функции появилась у австрийского математика XVIII века Карла Шерфера и закрепилась благодаря Лагранжу. Впервые специальный символ для обратной тригонометрической функции использовал Даниил Бернулли в 1729 году. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: {displaystyle sin ^{-1},{frac {1}{sin }},} но они не прижились[1].
Лишь изредка в иностранной литературе, также как и в научных/инженерных калькуляторах, пользуются обозначениями типа sin−1, cos−1 для арксинуса, арккосинуса и т. п.[2], — такая запись считается не очень удобной, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.

Тригонометрические функции периодичны, поэтому функции, обратные к ним, многозначны. То есть, значение аркфункции представляет собой множество углов (дуг), для которых соответствующая прямая тригонометрическая функция равна заданному числу. Например, arcsin 1/2 означает множество углов left ( frac{pi}{6}, frac{5 pi}{6}, frac{13 pi}{6}, frac{17 pi}{6} dots ~ (30^circ, 150^circ, 390^circ, 510^circ dots) right ), синус которых равен 1/2. Из множества значений каждой аркфункции выделяют её главные значения (см. графики главных значений аркфункций ниже), которые обычно и имеют в виду, говоря об арксинусе, арккосинусе и т. д.

В общем случае при условии -1leqslant alpha leqslant 1 все решения уравнения sin x=alpha можно представить в виде x=(-1)^{n}arcsin alpha +pi n,~n=0,pm 1,pm 2,dots ~.[3]

Основное соотношение[править | править код]

arcsin x+arccos x={frac  {pi }{2}}
operatorname {arctg},x+operatorname {arcctg},x={frac  {pi }{2}}

Функция arcsin[править | править код]

График функции y=arcsin x

Аркси́нусом числа x называется такое значение угла y, выраженного в радианах, для которого {displaystyle sin y=x,quad -{frac {pi }{2}}leqslant yleqslant {frac {pi }{2}},quad |x|leqslant 1.}

Функция y=arcsin x непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей.

Свойства функции arcsin[править | править код]

Получение функции arcsin[править | править код]

Дана функция y=sin x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, на всей числовой прямой обратное соответствие y=arcsin x функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок {displaystyle [-pi /2;pi /2]}, на котором функция y=sin x строго монотонно возрастает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на отрезке {displaystyle [-pi /2;pi /2]} существует обратная функция y=arcsin x, график которой симметричен графику функции y=sin x относительно прямой y=x.

Функция arccos[править | править код]

График функции y=arccos x

Аркко́синусом числа x называется такое значение угла y в радианной мере, для которого {displaystyle cos y=x,qquad 0leqslant yleqslant pi ,quad |x|leqslant 1.}

Функция y=arccos x непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей и неотрицательной.

Свойства функции arccos[править | править код]

Получение функции arccos[править | править код]

Дана функция y=cos x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, на всей числовой прямой обратное соответствие y=arccos x функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок [0;pi ], на котором функция y=cos x строго монотонно убывает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на отрезке [0;pi ] существует обратная функция {displaystyle y=arccos x}, график которой симметричен графику функции y=cos x относительно прямой y=x.

Функция arctg[править | править код]

График функции y=operatorname {arctg},x

Аркта́нгенсом числа x называется такое значение угла {displaystyle y,} выраженное в радианах, для которого {displaystyle operatorname {tg} y=x,quad -{frac {pi }{2}}<y<{frac {pi }{2}}.}

Функция y=operatorname {arctg}x определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго возрастающей.

Свойства функции arctg[править | править код]

Получение функции arctg[править | править код]

Дана функция y=operatorname {tg},x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y=operatorname {arctg},x функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал {displaystyle (-pi /2;pi /2)}, на котором функция y=operatorname {tg},x строго монотонно возрастает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на интервале {displaystyle (-pi /2;pi /2)} существует обратная функция y=operatorname {arctg},x, график которой симметричен графику функции y=operatorname {tg},x относительно прямой y=x.

Функция arcctg[править | править код]

График функции {displaystyle y=operatorname {arcctg} x}

Арккота́нгенсом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого {displaystyle operatorname {ctg} ,y=x,quad 0<y<pi .}

Функция y=operatorname {arcctg},x определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго убывающей и всюду положительной.

Свойства функции arcctg[править | править код]

Получение функции arcctg[править | править код]

Дана функция y=operatorname {ctg},x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y=operatorname {arcctg},x функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал (0;pi ), на котором функция y=operatorname {ctg},x строго монотонно убывает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на интервале (0;pi ) существует обратная функция y=operatorname {arcctg},x, график которой симметричен графику функции y=operatorname {ctg},x относительно прямой y=x.

График арккотангенса получается из графика арктангенса, если последний отразить относительно оси ординат (то есть заменить знак аргумента, xrightarrow -x) и сместить вверх на π/2; это вытекает из вышеупомянутой формулы operatorname {arcctg}x=operatorname {arctg}(-x)+pi /2.

Функция arcsec[править | править код]

График функции {displaystyle y=operatorname {arcsec} x}

Арксе́кансом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого {displaystyle sec y=x,qquad |x|geqslant 1,quad 0leqslant yleqslant pi .}

Функция {displaystyle y=operatorname {arcsec} x} непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей и всюду неотрицательной.

Свойства функции arcsec[править | править код]

Функция arccosec[править | править код]

График функции {displaystyle y=operatorname {arccosec} x}

Арккосе́кансом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого {displaystyle operatorname {cosec} y=x,qquad |x|geqslant 1,quad -pi /2leqslant yleqslant pi /2.}

Функция {displaystyle y=operatorname {arccosec} x} непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей.

Свойства функции arccosec[править | править код]

Разложение в ряды[править | править код]

Производные от обратных тригонометрических функций[править | править код]

Все обратные тригонометрические функции бесконечно дифференцируемы в каждой точке своей области определения. Первые производные:

производные обратных тригонометрических функций

Функция f(x) Производная f'(x) Примечание
{displaystyle arcsin {x}} {frac  {1}{{sqrt  {1-x^{2}}}}}

Доказательство                                 

Найти производную арксинуса можно при помощи взаимно обратных функций.
{displaystyle sin(arcsin((x))=x}
После чего мы должны взять производную этих обеих функций.
{displaystyle [sin(arcsin((x))]'=x'}
{displaystyle cos(arcsin(x))cdot (arcsin(x))'=1}
Теперь мы должны выразить производную арксинуса.
{displaystyle (arcsin(x))'={frac {1}{cos(arcsin(x))}}}
Исходя из тригонометрического тождества({displaystyle sin^{2}x+cos^{2}x=1}) — получаем.
{displaystyle (arcsin(x))'={frac {1}{pm {sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))}}}}}
Для того, чтобы понять плюс должен стоять или минус взглянем какие значения.
{displaystyle D(cos(x))=[{frac {pi }{2}};-{frac {pi }{2}}]}
Так как косинус находится в 2-й и 4-й четвертях то, получается что косинус положительный.
{displaystyle (arcsin(x))'={frac {1}{sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))}}}}
Получается.
{displaystyle (arcsin(x))'={frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}}

{displaystyle arccos {x}} -{frac  {1}{{sqrt  {1-x^{2}}}}}

Доказательство                                 

Найти производную арккосинуса можно при помощи данного тождества:
{displaystyle arcsin(x)+arccos(x)={frac {pi }{2}}}
Теперь находим производную обеих частей этого тождества.
{displaystyle [arcsin(x)+arccos(x)]'=({frac {pi }{2}})'}
{displaystyle (arcsin(x))'+(arccos(x))'=0}
Теперь выражаем производную арккосинуса.
{displaystyle (arccos(x))'=-(arcsin(x))'}
Получается.
{displaystyle (arccos(x))'=-{frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}}

{displaystyle mathrm {arctg}  x} {displaystyle {frac {1}{1+x^{2}}}}

Доказательство                                 

Найти производную арктангенса можно при помощи взаимнообратной функции:
{displaystyle tg(arctg(x))=x}
Теперь находим производную обеих частей этого тождества.
{displaystyle [tg(arctg(x))]'=1}
{displaystyle {frac {1}{cos^{2}(arctg(x))}}cdot (arctg(x))'=1}
Теперь мы должны выразить производную арктангенса:
{displaystyle (arctg(x))'=cos^{2}(arctg(x))}
Теперь на помощь нам придет на помощь тождество({displaystyle cos(x)={frac {1}{sqrt {1+tg^{2}(x)}}}}):
{displaystyle (arctg(x))'=({frac {1}{sqrt {1+tg^{2}(arctg(x))}}})^{2}}
Получается.
{displaystyle (arctg(x))'={frac {1}{1+x^{2}}}}

{displaystyle mathrm {arcctg}  x} {displaystyle -{frac {1}{1+x^{2}}}}

Доказательство                                 

Найти производную арккотангенса можно при помощи данного тождества:
{displaystyle arctg(x)+arcctg(x)={frac {pi }{2}}}
Теперь находим производную обеих частей этого тождества.
{displaystyle [arctg(x)+arcctg(x)]'=({frac {pi }{2}})'}
{displaystyle (arctg(x))'+(arcctg(x))'=0}
Теперь выражаем производную арккотангенса.
{displaystyle (arcctg(x))'=-(arctg(x))'}
Получается.
{displaystyle (arcctg(x))'=-{frac {1}{1+x^{2}}}}

{displaystyle mathrm {arcsec}  x} {displaystyle {frac {1}{|x|{sqrt {x^{2}-1}}}}}

Доказательство                                 

Найти производную арксеканса можно при помощи тождества:

{displaystyle arcsec(x)=arccos({frac {1}{x}})}

Теперь находим производную обеих частей этого тождества.

{displaystyle (arcsec(x))'=(arccos({frac {1}{x}}))'}

{displaystyle (arcsec(x))'=-{frac {1}{sqrt {1-{frac {1}{x^{2}}}}}}cdot (-{frac {1}{x^{2}}})}

{displaystyle (arcsec(x))'={frac {1}{x^{2}{sqrt {frac {x^{2}-1}{x^{2}}}}}}}

{displaystyle (arcsec(x))'={frac {1}{x^{2}{frac {sqrt {x^{2}-1}}{|x|}}}}}

Получается.

{displaystyle (arcsec(x))'={frac {1}{|x|{sqrt {x^{2}-1}}}}}

{displaystyle mathrm {arccosec}  x} {displaystyle -{frac {1}{|x|{sqrt {x^{2}-1}}}}}

Доказательство                                 

Найти производную арккосеканса можно при помощи данного тождества:
{displaystyle arccosec(x)+arcsec(x)={frac {pi }{2}}}
Теперь находим производную обеих частей этого тождества.
{displaystyle [arccosec(x)+arcsec(x)]'=({frac {pi }{2}})'}
{displaystyle (arccosec(x))'+(arcsec(x))'=0}
Теперь выражаем производную арккосинуса.
{displaystyle (arccosec(x))'=-(arcsec(x))'}
Получается.
{displaystyle (arccosec(x))'=-{frac {1}{|x|{sqrt {x^{2}-1}}}}}

Интегралы от обратных тригонометрических функций[править | править код]

Неопределённые интегралы[править | править код]

Для действительных и комплексных x:

{begin{aligned}int arcsin x,dx&{}=x,arcsin x+{sqrt  {1-x^{2}}}+C,\int arccos x,dx&{}=x,arccos x-{sqrt  {1-x^{2}}}+C,\int operatorname {arctg},x,dx&{}=x,operatorname {arctg},x-{frac  {1}{2}}ln left(1+x^{2}right)+C,\int operatorname {arcctg},x,dx&{}=x,operatorname {arcctg},x+{frac  {1}{2}}ln left(1+x^{2}right)+C,\int operatorname{arcsec} x,dx&{}=x,operatorname{arcsec} x-ln left(xleft(1+{sqrt  {{x^{2}-1} over x^{2}}},right)!right)+C,\int operatorname {arccosec},x,dx&{}=x,operatorname {arccosec},x+ln left(xleft(1+{sqrt  {{x^{2}-1} over x^{2}}},right)!right)+C.end{aligned}}

Для действительных x ≥ 1:

{begin{aligned}int operatorname{arcsec} x,dx&{}=x,operatorname{arcsec} x-ln left(x+{sqrt  {x^{2}-1}}right)+C,\int operatorname {arccosec},x,dx&{}=x,operatorname {arccosec},x+ln left(x+{sqrt  {x^{2}-1}}right)+C.end{aligned}}
См. также Список интегралов от обратных тригонометрических функций

Использование в геометрии[править | править код]

Обратные тригонометрические функции используются для вычисления углов треугольника, если известны его стороны, например, с помощью теоремы косинусов.

В прямоугольном треугольнике эти функции от отношений сторон сразу дают угол.
Так, если катет длины a является противолежащим для угла alpha , то

{displaystyle alpha =arcsin(a/c)=arccos(b/c)=operatorname {arctg} (a/b)=operatorname {arccosec} (c/a)=operatorname {arcsec}(c/b)=operatorname {arcctg} (b/a).}

Связь с натуральным логарифмом[править | править код]

Для вычисления значений обратных тригонометрических функций от комплексного аргумента удобно использовать формулы, выражающие их через натуральный логарифм:

{displaystyle {begin{aligned}arcsin z&{}=-iln(iz+{sqrt {1-z^{2}}})={frac {pi }{2}}-iln(z+{sqrt {z^{2}-1}})=-ioperatorname {arsh} ,iz,end{aligned}}}
{displaystyle arccos(z)={dfrac {pi }{2}}+iln(iz+{sqrt {1-z^{2}}})=-ioperatorname {arch} (iz)}
{displaystyle operatorname {arctg} (z)={dfrac {i}{2}}(ln(1-iz)-ln(1+iz))=-ioperatorname {arth} (iz)}
{displaystyle operatorname {arcctg} (z)={dfrac {i}{2}}left(ln left({dfrac {z-i}{z}}right)-ln left({dfrac {z+i}{z}}right)right)=ioperatorname {arcth} (iz)}
{displaystyle operatorname {arcsec}(z)=arccos left(z^{-1}right)={dfrac {pi }{2}}+iln left({sqrt {1-{dfrac {1}{z^{2}}}}}+{dfrac {i}{z}}right),}
{displaystyle operatorname {arccosec} ,(z)=arcsin left(z^{-1}right)=-iln left({sqrt {1-{dfrac {1}{z^{2}}}}}+{dfrac {i}{z}}right).}

См. также[править | править код]

  • Обратные гиперболические функции
  • Теорема Данжуа — Лузина

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

  • Weisstein, Eric W. Обратные тригонометрические функции (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская Энциклопедия», 1982. — [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3612/%D0%9E%D0%91%D0%A0%D0%90%D0%A2%D0%9D%D0%AB%D0%95 Т. 3. — с. 1135].
  • Обратные тригонометрические функции — статья из Большой советской энциклопедии.  — М.: «Советская Энциклопедия», 1974. — Т. 18. — с. 225.
  • Обратные тригонометрические функции // Энциклопедический словарь юного математика / Савин А.П. — М.: Педагогика, 1985. — С. 220—221. — 352 с.
  • Построение графиков обратных тригонометрических функций онлайн
  • Онлайн калькулятор: обратные тригонометрические функции

Некоторые внешние ссылки в этой статье ведут на сайты, занесённые в спам-лист.

Эти сайты могут нарушать авторские права, быть признаны неавторитетными источниками или по другим причинам быть запрещены в Википедии. Редакторам следует заменить такие ссылки ссылками на соответствующие правилам сайты или библиографическими ссылками на печатные источники либо удалить их (возможно, вместе с подтверждаемым ими содержимым).

Список проблемных доменов

  • dic.academic.ru

Добавить комментарий