Содержание:
Понятие асимптоты:
Асимптота кривой — это прямая, к которой неограниченно приближается кривая при ее удалении в бесконечность.
Вертикальные асимптоты
— вертикальная асимптота, если при
Вертикальная асимптота может быть в точке если точка ограничивает открытые (или полуоткрытые) промежутки области определения данной функции и вблизи точки значения функции стремятся к бесконечности.
Примеры вертикальных асимптот графиков функций
— вертикальная асимптота ( — также асимптота, но горизонтальная)
— вертикальная асимптота
Наклонные и горизонтальные асимптоты
I. Если — дробно рациональная функция, у которой степень числителя на единицу больше степени знаменателя (или равна ей), то выделяем целую часть дроби и используем определение асимптоты.
Примеры:
При тогда Следовательно, — наклонная асимптота (также — вертикальная асимптота)
При тогда Следовательно, — горизонтальная асимптота (также — вертикальная асимптота)
II. В общем случае уравнения наклонных и горизонтальных асимптотможно получить с использованием формул
Понятие асимптоты
Если кривая имеет бесконечную ветвь, то асимптотой такой кривой называют прямую, к которой эта ветвь неограниченно приближается. Другими словами, асимптота кривой — это прямая, к которой неограниченно приближается кривая при ее удалении в бесконечность.
Асимптоты могут быть вертикальными, горизонтальными или наклонными.
Например, для графика функции (рис. 7.1) асимптотами будут оси координат, поскольку при и при график функции приближается к прямой ось — горизонтальная асимптота. Когда функция стремится к (или ), то кривая приближается к прямой ось — вертикальная асимптота.
Если рассмотреть функцию то при выражение Вследствие этого график функции приближается к прямой поэтому эта прямая будет наклонной асимптотой графика функции(рис. 7.2) (график этой функции имеет также и вертикальную асимптоту ).
Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту, поэтому не у каждого графика функции будет асимптота. Но исследование функции на наличие у ее графика асимптот позволяет уточнить свойства функции и поведение ее графика.
Вертикальные асимптоты
Если прямая — вертикальная асимптота, то по определению около точки кривая должна иметь бесконечную ветвь, то есть предел данной функции при (слева или справа) должен равняться бесконечности (). Исходя из непрерывности элементарных функций, которые рассматривались в школьном курсе математики, такими точками могут быть только точки, ограничивающие открытые (или полуоткрытые) промежутки области определения данной функции.
Например, у функции область определения имеет разрыв в точке (область определения: и точка 1 ограничивает открытые промежутки области определения). Можно предположить, что прямая будет вертикальной асимптотой. Для того чтобы убедиться в этом, необходимо проверить, будет ли функция стремиться к бесконечности около точки 1 (слева или справа). Для этого рассмотрим
Аналогично
Таким образом, прямая является вертикальной асимптотой, поскольку при стремлении функции к бесконечности ее график неограниченно приближается к прямой (рис. 7.3).
Отметим, что не всегда в точке разрыва области определения функция будет иметь вертикальную асимптоту. Например, функция имеет область определения поэтому прямая «подозрительна» на вертикальную асимптоту. Но Аналогично Следовательно, около прямой функция не стремится к бесконечности, и поэтому прямая не является асимптотой графика данной функции (рис. 7.4).
Наклонные и горизонтальные асимптоты
Наклонные и горизонтальные асимптоты довольно просто находятся для графиков дробно-рациональных функций, у которых степень числителя на единицу больше степени знаменателя (или равна степени знаменателя). Для этого достаточно выделить целую часть заданной дроби и использовать определение асимптоты.
Например, еще раз рассмотрим функцию Выделим целую часть:
При выражение то есть график нашей функции будет х -1 неограниченно приближаться к прямой при Из этого следует, что наклонной асимптотой графика данной функции* будет прямая (рис. 7.3).
Рассмотрим, как находятся наклонные и горизонтальные асимптоты в общем случае.
Пусть наклонной (или горизонтальной) асимптотой графика функции является прямая По определению асимптоты при график функции неограниченно приближается к прямой Другими словами, при с любой точностью будет выполняться равенство
(1)
Эта равенство не нарушится, если обе его части разделить на Получим: При отношение поэтому отношение при , то есть
(2)
Возвращаясь к формуле (1), получаем, что при то есть
(3)
Формулы (2) и (3) дают возможность находить наклонные и горизонтальные асимптоты для графика любой функции (при условии, что они существуют).
Отметим, что если у графика функции есть горизонтальная асимптота, то ее уравнение будет (в этом случае ). Но при из формулы (3) получаем Следовательно, если существует число то график функции имеет горизонтальную асимптоту
- Заказать решение задач по высшей математике
Пример:
Пользуясь общими формулами, найдите наклонную асимптоту графика функции
Решение:
Будем искать наклонную асимптоту в виде где и находятся по формулам (2) и (3):
Асимптотой графика данной функции будет прямая то есть прямая
Пример:
Найдите асимптоты графика функции
Решение:
Область определения функции: — любое действительное число, то есть На всей области определения эта функция непрерывна, поэтому вертикальных асимптот график функции не имеет. Будем искать наклонные и горизонтальные асимптоты в виде Тогда
Таким образом, заданная функция имеет только горизонтальную асимптоту (рис. 7.5).
Иногда график функции может иметь разные асимптоты при и при в этом случае при использовании формул (2) и (3) приходится отдельно находить значения и при и при
Как найти асимптоты графика функции
При исследовании поведения функции на бесконечности или вблизи точек разрыва часто оказывается, что расстояние между точками графика функции и точками некоторой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точек графика от начала координат. Прямая, к которой стремится кривая в бесконечно удаленной точке, называется асимптотой графика. Различают вертикальные и наклонные асимптоты. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы один из односторонних пределов в точке равен бесконечности: Такие асимптоты существуют только в точках разрыва второго рода.
Внимание! Непрерывные на множестве действительных чисел функции вертикальных асимптот на имеют.
Для того чтобы график функции y=f(x) имел наклонную асимптоту y=kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы
Частным случаем наклонной асимптоты (k=0) является горизонтальная асимптота.
Пример:
Найти асимптоты графика функции
Решение:
Функция непрерывна в области определения как элементарная. Следовательно, вертикальных асимптот нет. Найдем наклонные асимптоты y=kx+b:
Получаем горизонтальную асимптоту y=0.
Общее исследование функции и построение графика
С помощью производной функции можно провести ее полное исследование и построить график этой функции. При этом рекомендуется использовать следующую схему.
- Найти область определения функции D(f).
- Исследовать функцию на четность нечетность периодичность
- Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва.
- Найти асимптоты графика функции.
- Исследовать функцию на монотонность, найти точки экстремума.
- Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба функции.
- Используя результаты проведенного исследования, построить график функции (можно вычислить координаты точек пересечения с осями координат).
Пример:
Провести полное исследование функции и построить ее график.
Решение:
Область определения функции – вся числовая прямая:
Функция непериодическая. Она нечетная, т.к. область определения симметрична относительно начала координат и
Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат и достаточно исследовать функцию для
Функция непрерывна в области определения как композиция основных элементарных функций. Поскольку точек разрыва нет.
Строим график функции, используя результаты исследования.
- Касательная к графику функции и производная
- Предел и непрерывность функции
- Свойства функций, непрерывных в точке и на промежутке
- Предел функции на бесконечности
- Иррациональные уравнения
- Иррациональные неравенства
- Производная в математике
- Как найти производную функции
Для гиперболы асимптотами являются оси абсцисс и ординат. Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от неё
Асимпто́та, или аси́мптота[1] (от др.-греч. ἀσύμπτωτος — несовпадающая, не касающаяся кривой с бесконечной ветвью) — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность[2]. Термин впервые появился у Аполлония Пергского, хотя асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед[3].
Затухающие колебания. . Кривая может бесконечное множество раз пересекать асимптоту
Пример асимптоты для кривой в пространстве. Спираль бесконечно приближается к прямой
Виды асимптот графиков[править | править код]
Вертикальная[править | править код]
Прямая вида является вертикальной асимптотой при выполнении хотя бы одного из равенств:
- .
Вертикальных асимптот может быть любое количество.
Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.
Горизонтальная и наклонная[править | править код]
На графике функции x+1/x, ось y (x = 0) и линия y=x являются асимптотами.
Наклонная асимптота — прямая вида , если выполняется хотя бы одно из равенств:
- .
При этом, если выполняется первое условие, то говорят, что эта прямая является асимптотой при , а если второе, то асимптотой при [4].
Если , то асимптота также называется горизонтальной.
Замечание 1: Число наклонных асимптот у функции не может быть больше двух: одна при и одна при , но она может быть одна или их вовсе может не быть.
Замечание 2: Некоторые источники включают требование, чтобы кривая не пересекала эту прямую в окрестности бесконечности[5].
Замечание 3: В некоторых случаях, таких как алгебраическая геометрия, асимптота определена, как прямая, которая является «касательной» к кривой на бесконечности[5].
Функция y=arctgx с двумя горизонтальными асимптотами
Нахождение асимптот[править | править код]
Порядок нахождения асимптот[править | править код]
- Нахождение точек разрыва, выбор точек, в которых есть вертикальная асимптота (прямой проверкой, что предел в этой точке есть бесконечность).
- Проверка, не являются ли конечными пределы и. Если да, то существует горизонтальная асимптота при и соответственно.
- Нахождение двух пределов
- Нахождение двух пределов , если хотя бы один из пределов в пункте 3 или 4 не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует.
Наклонная асимптота — выделение целой части[править | править код]
Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть. Например:
Дана функция .
Разделив нацело числитель на знаменатель, получим: .
При , ,
и является искомым уравнением наклонной асимптоты, причем с обеих сторон.
Свойства[править | править код]
- Среди конических сечений асимптоты имеют только гиперболы. Асимптоты гиперболы как конического сечения параллельны образующим конуса, лежащим в плоскости, проходящей через вершину конуса параллельно секущей плоскости[6]. Максимальный угол между асимптотами гиперболы для данного конуса равен углу раствора конуса и достигается при секущей плоскости, параллельной оси конуса.
См. также[править | править код]
- Асимптотическая кривая
Примечания[править | править код]
- ↑ Двойное ударение указано в Советском энциклопедическом словаре. В словарях XIX и первой половины XX века (например, в кн.: Словарь иностранных слов / Под ред. И. В. Лёхина и проф. Ф. Н. Петрова. — М.: Гос. изд-во иностр. и нац. словарей, 1955. — С. 77. — 856 с.) указывался единственный вариант ударения «асимпто́та».
- ↑ Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 1. Архивная копия от 13 ноября 2013 на Wayback Machine
- ↑ Математический энциклопедический словарь Архивная копия от 1 августа 2013 на Wayback Machine — М.: Советская энциклопедия, 1988. — 847 с.
- ↑ Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — С. 374-375. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1.
- ↑ 1 2 «Asymptotes» by Louis A. Talman
- ↑ Taylor C. Geometrical Conics; Including Anharmonic Ratio and Projection, With Numerous Examples. — Cambridge: Macmillan, 1863. — С. 170.
Литература[править | править код]
- Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии, 4-е изд. М., 1956.
- Графики функций: Справочник / Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. — Киев: Наук. думка, 1979, — 320 с.
Ссылки[править | править код]
- Асимптота // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
- Асимптота / Э. Г. Позняк // Ангола — Барзас. — М. : Советская энциклопедия, 1970. — (Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров ; 1969—1978, т. 2).
Асимптоты графика функции
Часто задание на нахождение асимптот функции встречается в курсе математического анализа, в частности при решении задач на тему исследования функции. Для того, чтобы успешно ответить на вопрос: как найти асимптоты функции? необходимо уметь вычислять пределы, понимать что они собой представляют, знать основные методы решения пределов. Если всё это вы умеете на должном уровне, тогда найти асимптоты для вас не будет проблемой. Итак, что такое асимптота? Асимптота это линия, к которой бесконечно приближается ветвь графика функции. Чтобы было наглядно, посмотрите на изображения представленные ниже.
Обратите внимание, что соприкосновения между асимптотой и графиками нет, и не должно быть. Асимптота бесконечно приближается к графику функции. Давайте рассмотрим какие виды асимптоты функции бывают и как их находить, но о последнем будет рассказано далее.
Из таблицы узнаем, что асимптоты у функции бывают трех видов: вертикальные, горизонтальные, наклонные. Каждую найти асимптоту функции нужно по своему. Для этого нужны лимиты. Сколько бывает асимптот всего у функции? Ответ: ни одной, одна, две, три… и бесконечно много. У каждой функции по разному.
Вертикальные асимптоты
Чтобы найти данный вид асимптот необходимо найти область определения заданной функции и отметить точки разрыва. В этих точках предел функции будет равен бесконечности, а это значит, что функция в этой точке бесконечно приближается к линии асимптоты.
Горизонтальные асимптоты
Необходимо устремить аргумент лимита функции к бесконечности. Если предел существует и равен числу, то горизонтальная асимптота будет найдена и равна $ y=y_0 $ как показано во втором столбце таблицы
Наклонные асимптоты
Наклонная асимптота представляется в виде $ y = kx+b $. Где $ k $ – это коэффициент наклона асимптоты. Сначала находится коэффициент $ k $, затем $ b $. Если какой либо из них равен $ infty $, тогда наклонной асимптоты нет. А если $ k = 0 $, то получаем горизонтальную асимптоту. Так что для экономии времени лучше сразу находить наклонную асимптоту, а горизонтальная проявится сама собой в случае её существования.
Примеры решений
Пример 1 |
Найти все асимптоты графика функции $$ f(x) = frac{5x}{3x+2} $$ |
Решение |
Для начала решения найдем вертикальные асимптоты, но прежде найдем область определения функции $ f(x) $. По определению знаменатель не должен быть равен нулю. Поэтому имеем, $ 3x+2 neq 0; 3x neq -2; x neq -frac{2}{3} $. Получили точку разрыва $ x = -frac{2}{3} $. Вычислим в ней предел функции и убедимся окончательно, что вертикальная асимптота это $ x = -frac{2}{3} $. $$ limlimits_{{x rightarrow -frac{2}{3}}} frac{5x}{3x+2} = (-frac{10}{infty}) = -infty $$. Теперь найдем горизонтальные асимптоты, но прежде рассчитаем коэффициенты $ k $ и $ b $. $$ k = limlimits_{x rightarrow infty} frac{f(x)}{x} =limlimits_{x rightarrow infty} frac{5}{3x+2}=frac{5}{infty}=0 $$ Так как $ k = 0 $, то мы уже понимаем то, что наклонных асимптот нет, а есть горизонтальные. Найдем теперь коэффициент $ b $. $$ b = limlimits_{x rightarrow infty} [f(x)-kx] = limlimits_{x rightarrow infty} frac{5x}{3x+2} = frac{infty}{infty} =frac{5}{3} $$ Подставляем найденные коэффициенты в формулу $ y = kx + b $, получаем, что $ y = frac{5}{3} $ – горизонтальная асимптота. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
Ответ |
$$ y = frac{5}{3} $$ |
Пример 2 |
Найти все асимптоты графика функции $ f(x) = frac{1}{1-x} $ |
Решение |
Найдем область определения данного примера, чтобы определить вертикальные асимптоты. $ 1-x neq 0; x neq 1; $. Точка разрыва $ x = 1 $, а это значит что это и есть вертикальная асимптота. Найдем для доказательства предположения предел в этой точке. $$ limlimits_{x rightarrow 1} frac{1}{1-x} = frac{1}{0} = infty $$ Приступим к поиску наклонных асимптот. $$ k = limlimits_{x rightarrow infty}frac{f(x)}{x}=limlimits_{x rightarrow infty}frac{1}{x(1-x)} = frac{1}{infty}=0 $$ $$ b =limlimits_{x rightarrow infty}[f(x)-kx]=limlimits_{x rightarrow infty}frac{1}{1-x} = frac{1}{infty}=0 $$ Итого, $ y=0 $ – горизонтальная асимптота. |
Ответ |
$$ y=0 $$ |
Пример 3 |
Найти все асимптоты графика функции $ f(x) = frac{x^3}{3x^2+5} $ |
Решение |
Замечаем, что знаменатель не обращается в ноль при любом значении икса. А это значит, что нет точек разрыва и следовательно нет вертикальных асимптот. Остается найти горизонтальные асимптоты. $$ k = limlimits_{x rightarrow infty} frac{f(x)}{x} =limlimits_{x rightarrow infty}frac{x^2}{3x^2+5} =limlimits_{x rightarrow infty} frac{2x}{6x} = frac{1}{3} $$ Так как $ k $ конечное число, не равное $ 0 $ или бесконечности, то существует наклонная асимптота. Вычислим недостающее число $ b $. $$ b =limlimits_{x rightarrow infty} [f(x)-kx] =limlimits_{x rightarrow infty} [frac{x^3}{3x^2+5}-frac{x}{3}] =limlimits_{x rightarrow infty} -frac{5x}{3(3x^2+5)}= $$ $$ = -frac{5}{3}limlimits_{x rightarrow infty} frac{x}{3x^2+5} =-frac{5}{3}limlimits_{x rightarrow infty} frac{1}{6x} =-frac{5}{3}frac{1}{infty} = 0 $$ $ y =frac{1}{3}x $ – наклонная асимптота к функции с углом наклона одна третья. |
Ответ |
$$ y =frac{1}{3}x $$ |
Пример 4 |
Найти асимптоты $ f(x) = xe^{-x} $ |
Решение |
Нет точек разрыва, а это значит, нет вертикальных асимптот. $$ k=limlimits_{x rightarrow infty} frac{1}{e^x} = frac{1}{infty} = 0 $$ $$ b=limlimits_{x rightarrow infty} frac{x}{e^x} =limlimits_{x rightarrow infty} frac{1}{e^x} = frac{1}{infty} = 0 $$ $ y = 0 $ – горизонтальная асимптота |
Ответ |
$$ y = 0 $$ |
Если в задачах даются элементарные функции, то заранее известно сколько и есть ли асимптоты. Например, у параболы, кубической параболы, синусоиды вообще нет никаких. У графиков функций таких как логарифмическая или экспоненциальная есть по одной. А у функций тангенса и котангенса бесчисленное множество асимптот, но арктангенс и арккатангенс имеет по две штуки.
Во всех приведенных примерах пределы вычислялись с помощью правило Лопиталя, которое очень ускоряет процесс вычисления и создает меньше ошибок.
Содержание:
- Виды асимптот
- Нахождение наклонной асимптоты
Виды асимптот
Определение
Прямая $x=x_{0}$ называется вертикальной асимптотой
графика функции $y=f(x)$, если хотя бы одно из предельных
значений $lim _{x rightarrow x_{0}-0} f(x)$ или
$lim _{x rightarrow x_{0}+0} f(x)$ равно
$+infty$ или
$-infty$ .
Замечание. Прямая $x=x_{0}$ не может
быть вертикальной асимптотой, если функция
непрерывна в точке $x=x_{0}$ .
Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.
Определение
Прямая $y=y_{0}$ называется
горизонтальной асимптотой графика функции $y=f(x)$, если
хотя бы одно из предельных значений $lim _{x rightarrow+infty} f(x)$ или
$lim _{x rightarrow-infty} f(x)$ равно
$y_{0}$ .
Замечание. График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую.
Определение
Прямая $y=k x+b$ называется наклонной асимптотой
графика функции $y=f(x)$, если
$lim _{x rightarrow infty}[f(x)-k x-b]=0$
Нахождение наклонной асимптоты
Теорема
(условиях существования наклонной асимптоты)
Если для функции $y=f(x)$
существуют пределы $lim _{x rightarrow infty} frac{f(x)}{x}=k$ и
$lim _{x rightarrow infty}[f(x)-k x]=b$, то функция имеет наклонную асимптоту
$y=k x+b$ при
$x rightarrow infty$ .
Замечание
Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при
$k=0$ .
Замечание
Если при нахождении горизонтальной асимптоты получается, что
$lim _{x rightarrow infty} f(x)=infty$, то функция может иметь наклонную асимптоту.
Замечание
Кривая $y=f(x)$ может пересекать свою асимптоту, причем неоднократно.
Пример
Задание. Найти асимптоты графика функции $y(x)=frac{x^{2}-3 x+2}{x+1}$
Решение. Область определения функции:
$D[f] : x in(-infty ;-1) cup(-1 ;+infty)$
а) вертикальные асимптоты: прямая $x=-1$ – вертикальная асимптота, так как
$lim _{x rightarrow-1} y(x)=lim _{x rightarrow-1} frac{x^{2}-3 x+2}{x+1}left[frac{6}{0}right]=infty$
б) горизонтальные асимптоты: находим предел функции на бесконечности:
$lim _{x rightarrow infty} frac{x^{2}-3 x+2}{x+1}=infty$
то есть, горизонтальных асимптот нет.
в) наклонные асимптоты $y=k x+b$:
$k=lim _{x rightarrow infty} frac{y(x)}{x}=lim _{x rightarrow infty} frac{x^{2}-3 x+2}{x(x+1)}=1$
$b=lim _{x rightarrow infty}[y(x)-k x]=lim _{x rightarrow infty}left[frac{x^{2}-3 x+2}{x+1}-xright]=$
$=lim _{x rightarrow infty} frac{x^{2}-3 x+2-x^{2}-x}{x+1}=lim _{x rightarrow infty} frac{-4 x+2}{x+1}=-4$
Таким образом, наклонная асимптота: $y=x-4$ .
Ответ. Вертикальная асимптота – прямая $x=-1$ .
Наклонная асимптота – прямая $y=x-4$ .
Читать дальше: исследование функции и построение ее графика.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Асимптоты кривой
Прямая линия называется асимптотой кривой y=f(x), если расстояние точки кривой до этой прямой стремится к нулю при стремлении точки к бесконечности.
Назначение сервиса. Данный сервис предназначен для нахождения асимптот к графику функции в онлайн режиме. Решение оформляется в формате Word.
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
- Оформление Word
Правила ввода функции
Примеры
≡ x^2/(x+2)
cos2(2x+π)
≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3)
Классификация асимптот
- Вертикальные асимптоты.
- Горизонтальные асимптоты.
- Наклонные асимптоты.
Вертикальные асимптоты
Уравнение любой вертикальной прямой, то есть прямой, параллельной оси OY, имеет вид x=a.
Если прямая x=a является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), то очевидно, что хотя бы один из односторонних пределов или равен бесконечности (+∞ или -∞).
Все функции с бесконечными разрывами (разрывы второго рода) имеют вертикальные асимптоты.
Пример 1. Найти уравнение вертикальных асимптот графика функции .
Решение. Видим, что y→∞, если x→1, точнее , , то есть прямая x=1 является вертикальной асимптотой, причем двусторонней.
Горизонтальные асимптоты
Всякая горизонтальная прямая имеет уравнение y=A.
Если прямая y=A является горизонтальной асимптотой кривой y=f(x), то .
Пример 2. Найти горизонтальные асимптоты кривой .
Решение. Найдем , то есть y→0 при x→+∞ и при x→-∞, значит прямая y=0 – горизонтальная асимптота данной кривой.
Наклонные асимптоты
Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y=kx+b
. По определению асимптоты или (1)
Разделим обе части этого равенства на x:
, откуда
(2)
Теперь из (1):
(3)
Для существования наклонных асимптот необходимо существование пределов (2) и (3). Если хотя бы один из них не существует, то наклонных асимптот нет. Пределы (2) и (3) нужно находить отдельно при x→+∞ и при x→-∞, так как пределы могут быть разными (функция имеет две разные асимптоты).
Пример 4. Найти наклонные асимптоты графика функции .
Решение. По формуле (2) найдем .
Теперь найдем . Получаем уравнение наклонной асимптоты y=x+1.
Пример 5. Найти асимптоты кривой y=(x-1)2(x+3)
.
Решение. Вертикальных и горизонтальных асимптот нет, так как y→∞ при x→∞. Ищем наклонные:
.
Таким образом, кривая асимптот не имеет.
Пример 6. Найти асимптоты кривой .
Решение. Поскольку y→∞ при x→0 и при x→4, то прямые x=0 и x=4 являются вертикальными асимптотами. Так как , то y=2 – горизонтальная асимптота. Выясним вопрос о существовании наклонных асимптот: , следовательно, кривая наклонных асимптот не имеет (искать “b” не имеет смысла, так как горизонтальные асимптоты уже найдены).
Пример 7. Построить все виды асимптот к функции
Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты:
Находим коэффициент k:
Находим коэффициент b:
Получаем уравнение наклонной асимптоты: y = -x
Найдем вертикальные асимптоты. Для этого определим точки разрыва:
Находим переделы в точке
– является вертикальной асимптотой.
Находим переделы в точке
– является вертикальной асимптотой.