Как найти асимптоты без пределов - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Уважаемые студенты!
Заказать решение задач по 200+ предметам можно здесь всего за 10 минут.

Асимптоты графика функции

Часто задание на нахождение асимптот функции встречается в курсе математического анализа, в частности при решении задач на тему исследования функции. Для того, чтобы успешно ответить на вопрос: как найти асимптоты функции? необходимо уметь вычислять пределы, понимать что они собой представляют, знать основные методы решения пределов. Если всё это вы умеете на должном уровне, тогда найти асимптоты для вас не будет проблемой. Итак, что такое асимптота? Асимптота это линия, к которой бесконечно приближается ветвь графика функции. Чтобы было наглядно, посмотрите на изображения представленные ниже.

Обратите внимание, что соприкосновения между асимптотой и графиками нет, и не должно быть. Асимптота бесконечно приближается к графику функции. Давайте рассмотрим какие виды асимптоты функции бывают и как их находить, но о последнем будет рассказано далее.

Из таблицы узнаем, что асимптоты у функции бывают трех видов: вертикальные, горизонтальные, наклонные. Каждую найти асимптоту функции нужно по своему. Для этого нужны лимиты. Сколько бывает асимптот всего у функции? Ответ: ни одной, одна, две, три… и бесконечно много. У каждой функции по разному.

Вертикальные асимптоты

Чтобы найти данный вид асимптот необходимо найти область определения заданной функции и отметить точки разрыва. В этих точках предел функции будет равен бесконечности, а это значит, что функция в этой точке бесконечно приближается к линии асимптоты.

Горизонтальные асимптоты

Необходимо устремить аргумент лимита функции к бесконечности. Если предел существует и равен числу, то горизонтальная асимптота будет найдена и равна $ y=y_0 $ как показано во втором столбце таблицы

Наклонные асимптоты

Наклонная асимптота представляется в виде $ y = kx+b $. Где $ k $ – это коэффициент наклона асимптоты. Сначала находится коэффициент $ k $, затем $ b $. Если какой либо из них равен $ infty $, тогда наклонной асимптоты нет. А если $ k = 0 $, то получаем горизонтальную асимптоту. Так что для экономии времени лучше сразу находить наклонную асимптоту, а горизонтальная проявится сама собой в случае её существования.

Примеры решений

Пример 1

Найти все асимптоты графика функции $$ f(x) = frac{5x}{3x+2} $$

Решение

Для начала решения найдем вертикальные асимптоты, но прежде найдем область определения функции $ f(x) $. По определению знаменатель не должен быть равен нулю. Поэтому имеем, $ 3x+2 neq 0; 3x neq -2; x neq -frac{2}{3} $. Получили точку разрыва $ x = -frac{2}{3} $. Вычислим в ней предел функции и убедимся окончательно, что вертикальная асимптота это $ x = -frac{2}{3} $.

$$ limlimits_{{x rightarrow -frac{2}{3}}} frac{5x}{3x+2} = (-frac{10}{infty}) = -infty $$.

Теперь найдем горизонтальные асимптоты, но прежде рассчитаем коэффициенты $ k $ и $ b $.

$$ k = limlimits_{x rightarrow infty} frac{f(x)}{x} =limlimits_{x rightarrow infty} frac{5}{3x+2}=frac{5}{infty}=0 $$

Так как $ k = 0 $, то мы уже понимаем то, что наклонных асимптот нет, а есть горизонтальные. Найдем теперь коэффициент $ b $.

$$ b = limlimits_{x rightarrow infty} [f(x)-kx] = limlimits_{x rightarrow infty} frac{5x}{3x+2} = frac{infty}{infty} =frac{5}{3} $$

Подставляем найденные коэффициенты в формулу $ y = kx + b $, получаем, что $ y = frac{5}{3} $ – горизонтальная асимптота.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ y = frac{5}{3} $$

Пример 2

Найти все асимптоты графика функции $ f(x) = frac{1}{1-x} $

Решение

Найдем область определения данного примера, чтобы определить вертикальные асимптоты. $ 1-x neq 0; x neq 1; $. Точка разрыва $ x = 1 $, а это значит что это и есть вертикальная асимптота. Найдем для доказательства предположения предел в этой точке. $$ limlimits_{x rightarrow 1} frac{1}{1-x} = frac{1}{0} = infty $$

Приступим к поиску наклонных асимптот.

$$ k = limlimits_{x rightarrow infty}frac{f(x)}{x}=limlimits_{x rightarrow infty}frac{1}{x(1-x)} = frac{1}{infty}=0 $$

$$ b =limlimits_{x rightarrow infty}[f(x)-kx]=limlimits_{x rightarrow infty}frac{1}{1-x} = frac{1}{infty}=0 $$

Итого, $ y=0 $ – горизонтальная асимптота.

Ответ

$$ y=0 $$

Пример 3

Найти все асимптоты графика функции $ f(x) = frac{x^3}{3x^2+5} $

Решение

Замечаем, что знаменатель не обращается в ноль при любом значении икса. А это значит, что нет точек разрыва и следовательно нет вертикальных асимптот. Остается найти горизонтальные асимптоты.

$$ k = limlimits_{x rightarrow infty} frac{f(x)}{x} =limlimits_{x rightarrow infty}frac{x^2}{3x^2+5} =limlimits_{x rightarrow infty} frac{2x}{6x} = frac{1}{3} $$

Так как $ k $ конечное число, не равное $ 0 $ или бесконечности, то существует наклонная асимптота. Вычислим недостающее число $ b $.

$$ b =limlimits_{x rightarrow infty} [f(x)-kx] =limlimits_{x rightarrow infty} [frac{x^3}{3x^2+5}-frac{x}{3}] =limlimits_{x rightarrow infty} -frac{5x}{3(3x^2+5)}= $$ $$ = -frac{5}{3}limlimits_{x rightarrow infty} frac{x}{3x^2+5} =-frac{5}{3}limlimits_{x rightarrow infty} frac{1}{6x} =-frac{5}{3}frac{1}{infty} = 0 $$

$ y =frac{1}{3}x $ – наклонная асимптота к функции с углом наклона одна третья.

Ответ

$$ y =frac{1}{3}x $$

Пример 4

Найти асимптоты $ f(x) = xe^{-x} $

Решение

Нет точек разрыва, а это значит, нет вертикальных асимптот.

$$ k=limlimits_{x rightarrow infty} frac{1}{e^x} = frac{1}{infty} = 0 $$

$$ b=limlimits_{x rightarrow infty} frac{x}{e^x} =limlimits_{x rightarrow infty} frac{1}{e^x} = frac{1}{infty} = 0 $$

$ y = 0 $ – горизонтальная асимптота

Ответ

$$ y = 0 $$

Если в задачах даются элементарные функции, то заранее известно сколько и есть ли асимптоты. Например, у параболы, кубической параболы, синусоиды вообще нет никаких. У графиков функций таких как логарифмическая или экспоненциальная есть по одной. А у функций тангенса и котангенса бесчисленное множество асимптот, но арктангенс и арккатангенс имеет по две штуки.

Во всех приведенных примерах пределы вычислялись с помощью правило Лопиталя, которое очень ускоряет процесс вычисления и создает меньше ошибок.

Источник

Для гиперболы ${displaystyle y={frac {1}{x}}}$ асимптотами являются оси абсцисс и ординат. Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от неё

Асимпто́та, или аси́мптота^[1] (от др.-греч. ἀσύμπτωτος — несовпадающая, не касающаяся кривой с бесконечной ветвью) — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность^[2]. Термин впервые появился у Аполлония Пергского, хотя асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед^[3].

Затухающие колебания. ${displaystyle y=e^{-0.1x}sin(x)}$ . Кривая может бесконечное множество раз пересекать асимптоту

Пример асимптоты для кривой в пространстве. Спираль бесконечно приближается к прямой

Виды асимптот графиков[править | править код]

Вертикальная[править | править код]

Прямая вида x=a является вертикальной асимптотой при выполнении хотя бы одного из равенств:

${displaystyle lim _{xto a^{-}}f(x)=pm infty }$
${displaystyle lim _{xto a^{+}}f(x)=pm infty }$ .

Вертикальных асимптот может быть любое количество.

Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

Горизонтальная и наклонная[править | править код]

На графике функции x+1/x, ось y (x = 0) и линия y=x являются асимптотами.

Наклонная асимптота — прямая вида y=kx+b , если выполняется хотя бы одно из равенств:

${displaystyle lim _{xto +infty }(f(x)-kx)=b}$
${displaystyle lim _{xto -infty }(f(x)-kx)=b}$ .

При этом, если выполняется первое условие, то говорят, что эта прямая является асимптотой при , а если второе, то асимптотой при ^[4].

Если k=0 , то асимптота также называется горизонтальной.

Замечание 1: Число наклонных асимптот у функции не может быть больше двух: одна при и одна при , но она может быть одна или их вовсе может не быть.

Замечание 2: Некоторые источники включают требование, чтобы кривая не пересекала эту прямую в окрестности бесконечности^[5].

Замечание 3: В некоторых случаях, таких как алгебраическая геометрия, асимптота определена, как прямая, которая является «касательной» к кривой на бесконечности^[5].

Функция y=arctgx с двумя горизонтальными асимптотами

Нахождение асимптот[править | править код]

Порядок нахождения асимптот[править | править код]

Нахождение точек разрыва, выбор точек, в которых есть вертикальная асимптота (прямой проверкой, что предел в этой точке есть бесконечность).
Проверка, не являются ли конечными пределы ${displaystyle lim _{xto +infty }f(x)=b}$ и ${displaystyle lim _{xto -infty }f(x)=b}$ . Если да, то существует горизонтальная асимптота при и соответственно.
Нахождение двух пределов $lim_{x to pm infty}frac{f(x)}{x}=k$
Нахождение двух пределов $lim_{x to pm infty}(f(x)-kx)=b$ , если хотя бы один из пределов в пункте 3 или 4 не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует.

Наклонная асимптота — выделение целой части[править | править код]

Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть. Например:

Дана функция ${displaystyle f(x)={frac {2x^{3}+5x^{2}+1}{x^{2}+1}}}$ .

Разделив нацело числитель на знаменатель, получим: ${displaystyle f(x)=2x+5+{frac {-2x-4}{x^{2}+1}}=2x+5+(-2)cdot {frac {x+2}{x^{2}+1}}}$ .

При , $frac{x+2}{x^2+1} to 0$ ,

и является искомым уравнением наклонной асимптоты, причем с обеих сторон.

Свойства[править | править код]

Среди конических сечений асимптоты имеют только гиперболы. Асимптоты гиперболы как конического сечения параллельны образующим конуса, лежащим в плоскости, проходящей через вершину конуса параллельно секущей плоскости^[6]. Максимальный угол между асимптотами гиперболы для данного конуса равен углу раствора конуса и достигается при секущей плоскости, параллельной оси конуса.

См. также[править | править код]

Асимптотическая кривая

Примечания[править | править код]

↑ Двойное ударение указано в Советском энциклопедическом словаре. В словарях XIX и первой половины XX века (например, в кн.: Словарь иностранных слов / Под ред. И. В. Лёхина и проф. Ф. Н. Петрова. — М.: Гос. изд-во иностр. и нац. словарей, 1955. — С. 77. — 856 с.) указывался единственный вариант ударения «асимпто́та».
↑ Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 1. Архивная копия от 13 ноября 2013 на Wayback Machine
↑ Математический энциклопедический словарь Архивная копия от 1 августа 2013 на Wayback Machine — М.: Советская энциклопедия, 1988. — 847 с.
↑ Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — С. 374-375. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1.
↑ ¹ ² «Asymptotes» by Louis A. Talman
↑ Taylor C. Geometrical Conics; Including Anharmonic Ratio and Projection, With Numerous Examples. — Cambridge: Macmillan, 1863. — С. 170.

Литература[править | править код]

Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии, 4-е изд. М., 1956.
Графики функций: Справочник / Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. — Киев: Наук. думка, 1979, — 320 с.

Ссылки[править | править код]

Асимптота // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
Асимптота / Э. Г. Позняк // Ангола — Барзас. — М. : Советская энциклопедия, 1970. — (Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров ; 1969—1978, т. 2).

Источник

Асимптоты кривой

Прямая линия называется асимптотой кривой y=f(x), если расстояние точки кривой до этой прямой стремится к нулю при стремлении точки к бесконечности.

Назначение сервиса. Данный сервис предназначен для нахождения асимптот к графику функции в онлайн режиме. Решение оформляется в формате Word.

Решение онлайн
Видеоинструкция
Оформление Word

Правила ввода функции

Примеры

≡ x^2/(x+2)

cos²(2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2

≡ x+(x-1)^(2/3)

Классификация асимптот

Вертикальные асимптоты.
Горизонтальные асимптоты.
Наклонные асимптоты.

Вертикальные асимптоты

Уравнение любой вертикальной прямой, то есть прямой, параллельной оси OY, имеет вид x=a.

Если прямая x=a является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), то очевидно, что хотя бы один из односторонних пределов или равен бесконечности (+∞ или -∞).

Все функции с бесконечными разрывами (разрывы второго рода) имеют вертикальные асимптоты.

Пример 1. Найти уравнение вертикальных асимптот графика функции .

Решение. Видим, что y→∞, если x→1, точнее , , то есть прямая x=1 является вертикальной асимптотой, причем двусторонней.

Горизонтальные асимптоты

Всякая горизонтальная прямая имеет уравнение y=A.

Если прямая y=A является горизонтальной асимптотой кривой y=f(x), то .

Пример 2. Найти горизонтальные асимптоты кривой .

Решение. Найдем , то есть y→0 при x→+∞ и при x→-∞, значит прямая y=0 – горизонтальная асимптота данной кривой.

Наклонные асимптоты

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y=kx+b. По определению асимптоты или (1)

Разделим обе части этого равенства на x:
, откуда

(2)

Теперь из (1):

(3)

Для существования наклонных асимптот необходимо существование пределов (2) и (3). Если хотя бы один из них не существует, то наклонных асимптот нет. Пределы (2) и (3) нужно находить отдельно при x→+∞ и при x→-∞, так как пределы могут быть разными (функция имеет две разные асимптоты).

Пример 4. Найти наклонные асимптоты графика функции .

Решение. По формуле (2) найдем .

Теперь найдем . Получаем уравнение наклонной асимптоты y=x+1.

Пример 5. Найти асимптоты кривой y=(x-1)²(x+3).

Решение. Вертикальных и горизонтальных асимптот нет, так как y→∞ при x→∞. Ищем наклонные:

.

Таким образом, кривая асимптот не имеет.

Пример 6. Найти асимптоты кривой .

Решение. Поскольку y→∞ при x→0 и при x→4, то прямые x=0 и x=4 являются вертикальными асимптотами. Так как , то y=2 – горизонтальная асимптота. Выясним вопрос о существовании наклонных асимптот: , следовательно, кривая наклонных асимптот не имеет (искать “b” не имеет смысла, так как горизонтальные асимптоты уже найдены).

Пример 7. Построить все виды асимптот к функции

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты:

Находим коэффициент k:

Находим коэффициент b:

Получаем уравнение наклонной асимптоты: y = -x

Найдем вертикальные асимптоты. Для этого определим точки разрыва:

Находим переделы в точке

– является вертикальной асимптотой.

Находим переделы в точке

– является вертикальной асимптотой.

Источник

Построение графика
функции значительно облегчается, если
знать его асимптоты.

Определение.

Асимптотой
кривой называется прямая, расстояние
до которой от точки, лежащей на кривой,
стремится к нулю при неограниченном
удалении от начала координат этой точки
по кривой (рис.5.10).

Асимптоты бывают
вертикальные (параллельные оси Оу),
горизонтальные (параллельные оси Ох)
и наклонные.

Рис. 5.10

Вертикальные асимптоты

Определение.

Прямая
называетсявертикальной
асимптотой графика
функции
,
если выполнено одно из условий:

или
(рис.5.11)

Рис. 5.11

Вертикальные
асимптоты, уравнение которых х=x₀, следует
искать в точках, где функция терпит
разрыв второго рода, или на концах ее
области определения, если концы не равны
.
Если таких точек нет, то нет и вертикальных
асимптот.

Например, для
кривой
,
вертикальной асимптотой будет прямая,
так как,.
Вертикальной асимптотой графика функцииявляется прямая(осьОу),
поскольку

Горизонтальные асимптоты

Определение.

Если при
()
функцияимеет конечный предел, равный числуb:

то прямая
есть горизонтальная асимптота графика
функции.

Например, для
функции
имеем

,
.

Соответственно,
прямая
− горизонтальная асимптота для правой
ветви графика функции,
а прямая− для левой ветви.

В том случае, если

график функции не
имеет горизонтальных асимптот, но может
иметь наклонные.

Наклонные асимптоты

Определение.

Прямая
называетсянаклонной
асимптотой
графика функции
при(),
если выполняется равенство

Наличие наклонной
асимптоты устанавливают с помощью
следующей теоремы.

Теорема.

Для того, чтобы
график функции
имел при()
наклонную асимптоту,
необходимо и достаточно, чтобы существовали
конечные пределы

и
.

Если хотя бы один
из этих пределов не существует или равен
бесконечности, то кривая
наклонной асимптоты не имеет.

Замечания.

1. При отыскании
асимптот следует отдельно рассматривать
случаи
и.

2. Если

и
,

то график функции
имеет горизонтальную асимптоту.

3. Если

и
,

то прямая
(осьОх)
является горизонтальной асимптотой
графика функции
.

Из замечаний
следует, что горизонтальную асимптоту
можно рассматривать как частный случай
наклонной асимптоты при
.
Поэтому при отыскании асимптот графика
функции рассматривают лишь два случая:

1) вертикальные
асимптоты,

2) наклонные
асимптоты.

Пример

Найти асимптоты
графика функции
.

1)
− точка разрыва второго рода:

,
.

Прямая
− вертикальная асимптота.

2)
,

Прямая
− горизонтальная асимптота. Наклонной
асимптоты нет.

5.6. Общая схема исследования функции и построение графика

В предыдущих
параграфах было показано, как с помощью
производных двух первых порядков
изучаются общие свойства функции.
Пользуясь результатами этого изучения,
можно составить представление о характере
функции и, в частности, построить ее
график.

Исследование
функции
целесообразно проводить по следующей
схеме.