Для гиперболы 
асимптотами являются оси абсцисс и ординат. Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от неё
Асимпто́та, или аси́мптота[1] (от др.-греч. ἀσύμπτωτος — несовпадающая, не касающаяся кривой с бесконечной ветвью) — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность[2]. Термин впервые появился у Аполлония Пергского, хотя асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед[3].
Затухающие колебания. 
. Кривая может бесконечное множество раз пересекать асимптоту
Пример асимптоты для кривой в пространстве. Спираль бесконечно приближается к прямой
Виды асимптот графиков[править | править код]
Вертикальная[править | править код]
Прямая вида 
является вертикальной асимптотой при выполнении хотя бы одного из равенств:
- .
Вертикальных асимптот может быть любое количество.
Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке 
. Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.
Горизонтальная и наклонная[править | править код]
На графике функции x+1/x, ось y (x = 0) и линия y=x являются асимптотами.
Наклонная асимптота — прямая вида 
, если выполняется хотя бы одно из равенств:
- .
При этом, если выполняется первое условие, то говорят, что эта прямая является асимптотой при 
, а если второе, то асимптотой при 
[4].
Если 
, то асимптота также называется горизонтальной.
Замечание 1: Число наклонных асимптот у функции не может быть больше двух: одна при и одна при , но она может быть одна или их вовсе может не быть.
Замечание 2: Некоторые источники включают требование, чтобы кривая не пересекала эту прямую в окрестности бесконечности[5].
Замечание 3: В некоторых случаях, таких как алгебраическая геометрия, асимптота определена, как прямая, которая является «касательной» к кривой на бесконечности[5].
Функция y=arctgx с двумя горизонтальными асимптотами
Нахождение асимптот[править | править код]
Порядок нахождения асимптот[править | править код]
- Нахождение точек разрыва, выбор точек, в которых есть вертикальная асимптота (прямой проверкой, что предел в этой точке есть бесконечность).
- Проверка, не являются ли конечными пределы и. Если да, то существует горизонтальная асимптота при и соответственно.
- Нахождение двух пределов
- Нахождение двух пределов , если хотя бы один из пределов в пункте 3 или 4 не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует.
Наклонная асимптота — выделение целой части[править | править код]
Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть. Например:
Дана функция 
.
Разделив нацело числитель на знаменатель, получим: 
.
При 
, 
,
и 
является искомым уравнением наклонной асимптоты, причем с обеих сторон.
Свойства[править | править код]
- Среди конических сечений асимптоты имеют только гиперболы. Асимптоты гиперболы как конического сечения параллельны образующим конуса, лежащим в плоскости, проходящей через вершину конуса параллельно секущей плоскости[6]. Максимальный угол между асимптотами гиперболы для данного конуса равен углу раствора конуса и достигается при секущей плоскости, параллельной оси конуса.
См. также[править | править код]
- Асимптотическая кривая
Примечания[править | править код]
- ↑ Двойное ударение указано в Советском энциклопедическом словаре. В словарях XIX и первой половины XX века (например, в кн.: Словарь иностранных слов / Под ред. И. В. Лёхина и проф. Ф. Н. Петрова. — М.: Гос. изд-во иностр. и нац. словарей, 1955. — С. 77. — 856 с.) указывался единственный вариант ударения «асимпто́та».
- ↑ Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 1. Архивная копия от 13 ноября 2013 на Wayback Machine
- ↑ Математический энциклопедический словарь Архивная копия от 1 августа 2013 на Wayback Machine — М.: Советская энциклопедия, 1988. — 847 с.
- ↑ Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — С. 374-375. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1.
- ↑ 1 2 «Asymptotes» by Louis A. Talman
- ↑ Taylor C. Geometrical Conics; Including Anharmonic Ratio and Projection, With Numerous Examples. — Cambridge: Macmillan, 1863. — С. 170.
Литература[править | править код]
- Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии, 4-е изд. М., 1956.
- Графики функций: Справочник / Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. — Киев: Наук. думка, 1979, — 320 с.
Ссылки[править | править код]
- Асимптота // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
- Асимптота / Э. Г. Позняк // Ангола — Барзас. — М. : Советская энциклопедия, 1970. — (Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров ; 1969—1978, т. 2).
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Асимптоты гиперболы – это прямые, проходящие через центр гиперболы. Гипербола приближается к асимптотам, но никогда не пересекает (и даже не касается) их. Найти уравнения асимптот можно двумя способами, которые помогут понять саму концепцию асимптот.
-
1
Запишите каноническое уравнение гиперболы. Рассмотрим простейший пример – гиперболу, центр которой расположен в начале координат. В этом случае каноническое уравнение гиперболы имеет вид: x2/a2 – y2/b2 = 1 (когда ветви гиперболы направлены вправо или влево) или y2/b2 – x2/a2 = 1 (когда ветви гиперболы направлены вверх или вниз).[1]
Имейте в виду, что в этом уравнении «х» и «у» – это переменные, а «а» и «b» – постоянные (то есть числа).- Пример 1: x2/9 – y2/16 = 1
- Некоторые преподаватели и авторы учебников меняют местами постоянные «а» и «b».[2]
Поэтому изучите данное вам уравнение, чтобы понять, что к чему. Не стоит просто запоминать уравнение – в этом случае вы ничего не поймете, если переменные и/или постоянные будут обозначены другими символами.
-
2
Приравняйте каноническое уравнение к нулю (а не к единице). Новое уравнение описывает обе асимптоты, но чтобы получить уравнение каждой асимптоты, придется приложить некоторые усилия.[3]
- Пример 1: x2/9 – y2/16 = 0
-
3
Разложите на множители новое уравнение. Разложите на множители левую часть уравнения. Вспомните, как раскладывать на множители квадратное уравнение, и читайте дальше.
- Конечное уравнение (то есть уравнение, разложенное на множители) будет иметь вид (__ ± __)(__ ± __) = 0.
- При перемножении первых членов (внутри каждой пары скобок) должен получиться член x2/9, поэтому из этого члена извлеките квадратный корень, и результат запишите вместо первого пробела внутри каждой пары скобок:(x/3 ± __)(x/3 ± __) = 0
- Аналогично извлеките квадратный корень из члена y2/16, и результат запишите вместо второго пробела внутри каждой пары скобок: (x/3 ± y/4)(x/3 ± y/4) = 0
- Вы нашли все члены уравнения, поэтому внутри одной пары скобок между членами напишите знак плюс, а внутри второй – знак минус, чтобы при перемножении соответствующие члены сокращались: (x/3 + y/4)(x/3 – y/4) = 0
-
4
Приравняйте каждый двучлен (то есть выражение внутри каждой пары скобок) к нулю и вычислите «y». Так вы найдете два уравнения, которые описывают каждую асимптоту.
- Пример 1: Так как (x/3 + y/4)(x/3 – y/4) = 0, то x/3 + y/4 = 0 и x/3 – y/4 = 0
- Перепишите уравнение следующим образом: x/3 + y/4 = 0 → y/4 = – x/3 → y = – 4x/3
- Перепишите уравнение следующим образом: x/3 – y/4 = 0 → – y/4 = – x/3 → y = 4x/3
-
5
Выполните описанные действия с гиперболой, уравнение которой отличается от канонического. В предыдущем шаге вы нашли уравнения асимптот гиперболы с центром в начале координат. Если центр гиперболы находится в точке с координатами (h,k), то она описывается следующим уравнением: (x – h)2/a2 – (y – k)2/b2 = 1 или (y – k)2/b2 – (x – h)2/a2 = 1. Это уравнение также можно разложить на множители. Но в этом случае не трогайте двучлены (x – h) и (y – k) до тех пор, пока не придете к последнему шагу.
- Пример 2: (x – 3)2/4 – (y + 1)2/25 = 1
- Приравняйте это уравнение к 0 и разложите его на множители:
- ((x – 3)/2 + (y + 1)/5)((x – 3)/2 – (y + 1)/5) = 0
- Приравняйте каждый двучлен (то есть выражение внутри каждой пары скобок) к нулю и вычислите «y», чтобы найти уравнения асимптот:
- (x – 3)/2 + (y + 1)/5 = 0 → y = –5/2x + 13/2
- ((x – 3)/2 – (y + 1)/5) = 0 → y = 5/2x – 17/2
Реклама
-
1
Обособьте член y2 на левой стороне уравнения гиперболы. Применяйте этот метод в том случае, когда уравнение гиперболы дано в квадратичной форме. Даже если дано каноническое уравнение гиперболы, этот метод позволит лучше понять концепцию асимптот. Обособьте y2 или (y – k)2 на левой стороне уравнения.
- Пример 3: (y + 2)2/16 – (x + 3)2/4 = 1
- К обеим частям уравнения прибавьте «х», а затем умножьте обе части на 16:
- (y + 2)2 = 16(1 + (x + 3)2/4)
- Упростите полученное уравнение:
- (y + 2)2 = 16 + 4(x + 3)2
-
2
Извлеките квадратный корень из каждой части уравнения. При этом не упрощайте правую часть уравнения, так как при извлечении квадратного корня получаются два результата – положительный и отрицательный (например, -2 * -2 = 4, поэтому √4 = 2 и √4 = -2). Чтобы привести оба результата, используйте символ ±.
- √((y + 2)2) = √(16 + 4(x + 3)2)
- (y+2) = ± √(16 + 4(x + 3)2)
-
3
Уясните понятие асимптоты. Сделайте это до того, как перейти к следующему шагу. Асимптота – это прямая, к которой приближается гипербола с ростом значений «х». Гипербола никогда не пересечет асимптоту, но с увеличением «х» гипербола приблизится к асимптоте на бесконечно малое расстояние.
-
4
Преобразуйте уравнение с учетом больших значений «х». Как правило, при работе с уравнениями асимптот учитываются только большие значения «х» (то есть такие значения, которые стремятся к бесконечности). Поэтому в уравнении можно пренебречь определенными константами, так как по сравнению с «х» их вклад невелик. Например, если переменная «х» равна нескольким миллиардам, то прибавление числа (константы) 3 окажет мизерное влияние на значение «х».
- В уравнении (y+2) = ± √(16 + 4(x + 3)2) при стремлении «x» к бесконечности постоянной 16 можно пренебречь.
- При больших значениях «х» (y+2) ≈ ± √(4(x + 3)2)
-
5
Вычислите «у», чтобы найти уравнения асимптот. Избавившись от констант, можно упростить подкоренное выражение. Помните, что в ответе нужно записать два уравнения – одно со знаком плюс, а второе со знаком минус.
- y + 2 = ±√(4(x+3)^2)
- y + 2 = ±2(x+3)
- y + 2 = 2x + 6 и y + 2 = -2x – 6
- y = 2x + 4 и y = -2x – 8
Реклама
Советы
- Помните, что уравнение гиперболы и уравнения ее асимптот всегда включают постоянные (константы).
- Равносторонняя гипербола – это гипербола, в уравнении которой а = b = с (константа).
- Если дано уравнение равносторонней гиперболы, сначала преобразуйте его в каноническую форму, а затем найдите уравнения асимптот.
Реклама
Предупреждения
- Помните, что ответ не всегда записывается в канонической форме.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 91 599 раз.
Была ли эта статья полезной?
Download Article
Download Article
Asymptotes of a hyperbola are the lines that pass through center of the hyperbola. The hyperbola gets closer and closer to the asymptotes, but can never reach them. There are two different approaches you can use to find the asymptotes. Learning how to do both may help you understand the concept.
-
1
Write down the equation of the hyperbola in its standard form. We’ll start with a simple example: a hyperbola with the center of its origin. For these hyperbolas, the standard form of the equation is x2/a2 – y2/b2 = 1 for hyperbolas that extend right and left, or y2/b2 – x2/a2 = 1 for hyperbolas that extend up and down. Remember, x and y are variables, while a and b are constants (ordinary numbers).[1]
- Example 1: x2/9 – y2/16 = 1
- Some textbooks and teachers switch the position of a and b in these equations. Follow the equation closely so you understand what’s going on. If you just memorize the equations you won’t be prepared when you see a different notation.
-
2
Set the equation equal to zero instead of one. This new equation represents both asymptotes, though it will take a little more work to separate them.[2]
- Example 1: x2/9 – y2/16 = 0
Advertisement
-
3
Factor the new equation. Factor the left hand side of the equation into two products.[3]
Refresh your memory on factoring a quadratic if you need to, or follow along while we continue Example 1:- We’ll end up with an equation in the form (__ ± __)(__ ± __) = 0.
- The first two terms need to multiply together to make x2/9, so take the square root and write it in those spaces: (x/3 ± __)(x/3 ± __) = 0
- Similarly, take the square root of y2/16 and place it in the two remaining spaces: (x/3 ± y/4)(x/3 ± y/4) = 0
- Since there are no other terms, write one plus sign and one minus sign so the other terms cancel when multiplied: (x/3 + y/4)(x/3 – y/4) = 0
-
4
Separate the factors and solve for y. To get the equations for the asymptotes, separate the two factors and solve in terms of y.[4]
- Example 1: Since (x/3 + y/4)(x/3 – y/4) = 0, we know x/3 + y/4 = 0 and x/3 – y/4 = 0
- Rewrite x/3 + y/4 = 0 → y/4 = – x/3 → y = – 4x/3
- Rewrite x/3 – y/4 = 0 → – y/4 = – x/3 → y = 4x/3
-
5
Try the same process with a harder equation. We’ve just found the asymptotes for a hyperbola centered at the origin. A hyperbola centered at (h,k) has an equation in the form (x – h)2/a2 – (y – k)2/b2 = 1, or in the form (y – k)2/b2 – (x – h)2/a2 = 1. You can solve these with exactly the same factoring method described above. Just leave the (x – h) and (y – k) terms intact until the last step.
- Example 2: (x – 3)2/4 – (y + 1)2/25 = 1
- Set this equal to 0 and factor to get:
- ((x – 3)/2 + (y + 1)/5)((x – 3)/2 – (y + 1)/5) = 0
- Separate each factor and solve to find the equations of the asymptotes:
- (x – 3)/2 + (y + 1)/5 = 0 → y = –5/2x + 13/2
- ((x – 3)/2 – (y + 1)/5) = 0 → y = 5/2x – 17/2
Advertisement
-
1
Write down the hyperbola equation with the y2 term on the left side. This method is useful if you have an equation that’s in general quadratic form. Even if it’s in standard form for hyperbolas, this approach can give you some insight into the nature of asymptotes. Rearrange the equation so the y2 or (y – k)2 term is on one side to get started.[5]
- Example 3: (y + 2)2/16 – (x + 3)2/4 = 1
- Add the x term to both sides, then multiply each side by 16:
- (y + 2)2 = 16(1 + (x + 3)2/4)
- Simplify:
- (y + 2)2 = 16 + 4(x + 3)2
-
2
Take the square root of each side. Take the square root, but don’t try to simplify the right hand side yet. Remember, when you take the square root, there are two possible solutions: a positive and a negative. (For example, -2 * -2 = 4, so √4 can be equal to -2 as well as 2.) Use the “+ or -” sign ± to keep track of both solutions.[6]
- √((y + 2)2) = √(16 + 4(x + 3)2)
- (y+2) = ± √(16 + 4(x + 3)2)
-
3
Review the definition of an asymptote. It’s important that you understand this before you continue to the next step. The asymptote of a hyperbola is a line that the hyperbola gets closer and closer to as x increases. X can never actually reach the asymptote, but if we follow the hyperbola for larger and larger values of x, we’ll get closer and closer to the asymptote.[7]
-
4
Adjust the equation for large values of x. Since we’re trying to find the asymptote equation now, we only care about x for very large values (“approaching infinity”). This lets us ignore certain constants in the equation, because they contribute such a small part relative to the x term. Once x is at 99 billion (for example), adding three is so small we can ignore it.
- In the equation (y+2) = ± √(16 + 4(x + 3)2), as x approaches infinity, the 16 becomes irrelevant.
- (y+2) = approximately ± √(4(x + 3)2) for large values of x
-
5
Solve for y to find the two asymptote equations. Now that we’ve got rid of the constant, we can simplify the square root. Solve in terms of y to get the answer. Remember to split the ± symbol into two separate equations, one with + and one with -.[8]
- y + 2 = ±√(4(x+3)^2)
- y + 2 = ±2(x+3)
- y + 2 = 2x + 6 and y + 2 = -2x – 6
- y = 2x + 4 and y = -2x – 8
Advertisement
Add New Question
-
Question
How do I find the equation of asymptotes of hyperbolis 16×2-9y2=144?
Divide both sides of the equation by 144 to get 1 on the right hand => the equation will be x^2/9 + y^2/16 =1 => a=3 and b=4 so the equation of asymptote will be y = – b/a x and y= b/a x
so y= – 4/3*x and y = 4/3*x. -
Question
How do I solve the equation of f(x)+3?
That’s not an equation. You would need two sides of an equation, divided by an equal sign (=), in order to solve it.
-
Question
How to find the asymptotes of a rectangular hyperbola whose equation is x squared – y squared = 1?
In this case a and b are both equal to 1, and the asymptotes are y = x and y = -x.
Ask a Question
200 characters left
Include your email address to get a message when this question is answered.
Submit
Advertisement
Video
-
Always remember a hyperbola equation and its pair of asymptotes always defer by a constant.
-
A rectangular hyperbola is one where in a=b=constant=c.
-
When dealing with rectangular hyperbolas first convert them to standard form and then find the asymptotes.
Thanks for submitting a tip for review!
Advertisement
-
Beware of putting equations always in standard form.
Advertisement
References
About This Article
Article SummaryX
To find the equations of the asymptotes of a hyperbola, start by writing down the equation in standard form, but setting it equal to 0 instead of 1. Then, factor the left side of the equation into 2 products, set each equal to 0, and solve them both for “Y” to get the equations for the asymptotes. Alternatively, you can rearrange the equation with the Y^2 term on the left side, take the square root of both sides, then solve for “Y.” Just remember to split your answer into 2 separate equations, one with a plus sign and the other with a minus sign. To work through examples of how to find the equations of the asymptotes of a hyperbola using both these methods, read on!
Did this summary help you?
Thanks to all authors for creating a page that has been read 193,999 times.
Did this article help you?
Что такое гипербола? Как построить гиперболу? (Для школьников (7-11 классов)).
Математическая гипербола.
Функция заданная формулой (y=frac{k}{x}), где к неравно 0. Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности.
Определение гиперболы.
График функции (y=frac{k}{x}) называют гиперболой. Где х является независимой переменной, а у — зависимой.
Что нужно знать, чтобы построить гиперболу?
Теперь обсудим свойства гиперболы:
1. Ветви гиперболы. Если k>o, то ветви гиперболы находятся в 1 и 3 четверти. Если k<0, то ветви гиперболы находятся во 2 и 4 четверти.
гипербола, где k>0 ветви гиперболы находятся в 1 и 3 четверти
гипербола, где k<0 ветви гиперболы находятся во 2 и 4 четверти
2.Асимптоты гиперболы. Чтобы найти асимптоты гиперболы необходимо,иногда, уравнение гиперболы упростить. Рассмотрим на примере:
Пример №1:
$$y=frac{1}{x}$$
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х не равен 0.
$$yneqcolor{red} {frac{1}{x}}+0$$
(frac{1}{x}) дробь отбрасываем, для того чтобы найти вторую асимптоту.
Остается простое число
y≠0 это вторая асимптота.
И так, асимптоты x≠0 и y≠0 в данном примере совпадают с осями координат OX и OY.
k=1, значит гипербола будет находится в первой и третьей четверти. k всегда находится в числители.
Построим примерный график гиперболы.
Пример №2:
$$y=frac{1}{x+2}-1$$
Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х+2 неравен 0.
х+2≠0
х≠-2 это первая асимптота
Находим вторую асимптоту.
$$y=color{red} {frac{1}{x+2}}-1$$
Дробь (color{red} {frac{1}{x+2}}) отбрасываем
Остается y≠ -1 это вторая асимптота.
Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-2 и y≠-1):
Пример №3:
$$begin{align*}
&y=frac{2+x}{1+x} \\
&y=frac{color{red} {1+1}+x}{1+x} \\
&y=frac{1}{1+x}+frac{1+x}{1+x}\\
&y=frac{1}{1+x}+1\\
&y=frac{1}{color{red} {1+x}}+1
end{align*}$$
Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому 1+х неравен 0.
1+х≠0
х≠-1 это первая асимптота.
Находим вторую асимптоту.
$$y=color{red}{frac{1}{1+x}}+1$$
(color{red}{frac{1}{1+x}}) Дробь убираем.
Остается y≠1 это вторая асимптота.
Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-1 и y≠1):
3. У гиперболы есть центр симметрии относительно начала координат. Рассмотрим на примере:
$$y=frac{1}{x}$$
Возьмем точку А(1;1) с координатами, которая находится на графике у=1/х. На этом же графике лежит точка B(-1;-1). Видно, что точка А симметрична точке В относительна начала координат.
4. Оси симметрии гиперболы. У гиперболы две оси симметрии. Рассмотрим пример:
$$y=frac{1}{x}$$
Первой осью симметрии является прямая y=x. Посмотрим точки (0,5;2) и (2;0,5) и еще точки (-0,5;-2) и (-2;-0,5). Эти точки расположены по разные стороны данной прямой, но на равных расстояниях от нее, они симметричны относительно этой прямой.
Вторая ось симметрии это прямая y=-x.
5. Гипербола нечетная функция.
$$f(-x)=frac{1}{-x}=-frac{1}{x}=-f(x)$$
6. Область определения гиперболы и область значения гиперболы. Область определения смотрим по оси х. Область значения смотрим по оси у. Рассмотрим на примере:
$$y=frac{-1}{x-1}-1$$
а) Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому x-1 неравен 0.
x-1≠0
х≠1 это первая асимптота.
Находим вторую асимптоту.
$$y=color{red} {frac{-1}{x-1}}-1$$
Дробь (color{red} {frac{-1}{x-1}}) удаляем.
Остается y≠ -1 это вторая асимптота.
б) k=-1, значит ветви гиперболы будут находится во второй и четвертой четверти.
в) Возьмем несколько дополнительных точек и отметим их на графике.
х=0 y=0
x=-1 y=-0,5
x=2 y=-2
x=3 y=-1,5
г) Область определения смотрим по оси х. Графика гиперболы не существует по асимптоте х≠1, поэтому область определения будет находится
х ∈ (-∞;1)U(1;+∞).
д) Область значения смотрим по оси y. График гиперболы не существует по асимптоте y≠ -1, поэтому область значения будет находится
y ∈ (-∞;-1)U(-1;+∞).
е) функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞;1)U(1;+∞).
7. Убывание и возрастание функции гиперболы. Если k>0, функция убывающая. Если k<0 функция возрастающая.
8. Для более точного построения взять несколько дополнительных точек. Пример смотреть в пункте №6.
Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.
реклама
-
Гипербола и её форма.
Начать изучение
-
Фокусы, эксцентриситет и директрисы гиперболы.
Начать изучение
-
Точки гиперболы и их свойства.
Начать изучение
-
Уравнение касательной к гиперболе.
Начать изучение
Гипербола и её форма.
Гиперболой мы назвали линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}=1.label{ref9}
$$
Из этого уравнения видно, что для всех точек гиперболы (|x| geq a), то есть все точки гиперболы лежат вне вертикальной полосы ширины (2a) (рис. 8.6). Ось абсцисс канонической системы координат пересекает гиперболу в точках с координатами ((a, 0)) и ((-a, 0)), называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. Таким образом, гипербола состоит из двух не связанных между собой частей. Они называются ее ветвями. Числа (a) и (b) называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.
Утверждение.
Для гиперболы оси канонической системы координат являются осями симметрии, а начало канонической системы — центром симметрии.
Доказательство.
Доказательство аналогично доказательству соответствующего утверждения для эллипса.
Для исследования формы гиперболы найдем ее пересечение с произвольной прямой, проходящей через начало координат. Уравнение прямой возьмем в виде (y=kx), поскольку мы уже знаем, что прямая (x=0) не пересекает гиперболу. Абсциссы точек перечения находятся из уравнения
$$
frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{k^{2}x^{2}}{b^{2}}=1.
$$
Поэтому, если (b^{2}-a^{2}k^{2} > 0), то
$$
x=pm frac{ab}{sqrt{b^{2}-a^{2}k^{2}}}.
$$
Это позволяет указать координаты точек пересечения ((ab/v, abk/v)) и ((-ab/v, -abk/v)), где обозначено (v=(b^{2}-a^{2}k^{2})^{1/2}). В силу симметрии достаточно проследить за движением первой из точек при изменении (k) (рис. 8.7).
Числитель дроби (ab/v) постоянен, а знаменатель принимает наибольшее значение при (k=0). Следовательно, наименьшую абсциссу имеет вершина ((a, 0)). С ростом (k) знаменатель убывает, и (x) растет, стремясь к бесконечности, когда (k) приближается к числу (b/a). Прямая (y=bx/a) с угловым коэффициентом (b/a) не пересекает гиперболу, и прямые с большими угловыми коэффициентами ее тем более не пересекают. Любая прямая с меньшим положительным угловым коэффициентом пересекает гиперболу.
Если мы будем поворачивать прямую от горизонтального положения по часовой стрелке, то (k) будет убывать, (k^{2}) расти, и прямая будет пересекать гиперболу во все удаляющихся точках, пока не займет положения с угловым коэффициентом (-b/a).
К прямой (y=-bx/a) относится все, что было сказано о (y=bx/a): она не пересекает гиперболу и отделяет прямые, пересекающие ее, от не пересекающих. Из приведенных рассуждений вытекает, что гипербола имеет вид, изображенный на рис. 8.7.
Определение.
Прямые с уравнениями (y=bx/a) и (y=-bx/a) в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы.
Запишем уравнения асимптот в виде (bx-ay=0) и (bx+ay=0). Расстояния от точки (M(x, y)) до асимптот равны соответственно
$$
h_{1}=frac{|bx-ay|}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}, h_{2}=frac{|bx+ay|}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}.nonumber
$$
Если точка (M) находится на гиперболе, то (b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}), и
$$
h_{1}h_{2}=frac{|b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}|}{a^{2}+b^{2}}=frac{a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}.nonumber
$$
Утверждение.
Произведение расстояний от точки гиперболы до асимптот постоянно и равно (a^{2}b^{2}/(a^{2}+b^{2})).
Отсюда следует важное свойство асимптот.
Свойство.
Если точка движется по гиперболе так, что ее абсцисса по абсолютной величине неограниченно возрастает, то расстояние от точки до одной из асимптот стремится к нулю.
Доказательство.
Действительно, хотя бы одно из расстояний (h_{1}) или (h_{2}) при этих условиях должно неограниченно возрастать, и, если бы предложение было неверно, произведение не было бы постоянно.
Фокусы, эксцентриситет и директрисы гиперболы.
Определение.
Введем число (c), положив
$$
c^{2}=a^{2}+b^{2}label{ref10}
$$
и (c > 0). Фокусами гиперболы называются точки (F_{1}) и (F_{2}) с координатами ((c, 0)) и ((-c, 0)) в канонической системе координат.
Отношение (varepsilon=c/a), как и для эллипса, называется эксцентриситетом. У гиперболы (varepsilon > 1).
Утверждение 9.
Расстояния от произвольной точки (M(x, y)) на гиперболе до каждого из фокусов следующим образом зависят от ее абсциссы (x):
$$
r_{1}=|F_{1}M|=|a-varepsilon x|, r_{2}=|F_{2}M|=|a+varepsilon x|.label{ref11}
$$
Доказательство.
Доказательство этого утверждения почти дословно совпадает с доказательством аналогичного утверждения для эллипса.
Заметим, что равенства eqref{ref11} можно подробнее записать так:
- для правой ветви гиперболы ((x geq a))
$$
r_{1}=varepsilon x-a, r_{2}=varepsilon x+a;nonumber
$$ - для левой ветви гиперболы ((x leq -a))
$$
r_{1}= a-varepsilon x, r_{2}=-varepsilon x-a;nonumber
$$
Итак, для правой ветви (r_{2}-r_{1}=2a), а для левой ветви (r_{1}-r_{2}=2a). В обоих случаях
$$
|r_{2}-r_{1}|=2a.label{ref12}
$$
Директрисами гиперболы называются прямые, задаваемые в канонической системе координат уравнениями
$$
x=frac{a}{varepsilon}, x=-frac{a}{varepsilon}.label{ref13}
$$
Директрисы лежат ближе к центру, чем вершины, и, следовательно, не пересекают гиперболу. Директриса и фокус, лежащие по одну сторону от центра, считаются соответствующими друг другу.
Точки гиперболы и их свойства.
Утверждение 10.
Для того чтобы точка (M) лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы разность ее расстояний до фокусов по абсолютной величине равнялась вещественной оси гиперболы (2a).
Доказательство.
Необходимость условия уже доказана. Для доказательства достаточности условия его нужно представить в виде
$$
sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=pm 2a+sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}nonumber
$$
Дальнейшее отличается от доказательства соответствующего утверждения для эллипса только тем, что нужно воспользоваться равенством (c^{2}=a^{2}+b^{2}), а не (c^{2}=a^{2}-b^{2}).
Утверждение 11.
Для того чтобы точка лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету (varepsilon) (рис. 8.10).
Доказательство.
Доказательство повторяет доказательство предложения 4. Докажем, например, необходимость условия для фокуса (F_{2}(-c, 0)). Пусть (M'(x, y)) — точка гиперболы. Расстояние от (M’) до директрисы с уравнением (x=-a/varepsilon) по формуле (9) § 3 гл. II равно
$$
d’=left|x+frac{a}{varepsilon}right|=frac{1}{varepsilon}|varepsilon x+a|.nonumber
$$
Из формулы eqref{ref11} мы видим теперь, что (r’/d’=varepsilon).
Уравнение касательной к гиперболе.
Уравнение касательной к гиперболе в точке (M_{0}(x_{0}, y_{0})), лежащей на ней, выводится так же, как соответствующее уравнение касательной для эллипса. Оно имеет вид
$$
frac{xx_{0}}{a^{2}}-frac{yy_{0}}{b^{2}}=1.label{ref14}
$$
Утверждение 12.
Касательная к гиперболе в точке (M_{0}(x_{0}, y_{0})) есть биссектриса угла между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.
Доказательство.
Доказательство почти не отличается от доказательства соответствующего утверждения для эллипса.
