Как найти асимптоты гиперболы 8 класс - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Что такое гипербола? Как построить гиперболу? (Для школьников (7-11 классов)).

Математическая гипербола.

Функция заданная формулой (y=frac{k}{x}), где к неравно 0. Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности.
Определение гиперболы.
График функции (y=frac{k}{x}) называют гиперболой. Где х является независимой переменной, а у — зависимой.

Что нужно знать, чтобы построить гиперболу?
Теперь обсудим свойства гиперболы:

1. Ветви гиперболы. Если k>o, то ветви гиперболы находятся в 1 и 3 четверти. Если k<0, то ветви гиперболы находятся во 2 и 4 четверти.
гипербола, где k>0 ветви гиперболы находятся в 1 и 3 четверти

гипербола, где k<0 ветви гиперболы находятся во 2 и 4 четверти

2.Асимптоты гиперболы. Чтобы найти асимптоты гиперболы необходимо,иногда, уравнение гиперболы упростить. Рассмотрим на примере:
Пример №1:
$$y=frac{1}{x}$$
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х не равен 0.
$$yneqcolor{red} {frac{1}{x}}+0$$
(frac{1}{x}) дробь отбрасываем, для того чтобы найти вторую асимптоту.
Остается простое число
y≠0 это вторая асимптота.
И так, асимптоты x≠0 и y≠0 в данном примере совпадают с осями координат OX и OY.
k=1, значит гипербола будет находится в первой и третьей четверти. k всегда находится в числители.
Построим примерный график гиперболы.

Пример №2:
$$y=frac{1}{x+2}-1$$
Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х+2 неравен 0.
х+2≠0
х≠-2 это первая асимптота

Находим вторую асимптоту.

$$y=color{red} {frac{1}{x+2}}-1$$

Дробь (color{red} {frac{1}{x+2}}) отбрасываем
Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-2 и y≠-1):

Пример №3:

$$begin{align*}
&y=frac{2+x}{1+x} \\
&y=frac{color{red} {1+1}+x}{1+x} \\
&y=frac{1}{1+x}+frac{1+x}{1+x}\\
&y=frac{1}{1+x}+1\\
&y=frac{1}{color{red} {1+x}}+1
end{align*}$$

Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому 1+х неравен 0.
1+х≠0
х≠-1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

$$y=color{red}{frac{1}{1+x}}+1$$

(color{red}{frac{1}{1+x}}) Дробь убираем.

Остается y≠1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-1 и y≠1):

3. У гиперболы есть центр симметрии относительно начала координат. Рассмотрим на примере:

$$y=frac{1}{x}$$

Возьмем точку А(1;1) с координатами, которая находится на графике у=1/х. На этом же графике лежит точка B(-1;-1). Видно, что точка А симметрична точке В относительна начала координат.

4. Оси симметрии гиперболы. У гиперболы две оси симметрии. Рассмотрим пример:

$$y=frac{1}{x}$$

Первой осью симметрии является прямая y=x. Посмотрим точки (0,5;2) и (2;0,5) и еще точки (-0,5;-2) и (-2;-0,5). Эти точки расположены по разные стороны данной прямой, но на равных расстояниях от нее, они симметричны относительно этой прямой.

Вторая ось симметрии это прямая y=-x.

5. Гипербола нечетная функция.

$$f(-x)=frac{1}{-x}=-frac{1}{x}=-f(x)$$

6. Область определения гиперболы и область значения гиперболы. Область определения смотрим по оси х. Область значения смотрим по оси у. Рассмотрим на примере:

$$y=frac{-1}{x-1}-1$$

а) Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому x-1 неравен 0.
x-1≠0
х≠1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

$$y=color{red} {frac{-1}{x-1}}-1$$

Дробь (color{red} {frac{-1}{x-1}}) удаляем.

Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

б) k=-1, значит ветви гиперболы будут находится во второй и четвертой четверти.

в) Возьмем несколько дополнительных точек и отметим их на графике.
х=0 y=0
x=-1 y=-0,5
x=2 y=-2
x=3 y=-1,5

г) Область определения смотрим по оси х. Графика гиперболы не существует по асимптоте х≠1, поэтому область определения будет находится
х ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

д) Область значения смотрим по оси y. График гиперболы не существует по асимптоте y≠ -1, поэтому область значения будет находится
y ∈ (-∞;-1)U(-1;+∞).

е) функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

7. Убывание и возрастание функции гиперболы. Если k>0, функция убывающая. Если k<0 функция возрастающая.

8. Для более точного построения взять несколько дополнительных точек. Пример смотреть в пункте №6.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.
реклама

Источник

Асимптоты графика функции. График дробно-линейной функции

Асимптоты графика функции. График дробно-линейной функции.

В этой статье мы рассмотрим, что такое асимптота графика функции, и как ее находить.

Асимптота – это прямая, к которой бесконечно близко приближается график функции.

Асимптоты бывают горизонтальные, вертикальные и наклонные.

Если мы посмотрим на хорошо известный нам график функции y=1/x , то увидим, что график этой функции бесконечно близко приближается к прямой x=0 (ось ОY) – это вертикальная асимптота, и к прямой y=0 (ось ОХ) – это горизонтальная асимптота:

В общем случае горизонтальная асимптота – это прямая, параллельная оси OX. Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид y=b , где – число, к которому стремятся значения функции y=f(x) , когда стремится к infty .

То есть .

Вертикальная асимптота – это прямая, параллельная оси OY. Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид x=a . Здесь – значение переменной , при котором функция y=f(x) не определена. Как правило, это ноль знаменателя. Если значение стремится к точке, в которой знаменатель равен нулю, то абсолютное значение дроби при этом неограниченно возрастает.

В некоторых случаях для построения графика функции бывает достаточно найти асимптоты графика.

Рассмотрим дробно-линейную функцию. В общем виде уравнение дробно-линейной функции имеет вид: .

График дробно-линейной функции – это гипербола. Как мы знаем, гипербола имеет две асимптоты: горизонтальную и вертикальную.

Заметим, что при x=-d/c знаменатель равен нулю, в этой точке функция не определена. Поэтому прямая x=-d/c – вертикальная асимптота.

Степень в числителе дроби равна степени в знаменателе. Поэтому при числитель и знаменатель растут с одинаковой скоростью, и

и уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид y=a/c .

График дробно-линейной функции – это гипербола, симметричная относительно точки пересечения асимптот графика. Поэтому, чтобы построить график, нам остается только выяснить его расположение относительно этой точки.

Для этого достаточно найти точки пересечения графика с осями координат.

Точка пересечения с осью OX (y=o): x=-b/a .

Точка пересечения с осью OY (x=0): y=b/d .

Построим график функции . Это дробно-линейная функция и ее график – гипербола.

Найдем горизонтальную и вертикальную асимптоты.

Уравнение горизонтальной асимптоты: y=1/3 ;

уравнение вертикальной асимптоты (ноль знаменателя): x=-2/3

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью ОХ: x+1=0 ; x=-1

с осью OY(x=0): y=1/2 .

То есть график функции выглядит как-то так:

И, наконец, наклонная асимптота. Наклонная асимптота – это к прямая, к кторой стремится график функции на бесконечности.

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y=kx+b .

Коэффициенты и вычисляются следующим образом:

Найдем асимптоты графика функции $y={3-x^2}/{x+2}$

1. Начнем с области определения функции. Функция $y={3-x^2}/{x+2}$ не определена в точке x=-2 , следовательно прямая x=-2 является вертикальной асимптотой.

2. Степень числителя дроби ${3-x^2}/{x+2}$ на единицу больше степени знаменателя, поэтому предел этого отношения при отношения равен бесконечности. Следовательно, график функции $y={3-x^2}/{x+2}$ не имеет горизонтальной асимптоты.

3. Попробуем найти наклонную асимптоту.

$k=lim{x{right}{infty}}{{{3-x^2}/{(x+2)x}}}=-1$

(Предел функции равен отношению коэффициентов при максимальных степенях в числителе и знаменателе дроби).

$b=lim{x{right}{infty}}{({{3-x^2}/{x+2}}-(-1)x)}=$ $lim{x{right}{infty}}{{3-x^2+x^2+2x}/{x+2}}=$

Итак, уравнение наклонной асимптоты: y=-x+2

График функции $y={3-x^2}/{x+2}$ , построенный с помощью специальной программы, показывает, что асимптоты были найдены верно:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Источник

Загрузить PDF

Асимптоты гиперболы – это прямые, проходящие через центр гиперболы. Гипербола приближается к асимптотам, но никогда не пересекает (и даже не касается) их. Найти уравнения асимптот можно двумя способами, которые помогут понять саму концепцию асимптот.

1
Запишите каноническое уравнение гиперболы. Рассмотрим простейший пример – гиперболу, центр которой расположен в начале координат. В этом случае каноническое уравнение гиперболы имеет вид: ^x²/_a² – ^y²/_b² = 1 (когда ветви гиперболы направлены вправо или влево) или ^y²/_b² – ^x²/_a² = 1 (когда ветви гиперболы направлены вверх или вниз).^[1] Имейте в виду, что в этом уравнении «х» и «у» – это переменные, а «а» и «b» – постоянные (то есть числа).
- Пример 1: ^x²/₉ – ^y²/₁₆ = 1
- Некоторые преподаватели и авторы учебников меняют местами постоянные «а» и «b».^[2] Поэтому изучите данное вам уравнение, чтобы понять, что к чему. Не стоит просто запоминать уравнение – в этом случае вы ничего не поймете, если переменные и/или постоянные будут обозначены другими символами.
2
Приравняйте каноническое уравнение к нулю (а не к единице). Новое уравнение описывает обе асимптоты, но чтобы получить уравнение каждой асимптоты, придется приложить некоторые усилия.^[3]
- Пример 1: ^x²/₉ – ^y²/₁₆ = 0
3
Разложите на множители новое уравнение. Разложите на множители левую часть уравнения. Вспомните, как раскладывать на множители квадратное уравнение, и читайте дальше.
- Конечное уравнение (то есть уравнение, разложенное на множители) будет иметь вид (__ ± __)(__ ± __) = 0.
- При перемножении первых членов (внутри каждой пары скобок) должен получиться член ^x²/₉, поэтому из этого члена извлеките квадратный корень, и результат запишите вместо первого пробела внутри каждой пары скобок:(^x/₃ ± __)(^x/₃ ± __) = 0
- Аналогично извлеките квадратный корень из члена ^y²/₁₆, и результат запишите вместо второго пробела внутри каждой пары скобок: (^x/₃ ± ^y/₄)(^x/₃ ± ^y/₄) = 0
- Вы нашли все члены уравнения, поэтому внутри одной пары скобок между членами напишите знак плюс, а внутри второй – знак минус, чтобы при перемножении соответствующие члены сокращались: (^x/₃ + ^y/₄)(^x/₃ – ^y/₄) = 0
4
Приравняйте каждый двучлен (то есть выражение внутри каждой пары скобок) к нулю и вычислите «y». Так вы найдете два уравнения, которые описывают каждую асимптоту.
- Пример 1: Так как (^x/₃ + ^y/₄)(^x/₃ – ^y/₄) = 0, то ^x/₃ + ^y/₄ = 0 и ^x/₃ – ^y/₄ = 0
- Перепишите уравнение следующим образом: ^x/₃ + ^y/₄ = 0 → ^y/₄ = – ^x/₃ → y = – ^4x/₃
- Перепишите уравнение следующим образом: ^x/₃ – ^y/₄ = 0 → – ^y/₄ = – ^x/₃ → y = ^4x/₃
5
Выполните описанные действия с гиперболой, уравнение которой отличается от канонического. В предыдущем шаге вы нашли уравнения асимптот гиперболы с центром в начале координат. Если центр гиперболы находится в точке с координатами (h,k), то она описывается следующим уравнением: ^{(x – h)²}/_a² – ^{(y – k)²}/_b² = 1 или ^{(y – k)²}/_b² – ^{(x – h)²}/_a² = 1. Это уравнение также можно разложить на множители. Но в этом случае не трогайте двучлены (x – h) и (y – k) до тех пор, пока не придете к последнему шагу.
- Пример 2: ^{(x – 3)²}/₄ – ^{(y + 1)²}/₂₅ = 1
- Приравняйте это уравнение к 0 и разложите его на множители:
- (^{(x – 3)}/₂ + ^{(y + 1)}/₅)(^{(x – 3)}/₂ – ^{(y + 1)}/₅) = 0
- Приравняйте каждый двучлен (то есть выражение внутри каждой пары скобок) к нулю и вычислите «y», чтобы найти уравнения асимптот:
- ^{(x – 3)}/₂ + ^{(y + 1)}/₅ = 0 → y = –⁵/₂x + ¹³/₂
- (^{(x – 3)}/₂ – ^{(y + 1)}/₅) = 0 → y = ⁵/₂x – ¹⁷/₂
Реклама

1
Обособьте член y² на левой стороне уравнения гиперболы. Применяйте этот метод в том случае, когда уравнение гиперболы дано в квадратичной форме. Даже если дано каноническое уравнение гиперболы, этот метод позволит лучше понять концепцию асимптот. Обособьте y² или (y – k)² на левой стороне уравнения.
- Пример 3: ^{(y + 2)²}/₁₆ – ^{(x + 3)²}/₄ = 1
- К обеим частям уравнения прибавьте «х», а затем умножьте обе части на 16:
- (y + 2)² = 16(1 + ^{(x + 3)²}/₄)
- Упростите полученное уравнение:
- (y + 2)² = 16 + 4(x + 3)²
2
Извлеките квадратный корень из каждой части уравнения. При этом не упрощайте правую часть уравнения, так как при извлечении квадратного корня получаются два результата – положительный и отрицательный (например, -2 * -2 = 4, поэтому √4 = 2 и √4 = -2). Чтобы привести оба результата, используйте символ ±.
- √((y + 2)²) = √(16 + 4(x + 3)²)
- (y+2) = ± √(16 + 4(x + 3)²)
3

Уясните понятие асимптоты. Сделайте это до того, как перейти к следующему шагу. Асимптота – это прямая, к которой приближается гипербола с ростом значений «х». Гипербола никогда не пересечет асимптоту, но с увеличением «х» гипербола приблизится к асимптоте на бесконечно малое расстояние.
4
Преобразуйте уравнение с учетом больших значений «х». Как правило, при работе с уравнениями асимптот учитываются только большие значения «х» (то есть такие значения, которые стремятся к бесконечности). Поэтому в уравнении можно пренебречь определенными константами, так как по сравнению с «х» их вклад невелик. Например, если переменная «х» равна нескольким миллиардам, то прибавление числа (константы) 3 окажет мизерное влияние на значение «х».
- В уравнении (y+2) = ± √(16 + 4(x + 3)²) при стремлении «x» к бесконечности постоянной 16 можно пренебречь.
- При больших значениях «х» (y+2) ≈ ± √(4(x + 3)²)
5
Вычислите «у», чтобы найти уравнения асимптот. Избавившись от констант, можно упростить подкоренное выражение. Помните, что в ответе нужно записать два уравнения – одно со знаком плюс, а второе со знаком минус.
- y + 2 = ±√(4(x+3)^2)
- y + 2 = ±2(x+3)
- y + 2 = 2x + 6 и y + 2 = -2x – 6
- y = 2x + 4 и y = -2x – 8
Реклама

Советы

Помните, что уравнение гиперболы и уравнения ее асимптот всегда включают постоянные (константы).
Равносторонняя гипербола – это гипербола, в уравнении которой а = b = с (константа).
Если дано уравнение равносторонней гиперболы, сначала преобразуйте его в каноническую форму, а затем найдите уравнения асимптот.

Предупреждения

Помните, что ответ не всегда записывается в канонической форме.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 91 599 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Гипербола: формулы, примеры решения задач

Определение гиперболы, решаем задачи вместе

Определение гиперболы. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, таких, для которых модуль разности расстояний от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

где a и b – длины полуосей, действительной и мнимой.

На чертеже ниже фокусы обозначены как и .

На чертеже ветви гиперболы – бордового цвета.

При a = b гипербола называется равносторонней.

Пример 1. Составить каноническое уравнение гиперболы, если его действительная полуось a = 5 и мнимая = 3.

Решение. Подставляем значения полуосей в формулу канонического уравения гиперболы и получаем:

Точки пересечения гиперболы с её действительной осью (т. е. с осью Ox) называются вершинами. Это точки (a, 0) (- a, 0), они обозначены и надписаны на рисунке чёрным.

Точки и , где

называются фокусами гиперболы (на чертеже обозначены зелёным, слева и справа от ветвей гиперболы).

называется эксцентриситетом гиперболы.

Гипербола состоит из двух ветвей, лежащих в разных полуплоскостях относительно оси ординат.

Пример 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между фокусами равно 10 и действительная ось равна 8.

Если действительная полуось равна 8, то её половина, т. е. полуось a = 4 ,

Если расстояние между фокусами равно 10, то число c из координат фокусов равно 5.

То есть, для того, чтобы составить уравнение гиперболы, потребуется вычислить квадрат мнимой полуоси b.

Подставляем и вычисляем:

Получаем требуемое в условии задачи каноническое уравнение гиперболы:

Пример 3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если её действительная ось равна 48 и эксцентриситет .

Решение. Как следует из условия, действительная полуось a = 24 . А эксцентриситет – это пропорция и так как a = 24 , то коэффициент пропорциональности отношения с и a равен 2. Следовательно, c = 26 . Из формулы числа c выражаем квадрат мнимой полуоси и вычисляем:

Результат – каноническое уравнение гиперболы:

Если – произвольная точка левой ветви гиперболы () и – расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний – следующие:

Если – произвольная точка правой ветви гиперболы () и – расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний – следующие:

На чертеже расстояния обозначены оранжевыми линиями.

Для каждой точки, находящейся на гиперболе, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

называются директрисами гиперболы (на чертеже – прямые ярко-красного цвета).

Из трёх вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки гиперболы

где – расстояние от левого фокуса до точки любой ветви гиперболы, – расстояние от правого фокуса до точки любой ветви гиперболы и и – расстояния этой точки до директрис и .

Пример 4. Дана гипербола . Составить уравнение её директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет гиперболы, т. е. . Вычисляем:

Получаем уравнение директрис гиперболы:

Многие задачи на директрисы гиперболы аналогичны задачам на директрисы эллипса. В уроке “Эллипс” это пример 7.

Характерной особенностью гиперболы является наличие асимптот – прямых, к которым приближаются точки гиперболы при удалении от центра.

Асимптоты гиперболы определяются уравнениями

На чертеже асимптоты – прямые серого цвета, проходящие через начало координат O.

Уравнение гиперболы, отнесённой к асимптотам, имеет вид:

, где .

В том случае, когда угол между асимптотами – прямой, гипербола называется равнобочной, и если асимптоты равнобочной гиперболы выбрать за оси координат, то её уравнение запишется в виде y = k/x , то есть в виде уравения обратной пропорциональной зависимости.

Пример 5. Даны уравнения асимптот гиперболы и координаты точки , лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.

Решение. Дробь в уравнении асимптот гиперболы – это пропорция, следовательно, нужно сначала найти коэффициент пропорциональности отношения . Для этого подставляем в формулу канонического уравнения гиперболы координаты точки M x и y и значения числителя и знаменателя из уравнения асимптоты, кроме того, умножаем каждую дробь в левой части на коэффициент пропорциональности k.

Теперь имеем все данные, чтобы получить каноническое уравнение гиперболы. Получаем:

Гипербола обладает оптическим свойством, которое описывается следующим образом: луч, исходящий из источника света, находящегося в одном из фокусов гиперболы, после отражения движется так, как будто он исходит из другого фокуса.

Решить задачи на гиперболу самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) b = 4 , а один из фокусов в точке (5; 0)

2) действительная ось 6, расстояние между фокусами 8

3) один из фокусов в точке (-10; 0), уравнения асимптот гиперболы

Гипербола

Что такое гипербола? Как построить гиперболу? (Для школьников (7-11 классов)).

Функция заданная формулой (y=frac), где к неравно 0. Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности.
Определение гиперболы.
График функции (y=frac) называют гиперболой. Где х является независимой переменной, а у — зависимой.

Что нужно знать, чтобы построить гиперболу?
Теперь обсудим свойства гиперболы:

гипербола, где k y≠0 это вторая асимптота.
И так, асимптоты x≠0 и y≠0 в данном примере совпадают с осями координат OX и OY.
k=1, значит гипербола будет находится в первой и третьей четверти. k всегда находится в числители.
Построим примерный график гиперболы.

Пример №2:
$$y=frac<1>-1$$
Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х+2 неравен 0.
х+2≠0
х≠-2 это первая асимптота

Находим вторую асимптоту.

Дробь (color <frac<1>>) отбрасываем
Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-2 и y≠-1):

Находим вторую асимптоту.

Остается y≠1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-1 и y≠1):

3. У гиперболы есть центр симметрии относительно начала координат. Рассмотрим на примере:

4. Оси симметрии гиперболы. У гиперболы две оси симметрии. Рассмотрим пример:

Вторая ось симметрии это прямая y=-x.

5. Гипербола нечетная функция.

Находим вторую асимптоту.

Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

б) k=-1, значит ветви гиперболы будут находится во второй и четвертой четверти.

в) Возьмем несколько дополнительных точек и отметим их на графике.
х=0 y=0
x=-1 y=-0,5
x=2 y=-2
x=3 y=-1,5

е) функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

7. Убывание и возрастание функции гиперболы. Если k>0, функция убывающая. Если k Category: 8 класс, База знаний, Уроки Tag: Гипербола Leave a comment

Что такое гипербола

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие гиперболы

Гипербола — это множество точек на плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух точек (они же — «фокусы») — величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы в алгебре выглядит так:

, где a и b — положительные действительные числа.

Кстати, канонический значит принятый за образец.

В отличие от эллипса, здесь не соблюдается условие a > b, значит а может быть меньше b. А если a = b, то гипербола будет равносторонней.

Мы помним, что гипербола в математике выглядит так y = 1/x, что значительно отличается от канонической записи.

Вспомним особенности математической гиперболы:

Две симметричные ветви.
Две асимптоты. Асимптота — это прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность. Их значение помогает найти специальное уравнение асимптот гиперболы.

Если гипербола задана каноническим уравнением, то асимптоты можно найти так:

Пример 1. Построить гиперболу, которая задана уравнением 5(x^2) – 4(y^2) = 20.

Приведем данное уравнение к каноническому виду (x^2)/(a^2) – (y^2)/(b^2) = 1.

Чтобы получить «единицу» в правой части, обе части исходного уравнения делим на 20:

Сокращаем обе дроби в уме или при помощи трехэтажной дроби:

Выделяем квадраты в знаменателях:

Готово. Можно начертить гиперболу.

Можно было сделать проще и дроби левой части 5(x^2)/20 – 4(y^2)/20 = 1 сразу сократить и получить (x^2)/4 – (y^2)/5 = 1. Нам повезло с примером, потому что число 20 делится и на 4 и на 5. Рассмотрим пример посложнее.

Пример 2. Построить гиперболу, которая задана уравнением 3(x^2)/20 – 8(y^2)/20 = 1.

Произведем сокращение при помощи трехэтажной дроби:
Воспользуемся каноническим уравнением
- Найдем асимптоты гиперболы. Вот так:
  Важно! Без этого шага ветви гиперболы «вылезут» за асимптоты.
- Найдем две вершины гиперболы, которые расположены на оси абсцисс в точках A1(a; 0), A2(-a; 0).

Если y = 0, то каноническое уравнение (x^2)/(a^2) – (y^2)/(b^2) = 1 превращается в (x^2)/(a^2) = 1, из чего следует, что x^2 = a^2 -> x = a, x = -a.

Данная гипербола имеет вершины A1(2; 0), A2(-2; 0).

Найдем дополнительные точки — хватит двух-трех.

В каноническом положении гипербола симметрична относительно начала координат и обеих координатных осей, поэтому вычисления достаточно провести для одной координатной четверти.

Способ такой же, как при построении эллипса. Из полученного канонического уравнения

на черновике выражаем:

Уравнение распадается на две функции:

— определяет верхние дуги гиперболы (то, что ищем);

— определяет нижние дуги гиперболы.

Далее найдем точки с абсциссами x = 3, x = 4:

Изобразим на чертеже полученные асимптоты y = (√5/2)x, y = -(√5/2)x, вершины A1(2; 0), A2(-2; 0), дополнительные C1, C2 и симметричные им точки в других координатных четвертях. Аккуратно соединяем соответствующие точки у каждой ветви гиперболы.

Может возникнуть техническая трудность с иррациональным угловым коэффициентом √5/2 ≈ 1,12, но это вполне преодолимая проблема.

Действительная ось гиперболы — отрезок А1А2.

Расстояние между вершинами — длина |A1A2| = 2a.

Действительная полуось гиперболы — число a = |OA1| = |OA2|.

Мнимая полуось гиперболы — число b.

В нашем примере: а = 2, b = √5, |А1А2| = 4. И если такую гиперболу повернуть вокруг центра симметрии или переместить, то значения не изменятся.

Форма гиперболы

Повторим основные термины и узнаем, какие у гиперболы бывают формы.

Гипербола симметрична относительно точки О — середины отрезка F’F. Она также симметрична относительно прямой F’F и прямой Y’Y, проведенной через О перпендикулярно F’F. Точка О — это центр гиперболы.

Прямая F’F пересекает гиперболу в двух точках: A (a; 0) и A’ (-a; 0). Эти точки — вершины гиперболы. Отрезок А’А = 2a — это действительная ось гиперболы.

Несмотря на то, что прямая Y’Y не пересекает гиперболу, на ней принято откладывать отрезки B’O = OB = b. Такой отрезок B’B = 2b (также и прямую Y’Y) можно назвать мнимой осью гиперболы.

Так как AB^2 = OA^2 + OB^2 = a^2 + b^2, то из равенства следует: AB = c, то есть расстояние от вершины гиперболы до конца мнимой оси равно полуфокусному расстоянию.

Мнимая ось 2b может быть больше, меньше или равна действительной оси 2а. Если действительная и мнимая оси равны (a = b) — это равносторонняя гипербола.

Отношение F’F/А’А фокусного расстояния к действительной оси называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается e. Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен √2.

Гипербола лежит целиком вне полосы, ограниченной прямыми PQ и RS, параллельными Y’Y и отстоящими от Y’Y на расстояние OA =A’O = a. Вправо и влево от этой полосы гипербола продолжается неограниченно.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

Фокальное свойство гиперболы

Точки F1 и F2 называют фокусами гиперболы, расстояние 2c = F1F2 между ними — фокусным расстоянием, середина O отрезка F1F2 — центром гиперболы, число 2а — длиной действительной оси гиперболы (соответственно, а — действительной полуосью гиперболы).

Отрезки F1M и F2M, которые соединяют произвольную точку M гиперболы с ее фокусами, называются фокальными радиусами точки M. Отрезок, соединяющий две точки гиперболы, называется хордой гиперболы.

Отношение e = a/c, где c = √(a^2 + b^2), называется эксцентриситетом гиперболы. Из определения (2a 1 .

Геометрическое определение гиперболы, которое выражает ее фокальное свойство, аналогично ее аналитическому определению — линии, которая задана каноническим уравнением гиперболы:

Рассмотрим, как это выглядит на прямоугольной системе координат:

пусть центр O гиперболы будет началом системы координат;
прямую, которая проходит через фокусы (фокальную ось), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки F1 к точке F2);
прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через центр гиперболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат Oxy оказалась правой).

Воспользуемся геометрическим определением и составим уравнение гиперболы, которое выразит фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов F1(-c, 0) и F2(c, 0). Для произвольной точки M(x, y), принадлежащей параболе, имеем:

Запишем это уравнение в координатной форме:

Избавимся от иррациональности и придем к каноническому уравнению гиперболы:

, т.е. выбранная система координат является канонической.

Если рассуждать в обратном порядке, можно убедиться, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (x^2)/(a^2) – (y^2)/(b^2) = 1, и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому гиперболой. Именно поэтому аналитическое определение гиперболы эквивалентно его геометрическому определению.

Директориальное свойство гиперболы

Директрисы гиперболы — это две прямые, которые проходят параллельно оси.

ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии (a^2)/c от нее. Если а = 0, гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых, и директрисы совпадают.

Директориальное свойство гиперболы звучит так:

Гиперболу с эксцентриситетом e = 1 можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки F (фокуса) к расстоянию до заданной прямой d (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету e.

Здесь F и d — один из фокусов гиперболы и одна из ее директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат.

На самом деле для фокуса F2 и директрисы d2 условие

можно записать в координатной форме так:

Избавляясь от иррациональности и заменяя e = a/c, c^2 – a^2 = b^2, мы придем к каноническому уравнению гиперболы. Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса F1 и директрисы d1:

Построение гиперболы

Чтобы запомнить алгоритм построения гиперболы, рассмотрим чертёж и комментарии к нему.

Построим основной прямоугольник гиперболы и проведем его диагонали. Если продолжим диагонали прямоугольника за его пределы, получим асимптоты гиперболы.

В силу симметрии достаточно построить гиперболу в первой четверти, где она является графиком функции:

Важно учесть, что данная функция возрастает на промежутке [a; ∞], при x = a, y = 0 и ее график приближается снизу к асимптоте y = (b/a) * x. Рисуем график:

Далее построенный в первой четверти график симметрично отображаем относительно оси Ох и получаем правую ветвь гиперболы. Теперь отобразим правую ветвь гиперболы относительно оси Оу.

По определению эксцентриситет гиперболы равен

Зафиксируем действительную ось 2а и начнем изменять фокусное расстояние 2с.

Так как b^2 = c^2 – a^2, то величина b изменится.

При этом ε -> 1, b -> 0 и мнимые вершины B1, B2 стремятся к началу координат, асимптоты приближаются к оси Ох. Основной прямоугольник гиперболы выражается в пределе в отрезок A1A2, а сама гипербола выражается в два луча на оси абсцисс: (-∞; -a] и [a; ∞).

При этом ε -> ∞, b -> ∞ и мнимые вершины B1B2 стремятся к бесконечности, асимптоты приближаются к оси Оу. Основной прямоугольник гиперболы вытягивается вдоль оси ординат и ветви гиперболы приближаются к прямым x = +-a и в пределе сливаются с ними. Гипербола выражается в две прямые x = +-a, которые параллельны оси Оу.

Равносторонняя гипербола это такая гипербола, у которой эксцентриситет равен √2. Ее еще называют равнобочной.

Из определения следует, что в равносторонняя гиперболе a = b, поэтому ее каноническое уравнение выглядит так: x^2 – y^2 = a^2

Действительно, ε = c/a = √2, откуда c^2 = 2a^2 и b^2 = c^2 – a^2 = a^2. И так как а и b положительные числа, получаем a = b.

[spoiler title=”источники:”]

http://tutomath.ru/8-klass/kak-postroit-giperbolu.html

http://skysmart.ru/articles/mathematic/chto-takoe-giperbola

[/spoiler]

Источник

Асимптоты гиперболы

Пусть Г – какая-нибудь
линия, М – переменная точка на ней, а –
некоторая прямая. Если возможно такое
движение точки М по линии Г, что:

точка М уходит в
бесконечность;
при этом расстояние
от точки М до прямой а стремится к нулю,
–

то говорят, что линия
Г ассимптотически приближается к прямой
а. Прямая а в таком случае называется
асимптотой линии Г.

Асимптотами гиперболы
называются прямые, имеющие уравнения:

и
.
(3)

Эти прямые являются
диагоналями основного прямоугольника.
Построим гиперболу
и
рассмотрим какую-нибудь точку М(х;у),
лежащую на гиперболе в первом квадранте.

Выясним, как в первом
квадранте по мере возрастания х будет
изменяться расстояние от точки М
гиперболы до асимптоты
.
Обозначим через N точку асимптоты с
абсциссой х: N(x;Y), где Y=.
Тогда

(4)

Так как а 
х, то в скобках первое слагаемое всегда
больше второго, следовательно, Y-y>0, а
это означает, что при одной и той же
абсциссе точка гиперболы лежит под
соответствующей точкой асимптоты.

Преобразовав неравенство
(4):

,
(5)

убеждаемся, что длина
отрезка MN по мере возрастания х
уменьшается, и когда х неограниченно
растет, MN стремится к нулю. Так как MN
больше расстояния МК от точки M до
асимптоты, то при этом МК и подавно
стремится к нулю.

Аналогичное рассуждение
можно провести в любом квадранте.

Итак, прямые
в
смысле определения асимптот к графику
функции являются асимптотами гиперболы

При построении гиперболы
обычно строят основной прямоугольник
и проводят асимптоты, так как они
позволяют точнее вычерчивать гиперболу.

Равнобочная гипербола

Возьмем каноническое
уравнение гиперболы

В случае, когда а=b,
уравнение гиперболы имеет вид

или

х²
– у²
= а².
(6)

Гипербола, у которой
полуоси а и b равны, называется равнобочной
гиперболой.
Уравнение (6) называется уравнением
равнобочной гиперболы. Так как основной
прямоугольник этой гиперболы является
квадратом, то асимптоты равнобочной
гиперболы будут перпендикулярны друг
другу. (Рис. 5)

Рис. 5

Сопряженная гипербола

Рассмотрим уравнение

.
(7)

Представим уравнение
(7) в следующем виде:

.
(8)

Очевидно, что уравнение
(8) представляет собой уравнение гиперболы,
у которой действительной осью является
ось ординат, а мнимой – ось абсцисс.

Построим основной
прямоугольник, проведем асимптоты и
построим гиперболу (7). Далее в той же
системе координат построим (пунктиром)
(Рис. 6) гиперболу

Рис. 6

Очевидно, что гиперболы
и
имеют
общие асимптоты. Такие гиперболы
называются сопряженными.

Выведем теперь уравнение
гиперболы, асимптотами которой служат
оси координат. Возьмем уравнение
равнобочной гиперболы х²
– у²
= а²
и рассмотрим уравнение этой гиперболы
в новой системе координат Х`OY`, полученной
из старой поворотом осей координат на
угол =(Рис.
2).

Используя для этого
формулы поворота осей координат:

х = х`cos
– y`sin;

y = x`sin
+ y`cos,

подставим значения х,
у в уравнение гиперболы:

х²
– у²
= а².

Получим:

.
(9)

Обозначая
,
получим х`y`=c.

Уравнение равнобочной
гиперболы, для которой координатные
оси ОХ и OY являются асимптотами, будет
иметь вид:

ху = с

или

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Асимптоты графика функции. График дробно-линейной функции

Советы

Предупреждения

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Гипербола: формулы, примеры решения задач

Определение гиперболы, решаем задачи вместе

Решить задачи на гиперболу самостоятельно, а затем посмотреть решения

Гипербола

Что такое гипербола

Понятие гиперболы

Форма гиперболы

Фокальное свойство гиперболы

Директориальное свойство гиперболы

Построение гиперболы

Асимптоты гиперболы

Равнобочная гипербола

Сопряженная гипербола

Вам также может понравиться

Текущие пассивы как найти

Сейчас вы не подключены ни к какой сети как исправить

Как ведьме найти мужа

Добавить комментарий Отменить ответ