Как найти базис евклидова пространства

Оглавление — Линейная алгебра

Ортогональный и ортонормированный базисы евклидова пространства

Так как евклидово пространство является линейным, на него переносятся все понятия и свойства, относящиеся к линейному пространству, в частности, понятия базиса и размерности.

Базис [math]mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_n[/math] евклидова пространства называется ортогональным, если все образующие его векторы попарно ортогональны, т.е.

[math]langle mathbf{e}_i,mathbf{e}_jrangle=0[/math] при [math]ine j,~~ i=1,2,ldots,n,~~ j=1,2,ldots,n.[/math]

Базис [math]mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_n[/math] евклидова пространства называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице:

Теорема 8.5. В конечномерном евклидовом пространстве любую систему ортогональных (ортонормированных) векторов можно дополнить до ортогонального (ортонормированного) базиса.

В самом деле, по теореме 8.2 любую систему линейно независимых векторов, в частности, ортогональную (ортонормированную), можно дополнить до базиса. Применяя к этому базису процесс ортогонализации, получаем ортогональный базис. Нормируя векторы этого базиса (см. пункт 4 замечаний 8.11), получаем ортонормированный базис.

Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей

Пусть [math]mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_n[/math] — базис евклидова пространства, в котором векторы [math]mathbf{x}[/math] и [math]mathbf{y}[/math] имеют координаты [math]x_1,x_2,ldots,x_n[/math] и [math]y_1,y_2,ldots,y_n[/math] соответственно, т.е.

[math]mathbf{x}= x_1 mathbf{e}_1+x_2 mathbf{e}_2+ldots+ x_n mathbf{e}_n,qquad mathbf{y}= y_1 mathbf{e}_1+y_2 mathbf{e}_2+ldots+ y_n mathbf{e}_n.[/math]

Выразим скалярное произведение, используя следствие 3 из аксиом скалярного произведения:

[math]langle mathbf{x},mathbf{y}rangle= langle x_1 mathbf{e}_1+x_2 mathbf{e}_2+ldots+ x_n mathbf{e}_n,, y_1 mathbf{e}_1+y_2 mathbf{e}_2+ldots+ y_n mathbf{e}_n rangle= sum_{i=1}^{n}sum_{i=1}^{n}x_iy_jlangle mathbf{e}_i,mathbf{e}_jrangle.[/math]

Преобразуем это выражение, используя операции с матрицами:

где [math]x=begin{pmatrix}x_1&cdots x_nend{pmatrix}^T,~ y=begin{pmatrix} y_1&cdots& y_n end{pmatrix}^T[/math] — координатные столбцы векторов [math]mathbf{x}[/math] и [math]mathbf{y}[/math], a [math]G(mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots, mathbf{e}_n)[/math] — квадратная симметрическая матрица, составленная из скалярных произведений

которая называется матрицей Грама системы векторов [math]mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_n[/math].

Преимущества ортонормированного базиса

Для ортонормированного базиса [math]mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_n[/math] формула (8.32) упрощается, так как из условия (8.31) следует, что матрица Грама [math]G(mathbf{e}_1, mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_n)[/math] ортонормированной системы [math]mathbf{e}_1, mathbf{e}_2,ldots, mathbf{e}_n[/math] равна единичной матрице: [math]G(mathbf{e}_1, mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_n)=E[/math].

1. В ортонормированном базисе [math]mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots, mathbf{e}_n[/math] скалярное произведение векторов [math]mathbf{x}[/math] и [math]mathbf{y}[/math] находится по формуле: [math]langle mathbf{x},mathbf{y}rangle= x_1y_1+x_2y_2+ldots+x_ny_n[/math], где [math]x_1,ldots,x_n[/math] — координаты вектора [math]mathbf{x}[/math], а [math]y_1,ldots,y_n[/math] — координаты вектора [math]mathbf{y}[/math].

2. В ортонормированном базисе [math]mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots, mathbf{e}_n[/math] длина вектора [math]mathbf{x}[/math] вычисляется по формуле [math]|mathbf{x}|= sqrt{x_1^2+x_2^2+ldots+x_n^2}[/math], где [math]x_1,ldots,x_n[/math] — координаты вектора [math]mathbf{x}[/math].

3. Координаты [math]x_1,ldots,x_n[/math] вектора [math]mathbf{x}[/math] относительно ортонормированного базиса [math]mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_n[/math] находятся при помощи скалярного произведения по формулам: [math]x_1=langle mathbf{x},mathbf{e}_1rangle,ldots, x_n=langle mathbf{x},mathbf{e}_nrangle[/math].

В самом деле, умножая обе части равенства [math]mathbf{x}= x_1 mathbf{e}_1+ldots+x_n mathbf{e}_n[/math] на [math]mathbf{e}_1[/math], получаем

[math]langle mathbf{x},mathbf{e}_1rangle= x_1underbrace{langlemathbf{e}_1, mathbf{e}_1 rangle}_{1}+ x_2underbrace{langle mathbf{e}_1,mathbf{e}_2 rangle}_{0}+ldots+ x_nunderbrace{langle mathbf{e}_n, mathbf{e}_n rangle}_{0}quad Leftrightarrowquad x_1=langle mathbf{x},mathbf{e}_1rangle.[/math]

Аналогично доказываются остальные формулы.

Изменение матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому

Пусть [math](mathbf{e})=(mathbf{e}_1,ldots,mathbf{e}_n)[/math] и [math](mathbf{f})= (mathbf{f}_1,ldots,mathbf{f}_n)[/math] — два базиса евклидова пространства [math]mathbb{E}[/math], a [math]S[/math] — матрица перехода от базиса [math](mathbf{e})[/math] к базису [math](mathbf{f})colon, (mathbf{f})=(mathbf{e})S[/math]. Требуется найти связь матриц Грама систем векторов [math](mathbf{e})[/math] и [math](mathbf{f})[/math]

По формуле (8.32) вычислим скалярное произведение векторов [math]mathbf{x}[/math] и [math]mathbf{y}[/math] в разных базисах:

[math]langle mathbf{x},mathbf{y}rangle= {mathop{x}limits_{(mathbf{e})}}^Tcdot, G(mathbf{e}_1,ldots,mathbf{e}_n)cdot mathop{mathbf{y}}limits_{(mathbf{e})}= {mathop{x}limits_{(mathbf{f})}}^Tcdot, G(mathbf{f}_1,ldots,mathbf{f}_n)cdot mathop{mathbf{y}}limits_{(mathbf{f})},[/math]

где [math]mathop{x}limits_{(mathbf{e})},, mathop{x}limits_{(mathbf{f})}[/math] и [math]mathop{y}limits_{(mathbf{e})},, mathop{y}limits_{(mathbf{f})}[/math] — координатные столбцы векторов [math]mathbf{x}[/math] и [math]mathbf{y}[/math] в соответствующих базисах. Подставляя в последнее равенство связи [math]mathop{x}limits_{(mathbf{e})}= S mathop{x}limits_{(mathbf{f})},[/math] [math]mathop{y}limits_{(mathbf{e})}= S mathop{y}limits_{(mathbf{f})}[/math], получаем тождество

[math]{mathop{x}limits_{(mathbf{f})}}^Tcdot S^Tcdot, G(mathbf{e}_1,ldots,mathbf{e}_n)cdot Scdot mathop{mathbf{y}}limits_{(mathbf{f})}= {mathop{x}limits_{(mathbf{f})}}^Tcdot, G(mathbf{f}_1,ldots,mathbf{f}_n)cdot mathop{mathbf{y}}limits_{(mathbf{f})}.[/math]

Отсюда следует формула изменения матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому:

[math]G(mathbf{f}_1,ldots,mathbf{f}_n)= S^Tcdot G(mathbf{e}_1,ldots,mathbf{e}_n)cdot S.[/math]

Записав это равенство для ортонормированных базисов [math](mathbf{e})[/math] и [math](mathbf{f})[/math], получаем [math]E=S^TES[/math], так как матрицы Грама ортонормированных базисов единичные: [math]G(mathbf{e}_1,ldots,mathbf{e}_n)= G(mathbf{f}_1,ldots,mathbf{f}_n)=E[/math]. Поэтому матрица [math]S[/math] перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной: [math]S^{-1}=S^T[/math].

Свойства определителя Грама

Определитель матрицы (8.33) называется определителем Грама. Рассмотрим свойства этого определителя.

1. Критерий Грама линейной зависимости векторов: система векторов [math]mathbf{v}_1,mathbf{v}_2, ldots, mathbf{v}_k[/math] линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель Грама этой системы равен нулю.

Действительно, если система [math]mathbf{v}_1, mathbf{v}_2, ldots,mathbf{v}_k[/math] линейно зависима, то существуют такие числа [math]x_1,x_2,ldots,x_k[/math], не равные нулю одновременно, что

[math]x_1cdot mathbf{v}_1+x_2cdot mathbf{v}_2+ldots+ x_kcdot mathbf{v}_k= mathbf{o}.[/math]

Умножая это равенство скалярно на [math]mathbf{v}_1[/math], затем на [math]mathbf{v}_2[/math] и т.д. на [math]mathbf{v}_k[/math], получаем однородную систему уравнений [math]G(mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k)x=o[/math], которая имеет нетривиальное решение [math]x=begin{pmatrix}x_1&cdots&x_k end{pmatrix}^T[/math]. Следовательно, ее определитель равен нулю. Необходимость доказана. Достаточность доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.

Следствие. Если какой-либо главный минор матрицы Грама равен нулю, то и определитель Грама равен нулю.

Главный минор матрицы Грама системы [math]mathbf{v}_1, mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k[/math] представляет собой определитель Грама подсистемы векторов. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

2. Определитель Грама [math]det{G (mathbf{v}_1,mathbf{v}_2, ldots, mathbf{v}_k)}[/math] не изменяется в процессе ортогонализации системы векторов [math]mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k[/math]. Другими словами, если в процессе ортогонализации векторов [math]mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k[/math] получены векторы [math]mathbf{w}_1,mathbf{w}_2,ldots,mathbf{w}_k[/math], то

[math]det G(mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k)= det G(mathbf{w}_1, mathbf{w}_2, ldots,mathbf{w}_k)= langle mathbf{w}_1,mathbf{w}_1ranglecdot langle mathbf{w}_2,mathbf{w}_2ranglecdot ldotscdot langle mathbf{w}_k,mathbf{w}_krangle.[/math]

Действительно, в процессе ортогонализации по векторам [math]mathbf{v}_1,mathbf{v}_2, ldots,mathbf{v}_k[/math] последовательно строятся векторы

[math]mathbf{w}_1=mathbf{v}_1,quad mathbf{w}_2= mathbf{v}_2- alpha_{21} mathbf{w}_1,quad ldots,quad mathbf{w}_k= mathbf{v}_k- sum_{j=1}^{k-1}alpha_{kj} mathbf{w}_j.[/math]

После первого шага определитель Грама не изменяется

[math]det G(mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k)= det G(mathbf{w}_1, mathbf{v}_2, ldots,mathbf{v}_k).[/math]

Выполним с определителем [math]det G(mathbf{w}_1, mathbf{v}_2, ldots,mathbf{v}_k)[/math] следующие преобразования. Прибавим ко второй строке первую, умноженную на число [math](-alpha_{21})[/math], а затем ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на [math](-alpha_{21})[/math]. Получим определитель

[math]det G(mathbf{w}_1,mathbf{v}_2-alpha_{21}mathbf{w}_1,ldots,mathbf{v}_k)= det G(mathbf{w}_1,mathbf{w}_2, mathbf{v}_3, ldots,mathbf{v}_k).[/math]

Так как при этих преобразованиях определитель не изменяется, то

[math]det G(mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k)= det G(mathbf{w}_1, mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k)= det G(mathbf{w}_1, mathbf{w}_2,mathbf{v}_3, ldots,mathbf{v}_k).[/math]

Значит, после второго шага в процессе ортогонализации определитель не изменяется. Продолжая аналогично, получаем после [math]k[/math] шагов:

[math]det G(mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k)= det G(mathbf{w}_1, mathbf{w}_2, ldots,mathbf{w}_k).[/math]

Вычислим правую часть этого равенства. Матрица [math]G(mathbf{w}_1,mathbf{w}_2,ldots, mathbf{w}_k)[/math] Грама ортогональной системы [math]mathbf{v}_1,mathbf{v}_2, ldots,mathbf{v}_k[/math] векторов является диагональной, так как [math]langle mathbf{w}_i,mathbf{w}_jrangle=0[/math] при [math]ine j[/math]. Поэтому ее определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

[math]det G(mathbf{w}_1,mathbf{w}_2,ldots,mathbf{w}_k)= langle mathbf{w}_1, mathbf{w}_1ranglecdot langle mathbf{w}_2,mathbf{w}_2ranglecdot ldots langle mathbf{w}_k, mathbf{w}_krangle.[/math]

3. Определитель Грама любой системы [math]mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots, mathbf{v}_k[/math] векторов удовлетворяет двойному неравенству

[math]0leqslant det G(mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k) leqslant langle mathbf{v}_1, mathbf{v}_1ranglecdot langle mathbf{v}_2,mathbf{v}_2ranglecdot ldots langle mathbf{v}_k, mathbf{v}_krangle.[/math]

Докажем неотрицательность определителя Грама. Если система [math]mathbf{v}_1,mathbf{v}_2, ldots, mathbf{v}_k[/math] линейно зависима, то определитель равен нулю (по свойству 1). Если же система [math]mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots, mathbf{v}_k[/math] линейно независима, то, выполнив процесс ортогонализации, получим ненулевые векторы [math]mathbf{w}_1,mathbf{w}_2, ldots, mathbf{w}_k[/math], для которых по свойству 2:

[math]det G(mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots, mathbf{v}_k)= det G(mathbf{w}_1, mathbf{w}_2, ldots, mathbf{w}_k)= |mathbf{w}_1|^2cdot |mathbf{w}_2|^2cdot ldotscdot |mathbf{w}_k|^2>0.[/math]

Оценим теперь скалярный квадрат [math]langle mathbf{v}_j,mathbf{w}_jrangle[/math]. Выполняя процесс ортого-1нализации, имеем [math]mathbf{v}_j= mathbf{w}_j+ alpha_{j,1}mathbf{w}_1+ ldots+ alpha_{j,j-1}mathbf{w}_{j-1}[/math]. Отсюда

[math]langle mathbf{v}_j,mathbf{w}_jrangle= langle mathbf{w}_j,mathbf{w}_jrangle+ sum_{i=1}^{j-1}alpha_{i,i}^2 langle mathbf{w}_j,mathbf{w}_jrangle geqslant langle mathbf{w}_j, mathbf{w}_jrangle.[/math]

Следовательно, по свойству 2 имеем

[math]langle mathbf{v}_1,mathbf{v}_1ranglecdot langle mathbf{v}_2,mathbf{v}_2 ranglecdot ldotscdot langle mathbf{v}_k,mathbf{v}_kranglegeqslant langle mathbf{w}_1, mathbf{w}_1ranglecdot langle mathbf{w}_2,mathbf{w}_2ranglecdot ldotscdot langle mathbf{w}_k, mathbf{w}_krangle= det G(mathbf{w}_1,mathbf{w}_2,ldots,mathbf{w}_k).[/math]

Замечания 8.12

1. Матрица Грама любой системы векторов является неотрицательно определенной, так как все ее главные миноры также являются определителями Грама соответствующих подсистем векторов и неотрицательны в силу свойства 3.

2. Матрица Грама любой линейно независимой системы векторов является положительно определенной, так как все ее угловые миноры положительны (в силу свойств 1,3), поскольку являются определителями Грама линейно независимых подсистем векторов.

3. Определитель квадратной матрицы [math]A[/math] (n-го порядка) удовлетворяет неравенству Адамара:

[math](det{A})^2leqslant prod_{i=1}^{n}Bigl(a_{i,1}^2+ a_{i,2}^2+ldots+ a_{i,n}^2Bigr).[/math]

Действительно, обозначив [math]a_1,a_2,ldots,a_n[/math] столбцы матрицы [math]A[/math], элементы матрицы [math]A^TA[/math] можно представить как скалярные произведения (8.27): [math]langle a_i,a_jrangle= (a_i)^Ta_j[/math]. Тогда [math]A^TA=G(a_1,a_2,ldots,a_n)[/math] — матрица Грама системы [math]a_1,a_2,ldots,a_n[/math] векторов пространства [math]mathbb{R}^n[/math]. По свойству 3, теореме 2.2 и свойству 1 определителя получаем доказываемое неравенство:

[math]begin{aligned} (det{A})^2&= det{A}cdotdet{A}= det{A^T}cdotdet{A}= det(A^TA)= det G(a_1,a_2,ldots,a_n)leqslant\[2pt] &leqslant |a_1|^2cdot |a_2|^2cdot ldotscdot |a_n|^2= prod_{i=1}^{n}Bigl(a_{i,1}^2+ a_{i,2}^2+ldots+ a_{i,n}^2Bigr). end{aligned}[/math]

4. Если [math]A[/math] — невырожденная квадратная матрица, то любой главный минор матрицы [math]A^TA[/math] положителен. Это следует из пункта 2, учитывая представление произведения [math]A^TA=G(a_1,ldots,a_n)[/math] как матрицы Грама системы линейно независимых векторов [math]a_1,ldots,a_n[/math] — столбцов матрицы [math]A[/math] (см. пункт 3).

Изоморфизм евклидовых пространств

Два евклидовых пространства [math]mathbb{E}[/math] и [math]mathbb{E}'[/math] называются изоморфными [math](mathbb{E}leftrightarrow mathbb{E}’)[/math], если они изоморфны как линейные пространства и скалярные произведения соответствующих векторов равны:

[math]left.{begin{matrix}mathbf{u}leftrightarrow mathbf{u}’\ mathbf{v}leftrightarrow mathbf{v}’end{matrix}}right}quad Rightarrowquad langle mathbf{u},mathbf{v}rangle= langle mathbf{u}’,mathbf{v}’rangle’.[/math]

‘

где [math](cdot,cdot)[/math] и [math](cdot,cdot)'[/math] — скалярные произведения в пространствах [math]mathbb{E}[/math] и [math]mathbb{E}'[/math] соответственно.

Напомним, что для изоморфизма конечномерных линейных пространств необходимо и достаточно, чтобы их размерности совпадали (см. теорему 8.3). Покажем, что это условие достаточно для изоморфизма евклидовых пространств (необходимость следует из определения). Как и при доказательстве теоремы 8.3, установим изоморфизм n-мерного евклидова пространства [math]mathbb{E}[/math] с вещественным арифметическим пространством [math]mathbb{R}^n[/math] со скалярным произведением (8.27). В самом деле, взяв в пространстве [math]mathbb{E}[/math] какой-нибудь ортонормированный базис [math](mathbf{e})=(mathbf{e}_1,ldots,mathbf{e}_n)[/math], поставим в соответствие каждому вектору [math]mathbf{x}in mathbb{E}[/math] его координатный столбец [math]xin mathbb{R}^n~ (mathbf{x}leftrightarrow x)[/math]. Это взаимно однозначное соответствие устанавливает изоморфизм линейных пространств: [math]mathbb{E}leftrightarrow mathbb{R}^n[/math]. В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов [math]mathbf{x}[/math] и [math]mathbf{y}[/math] пространства [math]mathbb{E}[/math] находится по формуле

[math]langle mathbf{x},mathbf{y}rangle= x_1cdot y_1+x_2cdot y_2+ldots+x_ncdot y_n[/math]

(см. пункт 1 преимуществ ортонормированного базиса). Такое же выражение дает скалярное произведение (8.27) координатных столбцов [math]x[/math] и [math]y[/math], т.е. скалярные произведения соответствующих элементов равны

[math]langle mathbf{x},mathbf{y}rangle= x_1cdot y_1+x_2cdot y_2+ldots+x_ncdot y_n=x^Tcdot y.[/math]

Следовательно, евклидовы пространства [math]mathbb{E}[/math] и [math]mathbb{R}^n[/math] изоморфны.

Таким образом, изучение конечномерных евклидовых пространств может быть сведено к исследованию вещественного арифметического пространства [math]mathbb{R}^n[/math] со стандартным скалярным произведением (8.27).

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Пусть V
– конечномерное
евклидово пространство, e
= (e₁
, … , e_n)
– конечная
система векторов в V.
Система
e
называется ортогональной,
если (e_i
, e_j)
= 0 при i

j. Если в
дополнение к этому длины всех векторов
системы e
равны 1,
то она называется ортонормированной.

Замечание.
Если n = 1,
то условие ортогональности не требует
ничего, а для ортонормированности
необходимо и достаточно, чтобы |e₁|
= 1.

Примеры:
1.
Пусть V
= R³
– стандартное
евклидово пространство. Тогда система
векторов ((1;
–1; 0), (1; 1; 0), (0; 0; 1))
является ортогональным, но не
ортонормированным базисом,
а система
векторов

((; –; 0),
(;; 0),
(0; 0;
1))

является
ортонормированным базисом пространства
V.

2.
Стандартный базис стандартного евклидова
пространства ортонормирован.

Замечание.
Если базис
e
= (e₁
, … , e_n
)
векторного пространства V
ортогонален,
то система векторов f
= {f_i
=
e_i
| 1 
i 
n } является ортонормированным базисом
.

В самом деле,
система f
= (f₁
, … , f_n)
эквивалентна системе
e (т.к.
каждый её вектор получен умножением
соответствующего вектора системы e
на ненулевой скаляр). Поэтому f
– базис. Кроме того,

(f_i
, f_j)
= (e_i
,
e_j
) =
(e_i
, e_j
) =
.

Таким образом,
система f
ортогональна и |f_i|
= 1 (1 
i 
n), что и
требовалось.

Теорема (об
ортонормированном базисе).
Ненулевое конечномерное евклидово
пространство обладает ортонормированным
базисом.

Доказательство.
Пусть V
– ненулевое
n-мерное
евклидово пространство с базисом e
= (e₁
, … , e_n).
Проведем
индукцию по числу n.

Если n
= 1, то f
= () – искомый
ортонормированный базис.

Предположим, что
евклидово пространство с базисом (e₂
, … , e_n)
и тем же
скалярным произведением, что и V,
обладает ортонормированным базисом
(f₂
, … , f_n).
Найдём
ортонормированный базис для V.
Для этого
рассмотрим вектор g
= e₁
– (e₁
, f₂)f₂
– … – (e₁
, f_n)f_n
. Тогда

(g
,
f_i
)
= (e₁
–
,
f_i
)
= (e₁
,
f_i)
–

=

= (e₁
, f_i
)–(e₁
, f_i
) =
0,

т.к. (f_k
, f_i
) = _ki
– символ
Кронекера (величина, равная 0
при k

i
и 1 – при
k
= i).
Итак, система векторов (g
, f₂
, … , f_n)
ортогональна
и эквивалентна системе (e₁
, f₂
, … , f_n)
– базису
пространства V
(?!),
т.е. является
ортогональным базисом V.
Осталось
заменить g
на f₁
=
.

Теорема доказана.

Пример.
Найти ортонормированный базис
пространства, порожденного в R⁴
векторами e₁
= (0; 1; 0; –1),
e₂
= (1; –1; 1; 0), e₃
= (1; 0; 0; 1) (скалярное
произведение в R⁴
предполагается
стандартным).

Последовательно
строим ортонормированный базис, как
при доказательстве теоремы. Полагаем
f₃
=
e₃
=
(1,
0, 0, 1) и g
= e₂
– (e₂
, f₃
)f₃
= = (1; –1; 1; 0) –
(1;
0; 0; 1) = (; –1; 1; –).
Тогда (g
, f₃
) =
0,
и можно положить f₂
=
=g
=
(; –1; 1; –).
Теперь (f₂
, f₃)
– ортонормированная система векторов,
эквивалентная (e₂
, e₃).

Точно так же,
полагаем далее

g
= e₁
– (e₁
, f₂
)f₂
– (e₁
, f₃
)f₃
=

= (0;
1;
0;
–1) –

(
; –1;
1;
–
)
–

(1;
0;
0;
1)
=

= (0; 1; 0; –1) +
(; –1; 1; –)
+(1;
0; 0; 1) = (;;; –).

Система (g
, f₂
, f₃
) ортогональна
и, значит, можно взять

f₁
=
=(3;
4; 1; –3).

Ответ:

(3;
4; 1; –3),
(; –1; 1; –),

(1;
0; 0; 1).

Описанный в теореме
процесс построения ортогонального
базиса, проиллюстрированный примером,
называется процессом
ортогонализации
заданной системы векторов.

Упражнение.
Проведите процесс ортогонализации
векторов

(1;
2;
0;
0), (0;
2;
1;
0), (0;
0;
1;
2),
(0;
0;
2;
1)

в стандартном
евклидовом пространстве R⁴.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Эта статья — о пространстве ℝⁿ со скалярным произведением. О любом пространстве со скалярным произведением см. Предгильбертово пространство.

Евкли́дово простра́нство (также эвкли́дово пространство) в изначальном смысле — это пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность, равную 3, то есть является трёхмерным.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространство с введённым на нём положительно определённым скалярным произведением; либо метрическое пространство, соответствующее такому векторному пространству. Некоторые авторы ставят знак равенства между евклидовым и предгильбертовым пространством. В этой статье за исходное будет взято первое определение.

-мерное евклидово пространство обычно обозначается ;
также часто используется обозначение , когда из контекста ясно, что пространство снабжено естественной евклидовой структурой.

Формальное определение[править | править код]

Чтобы дать определение евклидова пространства, в качестве основы проще всего использовать понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на парах векторов которого задана вещественнозначная функция обладающая следующими тремя свойствами:

Аффинное пространство, соответствующее такому векторному пространству, называется евклидовым аффинным пространством или просто евклидовым пространством^[1].

Пример евклидова пространства — координатное пространство состоящее из всевозможных наборов вещественных чисел где скалярное произведение определяется формулой

Длины и углы[править | править код]

Заданного на евклидовом пространстве скалярного произведения достаточно для того, чтобы ввести геометрические понятия длины и угла. Длина вектора определяется как и обозначается ^[2][3] Положительная определённость скалярного произведения гарантирует, что длина ненулевого вектора ненулевая, а из билинейности следует, что то есть длины пропорциональных векторов пропорциональны.

Угол между векторами и определяется как Из теоремы косинусов следует, что для двумерного евклидова пространства (евклидовой плоскости) данное определение угла совпадает с обычным. Ненулевые ортогональные векторы, как и в трёхмерном пространстве, можно определить как векторы под углом то есть как векторы с нулевым скалярным произведением.

Замечание[править | править код]

Необходимо уточнить, что, чтобы арккосинус от был определён, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство Это неравенство действительно выполняется в произвольном евклидовом пространстве: оно называется неравенством Коши — Буняковского. Из него, в свою очередь, следует неравенство треугольника: Неравенство треугольника, вместе с вышеперечисленными свойствами длины, означает, что длина вектора является нормой на евклидовом векторном пространстве, а функция или задаёт на евклидовом пространстве структуру метрического пространства (эта функция называется евклидовой метрикой). В частности, расстояние между элементами (точками) и координатного пространства задаётся формулой

Алгебраические свойства[править | править код]

Ортонормированные базисы[править | править код]

Ортонормированный базис в евклидовом (векторном) пространстве — это базис, состоящий из попарно ортогональных векторов единичной нормы. Ортонормированные базисы наиболее удобны для вычислений. Так, например, скалярное произведение векторов с координатами и в ортонормированном базисе можно вычислять по формуле В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Выбрав в двух евклидовых пространствах ортонормированные базисы и переведя один из них в другой линейным отображением, можно доказать, что любые два евклидовых пространства одинаковой размерности изоморфны^[4] (в частности, -мерное евклидово пространство изоморфно со стандартным скалярным произведением).

Ортогональные проекции[править | править код]

Вектор называется ортогональным подпространству, если он ортогонален всем векторам этого подпространства. Ортогональная проекция вектора на подпространство  — это вектор ортогональный такой что представим в виде где Расстояние между концами векторов и является минимальным расстоянием среди расстояний от конца вектора до подпространства Ортогональная проекция вектора на подпространство всегда существует: для её построения достаточно применить метод ортогонализации Грама — Шмидта к объединению ортонормированного базиса в подпространстве и этого вектора. Ортогональные проекции в пространствах больших размерностей используются, например, в методе наименьших квадратов.

Сопряжённые пространства и операторы[править | править код]

Любой вектор евклидова пространства задаёт линейный функционал на этом пространстве, определяемый как Это сопоставление является изоморфизмом между евклидовым пространством и двойственным к нему пространством^[5] и позволяет их отождествлять без ущерба для вычислений. В частности, сопряжённые операторы можно рассматривать как действующие на исходном пространстве, а не на двойственном к нему, и определить самосопряжённые операторы как операторы, совпадающие с сопряжёнными к ним. В ортонормированном базисе матрица сопряжённого оператора является транспонированной к матрице исходного оператора, а матрица самосопряжённого оператора является симметричной.

Движения евклидова пространства[править | править код]

Движения евклидова пространства — это преобразования пространства на само себя, сохраняющие метрику (также называются изометриями пространства на само себя). Пример движения — параллельный перенос на вектор , переводящий точку в точку . Нетрудно увидеть, что любое движение является композицией параллельного переноса и преобразования, сохраняющего неподвижной одну точку. Выбрав неподвижную точку за начало координат, любое такое движение можно рассматривать как ортогональное преобразование. Ортогональные преобразования n-мерного евклидова пространства образуют группу, обозначаемую O(n). Выбрав в пространстве ортонормированный базис, эту группу можно представить как группу матриц n × n, удовлетворяющих условию , где  — транспонированная матрица, а  — единичная матрица.

Примеры[править | править код]

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

Более абстрактный пример:

Примеры геометрических фигур в многомерном евклидовом пространстве:

• правильные многомерные многогранники (например, N-мерный куб, N-мерный октаэдр, N-мерный тетраэдр);
• гиперсфера;
• гипертор.

Связанные определения[править | править код]

Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика.

Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.

Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) — каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.

Вариации и обобщения[править | править код]

Если в качестве основного поля использовать не поле вещественных чисел, а поле комплексных, то это даст определение унитарного (или эрмитова) пространства.

Отказ от требования конечномерности даёт определение предгильбертова пространства. Отказ от требования положительной определённости скалярного произведения приводит к определению псевдоевклидова пространства. Требование того, чтобы предгильбертово пространство было полным по метрике, ведёт к определению гильбертова пространства; пространство квадратично-суммируемых последовательностей — гильбертово пространство, которое может рассматриваться как пространство векторов с бесконечным числом координат.

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 319 с. — ISBN 5-7913-0015-8.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986. — 304 с.
• Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ. — М.: Физматлит, 1958. — 352 с. — 7500 экз.

Ортогональный и ортонормированный базисы евклидова пространства

Так как евклидово пространство является линейным, на него переносятся все понятия и свойства, относящиеся к линейному пространству, в частности, понятия базиса и размерности.

Базис [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] евклидова пространства называется ортогональным , если все образующие его векторы попарно ортогональны, т.е.

Базис [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] евклидова пространства называется ортонормированным , если его векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице:

Теорема 8.5. В конечномерном евклидовом пространстве любую систему ортогональных (ортонормированных) векторов можно дополнить до ортогонального (ортонормированного) базиса.

В самом деле, по теореме 8.2 любую систему линейно независимых векторов, в частности, ортогональную (ортонормированную), можно дополнить до базиса. Применяя к этому базису процесс ортогонализации, получаем ортогональный базис. Нормируя векторы этого базиса (см. пункт 4 замечаний 8.11), получаем ортонормированный базис.

Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей

Пусть [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] — базис евклидова пространства, в котором векторы [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] имеют координаты [math]x_1,x_2,ldots,x_n[/math] и [math]y_1,y_2,ldots,y_n[/math] соответственно, т.е.

Выразим скалярное произведение, используя следствие 3 из аксиом скалярного произведения:

Преобразуем это выражение, используя операции с матрицами:

y=begin y_1&cdots& y_n end^T[/math] — координатные столбцы векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] , a [math]G(mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_n)[/math] — квадратная симметрическая матрица, составленная из скалярных произведений

которая называется матрицей Грама системы векторов [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] .

Преимущества ортонормированного базиса

Для ортонормированного базиса [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] формула (8.32) упрощается, так как из условия (8.31) следует, что матрица Грама [math]G(mathbf_1, mathbf_2,ldots,mathbf_n)[/math] ортонормированной системы [math]mathbf_1, mathbf_2,ldots, mathbf_n[/math] равна единичной матрице: [math]G(mathbf_1, mathbf_2,ldots,mathbf_n)=E[/math] .

1. В ортонормированном базисе [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_n[/math] скалярное произведение векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] находится по формуле: [math]langle mathbf,mathbfrangle= x_1y_1+x_2y_2+ldots+x_ny_n[/math] , где [math]x_1,ldots,x_n[/math] — координаты вектора [math]mathbf[/math] , а [math]y_1,ldots,y_n[/math] — координаты вектора [math]mathbf[/math] .

2. В ортонормированном базисе [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_n[/math] длина вектора [math]mathbf[/math] вычисляется по формуле [math]|mathbf|= sqrt[/math] , где [math]x_1,ldots,x_n[/math] — координаты вектора [math]mathbf[/math] .

3. Координаты [math]x_1,ldots,x_n[/math] вектора [math]mathbf[/math] относительно ортонормированного базиса [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] находятся при помощи скалярного произведения по формулам: [math]x_1=langle mathbf,mathbf_1rangle,ldots, x_n=langle mathbf,mathbf_nrangle[/math] .

В самом деле, умножая обе части равенства [math]mathbf= x_1 mathbf_1+ldots+x_n mathbf_n[/math] на [math]mathbf_1[/math] , получаем

Аналогично доказываются остальные формулы.

Изменение матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому

Пусть [math](mathbf)=(mathbf_1,ldots,mathbf_n)[/math] и [math](mathbf)= (mathbf_1,ldots,mathbf_n)[/math] — два базиса евклидова пространства [math]mathbb[/math] , a [math]S[/math] — матрица перехода от базиса [math](mathbf)[/math] к базису [math](mathbf)colon, (mathbf)=(mathbf)S[/math] . Требуется найти связь матриц Грама систем векторов [math](mathbf)[/math] и [math](mathbf)[/math]

По формуле (8.32) вычислим скалярное произведение векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] в разных базисах:

где [math]mathoplimits_<(mathbf)>,, mathoplimits_<(mathbf)>[/math] и [math]mathoplimits_<(mathbf)>,, mathoplimits_<(mathbf)>[/math] — координатные столбцы векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] в соответствующих базисах. Подставляя в последнее равенство связи [math]mathoplimits_<(mathbf)>= S mathoplimits_<(mathbf)>,[/math] [math]mathoplimits_<(mathbf)>= S mathoplimits_<(mathbf)>[/math] , получаем тождество

Отсюда следует формула изменения матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому :

Записав это равенство для ортонормированных базисов [math](mathbf)[/math] и [math](mathbf)[/math] , получаем [math]E=S^TES[/math] , так как матрицы Грама ортонормированных базисов единичные: [math]G(mathbf_1,ldots,mathbf_n)= G(mathbf_1,ldots,mathbf_n)=E[/math] . Поэтому матрица [math]S[/math] перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной: [math]S^<-1>=S^T[/math] .

Свойства определителя Грама

Определитель матрицы (8.33) называется определителем Грама. Рассмотрим свойства этого определителя.

1. Критерий Грама линейной зависимости векторов: система векторов [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k[/math] линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель Грама этой системы равен нулю.

Действительно, если система [math]mathbf_1, mathbf_2, ldots,mathbf_k[/math] линейно зависима, то существуют такие числа [math]x_1,x_2,ldots,x_k[/math] , не равные нулю одновременно, что

Умножая это равенство скалярно на [math]mathbf_1[/math] , затем на [math]mathbf_2[/math] и т.д. на [math]mathbf_k[/math] , получаем однородную систему уравнений [math]G(mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k)x=o[/math] , которая имеет нетривиальное решение [math]x=beginx_1&cdots&x_k end^T[/math] . Следовательно, ее определитель равен нулю. Необходимость доказана. Достаточность доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.

Следствие. Если какой-либо главный минор матрицы Грама равен нулю, то и определитель Грама равен нулю.

Главный минор матрицы Грама системы [math]mathbf_1, mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] представляет собой определитель Грама подсистемы векторов. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

2. Определитель Грама [math]det_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k)>[/math] не изменяется в процессе ортогонализации системы векторов [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] . Другими словами, если в процессе ортогонализации векторов [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] получены векторы [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] , то

Действительно, в процессе ортогонализации по векторам [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots,mathbf_k[/math] последовательно строятся векторы

После первого шага определитель Грама не изменяется

Выполним с определителем [math]det G(mathbf_1, mathbf_2, ldots,mathbf_k)[/math] следующие преобразования. Прибавим ко второй строке первую, умноженную на число [math](-alpha_<21>)[/math] , а затем ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на [math](-alpha_<21>)[/math] . Получим определитель

Так как при этих преобразованиях определитель не изменяется, то

Значит, после второго шага в процессе ортогонализации определитель не изменяется. Продолжая аналогично, получаем после [math]k[/math] шагов:

Вычислим правую часть этого равенства. Матрица [math]G(mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_k)[/math] Грама ортогональной системы [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots,mathbf_k[/math] векторов является диагональной, так как [math]langle mathbf_i,mathbf_jrangle=0[/math] при [math]ine j[/math] . Поэтому ее определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

3. Определитель Грама любой системы [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_k[/math] векторов удовлетворяет двойному неравенству

Докажем неотрицательность определителя Грама. Если система [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k[/math] линейно зависима, то определитель равен нулю (по свойству 1). Если же система [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_k[/math] линейно независима, то, выполнив процесс ортогонализации, получим ненулевые векторы [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k[/math] , для которых по свойству 2:

Оценим теперь скалярный квадрат [math]langle mathbf_j,mathbf_jrangle[/math] . Выполняя процесс ортого-1нализации, имеем [math]mathbf_j= mathbf_j+ alpha_mathbf_1+ ldots+ alpha_mathbf_[/math] . Отсюда

Следовательно, по свойству 2 имеем

1. Матрица Грама любой системы векторов является неотрицательно определенной, так как все ее главные миноры также являются определителями Грама соответствующих подсистем векторов и неотрицательны в силу свойства 3.

2. Матрица Грама любой линейно независимой системы векторов является положительно определенной, так как все ее угловые миноры положительны (в силу свойств 1,3), поскольку являются определителями Грама линейно независимых подсистем векторов.

3. Определитель квадратной матрицы [math]A[/math] (n-го порядка) удовлетворяет неравенству Адамара :

Действительно, обозначив [math]a_1,a_2,ldots,a_n[/math] столбцы матрицы [math]A[/math] , элементы матрицы [math]A^TA[/math] можно представить как скалярные произведения (8.27): [math]langle a_i,a_jrangle= (a_i)^Ta_j[/math] . Тогда [math]A^TA=G(a_1,a_2,ldots,a_n)[/math] — матрица Грама системы [math]a_1,a_2,ldots,a_n[/math] векторов пространства [math]mathbb^n[/math] . По свойству 3, теореме 2.2 и свойству 1 определителя получаем доказываемое неравенство:

4. Если [math]A[/math] — невырожденная квадратная матрица, то любой главный минор матрицы [math]A^TA[/math] положителен. Это следует из пункта 2, учитывая представление произведения [math]A^TA=G(a_1,ldots,a_n)[/math] как матрицы Грама системы линейно независимых векторов [math]a_1,ldots,a_n[/math] — столбцов матрицы [math]A[/math] (см. пункт 3).

Изоморфизм евклидовых пространств

Два евклидовых пространства [math]mathbb[/math] и [math]mathbb'[/math] называются изоморфными [math](mathbbleftrightarrow mathbb’)[/math] , если они изоморфны как линейные пространства и скалярные произведения соответствующих векторов равны:

где [math](cdot,cdot)[/math] и [math](cdot,cdot)'[/math] — скалярные произведения в пространствах [math]mathbb[/math] и [math]mathbb'[/math] соответственно.

Напомним, что для изоморфизма конечномерных линейных пространств необходимо и достаточно, чтобы их размерности совпадали (см. теорему 8.3). Покажем, что это условие достаточно для изоморфизма евклидовых пространств (необходимость следует из определения). Как и при доказательстве теоремы 8.3, установим изоморфизм n-мерного евклидова пространства [math]mathbb[/math] с вещественным арифметическим пространством [math]mathbb^n[/math] со скалярным произведением (8.27). В самом деле, взяв в пространстве [math]mathbb[/math] какой-нибудь ортонормированный базис [math](mathbf)=(mathbf_1,ldots,mathbf_n)[/math] , поставим в соответствие каждому вектору [math]mathbfin mathbb[/math] его координатный столбец [math]xin mathbb^n

(mathbfleftrightarrow x)[/math] . Это взаимно однозначное соответствие устанавливает изоморфизм линейных пространств: [math]mathbbleftrightarrow mathbb^n[/math] . В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] пространства [math]mathbb[/math] находится по формуле

(см. пункт 1 преимуществ ортонормированного базиса). Такое же выражение дает скалярное произведение (8.27) координатных столбцов [math]x[/math] и [math]y[/math] , т.е. скалярные произведения соответствующих элементов равны

Следовательно, евклидовы пространства [math]mathbb[/math] и [math]mathbb^n[/math] изоморфны.

Таким образом, изучение конечномерных евклидовых пространств может быть сведено к исследованию вещественного арифметического пространства [math]mathbb^n[/math] со стандартным скалярным произведением (8.27).

Ортогональные векторы и условие ортогональности

В данной статье мы расскажем, что такое ортогональные векторы, какие существуют условия ортогональности, а также приведем подробные примеры для решения задач с ортогональными векторами.

Ортогональные векторы: определение и условие

Ортогональные векторы — это векторы a ¯ и b ¯ , угол между которыми равен 90 0 .

Необходимое условие для ортогональности векторов — два вектора a ¯ и b ¯ являются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю.

Примеры решения задач на ортогональность векторов

Плоские задачи на ортогональность векторов

Если дана плоская задача, то ортогональность для векторов a ¯ = < a x × a y >и b ¯ = < b x × b y >записывают следующим образом:

a ¯ × b ¯ = a x × b x + a y × b y = 0

Задача 1. Докажем, что векторы a ¯ = < 1 ; 2 >и b ¯ = < 2 ; – 1 >ортогональны.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 1 × 2 + 2 × ( – 1 ) = 2 – 2 = 0

Ответ: поскольку произведение равняется нулю, то векторы являются ортогональными.

Задача 2. Докажем, что векторы a ¯ = < 3 ; – 1 >и b ¯ = < 7 ; 5 >ортогональны.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 3 × 7 + ( – 1 ) × 5 = 21 – 5 = 16

Ответ: поскольку скалярное произведение не равняется нулю, то и векторы не являются ортогональными.

Задача 3. Найдем значение числа n , при котором векторы a ¯ = < 2 ; 4 >и b ¯ = < n ; 1 >будут ортогональными.

Как решить?

Найдем скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 2 × n + 4 × 1 = 2 n + 4 2 n + 4 = 0 2 n = – 4 n = – 2

Ответ: векторы являются ортогональными при значении n = 2 .

Примеры пространственных задач на ортогональность векторов

При решении пространственной задачи на ортогональность векторов a ¯ = < 1 ; 2 ; 0 >и b ¯ = < 2 ; – 1 ; 10 >условие записывается следующим образом: a ¯ × b ¯ = a x × b x + a y × b y + a z × b z = 0 .

Задача 4. Докажем, что векторы a ¯ = < 1 ; 2 ; 0 >и b ¯ = < 2 ; – 1 ; 10 >являются ортогональными.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 1 × 2 + 2 × ( – 1 ) + 0 × 10 = 2 – 2 = 0

Ответ: поскольку произведение векторов равняется нулю, то они являются ортогональными.

Задача 5. Найдем значение числа n , при котором векторы a ¯ = < 2 ; 4 ; 1 >и b ¯ = < n ; 1 ; – 8 >будут являться ортогональными.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 2 × n + 4 × 1 + 1 × ( – 8 ) = 2 n + 4 – 8 = 2 n – 4 2 n – 4 = 0 2 n = 4 n = 2

Ответ: векторы a ¯ и b ¯ будут ортогональными при значении n = 2 .

Векторные пространства

При проведении научных и прикладных исследование часто создаются модели, в которых рассматриваются точки и/или векторы определенных пространств. Например, в моделях шифров на эллиптических кривых используются аффинные и проективные пространства. К проективным прибегают тогда, когда необходимо ускорить вычисления, так как в формулах манипулирования с точками эллиптической кривой выводимых в рамках проективного пространства отсутствует операция деления на координату, которую в случае аффинного пространства обойти не удается.

Операция деления как раз одна из самых «дорогих» операций. Дело в том, что в алгебраических полях, а соответственно и в группах операция деления вообще отсутствует и выход из положения (когда не делить нельзя) состоит в том, что операцию деления заменяют умножением, но умножают не на саму координату, а на обращенное ее значение. Из этого следует, что предварительно надо привлекать расширенный алгоритм Евклида НОД и кое что еще. Одним словом, не все так просто как изображают авторы большинства публикаций о ЕСС. Почти все, что по этой теме опубликовано и не только в Интернете мне знакомо. Мало того, что авторы не компетентны и занимаются профанацией, оценщики этих публикаций плюсуют авторов в комментариях, т. е. не видят ни пробелов, ни явных ошибок. Про нормальную же статью пишут, что она уже 100500-я и от нее нулевой эффект. Так все пока на Хабре устроено, анализ публикаций делается огромный, но не качества содержания. Здесь возразить нечего — реклама двигатель бизнеса.

Линейное векторное пространство

Изучение и описание явлений окружающего мира с необходимостью приводит нас к введению и использованию ряда понятий таких как точки, числа, пространства, прямые линии, плоскости, системы координат, векторы, множества и др.

Пусть r = вектор трехмерного пространства, задает положение одной частицы (точки) относительно начала координат. Если рассматривать N элементов, то описание их положения требует задания 3∙N координат, которые можно рассматривать как координаты некоторого вектора в 3N-мерном пространстве. Если рассматривать непрерывные функции и их совокупности, то приходим к пространствам, размерность которых равна бесконечности. На практике часто ограничиваются использованием лишь подпространства такого бесконечномерного пространства функции координат, обладающего конечным числом измерений.

Пример 1. Ряд Фурье — пример использования пространства функций. Рассмотрим разложение произвольной функции в ряд Фурье

Его можно трактовать как разложение «вектора» f(x) по бесконечному набору «ортогональных» базисных векторов sinпх

Это пример абстрагирования и распространения понятия вектора на бесконечное число измерений. Действительно, известно, что при -π≤x≤π

Существо дальнейшего рассмотрения не пострадает, если мы отвлечемся от размерности абстрактного векторного пространства – будь — то 3, 3N или бесконечность, хотя для практических приложений больший интерес представляет конечномерные поля и векторные пространства.

Набор векторов r1, r2,… будем называть линейным векторным пространством L, если сумма любых двух его элементов тоже находится в этом наборе и если результат умножения элемента на число С также входит в этот набор. Оговоримся сразу, что значения числа С могут быть выбраны из вполне определенного числового множества Fр – поля вычетов по модулю простого числа р, которое считается присоединенным к L.

Пример 2. Набор из 8 векторов, составленных из n =5 -разрядных двоичных чисел
r0 = 00000, r1 = 10101, r2 = 01111, r3 = 11010, r4 = 00101, r5 = 10110, r6 = 01001, r7 = 11100 образует векторное пространство L, если числа С є <0,1>. Этот небольшой пример позволяет убедиться в проявлении свойств векторного пространства, включенных в его определение.

Суммирование этих векторов выполняется поразрядно по модулю два, т. е. без переноса единиц в старший разряд. Отметим, что если все С действительные (в общем случае С принадлежат полю комплексных чисел), то векторное пространство называют действительным.

Формально аксиомы векторного пространства и записываются так:
r1 + r2 = r2 + r1 = r3; r1, r2, r3 є L – коммутативность сложения и замкнутость;
(r1 + r2) + r3 = r1 + (r2 + r3) = r1 + r2 + r3 – ассоциативность сложения;
ri + r0 = r0 + ri = ri; ∀i, ri, r0 є L–существование нейтрального элемента;
ri +(- ri) = r0, для ∀i существует противоположный вектор (-ri) є L;
1∙ ri = ri ∙1 = ri существование единицы для умножения;
α (β∙ri) = (α∙β)∙ri; α, β, 1, 0 – элементы числового поля F, ri є L; умножение на скаляры ассоциативно; результат умножения принадлежит L;
(α + β) ri = α∙ri + β∙ri; для ∀i, ri є L, α, β – скаляры;
а (ri + rj) = ari + arj для всех а, ri, rj є L;
a∙0 = 0, 0∙ri = 0; (-1) ∙ ri = – ri.

Размерность и базис векторного пространства

При изучении векторных пространств представляет интерес выяснение таких вопросов, как число векторов, образующих все пространство; какова размерность пространства; какой наименьший набор векторов путем применения к нему операции суммирования и умножения на число позволяет сформировать все векторы пространства? Эти вопросы основополагающие и их нельзя обойти стороной, так как без ответов на них утрачивается ясность восприятия всего остального, что составляет теорию векторных пространств.

Оказалось, что размерность пространства самым тесным образом связана с линейной зависимостью векторов, и с числом линейно независимых векторов, которые можно выбирать в изучаемом пространстве многими способами.

Линейная независимость векторов

Набор векторов r1, r2, r3 … rр из L называют линейно независимым, если для них соотношение

выполняется только при условии одновременного равенства .
Все , k = 1(1)p, принадлежат числовому полю вычетов по модулю два
F = <0, 1>.
Если в некотором векторном пространстве L можно подобрать набор из р векторов, для которых соотношение выполняется, при условии, что не все одновременно, т.е. в поле вычетов оказалось возможным выбрать набор , k =1(1)р, среди которых есть ненулевые, то такие векторы называются линейно зависимыми.

Пример 3. На плоскости два вектора = T и = T являются линейно независимыми, так как в соотношении (T-транспонирование)

невозможно подобрать никакой пары чисел коэффициентов не равных нулю одновременно, чтобы соотношение было выполнено.
Три вектора = T , = T , = T образуют систему линейно зависимых векторов, так как в соотношении

равенство может быть обеспечено выбором коэффициентов , не равных нулю одновременно. Более того, вектор является функцией и (их суммой), что указывает на зависимость от и . Доказательство общего случая состоит в следующем.

Пусть хотя бы одно из значений , k = 1(1)р, например, , а соотношение выполнено. Это означает, что векторы , k = 1(1)р, линейно зависимы

Выделим явным образом из суммы вектор r_р

Говорят, что вектор r_р является л и н е й н о й комбинацией векторов или r_р через остальные векторы выражается линейным образом, т.е. r_р линейно зависит от остальных. Он является их функцией.

На плоскости двух измерений любые три вектора линейно зависимы, но любые два неколлинеарных вектора являются независимыми. В трехмерном пространстве любые три некомпланарных вектора линейно независимы, но любые четыре вектора всегда линейно зависимы.

Зависимость/независимость совокупности <> векторов часто определяют, вычисляя определитель матрицы Грама (ее строки скалярные произведения наших векторов). Если определитель равен нулю, среди векторов имеются зависимые, если определитель отличен от нуля — векторы в матрице независимы.

Определителем Грама (грамианом) системы векторов

в евклидовом пространстве называется определитель матрицы Грама этой системы:

где — скалярное произведение векторов
и .

Размерность и базис векторного пространства

Размерность s = d (L) пространства L определяется как наибольшее число векторов в L, образующих линейно независимый набор. Размерность – это не число векторов в L, которое может быть бесконечным и не число компонентов вектора.

Пространства, имеющие конечную размерность s ≠ ∞, называются конечномерными, если
s = ∞, – бесконечномерными.

Ответом на вопрос о минимальном числе и составе векторов, которые обеспечивают порождение всех векторов линейного векторного пространства является следующее утверждение.

Любой набор s линейно независимых векторов в пространстве L образует его б а з и с. Это следует из того, что любой вектор линейного s-мерного векторного пространства L может быть представлен единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса.

Зафиксируем и обозначим символом , i = 1(1)s, один из наборов, образующих базис пространства L. Тогда

Числа r_ki, i = 1(1)s называются координатами вектора в базисе , i = 1(1)s, причем r_ki = (, ).
Покажем единственность представления . Очевидно, что набор , является зависимым, так как , i = 1(1)s – базис. Другими словами, существуют такие не равные одновременно нулю, что .
При этом пусть , ибо если , то хоть одно из , было бы отлично от нуля и тогда векторы , i = 1(1)s, были бы линейно зависимы, что невозможно, так как это базис. Следовательно,

, будем иметь
Используя прием доказательства «от противного», допустим, что записанное представление не единственное в этом базисе и существует другое

Тогда запишем отличие представлений, что, естественно, выражается как

Очевидно, что правая и левая части равны, но левая представляет разность вектора с самим собой, т. е. равна нулю. Следовательно, и правая часть равна нулю. Векторы , i = 1(1)s линейно независимы, поэтому все коэффициенты при них могут быть только нулевыми. Отсюда получаем, что

а это возможно только при

Выбор базиса. Ортонормированность

Векторы называют нормированными, если длина каждого из них равна единице. Этого можно достичь, применяя к произвольным векторам процедуру нормировки.

Векторы называют ортогональными, если они перпендикулярны друг другу. Такие векторы могут быть получены применением к каждому из них процедуры ортогонализации. Если для совокупности векторов выполняются оба свойства, то векторы называются ортонормированными.

Необходимость рассмотрения ортонормированных базисов вызвана потребностями использования быстрых преобразований как одно –, так и многомерных функций. Задачи такой обработки возникают при исследовании кодов, кодирующих информационные сообщения в сетях связи различного назначения, при исследовании изображений, получаемых
посредством автоматических и автоматизированных устройств, в ряде других областей, использующих цифровые представления информации.

Определение. Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного векторного
пространства V называется его базисом.

Теорема. Каждый вектор х линейного n-мерного векторного пространства V можно представить, притом единственным образом, в виде линейной комбинации векторов базиса. Векторное пространство V над полем F обладает следующими свойствами:
0·х = 0 (0 в левой части равенства – нейтральный элемент аддитивной группы поля F; 0 в правой части равенства – элемент пространства V, являющийся нейтральным единичным элементом аддитивной группы V, называемый нулевым вектором);
(– 1)·х = –х; –1є F; x є V; –x є V;
Если α·х = 0єV, то при х ≠ 0 всегда α = 0.
Пусть Vn(F) – множество всех последовательностей (х1, х2, …, хn) длины n с компонентами из поля F, т.е. Vn(F) = i =1(1)n >.

Сложение и умножение на скаляр определяются следующим образом:
x + y =(x1 + y1, x2 + y2, …, xn + yn);
α·х = (α·х1, α·х2,…, α·хn), где у = (у1, у2,…, уn),
тогда Vn(F) является векторным пространством над полем F.

Пример 4. В векторном пространстве rо = 00000, r1 = 10101, r2 = 11010, r3 = 10101 над полем F2 = <0,1>определить его размерность и базис.
Решение. Сформируем таблицу сложения векторов линейного векторного пространства

В этом векторном пространстве V= каждый вектор в качестве противоположного имеет самого себя. Любые два вектора, исключая rо, являются линейно независимыми, в чем легко убедиться
c1·r1 + c2·r2 = 0; c1·r1 + c3·r3 = 0; c2·r2 + c3·r3 = 0;

Каждое из трех соотношений справедливо только при одновременных нулевых значениях пар коэффициентов сi, сj є <0,1>.

При одновременном рассмотрении трех ненулевых векторов один из них всегда является суммой двух других или равен самому себе, а r1+r2+r3=rо.

Таким образом, размерность рассматриваемого линейного векторного пространства равна двум s = 2, d(L) = s = 2, хотя каждый из векторов имеет пять компонентов. Базисом пространства является набор (r1, r2). Можно в качестве базиса использовать пару (r1, r3).

Важным в теоретическом и практическом отношении является вопрос описания векторного пространства. Оказывается, любое множество базисных векторов можно рассматривать как строки некоторой матрицы G, называемой порождающей матрицей векторного пространства. Любой вектор этого пространства может быть представлен как линейная комбинация строк матрицы G ( как, например, здесь).

Если размерность векторного пространства равна k и равна числу строк матрицы G, рангу матрицы G, то очевидно, существует k коэффициентов с q различными значениями для порождения всех возможных линейных комбинаций строк матрицы. При этом векторное пространство L содержит q k векторов.

Множество всех векторов из ℤpn с операциями сложения векторов и умножения вектора на скаляр из ℤp есть линейное векторное пространство.

Определение. Подмножество W векторного пространства V, удовлетворяющее условиям:
Если w1, w2 є W, то w1+ w2 є W,
Для любых α є F и w є W элемент αw є W,
само является векторным пространством над полем F и называется подпространством векторного пространства V.

Пусть V есть векторное пространство над полем F и множество W ⊆ V. Множество W есть подпространство пространства V, если W по отношению к линейным операциям, определенным в V, есть линейное векторное пространство.

Таблица. Характеристики векторных пространств

Компактность матричного представления векторного пространства очевидна. Например, задание L векторов двоичных 50-разрядных чисел, среди которых 30 векторов образуют базис векторного пространства, требует формирования матрицы G[30,50], а описываемое количество векторов превышает 10 9 , что в поэлементной записи представляется неразумным.

Все базисы любого пространства L разбиваются подгруппой Р невырожденных матриц с det G > 0 на два класса. Один из них (произвольно) называют классом с положительно ориентированными базисами (правыми), другой класс содержит левые базисы.

В этом случае говорят, что в пространстве задана ориентация. После этого любой базис представляет собой упорядоченный набор векторов.

Если нумерацию двух векторов изменить в правом базисе, то базис станет левым. Это связано с тем, что в матрице G поменяются местами две строки, следовательно, определитель detG изменит знак.

Норма и скалярное произведение векторов

После того как решены вопросы о нахождении базиса линейного векторного пространства, о порождении всех элементов этого пространства и о представлении любого элемента и самого векторного пространства через базисные векторы, можно поставить задачу об измерении в этом пространстве расстояний между элементами, углов между векторами, значений компонентов векторов, длины самих векторов.

Действительное или комплексное векторное пространство L называется нормированным векторным пространством, если каждый вектор r в нем может быть сопоставлен действительному числу || r || – модулю вектора, норме. Единичный вектор – это вектор, норма которого равна единице. Нулевой вектор имеет компонентами нули.

Определение. Векторное пространство называется унитарным, если в нем определена бинарная операция, ставящая каждой паре ri, rj векторов из L в соответствие скаляр. В круглых скобках (ri, rj) записывается (обозначается) скалярное или внутреннее произведение ri и rj, причем
1. (ri, rj) = ri ∙ rj;
2. (ri, rj) = (rj ∙ ri)*, где * указывает на комплексное сопряжение или эрмитову симметрию;
3. (сri, rj) = с(ri ∙ rj) – ассоциативный закон;
4. (ri + rj, rk) = (ri ∙ rk)+ (rj ∙ rk)– дистрибутивный закон;
5. (ri, rk) ≥ 0 и из (ri, rj ) = 0 следует ri = 0.

Определение. Положительное значение квадратного корня называют нормой (или длиной, модулем) вектора ri. Если = 1, то вектор ri называют нормированным.

Два вектора ri, rj унитарного векторного пространства L взаимно ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю, т.е. (ri, rj) = 0.

При s = 3 в линейном векторном пространстве в качестве базиса удобно выбирать три взаимно перпендикулярных вектора. Такой выбор существенно упрощает ряд зависимостей и вычислений. Этот же принцип ортогональности используется при выборе базиса в пространствах и других размерностей s > 3. Использование введенной операции скалярного произведения векторов обеспечивает возможность такого выбора.

Еще большие преимущества достигаются при выборе в качестве базиса векторного пространства ортогональных нормированных векторов – ортонормированного базиса. Если не оговорено специально, то далее всегда будем считать, что базис еi, i = 1(1)s выбран именно таким образом, т.е.

, где ij — символ Кронекера (1823 — 1891).

В унитарных векторных пространствах такой выбор всегда реализуем. Покажем реализуемость такого выбора.

Определение. Пусть S = есть конечное подмножество векторного пространства V над полем F.
Линейная комбинация векторов из S есть выражение вида а1∙v1 + а2∙v2 +…+ аn∙vn, где каждое аi ∊ F.

Оболочка для множества S (обозначение ) есть множество всех линейных комбинаций векторов из S. Оболочка для S есть подпространство пространства V.