Как найти базис линейного пространства векторов – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

В статье о n-мерных векторах мы пришли к понятию линейного пространства, порождаемого множеством n-мерных векторов. Теперь нам предстоит рассмотреть не менее важные понятия, такие как размерность и базис векторного пространства. Они напрямую связаны с понятием линейно независимой системы векторов, так что дополнительно рекомендуется напомнить себе основы и этой темы.

Введем некоторые определения.

Определение 1

Размерность векторного пространства – число, соответствующее максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.

Определение 2

Базис векторного пространства – совокупность линейно независимых векторов, упорядоченная и в своей численности равная размерности пространства.

Рассмотрим некое пространство n-векторов. Размерность его соответственно равна n. Возьмем систему из n-единичных векторов:

e(1)=(1, 0,…,0)e(2)=(0, 1,…,0)e(n)=(0, 0,…,1)

Используем эти векторы в качестве составляющих матрицы A: она будет являться единичной с размерностью n на n. Ранг этой матрицы равен n. Следовательно, векторная система e(1), e(2),…, e(n) является линейно независимой. При этом к системе невозможно добавить ни одного вектора, не нарушив ее линейной независимости.

Так как число векторов в системе равно n, то размерность пространства n-мерных векторов равна n, а единичные векторы e(1), e(2),…, e(n) являются базисом указанного пространства.

Из полученного определения сделаем вывод: любая система n-мерных векторов, в которой число векторов меньше n, не является базисом пространства.

Если мы поменяем местами первый и второй вектор, получим систему векторов e(2), e(1),…, e(n). Она также будет являться базисом n-мерного векторного пространства. Составим матрицу, взяв за ее строки векторы полученной системы. Матрица может быть получена из единичной матрицы перестановкой местами первых двух строк, ранг ее будет равен n. Система e(2), e(1),…, e(n) линейно независима и является базисом n-мерного векторного пространства.

Переставив местами в исходной системе другие векторы, получим еще один базис.

Мы можем взять линейно независимую систему неединичных векторов, и она также будет представлять собой базис n-мерного векторного пространства.

Определение 3

Векторное пространство с размерностью n имеет столько базисов, сколько существует линейно независимых систем из n-мерных векторов числом n.

Плоскость является двумерным пространством – ее базисом будут два любых неколлинеарных вектора. Базисом трехмерного пространства послужат три любых некомпланарных вектора.

Рассмотрим применение данной теории на конкретных примерах.

Пример 1

Исходные данные: векторы

a=(3, -2, 1)b=(2, 1, 2)c=(3, -1, -2)

Необходимо определить, являются ли указанные векторы базисом трехмерного векторного пространства.

Решение

Для решения поставленной задачи исследуем заданную систему векторов на линейную зависимость. Составим матрицу, где строки – координаты векторов. Определим ранг матрицы.

A=323-21-112-2A=3-212123-1-2=3·1·(-2)+(-2)·2·3+1·2·(-1)-1·1·3-(-2)·2·(-2)-3·2·(-1)==-25≠0⇒Rank(A)=3

Следовательно, заданные условием задачи векторы линейно независимы, и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом векторного пространства.

Ответ: указанные векторы являются базисом векторного пространства.

Пример 2

Исходные данные: векторы

a=(3, -2, 1)b=(2, 1, 2)c=(3, -1, -2)d=(0, 1, 2)

Необходимо определить, может ли указанная система векторов являться базисом трехмерного пространства.

Решение

Указанная в условии задачи система векторов является линейно зависимой, т.к. максимальное число линейно независимых векторов равно 3. Таким образом, указанная система векторов не может служить базисом трехмерного векторного пространства. Но стоит отметить, что подсистема исходной системы a=(3, -2, 1), b=(2, 1, 2), c=(3, -1, -2) является базисом.

Ответ: указанная система векторов не является базисом.

Пример 3

Исходные данные: векторы

a=(1, 2, 3, 3)b=(2, 5, 6, 8)c=(1, 3, 2, 4)d=(2, 5, 4, 7)

Могут ли они являться базисом четырехмерного пространства?

Решение

Cоставим матрицу, используя в качестве строк координаты заданных векторов

A=1233256813242547

По методу Гаусса определим ранг матрицы:

A=1233256813242547~1233010201-1101-21~~1233010200-1-100-2-1~1233010200-1-10001⇒⇒Rank(A)=4

Следовательно, система заданных векторов линейно независима и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом четырехмерного векторного пространства.

Ответ: заданные векторы являются базисом четырехмерного пространства.

Пример 4

Исходные данные: векторы

a(1)=(1, 2, -1, -2)a(2)=(0, 2, 1, -3)a(3)=(1, 0, 0, 5)

Составляют ли они базис пространства размерностью 4?

Решение

Исходная система векторов линейно независима, но численность векторов в ней недостаточна, чтобы стать базисом четырехмерного пространства.

Ответ: нет, не составляют.

Разложение вектора по базису

Примем, что произвольные векторы e(1), e(2),…, e(n) являются базисом векторного n-мерного пространства. Добавим к ним некий n-мерный вектор x→: полученная система векторов станет линейно зависимой. Свойства линейной зависимости гласят, что хотя бы один из векторов такой системы может линейно выражаться через остальные. Переформулируя это утверждение, можно говорить о том, что хотя бы один из векторов линейно зависимой системы может раскладываться по остальным векторам.

Таким образом, мы пришли к формулировке важнейшей теоремы:

Определение 4

Любой вектор n-мерного векторного пространства единственным образом раскладывается по базису.

Доказательство 1

Докажем эту теорему:

зададим базис n-мерного векторного пространства – e(1), e(2),…, e(n). Сделаем систему линейно зависимой, добавив к ней n-мерный вектор x→. Этот вектор может быть линейно выражен через исходные векторы e:

x=x1·e(1)+x2·e(2)+…+xn·e(n) , где x1, x2,…, xn – некоторые числа.

Теперь докажем, что такое разложение является единственным. Предположим, что это не так и существует еще одно подобное разложение:

x=x~1e(1)+x2~e(2)+…+x~ne(n), где x~1, x~2,…, x~n – некие числа.

Отнимем от левой и правой частей этого равенства соответственно левую и правую части равенства x=x1·e(1)+x2·e(2)+…+xn·e(n) . Получим:

0=(x~1-x1)·e(1)+(x~2-x2)·e(2)+…(x~n-xn)·e(2)

Система базисных векторов e(1), e(2),…, e(n) линейно независима; по определению линейной независимости системы векторов равенство выше возможно только тогда, когда все коэффициенты (x~1-x1), (x~2-x2),…, (x~n-xn) будут равны нулю. Из чего справедливым будет: x1=x~1, x2=x~2,…, xn=x~n. И это доказывает единственный вариант разложения вектора по базису.

При этом коэффициенты x1, x2,…, xn называются координатами вектора x→ в базисе e(1), e(2),…, e(n).

Доказанная теория делает понятным выражение «задан n-мерный вектор x=(x1, x2,…, xn)»: рассматривается вектор x→ n-мерного векторного пространства, и его координаты заданы в некотором базисе. При этом также понятно, что этот же вектор в другом базисе n-мерного пространства будет иметь другие координаты.

Рассмотрим следующий пример: допустим, что в некотором базисе n-мерного векторного пространства задана система из n линейно независимых векторов

e(1)=(e1(1), e2(1),…, en(1))e(2)=(e1(2), e2(2),…, en(2))⋮e(n)=(e1(n), e2(n),…, en(n))

а также задан вектор x=(x1, x2,…, xn).

Векторы e1(1), e2(2),…, en(n) в этом случае также являются базисом этого векторного пространства.

Предположим, что необходимо определить координаты вектора x→ в базисе e1(1), e2(2),…, en(n), обозначаемые как x~1, x~2,…, x~n.

Вектор x→ будет представлен следующим образом:

x=x~1·e(1)+x~2·e(2)+…+x~n·e(n)

Запишем это выражение в координатной форме:

(x1, x2,…, xn)=x~1·(e(1)1, e(1)2,…, e(1)n)+x~2·(e(2)1, e(2)2,…, e(2)n)+…++x~n·(e(n)1, e(n)2,…, e(n)n)==(x~1e1(1)+x~2e1(2)+…+x~ne1(n), x~1e2(1)+x~2e2(2)++…+x~ne2(n), …, x~1en(1)+x~2en(2)+…+x~nen(n))

Полученное равенство равносильно системе из n линейных алгебраических выражений с n неизвестными линейными переменными x~1, x~2,…, x~n:

x1=x~1e11+x~2e12+…+x~ne1nx2=x~1e21+x~2e22+…+x~ne2n⋮xn=x~1en1+x~2en2+…+x~nenn

Матрица этой системы будет иметь следующий вид:

e1(1)e1(2)⋯e1(n)e2(1)e2(2)⋯e2(n)⋮⋮⋮⋮en(1)en(2)⋯en(n)

Пусть это будет матрица A, и ее столбцы – векторы линейно независимой системы векторов e1(1), e2(2),…, en(n). Ранг матрицы – n, и ее определитель отличен от нуля. Это свидетельствует о том, что система уравнений имеет единственное решение, определяемое любым удобным способом: к примеру, методом Крамера или матричным методом. Таким образом мы сможем определить координаты x~1, x~2,…, x~n вектора x→ в базисе e1(1), e2(2),…, en(n).

Применим рассмотренную теорию на конкретном примере.

Пример 6

Исходные данные: в базисе трехмерного пространства заданы векторы

e(1)=(1,-1,1)e(2)=(3, 2, -5)e(3)=(2, 1, -3)x=(6, 2, -7)

Необходимо подтвердить факт, что система векторов e(1), e(2), e(3) также служит базисом заданного пространства, а также определить координаты вектора х в заданном базисе.

Решение

Система векторов e(1), e(2), e(3) будет являться базисом трехмерного пространства, если она линейно независима. Выясним эту возможность, определив ранг матрицы A, строки которой – заданные векторы e(1), e(2), e(3).

Используем метод Гаусса:

A=1-1132-521-3~1-1105-803-5~1-1105-800-15

Rank (A) = 3. Таким образом, система векторов e(1), e(2), e(3) линейно независима и является базисом.

Пусть в базисе вектор x→ имеет координаты x~1, x~2, x~3. Связь этих координат определяется уравнением:

x1=x~1e1(1)+x~2e1(2)+x~3e1(3)x2=x~1e2(1)+x~2e2(2)+x~3e2(3)x3=x~1e3(1)+x~2e3(2)+x~3e3(3)

Применим значения согласно условиям задачи:

x~1+3x~2+2x~3=6-x~1+2x~2+x~3=2x~1-5x~2-3×3=-7

Решим систему уравнений методом Крамера:

∆=132-1211-5-3=-1∆x~1=632221-7-5-3=-1, x~1=∆x~1∆=-1-1=1∆x~2=162-1211-7-3=-1, x~2=∆x~2∆=-1-1=1∆x~3=136-1221-5-7=-1, x~3=∆x~3∆=-1-1=1

Так, вектор x→ в базисе e(1), e(2), e(3) имеет координаты x~1=1, x~2=1, x~3=1.

Ответ: x=(1,1,1)

Связь между базисами

Предположим, что в некотором базисе n-мерного векторного пространства даны две линейно независимые системы векторов:

c(1)=(c1(1), c2(1),…, cn(1))c(2)=(c1(2), c2(2),…, cn(2))⋮c(n)=(c1(n), e2(n),…, cn(n))

e(1)=(e1(1), e2(1),…, en(1))e(2)=(e1(2), e2(2),…, en(2))⋮e(n)=(e1(n), e2(n),…, en(n))

Указанные системы являются также базисами заданного пространства.

Пусть c~1(1), c~2(1),…, c~n(1) – координаты вектора c(1) в базисе e(1), e(2),…, e(3), тогда связь координат будет задаваться системой линейных уравнений:

с1(1)=c~1(1)e1(1)+c~2(1)e1(2)+…+c~n(1)e1(n)с2(1)=c~1(1)e2(1)+c~2(1)e2(2)+…+c~n(1)e2(n)⋮ сn(1)=c~1(1)en(1)+c~2(1)en(2)+…+c~n(1)en(n)

В виде матрицы систему можно отобразить так:

(c1(1), c2(1),…, cn(1))=(c~1(1), c~2(1),…, c~n(1))·e1(1)e2(1)…en(1)e1(2)e2(2)…en(2)⋮⋮⋮⋮e1(n)e2(n)…en(n)

Сделаем по аналогии такую же запись для вектора c(2):

(c1(2), c2(2),…, cn(2))=(c~1(2), c~2(2),…, c~n(2))·e1(1)e2(1)…en(1)e1(2)e2(2)…en(2)⋮⋮⋮⋮e1(n)e2(n)…en(n)

И, далее действуя по тому же принципу, получаем:

(c1(n), c2(n),…, cn(n))=(c~1(n), c~2(n),…, c~n(n))·e1(1)e2(1)…en(1)e1(2)e2(2)…en(2)⋮⋮⋮⋮e1(n)e2(n)…en(n)

Матричные равенства объединим в одно выражение:

c1(1)c2(1)⋯cn(1)c1(2)c2(2)⋯cn(2)⋮⋮⋮⋮c1(n)c2(n)⋯cn(n)=c~1(1)c~2(1)⋯c~n(1)c~1(2)c~2(2)⋯c~n(2)⋮⋮⋮⋮c~1(n)c~2(n)⋯c~n(n)·e1(1)e2(1)⋯en(1)e1(2)e2(2)⋯en(2)⋮⋮⋮⋮e1(n)e2(n)⋯en(n)

Оно и будет определять связь векторов двух различных базисов.

Используя тот же принцип, возможно выразить все векторы базиса e(1), e(2),…, e(3) через базис c(1), c(2),…, c(n):

e1(1)e2(1)⋯en(1)e1(2)e2(2)⋯en(2)⋮⋮⋮⋮e1(n)e2(n)⋯en(n)=e~1(1)e~2(1)⋯e~n(1)e~1(2)e~2(2)⋯e~n(2)⋮⋮⋮⋮e~1(n)e~2(n)⋯e~n(n)·c1(1)c2(1)⋯cn(1)c1(2)c2(2)⋯cn(2)⋮⋮⋮⋮c1(n)c2(n)⋯cn(n)

Дадим следующие определения:

Определение 5

Матрица c~1(1)c~2(1)⋯c~n(1)c~1(2)c~2(2)⋯c~n(2)⋮⋮⋮⋮c~1(n)c~2(n)⋯c~n(n) является матрицей перехода от базиса e(1), e(2),…, e(3)

к базису c(1), c(2),…, c(n).

Определение 6

Матрица e~1(1)e~2(1)⋯e~n(1)e~1(2)e~2(2)⋯e~n(2)⋮⋮⋮⋮e~1(n)e~2(n)⋯e~n(n) является матрицей перехода от базиса c(1), c(2),…, c(n)

к базису e(1), e(2),…, e(3).

Из этих равенств очевидно, что

c~1(1)c~2(1)⋯c~n(1)c~1(2)c~2(2)⋯c~n(2)⋮⋮⋮⋮c~1(n)c~2(n)⋯c~n(n)·e~1(1)e~2(1)⋯e~n(1)e~1(2)e~2(2)⋯e~n(2)⋮⋮⋮⋮e~1(n)e~2(n)⋯e~n(n)=10⋯001⋯0⋮⋮⋮⋮00⋯1e~1(1)e~2(1)⋯e~n(1)e~1(2)e~2(2)⋯e~n(2)⋮⋮⋮⋮e~1(n)e~2(n)⋯e~n(n)·c~1(1)c~2(1)⋯c~n(1)c~1(2)c~2(2)⋯c~n(2)⋮⋮⋮⋮c~1(n)c~2(n)⋯c~n(n)=10⋯001⋯0⋮⋮⋮⋮00⋯1

т.е. матрицы перехода взаимообратны.

Рассмотрим теорию на конкретном примере.

Пример 7

Исходные данные: необходимо найти матрицу перехода от базиса

c(1)=(1, 2, 1)c(2)=(2, 3, 3)c(3)=(3, 7, 1)

к базису

e(1)=(3, 1, 4)e(2)=(5, 2, 1)e(3)=(1, 1, -6)

Также нужно указать связь координат произвольного вектора x→ в заданных базисах.

Решение

1. Пусть T – матрица перехода, тогда верным будет равенство:

314521111=T·121233371

Умножим обе части равенства на

121233371-1

и получим:

T=31452111-6·121233371-1

2. Определим матрицу перехода:

T=31452111-6·121233371-1==31452111-6·-18537-2-15-1-1=-2794-712012-4198

3. Определим связь координат вектора x→:

допустим, что в базисе c(1), c(2),…, c(n) вектор x→ имеет координаты x1,x2,x3, тогда:

x=(x1,x2,x3)·121233371,

а в базисе e(1), e(2),…, e(3) имеет координаты x~1,x~2,x~3, тогда:

x=(x~1,x~2,x~3)·31452111-6

Т.к. равны левые части этих равенств, мы можем приравнять и правые:

(x1,x2,x3)·121233371=(x~1,x~2,x~3)·31452111-6

Умножим обе части справа на

121233371-1

и получим:

(x1,x2,x3)=(x~1,x~2,x~3)·31452111-6·121233371-1⇔⇔(x1,x2,x3)=(x~1,x~2,x~3)·T⇔⇔(x1,x2,x3)=(x~1,x~2,x~3)·-2794-712012-4198

С другой стороны

(x~1,x~2,x~3)=(x1,x2,x3)·-2794-712012-4198

Последние равенства показывают связь координат вектора x→ в обоих базисах.

Ответ: матрица перехода

-2794-712012-4198

Координаты вектора x→ в заданных базисах связаны соотношением:

(x1,x2,x3)=(x~1,x~2,x~3)·-2794-712012-4198

или

(x~1,x~2,x~3)=(x1,x2,x3)·-2794-712012-4198-1

Источник

Фундаментальным
вопросом теории линейных пространств
является вопрос о том, можно ли, а если
можно, то как, произвольный вектор
пространства представить в виде линейной
комбинации фиксированного набора
векторов из этого пространства. Далее
мы получим ответ на этот вопрос.

Система
линейно независимых векторов
векторного пространстваназываетсябазисом
этого пространства, если любой вектор
из
может быть представлен в виде линейной
комбинации векторов этой системы, т.е.
для каждого векторасуществуют вещественные числатакие, что имеет место равенство

Это
равенство называется разложением
вектора

по базису
,
а числаназываютсякоординатами
вектора
относительно базиса
(или в базисе)
.

Утверждение

Базисом
линейного пространства решений
однородной системы является ее
фундаментальная система решений.

ТЕОРЕМА
(о единственности разложения по базису).
Каждый вектор
пространстваможет быть разложен по базису
единственным
образом, т.е. координаты каждого вектора
в базисе

определяются однозначно.

Главное
значение базиса заключается в том, что
операции сложения векторов и умножения
их на числа при задании базиса превращаются
в соответствующие операции над числами
– координатами этих векторов. А именно,
справедлива следующая

ТЕОРЕМА.
При сложении
двух любых векторов линейного пространства
их координаты (относительно любого
базиса пространства) складываются; при
умножении
произвольного вектора на любое число
все координаты этого вектора умножаются
на.

Типовой
пример

Исследуем
вопрос о базисе пространства
,
введенного ранее при рассмотрении
Типовой примеров векторных пространств.
Покажем, чтоэлементовуказанного пространства образуют базис.

►Во-первых,
эти векторы линейно независимы. Проверка
линейной независимости набора
состоит в определении значений,
при которых возможно равенство

Но в
силу только что доказанной теоремы

а
последний вектор является нулевым лишь
при условии
.
Во-вторых, всякий векторзаведомо представим в виде линейной
комбинации векторов:и, значит, наборобразует базис. ◄

Векторное
пространство
называется
-мерным,
если в нем существуютлинейно независимых векторов, а любыевекторов уже являются линейно зависимыми.
При этом числоназываетсяразмерностьюпространства.

Размерность
векторного пространства, состоящего
из одного нулевого вектора, принимается
равной нулю.

Размерность
пространства
обычно обозначают символом.

Векторное
пространство
называетсябесконечномерным, если
в нем существует любое число линейно
независимых векторов. В этом случае
пишут.

Выясним
связь между понятиями базиса и размерности
пространства.

ТЕОРЕМА.Если
– векторное пространство размерности,
то любыелинейно независимых векторов этого
пространства образуют его базис.

ТЕОРЕМА.Если векторное пространство
имеет базис, состоящий извекторов, то.

Утверждение

Rⁿ=n.

Типовые примеры

Образуют
ли базис в пространстве R³
векторы
?

►По
определению базис составляют линейно
независимые векторы. Линейная зависимость
(или независимость) определяется исходя
из анализа равенства нулю линейной
комбинации этих векторов:

Последнее
векторное уравнение после записи его
по компонентам представляет собой
систему трёх однородных уравнений
относительно
.
Согласно схеме исследования линейной
зависимости векторов вычислим
определитель матрицы, составленной из
координат векторов

Определитель
системы равен нулю, следовательно, она
имеет нетривиальное решение и это
означает, что исходная группа векторов
линейно зависима и не образует базис в
R³. ◄

2.Найти
размерность и один из базисов линейного
пространства решений однородной системы:

►Представленная
система состоит из трёх уравнений и
содержит 5 неизвестных. Выпишем матрицу
системы и упростим её с помощью
элементарных преобразований, сначала
поменяв местами строки 1 и 2, а затем
вычитая новую первую строку, умноженную
на 3 и 4, соответственно из второй и
третьей строк :

Видно,
что ранг матрицы
равен 2. Следовательно, две неизвестные
являются главными, а три – свободными.
Значит ФСР системы содержит 5-2=3 линейно
независимых решения. Выберем в качестве
главных.
Это можно сделать, т.к. минор 2-го порядка,
составленный из коэффициентов при этих
неизвестных, отличен от нуля. Система,
соответствующая преобразованной
матрице, имеет вид

Отсюда,
выражая главные неизвестные через
свободные, получим общее решение

Или иначе:

Фундаментальная
совокупность решений является базисом
линейного пространства решений исходной
системы и в данном случае имеет вид

Размерность
искомого пространства равна 3.◄

Матрицей
переходаот базисак базисуназывается матрица вида

где
для каждого
в
-ом
столбце стоят координатывекторав базисе.

Утверждение

Координаты
векторав базисеи координатыэтого же вектора в базисесвязаны равенством

где
– матрица перехода от базисак базису.

Утверждение.
Матрица перехода
от базисак базисуи матрица обратного переходаот базисак базисусвязаны равенством=.

Типовые
примеры

1.Найти координаты векторав базисе,
если известно

►В
соответствии с определением матрица
перехода от базиса
к базисуесть

Обозначим
координаты вектора
в базисечерез,
а в базисечерез.
Искомые координатысвязаны с известными координатамиследующим соотношением:

Видно,
что для получения координат
необходимо вычислить матрицу, обратную.
Используя стандартную процедуру, имеем

Вычислим теперь координаты
:

.
◄

Найти матрицу
перехода от базиса
к базисупо данным разложениям этих векторов
в базисе:

►Чтобы
построить матрицу
перехода
от базисак базису,
необходимо найти разложение векторовпо базису.
Сделаем это, представивв виде разложения пос неизвестными координатами, которые
требуется определить:

или с
учётом вида этих векторов в базисе

Откуда для координат
имеем

Теперь,
зная разложение
по,
выпишем матрицу:

.◄

5. Линейные оболочки
и подпространства

Подпространством линейного пространстваназывается множество векторов изтакое, что для любых двух векторовиизи любых двух вещественных чиселилинейная комбинациятакже принадлежит.

Утверждение. Подпространство само
является линейным пространством.

Линейной оболочкойсистемы векторовназывается множество всех линейных
комбинаций векторов.
Обозначается.

Утверждение. Линейная оболочка системы
векторов является подпространством.

Пересечениемдвух подпространстви
называется множество всех векторов,
принадлежащих одновременно и,
и
.
Обозначается
.

Суммой двух подпространстви
называется множество всех векторов,
представимых в виде,
где,
.
Обозначается
.

Утверждение. Сумма и пересечение
подпространств
и

являются линейными пространствами, и
их размерности связаны равенством

+=+.

Сумма
двух подпространств называется прямой
суммой, если
пересечение этих подпространств состоит
только из нулевого вектора.

Типовой пример

Найти размерность и какой-нибудь базис
суммы и пересечения подпространств,
порождённых векторами
.

►Вычислим вначале размерность
подпространств. С этой целью установим,
являются ли линейно независимыми
векторы, порождающие данные подпространства.
Для подпространства
,
порождённого векторами,
равенство нулю линейной комбинации,
эквивалентное системе уравнений,
достигается лишь при условии.
Следовательно, векторылинейно независимы и размерность
подпространстваравна 2:.
Для подпространства,
порождённого векторами,
проводя аналогичный анализ, получим.

Вычислим теперь размерность пересечения
подпространств
и.
По определению векторы, составляющие
пересечение, принадлежат одновременно
обоим подпространствам. Произвольный
векторподпространстваявляется линейной комбинацией базисных
векторов:.
Аналогично для подпространстваимеем,
тогда условие принадлежности пересечению
естьили.

Это условие представляет собой систему
уравнений относительно коэффициентов
.
Составим матрицу системы и упростим её
с помощью элементарных преобразований:

Как видно ранг системы равен 3. Значит
ФСР состоит из одного линейно независимого
вектора. Найдём его, решив систему
уравнений, соответствующих последней
матрице, получим
,

откуда
.

Полагая свободное неизвестное
,
для остальных имеем

.
Итак, пересечение подпространствимеет
один базисный вектор

Размерность пересечения
.
Следовательно, в соответствии с равенством

размерность суммы подпространств
.
В качестве базиса суммы подпространств
можно взять, например, векторы,
дополненные вектором.
В линейной независимости векторовубедиться нетрудно.◄

Источник

Векторное пространство: размерность и базис, разложение вектора по базису

В статье о n -мерных векторах мы пришли к понятию линейного пространства, порождаемого множеством n -мерных векторов. Теперь нам предстоит рассмотреть не менее важные понятия, такие как размерность и базис векторного пространства. Они напрямую связаны с понятием линейно независимой системы векторов, так что дополнительно рекомендуется напомнить себе основы и этой темы.

Введем некоторые определения.

Рассмотрим некое пространство n -векторов. Размерность его соответственно равна n . Возьмем систему из n -единичных векторов:

e ( 1 ) = ( 1 , 0 , . . . , 0 ) e ( 2 ) = ( 0 , 1 , . . . , 0 ) e ( n ) = ( 0 , 0 , . . . , 1 )

Используем эти векторы в качестве составляющих матрицы A : она будет являться единичной с размерностью n на n . Ранг этой матрицы равен n . Следовательно, векторная система e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) является линейно независимой. При этом к системе невозможно добавить ни одного вектора, не нарушив ее линейной независимости.

Так как число векторов в системе равно n , то размерность пространства n -мерных векторов равна n , а единичные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) являются базисом указанного пространства.

Из полученного определения сделаем вывод: любая система n -мерных векторов, в которой число векторов меньше n , не является базисом пространства.

Если мы поменяем местами первый и второй вектор, получим систему векторов e ( 2 ) , e ( 1 ) , . . . , e ( n ) . Она также будет являться базисом n -мерного векторного пространства. Составим матрицу, взяв за ее строки векторы полученной системы. Матрица может быть получена из единичной матрицы перестановкой местами первых двух строк, ранг ее будет равен n . Система e ( 2 ) , e ( 1 ) , . . . , e ( n ) линейно независима и является базисом n -мерного векторного пространства.

Переставив местами в исходной системе другие векторы, получим еще один базис.

Мы можем взять линейно независимую систему неединичных векторов, и она также будет представлять собой базис n -мерного векторного пространства.

Рассмотрим применение данной теории на конкретных примерах.

Исходные данные: векторы

a = ( 3 , – 2 , 1 ) b = ( 2 , 1 , 2 ) c = ( 3 , – 1 , – 2 )

Необходимо определить, являются ли указанные векторы базисом трехмерного векторного пространства.

Решение

A = 3 2 3 – 2 1 – 1 1 2 – 2 A = 3 – 2 1 2 1 2 3 – 1 – 2 = 3 · 1 · ( – 2 ) + ( – 2 ) · 2 · 3 + 1 · 2 · ( – 1 ) – 1 · 1 · 3 – ( – 2 ) · 2 · ( – 2 ) – 3 · 2 · ( – 1 ) = = – 25 ≠ 0 ⇒ R a n k ( A ) = 3

Ответ: указанные векторы являются базисом векторного пространства.

Исходные данные: векторы

a = ( 3 , – 2 , 1 ) b = ( 2 , 1 , 2 ) c = ( 3 , – 1 , – 2 ) d = ( 0 , 1 , 2 )

Необходимо определить, может ли указанная система векторов являться базисом трехмерного пространства.

Решение

Указанная в условии задачи система векторов является линейно зависимой, т.к. максимальное число линейно независимых векторов равно 3. Таким образом, указанная система векторов не может служить базисом трехмерного векторного пространства. Но стоит отметить, что подсистема исходной системы a = ( 3 , – 2 , 1 ) , b = ( 2 , 1 , 2 ) , c = ( 3 , – 1 , – 2 ) является базисом.

Ответ: указанная система векторов не является базисом.

Исходные данные: векторы

a = ( 1 , 2 , 3 , 3 ) b = ( 2 , 5 , 6 , 8 ) c = ( 1 , 3 , 2 , 4 ) d = ( 2 , 5 , 4 , 7 )

Могут ли они являться базисом четырехмерного пространства?

Решение

Cоставим матрицу, используя в качестве строк координаты заданных векторов

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

По методу Гаусса определим ранг матрицы:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 – 1 1 0 1 – 2 1

1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 – 1 – 1 0 0 – 2 – 1

1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 – 1 – 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k ( A ) = 4

Ответ: заданные векторы являются базисом четырехмерного пространства.

Исходные данные: векторы

a ( 1 ) = ( 1 , 2 , – 1 , – 2 ) a ( 2 ) = ( 0 , 2 , 1 , – 3 ) a ( 3 ) = ( 1 , 0 , 0 , 5 )

Составляют ли они базис пространства размерностью 4?

Решение

Ответ: нет, не составляют.

Разложение вектора по базису

Примем, что произвольные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) являются базисом векторного n-мерного пространства. Добавим к ним некий n -мерный вектор x → : полученная система векторов станет линейно зависимой. Свойства линейной зависимости гласят, что хотя бы один из векторов такой системы может линейно выражаться через остальные. Переформулируя это утверждение, можно говорить о том, что хотя бы один из векторов линейно зависимой системы может раскладываться по остальным векторам.

Таким образом, мы пришли к формулировке важнейшей теоремы:

Любой вектор n -мерного векторного пространства единственным образом раскладывается по базису.

Докажем эту теорему:

зададим базис n -мерного векторного пространства – e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) . Сделаем систему линейно зависимой, добавив к ней n -мерный вектор x → . Этот вектор может быть линейно выражен через исходные векторы e :

x = x 1 · e ( 1 ) + x 2 · e ( 2 ) + . . . + x n · e ( n ) , где x 1 , x 2 , . . . , x n – некоторые числа.

Отнимем от левой и правой частей этого равенства соответственно левую и правую части равенства x = x 1 · e ( 1 ) + x 2 · e ( 2 ) + . . . + x n · e ( n ) . Получим:

1 – x 1 ) · e ( 1 ) + ( x

2 – x 2 ) · e ( 2 ) + . . . ( x

Система базисных векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) линейно независима; по определению линейной независимости системы векторов равенство выше возможно только тогда, когда все коэффициенты ( x

2 – x 2 ) , . . . , ( x

n – x n ) будут равны нулю. Из чего справедливым будет: x 1 = x

n . И это доказывает единственный вариант разложения вектора по базису.

При этом коэффициенты x 1 , x 2 , . . . , x n называются координатами вектора x → в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) .

Доказанная теория делает понятным выражение «задан n -мерный вектор x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) »: рассматривается вектор x → n -мерного векторного пространства, и его координаты заданы в некотором базисе. При этом также понятно, что этот же вектор в другом базисе n -мерного пространства будет иметь другие координаты.

Рассмотрим следующий пример: допустим, что в некотором базисе n -мерного векторного пространства задана система из n линейно независимых векторов

e ( 1 ) = ( e 1 ( 1 ) , e 2 ( 1 ) , . . . , e n ( 1 ) ) e ( 2 ) = ( e 1 ( 2 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( 2 ) ) ⋮ e ( n ) = ( e 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , e n ( n ) )

а также задан вектор x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) .

Векторы e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) в этом случае также являются базисом этого векторного пространства.

Предположим, что необходимо определить координаты вектора x → в базисе e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) , обозначаемые как x

Вектор x → будет представлен следующим образом:

2 · e ( 2 ) + . . . + x

Запишем это выражение в координатной форме:

( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x

1 · ( e ( 1 ) 1 , e ( 1 ) 2 , . . . , e ( 1 ) n ) + x

2 · ( e ( 2 ) 1 , e ( 2 ) 2 , . . . , e ( 2 ) n ) + . . . + + x

n · ( e ( n ) 1 , e ( n ) 2 , . . . , e ( n ) n ) = = ( x

2 e 1 ( 2 ) + . . . + x

2 e 2 ( 2 ) + + . . . + x

n e 2 ( n ) , . . . , x

2 e n ( 2 ) + . . . + x

Полученное равенство равносильно системе из n линейных алгебраических выражений с n неизвестными линейными переменными x

n e 2 n ⋮ x n = x

Матрица этой системы будет иметь следующий вид:

e 1 ( 1 ) e 1 ( 2 ) ⋯ e 1 ( n ) e 2 ( 1 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e 2 ( n ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n ( 1 ) e n ( 2 ) ⋯ e n ( n )

Пусть это будет матрица A , и ее столбцы – векторы линейно независимой системы векторов e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) . Ранг матрицы – n , и ее определитель отличен от нуля. Это свидетельствует о том, что система уравнений имеет единственное решение, определяемое любым удобным способом: к примеру, методом Крамера или матричным методом. Таким образом мы сможем определить координаты x

n вектора x → в базисе e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) .

Применим рассмотренную теорию на конкретном примере.

Исходные данные: в базисе трехмерного пространства заданы векторы

e ( 1 ) = ( 1 , – 1 , 1 ) e ( 2 ) = ( 3 , 2 , – 5 ) e ( 3 ) = ( 2 , 1 , – 3 ) x = ( 6 , 2 , – 7 )

Необходимо подтвердить факт, что система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) также служит базисом заданного пространства, а также определить координаты вектора х в заданном базисе.

Решение

Система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) будет являться базисом трехмерного пространства, если она линейно независима. Выясним эту возможность, определив ранг матрицы A , строки которой – заданные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) .

Используем метод Гаусса:

A = 1 – 1 1 3 2 – 5 2 1 – 3

1 – 1 1 0 5 – 8 0 3 – 5

1 – 1 1 0 5 – 8 0 0 – 1 5

R a n k ( A ) = 3 . Таким образом, система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) линейно независима и является базисом.

Пусть в базисе вектор x → имеет координаты x

3 . Связь этих координат определяется уравнением:

3 e 1 ( 3 ) x 2 = x

3 e 2 ( 3 ) x 3 = x

Применим значения согласно условиям задачи:

Решим систему уравнений методом Крамера:

∆ = 1 3 2 – 1 2 1 1 – 5 – 3 = – 1 ∆ x

1 = 6 3 2 2 2 1 – 7 – 5 – 3 = – 1 , x

1 ∆ = – 1 – 1 = 1 ∆ x

2 = 1 6 2 – 1 2 1 1 – 7 – 3 = – 1 , x

2 ∆ = – 1 – 1 = 1 ∆ x

3 = 1 3 6 – 1 2 2 1 – 5 – 7 = – 1 , x

Так, вектор x → в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) имеет координаты x

Ответ: x = ( 1 , 1 , 1 )

Связь между базисами

c ( 1 ) = ( c 1 ( 1 ) , c 2 ( 1 ) , . . . , c n ( 1 ) ) c ( 2 ) = ( c 1 ( 2 ) , c 2 ( 2 ) , . . . , c n ( 2 ) ) ⋮ c ( n ) = ( c 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , c n ( n ) )

e ( 1 ) = ( e 1 ( 1 ) , e 2 ( 1 ) , . . . , e n ( 1 ) ) e ( 2 ) = ( e 1 ( 2 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( 2 ) ) ⋮ e ( n ) = ( e 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , e n ( n ) )

Указанные системы являются также базисами заданного пространства.

n ( 1 ) – координаты вектора c ( 1 ) в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) , тогда связь координат будет задаваться системой линейных уравнений:

1 ( 1 ) e 1 ( 1 ) + c

2 ( 1 ) e 1 ( 2 ) + . . . + c

n ( 1 ) e 1 ( n ) с 2 ( 1 ) = c

1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) + c

2 ( 1 ) e 2 ( 2 ) + . . . + c

n ( 1 ) e 2 ( n ) ⋮ с n ( 1 ) = c

1 ( 1 ) e n ( 1 ) + c

2 ( 1 ) e n ( 2 ) + . . . + c

В виде матрицы систему можно отобразить так:

( c 1 ( 1 ) , c 2 ( 1 ) , . . . , c n ( 1 ) ) = ( c

n ( 1 ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

Сделаем по аналогии такую же запись для вектора c ( 2 ) :

( c 1 ( 2 ) , c 2 ( 2 ) , . . . , c n ( 2 ) ) = ( c

n ( 2 ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

И, далее действуя по тому же принципу, получаем:

( c 1 ( n ) , c 2 ( n ) , . . . , c n ( n ) ) = ( c

n ( n ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

Матричные равенства объединим в одно выражение:

c 1 ( 1 ) c 2 ( 1 ) ⋯ c n ( 1 ) c 1 ( 2 ) c 2 ( 2 ) ⋯ c n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 ( n ) c 2 ( n ) ⋯ c n ( n ) = c

n ( n ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) ⋯ e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) ⋯ e n ( n )

Оно и будет определять связь векторов двух различных базисов.

Используя тот же принцип, возможно выразить все векторы базиса e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) через базис c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n ) :

e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) ⋯ e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) ⋯ e n ( n ) = e

n ( n ) · c 1 ( 1 ) c 2 ( 1 ) ⋯ c n ( 1 ) c 1 ( 2 ) c 2 ( 2 ) ⋯ c n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 ( n ) c 2 ( n ) ⋯ c n ( n )

Дадим следующие определения:

n ( n ) является матрицей перехода от базиса e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 )

к базису c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n ) .

n ( n ) является матрицей перехода от базиса c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n )

к базису e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) .

Размерность и базис линейного пространства

Определения размерности и базиса

Линейное пространство называется n-мерным , если в нем существует система из линейно независимых векторов, а любая система из большего количества векторов линейно зависима. Число называется размерностью (числом измерений) линейного пространства и обозначается . Другими словами, размерность пространства — это максимальное число линейно независимых векторов этого пространства. Если такое число существует, то пространство называется конечномерным. Если же для любого натурального числа п в пространстве найдется система, состоящая из линейно независимых векторов, то такое пространство называют бесконечномерным (записывают: ). Далее, если не оговорено противное, будут рассматриваться конечномерные пространства.

Базисом n-мерного линейного пространства называется упорядоченная совокупность линейно независимых векторов ( базисных векторов ).

Теорема 8.1 о разложении вектора по базису. Если — базис n-мерного линейного пространства , то любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов:

и притом единственным образом, т.е. коэффициенты определяются однозначно. Другими словами, любой вектор пространства может быть разложен по базису и притом единственным образом.

Действительно, размерность пространства равна . Система векторов линейно независима (это базис). После присоединения к базису любого вектора , получаем линейно зависимую систему (так как это система состоит из векторов n-мерного пространства). По свойству 7 линейно зависимых и линейно независимых векторов получаем заключение теоремы.

Следствие 1. Если — базис пространства , то , т.е. линейное пространство является линейной оболочкой базисных векторов.

В самом деле, для доказательства равенства двух множеств достаточно показать, что включения и выполняются одновременно. Действительно, с одной стороны, любая линейная комбинация векторов линейного пространства принадлежит самому линейному пространству, т.е. . С другой стороны, любой вектор пространства по теореме 8.1 можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е. . Отсюда следует равенство рассматриваемых множеств.

Следствие 2. Если — линейно независимая система векторов линейного пространства и любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации (8.4): , то пространство имеет размерность , а система является его базисом.

В самом деле, в пространстве имеется система линейно независимых векторов, а любая система из большего количества векторов n)” png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAEAAAAAWBAMAAACCkIcHAAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAD3RSTlMAAX1hEMCpIZfQQeAxUfDvHPe4AAABRklEQVQoz2NgIAyYD+CS4TUAU2YMDBbBWBUwxoJI9icMDFd/YTfCuwBIsCowMLB9xK6ALQFInHdgYJAOBPOZFqIpYP8OJDoFGBjqFcB8Fk1DNEc8AuIIIMN+gUcMigqWtgNmQBcypgHxJyA/XyYrDCKhrQKmOVY8M9QHel8PqOAvEG894fQJaqglWIWk2C+G9QsYGPUFGNiBPmT/2cCyAGatZQuQrJUOYACZYC/AwAJUwPz1GTw0GU1TQFS9AmO0AFgByAq2j94T4Aa0g2n7BSw/gBTQCpAjpQNYNxpBHAlxAtDZAsx/PBkYgY5kiACZxxoQDvEmVJ5xKwPHA2UGhlQgW1MA6F7mZwaoAfWJgfdHAwPjJpBzHBh4GBjcwb5HBCQwllygQS2mgDupcAQACZ4tuBX4FUATDC4ASUdMF3DJMxkQkWIB7TREH/AzV/MAAAAASUVORK5CYII=” style=”vertical-align: middle;” /> линейно зависима, поскольку каждый вектор из этой системы линейно выражается через векторы . Значит, и — базис .

Теорема 8.2 о дополнении системы векторов до базиса. Всякую линейно независимую систему векторов n-мерного линейного пространства можно дополнить до базиса пространства.

В самом деле, пусть — линейно независимая система векторов n-мерного пространства . Рассмотрим линейную оболочку этих векторов: . Любой вектор образует с векторами линейно зависимую систему , так как вектор линейно выражается через остальные. Поскольку в n-мерном пространстве существует линейно независимых векторов, то и существует вектор , который не принадлежит . Дополняя этим вектором линейно независимую систему , получаем систему векторов , которая также линейно независимая. Действительно, если бы она оказалась линейно зависимой, то из пункта 1 замечаний 8.3 следовало, что , а это противоречит условию . Итак, система векторов линейно независимая. Значит, первоначальную систему векторов удалось дополнить одним вектором без нарушения линейной независимости. Продолжаем аналогично. Рассмотрим линейную оболочку этих векторов: . Если , то — базис и теорема доказана. Если , то дополняем систему вектором и т.д. Процесс дополнения обязательно закончится, так как пространство конечномерное. В результате получим равенство , из которого следует, что — базис пространства . Теорема доказана.

1. Базис линейного пространства определяется неоднозначно. Например, если — базис пространства , то система векторов при любом также является базисом . Количество базисных векторов в разных базисах одного и того же конечномерного пространства, разумеется, одно и то же, так как это количество равно размерности пространства.

2. В некоторых пространствах, часто встречающихся в приложениях, один из возможных базисов, наиболее удобный с практической точки зрения, называют стандартным.

3. Теорема 8.1 позволяет говорить, что базис — это полная система элементов линейного пространства, в том смысле, что любой вектор пространства линейно выражается через базисные векторы.

4. Если множество является линейной оболочкой , то векторы называют образующими множества . Следствие 1 теоремы 8.1 в силу равенства позволяет говорить, что базис — это минимальная система образующих линейного пространства , так как нельзя уменьшить количество образующих (удалить хотя бы один вектор из набора ) без нарушения равенства .

5. Теорема 8.2 позволяет говорить, что базис — это максимальная линейно независимая система векторов линейного пространства, так как базис — это линейно независимая система векторов, и ее нельзя дополнить каким-либо вектором без потери линейной независимости.

6. Следствие 2 теоремы 8.1 удобно применять для нахождения базиса и размерности линейного пространства. В некоторых учебниках оно берется за определение базиса, а именно: линейно независимая система векторов линейного пространства называется базисом, если любой вектор пространства линейно выражается через векторы . Количество базисных векторов определяет размерность пространства . Разумеется, что эти определения эквивалентны приведенным выше.

Примеры базисов линейных пространств

Укажем размерность и базис для примеров линейных пространств, рассмотренных выше.

1. Нулевое линейное пространство не содержит линейно независимых векторов. Поэтому размерность этого пространства полагают равной нулю: . Это пространство не имеет базиса.

2. Пространства имеют размерности 1, 2, 3 соответственно. Действительно, любой ненулевой вектор пространства , образует линейно независимую систему (см. пункт 1. замечаний 8.2), а любые два ненулевых век тора пространства коллинеарны, т.е. линейно зависимы (см. пример 8.1). Следовательно, , а базисом пространства является любой ненулевой вектор. Аналогично доказывается, что и . Базисом пространства служат любые два неколлинеарных вектора, взятые в определенном порядке (один из них считается первым базисным вектором, другой — вторым). Базисом пространства являются любые три некомпланарных (не лежащих в одной или параллельных плоскостях) вектора, взятые в определенном порядке. Стандартным базисом в является единичный вектор на прямой. Стандартным базисом в считается базис , со стоящий из двух взаимно перпендикулярных единичных векторов плоскости. Стандартным базисом в пространстве считается базис , составленный из трех единичных попарно перпендикулярных векторов, образующих правую тройку.

3. Пространство содержит не более, чем , линейно независимых векторов. В самом деле, возьмем столбцов из и составим из них матрицу размеров . Если n” png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADEAAAAQCAMAAACIsme9AAAAM1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADbQS4qAAAAEHRSTlMActEwobEQRsAhMfCRYeCBZdtIVwAAAMRJREFUKM+dkdsSwyAIRJUKivHC/39tJY6Npplm0jxEHT3A7hrzx/dyAZ8RnOUhYaLYh4SVOA9Z+ZbAbTn64O6YDfVZWhhvzlWIU/t9ZCSblkbehZkhJEHHBDhkpGhkOzk4MzazQFtDf4SCTXmkL9ddGYynLLovocsAKFf2coKji5MjBl1Wf8dUeTru1ZPwSMO3nrCEuio3LFUxaIpUhlHC19lLPLnbZUglrVuaY822QL8SrLtJGECn77dxGugicer19OYNWVcGI0RZra4AAAAASUVORK5CYII=” />, то столбцы линейно зависимы по теореме 3.4 о ранге матрицы. Следовательно, . В пространстве не трудно найти п линейно независимых столбцов. Например, столбцы единичной матрицы

линейно независимы. Следовательно, . Пространство называется n-мерным вещественным арифметическим пространством . Указанный набор векторов считается стандартным базисом пространства . Аналогично доказывается, что , поэтому пространство называют n-мерным комплексным арифметическим пространством .

4. Напомним, что любое решение однородной системы можно представить в виде , где , a — фундаментальная система решений. Следовательно, , т.е. базисом пространства решений однородной системы служит ее фундаментальная система решений, а размерность пространства , где — количество неизвестных, а — ранг матрицы системы.

5. В пространстве матриц размеров можно выбрать 6 матриц:

которые линейно независимы. Действительно, их линейная комбинация

равна нулевой матрице только в тривиальном случае . Прочитав равенство (8.5) справа налево, заключаем, что любая матрица из линейным образом выражается через выбранные 6 матриц, т.е. . Следовательно, , а матрицы являются базисом (стандартным) этого пространства. Аналогично доказывается, что .

6. Для любого натурального в пространстве многочленов с комплексными коэффициентами можно найти п линейно независимых элементов. Например, многочлены линейно независимы, так как их линейная комбинация

равна нулевому многочлену только в тривиальном случае . Поскольку эта система многочленов линейно независима при любом натуральном л, пространство бесконечномерное. Аналогично делаем вывод о бесконечной размерности пространства многочленов с действительными коэффициентами. Пространство многочленов степени не выше, чем , конечномерное. Действительно, векторы образуют базис (стандартный) это го пространства, так как они линейно независимы и любой многочлен из можно представить в виде линейной комбинации этих векторов:

7. Пространство непрерывных функций является бесконечно мерным. Действительно, для любого натурального многочлены , рассматриваемые как непрерывные функции, образуют линейно независимые системы (см. предыдущий пример).

В пространстве тригонометрических двучленов (частоты ) с действительными коэффициентами базис образуют одночлены . Они линейно независимы, так как тождественное равенство возможно только в тривиальном случае . Любая функция вида линейно выражается через базисные: .

8. Пространство действительных функций, определенных на множестве , в зависимости от области определения может быть конечномерным или бесконечномерным. Если — конечное множество, то пространство конечномерное (например, ). Если — бесконечное множество, то пространство бесконечномерное (например, пространство последовательностей).

9. В пространстве любое положительное число , не равное единице, может служить базисом. Возьмем, например, число . Любое положительное число можно выразить через , т.е. представить в виде , где . Следовательно, размерность этого пространства равна 1, а число является базисом.

10. Пусть — базис вещественного линейного пространства . Определим на линейные скалярные функции , положив:

При этом, в силу линейности функции , для произвольного вектора получаем .

Итак, определены элементов (ковекторов) сопряженного пространства . Докажем, что — базис .

Во-первых, покажем, что система линейно независима. В самом деле, возьмем линейную комбинацию этих ковекторов и приравняем ее нулевой функции

Подставляя в это равенство , получаем . Следовательно, система элементов пространства линейно независима, так как равенство возможно только в тривиальном случае.

Во-вторых, докажем, что любую линейную функцию можно представить в виде линейной комбинации ковекторов . Действительно, для любого вектора в силу линейности функции получаем:

т.е. функция представлена в виде линейной комбинации функций (числа — коэффициенты линейной комбинации). Следовательно, система ковекторов является базисом сопряженного пространства и (для конечномерного пространства ).

[spoiler title=”источники:”]

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=razmernost-i-bazis-linyeinogo-prostranstva

[/spoiler]

Источник

Линейное (векторное) пространство

1. Понятие линейного пространства

Определение 1.1. Множество R элементов x, y, z, … любой природы называется линейным (или векторным) пространством, если выполнены следующие три требования:

Существует правило, посредством которого любым двум элементам x и y множества R ставится в соответствие третий элемент z этого множества, называемый суммой элементов x и y и обозначаемый z=x+y.
Существует правило, посредством которого любому элементу x множества R и любому вещественному числу α ставится в соответствие элемент w этого множества, называемый произведением элемента x на число α и обозначаемый w=αx или w=xα.
Представленные два правила подчинены следующим восьми аксиомам:
1. x+y=y+x (переместительное свойство суммы);
2. (x+y)+z=x+(y+z) (сочетательное свойство суммы);
3. существует нулевой элемент 0 такой, что x+0=x для любого элемента x.
4. для любого элемента x существует противоположный элемент элемент x’ такой, что x+x’=0;
5. 1·x=x для любого x;
6. λ(μx)=(λμ)x (сочетательное свойство относительно числового множителя);
7. (λ+μ)x=λx+μx (распределительное свойство относительно числовых множителей);
8. λ(x+y)=λx+λy (распределительное свойство относительно суммы элементов).

Элементы линейного (векторного) пространства называются векторами.

2. Базис линейного пространства

Определение 2.1. Совокупность линейно независимых элементов пространства R называется базисом этого пространства, если для каждого элемента x пространства R существуют вещественные чиcла такие, что выполнено равенство

разложение вектора

(2.1)

Равенство (2.1) называется разложением элемента x по базису а числа называются координатами элемента x (относительно базиса ).

Докажем, что любой элемент x линейного пространства R может быть разложен по базису единственным образом.

Пусть существует и другое разложение x:

разложение вектора

(2.2)

Вычитая (2.1) из (2.2) имеем:

(2.3)

Так как базисные элементы линейно независимы из соотношения (2.3) следует, что

или

Следовательно каждый элемент линейного пространства R может быть разложен по базису единственным образом.

Теорема 2.2. При сложении произвольных двух элементов линейного пространства R их координаты (относительно любого базиса пространства R) складываются, а при умножении любого элемента x на любое число α все координаты x умножаются на α.

Доказательство следует из аксиом 1-8 определения 1.1.

3. Размерность линейного пространства

Рассмотрим произвольное вещественное пространство R.

Определение 3.1. Линейное пространство R называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых элементов, а любые (n+1) элементов уже являются линейно зависимыми. При этом число n называется размерностью пространства R.

Размерность пространства обозначают символом dim.

Определение 3.2. Линейное пространство R называется бесконечномерным, если в нем существует любое число линейно независимых элементов.

Теорема 3.3. Пусть R является линейным пространствам размерности n (dim R=n). Тогда любые n линейно независимых элементов этого пространства образуют его базис.

Доказательство. Так как R является n -мерным пространством, то из определения 2.1 следует, что в нем существует совокупность из n линейно независимых элементов . Пусть x – любой элемент из R. Тогда согласно определению 3.1 линейно зависимы, т.е. существуют числа (не все равные нулю) такие, что справедливо равенство

(3.1)

Заметим, что λ₀≠0 т.к. в противном случае из равенства (3.1) следовала, что элементы линейно зависимы. Поделив равенство (3.1) на λ₀ и положив

(3.2)

получим

(3.3)

Из равенства (3.3) следует, что любой вектор из пространства R может быть разложен по элементам и, следовательно, они образуют базис пространства R. ■

Теорема 3.4. Пусть линейное пространство R имеет базис, состоящий из n элементов. Тогда размерность R равна n (dim R=n).

Доказательство. Пусть множество n элементов является базисом пространства R. Достаточно доказать, что любые n+1 элементы этого пространства линейно зависимы. Разложив эти элементы по базису, получим:

разложение вектора

(3.4)

где a₁₁, a₁₂,…, a_n+1,n вещественные числа.

Пусть элементы линейно независимы. Перепишем (3.4) в матричном виде:

(3.5)

(3.6)

где базис , n×n-матрицы(элементы здесь являются вектор-строками),

(3.7)

Так как линейно независимы, матрица A имеет обратную матрицу A^-1. Решив матричное уравнение (3.5) относительно получим :

(3.8)

Подставляя (3.8) в (3.6), получим:

(3.9)

Как видно из уравнения (3.9) можно представить линейной комбинацией векторов . Следовательно векторы базис линейно зависимы. ■

4. Замена базиса и преобразование координат

Пусть в пространстве R наряду с исходным базисом имеется другой базис . Векторы этого базиса можно выразить через линейную комбинацию векторов исходного базиса следующим образом:

(4.1)

или

(4.2)

где и матрицы составленные из векторов строк и соответственно (), а матрица P имеет вид:

(4.3)

Матрица P называется матрицей замены базиса на .

В свою очередь, векторы исходного базиса выражаются через векторы нового следующим соотношением:

(4.4)

где

(4.5)

Подставляя (4.2) в (4.4) имеем:

(4.6)

Из (4.6) следует, что QP=E, где E-единичная матрица, а матрицы Q и P взаимно обратные матрицы.

Рассмотрим как изменяются координаты векторов при замене базиса.

Пусть вектор x имеет координаты в базисе и координаты в базисе , тогда

(4.7)

или

(4.8)

Из (4.8) и из (4.2) имеем:

(4.9)

Так как квадратная матрица полного ранга, она имеет обратную матрицу. Умножив левые и правые части уравнения (4.9) на обратную к матрицу получим:

или

(4.10)

Матрица P^T называется матрицей преобразования координат. Она транспонирована с матрицей замены базиса. Обратная матрица (P^T)^-1 дает выражения новых координат через старые.

Матрица, обратная к транспонированной для некоторой матрицы, называется контраградиентной с ней.

5. Изоморфизм линейных пространств

Определение 5.1. Два произвольных вещественных линейных пространства R и R’ называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимно однозначное соответствие так, что если x, y∈R отвечают x’, y’∊R’ соответственно, то элементу x+y∈R отвечает элемент x’+y’∈R’, а для любого вещественного α, элементу αx∈R отвечает элемент αx’∈R’.

Теорема 5.2. Если пространства R и R’ изоморфны, то они имеют одинаковую размерность.

Доказательство. Пусть линейные пространства R и R’ изоморфны, и пусть элементам пространства R отвечают элементы пространства R’ соответственно. Допустим элементы линейно независимы. Покажем, что элементы также линейно независимы. Исходя из обратного предположения допустим, что элементы линейно зависимы. тогда один из них можно представить линейной комбинацией остальных элементов:. Но элементам отвечают элементы y в пространстве R, а сумме отвечает сумма . Но последнее означает линейную зависимость элементов . Следовательно линейно независимы. Из линейной зависимости элементов следует линейная зависимость элементов . Следовательно максимальное количество линейно независимых векторов для пространств R и R’ одно и то же, т.е. эти пространства имеют одинаковую размерность. ■

Теорема 5.3. Любые два n-мерных вещественных линейных пространства R и R’ изоморфны.

Доказательство. Выберем базисы и для пространств R и R’ соответственно. Тогда каждый элемент пространства R можно представить линейной комбинацией базисных элементов: . Этому элементу в пространстве R’ поставим в соответствие элемент теми же координатами:. В свою очередь элементу x’ пространства R’ соответствует элемент x пространства R . Отметим, что если элементам x и y пространства R отвечают элементы x’ и y’ пространства R’ соответственно , то исходя из теоремы 2.2 элементу x+y пространства R отвечает элемент x’+y’ пространства R’, а элементу αx отвечает элемент αx’. ■

Источник

Размерность и базис линейного пространства

Определения размерности и базиса

Линейное пространство называется n-мерным, если в нем существует система из линейно независимых векторов, а любая система из большего количества векторов линейно зависима. Число называется размерностью (числом измерений) линейного пространства и обозначается operatorname{dim}V . Другими словами, размерность пространства — это максимальное число линейно независимых векторов этого пространства. Если такое число существует, то пространство называется конечномерным. Если же для любого натурального числа п в пространстве найдется система, состоящая из линейно независимых векторов, то такое пространство называют бесконечномерным (записывают: operatorname{dim}V=infty ). Далее, если не оговорено противное, будут рассматриваться конечномерные пространства.

Теорема 8.1 о разложении вектора по базису. Если $mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_n$ — базис n-мерного линейного пространства , то любой вектор mathbf{v}in V может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов:

$mathbf{v}=mathbf{v}_1cdot mathbf{e}_1+mathbf{v}_2cdot mathbf{e}_2+ldots+mathbf{v}_ncdot mathbf{e}_n$

(8.4)

и притом единственным образом, т.е. коэффициенты $mathbf{v}_1, mathbf{v}_2,ldots, mathbf{v}_n$ определяются однозначно. Другими словами, любой вектор пространства может быть разложен по базису и притом единственным образом.

Действительно, размерность пространства равна . Система векторов $mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_n$ линейно независима (это базис). После присоединения к базису любого вектора mathbf{v} , получаем линейно зависимую систему $mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_n, mathbf{v}$ (так как это система состоит из (n+1) векторов n-мерного пространства). По свойству 7 линейно зависимых и линейно независимых векторов получаем заключение теоремы.

Следствие 1. Если $mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_n$ — базис пространства , то $V=operatorname{Lin} (mathbf{e}_1,mathbf{e}_2, ldots,mathbf{e}_n)$ , т.е. линейное пространство является линейной оболочкой базисных векторов.

В самом деле, для доказательства равенства $V=operatorname{Lin} (mathbf{e}_1,mathbf{e}_2, ldots, mathbf{e}_n)$ двух множеств достаточно показать, что включения $Vsubset operatorname{Lin}(mathbf{e}_1,mathbf{e}_2, ldots,mathbf{e}_n)$ и $operatorname{Lin}(mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_n)subset V$ выполняются одновременно. Действительно, с одной стороны, любая линейная комбинация векторов линейного пространства принадлежит самому линейному пространству, т.е. $operatorname{Lin}(mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_n)subset V$ . С другой стороны, любой вектор пространства по теореме 8.1 можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е. $Vsubset operatorname{Lin}(mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_n)$ . Отсюда следует равенство рассматриваемых множеств.

Следствие 2. Если $mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_n$ — линейно независимая система векторов линейного пространства и любой вектор mathbf{v}in V может быть представлен в виде линейной комбинации (8.4): $mathbf{v}=v_1mathbf{e}_1+ v_2mathbf{e}_2+ldots+v_nmathbf{e}_n$ , то пространство имеет размерность , а система $mathbf{e}_1,mathbf{e}_2, ldots,mathbf{e}_n$ является его базисом.

В самом деле, в пространстве имеется система линейно независимых векторов, а любая система $mathbf{u}_1,mathbf{u}_2,ldots,mathbf{u}_n$ из большего количества векторов (k>n) линейно зависима, поскольку каждый вектор из этой системы линейно выражается через векторы $mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_n$ . Значит, operatorname{dim} V=n и $mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_n$ — базис .

Теорема 8.2 о дополнении системы векторов до базиса. Всякую линейно независимую систему векторов n-мерного линейного пространства (1leqslant k<n) можно дополнить до базиса пространства.

В самом деле, пусть $mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_k$ — линейно независимая система векторов n-мерного пространства V~(1leqslant k<n) . Рассмотрим линейную оболочку этих векторов: $L_k=operatorname{Lin}(mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots, mathbf{e}_k)$ . Любой вектор $mathbf{v}in L_k$ образует с векторами $mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots, mathbf{e}_k$ линейно зависимую систему $mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_k,mathbf{v}$ , так как вектор линейно выражается через остальные. Поскольку в n-мерном пространстве существует линейно независимых векторов, то L_kne V и существует вектор $mathbf{e}_{k+1}in V$ , который не принадлежит L_k . Дополняя этим вектором линейно независимую систему $mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_k$ , получаем систему векторов $mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_k,mathbf{e}_{k+1}$ , которая также линейно независимая. Действительно, если бы она оказалась линейно зависимой, то из пункта 1 замечаний 8.3 следовало, что $mathbf{e}_{k+1}in operatorname{Lin}(mathbf{e}_1, mathbf{e}_2, ldots,mathbf{e}_k)=L_k$ , а это противоречит условию $mathbf{e}_{k+1}notin L_k$ . Итак, система векторов $mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots, mathbf{e}_k, mathbf{e}_{k+1}$ линейно независимая. Значит, первоначальную систему векторов удалось дополнить одним вектором без нарушения линейной независимости. Продолжаем аналогично. Рассмотрим линейную оболочку этих векторов: $L_{k+1}=operatorname{Lin} (mathbf{e}_1, mathbf{e}_2,ldots, mathbf{e}_k, mathbf{e}_{k+1})$ . Если $L_{k+1}=V$ , то $mathbf{e}_1,mathbf{e}_2, ldots,mathbf{e}_k, mathbf{e}_{k+1}$ — базис и теорема доказана. Если $L_{k+1}ne V$ , то дополняем систему $mathbf{e}_1,mathbf{e}_2, ldots,mathbf{e}_k,mathbf{e}_{k+1}$ вектором $mathbf{e}_{k+2}notin L_{k+1}$ и т.д. Процесс дополнения обязательно закончится, так как пространство конечномерное. В результате получим равенство $V=L_n=operatorname{Lin} (mathbf{e}_1,ldots,mathbf{e}_k,ldots,mathbf{e}_n)$ , из которого следует, что $mathbf{e}_1,ldots,mathbf{e}_k,ldots,mathbf{e}_n$ — базис пространства . Теорема доказана.

Замечания 8.4

1. Базис линейного пространства определяется неоднозначно. Например, если $mathbf{e}_1,mathbf{e}_2, ldots, mathbf{e}_n$ — базис пространства , то система векторов $lambda mathbf{e}_1,lambda mathbf{e}_2,ldots,lambda mathbf{e}_n$ при любом lambdane0 также является базисом . Количество базисных векторов в разных базисах одного и того же конечномерного пространства, разумеется, одно и то же, так как это количество равно размерности пространства.

4. Если множество mathbb{L} является линейной оболочкой $operatorname{Lin}(mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k)$ , то векторы $mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k$ называют образующими множества . Следствие 1 теоремы 8.1 в силу равенства $V=operatorname{Lin} (mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_n)$ позволяет говорить, что базис — это минимальная система образующих линейного пространства , так как нельзя уменьшить количество образующих (удалить хотя бы один вектор из набора $mathbf{e}_1, mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_n$ ) без нарушения равенства $V=operatorname{Lin}( mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_n)$ .

6. Следствие 2 теоремы 8.1 удобно применять для нахождения базиса и размерности линейного пространства. В некоторых учебниках оно берется за определение базиса, а именно: линейно независимая система $mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_n$ векторов линейного пространства называется базисом, если любой вектор пространства линейно выражается через векторы $mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_n$ . Количество базисных векторов определяет размерность пространства. Разумеется, что эти определения эквивалентны приведенным выше.

Примеры базисов линейных пространств

Укажем размерность и базис для примеров линейных пространств, рассмотренных выше.

1. Нулевое линейное пространство {mathbf{o}} не содержит линейно независимых векторов. Поэтому размерность этого пространства полагают равной нулю: dim{mathbf{o}}=0 . Это пространство не имеет базиса.

2. Пространства V_1,,V_2,,V_3 имеют размерности 1, 2, 3 соответственно. Действительно, любой ненулевой вектор пространства V_1 , образует линейно независимую систему (см. пункт 1. замечаний 8.2), а любые два ненулевых век тора пространства V_1 коллинеарны, т.е. линейно зависимы (см. пример 8.1). Следовательно, $dim{V_1}=1$ , а базисом пространства V_1 является любой ненулевой вектор. Аналогично доказывается, что $dim{V_2}=2$ и $dim{V_3}=3$ . Базисом пространства V_2 служат любые два неколлинеарных вектора, взятые в определенном порядке (один из них считается первым базисным вектором, другой — вторым). Базисом пространства V_3 являются любые три некомпланарных (не лежащих в одной или параллельных плоскостях) вектора, взятые в определенном порядке. Стандартным базисом в V_1 является единичный вектор vec{i} на прямой. Стандартным базисом в V_2 считается базис vec{i},,vec{j} , со стоящий из двух взаимно перпендикулярных единичных векторов плоскости. Стандартным базисом в пространстве V_3 считается базис vec{i},,vec{j},,vec{k} , составленный из трех единичных попарно перпендикулярных векторов, образующих правую тройку.

3. Пространство $mathbb{R}^n$ содержит не более, чем , линейно независимых векторов. В самом деле, возьмем столбцов из $mathbb{R}^n$ и составим из них матрицу размеров ntimes k . Если k>n , то столбцы линейно зависимы по теореме 3.4 о ранге матрицы. Следовательно, $dim{mathbb{R}^n}leqslant n$ . В пространстве $mathbb{R}^n$ не трудно найти п линейно независимых столбцов. Например, столбцы единичной матрицы

$mathbf{e}_1=begin{pmatrix}1\0\vdots\0end{pmatrix}!,quad mathbf{e}_2= begin{pmatrix}0\1\vdots\0end{pmatrix}!,quad ldots,quad mathbf{e}_n= begin{pmatrix} 0\0\vdots\1 end{pmatrix}!.$

линейно независимы. Следовательно, $dim{mathbb{R}^n}=n$ . Пространство $mathbb{R}^n$ называется n-мерным вещественным арифметическим пространством. Указанный набор векторов считается стандартным базисом пространства $mathbb{R}^n$ . Аналогично доказывается, что $dim{mathbb{C}^n}=n$ , поэтому пространство $mathbb{C}^n$ называют n-мерным комплексным арифметическим пространством.

4. Напомним, что любое решение однородной системы Ax=o можно представить в виде $x=C_1varphi_1+C_2varphi_2+ldots+C_{n-r}varphi_{n-r}$ , где r=operatorname{rg}A , a $varphi_1,varphi_2,ldots,varphi_{n-r}$ — фундаментальная система решений. Следовательно, ${Ax=o}=operatorname{Lin} (varphi_1,varphi_2,ldots,varphi_{n-r})$ , т.е. базисом пространства {Ax=0} решений однородной системы служит ее фундаментальная система решений, а размерность пространства dim{Ax=o}=n-r , где — количество неизвестных, а — ранг матрицы системы.

5. В пространстве $M_{2times3}$ матриц размеров 2times3 можно выбрать 6 матриц:

$begin{gathered}mathbf{e}_1= begin{pmatrix}1&0&0\0&0&0end{pmatrix}!,quad mathbf{e}_2= begin{pmatrix}0&1&0\0&0&0end{pmatrix}!,quad mathbf{e}_3= begin{pmatrix} 0&0&1\0&0&0end{pmatrix}!,hfill\[5pt] mathbf{e}_4= begin{pmatrix} 0&0&0\1&0&0 end{pmatrix}!,quad mathbf{e}_5= begin{pmatrix}0&0&0\0&1&0end{pmatrix}!,quad mathbf{e}_6= begin{pmatrix}0&0&0\0&0&1end{pmatrix}!,hfill end{gathered}$

которые линейно независимы. Действительно, их линейная комбинация

$alpha_1cdot mathbf{e}_1+alpha_2cdot mathbf{e}_2+alpha_3cdot mathbf{e}_3+ alpha_4cdot mathbf{e}_4+alpha_5cdot mathbf{e}_5+alpha_6cdot mathbf{e}_6= begin{pmatrix}alpha_1&alpha_2&alpha_3\ alpha_4&alpha_5&alpha_6end{pmatrix}$

(8.5)

равна нулевой матрице только в тривиальном случае alpha_1=alpha_2= ldots= alpha_6=0 . Прочитав равенство (8.5) справа налево, заключаем, что любая матрица из $M_{2times3}$ линейным образом выражается через выбранные 6 матриц, т.е. $M_{2times}= operatorname{Lin} (mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_6)$ . Следовательно, $dim{M_{2times3}}=2cdot3=6$ , а матрицы $mathbf{e}_1, mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_6$ являются базисом (стандартным) этого пространства. Аналогично доказывается, что $dim{M_{mtimes n}}=mcdot n$ .

6. Для любого натурального в пространстве P(mathbb{C}) многочленов с комплексными коэффициентами можно найти п линейно независимых элементов. Например, многочлены $mathbf{e}_1=1,$ $mathbf{e}_2=z,$ $mathbf{e}_3=z^2,,ldots,$ $mathbf{e}_n=z^{n-1}$ линейно независимы, так как их линейная комбинация

$a_1cdot mathbf{e}_1+a_2cdot mathbf{e}_2+ldots+a_ncdot mathbf{e}_n= a_1+a_2z+ldots+a_nz^{n-1}$

равна нулевому многочлену (o(z)equiv0) только в тривиальном случае a_1=a_2=ldots=a_n=0 . Поскольку эта система многочленов линейно независима при любом натуральном л, пространство P(mathbb{C}) бесконечномерное. Аналогично делаем вывод о бесконечной размерности пространства P(mathbb{R}) многочленов с действительными коэффициентами. Пространство $P_n(mathbb{R})$ многочленов степени не выше, чем , конечномерное. Действительно, векторы $mathbf{e}_1=1,$ $mathbf{e}_2=x,$ $mathbf{e}_3=x^2,,ldots,$ $mathbf{e}_{n+1}=x^n$ образуют базис (стандартный) это го пространства, так как они линейно независимы и любой многочлен из $P_n(mathbb{R})$ можно представить в виде линейной комбинации этих векторов:

$a_nx^n+ldots+a_1x+a_0=a_0cdot mathbf{e}_1+a_1 mathbf{e}_2+ldots+a_ncdot mathbf{e}_{n+1}$ . Следовательно, $dim{P_n(mathbb{R})}=n+1$ .

7. Пространство C(mathbb{R}) непрерывных функций является бесконечно мерным. Действительно, для любого натурального многочлены $1,x,x^2,ldots, x^{n-1}$ , рассматриваемые как непрерывные функции, образуют линейно независимые системы (см. предыдущий пример).

В пространстве $T_{omega}(mathbb{R})$ тригонометрических двучленов (частоты omegane0 ) с действительными коэффициентами базис образуют одночлены $mathbf{e}_1(t)=sinomega t,~mathbf{e}_2(t)=cosomega t$ . Они линейно независимы, так как тождественное равенство asinomega t+bcosomega tequiv0 возможно только в тривиальном случае (a=b=0) . Любая функция вида f(t)=asinomega t+bcosomega t линейно выражается через базисные: $f(t)=a,mathbf{e}_1(t)+b,mathbf{e}_2(t)$ .

8. Пространство $mathbb{R}^X$ действительных функций, определенных на множестве , в зависимости от области определения может быть конечномерным или бесконечномерным. Если — конечное множество, то пространство $mathbb{R}^X$ конечномерное (например, X={1,2,ldots,n} ). Если — бесконечное множество, то пространство $mathbb{R}^X$ бесконечномерное (например, пространство $mathbb{R}^N$ последовательностей).

9. В пространстве $mathbb{R}^{+}$ любое положительное число $mathbf{e}_1$ , не равное единице, может служить базисом. Возьмем, например, число $mathbf{e}_1=2$ . Любое положительное число можно выразить через $mathbf{e}_1$ , т.е. представить в виде $alpha_1cdot mathbf{e}_1colon~ r=2^{log_2r}=log_2rast2=alpha_1ast mathbf{e}_1$ , где alpha_1=log_2r . Следовательно, размерность этого пространства равна 1, а число $mathbf{e}_1=2$ является базисом.

10. Пусть $mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_n$ — базис вещественного линейного пространства . Определим на линейные скалярные функции $mathcal{E}_1, mathcal{E}_2,ldots, mathcal{E}_n$ , положив:

$mathcal{E}_i(mathbf{e}_j)=begin{cases}1,&i=j,\ 0,&ine j.end{cases}$

При этом, в силу линейности функции $mathcal{E}_i$ , для произвольного вектора $mathbf{v}=v_1 mathbf{e}_1+v_2 mathbf{e}_2+ldots+v_n mathbf{e}_n$ получаем $mathcal{E}(mathbf{v})=sum_{j=1}^{n}v_j mathcal{E}(mathbf{e}_j)=v_i$ .

Итак, определены элементов (ковекторов) $mathcal{E}_1, mathcal{E}_2, ldots, mathcal{E}_n$ сопряженного пространства $V^{ast}$ . Докажем, что $mathcal{E}_1, mathcal{E}_2,ldots, mathcal{E}_n$ — базис $V^{ast}$ .

Во-первых, покажем, что система $mathcal{E}_1, mathcal{E}_2,ldots, mathcal{E}_n$ линейно независима. В самом деле, возьмем линейную комбинацию этих ковекторов $(alpha_1 mathcal{E}_1+ldots+alpha_nmathcal{E}_n)(mathbf{v})=$ и приравняем ее нулевой функции

$mathbf{o}(mathbf{v})~~ (mathbf{o}(mathbf{v})=0~ forall mathbf{v}in V)colon~ alpha_1mathcal{E}_1(mathbf{v})+ldots+alpha_nmathcal{E}_n(mathbf{v})= mathbf{o}(mathbf{v})=0~~forall mathbf{v}in V.$

Подставляя в это равенство $mathbf{v}=mathbf{e}_i,~ i=1,ldots,n$ , получаем alpha_1=alpha_2cdot= alpha_n=0 . Следовательно, система элементов $mathcal{E}_1,mathcal{E}_2,ldots,mathcal{E}_n$ пространства $V^{ast}$ линейно независима, так как равенство $alpha_1mathcal{E}_1+ldots+ alpha_nmathcal{E}_n =mathbf{o}$ возможно только в тривиальном случае.

Во-вторых, докажем, что любую линейную функцию $fin V^{ast}$ можно представить в виде линейной комбинации ковекторов $mathcal{E}_1, mathcal{E}_2,ldots, mathcal{E}_n$ . Действительно, для любого вектора $mathbf{v}=v_1 mathbf{e}_1+v_2 mathbf{e}_2+ldots+v_n mathbf{e}_n$ в силу линейности функции получаем:

$begin{aligned}f(mathbf{v})&= f(v_1 mathbf{e}_1+ldots+v_n mathbf{e}_n)= v_1 f(mathbf{e}_1)+ldots+v_n f(mathbf{e}_n)= f(mathbf{e}_1)mathcal{E}_1(mathbf{v})+ ldots+ f(mathbf{e}_n)mathcal{E}_n(mathbf{v})=\[2pt] &=(f(mathbf{e}_1)mathcal{E}_1+ldots+ f(mathbf{e}_n)mathcal{E}_n)(mathbf{v})= (beta_1mathcal{E}_1+ ldots+beta_nmathcal{E}_n) (mathbf{v}),end{aligned}$

т.е. функция представлена в виде линейной комбинации $f=beta_1 mathcal{E}_1+ldots+beta_nmathcal{E}_n$ функций $mathcal{E}_1,mathcal{E}_2,ldots, mathcal{E}_n$ (числа $beta_i=f(mathbf{e}_i)$ — коэффициенты линейной комбинации). Следовательно, система ковекторов $mathcal{E}_1, mathcal{E}_2,ldots, mathcal{E}_n$ является базисом сопряженного пространства $V^{ast}$ и $dim{V^{ast}}=dim{V}$ (для конечномерного пространства ).

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Разложение вектора по базису

Связь между базисами

Типовые примеры

Векторное пространство: размерность и базис, разложение вектора по базису

Разложение вектора по базису

Связь между базисами

Размерность и базис линейного пространства

Определения размерности и базиса

Примеры базисов линейных пространств

Линейное (векторное) пространство

1. Понятие линейного пространства

2. Базис линейного пространства

3. Размерность линейного пространства

4. Замена базиса и преобразование координат

5. Изоморфизм линейных пространств

Размерность и базис линейного пространства

Определения размерности и базиса

Примеры базисов линейных пространств

Вам также может понравиться

Как найти родственника в европе

1024×768 cs go мыло как исправить

История прибоя как найти группу спецназа

Добавить комментарий Отменить ответ