Как найти базис пространства сопряженный данному

Чтобы оставить комментарий, необходимо авторизоваться.

Последние вопросы

(c) ChatGPT по русски 2023. Все права защищены. При обнаружении неправомерного контента пишите на [email protected]

Определение 10.1. Отображение f: L → R которое опрелено на линейном пространстве L и принимает действительные значения, называют линейной функцией (также линейной формой, линейным функционалом), если оно у довлев творяет двум условиям:

а) f(x + у) = f(x) + f(x), х,у ∈ L;

б) f(λx) = λf(x), х ∈ L,λ ∈ R.

Сравнив данное определение с определением 4.1 линейного оператора, увидим много общего. Бели рассматривать множе-ство действительных чисел как одномерное линейное простран-ство, то можно сказать, что линейная функция — это линейный оператор, пространство образов которого одномерно.

Выберем в линейном пространстве L некоторый базис е = (e₁ … е_n). Тогда для любого вектора х ∈ L с координатами х = (х₁; … х_n)^T

f(x) = f(x₁e₁ +… + x_ne_n) = xi₁f(e₁) + … + x_nf(e_n) =
a₁x₁ + … + a_nx_n = ax,

где a = (ai … an), a* = /(e*), i = 1, n. Поэтому линейная функция однозначно определяется своими значениями на базисных векторах. Наоборот, если функция /(ж) через координаты х вектора ж выражается в виде /(ж) = аж, то эта функция ли-нейная, а строка а составлена из значений этой функции на базисных векторах. Таким образом, между множеством линей-ных форм, заданных на линейном пространстве £, и строками длины п установлено взаимно однозначное соответствие.

Линейные формы можно складывать и умножать на действительные числа согласно правилам:

(f + g)(x)=f(x)+g(x), (λf)(x) = λf(x).

Введенные таким способом операции превращают множество линейных форм в пространстве L в линейное пространство. Это линейное пространство называют сопряженным пространством по отношению к линейному пространству L и обозначают L*.

Опираясь на базис е, выбранный в пространстве L, построим базис в сопряженном пространстве L*. Для каждого вектора e_i из базиса е рассмотрим линейную форму fⁱ, для которой fⁱ(е_i) = 1 и fⁱ(е_j)= 0 для всех векторов e_j, кроме е_i. Мы получим систему линейных форм f1, …, /” е С*. Покажем, что это линейно независимая система. Пусть некоторая линейная комбинация этих форм равна нулевой линейной форме / = aif1 +… + anfn = 0. Форма / на всех базисных векторах принимает нулевые значения. Но

Нулевые значения f на базисных векторах эквивалентны равенствам α_i = 0, i = 1,n, и поэтому система линейных форм f¹, …, fⁿ линейно независима.

Система линейных форм f¹, …, fⁿ является базисом в сопряженном пространстве. Действительно, так как это линейно независимая система линейных форм, то достаточно доказать, что любая линейная форма из L* является их линейной комбинацией. Выберем произвольную линейную форму f из L* и пусть а₁ …, а_n — значения формы f на базисных векторах. Эти значения однозначно определяют линейную форму. Но линейная комбинация f’ = a₁f_i +… + a_nf_n также является линейной формой, которая на базисных векторах принимает те же значения a₁, …, а_n. Значит, эти две линейные формы совпадают, и мы получаем равенство f = f’ = a₁f¹ +… + a_nfⁿ, т.е. разложение произвольно выбранной линейной формы по системе форм
f¹, …, fⁿ

Приведенное рассуждение показывает, что сопряженное пространство L* имеет ту же размерность, что и L. Построенный нами базис f¹, …, fⁿ зависит от выбора базиса е в пространстве L.

Определение 10.2. Базисы e₁, …, е_n и f¹, …, fⁿ линейного пространства L и сопряженного пространства L* называют биортогоналъными, или взаимными, если

Если базисы e₁, …, е_n и f¹, …, fⁿ взаимны, то координатами произвольной формы f в базисе f¹, …, fⁿ являются значения этой формы на векторах взаимного базиса e₁, …, е_n. При совместном рассмотрении линейного пространства L и сопряженного пространства L* элементы каждого из этих пространств называют векторами, но элементы сопряженного пространства L* именуют ковариантными векторами (ковекторами), а элементы из линейного пространства L — контравариантными векторами (или просто векторами). Координаты тех и других определяются преимущественно во взаимных базисах, при этом у координат контравариантных векторов индекс ставится вверху, а у ковариантных — внизу.

На запись f(x) можно смотреть двояко. Зафиксировав форму f, мы варьируем вектор x, получая всевозможные значения линейной формы. Но если мы зафиксируем вектор х и будем варьировать линейную форму f, то получим функцию, определенную на сопряженном пространстве L*. Нетрудно убедиться, что эта функция линейная, так как, согласно определению сум-мы линейных форм и произведения линейной формы на число,

(f + g)(x) = f(x) + g(x), (λf)(x) = λf(x)•

Итак, каждому вектору x ∈ L соответствует линейная форма на сопряженном пространстве L, или элемент двойного сопряженного пространства (L*)* = L**. Мы получаем отображение φ: L → L**. Несложно убедиться, что это отображение линейно и что оно инъективно. Из инъективности следует, что dimimφ = dimL = n. Но сопряженное пространство L* имеет ту же размерность, что и L, a dimL** = dimL* = dimL. Таким образом, размерность линейного подпространства imφ в L** совпадает с размерностью всего двойного сопряженного пространства. Значит, imφ = L** и отображение φ является изоморфизмом. Обратим внимание, что этот изоморфизм не связан с выбором какого-либо базиса. Поэтому естественно отождествить линейные формы, заданные на L*, с элемента-ми пространства L. Это означает, что двойное сопряженное пространство совпадает с исходным линейным пространством: L** = L. Если L* является сопряженным к L, то и L является сопряженным к L*.

Взаимность линейного пространства и сопряженного к нему пространства указывает на симметричность связи между векторами и ковекторами. Поэтому вместо записи f(x) более удобно использовать другую форму записи, симметричную: (f,x). Линейные формы мы также будем теперь обозначать полужирным курсивом: (f,x). Принятое обозначение похоже на обозначение скалярного произведения, но в отличие от последнего аргументы в новом обозначении берутся из разных пространств. Саму запись (f, x) можно рассматривать как запись отображения, определенного на множестве L*×L, которое паре из ковектора и вектора ставит в соответствие действительное число. При этом указанное отображение линейно по каждому из аргументов.

Теорема 10.1. Пусть b и с — два базиса n-мерного линейного пространства L,U — матрица перехода из b в с. Базисы b* и с* сопряженного пространства L*, взаимные с базисами b и с соответственно, связаны между собой соотношениями

c* = b*(U^T)^-1 Ь* =c*U^T

Координатами f^c = (f^c₁ … f^c_n) линейной формы f в базисе с* являются значения этой формы на векторах базиса с = (c₁ … c_n). Выясним, как связаны координаты формы f в двух базисах с* и b*.

Базисы b и с связаны между собой при помощи матрицы’ перехода матричным соотношением с = bU (см. 1.8). Это соотношение представляет собой равенство строк длины n, составленных из векторов. Из равенства строк векторов следует равенство строк значений линейной формы f на этих
векторах:

((f,c₁) … (f,c_n)) = ((f,b₁) … (f,b_n))U,

или

f^c = f^bU,

где f^b и f^c — обозначения строк координат формы f в базисах Ь* и с* соответственно. Транспонировав это равенство, мы получим принятую форму связи координат элементов линейного пространства, в которой координаты записываются по столбцам:

(f^c)^T = U^T(f^b)^T.

Это соотношение означает, что матрица U^T является матрицей перехода из базиса с*, играющего в формуле роль старого, в базис b*, играющий роль нового. Следовательно, b* = c*U^T, откуда умножением на матрицу (U^T)^-1 получаем с* = b*(U^T)^-1. ►

Бели линейное пространство L евклидово, то скалярное про-изведение порождает изоморфизм между L и l*, не зависящий от базиса, который позволяет отождествить евклидово про-странство с его сопряженным. Действительно, для любого вектора a ∈ L отображение x → (а,x) представляет собой линейную форму в L, так как скалярное произведение линейно по второму из своих аргументов. Возникает отображение ψ, которое вектору a ∈ L ставит в соответствие линейную форму f_a(x) — (а,x). Это отображение линейно в силу свойств скалярного произведения и инъективно. Инъективность следует из того, что если (а,x) = 0 для любого x ∈ L, то и (a,а) = 0, т.е. a = 0. Так как линейные пространства L и L* конечномерны и имеют одинаковые размерности, отображение ∈ биективно и реализует изоморфизм этих пространств. Итак, для евклидова пространства L* = L. В этом смысле евклидово пространство есть ” самосопряженное ” пространство.

1. Линейные операции над векторами

2. Базис. Cкалярное произведение

3. Векторное и смешанное произведения векторов

4. Декартова система координат. прямая на плоскости

5. Плоскость в пространстве

6. Прямая в пространстве

7. Кривые второго порядка — I

8. Кривые второго порядка — II

9. Поверхности второго порядка

10. Матрицы и операции с ними

11. Обратная матрица

12. Ранг матрицы

13. Системы линейных алгебраических уравнений

14. Свойства решений однородных и неоднородных СЛАУ

Пусть — -мерное линейное пространство с элементами Выберем в некоторый базис , . Тогда каждый элемент можно представить в виде

, (1)

Где — Компоненты элемента в базисе . Как известно, компоненты являются единственными и обладают следующими свойствами. Пусть и , а и — произвольные числа. Линейную комбинацию и с коэффициентами и , также являющуюся элементом , обозначим через , то есть

. (2)

Тогда:

, (3)

То есть компоненты элемента являются линейной комбинацией компонент элементов и с теми же коэффициентами. Иначе говоря, операция сопоставления компонент каждому элементу Линейна. Поскольку компоненты , … представляют собой упорядоченные совокупности чисел, то они являются элементами -мерного арифметического пространства . Формулы (1)-(3) показывают, что между элементами и имеется линейный изоморфизм.

Соотношение (1) позволяет по заданным компонентам и базису определить элемент . Очевидно, что важной является и обратная задача: по заданному и базису определить компоненты так, чтобы выполнялось (3).

Для решения этой задачи рассмотрим другое -мерное линейное пространство с элементами , , ,…. Предположим, что известен рецепт, позволяющий каждой паре и поставить в соответствие действительное число , причём должны выполняться следующие условия:

А) ,

Б) ,

В) Если при любом , то — нулевой элемент ;

если при любом , то — нулевой элемент .

Число называется Свёртком, а сама операция – свёртыванием. Пространства и называются сопряжёнными (дуальными), если для элементов определён свёрток, удовлетворяющий аксиомам а)-в).

Аксиомы а)-в) определяют свёрток, как абстрактную операцию. Её конструктивное определение можно задать, если известны конструктивные модели для и .

Пример 1.

Рассмотрим пространство полярных векторов и пространство ламеллярных векторов . Напомним, что полярный вектор определяется упорядоченной парой точек и , причём точка — общая для всех векторов. Ламеллярный вектор определяется упорядоченной парой параллельных плоскостей и (или прямых на плоскости), причём плоскость содержит фиксированную точку .

Пространства полярных и ламеллярных векторов сопряжены друг другу, если свёрток определить по следующему правилу:

А) Если и , то .

Б) Если , то есть коэффициент пропорциональности между отрезками и (см. рис. 36).

Точка и , и лежат на одной прямой . Кроме того, , если точки и лежат по одну сторону от плоскости , и в противном случае.

Пример 2.

Пространство линейных функций сопряжено к пространству, на котором определены эти функции, если свёрток .

Выберем в сопряжённом пространстве произвольный базис . С его помощью всякий элемент можно представить в виде, аналогичном (1), а именно:

, (4)

Где — компоненты элемента в базисе . Очевидно, что обладает такими же свойствами, как и .

Выбор базиса в каждом из линейных пространств и независим и произволен. Однако обычно базисы в сопряжённых пространствах выбирают так, чтобы

. (5)

Базисы, удовлетворяющие (5), называются Взаимными. Условия (5) не ограничивают выбора базиса в одном из сопряжённых пространств; однако, если в одном из них базис выбран, то эти условия фиксируют базис в другом однозначно.

Пример 3.

В пространстве полярных векторов выберем произвольный базис , , , определённый парами точек , , . Ламеллярный вектор взаимного базиса из сопряженного пространства определяется парой плоскостей и . Плоскость проходит через точку , и , а параллельная ей плоскость проходит через точку . Постройте векторы и .

Вычислим свёрток , используя разложение (1) и условие взаимности (5). Тогда

. (6)

Следовательно, чтобы найти компоненту элемента в базисе , необходимо вычислить свёрток этого элемента с базисным элементом сопряжённого пространства. Аналогично, если , то

. (7)

Рассмотрим свёрток произвольных элементов сопряжённых пространств, представляя каждый из них с помощью (1) и (4) соответственно. Тогда

. (8)

Последнее соотношение показывает, что при использовании взаимных базисов в спряжённых пространствах свёрток представляет собой Сумму Произведений одноимённых компонентов.

Задачи.

1. Пусть для пространства сопряжённым является пространство линейных функций. Для базиса

, , , (9)

Заданного в , постройте взаимный базис.

Решение.

Линейную функцию, определённую на представим в виде

, (10)

Где . Отсюда видно, что каждая линейная функция характеризуется набором чисел и наоборот, каждый набор определяет некоторую линейную функцию. Так как в этом случае свёрток , то взаимный базис , , найдём по формулам .

Вычислим составляющие элемента из системы

,

,

.

Отсюда . Аналогично, так как , , , , , , то , а .

2. Найти компоненты элемента в базисе (9).

Решение.

Компоненты элемента в базисе (9) удобно искать, зная взаимный базис , , . Тогда

,

,

И .

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Сопряженные и самосопряженные преобразования
(операторы) евклидова пространства

Пусть [math]mathcal{A}colon mathbb{E}to mathbb{E}[/math] — линейное преобразование (оператор) n-мерного евклидова пространства [math]mathbb{E}[/math]. Преобразование [math]mathcal{A}^{ast}colon mathbb{E}to mathbb{E}[/math] называется сопряженным преобразованию [math]mathcal{A}[/math], если для любых векторов [math]boldsymbol{x}[/math] и [math]boldsymbol{y}[/math] из пространства [math]mathbb{E}[/math] выполняется равенство

Свойства сопряженного преобразования (оператора)

1. Сопряженное преобразование (оператор) — линейное.

Докажем, например, однородность: [math]mathcal{A}^{ast}(lambda boldsymbol{y})= lambda mathcal{A}^{ast}(boldsymbol{y})~ forall lambdain mathbb{R}[/math]. Пусть [math](boldsymbol{e})= (boldsymbol{e}_1,ldots, boldsymbol{e}_n)[/math] — ортонормированный базис евклидова пространства [math]mathbb{E}[/math]. Тогда

[math]bigllangle boldsymbol{e}_1, mathcal{A}^{ast}(lambda boldsymbol{y})bigrrangle= bigllangle mathcal{A}(boldsymbol{e}_1), lambda boldsymbol{y}bigrrangle= lambda bigllangle mathcal{A}(boldsymbol{e}_1), boldsymbol{y}bigrrangle= lambda bigllangle boldsymbol{e}_1, mathcal{A}^{ast}(boldsymbol{y})bigrrangle= bigllangle boldsymbol{e}_1, lambda mathcal{A}^{ast}(boldsymbol{y})bigrrangle,[/math]

т.е. первые координаты векторов [math]mathcal{A}^{ast}(lambda boldsymbol{y})[/math] и [math]lambda mathcal{A}^{ast}(boldsymbol{y})[/math] равны. Аналогично показывается, что равны и остальные координаты этих векторов. Значит, это равные векторы. Аддитивность сопряженного преобразования доказывается аналогично.

2. Для каждого линейного преобразования существует единственное сопряженное преобразование, причем матрица сопряженного преобразования (в любом ортонормированном базисе) является транспонированной по отношению к матрице данного преобразования (в том же базисе).

Пусть в ортонормированном базисе [math](boldsymbol{e})= (boldsymbol{e}_1,ldots, boldsymbol{e}_n)[/math] преобразование [math]mathcal{A}[/math] имеет матрицу [math]A[/math]. Рассмотрим преобразование [math]mathcal{A}'[/math], которое в данном базисе имеет матрицу [math]A^T[/math]. Для координатных столбцов [math]x,,y[/math] любых векторов [math]boldsymbol{x},,boldsymbol{y}[/math] имеем равенство [math]bigllangle Ax,ybigrlangle= x^TA^Ty= bigllangle x,A^Tybigrrangle[/math]. Следовательно, [math]bigllangle mathcal{A} (boldsymbol{x}),boldsymbol{y}bigrrangle= bigllangle boldsymbol{x}, mathcal{A}’ (boldsymbol{y})bigrrangle[/math], т.е. согласно (9.21) преобразование [math]mathcal{A}'[/math] — сопряженное: [math]mathcal{A}’=mathcal{A}^{ast}[/math]. Итак, сопряженное преобразование существует и его матрица в любом ортонормированном базисе является транспонированной [math]A^T[/math] по отношению к матрице данного преобразования. Отсюда также следует единственность, так как транспонированная матрица находится однозначно.

3. Если [math]L[/math] — подпространство, инвариантное относительно линейного преобразования [math]mathcal{A}colon mathbb{E}to mathbb{E}[/math], то его ортогональное дополнение [math]L^{perp}[/math] является инвариантным подпространством относительно сопряженного преобразования [math]mathcal{A}^{ast}[/math].

Действительно, покажем, что образ [math]mathcal{A}^{ast}(boldsymbol{y})[/math] любого вектора [math]boldsymbol{y}in L^{perp}[/math] ортогонален любому вектору [math]boldsymbol{x}in L[/math], то есть [math]mathcal{A}^{ast}(boldsymbol{y})in L^{perp}[/math]. Учитывая, что [math]mathcal{A}(boldsymbol{x})in L[/math], по определению (9.21) получаем [math]bigllangle boldsymbol{x}, mathcal{A}^{ast}(boldsymbol{y})bigrrangle= bigllangle mathcal{A} (boldsymbol{x}), boldsymbol{y}bigrrangle=0[/math], что и требовалось доказать.

---

Замечания 9.8

1. Из второго свойства следует, что на сопряженные преобразования переносятся свойства транспонированных матриц. В частности: [math]bigl(mathcal{A}^{ast}bigr)^{ast}= mathcal{A},[/math] [math]bigl(mathcal{A}mathcal{B}bigr)^{ast}= mathcal{B}^{ast} mathcal{A}^{ast}[/math], а также [math]bigl(mathcal{A}^{-1} bigr)^{ast}= bigl(mathcal{A}^{ast}bigr)^{-1}[/math] для обратимого преобразования.

2. Матрица [math]A^{ast}[/math] сопряженного преобразования [math]mathcal{A}^{ast}[/math] в произвольном (неортонормированном) базисе связана с матрицей [math]A[/math] преобразования [math]mathcal{A}[/math] следующей формулой

[math]A^{ast}=G^{-1}cdot A^Tcdot G[/math], где [math]G[/math] — матрица Грама данного базиса.

3. Условие ортогональности преобразования [math]mathcal{A}[/math] (см. свойство 2) можно представить в виде [math]mathcal{A}^{ast}= mathcal{A}^{-1}[/math].

---

Самосопряженные преобразования (операторы) евклидова пространства

Линейное преобразование (оператора) [math]mathcal{A}colon mathbb{E}to mathbb{E}[/math] n-мерного евклидова пространства [math]mathbb{E}[/math] называется самосопряженным, если оно является сопряженным самому себе, а именно [math]mathcal{A}^{ast}=mathcal{A}[/math], то есть [math]bigllangle mathcal{A}(boldsymbol{x}),boldsymbol{y}bigrrangle= bigllangle boldsymbol{x}, mathcal{A}(boldsymbol{y})bigrrangle[/math] для любых векторов [math]boldsymbol{x}[/math] и [math]boldsymbol{y}[/math] из пространства [math]mathbb{E}[/math].

Например, самосопряженными преобразованиями (операторами) являются нулевое преобразование [math]mathcal{O}[/math] и тождественное [math]mathcal{E}[/math].

Свойства самосопряженного преобразования

1. Матрица [math]A[/math] самосопряженного преобразования в любом ортонормированием базисе является симметрической [math](A^T=A)[/math], и наоборот, если в каком-либо ортонормированием базисе матрица преобразования симметрическая, то это преобразование самосопряженное.

2. Все корни характеристического уравнения самосопряженного преобразования действительные.

В самом деле, предположим противное, а именно существование пары комплексных сопряженных корней [math]lambda=alphapmbeta i,~betane0[/math]. По теореме 9.4 преобразование имеет двумерное инвариантное подпространство с линейно независимыми образующими [math]boldsymbol{x}[/math] и [math]boldsymbol{y}[/math], удовлетворяющими системе (9.19), которая следует из (9.7):

[math]begin{cases} mathcal{A}(boldsymbol{x})=alphacdot boldsymbol{x}- betacdot boldsymbol{y},\ mathcal{A}(boldsymbol{y})= betacdot boldsymbol{x}+ alphacdot boldsymbol{y}. end{cases}[/math]

Найдем скалярные произведения:

[math]bigllangle mathcal{A}(boldsymbol{x}), boldsymbol{y}bigrrangle= alphacdot langle boldsymbol{x}, boldsymbol{y}rangle- betacdot |boldsymbol{y}|^2,quad bigllangle boldsymbol{x}, mathcal{A}(boldsymbol{y})bigrrangle= alphacdot |boldsymbol{x}|^2+ alphacdot langle boldsymbol{x}, boldsymbol{y}rangle.[/math]

Левые части равенств совпадают из-за самосопряженности преобразования [math]mathcal{A}[/math]. Значит, равны и правые части:

[math]alphacdot langle boldsymbol{x}, boldsymbol{y}rangle- betacdot |boldsymbol{y}|^2= alphacdot |boldsymbol{x}|^2+ alphacdot langle boldsymbol{x}, boldsymbol{y}rangle.[/math]

Отсюда [math]betabigl( |boldsymbol{x}|^2+ |boldsymbol{y}|^2 bigr)=0[/math]. Поскольку [math]betane 0[/math], то [math]boldsymbol{x}= boldsymbol{y}= boldsymbol{o}[/math], что противоречит линейной независимости векторов [math]boldsymbol{x}[/math] и [math]boldsymbol{y}[/math].

3. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям самосопряженного преобразования, ортогональны.

Действительно, пусть [math]mathcal{A}(boldsymbol{x})=lambda boldsymbol{x}[/math] и [math]mathcal{A}(boldsymbol{y})= lambda_2 boldsymbol{y}[/math]. Тогда [math]bigllangle mathcal{A}(boldsymbol{x}), boldsymbol{y}bigrrangle= lambda_1 bigllangle boldsymbol{x}, boldsymbol{y}bigrrangle[/math] и [math]bigllangle boldsymbol{x}, mathcal{A}(boldsymbol{y}) bigrrangle= lambda_2 bigllangle boldsymbol{x}, boldsymbol{y} bigrrangle[/math]. Так как

[math]bigllangle mathcal{A}(boldsymbol{x}), boldsymbol{y} bigrrangle= bigllangle boldsymbol{x}, mathcal{A}(boldsymbol{y}) bigrrangle[/math], то [math]lambda_1bigllangle boldsymbol{x}, boldsymbol{y}bigrrangle= lambda_2 bigllangle boldsymbol{x}, boldsymbol{y} bigrranglequad Leftrightarrowquad (lambda_1-lambda_2)bigllangle boldsymbol{x}, boldsymbol{y} bigrrangle=0.[/math].

Отсюда [math]bigllangle boldsymbol{x}, boldsymbol{y}bigrrangle=0[/math], так как [math]lambda_1ne lambda_2[/math]. Значит, собственные векторы [math]boldsymbol{x}[/math] и [math]boldsymbol{y}[/math] ортогональны.

4. Если [math]L[/math] — подпространство, инвариантное относительно самосопряженного преобразования [math]mathcal{A}colon mathbb{E}to mathbb{E}[/math], то его ортогональное дополнение [math]L^{perp}[/math] также инвариантно относительно преобразования [math]mathcal{A}[/math].

Это следует из свойства 3 сопряженных преобразований (см. выше).

---

Теорема (9.10) о диагонализируемости самосопряженного преобразования (оператора). Для всякого самосопряженного преобразования [math]mathcal{A}colon mathbb{E}to mathbb{E}[/math] n-мерного евклидова пространства [math]mathbb{E}[/math] существует ортонормированный базис (из собственных векторов), в котором матрица преобразования имеет диагональный вид

где [math]lambda_1, lambda_2, ldots,lambda_n[/math] — собственные значения преобразования [math]mathcal{A}[/math], повторенные в соответствии с их кратностью.

Диагональный вид (9.22) называется также каноническим видом самосопряженного преобразования (оператора), а базис, в котором матрица имеет вид (9.22), — каноническим.

Для доказательства теоремы 9.10 нужно показать, что если существует ортонормированный базис евклидова пространства [math]mathbb{E}[/math], состоящий из собственных векторов преобразования, тогда оно приводится к диагональному виду (см. разд. 9.5.1). Действительно, для собственного значения [math]lambda_1[/math] найдем единичный собственный вектор [math]s_1[/math]. Представим евклидово пространство в виде прямой суммы [math]mathbb{E}= L_1oplus L_1^{perp}[/math], где [math]L_1=operatorname{Lin}boldsymbol{s}_1[/math] — одномерное инвариантное подпространство. Сужение преобразования [math]mathcal{A}[/math] (по свойству 4) на инвариантное подпространство [math]L_1^{perp}[/math] является самосопряженным. Поэтому в [math]L_1^{perp}[/math] можно найти одномерное инвариантное подпространство [math]L_2=operatorname{Lin}boldsymbol{s}_2[/math], где [math]boldsymbol{s}_2[/math] — собственный вектор, перпендикулярный [math]boldsymbol{s}_1[/math]. Продолжая аналогичным образом, получим [math]mathbb{E}= L_1oplus ldotsoplus L_n[/math], где [math]L_j=operatorname{Lin} boldsymbol{s}_j[/math] — одномерное инвариантное подпространство, причем базис [math]boldsymbol{s}_1, boldsymbol{s}_2,ldots, boldsymbol{s}_n[/math] из собственных векторов ортогональный, а после нормировки — ортонормированный.

---

Положительные и неотрицательные преобразования евклидовых пространств

Самосопряженное преобразование называется положительным (неотрицательным), если [math]bigllangle mathcal{A}(boldsymbol{x}),boldsymbol{x}bigrrangle>0[/math] для любого ненулевого вектора [math]boldsymbol{x}in mathbb{E}[/math] (соответственно [math]bigllangle mathcal{A}(boldsymbol{x}), boldsymbol{x} bigrranglegeqslant0[/math] для любого вектора [math]boldsymbol{x}in mathbb{E}[/math]).

Эти понятия связаны с положительностью (неотрицательностью) симметрических матриц и квадратичных форм. Действительно, запишем неравенство [math]bigllangle mathcal{A} (boldsymbol{x}), boldsymbol{x}bigrrangle geqslant0[/math] в координатной форме (в ортонормированием базисе). Учитывая, что [math]bigllangle mathcal{A}(boldsymbol{x}), boldsymbol{x}bigrrangle= bigllangle A}x,xbigrrangle= x^TA^Tx=x^TAx[/math], получаем [math]x^Taxgeqslant0[/math] дня любого столбца [math]xin mathbb{R}^n[/math], что совпадает с определением неотрицательности квадратичной формы [math]x^TAx[/math].

Отметим следующие свойства положительных и неотрицательных преобразований (операторов).

1. Преобразование [math]mathcal{A}[/math] положительно (неотрицательно) тогда и только тогда, когда все его собственные значения положительные (неотрицательные).

2. Для любого неотрицательного (положительного) преобразования (оператора) [math]mathcal{A}[/math] существует такое единственное неотрицательное (положительное) преобразование [math]mathcal{B}[/math], что [math]mathcal{B}^2=mathcal{A}[/math].

Действительно, в каноническом базисе [math](boldsymbol{s})=(boldsymbol{s}_1,ldots, boldsymbol{s}_n)[/math] матрица преобразования [math]mathcal{A}[/math] имеет диагональный вид (9.22). Преобразование [math]mathcal{B}[/math] определяем его матрицей в базисе [math](boldsymbol{s})[/math], полагая [math]B=operatorname{diag} bigl(sqrt{lambda_1}, ldots, sqrt{lambda_n} bigr)[/math]. Тогда [math]B^2=A[/math].

3. Преобразования (операторы) [math]mathcal{A}^{ast}mathcal{A}[/math] и [math]mathcal{A} mathcal{A}^{ast}[/math] являются самосопряженными неотрицательными (положительными) для любого (невырожденного) преобразования (оператора) [math]mathcal{A}[/math].

---

Теорема (9.11) о разложении невырожденного линейного преобразования (оператора). Любое невырожденное линейное преобразование (оператор) [math]mathcal{A}colon mathbb{E}to mathbb{E}[/math] n-мерного евклидова пространства [math]mathbb{E}[/math] можно представить в виде композиции положительного самосопряженного преобразования и ортогонального преобразования.

Действительно, рассмотрим самосопряженное положительное преобразование [math]mathcal{D}= mathcal{A}^{ast} mathcal{A}[/math] (см. свойство 3). Для него существует такое положительное самосопряженное преобразование [math]mathcal{S}[/math], что [math]mathcal{D}= mathcal{S} mathcal{S}= mathcal{S}^{ast} mathcal{S}[/math] (свойство 2). Рассмотрим преобразование [math]mathcal{B}= mathcal{A}mathcal{S}^{-1}[/math]. Это преобразование ортогональное (см. пункт 3 замечаний 9.8), так как

[math]mathcal{B}^{ast}mathcal{B}= bigl(mathcal{S}^{-1}bigr)^{ast} underbrace{mathcal{A}^{ast} mathcal{A}}_{mathcal{D}} mathcal{S}^{-1}= bigl(mathcal{S}^{-1}bigr)^{ast} underbrace{mathcal{S}^{ast} mathcal{S}}_{mathcal{D}} mathcal{S}^{-1}= underbrace{bigl( mathcal{S} mathcal{S}^{-1}bigr)^{ast}}_{mathcal{E}} underbrace{mathcal{S} mathcal{S}^{-1}}_{mathcal{E}}= mathcal{E}.[/math]

Следовательно, [math]mathcal{A}= mathcal{S} mathcal{B}[/math] — композиция положительного самосопряженного и ортогонального преобразований.

---

Замечания 9.9

1. Из теоремы 9.10 следует, что для любой действительной симметрической матрицы [math]A[/math] существует диагональная матрица [math]Lambda= operatorname{diag} (lambda_1,ldots, lambda_n)[/math] (с собственными числами матрицы [math]A[/math] на главной диагонали) и ортогональная матрица [math]S~(S^T=S^{-1})[/math], что [math]Lambda=S^TAS[/math].

2. Всякое обратимое самосопряженное преобразование (оператор) можно представить как композицию растяжений (с коэффициентами, равными собственным числам [math]lambda_1,ldots, lambda_n[/math]) вдоль взаимно перпендикулярных направлений (задаваемых ортонормированным базисом [math]boldsymbol{s}_1,ldots, boldsymbol{s}_n[/math] из собственных векторов). Растяжение с отрицательным коэффициентом [math]lambda_1<0[/math] понимается как композиция зеркального отражения и растяжения с коэффициентом [math]|lambda_1|[/math].

3. Теорема 9.11 справедлива для любого линейного преобразования, если условие положительности самосопряженного преобразования заменить условием его неотрицательности.

4. Геометрический смысл теоремы 9.11 следующий: любое невырожденное линейное преобразование можно представить как композицию преобразований, каждое из которых есть либо простое отражение (относительно гиперплоскости), либо простой поворот (двумерной плоскости), либо растяжение вдоль взаимно перпендикулярных направлений.

---

Приведение самосопряженного преобразования (оператора) к диагональному виду

Пусть в некотором ортонормированием базисе [math](boldsymbol{e})= (boldsymbol{e}_1,ldots, boldsymbol{e}_n)[/math] самосопряженное преобразование [math]mathcal{A}colon mathbb{E}to mathbb{E}[/math] имеет матрицу [math]A[/math]. Требуется найти базис [math](boldsymbol{s})= (boldsymbol{s}_1,ldots, boldsymbol{s}_n)[/math], в котором матрица преобразования имеет диагональный вид (9.22). Для решения задачи нужно выполнить следующие действия.

Нахождение диагонального вида матрицы самосопряженного преобразования (первый этап).

1. Составить характеристическое уравнение [math]det(A-lambda E)=0[/math], найти его корни [math]lambda_1,ldots,lambda_n[/math] и их алгебраические кратности [math]n_1,ldots,n_k,~ n_1+ldots+ n_k=n[/math].

2. Составить искомую диагональную матрицу (9.22):

[math]Lambda= operatorname{diag} bigl(underbrace{lambda_1,ldots,lambda_1}_{n_1},, underbrace{lambda_2,ldots,lambda_2}_{n_2},,ldots, underbrace{lambda_k,ldots,lambda_k}_{n_k} bigr).[/math]

Нахождение матрицы [math]S[/math] перехода от данного базиса [math](boldsymbol{e})[/math] к каноническому базису [math](boldsymbol{s})[/math] (второй этап).

3. Для корня [math]lambda_1[/math] кратности [math]n_1[/math] найти фундаментальную систему [math]varphi_1,ldots,varphi_{n_1}[/math] решений однородной системы [math](A-lambda_1 E)x=o[/math]. Столбцы [math]varphi_1,ldots,varphi_{n_1}[/math] ортогонализировать и нормировать. Получим [math]n_1[/math] столбцов [math]s_1,ldots,s_{n_1}[/math].

4. Записать полученные столбцы [math]s_1,ldots,s_{n_1}[/math] в первые [math]n_1[/math] столбцов матрицы [math]S[/math].

Выполнить пункты 3, 4 для остальных собственных значений [math]lambda_2,ldots, lambda_k[/math], добавляя полученные столбцы в матрицу [math]S[/math]. В результате получим искомую матрицу перехода: [math](boldsymbol{s})=(boldsymbol{e})S[/math].

Пример 9.6. Самосопряженное преобразование [math]mathcal{A}colon mathbb{E}to mathbb{E}[/math] в ортонормированном базисе [math]boldsymbol{e}_1, boldsymbol{e}_2, boldsymbol{e}_3[/math] имеет матрицу [math]A=begin{pmatrix} 1&1&1\ 1&1&1\ 1&1&1 end{pmatrix}[/math]. Привести это преобразование к диагональному виду, т.е. найти ортонормированный базис [math]boldsymbol{s}_1, boldsymbol{s}_2, boldsymbol{s}_3[/math], в котором матрица преобразования имеет диагональный вид (9.22), и найти эту диагональную матрицу.

Решение

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.