Как найти базис системы строк

Алгоритм нахождения базиса системы векторов

Для того чтобы найти базис системы векторов A_v А₂. А , необходимо:

1) составить соответствующую системе векторов однородную систему уравнений

2) привести эту систему к равносильной разрешенной системе вида

• 3) записать базис системы векторов Б = (А_рА₂, . А ), включив в него векторы, соответствующие разрешенным неизвестным;
• 4) записать разложения векторов по базису; коэффициентами разложения вектора А. по этому базису являются координаты соответствующего вектора

в разрешенной системе уравнений, т.е.

Система векторов, состоящая из п векторов, ранг которой равен г, может иметь несколько базисов. Число возможных базисов системы векторов определяется как число меньшее или равное числу сочетаний из п по г.

Пример 3.3. Найти ранг и базис системы векторов

разложения векторов по базису, перейти к новому базису и найти число возможных базисов системы.

Решение. Составим систему уравнений A _t ay + А₂х₂ + . + А„х_п = 0, которая в координатной записи имеет вид

Приведение данной системы уравнений с помощью преобразований Жордана к равносильной разрешенной приведено в ниже следующей таблице.

Разрешенная система имеет вид

В базис системы векторов включаем 1-й и 2-й векторы Б_: = (A_VA₂), которые соответствуют разрешенным неизвестным х₁ и х₂. Ранг системы векторов равен числу векторов, вошедших в базис, т.е. г = 2.

Запишем разложения векторов по базису. Коэффициентами разложения вектора А₃ являются координаты вектора А’₃ = (3, -2), т.е. коэффициенты при х₃ в разрешенной системе уравнений (в последних трех строках таблицы), они образуют столбец, расположенный под х₃ А₃ = ЗЛ₁ – 2А_г Аналогично, коэффициентами разложения вектора А₄ являются координаты вектора А’₄ = (4, 1) А₄ = 4А_у + 1 А_т

Для нахождения нового базиса необходимо выбрать новый разрешающий элемент. Пусть этим элементом будет элемент я₉₄ = 1.

Как найти базис данной системы векторов

Определение базиса.Система векторов образует базис, если:

1) она линейно-независима,

2) любой вектор пространства через нее линейно выражается.

Пример 1.Базис пространства : .

2. В системе векторов базисом являются векторы: , т.к. линейно выражается через векторы .

Замечание.Чтобы найти базис данной системы векторов необходимо:

1) записать координаты векторов в матрицу,

2) с помощью элементарных преобразований привести матрицу к треугольному виду,

3) ненулевые строки матрицы будут являться базисом системы,

4) количество векторов в базисе равно рангу матрицы.

Теорема Кронекера-Капелли

Теорема Кронеккера–Капелли дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности произвольной системы линейных уравнений с неизвестными

Теорема Кронеккера–Капелли. Система линейных алгебраических урав­нений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы, .

Алгоритм отыскания всех решений совместной системы линейных уравнений вытекает из теоремы Кронеккера–Капелли и следующих теорем.

Теорема. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Алгоритм решения произвольной системы линейных уравнений:

1. Найдем ранги основной и расширенной матриц системы. Если они не равны ( ), то система несовместна (не имеет решений). Если ранги равны ( , то система совместна.

2. Для совместной системы найдем какой-нибудь минор, порядок которого определяет ранг матрицы (такой минор называют базисным). Составим новую систему из уравнений, в которых коэффициенты при неизвестных, входят в базисный минор (эти неизвестные называют главными неизвестными), остальные уравнения отбросим. Главные неизвестные с коэффициентами оставим слева, а остальные неизвестных (их называют свободными неизвестными) перенесем в правую часть уравнений.

3. Найдем выражения главных неизвестных через свободные. Получаем общее решение системы.

4. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения главных неизвестных. Таким образомнаходим частные решения исходной системы уравнений.

Линейное программирование. Основные понятия

Линейное программирование – это направление математического программирования, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием.

Необходимым условием постановки задачи линейного программирования являются ограничения на наличие ресурсов, величину спроса, производственную мощность предприятия и другие производственные факторы.

Сущность линейного программирования состоит в нахождении точек наибольшего или наименьшего значения некоторой функции при определенном наборе ограничений, налагаемых на аргументы и образующихсистему ограничений, которая имеет, как правило, бесконечное множество решений. Каждая совокупность значений переменных (аргументов функции F), которые удовлетворяют системе ограничений, называетсядопустимым планом задачи линейного программирования. Функция F, максимум или минимум которой определяется, называется целевой функцией задачи. Допустимый план, на котором достигается максимум или минимум функции F, называется оптимальным планом задачи.

Система ограничений, определяющая множество планов, диктуется условиями производства. Задачей линейного программирования (ЗЛП) является выбор из множества допустимых планов наиболее выгодного (оптимального).

В общей постановке задача линейного программирования выглядит следующим образом:

Имеются какие-то переменные х = (х₁ , х₂ , … х_n ) и функция этих переменных f(x) = f (х₁ , х₂ , … х_n ), которая носит название целевой функции. Ставится задача: найти экстремум (максимум или минимум) целевой функции f(x) при условии, что переменные x принадлежат некоторой области G:

В зависимости от вида функции f(x) и области G и различают разделы математического программирования: квадратичное программирование, выпуклое программирование, целочисленное программирование и т.д. Линейное программирование характеризуется тем, что
а) функция f(x) является линейной функцией переменных х₁ , х₂ , … х_n
б) область G определяется системой линейных равенств или неравенств.

Математическая модель любой задачи линейного программирования включает в себя:

Векторное пространство: размерность и базис, разложение вектора по базису

В статье о n -мерных векторах мы пришли к понятию линейного пространства, порождаемого множеством n -мерных векторов. Теперь нам предстоит рассмотреть не менее важные понятия, такие как размерность и базис векторного пространства. Они напрямую связаны с понятием линейно независимой системы векторов, так что дополнительно рекомендуется напомнить себе основы и этой темы.

Введем некоторые определения.

Размерность векторного пространства – число, соответствующее максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.

Базис векторного пространства – совокупность линейно независимых векторов, упорядоченная и в своей численности равная размерности пространства.

Рассмотрим некое пространство n -векторов. Размерность его соответственно равна n . Возьмем систему из n -единичных векторов:

e ( 1 ) = ( 1 , 0 , . . . , 0 ) e ( 2 ) = ( 0 , 1 , . . . , 0 ) e ( n ) = ( 0 , 0 , . . . , 1 )

Используем эти векторы в качестве составляющих матрицы A : она будет являться единичной с размерностью n на n . Ранг этой матрицы равен n . Следовательно, векторная система e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) является линейно независимой. При этом к системе невозможно добавить ни одного вектора, не нарушив ее линейной независимости.

Так как число векторов в системе равно n , то размерность пространства n -мерных векторов равна n , а единичные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) являются базисом указанного пространства.

Из полученного определения сделаем вывод: любая система n -мерных векторов, в которой число векторов меньше n , не является базисом пространства.

Если мы поменяем местами первый и второй вектор, получим систему векторов e ( 2 ) , e ( 1 ) , . . . , e ( n ) . Она также будет являться базисом n -мерного векторного пространства. Составим матрицу, взяв за ее строки векторы полученной системы. Матрица может быть получена из единичной матрицы перестановкой местами первых двух строк, ранг ее будет равен n . Система e ( 2 ) , e ( 1 ) , . . . , e ( n ) линейно независима и является базисом n -мерного векторного пространства.

Переставив местами в исходной системе другие векторы, получим еще один базис.

Мы можем взять линейно независимую систему неединичных векторов, и она также будет представлять собой базис n -мерного векторного пространства.

Векторное пространство с размерностью n имеет столько базисов, сколько существует линейно независимых систем из n -мерных векторов числом n.

Плоскость является двумерным пространством – ее базисом будут два любых неколлинеарных вектора. Базисом трехмерного пространства послужат три любых некомпланарных вектора.

Рассмотрим применение данной теории на конкретных примерах.

Исходные данные: векторы

a = ( 3 , – 2 , 1 ) b = ( 2 , 1 , 2 ) c = ( 3 , – 1 , – 2 )

Необходимо определить, являются ли указанные векторы базисом трехмерного векторного пространства.

Решение

Для решения поставленной задачи исследуем заданную систему векторов на линейную зависимость. Составим матрицу, где строки – координаты векторов. Определим ранг матрицы.

A = 3 2 3 – 2 1 – 1 1 2 – 2 A = 3 – 2 1 2 1 2 3 – 1 – 2 = 3 · 1 · ( – 2 ) + ( – 2 ) · 2 · 3 + 1 · 2 · ( – 1 ) – 1 · 1 · 3 – ( – 2 ) · 2 · ( – 2 ) – 3 · 2 · ( – 1 ) = = – 25 ≠ 0 ⇒ R a n k ( A ) = 3

Следовательно, заданные условием задачи векторы линейно независимы, и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом векторного пространства.

Ответ: указанные векторы являются базисом векторного пространства.

Исходные данные: векторы

a = ( 3 , – 2 , 1 ) b = ( 2 , 1 , 2 ) c = ( 3 , – 1 , – 2 ) d = ( 0 , 1 , 2 )

Необходимо определить, может ли указанная система векторов являться базисом трехмерного пространства.

Решение

Указанная в условии задачи система векторов является линейно зависимой, т.к. максимальное число линейно независимых векторов равно 3. Таким образом, указанная система векторов не может служить базисом трехмерного векторного пространства. Но стоит отметить, что подсистема исходной системы a = ( 3 , – 2 , 1 ) , b = ( 2 , 1 , 2 ) , c = ( 3 , – 1 , – 2 ) является базисом.

Ответ: указанная система векторов не является базисом.

Исходные данные: векторы

a = ( 1 , 2 , 3 , 3 ) b = ( 2 , 5 , 6 , 8 ) c = ( 1 , 3 , 2 , 4 ) d = ( 2 , 5 , 4 , 7 )

Могут ли они являться базисом четырехмерного пространства?

Решение

Cоставим матрицу, используя в качестве строк координаты заданных векторов

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

По методу Гаусса определим ранг матрицы:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 – 1 1 0 1 – 2 1

1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 – 1 – 1 0 0 – 2 – 1

1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 – 1 – 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k ( A ) = 4

Следовательно, система заданных векторов линейно независима и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом четырехмерного векторного пространства.

Ответ: заданные векторы являются базисом четырехмерного пространства.

Исходные данные: векторы

a ( 1 ) = ( 1 , 2 , – 1 , – 2 ) a ( 2 ) = ( 0 , 2 , 1 , – 3 ) a ( 3 ) = ( 1 , 0 , 0 , 5 )

Составляют ли они базис пространства размерностью 4?

Решение

Исходная система векторов линейно независима, но численность векторов в ней недостаточна, чтобы стать базисом четырехмерного пространства.

Ответ: нет, не составляют.

Разложение вектора по базису

Примем, что произвольные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) являются базисом векторного n-мерного пространства. Добавим к ним некий n -мерный вектор x → : полученная система векторов станет линейно зависимой. Свойства линейной зависимости гласят, что хотя бы один из векторов такой системы может линейно выражаться через остальные. Переформулируя это утверждение, можно говорить о том, что хотя бы один из векторов линейно зависимой системы может раскладываться по остальным векторам.

Таким образом, мы пришли к формулировке важнейшей теоремы:

Любой вектор n -мерного векторного пространства единственным образом раскладывается по базису.

Докажем эту теорему:

зададим базис n -мерного векторного пространства – e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) . Сделаем систему линейно зависимой, добавив к ней n -мерный вектор x → . Этот вектор может быть линейно выражен через исходные векторы e :

x = x 1 · e ( 1 ) + x 2 · e ( 2 ) + . . . + x n · e ( n ) , где x 1 , x 2 , . . . , x n – некоторые числа.

Теперь докажем, что такое разложение является единственным. Предположим, что это не так и существует еще одно подобное разложение:

Отнимем от левой и правой частей этого равенства соответственно левую и правую части равенства x = x 1 · e ( 1 ) + x 2 · e ( 2 ) + . . . + x n · e ( n ) . Получим:

1 – x 1 ) · e ( 1 ) + ( x

2 – x 2 ) · e ( 2 ) + . . . ( x

Система базисных векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) линейно независима; по определению линейной независимости системы векторов равенство выше возможно только тогда, когда все коэффициенты ( x

2 – x 2 ) , . . . , ( x

n – x n ) будут равны нулю. Из чего справедливым будет: x 1 = x

n . И это доказывает единственный вариант разложения вектора по базису.

При этом коэффициенты x 1 , x 2 , . . . , x n называются координатами вектора x → в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) .

Доказанная теория делает понятным выражение «задан n -мерный вектор x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) »: рассматривается вектор x → n -мерного векторного пространства, и его координаты заданы в некотором базисе. При этом также понятно, что этот же вектор в другом базисе n -мерного пространства будет иметь другие координаты.

Рассмотрим следующий пример: допустим, что в некотором базисе n -мерного векторного пространства задана система из n линейно независимых векторов

e ( 1 ) = ( e 1 ( 1 ) , e 2 ( 1 ) , . . . , e n ( 1 ) ) e ( 2 ) = ( e 1 ( 2 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( 2 ) ) ⋮ e ( n ) = ( e 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , e n ( n ) )

а также задан вектор x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) .

Векторы e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) в этом случае также являются базисом этого векторного пространства.

Предположим, что необходимо определить координаты вектора x → в базисе e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) , обозначаемые как x

Вектор x → будет представлен следующим образом:

2 · e ( 2 ) + . . . + x

Запишем это выражение в координатной форме:

( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x

1 · ( e ( 1 ) 1 , e ( 1 ) 2 , . . . , e ( 1 ) n ) + x

2 · ( e ( 2 ) 1 , e ( 2 ) 2 , . . . , e ( 2 ) n ) + . . . + + x

n · ( e ( n ) 1 , e ( n ) 2 , . . . , e ( n ) n ) = = ( x

2 e 1 ( 2 ) + . . . + x

2 e 2 ( 2 ) + + . . . + x

n e 2 ( n ) , . . . , x

2 e n ( 2 ) + . . . + x

Полученное равенство равносильно системе из n линейных алгебраических выражений с n неизвестными линейными переменными x

n e 2 n ⋮ x n = x

Матрица этой системы будет иметь следующий вид:

e 1 ( 1 ) e 1 ( 2 ) ⋯ e 1 ( n ) e 2 ( 1 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e 2 ( n ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n ( 1 ) e n ( 2 ) ⋯ e n ( n )

Пусть это будет матрица A , и ее столбцы – векторы линейно независимой системы векторов e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) . Ранг матрицы – n , и ее определитель отличен от нуля. Это свидетельствует о том, что система уравнений имеет единственное решение, определяемое любым удобным способом: к примеру, методом Крамера или матричным методом. Таким образом мы сможем определить координаты x

n вектора x → в базисе e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) .

Применим рассмотренную теорию на конкретном примере.

Исходные данные: в базисе трехмерного пространства заданы векторы

e ( 1 ) = ( 1 , – 1 , 1 ) e ( 2 ) = ( 3 , 2 , – 5 ) e ( 3 ) = ( 2 , 1 , – 3 ) x = ( 6 , 2 , – 7 )

Необходимо подтвердить факт, что система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) также служит базисом заданного пространства, а также определить координаты вектора х в заданном базисе.

Решение

Система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) будет являться базисом трехмерного пространства, если она линейно независима. Выясним эту возможность, определив ранг матрицы A , строки которой – заданные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) .

Используем метод Гаусса:

A = 1 – 1 1 3 2 – 5 2 1 – 3

1 – 1 1 0 5 – 8 0 3 – 5

1 – 1 1 0 5 – 8 0 0 – 1 5

R a n k ( A ) = 3 . Таким образом, система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) линейно независима и является базисом.

Пусть в базисе вектор x → имеет координаты x

3 . Связь этих координат определяется уравнением:

3 e 1 ( 3 ) x 2 = x

3 e 2 ( 3 ) x 3 = x

Применим значения согласно условиям задачи:

Решим систему уравнений методом Крамера:

∆ = 1 3 2 – 1 2 1 1 – 5 – 3 = – 1 ∆ x

1 = 6 3 2 2 2 1 – 7 – 5 – 3 = – 1 , x

1 ∆ = – 1 – 1 = 1 ∆ x

2 = 1 6 2 – 1 2 1 1 – 7 – 3 = – 1 , x

2 ∆ = – 1 – 1 = 1 ∆ x

3 = 1 3 6 – 1 2 2 1 – 5 – 7 = – 1 , x

Так, вектор x → в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) имеет координаты x

Ответ: x = ( 1 , 1 , 1 )

Связь между базисами

Предположим, что в некотором базисе n-мерного векторного пространства даны две линейно независимые системы векторов:

c ( 1 ) = ( c 1 ( 1 ) , c 2 ( 1 ) , . . . , c n ( 1 ) ) c ( 2 ) = ( c 1 ( 2 ) , c 2 ( 2 ) , . . . , c n ( 2 ) ) ⋮ c ( n ) = ( c 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , c n ( n ) )

e ( 1 ) = ( e 1 ( 1 ) , e 2 ( 1 ) , . . . , e n ( 1 ) ) e ( 2 ) = ( e 1 ( 2 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( 2 ) ) ⋮ e ( n ) = ( e 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , e n ( n ) )

Указанные системы являются также базисами заданного пространства.

n ( 1 ) – координаты вектора c ( 1 ) в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) , тогда связь координат будет задаваться системой линейных уравнений:

1 ( 1 ) e 1 ( 1 ) + c

2 ( 1 ) e 1 ( 2 ) + . . . + c

n ( 1 ) e 1 ( n ) с 2 ( 1 ) = c

1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) + c

2 ( 1 ) e 2 ( 2 ) + . . . + c

n ( 1 ) e 2 ( n ) ⋮ с n ( 1 ) = c

1 ( 1 ) e n ( 1 ) + c

2 ( 1 ) e n ( 2 ) + . . . + c

В виде матрицы систему можно отобразить так:

( c 1 ( 1 ) , c 2 ( 1 ) , . . . , c n ( 1 ) ) = ( c

n ( 1 ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

Сделаем по аналогии такую же запись для вектора c ( 2 ) :

( c 1 ( 2 ) , c 2 ( 2 ) , . . . , c n ( 2 ) ) = ( c

n ( 2 ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

И, далее действуя по тому же принципу, получаем:

( c 1 ( n ) , c 2 ( n ) , . . . , c n ( n ) ) = ( c

n ( n ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

Матричные равенства объединим в одно выражение:

c 1 ( 1 ) c 2 ( 1 ) ⋯ c n ( 1 ) c 1 ( 2 ) c 2 ( 2 ) ⋯ c n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 ( n ) c 2 ( n ) ⋯ c n ( n ) = c

n ( n ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) ⋯ e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) ⋯ e n ( n )

Оно и будет определять связь векторов двух различных базисов.

Используя тот же принцип, возможно выразить все векторы базиса e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) через базис c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n ) :

e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) ⋯ e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) ⋯ e n ( n ) = e

n ( n ) · c 1 ( 1 ) c 2 ( 1 ) ⋯ c n ( 1 ) c 1 ( 2 ) c 2 ( 2 ) ⋯ c n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 ( n ) c 2 ( n ) ⋯ c n ( n )

Дадим следующие определения:

n ( n ) является матрицей перехода от базиса e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 )

к базису c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n ) .

n ( n ) является матрицей перехода от базиса c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n )

к базису e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) .

[spoiler title=”источники:”]

http://megaobuchalka.ru/10/21983.html

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/vektornoe-prostranstvo/

[/spoiler]

Линейной
комбинацией векторов
называется вектор,
где λ₁, … , λ_m– произвольные коэффициенты.

Система
векторов
называется
линейно зависимой, если существует ее
линейная комбинация, равная,
в которой есть хотя бы один ненулевой
коэффициент.

Система
векторов
называется
линейно независимой, если в любой ее
линейной комбинации, равной,
все коэффициенты нулевые.

Базисом
системы векторов
называется
ее непустая линейно независимая
подсистема, через которую можно выразить
любой вектор системы.

П р
и м е р 2. Найти базис системы векторов=
(1, 2, 2, 4),=
(2, 3, 5, 1),=
(3, 4, 8, -2),=
(2, 5, 0, 3) и выразить остальные векторы
через базис.

Р е
ш е н и е. Строим матрицу, в которой
координаты данных векторов располагаем
по столбцам. Приводим ее к ступенчатому
виду.

~~~.

Базис
данной системы образуют векторы
,,,
которым соответствуют ведущие элементы
строк, выделенные кружками. Для выражения
векторарешаем уравнениеx₁+x₂+
x₄=.
Оно сводится к системе линейных
уравнений, матрица которой получается
из исходной перестановкой столбца,
соответствующего,
на место столбца свободных членов.
Поэтому для решения системы используем
полученную матрицу в ступенчатом виде,
сделав в ней необходимые перестановки.

Последовательно
находим:

x₄
= 0;

x₂
= 2;

x₁
+ 4 = 3, x₁
= -1;

=
–+2.

Замечание
1. Если требуется выразить через базис
несколько векторов, то для каждого из
них строится соответствующая система
линейных уравнений. Эти системы будут
отличаться только столбцами свободных
членов. Поэтому для их решения можно
составить одну матрицу, в которой будет
несколько столбцов свободных членов.
При этом каждая система решается
независимо от остальных.

Замечание
2. Для выражения любого вектора достаточно
использовать только базисные векторы
системы, стоящие перед ним. При этом
нет необходимости переформировывать
матрицу, достаточно поставить вертикальную
черту в нужном месте.

У п
р а ж н е н и е 2. Найти базис системы
векторов и выразить остальные векторы
через базис:

а)
=
(1, 3, 2, 0),=
(3, 4, 2, 1),=
(1, -2, -2, 1),=
(3, 5, 1, 2);

б)
=
(2, 1, 2, 3),=
(1, 2, 2, 3),=
(3, -1, 2, 2),=
(4, -2, 2, 2);

в)
=
(1, 2, 3),=
(2, 4, 3),=
(3, 6, 6),=
(4, -2, 1);=
(2, -6, -2).

1. 3. Фундаментальная система решений

Система
линейных уравнений называется однородной,
если все ее свободные члены равны нулю.

Фундаментальной
системой решений однородной системы
линейных уравнений называется базис
множества ее решений.

Пусть
дана неоднородная система линейных
уравнений. Однородной системой,
ассоциированной с данной, называется
система, полученная из данной заменой
всех свободных членов на нули.

Если
неоднородная система совместна и
неопределенна, то ее произвольное
решение имеет вид f_н
+ ₁f_о1+
… + _kf_оk
,гдеf_н– частное
решение неоднородной системы иf_о1,
… , f_оk–
фундаментальная система решений
ассоциированной однородной системы.

П р
и м е р 3. Найти частное решение
неоднородной системы из примера 1 и
фундаментальную систему решений
ассоциированной однородной системы.

Р е
ш е н и е. Запишем решение, полученное
в примере 1, в векторном виде и разложим
получившийся вектор в сумму по свободным
параметрам, имеющимся в нем, и фиксированным
числовым значениям:

= (x₁,
x₂,
x₃,
x₄) =
(–2a + 7b –
2, a, –2b + 1, b) = (–2a,
a, 0, 0) + (7b, 0, –2b, b) + +(–
2, 0, 1, 0) = a(-2, 1, 0, 0) + b(7, 0, -2, 1) + (–
2, 0, 1, 0).

_­­Получаемf_н=(–
2, 0, 1, 0), f_о1= (-2, 1, 0,
0), f_о2= (7, 0, -2, 1).

Замечание.
Аналогично решается задача нахождения
фундаментальной системы решений
однородной системы.

У п
р а ж н е н и е 3.1 Найти фундаментальную
систему решений однородной системы:

а)

б)

в)
2x₁ –
x₂
+3x₃=
0.

У п
р а ж н е н и е 3.2. Найти частное решение
неоднородной системы и фундаментальную
систему решений ассоциированной
однородной системы:

а)

б)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Ну, вообщем я попробовал:

а)
У меня получилось вот такая ступенчатая матрица (для транспонированной изначальной матрицы):

[math]begin{pmatrix} 4 & -1 & frac{ 9 }{ 2 } & frac{ 5 }{ 2 } & frac{ 3 }{ 2 } \ 0 & 2 & 1 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 7 & 1 & -1 \ 0 & 0 & 0 & 15 & -1 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 end{pmatrix}[/math]

И такая для нетранспонированной:

[math]begin{pmatrix} 4 & 2 & -1 & -4 & 0 \ 0 & 14 & 1 & 36 & 16 \ 0 & 0 & 1 & -12 & -8 \ 0 & 0 & 0 & 1 & -frac{ 1 }{ 2 } \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 end{pmatrix}[/math]

(Просто я пока так и не понял, через какую делать правильно)

И вот дальше я не совсем понимаю, как найти базис линейной оболочки строк отсюда…

б)
Тут вроде получше, получилось, чем под а)

Решал по методу Гаусса, собственно ступенчатый вид нашел уже под буквой а), принял [math]x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}[/math] за базисные, а [math]x_{5}[/math] и одна свободная осталась только [math]x_{5}[/math]. Получил фундаментальную систему решений:

[math]e=begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 2 \ -frac{ 1 }{ 2 } \ 1 end{pmatrix}[/math]

Как я понимаю, это и будет базис решений однородной системы, так как все другие решения, через него выражаются.

Осталось с буквой а) разобраться…

Найти базис и размерность линейной оболочки векторов

Пример1)

Найти базис и размерность линейной оболочки векторов a1=(1, 2, 3, 4), a2=( -1, 3, 2, 1),

a3=(- 1, 8, 7, 6), a4=(1, 4, -2, 5).

По определению базис максимальный набор линейно независимых векторов.

А) проверим, что вектора < a1, a2,a3, a4>–линейно независимы?

*a1+ *a2+ *a3+ *a4=0

=

С помощью элементарных преобразований приводим матрицу к треугольному виду:

Выписываем решение….. Получаем, что вектора линейно зависимы значит вектора < a1, a2,a3, a4>не базис.

В) Из набор вектора < a1, a2,a3, a4>уберем один вектор, например a3.Проверим, что вектора < a1, a2, a4>образуют базис.

Дата добавления: 2015-09-07 ; просмотров: 2766 . Нарушение авторских прав

Сайт о разделе высшей математики — линейной алгебре

п.5. Вычисление ранга матрицы и нахождение базиса линейной оболочки ее системы строк (столбцов).

Для вычисления ранга матрицы часто применяют метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду. Метод Гаусса основан на элементарных преобразованиях строк матрицы, которые, как мы уже знаем, не изменяют ранга системы строк, а значит не изменяют и ранга матрицы.

Таким образом, ранг данной матрицы равен рангу получившейся после преобразований ступенчатой матрицы. В свою очередь, ранг ступенчатой матрицы легко вычисляется, так как легко увидеть ее максимальный ненулевой минор и его порядок.

Пример. Вычислить ранг матрицы и найти базис и размерность линейной оболочки натянутой на ее столбцы.

1-й шаг: умножим первую строку на 2 и прибавим ко второй строке:

;

2-й шаг: прибавим к третьей строке первую, умноженную на (–3):

;

3-й шаг: прибавим ко второй строке 3-ю, умноженную на (–1):

;

4-й шаг: умножаем вторую строку на (–3) и прибавляем к третьей строке:

.

Ранг последней матрицы равен 3, так как в первых трех столбцах стоит ненулевой минор 3-го порядка

, а миноров 4-го порядка не существует.

Приведенные преобразования не изменяют величину определителя, построенного на первых трех столбцах матрицы А, поэтому он отличен от нуля и, следовательно, его столбцы линейно независимые и образуют максимальную линейно независимую подсистему системы столбцов матрицы А. Отсюда можно сделать вывод, что первые три столбца матрицы А образуют базис линейной оболочки натянутой на столбцы матрицы А, т.е. и .

Ответ: , – базис линейной оболочки , .

Определение. Любой ненулевой минор матрицы А максимального порядка называют базисным минором матрицы А.

Из этого определения следует, что порядок базисного минора матрицы А равен рангу матрицы А.

Замечание. Максимальную линейно независимую подсистему системы строк матрицы, которая образует базис линейной оболочки системы строк матрицы, мы будем, для краткости, называть базисными строками матрицы. И то же самое для столбцов.

Из приведенного примера можно сделать вывод, что если, вычисляя ранг матрицы, мы не переставляем строки и столбцы матрицы, то найдя базисный минор матрицы и определив номера строк и столбцов на которых он построен, мы, тем самым, находим номера базисных строк и столбцов исходной матрицы.

Так в примере, базисный минор матрицы А построен на первых трех строках и первых трех столбцах, следовательно именно они и образуют базисы системы строк и столбцов матрицы А.

Определения размерности и базиса

Линейное пространство [math]V[/math] называется n-мерным , если в нем существует система из [math]n[/math] линейно независимых векторов, а любая система из большего количества векторов линейно зависима. Число [math]n[/math] называется размерностью (числом измерений) линейного пространства [math]V[/math] и обозначается [math]operatornameV[/math] . Другими словами, размерность пространства — это максимальное число линейно независимых векторов этого пространства. Если такое число существует, то пространство называется конечномерным. Если же для любого натурального числа п в пространстве [math]V[/math] найдется система, состоящая из [math]n[/math] линейно независимых векторов, то такое пространство называют бесконечномерным (записывают: [math]operatornameV=infty[/math] ). Далее, если не оговорено противное, будут рассматриваться конечномерные пространства.

Базисом n-мерного линейного пространства называется упорядоченная совокупность [math]n[/math] линейно независимых векторов ( базисных векторов ).

Теорема 8.1 о разложении вектора по базису. Если [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] — базис n-мерного линейного пространства [math]V[/math] , то любой вектор [math]mathbfin V[/math] может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов:

и притом единственным образом, т.е. коэффициенты [math]mathbf_1, mathbf_2,ldots, mathbf_n[/math] определяются однозначно. Другими словами, любой вектор пространства может быть разложен по базису и притом единственным образом.

Действительно, размерность пространства [math]V[/math] равна [math]n[/math] . Система векторов [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] линейно независима (это базис). После присоединения к базису любого вектора [math]mathbf[/math] , получаем линейно зависимую систему [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n, mathbf[/math] (так как это система состоит из [math](n+1)[/math] векторов n-мерного пространства). По свойству 7 линейно зависимых и линейно независимых векторов получаем заключение теоремы.

Следствие 1. Если [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] — базис пространства [math]V[/math] , то [math]V=operatorname (mathbf_1,mathbf_2, ldots,mathbf_n)[/math] , т.е. линейное пространство является линейной оболочкой базисных векторов.

В самом деле, для доказательства равенства [math]V=operatorname (mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_n)[/math] двух множеств достаточно показать, что включения [math]Vsubset operatorname(mathbf_1,mathbf_2, ldots,mathbf_n)[/math] и [math]operatorname(mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n)subset V[/math] выполняются одновременно. Действительно, с одной стороны, любая линейная комбинация векторов линейного пространства принадлежит самому линейному пространству, т.е. [math]operatorname(mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n)subset V[/math] . С другой стороны, любой вектор пространства по теореме 8.1 можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е. [math]Vsubset operatorname(mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n)[/math] . Отсюда следует равенство рассматриваемых множеств.

Следствие 2. Если [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] — линейно независимая система векторов линейного пространства [math]V[/math] и любой вектор [math]mathbfin V[/math] может быть представлен в виде линейной комбинации (8.4): [math]mathbf=v_1mathbf_1+ v_2mathbf_2+ldots+v_nmathbf_n[/math] , то пространство [math]V[/math] имеет размерность [math]n[/math] , а система [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots,mathbf_n[/math] является его базисом.

В самом деле, в пространстве [math]V[/math] имеется система [math]n[/math] линейно независимых векторов, а любая система [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] из большего количества векторов n)”>[math](k>n)[/math] линейно зависима, поскольку каждый вектор из этой системы линейно выражается через векторы [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] . Значит, [math]operatorname V=n[/math] и [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] — базис [math]V[/math] .

Теорема 8.2 о дополнении системы векторов до базиса. Всякую линейно независимую систему [math]k[/math] векторов n-мерного линейного пространства [math](1leqslant k можно дополнить до базиса пространства.

В самом деле, пусть [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] — линейно независимая система векторов n-мерного пространства [math]V

(1leqslant k . Рассмотрим линейную оболочку этих векторов: [math]L_k=operatorname(mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_k)[/math] . Любой вектор [math]mathbfin L_k[/math] образует с векторами [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_k[/math] линейно зависимую систему [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k,mathbf[/math] , так как вектор [math]mathbf[/math] линейно выражается через остальные. Поскольку в n-мерном пространстве существует [math]n[/math] линейно независимых векторов, то [math]L_k
e V[/math] и существует вектор [math]mathbf_in V[/math] , который не принадлежит [math]L_k[/math] . Дополняя этим вектором линейно независимую систему [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] , получаем систему векторов [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k,mathbf_[/math] , которая также линейно независимая. Действительно, если бы она оказалась линейно зависимой, то из пункта 1 замечаний 8.3 следовало, что [math]mathbf_in operatorname(mathbf_1, mathbf_2, ldots,mathbf_k)=L_k[/math] , а это противоречит условию [math]mathbf_
otin L_k[/math] . Итак, система векторов [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_k, mathbf_[/math] линейно независимая. Значит, первоначальную систему векторов удалось дополнить одним вектором без нарушения линейной независимости. Продолжаем аналогично. Рассмотрим линейную оболочку этих векторов: [math]L_=operatorname (mathbf_1, mathbf_2,ldots, mathbf_k, mathbf_)[/math] . Если [math]L_=V[/math] , то [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots,mathbf_k, mathbf_[/math] — базис и теорема доказана. Если [math]L_
e V[/math] , то дополняем систему [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots,mathbf_k,mathbf_[/math] вектором [math]mathbf_
otin L_[/math] и т.д. Процесс дополнения обязательно закончится, так как пространство [math]V[/math] конечномерное. В результате получим равенство [math]V=L_n=operatorname (mathbf_1,ldots,mathbf_k,ldots,mathbf_n)[/math] , из которого следует, что [math]mathbf_1,ldots,mathbf_k,ldots,mathbf_n[/math] — базис пространства [math]V[/math] . Теорема доказана.

1. Базис линейного пространства определяется неоднозначно. Например, если [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_n[/math] — базис пространства [math]V[/math] , то система векторов [math]lambda mathbf_1,lambda mathbf_2,ldots,lambda mathbf_n[/math] при любом [math]lambda
e0[/math] также является базисом [math]V[/math] . Количество базисных векторов в разных базисах одного и того же конечномерного пространства, разумеется, одно и то же, так как это количество равно размерности пространства.

2. В некоторых пространствах, часто встречающихся в приложениях, один из возможных базисов, наиболее удобный с практической точки зрения, называют стандартным.

3. Теорема 8.1 позволяет говорить, что базис — это полная система элементов линейного пространства, в том смысле, что любой вектор пространства линейно выражается через базисные векторы.

4. Если множество [math]mathbb[/math] является линейной оболочкой [math]operatorname(mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k)[/math] , то векторы [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] называют образующими множества [math]mathbb[/math] . Следствие 1 теоремы 8.1 в силу равенства [math]V=operatorname (mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n)[/math] позволяет говорить, что базис — это минимальная система образующих линейного пространства [math]V[/math] , так как нельзя уменьшить количество образующих (удалить хотя бы один вектор из набора [math]mathbf_1, mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] ) без нарушения равенства [math]V=operatorname( mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n)[/math] .

5. Теорема 8.2 позволяет говорить, что базис — это максимальная линейно независимая система векторов линейного пространства, так как базис — это линейно независимая система векторов, и ее нельзя дополнить каким-либо вектором без потери линейной независимости.

6. Следствие 2 теоремы 8.1 удобно применять для нахождения базиса и размерности линейного пространства. В некоторых учебниках оно берется за определение базиса, а именно: линейно независимая система [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] векторов линейного пространства называется базисом, если любой вектор пространства линейно выражается через векторы [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] . Количество базисных векторов определяет размерность пространства . Разумеется, что эти определения эквивалентны приведенным выше.

Примеры базисов линейных пространств

Укажем размерность и базис для примеров линейных пространств, рассмотренных выше.

1. Нулевое линейное пространство [math]<mathbf>[/math] не содержит линейно независимых векторов. Поэтому размерность этого пространства полагают равной нулю: [math]dim<mathbf>=0[/math] . Это пространство не имеет базиса.

2. Пространства [math]V_1,,V_2,,V_3[/math] имеют размерности 1, 2, 3 соответственно. Действительно, любой ненулевой вектор пространства [math]V_1[/math] , образует линейно независимую систему (см. пункт 1. замечаний 8.2), а любые два ненулевых век тора пространства [math]V_1[/math] коллинеарны, т.е. линейно зависимы (см. пример 8.1). Следовательно, [math]dim=1[/math] , а базисом пространства [math]V_1[/math] является любой ненулевой вектор. Аналогично доказывается, что [math]dim=2[/math] и [math]dim=3[/math] . Базисом пространства [math]V_2[/math] служат любые два неколлинеарных вектора, взятые в определенном порядке (один из них считается первым базисным вектором, другой — вторым). Базисом пространства [math]V_3[/math] являются любые три некомпланарных (не лежащих в одной или параллельных плоскостях) вектора, взятые в определенном порядке. Стандартным базисом в [math]V_1[/math] является единичный вектор [math]vec[/math] на прямой. Стандартным базисом в [math]V_2[/math] считается базис [math]vec,,vec[/math] , со стоящий из двух взаимно перпендикулярных единичных векторов плоскости. Стандартным базисом в пространстве [math]V_3[/math] считается базис [math]vec,,vec,,vec[/math] , составленный из трех единичных попарно перпендикулярных векторов, образующих правую тройку.

3. Пространство [math]mathbb^n[/math] содержит не более, чем [math]n[/math] , линейно независимых векторов. В самом деле, возьмем [math]k[/math] столбцов из [math]mathbb^n[/math] и составим из них матрицу размеров [math]n imes k[/math] . Если n”>[math]k>n[/math] , то столбцы линейно зависимы по теореме 3.4 о ранге матрицы. Следовательно, [math]dim<mathbb^n>leqslant n[/math] . В пространстве [math]mathbb^n[/math] не трудно найти п линейно независимых столбцов. Например, столбцы единичной матрицы

линейно независимы. Следовательно, [math]dim<mathbb^n>=n[/math] . Пространство [math]mathbb^n[/math] называется n-мерным вещественным арифметическим пространством . Указанный набор векторов считается стандартным базисом пространства [math]mathbb^n[/math] . Аналогично доказывается, что [math]dim<mathbb^n>=n[/math] , поэтому пространство [math]mathbb^n[/math] называют n-мерным комплексным арифметическим пространством .

4. Напомним, что любое решение однородной системы [math]Ax=o[/math] можно представить в виде [math]x=C_1varphi_1+C_2varphi_2+ldots+C_varphi_[/math] , где [math]r=operatornameA[/math] , a [math]varphi_1,varphi_2,ldots,varphi_[/math] — фундаментальная система решений. Следовательно, [math]=operatorname (varphi_1,varphi_2,ldots,varphi_)[/math] , т.е. базисом пространства [math][/math] решений однородной системы служит ее фундаментальная система решений, а размерность пространства [math]dim=n-r[/math] , где [math]n[/math] — количество неизвестных, а [math]r[/math] — ранг матрицы системы.

5. В пространстве [math]M_<2 imes3>[/math] матриц размеров [math]2 imes3[/math] можно выбрать 6 матриц:

которые линейно независимы. Действительно, их линейная комбинация

равна нулевой матрице только в тривиальном случае [math]alpha_1=alpha_2= ldots= alpha_6=0[/math] . Прочитав равенство (8.5) справа налево, заключаем, что любая матрица из [math]M_<2 imes3>[/math] линейным образом выражается через выбранные 6 матриц, т.е. [math]M_<2 imes>= operatorname (mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_6)[/math] . Следовательно, [math]dim>=2cdot3=6[/math] , а матрицы [math]mathbf_1, mathbf_2,ldots,mathbf_6[/math] являются базисом (стандартным) этого пространства. Аналогично доказывается, что [math]dim>=mcdot n[/math] .

6. Для любого натурального [math]n[/math] в пространстве [math]P(mathbb)[/math] многочленов с комплексными коэффициентами можно найти п линейно независимых элементов. Например, многочлены [math]mathbf_1=1,[/math] [math]mathbf_2=z,[/math] [math]mathbf_3=z^2,,ldots,[/math] [math]mathbf_n=z^[/math] линейно независимы, так как их линейная комбинация

равна нулевому многочлену [math](o(z)equiv0)[/math] только в тривиальном случае [math]a_1=a_2=ldots=a_n=0[/math] . Поскольку эта система многочленов линейно независима при любом натуральном л, пространство [math]P(mathbb)[/math] бесконечномерное. Аналогично делаем вывод о бесконечной размерности пространства [math]P(mathbb)[/math] многочленов с действительными коэффициентами. Пространство [math]P_n(mathbb)[/math] многочленов степени не выше, чем [math]n[/math] , конечномерное. Действительно, векторы [math]mathbf_1=1,[/math] [math]mathbf_2=x,[/math] [math]mathbf_3=x^2,,ldots,[/math] [math]mathbf_=x^n[/math] образуют базис (стандартный) это го пространства, так как они линейно независимы и любой многочлен из [math]P_n(mathbb)[/math] можно представить в виде линейной комбинации этих векторов:

7. Пространство [math]C(mathbb)[/math] непрерывных функций является бесконечно мерным. Действительно, для любого натурального [math]n[/math] многочлены [math]1,x,x^2,ldots, x^[/math] , рассматриваемые как непрерывные функции, образуют линейно независимые системы (см. предыдущий пример).

В пространстве [math]T_<omega>(mathbb)[/math] тригонометрических двучленов (частоты [math]omega
e0[/math] ) с действительными коэффициентами базис образуют одночлены [math]mathbf_1(t)=sinomega t,

mathbf_2(t)=cosomega t[/math] . Они линейно независимы, так как тождественное равенство [math]asinomega t+bcosomega tequiv0[/math] возможно только в тривиальном случае [math](a=b=0)[/math] . Любая функция вида [math]f(t)=asinomega t+bcosomega t[/math] линейно выражается через базисные: [math]f(t)=a,mathbf_1(t)+b,mathbf_2(t)[/math] .

8. Пространство [math]mathbb^X[/math] действительных функций, определенных на множестве [math]X[/math] , в зависимости от области определения [math]X[/math] может быть конечномерным или бесконечномерным. Если [math]X[/math] — конечное множество, то пространство [math]mathbb^X[/math] конечномерное (например, [math]X=<1,2,ldots,n>[/math] ). Если [math]X[/math] — бесконечное множество, то пространство [math]mathbb^X[/math] бесконечномерное (например, пространство [math]mathbb^N[/math] последовательностей).

9. В пространстве [math]mathbb^<+>[/math] любое положительное число [math]mathbf_1[/math] , не равное единице, может служить базисом. Возьмем, например, число [math]mathbf_1=2[/math] . Любое положительное число [math]r[/math] можно выразить через [math]mathbf_1[/math] , т.е. представить в виде [math]alphacdot mathbf_1colon[/math] [math]r=2^<log_2r>=log_2rast2=alpha_1ast mathbf_1[/math] , где [math]alpha_1=log_2r[/math] . Следовательно, размерность этого пространства равна 1, а число [math]mathbf_1=2[/math] является базисом.

10. Пусть [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] — базис вещественного линейного пространства [math]V[/math] . Определим на [math]V[/math] линейные скалярные функции [math]mathcal_1, mathcal_2,ldots, mathcal_n[/math] , положив:

При этом, в силу линейности функции [math]mathcal_i[/math] , для произвольного вектора [math]mathbf=v_1 mathbf_1+v_2 mathbf_2+ldots+v_n mathbf_n[/math] получаем [math]mathcal(mathbf)=sum_^v_j mathcal(mathbf_j)=v_i[/math] .

Итак, определены [math]n[/math] элементов (ковекторов) [math]mathcal_1, mathcal_2, ldots, mathcal_n[/math] сопряженного пространства [math]V^<ast>[/math] . Докажем, что [math]mathcal_1, mathcal_2,ldots, mathcal_n[/math] — базис [math]V^<ast>[/math] .

Во-первых, покажем, что система [math]mathcal_1, mathcal_2,ldots, mathcal_n[/math] линейно независима. В самом деле, возьмем линейную комбинацию этих ковекторов [math](alpha_1 mathcal_1+ldots+alpha_nmathcal_n)(mathbf)=[/math] и приравняем ее нулевой функции

forall mathbfin V)colon

forall mathbfin V.[/math]

Подставляя в это равенство [math]mathbf=mathbf_i,

i=1,ldots,n[/math] , получаем [math]alpha_1=alpha_2cdot= alpha_n=0[/math] . Следовательно, система элементов [math]mathcal_1,mathcal_2,ldots,mathcal_n[/math] пространства [math]V^<ast>[/math] линейно независима, так как равенство [math]alpha_1mathcal_1+ldots+ alpha_nmathcal_n =mathbf[/math] возможно только в тривиальном случае.

Во-вторых, докажем, что любую линейную функцию [math]fin V^<ast>[/math] можно представить в виде линейной комбинации ковекторов [math]mathcal_1, mathcal_2,ldots, mathcal_n[/math] . Действительно, для любого вектора [math]mathbf=v_1 mathbf_1+v_2 mathbf_2+ldots+v_n mathbf_n[/math] в силу линейности функции [math]f[/math] получаем:

т.е. функция [math]f[/math] представлена в виде линейной комбинации [math]f=eta_1 mathcal_1+ldots+eta_nmathcal_n[/math] функций [math]mathcal_1,mathcal_2,ldots, mathcal_n[/math] (числа [math]eta_i=f(mathbf_i)[/math] — коэффициенты линейной комбинации). Следовательно, система ковекторов [math]mathcal_1, mathcal_2,ldots, mathcal_n[/math] является базисом сопряженного пространства [math]V^<ast>[/math] и [math]dim>=dim[/math] (для конечномерного пространства [math]V[/math] ).