Как найти базис столбцов матрицы - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Пространство столбцов (также образ, область значений) матрицы — это линейная оболочка (множество всех возможных линейных комбинаций) её вектор-столбцов. Пространство столбцов матрицы также является образом или областью значений соответствующего ей отображения.

Пусть — некоторое поле. Пространство столбцов матрицы размера с компонентами из является линейным подпространством координатного пространства ${displaystyle mathbb {F} ^{m}}$ . Размерность пространства столбцов называется рангом матрицы и не превосходит ^[1]. Понятие также определено для матриц заданных над кольцом .

Пространство строк определяется аналогично.

В данной статье рассматриваются матрицы над вещественными числами, то есть, пространства строк и столбцов являются подпространствами $mathbb {R} ^{n}$ и $mathbb{R} ^{m}$ соответственно^[2].

Обзор[править | править код]

Пусть — матрица размера .Тогда имеют место такие утверждения про её ранг , где и — её пространства столбцов и строк соответственно:

^[3],
равен числу опорных элементов в любом ступенчатом виде ,
равен наибольшему числу линейно независимых строк или столбцов матрицы ^[4].

Пространство столбцов матрицы совпадает с множеством линейных комбинаций столбцов . То есть, если ${displaystyle A=[a_{1},dots ,a_{n}]}$ , то ${displaystyle operatorname {colsp} A=operatorname {span} {a_{1},dots ,a_{n}}}$ , где — линейная оболочка .

Действие матрицы на некоторый вектор может быть представлено как линейная комбинация столбцов с коэффициентами, соответствующими координатам . Значит, всегда лежит в . Таким образом, если рассматривать матрицу как линейное отображение из $mathbb {R} ^{n}$ в $mathbb{R} ^{m}$ , то пространство столбцов матрицы будет соответствовать образу данного отображения.

Концепция пространства столбцов может быть обобщена на матрицы, заданные над полем комплексных чисел или, в общем случае, над произвольным полем .

Пример

Дана матрицы :

${displaystyle J={begin{bmatrix}2&4&1&3&2\-1&-2&1&0&5\1&6&2&2&2\3&6&2&5&1end{bmatrix}}}$

Её строки:

${displaystyle r_{1}=[2,4,1,3,2]}$ ,
${displaystyle r_{2}=[-1,-2,1,0,5]}$ ,
${displaystyle r_{3}=[1,6,2,2,2]}$ ,
${displaystyle r_{4}=[3,6,2,5,1]}$ .

Следовательно, пространство строк матрицы это подпространство ${displaystyle mathbb {R} ^{5}}$ , заданное как ${displaystyle operatorname {span} {r_{1},r_{2},r_{3},r_{4}}}$ . Это пространство четырёхмерно в силу того, что эти четыре строки линейно независимы. Кроме того, в данном случае все строки ортогональны вектору , из чего можно сделать вывод, что пространство строк состоит из всех векторов ${displaystyle mathbb {R} ^{5}}$ , которые ортогональны вектору .

Пространство столбцов[править | править код]

Определение[править | править код]

Пусть — некоторое поле скаляров, над которым задана матрица размера со столбцами ${displaystyle mathbf {v} _{1},mathbf {v} _{2},dots ,mathbf {v} _{n}}$ . Линейная комбинация этих векторов — это любой вектор вида:

${displaystyle c_{1}mathbf {v} _{1}+c_{2}mathbf {v} _{2}+cdots +c_{n}mathbf {v} _{n},}$

Где ${displaystyle c_{1},c_{2},dots ,c_{n}}$ — скаляры. Множество всех возможных комбинаций ${displaystyle mathbf {v} _{1},dots ,mathbf {v} _{n}}$ называется пространством столбцов . То есть, пространство столбцов — это линейная оболочка векторов ${displaystyle mathbf {v} _{1},dots ,mathbf {v} _{n}}$ .

Любая линейная комбинация столбцов матрицы может быть записана как умножение матрицы на некоторый вектор-столбец:

${displaystyle {begin{array}{rcl}A{begin{bmatrix}c_{1}\vdots \c_{n}end{bmatrix}}&=&{begin{bmatrix}a_{11}&cdots &a_{1n}\vdots &ddots &vdots \a_{m1}&cdots &a_{mn}end{bmatrix}}{begin{bmatrix}c_{1}\vdots \c_{n}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}c_{1}a_{11}+&cdots &+c_{n}a_{1n}\vdots &vdots &vdots \c_{1}a_{m1}+&cdots &+c_{n}a_{mn}end{bmatrix}}=c_{1}{begin{bmatrix}a_{11}\vdots \a_{m1}end{bmatrix}}+cdots +c_{n}{begin{bmatrix}a_{1n}\vdots \a_{mn}end{bmatrix}}\&=&c_{1}mathbf {v} _{1}+cdots +c_{n}mathbf {v} _{n}end{array}}}$

Таким образом, пространство столбцов состоит из всех возможных произведений , где ${displaystyle xin mathbb {K} ^{n}}$ , что то же самое, что образ (или область значений) соответствующего отображения.

Пример

Если ${displaystyle A={begin{bmatrix}1&0\0&1\2&0end{bmatrix}}}$

, то её столбцы это ${displaystyle v_{1}=[1,0,2]^{T}}$

и ${displaystyle v_{2}=[0,1,0]^{T}}$

Линейная комбинация $v_{1}$

и $v_{2}$

— это любой вектор, имеющий следующий вид:

${displaystyle c_{1}{begin{bmatrix}1\0\2end{bmatrix}}+c_{2}{begin{bmatrix}0\1\0end{bmatrix}}={begin{bmatrix}c_{1}\c_{2}\2c_{1}end{bmatrix}},}$

Множество всех таких векторов образует пространство столбцов

. В данном случае пространство столбцов это в точности множество векторов ${displaystyle [x,y,z]in mathbb {R} ^{3}}$

, удовлетворяющих уравнению

В декартовой системе координат это множество соответствует некоторой плоскости, проходящей через начало отсчёт в трёхмерном пространстве.

Базис[править | править код]

Столбцы матрицы порождают пространство столбцов, но они могут не образовывать базис если столбцы не линейно независимы. К счастью, элементарные преобразования строк матрицы не меняют линейные зависимости между столбцами. Это позволяет находить базис в пространстве столбцов методом Гаусса.

Например, дана такая матрица:

${displaystyle A={begin{bmatrix}1&3&1&4\2&7&3&9\1&5&3&1\1&2&0&8end{bmatrix}}{text{.}}}$

Столбцы этой матрицы не линейно независимы, что значит, что базис образует некоторое подмножество столбцов. Чтобы найти его, приведём к ступенчатому виду по строкам:

${displaystyle {begin{bmatrix}1&3&1&4\2&7&3&9\1&5&3&1\1&2&0&8end{bmatrix}}sim {begin{bmatrix}1&3&1&4\0&1&1&1\0&2&2&-3\0&-1&-1&4end{bmatrix}}sim {begin{bmatrix}1&0&-2&1\0&1&1&1\0&0&0&-5\0&0&0&5end{bmatrix}}sim {begin{bmatrix}1&0&-2&0\0&1&1&0\0&0&0&1\0&0&0&0end{bmatrix}}}$

^[5]

Первый, второй и четвёртый столбцы линейно независимы, в то время как третий является линейной комбинацией первых двух (точнее, ${displaystyle v_{3}=-2v_{1}+v_{2}}$ ). Поэтому первый, второй и четвёртый столбцы образуют базис в пространстве столбцов:

${displaystyle {begin{bmatrix}1\2\1\1end{bmatrix}},;;{begin{bmatrix}3\7\5\2end{bmatrix}},;;{begin{bmatrix}4\9\1\8end{bmatrix}}{text{.}}}$

Стоит обратить внимание, что независимые столбцы это в точности столбцы, содержащие ведущие элементы, что позволяет сводить задачу поиска базиса в множестве столбцов к приведению матрицы к ступенчатому виду.

Алгоритм выше может быть использован для поиска зависимостей и нахождения базиса в любом множестве векторов. Также нахождение базиса пространства столбцов эквивалентно нахождению оного для пространства строк транспонированной матрицы $A^{T}$ . На практике (например, при работе с большими матрицами) для нахождения базиса обычно используется сингулярное разложение.

Размерность[править | править код]

Размерность пространства столбцов называется рангом матрицы. Ранг равен числу ведущих элементов в ступенчатом виде матрицы, а также наибольшему числу её линейно независимых столбцов. Например, ранг матрицы выше равен .

Так как пространство столбцов это образ соответствующего отображения, ранг матрицы равен размерности образа. Например, для отображения ${displaystyle mathbb {R} ^{4}to mathbb {R} ^{4}}$ заданного матрицей выше отображает R^4 в некоторое трёхмерное подпространство.

Размерность ядра матрицы равна числу столбцов, которые не содержат ведущих элементов^[6]. Ранг и размерность ядра матрицы c столбцами связаны уравнением:

{displaystyle operatorname {rank} (A)+dim ker(A)=n.,}

Связь с коядром[править | править код]

Коядро (левый аннулятор) матрицы это множество векторов таких что ${displaystyle mathbf {x} ^{T}A=0^{T}}$ . Коядро матрицы совпадает с ядром $A^{T}$ . Произведение $A^{T}$ на может быть записано в виде скалярных произведений векторов

${displaystyle A^{T}mathbf {x} ={begin{bmatrix}mathbf {v} _{1}cdot mathbf {x} \mathbf {v} _{2}cdot mathbf {x} \vdots \mathbf {v} _{n}cdot mathbf {x} end{bmatrix}},}$

Потому что строки $A^{T}$ являются транспонированными столбцами ${displaystyle mathbf {v} _{k}}$ матрицы . Поэтому ${displaystyle A^{T}mathbf {x} =0}$ тогда и только тогда когда ортогонален ко всем столбцам .

Отсюда следует, что коядро (ядро $A^{T}$ ) — это ортогональное дополнение к пространству столбцов .

Для матрицы над кольцами[править | править код]

Аналогичным образом пространство столбцов (иногда с уточнением как правое пространство столбцов) может быть определено для матриц над кольцом как:

${displaystyle sum limits _{k=1}^{n}mathbf {v} _{k}c_{k}}$

Где ${displaystyle c_{1},dots ,c_{n}in mathbb {K} }$ . Координатное пространство при этом меняется на правый свободный модуль, что также меняет порядок в умножении на скаляр вектора ${displaystyle mathbf {v} _{k}}$ на скаляр $c_{k}$ таким образом, что они записываются в порядке вектор-скаляр^[7].

См. также[править | править код]

Евклидово пространство

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0
Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
Banerjee, Sudipto & Roy, Anindya (June 6, 2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics (1st ed.), CRC Press, ISBN 978-1-42-009538-8
Beauregard, Raymond A. & Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X
Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall
Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, <http://www.matrixanalysis.com/DownloadChapters.html> Архивная копия от 31 октября 2009 на Wayback Machine
Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
Strang, Gilbert (July 19, 2005), Linear Algebra and Its Applications (4th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8

Ссылки[править | править код]

Weisstein, Eric W. Row Space (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Column Space (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Гилберт Стрэнг, MIT Linear Algebra Lecture on the Four Fundamental Subspaces на Google Video от MIT OpenCourseWare
Khan Academy video tutorial
Lecture on column space and nullspace by Gilbert Strang of MIT
Row Space and Column Space

Источник

Как найти базис системы вектор-столбцов

Перед рассмотрением данного вопроса стоит напомнить, что любая упорядоченная система n линейно независимых векторов пространства R^n называется базисом этого пространства. При этом образующие систему векторы будут считаться линейно независимыми, если любая их нулевая линейная комбинация возможна только за счет равенства нулю всех коэффициентов этой комбинации.

Вам понадобится

– бумага;
– ручка.

Инструкция

Пользуясь только лишь основными определениями проверить линейную независимость системы вектор-столбцов, а соответственно и дать заключение о наличии базиса, весьма затруднительно. Поэтому в данном случае вам может помочь использование некоторых специальных признаков.

Известно, что векторы линейно независимы, если составленный из них определитель не равен нулю.Исходя из этого, можно достаточно объяснить тот факт, что система векторов образует базис. Итак, для того чтобы обосновать, что векторы образуют базис, следует составить из их координат определитель и убедиться, что он не равен нулю.В дальнейшем, для сокращения и упрощения записей, представление вектор-столбца матрицей-столбцом будем заменять транспонированной матрицей-строкой.

Пример 1. Образуют ли базис в R^3 вектор-столбцы (1, 3, 5)^T, (2, 6, 4)^T, (3, 9, 0)^T.Решение. Составьте определитель |A|, строками которого являются элементы заданных столбцов (см. рис.1).Раскрыв этот определитель по правилу треугольников, получится: |A| = 0+90+36-90-36-0=0. Следовательно, эти векторы не могут образовать базис.

Пример. 2. Система векторов состоит из (10, 3, 6)^T, (1, 3, 4)^T, (3, 9, 2)^T. Могут ли они образовать базис?Решение. По аналогии с первым примером составьте определитель (см. рис.2): |A| =60+54+36-54-360-6=270, т.е. не равно нулю. Следовательно, эта система вектор-столбцов пригодна для использования в качестве базиса в R^3.

Теперь со всей очевидностью становится ясно, что для нахождения базиса системы вектор-столбцов вполне достаточно взять любой определитель подходящей размерности отличный от нуля. Элементы его столбцов образуют базисную систему. Мало того, всегда желательно иметь простейший базис. Так как определитель единичной матрицы всегда отличен от нуля (при любой размерности), то в качестве базиса всегда можно выбрать систему (1, 0, 0,…,0)^T, (0, 1, 0,…,0)^T, (0, 0, 1,…,0)^T,…, (0, 0, 0,…,1)^T.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Тема: Найти базис системы вектор-столбцов и выразить остальные столбцы (Прочитано 7130 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Пожалуйста помогите решить матрицы я вас очень прошу, я что-то совсем непонимаю
Найти базис системы вектор-столбцов и выразить остальные столбцы через базисные
1 2 1 2 3
0 1 1 1 2
2 3 2 3 1
3 1 3 1 2

и ещё есть система уравнений надо решить методом Гаусса-Жордана, но я не пойму она правильно написана или нет

x1+x2+2×4-x5=2
2×1+3×3-x4+x5=2
2×1-x2+x5=1
3×1+2×3-x5=1

вот фото задании 5 и 7
ссылка

« Последнее редактирование: 20 Ноября 2010, 20:30:36 от Asix »

Во втором задании избыточное число неизвестных. Поэтому все 4 неизвестных выразил через x1:

( x_2=frac{12}{5}x_1-frac{1}{5} )

( x_3=- frac{13}{10}x_1+frac{9}{10} )

( x_4=-frac{3}{2}x_1+frac{3}{2} )

( x_5=frac{2}{5}x_1+frac{4}{5} )

« Последнее редактирование: 20 Ноября 2010, 20:30:51 от Asix »

За жизнью надо тщательно следить, все время избегая с ней разлуки.

renuar911 спасибо со вторым заданием вроде разобрался, пожалуйста помогите срочно нужно решить второе

Найти базис системы вектор-столбцов и выразить остальные столбцы через базисные
1 2 1 2 3
0 1 1 1 2
2 3 2 3 1
3 1 3 1 2

« Последнее редактирование: 20 Ноября 2010, 20:30:59 от Asix »

« Последнее редактирование: 20 Ноября 2010, 20:31:08 от Asix »

что-то не получается у меня ничего пожалуйста помогите решить
Найти базис системы вектор-столбцов и выразить остальные столбцы через базисные
1 2 1 2 3
0 1 1 1 2
2 3 2 3 1
3 1 3 1 2

« Последнее редактирование: 20 Ноября 2010, 20:31:33 от Asix »

что-то не получается у меня ничего пожалуйста помогите решить

А что пытались сделать, чтобы получилось?

« Последнее редактирование: 20 Ноября 2010, 20:31:41 от Asix »

не получается привести её к правильному виду
1   2   1   2   3
0   1   1   1   2
2   3   2   3   1
3   1   3   1   2

1    2   1    2    3
0    1   1    1    2
0   -1   0   -1   -5
3    1   3    1    2

   1    2   1    2    3
0    1   1    1    2
0   -1   0   -1   -5
0   -5   0   -5   -7

   1    2   1    2    3
0    1   1    1    2
0    0   1    0   -3
0   -5   0   -5   -7

1   2   1   2    3
0   1   1   1    2
0   0   1   0   -3
0   0   5   0    3

   1   2   1   2    3
0   1   1   1    2
0   0   1   0   -3
0   0   0   0   18

   1   2   1    3   2
0   1   1    2   1
0   0   1   -3   0
0   0   0   18   0

   1   2   1    3   2
0   1   1    2   1
0   0   1   -3   0
0   0   0    1   0

« Последнее редактирование: 20 Ноября 2010, 20:31:53 от Asix »

не получается привести её к правильному виду

1. Что вы подразумеваете под правильным видом?
2. Напишите, как вы переходили от одной матрицы к другой. Проверим.

« Последнее редактирование: 20 Ноября 2010, 20:32:01 от Asix »

к правильному виду тоесть я не уверен что это решение правильное

1   2   1   2   3
0   1   1   1   2
2   3   2   3   1
3   1   3   1   2

________________________________________

Шаг:1
Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на a3,1=   2
1    2   1    2    3
0    1   1    1    2
0   -1   0   -1   -5
3    1   3    1    2

   Шаг:2
Вычтем из строки 4 строку 1 умноженную на a4,1=   3
1    2   1    2    3
0    1   1    1    2
0   -1   0   -1   -5
0   -5   0   -5   -7

   Шаг:3
Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на a3,2=   -1
1    2   1    2    3
0    1   1    1    2
0    0   1    0   -3
0   -5   0   -5   -7

   Шаг:4
Вычтем из строки 4 строку 2 умноженную на a4,2=   -5
1   2   1   2    3
0   1   1   1    2
0   0   1   0   -3
0   0   5   0    3

   Шаг:5
Вычтем из строки 4 строку 3 умноженную на a4,3=   5
1   2   1   2    3
0   1   1   1    2
0   0   1   0   -3
0   0   0   0   18

   Шаг:6
Поменяем местами столбцы 4 и 5.
1   2   1    3   2
0   1   1    2   1
0   0   1   -3   0
0   0   0   18   0

   Шаг:7
Разделим строку 4 на a4,4 =    18
Получим матрицу :
1   2   1    3   2
0   1   1    2   1
0   0   1   -3   0
0   0   0    1   0

ранг матрицы |A| равен 4

« Последнее редактирование: 20 Ноября 2010, 20:32:08 от Asix »

Шаг:6
Поменяем местами столбцы 4 и 5.

Зачем?

« Последнее редактирование: 20 Ноября 2010, 20:32:17 от Asix »

« Последнее редактирование: 20 Ноября 2010, 20:32:24 от Asix »

а что неправильно?

В матрице со столбцами не работают.
+на шаге № 5 вы уже привели матрицу к ступенчатому виду.

« Последнее редактирование: 20 Ноября 2010, 20:32:43 от Asix »

Остальное всё правильно?
значит надо
Шаг:5
Вычтем из строки 4 строку 3 умноженную на a4,3= 5
1 2 1 2 3
0 1 1 1 2
0 0 1 0 -3
0 0 0 0 18

Шаг:6
Разделим строку 4 на a4,4 = 18
1 2 1 2 3
0 1 1 1 2
0 0 1 0 -3
0 0 0 0 1

ранг матрицы |A| равен 4
ранг нашел и что дальше сделать надо???

« Последнее редактирование: 20 Ноября 2010, 20:32:50 от Asix »

Остальное всё правильно?
значит надо
Шаг:5
Вычтем из строки 4 строку 3 умноженную на a4,3= 5
1 2 1 2 3
0 1 1 1 2
0 0 1 0 -3
0 0 0 0 18

Шаг:6
Разделим строку 4 на a4,4 = 18
1 2 1 2 3
0 1 1 1 2
0 0 1 0 -3
0 0 0 0 1

ранг матрицы |A| равен 4

Шаг 6 делать необязательно.

ранг нашел и что дальше сделать надо???

4 – это количество линейно независимых столбцов. У вас столбцов сколько всего,а из них линейно независимых сколько?

всего 5 столбцов и 4 линейно независимых и что дальше делать?

Источник

Решебник.Ру / Кузнецов Л.А. Линейная алгебра. Задача 3

Системы линейных однородных уравнений

Постановка задачи. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы

1. Записываем матрицу системы:

и с помощью элементарных преобразований преобразуем матрицу к треугольному виду, т.е. к такому виду, когда все элементы, находящиеся ниже главной диагонали равны нулю. Ранг матрицы системы равен числу линейно независимых строк, т.е., в нашем случае, числу строк, в которых остались ненулевые элементы:

Размерность пространства решений равна . Если , то однородная система имеет единственное нулевое решение, если , то система имеет бесчисленное множество решений.

2. Выбираем базисных и свободных переменных. Свободные переменные обозначаем . Затем базисные переменные выражаем через свободные, получив таким образом общее решение однородной системы линейных уравнений.

3. Записываем базис пространства решений системы полагая последовательно одну из свободных переменных равной единице, а остальные нулю. Размерность линейного пространства решений системы равна количеству векторов базиса.

Примечание. К элементарным преобразованиям матрицы относят:

1. умножение (деление) строки на множитель, отличный от нуля;

2. прибавление к какой-либо строке другой строки, умноженной на любое число;

3. перестановка строк местами;

4. преобразования 1–3 для столбцов (в случае решения систем линейных уравнений элементарные преобразования столбцов не используются).

Задача 3. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы.

Выписываем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приводим ее к треугольному виду:

Полагаем , тогда

Размерность линейного пространства решений равна 3.

:: Рекомендуемая литература. Ремендуем покупать учебную литературу в интернет-магазине Озон

Способы описания подпространств линейного пространства

Рассмотрим два важных способа описания линейных подпространств, которые условно будем называть внутренним и внешним. В первом (внутреннем) способе используется понятие линейной оболочки векторов, когда все элементы подпространства выражаются через некоторые его элементы (образующие). При втором (внешнем) способе применяются однородные системы уравнений. В этом случае подпространство описывается как пересечение некоторых содержащих его множеств. Для каждого способа описания подпространств укажем методики на хождения размерностей, базисов, алгебраических дополнений, пересечений и сумм подпространств.

Любое n-мерное вещественное линейное пространство изоморфно n-мерному арифметическому пространству . Чтобы установить изоморфизм , достаточно выбрать в пространстве базис и каждому вектору поставить в соответствие его координатный столбец. Поэтому в данном разделе будем рассматривать описание подпространств n-мерного арифметического пространства .

Первый (внутренний) способ. Пусть в пространстве заданы столбцы . Напомним, что для систем столбцов были определены понятия базы (максимальной линейно независимой подсистемы столбцов) и ранга (максимального числа линейно не зависимых столбцов системы), а также методы их нахождения.

Рассматривая линейную оболочку столбцов как линейное подпространство , заключаем, что база системы столбцов является базисом этого подпространства, а ранг системы столбцов равен размерности подпространства .

Поэтому для нахождения размерности и базиса подпространства нужно выполнить следующие действия:

1) составить из данных столбцов матрицу размеров ;

2) привести ее к ступенчатому виду (1.4), используя элементарные преобразования строк;

3) определить размерность и базис подпространства

– количество ненулевых строк в матрице равняется размерности подпространства, т.е. ,

– столбцы матрицы , содержащие единичные элементы (в начале каждой “ступеньки”), определяют номера линейно независимых столбцов матрицы , т.е. искомый базис.

Таким образом, если подпространство задано своими образующими , то его размерность равна рангу системы столбцов , т.е. , а базисом служит максимальная линейно независимая подсистема образующих.

Второй (внешний) способ. Пусть подпространство задано как множество решений однородной системы уравнений с неизвестными. Множество решений системы уравнений можно рассматривать как пересечение подпространств , где — множество решений i-го уравнения системы . Напомним, что любое решение однородной системы представляется в виде линейной комбинации элементов фундаментальной системы решений. Поэтому раз мерность пространства , а базисом служит фундаментальная система решений однородной системы . Способы нахождения фундаментальной системы решений рассмотрены ранее.

Переход от одного способа описания подпространств к другому

Переход от внутреннего описания к внешнему. Пусть подпространство задано линейной оболочкой столбцов . Требуется составить такую однородную систему уравнений, множество решений которой совпадает с , т.е. . Для этого нужно выполнить следующие действия.

1. Из данных столбцов составить матрицу размеров , а затем блочную матрицу , приписав к матрице единичную матрицу n-го порядка.

2. Элементарными преобразованиями над строками блочной матрицы и первыми ее столбцами привести матрицу к виду , где — простейший вид матрицы .

3. Из последних строк матрицы составить матрицу .

4. Записать искомую систему уравнений .

Поясним содержание алгоритма. Заданное подпространство состоит из линейных комбинаций данных векторов, т.е. все его элементы имеют вид . Решаемую задачу можно сформулировать так: для каких векторов найдутся такие числа , чтобы выполнялось равенство . Другими словами, при каких неоднородная система ( уравнений с неизвестными ) имеет решения? Используя необходимое и достаточное условие (5.24) совместности системы, получаем равенство . Заметим, что решение поставленной задачи неоднозначно, так как существует много однородных систем, имеющих од но и то же множество решений.

Пример 8.8. Подпространство задано линейной оболочкой столбцов . Составить систему уравнений, определяющую подпространство .

Решение. 1. Составляем матрицу и блочную матрицу:

2. Приводим левый блок к простейшему виду. Вычитаем первую строку из остальных, а затем к четвертой строке прибавляем вторую, умноженную на (-2):

Преобразовываем столбцы левого блока: ко второму столбцу прибавим пер вый, умноженный на (-1), к третьему столбцу прибавим первый, умноженный на (-3), а затем второй, умноженный на (-1). Эти преобразования не изменяют правый блок полученной матрицы. Находим простейший вид Л матрицы и матрицу

3. Из последних строк матрицы составляем матрицу искомой системы.

4. Записываем систему уравнений Заданные в условии примера столбцы являются решениями полученной системы, в чем можно убедиться при их подстановке в систему уравнений вместо .

Переход от внешнего описания к внутреннему. Пусть подпространство задано как множество решений однородной системы т уравнений с л неизвестными: . Требуется найти размерность и базис этого подпространства, т.е. представить его в виде линейной оболочки . Для этого нужно выполнить следующие действия.

1. Найти фундаментальную систему решений однородной системы . Искомая размерность .

2. Представить заданное пространство как линейную оболочку .

Первый пункт алгоритма удобно выполнять следующим образом:

– составить блочную матрицу , приписав к матрице единичную матрицу n-го порядка;

– элементарными преобразованиями над столбцами блочной матрицы и строками верхнего блока привести матрицу к виду , где — простейший вид матрицы ;

– из последних столбцов матрицы составить фундаментальную матрицу .

Столбцы фундаментальной матрицы составляют искомую фундаментальную систему решений.

Заметим, что решение поставленной задачи неоднозначно, так как существует много базисов одного и того же линейного подпространства.

Пример 8.9. Найти размерность и базис подпространства , заданного системой уравнений

Решение. 1. Фундаментальная матрица для этой системы была найдена в примере 5.6

Ее столбцы образуют фундаментальную систему решений. Размерность подпространства равна , .

2. Столбцы являются искомым базисом, так как они линейно независимы и .

Системы линейных однородных уравнений

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения нетривиального и фундаментального решения СЛАУ. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример решения).

Шаг №1
Шаг №2
Видеоинструкция
Оформление Word

Свойства систем линейных однородных уравнений

Теорема. Система в случае m=n имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю.

Теорема. Любая линейная комбинация решений системы также является решением этой системы.
Определение. Совокупность решений системы линейных однородных уравнений называется фундаментальной системой решений, если эта совокупность состоит из линейно независимых решений и любое решение системы является линейной комбинацией этих решений.

Теорема. Если ранг r матрицы системы меньше числа n неизвестных, то существует фундаментальная система решений, состоящая из ( n-r ) решений.

[spoiler title=”источники:”]

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=sposoby-opisaniya-podprostranstv

http://math.semestr.ru/gauss/equations.php

[/spoiler]

Источник

ilya_56
Насколько я понял, в Вашем случае имеется пять четырёхкоординатных вектор-столбцов. Сами столбцы записаны в столбцах указанной Вами матрицы, а их одноимённые координаты – в строках этой матрицы.

В качестве базисных можно взять любой набор линейно независимых столбцов, через которые выражаются все остальные столбцы системы. Возьмём в качестве первого базисного первый столбец (1, 1, 2, 2). Второй столбец (2, 1, 1, 1) линейно независим с первым, поэтому его можно взять в качестве второго базисного). Третий столбец (2, 0, 2, 1) линейно независим с первыми двумя, поэтому его можно взять в качестве третьего базисного. И наконец, четвёртый столбец (1, 1, 1, 2) линейно независим с тремя предыдущими, поэтому его можно взять в качестве четвёртого базисного.

Чтобы выразить пятый столбец (3, 2, 1, 2) через базисные, нужно составить и решить систему четырёх уравнений, выражающих то обстоятельство, что координаты пятого вектор-столбца являются линейной комбинацией одноимённых координат соответствующих координат базисных вектор-столбцов. Получим такую систему:

[math]1a+2b+2c+1d=3,[/math]

[math]1a+1b+0c+1d=2,[/math]

[math]2a+1b+2c+1d=1,[/math]

[math]2a+1b+1c+2d=2.[/math]

Вам остаётся только решить эту систему. Найденные Вами коэффициенты a, b, c, d и будут координатами пятого вектор-столбца в базисе первых четырёх вектор-столбцов.

Источник

Обзор[править | править код]

Пространство столбцов[править | править код]

Определение[править | править код]

Базис[править | править код]

Размерность[править | править код]

Связь с коядром[править | править код]

Для матрицы над кольцами[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Как найти базис системы вектор-столбцов

Решебник.Ру / Кузнецов Л.А. Линейная алгебра. Задача 3

Системы линейных однородных уравнений

Способы описания подпространств линейного пространства

Переход от одного способа описания подпространств к другому

Системы линейных однородных уравнений

Свойства систем линейных однородных уравнений

Вам также может понравиться

Как найти то что мне нравится делать

Как исправить оценки если плохо учишься

Как найти квартиру хасавюрте

Добавить комментарий Отменить ответ