Как найти базис жордановой формы

(9.15)

Содержание

Для понимания материалов настоящего раздела рекомендуется ознакомиться с разделом
ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР. Материал настоящего раздела традиционно считается сложным для понимания.

Задача. Найти базис пространства $ mathbb V_{} $, в котором матрица линейного оператора
$ mathcal A_{} $ имеет наиболее простой вид.

В дальнейшем под выражением оператор понимается исключительно линейный оператор (и линейное пространство $ mathbb V_{} $ предполагается конечномерным!).

В пункте ДИАГОНАЛИЗУЕМОСТЬ МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА было установлено, что если возможно найти базис пространства $ mathbb V_{} $,
состоящий из собственных векторов оператора, то в этом базисе матрица оператора будет диагональной. В частности, существование такого базиса всегда гарантировано в случае, когда характеристический полином оператора $ mathcal A_{} $ имеет только простые корни: в этом случае система из собственных векторов оператора, принадлежащих различным собственным числам, гарантировано линейно независима. Случай наличия кратных корней
$$
f(lambda)= det (mathcal A – lambda mathcal E) equiv (-1)^n(lambda – lambda_1)^{{mathfrak m}_1} times
dots times (lambda – lambda_{{mathfrak r}})^{ {mathfrak m}_{{mathfrak r}}} quad ;
$$
$$
{mathfrak m}_1+dots+{mathfrak m}_{{mathfrak r}}=n, lambda_k ne
lambda_{ell} npu k ne ell,
$$
при хотя бы одном $ {mathfrak m}_j>1 $ оказывается «пограничным»: оператор может оказаться как диагонализуемым, так и недиагонализуемым.

Стратегия действий: пространство $ mathbb V_{} $ удается разбить в прямую сумму подпространств
$$
mathbb V_{} =mathbb V_1 oplus dots oplus mathbb V_{mathfrak r} , quad dim mathbb V_j={mathfrak m}_j
$$
инвариантных относительно $ mathcal A_{} $: $ mathcal A(mathbb V_j) subset
mathbb V_j $. При этом $ mathbb V_j $ обязательно будет включать собственные векторы,
принадлежащие $ lambda_{j} $, но, помимо них — в случае когда алгебраическая кратность собственного числа превосходит его геометрическую кратность:
$$ {mathfrak m}_j > ell_j = operatorname{dfc} (mathcal A – lambda_j {mathcal E}) $$
— и другие: так называемые, корневые. На основании теоремы
из

☞

ПУНКТА в базисе $ mathbb V_{} $, составленном объединением базисов $ mathbb V_j $, матрица оператора будет иметь блочно-диагональный вид
$$
left(
begin{array}{cccc}
mathbf A_1 & mathbb O & dots & mathbb O \
mathbb O & mathbf A_2 & dots & mathbb O \
& & ddots & \
mathbb O & mathbb O & dots & mathbf A_{{mathfrak r}}
end{array}
right) quad , quad mbox{ здесь } mathbf A_j – mbox{ матрица порядка }
{mathfrak m}_jtimes {mathfrak m}_j .
$$

Каждый из базисов составляющих $ mathbb V_{} $ подпространств $ mathbb V_j $ удается подобрать
так, чтобы матрица $ mathbf A_j $ имела снова блочно-диагональный вид
$$
mathbf A_j=
left(
begin{array}{cccc}
{mathbf A}_{j1} & mathbb O & dots & mathbb O \
mathbb O & {mathbf A}_{j2} & dots & mathbb O \
& & ddots & \
mathbb O & mathbb O & dots & {mathbf A}_{j ell_j}
end{array}
right)
$$
где на диагонали стоят матрицы вида
$$
{mathfrak J}_k (lambda_j) =
left(
begin{array}{cccccc}
lambda_j & 0 & 0 & dots & 0 & 0 \
1 & lambda_j & 0 & dots & 0 & 0 \
0 & 1 & lambda_j & dots & 0 & 0 \
vdots & & ddots & ddots& & vdots \
0 & 0 & 0 & dots & 1 & lambda_j
end{array}
right)_{k times k}
$$
называемые (нижними) клетками Жордана¹⁾.

Указанный вид матрицы оператора $ mathcal A $ называется канонической формой Жордана²⁾ или жордановой нормальной формой (ЖНФ), а соответствующий базис пространства — каноническим базисом. Жорданову нормальную форму оператора $ mathcal A $ будем обозначать $ mathbf A_{_{mathfrak J}} $.

§

Частным видом ЖНФ является диагональный:

$$ mathbf A_{_{mathfrak J}} =
A_{diag}=
left(
begin{array}{cccc}
lambda_1 & 0 & dots & 0 \
0 & lambda_2 & dots & 0 \
& & ddots & \
0 & 0 & dots & lambda_n
end{array}
right) ;
$$
в этом случае все клетки Жордана — первого порядка.

На языке матричного формализма задача построения ЖНФ и канонического базиса может быть переформулирована следующим образом: пусть имеется некоторый исходный базис $ {X_1,dots,X_n} $ пространства $ mathbb V_{} $, в котором матрица оператора равна $ mathbf A_{} $. Требуется найти
матрицу перехода $ C_{} $ от этого базиса к некоторому новому, обеспечивающую выполнение равенства
$$ C^{-1} mathbf A C = mathbf A_{_{mathfrak J}} . $$
Про матрицу $ mathbf A_{_{mathfrak J}} $ заранее известна лишь та информация, что все ее элементы — нулевые, за исключением разве лишь элементов двух ее диагоналей — главной и следующей за ней вниз.

Очень часто в приложениях ставится задача нахождения формы Жордана $ mathbf A_{_{mathfrak J}} $ и матрицы $ C_{} $, связанных с заданной матрицей $ mathbf A_{} $ последним равенством; при этом напрямую не ассоциируют исходную матрицу $ mathbf A_{} $ с каким-либо оператором — и вообще с каким-то пространством. С формальной точки зрения, нужно было бы формулировать задачу о каноническом базисе оператора $ X mapsto mathbf A cdot X $ при $ Xin mathbb C^n $ и исходном базисе пространства, состоящем из векторов
$$
{{mathfrak e}_j = big[underbrace{0,dots,0,1}_{j},0,dots,0big]^{top} }_{j=1}^n .
$$
Однако в примерах, рассмотренных ниже, я буду просто говорить на языке подобных матриц, ставя задачу
о приведении матрицы $ mathbf A_{} $ к ЖНФ.

Даже при формальном совпадении характеристических полиномов двух операторов $ mathcal A_1 $ и $ mathcal A_2 $ их жордановы нормальные формы могут быть различными. Однако для каждого оператора ЖНФ определяется единственным образом — с точностью до перестановки клеток Жордана на диагонали.

Пусть $ g(lambda),g_1(lambda),g_2(lambda) $ — произвольные полиномы над $ mathbb C_{} $.

Говорят, что операторный полином $ g(mathcal A) $ — аннулирующий для вектора $ Xin mathbb V_{} $ если $ g(mathcal A)(X)=mathbb O $.

Т

Теорема 1. Множество векторов $ X_{}in mathbb V $, аннулируемых $ g(mathcal A) $, образует линейное подпространство пространства $ mathbb V_{} $.

Доказательство. Действительно, это множество является ядром оператора $ g(mathcal A) $ и по теореме 1 из

☞

ПУНКТА, оно является линейным подпространством.

♦

Т

Теорема 2. Если полиномы $ g_1(lambda) $ и $ g_2(lambda) $ взаимно просты: $ operatorname{HOD} (g_1,g_2)=1 $, то подпространства векторов, аннулируемых $ g_1(mathcal A) $ и $ g_2(mathcal A) $, имеют тривиальное пересечение.

Доказательство. Если $ operatorname{HOD} (g_1,g_2)=1 $, то существуют полиномы $ { p_1(lambda),p_2(lambda)} subset mathbb C[lambda] $, обеспечивающие выполнение тождества Безу:
$$p_1(lambda)g_1(lambda)+p_2(lambda)g_2(lambda) equiv 1 . $$
Тогда при подстановке в это тождество оператора получим:
$$
p_1(mathcal A)g_1(mathcal A)+p_2(mathcal A)g_2(mathcal A) = mathcal E ,
$$
где $ mathcal E $ — тождественный оператор.

Если существует $ X in mathbb V_{} $ такой, что $ g_1(mathcal A)(X)=mathbb O $
и $ g_2(mathcal A)(X)=mathbb O $, то из последнего тождества следует, что
$$p_1(mathcal A)g_1(mathcal A)(X)+p_2(mathcal A)g_2(mathcal A)(X) = mathcal E(X) quad Longrightarrow
mathbb O=X . $$

♦

Т

Теорема 3. Если полиномы $ g_1(lambda) $ и $ g_2(lambda) $ взаимно просты и вектор $ Xne mathbb O $ аннулируется произведением
$ g_1(mathcal A)g_2(mathcal A) $, то этот вектор можно представить в виде суммы $ X=X_1+X_2 $,
где $ X_{j} $ аннулируется $ g_j(mathcal A) $.

Доказательство. Воспользуемся равенством из последней теоремы:
$$underbrace{p_1(mathcal A)g_1(mathcal A)(X)}_{= X_2}+
underbrace{p_2(mathcal A)g_2(mathcal A)(X)}_{= X_1} = mathcal E (X)=X .$$
Тогда $ g_2(mathcal A)(X_2)=p_1(mathcal A)g_1(mathcal A)g_2(mathcal A)(X)=p_1(mathcal A)(mathbb O)=mathbb O $, т.е.
$ X_2 $ аннулируется $ g_2(mathcal A) $. Аналогично доказывается, что
$ g_1(mathcal A)(X_1)=mathbb O $.

♦

=>

Если вектор $ X_{} $ аннулируется произведением

$$ g(mathcal A)=g_1(mathcal A)times dots times g_{{mathfrak r}}(mathcal A) , $$
где полиномы $ g_1(lambda),dots, g_{{mathfrak r}}(lambda) $ попарно взаимно просты, то его можно представить
в виде суммы
$$ X=X_1+dots+X_{{mathfrak r}} mbox{ где } X_j mbox{ аннулируется } g_j(mathcal A) . $$

Полином $ g(lambda) notequiv 0 $ называется аннулирующим полиномом оператора $ mathcal A_{} $, если $ g(mathcal A)= mathcal O $.

П

Пример. В пространстве $ mathbb P_3 $ полиномов с вещественными коэффициентами степеней $ le 3 $ оператор $ mathcal A_{} $ действует по правилу:

$$ mathcal A (F(x)) = F(x) (x^2-2) pmod{x^4-x^3-x^2+x} , $$
т.е. полином $ F_{}(x) $ отображается в остаток от деления произведения $ F(x) (x^2-2) $ на $ x^4-x^3-x^2+x $. Найти аннулирующий полином оператора.

Решение. Поскольку про аннулирующий полином $ g(lambda) $ нам заранее
не известна даже его степень, будем искать подбором как его степени (идя по возрастанию), так и его коэффициентов. Пусть
$$ g(lambda) = A_0 + A_1 lambda+ A_2 lambda^2+ dots . $$
Условие $ g(mathcal A)= mathcal O $ перепишем в виде
$$ A_0 mathcal E + A_1 mathcal A+ A_2 mathcal A^2+ dots = mathcal O . $$
В примере

☞

ПУНКТА степень оператора $ mathcal A^K $ вычислялась формулой
$$ mathcal A^k(F(x))=(x^2-2)^K F(x) pmod{x^4-x^3-x^2+x} . $$
Исходя из этого, аннулирующий полином должен обеспечивать выполнение условия
$$ ( A_0 + A_1 (x^2-2)+ A_2 (x^2-2)^2+ dots) F(x) equiv 0 pmod{x^4-x^3-x^2+x} ; $$
причем это тождество должно быть выполнено для любого полинома $ F_{}(x) $. Отсюда следует, что полином $ ( A_0 + A_1 (x^2-2)+ A_2 (x^2-2)^2+ dots) $ должен делиться нацело на $ x^4-x^3-x^2+x $. Для удовлетворения этого требования делаем теперь гипотезу о степени этого полинома и пробуем подобрать коэффициенты. Предположим, что $ deg g le 1 $, но такой полином может делиться на полином степени $ 4_{} $ только при условии выполнения равенств $ A_0=0,A_1=0 $; что нас совершенно не интересует. Пусть $ deg g=2 $, тогда если полином $ A_0 + A_1 (x^2-2)+ A_2 (x^2-2)^2 $ делится на полином степени $ 4_{} $, то должен отличаться от делителя только постоянным множителем:
$$ A_0 + A_1 (x^2-2)+ A_2 (x^2-2)^2 equiv C (x^4-x^3-x^2+x) quad npu quad C in mathbb C . $$
Легко проверить, что это возможно только в тривиальном случае: $ A_0=0,A_1=0,A_2=0 $. Случай $ deg g=3 $ требует уже более сложных расчетов: произведем деление с остатком
$$ A_0 + A_1 (x^2-2)+ A_2 (x^2-2)^2+ A_3 (x^2-2)^3 equiv $$
$$ equiv (A_2-4,A_3),x^3+(A_1-3,A_2+7,A_3),x^2+ $$
$$
+(-A_2+4,A_3),x+A_0-2,A_1+4,A_2-8,A_3 pmod{x^4-x^3-x^2+x} . $$
Остаток будет тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда
$$ A_2=4,A_3, A_1=5, A_3, A_0=2, A_3 . $$
Эти условия — с точностью, до постоянного сомножителя — определяют аннулирующий полином .

Ответ. Аннулирующим полиномом минимально возможной степени является $ lambda^3+4, lambda^2+ 5, lambda+2 $.

Аннулирующий полином оператора $ mathcal A_{} $ минимально возможной степени называется минимальным аннулирующим полиномом.

Существование хотя бы одного аннулирующего полинома оператора гарантируется теоремой Гамильтона-Кэли:
если $ f(lambda) $ — характеристический полином оператора $ mathcal A_{} $, то $ f(mathcal A)={mathcal O} $. Таким образом, можно утверждать, что для минимального аннулирующего полинома выполняется условие $ deg g le dim mathbb V $. Предыдущий пример показывает, что это неравенство может оказаться и строгим. Обратим внимание, что
для оператора из этого примера характеристический полином равен $ (lambda+2)(lambda+1)^3 $ и полученный аннулирующий полином является его делителем: он равен $ (lambda+2)(lambda+1)^2 $.

Т

Теорема 4. Аннулирующий полином $ g(lambda_{}) $ оператора $ mathcal A_{} $ имеет те же корни, что и характеристический полином этого оператора.

Доказательство от противного. Пусть $ lambda_{ast} in mathbb C $ — корень характеристического полинома оператора $ mathcal A_{} $, но $ g(lambda_{}) $ не имеет
$ lambda_{ast} $ корнем. Числу $ lambda_{ast} $ принадлежит корневой вектор $ mathfrak X_{ast} $ высоты $ 1_{} $ (собственный вектор) оператора $ mathcal A_{} $:
$ (mathcal A- lambda_{ast} mathcal E)(mathfrak X_{ast})=mathbb O $. С другой стороны, поскольку $ operatorname{HOD}( g(lambda_{}), lambda- lambda_{ast})=1 $, то, по теореме 2, вектор $ mathfrak X_{ast} $ не должен аннулироваться оператором $ g(mathcal A) $. Однако это противоречит предположению о том, что $ g(mathcal A) $ — аннулирующий полином оператора.

♦

Т

Теорема 5. Минимальный аннулирующий полином оператора является делителем его характеристического полинома. Два минимальных аннулирующих полинома оператора различаются, разве лишь, постоянным множителем.

Доказательство. Предположим противное: пусть минимальный аннулирующий полином $ g(lambda) $ не является делителем $ f(lambda) $. Тогда при делении $ f(lambda) $ на
$ g(lambda) $ возникает нетривиальный остаток:
$$ f(lambda)equiv g(lambda) q(lambda) + r(lambda) quad npu quad deg r < deg g . $$
Поскольку $ f(lambda) $ и $ g(lambda) $ — аннулирующие для $ mathcal A $, то и $ r(lambda)= f(lambda) – g(lambda) q(lambda) $ является аннулирующим.
Но это противоречит тому, что, по предположению, $ g(lambda) $ — минимальный аннулирующий полином.

Если $ tilde g(lambda) $ — еще один минимальный аннулирующий полином оператора, то обязательно $ deg tilde g = deg g $. Если предположить, что у полиномов $ g(lambda) $ и $ tilde g(lambda) $ имеются различные сомножители, то полином $ operatorname{HOD}(g(lambda), tilde g(lambda)) $ будет иметь степень меньшую $ deg tilde g = deg g $. Для
$ operatorname{HOD}(g(lambda), tilde g(lambda)) $ имеет место линейное представление:
$$ operatorname{HOD}(g(lambda), tilde g(lambda)) equiv p_1(lambda) g(lambda) + p_2(lambda) tilde g(lambda) npu quad {p_1(lambda),p_2(lambda) } subset mathbb C[lambda] . $$
Тогда $ operatorname{HOD}(g(lambda), tilde g(lambda)) $ является аннулирующим полиномом оператора. Но тогда $ g(lambda) $ и $ tilde g(lambda) $ не могут быть минимальными аннулирующими.

♦

Следствиями теорем 4 и 5 является следующий результат.

=>

Минимальный аннулирующий полином оператора $ mathcal A_{} $ совпадает (с точностью до постоянного сомножителя) с характеристическим полиномом этого оператора при условии отсутствия у этого полинома кратных корней. В общем случае, пусть разложение характеристического полинома оператора имеет вид

$$ f(lambda)= det (mathcal A – lambda mathcal E) equiv (-1)^n(lambda – lambda_1)^{{mathfrak m}_1} times
dots times (lambda – lambda_{{mathfrak r}})^{ {mathfrak m}_{{mathfrak r}}} quad ; quad
{mathfrak m}_1+dots+{mathfrak m}_{{mathfrak r}}=n, lambda_k ne
lambda_{ell} npu k ne ell.
$$
Минимальный аннулирующий полином имеет вид
$$ g(lambda)=(lambda-lambda_1)^{mathfrak n_1}times dots times (lambda-lambda_{mathfrak r})^{mathfrak n_{mathfrak r}} , $$
где показатели
$ {mathfrak n_j }_{j=1}^{mathfrak r} $ могут принимать значения из множеств $ {{1,dots,mathfrak m_j }}_{j=1}^{mathfrak r} $.

Конструктивное построение минимального аннулирующего полинома произвольного оператора довольно громоздко; структура его линейных множителей
напрямую связана со структурой Жордановой нормальной формы. В литературе излагается [2] метод построения ЖНФ на основе информации о минимальном аннулирующем полиноме,
но я в дальнейшем не использую эту конструкцию.

Теорема Гамильтона-Кэли эквивалентна равенству
$$ (mathcal A- lambda_1 mathcal E)^{{mathfrak m}_1} times
dots times (mathcal A – lambda_{{mathfrak r}}mathcal E)^{ {mathfrak m}_{{mathfrak r}}} = mathcal O .
$$
Из следствия к теореме $ 3 $ тогда вытекает, что произвольный вектор $ X_{} in mathbb V $
может быть представлен в виде суммы
$$X=X_1+dots+X_{{mathfrak r}} , qquad mbox{ где } X_j quad
mbox{ аннулируется } left(mathcal A – lambda_j mathcal E right)^{{mathfrak m}_j} .
$$
и такое представление единственно, т.е. $ mathbb V_{} $ раскладывается в прямую сумму
$$ mathbb V= mathbb V_1oplus dots oplus mathbb V_{{mathfrak r}} , qquad mbox{ где }
mathbb V_{j}
mbox{ аннулируется } left(mathcal A – lambda_j mathcal E right)^{{mathfrak m}_j } . $$

Т

Теорема 6. Линейное подпространство векторов, аннулируемых
$ left(mathcal A – lambda_j mathcal E right)^{{mathfrak m}_j} $, инвариантно относительно $ mathcal A_{} $.

Доказательство. Действительно, если
$$ left(mathcal A – lambda_j mathcal E right)^{{mathfrak m}_j}(X)=mathbb O , ,$$
то и
$$ left(mathcal A – lambda_j mathcal E right)^{{mathfrak m}_j}(mathcal A(X))=mathcal A(left(mathcal A – lambda_j mathcal E right)^{{mathfrak m}_j}(X))= mathbb O , .
$$

♦

=>

На основании теоремы
из

☞

ПУНКТА в базисе $ mathbb V_{} $, составленном объединением базисов $ mathbb V_j $, матрица оператора будет иметь блочно-диагональный вид

$$
left(
begin{array}{cccc}
mathbf A_1 & mathbb O & dots & mathbb O \
mathbb O & mathbf A_2 & dots & mathbb O \
& & ddots & \
mathbb O & mathbb O & dots & mathbf A_{{mathfrak r}}
end{array}
right) .
$$
Итак, мы следуем изложенной в начале раздела схеме; остается только подобрать хорошие базисы для самих подпространств $ mathbb V_j $.

Задача. Построить такой базис подпространства $ mathbb V_j $, в котором соответствующий блок $ {mathbf A}_j $ матрицы оператора $ mathcal A_{} $ будет состоять из клеток Жордана.

Ненулевой вектор $ X_{}in mathbb V $ называется корневым вектором оператора $ mathcal A_{} $, принадлежащим собственному числу $ lambda_{j}^{} $ если он аннулируется оператором $ (mathcal A – lambda_{j} mathcal E)^k $
при некотором $ k_{}in mathbb N $:
$ (mathcal A – lambda_{j} mathcal E)^k(X)=mathbb O $. Наименьший из показателей $ k_{} $ с
таким свойством называется высотой корневого вектора $ X_{} $:
$$ . mbox{ Высота } (X) = h iff (mathcal A – lambda_{j} mathcal E)^h(X)=mathbb O,
(mathcal A – lambda_{j} mathcal E)^{h-1}(X)ne mathbb O .$$

П

Пример 1. Любой собственный вектор оператора $ mathcal A_{} $ будет его корневым
высоты $ 1 $.

Рассмотрим теперь пример, разобранный в

☞

ПУНКТЕ.

П

Пример 2. В пространстве $ mathbb P_3 $ полиномов с вещественными коэффициентами степеней $ le 3 $ оператор $ mathcal A_{} $ действует по правилу

$$ mathcal A (f(x)) = F(x) (x^2-2) pmod{x^4-x^3-x^2+x} , $$
т.е. полином $ F_{}(x) $ отображается в остаток от деления произведения $ F(x) (x^2-2) $ на $ x^4-x^3-x^2+x $. Найти корневые векторы этого оператора.

Решение. Оператор имеет два собственных числа $ lambda_1=-2 $ и $ lambda_2=-1 $, причем последнее — кратности $ 3_{} $. Корневыми векторами высоты $ 1_{} $ являются собственные векторы, принадлежащие этим собственным числам, т.е.
$$ { t(x+1)(x-1)^2 mid tne 0 } quad mbox{ и } quad { (t_1x+t_2)x(x-1) mid (t_1,t_2) ne (0,0) } $$
соответственно.

Далее, ищем корневые векторы высоты $ 2_{} $, принадлежащие собственному числу $ lambda_1=-2 $.
$$ (mathcal A +2 , mathcal E)^2 (F(x))=x^4 F(x) pmod{x^4-x^3-x^2+x} $$
и наша задача состоит в нахождении полинома $ F_{}(x) $, для которого последнее выражение равно тождественно нулевому полиному. Очевидно, что множество всех таких полиномов
$$ { t(x^3-x^2-x+1) mid tne 0 } $$
совпадает с уже полученным выше множеством собственных векторов (полиномов). Понятно также, что дальнейшее увеличение степени оператора $ (mathcal A +2 , mathcal E) $ иных полиномов не даст. Следовательно, рассматриваемому собственному числу принадлежат только корневые векторы (полиномы) высоты $ 1_{} $.

Для собственного числа $ lambda_1=-1 $ сценарий оказывается несколько менее тривиальным:
$$ (mathcal A +mathcal E)^2 (F(x))=(x^2-1)^2 F(x) pmod{x^4-x^3-x^2+x} . $$
Полином $ (x^2-1)^2 F(x) $ делится нацело на $ x(x+1)(x-1)^2 $ при полиноме
$$ F_{}(x) in { (u_1x^2+u_2x+u_3)x mid (u_1,u_2,u_3) in mathbb R^3 } . $$
Некоторое подмножество этого множества составляют собственные векторы (полиномы):
$$ { (t_1x+t_2)(x-1)x mid (t_1,t_2)
in mathbb R^2 } subset { (u_1x^2+u_2x+u_3)x mid (u_1,u_2,u_3) in mathbb R^3 } , $$
но появляются и корневые векторы (полиномы) высоты $ 2_{} $. Чтобы понять какие это векторы обратим внимание, что полиномы из левого множества все делятся на $ (x-1) $, т.е. имеют корнем $ 1_{} $. Следовательно высоту $ 2_{} $ будут иметь полиномы $ (u_1x^2+u_2x+u_3)x $, для которых $ 1_{} $ не является корнем, т.е. удовлетворяющие условию $ u_1+u_2+u_3 ne 0 $.

Если мы попытаемся найти полиномы высоты $ 3_{} $, то нас ожидает неудача — множество решений
$ (mathcal A +mathcal E)^3 (F(x)) $ совпадает с предыдущим.

♦

П

Пример 3. Найти корневые векторы матрицы

$$
mathbf A=left(
begin{array}{rrrrrrrr}
3 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \
0 & 3 & -2 & -1 & -1 & -2 & 1 & -1 \
2& 3 & 0 & 0 & -2 & -2 & 0 & -2 \
-3 & -3 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 2 \
-1 & -1 & 0 & 0 & 2 & -1 & 1 & 0 \
-1 & -1 & 0 & -1 & 1 & 3 & 0 & 1 \
-1 & -1 & 0 & -1 & 1 & 1 & 2 & 1 \
0& 0& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2
end{array}
right) .
$$

Решение. $ det (mathbf A- lambda E) equiv ( lambda -2)^8 $. У матрицы имеется единственное собственное число $ lambda_1=2 $ алгебраической кратности $ 8_{} $.
Составим матрицу
$$
mathbf B=mathbf A- 2, E=
left(
begin{array}{rrrrrrrr}
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0\
0 & 1 & -2 & -1 & -1 & -2 & 1 & -1\
2 & 3 & -2 & 0 & -2 & -2 & 0 & -2\
-3 & -3 & 1 & -1 & 2 & 1 & 1 & 2\
-1 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0\
-1 & -1 & 0 & -1 & 1 & 1 & 0 & 1\
-1 & -1 & 0 & -1 & 1 & 1 & 0 & 1\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
end{array}
right)
$$
и найдем корневые векторы высоты $ 1_{} $ как решения системы однородных уравнений $ mathbf B X = mathbb O $. Методом Гаусса сводим эту систему к
$$
left(
begin{array}{rrrrrrrr}
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0\
0& 1 & -2 & -1 & -1 & -2 & 1 & -1 \
0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 2 & -1 & 1\
0& 0 & 0 & 1 & -1 & -2 & 1 & -1
end{array}
right) X = mathbb O iff
$$
$$
iff quad
left{
begin{array}{rrrrrrrrr}
x_1 & & -x_3 & +x_4 & +x_5 & & & & =0,\
& x_2 & & & & & & & =0, \
& & x_3 & +x_4 & & & & & =0,\
& & & x_4 & -x_5 & -2,x_6 & +x_7 & -x_8 & = 0.
end{array}
right.
$$
Геометрическая кратность собственного числа равна $ 4_{} $.
Строим фундаментальную систему решений (ФСР) для этой системы; переменные $ x_5,x_6,x_7,x_8 $ можно взять в качестве основных:
$$
begin{array}{rrrr|rrrr}
x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & x_6 & x_7 & x_8 \
hline
0 & 0 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \
-1 & 0 & -2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \
1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1
end{array}
$$
Таким образом, ФСР состоит из векторов
$$
X_1=[0,0,-1,1,1,0,0,0]^{top}, X_2=[-1,0,-2,2,0,1,0,0]^{top},
$$
$$
X_3=[1,0,1,-1,0,0,1,0]^{top}, X_4=[0,0,-1,1,0,0,0,1]^{top} .
$$
Любая нетривиальная линейная комбинация $ alpha_1X_1+alpha_2X_2+alpha_3X_3+alpha_4X_4 $ будет корневым вектором высоты $ 1_{} $.

Теперь отыщем корневые векторы высоты $ 2_{} $. Для этого вычислим матрицу $ mathbf B^2 $ и решим систему уравнений $ mathbf B^2 X=mathbb O $:
$$
left(
begin{array}{rrrrrrrr}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &0\
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0\
2 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 & -1 & -1\
-2 & -1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 1\
-1 & -1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
end{array}
right) X = mathbb O quad iff
$$
$$
iff quad
left{
begin{array}{rrrrrrrrr}
x_1 & & +x_3 & +x_4 & & +x_6 & -x_7 & & =0,\
& x_2 & -2,x_3 & -x_4 & -x_5 & -2,x_6 & +x_7 & -x_8 & =0.
end{array}
right.
$$
Для этой системы ФСР состоит из $ 6_{} $ векторов и ее можно строить разными способами. Например, ее можно строить дополнением системы корневых
векторов высоты $ 1_{} $ — это позволит выделить корневые векторы высоты большей $ 1_{} $. Для того, чтобы организовать такую процедуру пополнения, достаточно перебросить часть переменных, которые были зависимыми при нахождении ФСР в предыдущей системе $ mathbf B X= mathbb O $, к основным переменным. Такими переменными можно взять $ x_{3} $ и $ x_{4} $:
$$
begin{array}{rr|rrrrrr}
x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & x_6 & x_7 & x_8 \
hline
-1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
-1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \
hline
0 & 0 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \
-1 & 0 & -2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \
1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1
end{array}
$$
Векторы
$$ X_5 = [-1, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 0]^{top} quad u quad X_6 = [-1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0]^{top} $$
являются корневыми векторами высоты $ 2_{} $, и такая же высота будет у любого вектора
$$
alpha_1X_1+alpha_2X_2+alpha_3X_3+alpha_4X_4 + beta_1 X_5 + beta_2 X_6 quad npu quad {alpha_1,dots,alpha_4, beta_1, beta_2} subset mathbb C,
|beta_1|+ |beta_2| ne 0 .
$$
Далее, для нахождения корневых векторов высоты $ 3_{} $ решим систему $ mathbf B^3 X=mathbb O $:
$$
left(
begin{array}{rrrrrrrr}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &0\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &0\
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0\
-1 & 0 & -1 & -1 & 0 & -1 & 1 &0\
-1 & 0 & -1 & -1 & 0 & -1 & 1 &0\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &0\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &0\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &0
end{array}
right) X = mathbb O quad iff
$$
$$
iff quad
x_1+x_3 +x_4+x_6 -x_7 =0 .
$$
Снова строим ФСР дополнением ранее полученных векторов $ X_1,dots,X_6 $. В разряд основных переменных переходит $ x_{2} $ и вектором высоты $ 3_{} $ будет
$$ X_7=[0,1,0,0,0,0,0,0]^{top} . $$
Очередное возведение в степень матрицы $ mathbf B $ приводит к нулевой матрице: $ mathbf B^4=mathbb O $. Любой вектор $ mathbb C^8 $ является решением системы
$ mathbf B^4X=mathbb O $. Вектором высоты $ 4_{} $ возьмем вектор
$$ X_8=[1,0,0,0,0,0,0,0]^{top} . $$
Векторов высоты большей $ 4_{} $ у матрицы нет.

♦

Т

Теорема 7. Высота корневого вектора, принадлежащего $ lambda_{j}^{} $, не превосходит кратности этого числа в характеристическом полиноме (т.е. его алгебраической кратности).

§

В дальнейшем максимально возможную высоту корневого вектора для числа $ lambda_{j}^{} $ будем обозначать $ mathfrak h_j $.

Доказательство. Пусть существует вектор $ X_{}in mathbb V $ такой, что
$$
(mathcal A – lambda_j {mathcal E})^{mathfrak h_j}(X)=mathbb O,quad (mathcal A – lambda_j {mathcal E})^{mathfrak h_j-1}(X) ne mathbb O
$$
при $ mathfrak h_j>{mathfrak m}_j $. Обозначим
$$ widetilde X = (mathcal A – lambda_j {mathcal E})^{{mathfrak m}_j}(X),quad
g(lambda) = f(lambda)/(lambda-lambda_j)^{{mathfrak m}_j} .$$
По определению, вектор $ widetilde X $ — корневой, принадлежащий $ lambda_{j}^{} $, высоты $ mathfrak h_j-{mathfrak m}_j $.
Поскольку $ g(lambda) $ не имеет корнем $ lambda_{j}^{} $, то
$ operatorname{HOD} (g(lambda),(lambda-lambda_j)^{mathfrak h_j-{mathfrak m}_j})=1 $. По теореме 2:
$ g(mathcal A)(widetilde X)ne mathbb O $. Но тогда
$$g(mathcal A)(mathcal A – lambda_j {mathcal E})^{{mathfrak m}_j}(X)ne mathbb O Longrightarrow f(mathcal A)(X)ne mathbb O ,$$
что противоречит тому, что $ f(mathcal A)={mathcal O} $.

♦

Т

Теорема 8. Множество корневых векторов, принадлежащих $ lambda_{j}^{} $, дополненное нулевым вектором, образует линейное подпространство.

Это подпространство, которое мы выше обозначали $ mathbb V_{j} $, называется корневым подпространством оператора $ mathcal A_{} $, принадлежащим данному собственному числу $ lambda_{j}^{} $.

Т

Теорема 9. Корневые подпространства, принадлежащие различным собственным числам оператора $ mathcal A_{} $, имеют тривиальное пересечение:
$$ mathbb V_j bigcap mathbb V_k = { mathbb O } qquad npu quad lambda_j ne lambda_k . $$

Доказательство. Следствие теоремы 2.

♦

Т

Теорема 10. Пространство $ mathbb V_{} $ раскладывается в прямую сумму корневых подпространств оператора $ mathcal A $:
$$mathbb V=mathbb V_1 oplus dots oplus mathbb V_{{mathfrak r}} . $$

Для построения базиса корневого подпространства $ mathbb V_{j} $ выделим в нем подпространства корневых векторов высот $ le s $:
$$ mathbb Q_s = mathcal{K}er (mathcal A-lambda_{j} , {mathcal E})^s , mathbb Q_0 = {mathbb O} .$$
Понятно, что имеет место вложенность
$$mathbb Q_0 subset mathbb Q_1 subset dots subset mathbb Q_{mathfrak h_j} = mathbb V_j .$$

Т

Теорема 11. Если векторы $ X_1,dots,X_k $ принадлежат $ mathbb Q_s $ и линейно независимы относительно $ mathbb Q_{s-1} $, то векторы
$ (mathcal A – lambda_j {mathcal E})(X_1),dots, (mathcal A – lambda_j {mathcal E})(X_k) $
принадлежат $ mathbb Q_{s-1} $ и линейно независимы относительно $ mathbb Q_{s-2} $.

Доказательство. Если $ Xin mathbb Q_s $ то $ (mathcal A – lambda_j {mathcal E})^s(X)=mathbb O $, т.е.
$$(mathcal A – lambda_j {mathcal E})^{s-1}left( (mathcal A – lambda_j {mathcal E})(X) right)=mathbb O
,$$
но это и означает, что $ (mathcal A – lambda_j {mathcal E})(X) in mathbb Q_{s-1} $.

Предположим теперь, что существуют скаляры $ c_1,dots,c_k $ такие, что
$$
begin{array}{ccc}
&c_1 (mathcal A – lambda_j {mathcal E})(X_1)+dots+c_k (mathcal A – lambda_j {mathcal E})(X_k) in
mathbb Q_{s-2}& iff \
iff (mathcal A – lambda_j {mathcal E})^{s-2} &left(c_1 (mathcal A – lambda_j {mathcal E})(X_1)+dots
+c_k (mathcal A – lambda_j {mathcal E})(X_k) right)=mathbb O quad & iff \
iff (mathcal A – lambda_j {mathcal E})^{s-1}&
left(c_1X_1+dots +c_k X_k right) = mathbb O qquad Rightarrow quad c_1X_1+dots +c_k X_k in mathbb Q_{s-1} .
&
end{array}
$$
По условию теоремы последнее соотношение возможно только при $ c_1=0,dots, c_k=0 $.

♦

§

Чтобы не усложнять индексы, всюду в алгоритме полагаем $ mathfrak h = mathfrak h_j $.

0.

Считаем, что на этом этапе построены базисы всех подпространств $ mathbb Q_1, mathbb Q_2,dots, mathbb Q_{mathfrak h} $. При этом базис каждого
подпространства $ mathbb Q_s $ при $ sin {2,dots,mathfrak h} $ получен дополнением базиса подпространства $ mathbb Q_{s-1} $. Обозначим
$$ mathcal B = mathcal A – lambda_j {mathcal E} quad, k_1 = dim mathbb Q_1, k_{s} = dim mathbb Q_s- dim mathbb Q_{s-1} quad npu quad sin {2,dots,mathfrak h} ; $$
таким образом, $ k_{s} $ — число векторов относительного базиса $ mathbb Q_s $ над $ mathbb Q_{s-1} $. Число $ k_1+k_2+dots+k_{_{mathfrak h_j}} $ равно алгебраической кратности, а число $ k_{1} $ равно геометрической кратности собственного числа $ lambda_{j} $:
$$ k_1+k_2+dots+k_{_{mathfrak h_j}}= mathfrak m_j= dim mathbb V_j, k_1= ell_j= operatorname{dfc} left( mathcal A – lambda_j {mathcal E} right) . $$

Для визуализации последующего алгоритма построения канонического базиса удобно представить результаты этого этапа в виде схемы:

Мы наблюдаем разноэтажное здание, число квартир на каждом этаже которого не превосходит числа квартир на предыдущем. В ходе дальнейшего алгоритма, часть «жильцов» останется на месте, а часть может быть замещена другими.

1.

Выберем $ Y_{1},dots,Y_{k_{_{mathfrak h}}} $ — относительный базис³⁾ $ mathbb Q_{mathfrak h}=mathbb V_j $ над
$ mathbb Q_{mathfrak h-1} $.

2.

По теореме 11 векторы $ mathcal B(Y_{1}),dots,mathcal B(Y_{k_{_{mathfrak h}}}) $
принадлежат $ mathbb Q_{mathfrak h-1} $ и л.н.з. относительно $ mathbb Q_{mathfrak h-2} $.
Если $ k_{mathfrak h}=k_{mathfrak h-1} $ то переходим к шагу

3

, в противном случае дополним полученные векторы до относительного базиса $ mathbb Q_{mathfrak h-1} $ над $ mathbb Q_{mathfrak h-2} $: пусть система
$$mathcal B(Y_{1}), dots,mathcal B(Y_{k_{mathfrak h}}),Y_{k_{mathfrak h}+1},dots, Y_{k_{(mathfrak h-1)}}$$
является этим базисом.

3.

По теореме 11 векторы
$$mathcal B^2(Y_{1}), dots,mathcal B^2(Y_{k_{mathfrak h}}),mathcal B(Y_{k_{mathfrak h}+1}),dots, mathcal B(Y_{k_{_{(mathfrak h-1)}}})$$
принадлежат $ mathbb Q_{mathfrak h-2} $ и л.н.з. относительно $ mathbb Q_{mathfrak h-3} $. Если $ k_{mathfrak h-1}=k_{mathfrak h-2} $ то переходим к шагу

4

, в противном случае дополним эти векторы до относительного базиса $ mathbb Q_{mathfrak h-2} $ над $ mathbb Q_{mathfrak h-3} $.

4.

Продолжаем процесс…

…

h – 1.

$ dots $

h.

Действуем оператором $ mathcal B $ на векторы, полученные на предыдущем шаге:
$$
mathcal B^{,mathfrak h-1}(Y_{1}), dots,mathcal B^{,mathfrak h-1}(Y_{k_{mathfrak h}}),mathcal B^{,mathfrak h-2}(Y_{k_{mathfrak h}+1}),dots,mathcal B^{,mathfrak h-2}(Y_{k_{_{(mathfrak h-1)}}}),dots, mathcal B(Y_{k_{_3}+1}),dots,mathcal B(Y_{k_{_2}}) .
$$
Получившиеся векторы принадлежат $ mathbb Q_1 $ и л.н.з. относительно $ mathbb Q_{0} $, т.е. линейно независимы в обычном понимании. Если $ k_{2}=k_{1} $, то процесс заканчивается. В противном случае дополним эти векторы до базиса $ mathbb Q_1 $: пусть
$$
begin{array}{ccc}
& mathcal B^{,mathfrak h-1}(Y_{1}), dots,mathcal B^{,mathfrak h-1}(Y_{k_{mathfrak h}}),mathcal B^{,mathfrak h-2}(Y_{k_{mathfrak h}+1}),dots,mathcal B^{,mathfrak h-2}(Y_{k_{_{(mathfrak h-1)}}}),dots, & \
& qquad dots, quad mathcal B(Y_{k_{_3}+1}),dots,mathcal B(Y_{k_{_2}}), Y_{k_{_2}+1},dots, Y_{k_{1}} &
end{array}
$$
этот базис.

Базис $ mathbb V_{j} $ получается объединением всех векторов, полученных в алгоритме. Действительно,
$$ .mbox{ базис }
mathbb Q_2 = big{ mbox{ базис } mathbb Q_1 big} bigcup
big{ mbox{ относит. базис } mathbb Q_2 mbox{ над } mathbb Q_1 big} ,
$$
$$
.mbox{ базис } mathbb Q_3 = big{ mbox{ базис } mathbb Q_2 big} bigcup
big{ mbox{ относит. базис } mathbb Q_3 mbox{ над } mathbb Q_2 big} ,
$$
$$
dots qquad dots
$$
$$
.mbox{ базис } underbrace{mathbb Q_{_{mathfrak h}}}_{=mathbb V_j} = big{ mbox{ базис }
mathbb Q_{mathfrak h-1} big} bigcup
big{ mbox{ относит. базис } mathbb Q_{mathfrak h} mbox{ над } mathbb Q_{mathfrak h-1} big} .
$$

Структура жордановой нормальной формы оператора

$ mathcal A_{} $

В ЖНФ оператора $ mathcal A_{} $ собственному числу $ lambda_{j} $ соответствует $ k_{1} $ клеток Жордана. Они имеют следующую структуру:

• $ k_{mathfrak h} $ клеток порядка $ mathfrak h $;

• $ k_{mathfrak h-1}-k_{mathfrak h} $ клеток порядка $ mathfrak h-1 $;

• $ k_{mathfrak h-2}-k_{mathfrak h-1} $ клеток порядка $ mathfrak h-2 $;

• $ dots $;

• $ k_1- k_2 $ клеток порядка $ 1_{} $.

Пусть эти клетки расположены на диагонали ЖНФ по убыванию их порядков:
$$ underbrace{{mathfrak J}_{mathfrak h} (lambda_j), dots, {mathfrak J}_{mathfrak h} (lambda_j)}_{k_{mathfrak h}}, underbrace{{mathfrak J}_{mathfrak h-1} (lambda_j),dots, {mathfrak J}_{mathfrak h-1} (lambda_j)}_{k_{mathfrak h-1}-k_{mathfrak h}},dots, underbrace{{mathfrak J}_{2} (lambda_j),dots, {mathfrak J}_{2} (lambda_j)}_{k_2- k_3}, underbrace{{mathfrak J}_{1} (lambda_j),dots, {mathfrak J}_{1} (lambda_j)}_{k_1- k_2} .
$$

Структура соответствующего канонического базиса

В каноническом базисе корневые векторы, соответствующие указанной последовательности клеток, следует упорядочить по следующему правилу:

1.

Векторы канонического базиса, соответствующие подпоследовательности клеток Жордана максимального порядка $ mathfrak h $ в ЖНФ, берутся в следующей последовательности:
$$
Y_1, mathcal B(Y_1), dots, mathcal B^{mathfrak h -1}(Y_1), dots,
Y_{k_{mathfrak h}}, mathcal B (Y_{k_{mathfrak h}}), dots, mathcal B^{mathfrak h -1}(Y_{k_{mathfrak h}}) .
$$
Если обратиться к схеме построения относительных базисов подпространств, то предложенный алгоритм упорядочивания векторов канонического базиса иллюстрируется следующим образом: сначала мы «выселяем из квартир» всех жильцов, которые жили в них в пункте алгоритма за номером

0

(см. схему выше), кроме тех, кто живет на самом верхнем — $ mathfrak h $-м — этаже. Начинаем заселение квартир, идя по стоякам сверху вниз. Квартиранты верхней квартиры «размножаются» с заселением нижних квартир, но строго в том же стояке. Как только заселяем весь стояк вплоть до первого
этажа, переходим к соседнему стояку и снова начинаем «заселение» с самой верхней квартиры.

2.

Когда все $ k_{mathfrak h} $ стояков (их еще называют «башнями») максимальной высоты $ mathfrak h $ заселены, ищем стояки высоты $ mathfrak h-1 $. Их может вовсе не оказаться (если $ k_{mathfrak h-1}= k_{mathfrak h} $). Но если хотя бы один имеется, то мы позволяем заселиться во все оставшиеся квартиры $ (mathfrak h-1) $-го этажа тем жильцам, которые жили на этом этаже до выселения — корневым векторам высоты $ mathfrak h-1 $, т.е. жильцов выбираем среди $ X_{mathfrak h-1,1},dots, X_{mathfrak h-1,k_{_{(mathfrak h-1)}}} $. При одном дополнительном ограничении: «заселяются» только такие «старые» корневые векторы, которые вместе с «новосёлами» на этом этаже — векторами $ mathcal B(Y_1), dots, B (Y_{k_{mathfrak h}}) $ — образуют относительный базис $ mathbb Q_{mathfrak h-1} $ над $ mathbb Q_{mathfrak h-2} $. Количество таких векторов равно $ k_{mathfrak h-1} – k_{mathfrak h} $, и мы их обозначаем $ Y_{k_{mathfrak h}+1},dots, Y_{k_{(mathfrak h-1)}} $. Каждый из них порождает заселение целого стояка — по образу и подобию сценария предыдущего пункта. Векторы, взятые в порядке
$$ Y_{k_{mathfrak h}+1}, mathcal B(Y_{k_{mathfrak h}+1}),dots, mathcal B^{mathfrak h-2}(Y_{k_{mathfrak h}+1}), dots, Y_{k_{(mathfrak h-1)}},
mathcal B(Y_{k_{(mathfrak h-1)}}),dots, mathcal B^{mathfrak h-2}(Y_{k_{(mathfrak h-1)}}) $$
— это следующие векторы канонического базиса, соответствующие подпоследовательности клеток порядка $ mathfrak h-1 $ в ЖНФ.

3.

$ dots $

…

h.

Если в ходе предшествующих стадий заселения еще имеются свободные квартиры на $ 1_{} $-м этаже ($ k_1>k_2 $), то в них заселяются корневые векторы высоты $ 1_{} $, т.е. собственные векторы оператора $ mathcal A_{} $. Лишь бы только эти векторы, обозначенные нами $ Y_{_{k_2+1}},dots, Y_{_{k_1}} $, оказались линейно независимыми с уже заселившимися, т.е. чтобы все жильцы первого этажа образовывали бы базис $ mathbb Q_1 $. Эти векторы соответствуют клеткам Жордана порядка $ 1_{} $, т.е., фактически, просто последовательности из $ k_2-k_1 $ чисел $ lambda_j,dots,lambda_j $, стоящих на главной диагонали ЖНФ.

§

Объяснение необходимости перестановки векторов канонического базиса — почему они нумеруются по правилу «сверху вниз», а не поэтажно — дается в следующем ПУНКТЕ.

П

Пример 3 (окончание). Построить ЖНФ и канонический базис пространства для оператора из примера 3.

Решение. В этом примере корневое пространство единственно, поскольку единственно собственное число $ lambda_1=2 $. Далее, максимальная высота корневого вектора $ mathfrak h_1 = 4 $, а соответствующие подпространства $ {mathbb Q_j}_{j=1}^4 $ имеют вид:
$$
begin{array}{lcl}
mathbb Q_1 &=& mathcal L (X_1,X_2,X_3,X_4), \
mathbb Q_2 &=& mathcal L (X_1,X_2,X_3,X_4,X_5,X_6),\
mathbb Q_3 &=& mathcal L (X_1,X_2,X_3,X_4,X_5,X_6,X_7), \
mathbb Q_4 &=& mathcal L (X_1,X_2,X_3,X_4,X_5,X_6,X_7,X_8) ;
end{array}
$$
в обозначениях алгоритма имеем:
$$ k_1=4, k_2=2, k_3=1, k_4=1 . $$
Начинаем строить канонический базис согласно алгоритму. Первым делом, выбираем векторы относительного базиса $ mathbb Q_4 $ над $ mathbb Q_3 $. Такой вектор единствен — это
$$ X_8 = [1,0,0,0,0,0,0,0]^{top} .$$
Далее, согласно пункту

2

, вектор
$$ mathbf B X_8 =[1,0,2,-3,-1,-1,-1,0]^{top} $$
принадлежит $ mathbb Q_3 $ и линейно независим относительно $ mathbb Q_2 $. Поскольку $ k_3=1 $, то больше векторов в относительный базис $ mathbb Q_3 $ над $ mathbb Q_2 $ добавлять не нужно. Переходим к пункту

3

алгоритма: вычисляем
$$ mathbf B^2 X_8 =[0,1,2,-2,-1,0,0,0]^{top} . $$
Этот вектор принадлежит $ mathbb Q_2 $ и линейно независим относительно $ mathbb Q_1 $. Поскольку $ k_2=2 $, то можно подобрать еще один вектор из относительного базиса
$ mathbb Q_2 $ над $ mathbb Q_1 $.

Какой из векторов
$$ X_5 = [-1, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 0]^{top} quad mbox{ или } quad X_6 = [-1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0]^{top} , $$
полученных в ходе построения базиса $ mathbb Q_2 $, следует взять? — В данном конкретном примере это не имеет значения, поскольку проверка условия базисности
$$
operatorname{rank} { mathbf B^2 X_8, X_5, X_1,X_2,X_3,X_4 } = operatorname{rank} { mathbf B^2 X_8, X_6, X_1,X_2,X_3,X_4 }= 6
$$
выполняется для обоих векторов.

Если ввести в базис вектор $ X_5 $, то в следующем,

4

-м, шаге алгоритма получим систему векторов
$$ mathbf B^3 X_8 = [0,0,1,-1,-1,0,0,0]^{top}, mathbf B X_5 =[0,0,2,-2,-1,-1,-1,-1,0]^{top} . $$
Если все вычисления проделаны правильно, то полученные векторы должны быть собственными для матрицы $ mathbf A_{} $, т.е. линейно выражаться через векторы
$$
X_1=[0,0,-1,1,1,0,0,0]^{top}, X_2=[-1,0,-2,2,0,1,0,0]^{top},
$$
$$
X_3=[1,0,1,-1,0,0,1,0]^{top}, X_4=[0,0,-1,1,0,0,0,1]^{top} .
$$
В самом деле, $ mathbf B^3 X_8=-X_1 $, $ mathbf B X_5=-X_1-X_2-X_3 $. Следовательно, в дополнение к векторам $ mathbf B^3 X_8 $ и $ mathbf B X_5 $ в базис пространства $ mathbb Q_1 $ можно выбрать, например, векторы $ X_2, X_4 $.

Канонический базис пространства состоит, например, из векторов
$$ X_8, mathbf B X_8, mathbf B^2 X_8, X_5, mathbf B^3 X_8, mathbf B X_5,X_2, X_4 ; $$
однако эти векторы требуется определенным образом переставить местами. Сначала определяем структуру ЖНФ оператора. В соответствии с алгоритмом имеем ее в виде
$$
mathbf A_{_{mathfrak J}}
=
left(begin{array}{cccc|cc|c|c}
2 & & & & & & & \
1 & 2 & & & & & & \
& 1 & 2 & & & & & \
& & 1 & 2 & & & & \
hline
& & & & 2 & & &\
& & & & 1 & 2 & & \
hline
& & & & & & 2 & \
hline
& & & & & & & 2
end{array}
right)
$$
(все неуказанные элементы равны $ 0_{} $).

В соответствии с этой формой найденные выше корневые векторы следует переставить следующим образом:
$$ X_8, mathbf B X_8, mathbf B^2 X_8, mathbf B^3 X_8, X_5, mathbf B X_5,X_2, X_4 . $$
Матрица
$$
C=left(begin{array}{rrrrrrrr}
1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0\
0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\
0 & 2 & 2 & 1 & 1 & 2 & -2 & -1\
0 & -3 & -2 & -1 & 0 & -2 & 2 & 1\
0 & -1 & -1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0\
0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0\
0 &-1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
end{array}
right)
$$
приводит матрицу $ mathbf A_{} $ к указанной форме Жордана: $ C^{-1} mathbf A C = mathbf A_{_{mathfrak J}} $.

♦

Для завершения исследования нам осталось только выяснить причину, по которой в алгоритме построения канонического базиса из предыдущего пункта, начиная с определенного места, был изменен принцип нумерации получившейся системы корневых векторов. А для этого следует
выяснить, каким образом преобразуются векторы построенного базиса под действием оператора $ mathcal A_{} $.

Пусть в пространстве $ mathbb V_{} $ действует оператор $ mathcal B $. Для любого $ Xinmathbb V $
построим минимально возможное инвариантное подпространство оператора $ mathcal B $, содержащее $ X_{} $. Рассмотрим
последовательность
$$ X, mathcal B (X),mathcal B(mathcal B(X))=mathcal B^2(X), dots, $$
и продолжим ее до тех пор, пока не возникнет линейная зависимость.

Т

Теорема 11. Пусть система

$$ { X, mathcal B(X), ldots, mathcal B^{k-1}(X) } $$
еще линейно независима, в то время как система
$$ {X, mathcal B(X), ldots, mathcal B^{k-1}(X),mathcal B^k(X) } $$
уже линейно зависима.
Тогда линейная оболочка системы векторов $ {X, mathcal B(X),ldots,mathcal B^{k-1}(X) } $
$$
widetilde{mathbb V}= {mathcal L}(X,mathcal B(X),ldots,mathcal B^{k-1}(X))
$$
является инвариантным подпространством оператора $ mathcal B $. При этом
$ widetilde{mathbb V} $ будет минимальным инвариантным подпространством, содержащим $ X_{} $,
т.е. если $ widetilde{widetilde{mathbb V}} $ — произвольное инвариантное
подпространство, содержащее $ X_{} $, то
$ widetilde{widetilde{mathbb V}}supset widetilde{mathbb V} $.

Доказательство. Рассмотрим произвольный вектор из $ widetilde{mathbb V} $:
$$
Y=c_1X+c_2mathcal B(X)+ldots+c_kmathcal B^{k-1}(X)
$$
применим к нему оператор $ mathcal B $:
$$
mathcal B(Y)=c_1mathcal B(X)+c_2mathcal B^2(X)+ldots+c_kmathcal B^k(X) .
$$
По условию теоремы вектор $ mathcal B^k(X) $ линейно выражается через векторы системы $ { X, mathcal B(X), ldots, mathcal B^{k-1}(X) } $:
$$
mathcal B^k(X)=-alpha_1X-alpha_{2}mathcal B(X)-ldots-alpha_{k}mathcal B^{k-1}(X) .
$$
Тогда
$$
mathcal B(Y)-alpha_1 c_k X+(c_1-alpha_2 c_k)mathcal B(X)+
dots+(c_{k-1}-alpha_k c_k)mathcal B^{k-1}(X) in widetilde{mathbb V}
$$
т.к. все слагаемые принадлежат $ widetilde{mathbb V} $. По определению подпространство
$ widetilde{mathbb V} $ является инвариантным для оператора $ mathcal B $.

Если $ widetilde{widetilde{mathbb V}} $ — еще какое-то инвариантное
подпространство, содержащее $ X_{} $, то оно должно содержать и $ mathcal B(X) $, но
тогда — и $ mathcal B(mathcal B(X))=mathcal B^2(X) $ и т.д., а, значит, и
$ widetilde{mathbb V} $.

♦

При числе $ k_{} $ из условия теоремы, подпространство $ widetilde{mathbb V}= {mathcal L}(X,mathcal B(X),ldots,mathcal B^{k-1}(X)) $ называется циклическим подпространством, порожденным вектором $ X_{} $.

Вернемся теперь к задаче построения канонического базиса оператора $ mathcal A_{} $.

Т

Теорема 12. Пусть $ X_{} $ — произвольный корневой вектор оператора $ mathcal A_{} $, принадлежащий собственному числу $ lambda^{}_{j} $; пусть высота этого вектора равна $ h_{} $. Рассмотрим оператор $ mathcal B=mathcal A-lambda_{j} {mathcal E} $ и его циклическое подпространство, порожденное вектором $ X_{} $. Векторы

$$Y_1=X,, Y_2=mathcal B(Y_1)=mathcal B(X),, Y_3=mathcal B(Y_2)=mathcal B^2(X), ldots , Y_h=mathcal B(Y_{h-1})= mathcal B^{,h-1}(X) $$
образуют базис этого подпространства. В базисе пространства $ mathbb V_{} $, составленном дополнением этих векторов,
матрица оператора $ mathcal A_{} $ имеет вид:
$$
left(begin{array}{cccccccc}
lambda_{j}&0&0 &ldots&0&star & star & star\
1&lambda_{j}&0 & ldots&0&star & star & star\
0&1&lambda_{j} & &0&star & star & star\
vdots && ddots &ddots & &&& vdots \
0&0 &dots& 1 &lambda_{j}&star & star & star \
&&&& & star & star & star\
&&mathbb O&& & &dots & \
&&&& & star & star & star
end{array}right) .
$$

Доказательство. Действительно, $ mathcal A_{} = mathcal B_{} +lambda_{j} mathcal E_{} $ и тогда
$$
begin{array}{rcl}
mathcal A(Y_1)&=&mathcal B(Y_1)+lambda_{j} {mathcal E}(Y_1)=lambda_{j} Y_1 + Y_2, \
mathcal A(Y_2)&=&mathcal B(Y_2)+lambda_{j} {mathcal E}(Y_2)=lambda_{j} Y_2 + Y_3, \
dots & & dots \
mathcal A(Y_h)&=&mathcal B(Y_h)+lambda_{j} {mathcal E}(Y_h)=lambda_{j} Y_h,
end{array}
$$
($ mathcal B(Y_h)=mathcal B^h(X)=mathbb O $ поскольку по условию $ X_{} $ — корневой высоты $ h_{} $).

♦

=>

Циклическое подпространство, порожденное корневым вектором оператора $ mathcal A_{} $, является инвариантным подпространством этого оператора.

Канонический базис и, следовательно, матрица перехода $ C_{} $ определяются
не единственным способом. Поэтому актуальна проверка правильности вычислений.
Такая проверка может быть проведена — для матричного случая — посредством проверки более простого
условия:
$$
{mathbf A}C=C{mathbf A}_{_{mathfrak J}} .
$$
Следует, тем не менее, иметь в виду, что последнее условие является необходимым, но не достаточным. Так, справедливо равенство
$$
underbrace{left(
begin{array}{rrr}
0 & -1 & 1 \
2 & -5 & 3 \
6 & -13 & 7
end{array}
right)}_{{mathbf A}}
underbrace{left(
begin{array}{rrr}
1 & 1 & 1 \
1 & 1 & 2 \
1 & 1 & 4
end{array}
right)}_{C_1}=underbrace{left(
begin{array}{rrr}
1 & 1 & 1 \
1 & 1 & 2 \
1 & 1 & 4
end{array}
right)}_{C_1}
left(
begin{array}{rrr}
0 & & \
& 0 & \
& & 2
end{array}
right)
$$
тем не менее истинная ЖНФ матрицы $ {mathbf A} $ недиагональна:
$$
{mathbf A}_{_{mathfrak J}}=
left(
begin{array}{rrr}
0 & & \
1 & 0 & \
& & 2
end{array}
right)
quad
npu
quad
C_2=left(
begin{array}{rrr}
0 & 1 & 1 \
1 & 1 & 2 \
2 & 1 & 4
end{array}
right) .
$$
Объяснение этой кажущейся неоднозначности заключается в том, что матрица $ C_1 $ является вырожденной: $ det C_1=0 $, и $ C_1^{-1} $ не существует.

?

Построить ЖНФ и канонический базис для оператора из примера 2.

[1]. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.ГИФМЛ. 1960.

[2]. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.Наука. 1974