Как найти базу набора векторов

Найти базу системы векторов

Проверить образуют ли вектора базис онлайн калькулятор

Базисом в -мерном пространстве называется упорядоченная система из линейно-независимых векторов.

Введём также некоторые дополнительные понятия, необходимые для дальнейшего изложения.

, где − некоторые числа и называется линейной комбинацией векторов .

Если существуют такие числа из которых хотя бы одно не равно нулю (например ) и при этом выполняется равенство:

, то система векторов − является линейно-зависимой.

Если же указанное равенство выполняется лишь при условии, что все числа , тогда система векторов − является линейно-независимой.

Базис может образовывать только линейно-независимая система векторов. Понятие линейной зависимости/независимости системы векторов, тесно связано с понятием ранга матрицы .

Наш онлайн калькулятор позволяет проверить образует ли система векторов базис. При этом калькулятор выдаёт подробное решение на русском языке.

Алгоритм нахождения базиса системы векторов

Для того чтобы найти базис системы векторов A_v А₂. А , необходимо:

1) составить соответствующую системе векторов однородную систему уравнений

2) привести эту систему к равносильной разрешенной системе вида

• 3) записать базис системы векторов Б = (А_рА₂, . А ), включив в него векторы, соответствующие разрешенным неизвестным;
• 4) записать разложения векторов по базису; коэффициентами разложения вектора А. по этому базису являются координаты соответствующего вектора

в разрешенной системе уравнений, т.е.

Система векторов, состоящая из п векторов, ранг которой равен г, может иметь несколько базисов. Число возможных базисов системы векторов определяется как число меньшее или равное числу сочетаний из п по г.

Пример 3.3. Найти ранг и базис системы векторов

разложения векторов по базису, перейти к новому базису и найти число возможных базисов системы.

Решение. Составим систему уравнений A _t ay + А₂х₂ + . + А„х_п = 0, которая в координатной записи имеет вид

Приведение данной системы уравнений с помощью преобразований Жордана к равносильной разрешенной приведено в ниже следующей таблице.

Разрешенная система имеет вид

В базис системы векторов включаем 1-й и 2-й векторы Б_: = (A_VA₂), которые соответствуют разрешенным неизвестным х₁ и х₂. Ранг системы векторов равен числу векторов, вошедших в базис, т.е. г = 2.

Запишем разложения векторов по базису. Коэффициентами разложения вектора А₃ являются координаты вектора А’₃ = (3, -2), т.е. коэффициенты при х₃ в разрешенной системе уравнений (в последних трех строках таблицы), они образуют столбец, расположенный под х₃ А₃ = ЗЛ₁ — 2А_г Аналогично, коэффициентами разложения вектора А₄ являются координаты вектора А’₄ = (4, 1) А₄ = 4А_у + 1 А_т

Для нахождения нового базиса необходимо выбрать новый разрешающий элемент. Пусть этим элементом будет элемент я₉₄ = 1.

Как найти базис данной системы векторов

Определение базиса.Система векторов образует базис, если:

1) она линейно-независима,

2) любой вектор пространства через нее линейно выражается.

Пример 1.Базис пространства : .

2. В системе векторов базисом являются векторы: , т.к. линейно выражается через векторы .

Замечание.Чтобы найти базис данной системы векторов необходимо:

1) записать координаты векторов в матрицу,

2) с помощью элементарных преобразований привести матрицу к треугольному виду,

3) ненулевые строки матрицы будут являться базисом системы,

4) количество векторов в базисе равно рангу матрицы.

Теорема Кронекера-Капелли

Теорема Кронеккера–Капелли дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности произвольной системы линейных уравнений с неизвестными

Теорема Кронеккера–Капелли. Система линейных алгебраических урав­нений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы, .

Алгоритм отыскания всех решений совместной системы линейных уравнений вытекает из теоремы Кронеккера–Капелли и следующих теорем.

Теорема. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Алгоритм решения произвольной системы линейных уравнений:

1. Найдем ранги основной и расширенной матриц системы. Если они не равны ( ), то система несовместна (не имеет решений). Если ранги равны ( , то система совместна.

2. Для совместной системы найдем какой-нибудь минор, порядок которого определяет ранг матрицы (такой минор называют базисным). Составим новую систему из уравнений, в которых коэффициенты при неизвестных, входят в базисный минор (эти неизвестные называют главными неизвестными), остальные уравнения отбросим. Главные неизвестные с коэффициентами оставим слева, а остальные неизвестных (их называют свободными неизвестными) перенесем в правую часть уравнений.

3. Найдем выражения главных неизвестных через свободные. Получаем общее решение системы.

4. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения главных неизвестных. Таким образомнаходим частные решения исходной системы уравнений.

Линейное программирование. Основные понятия

Линейное программирование – это направление математического программирования, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием.

Необходимым условием постановки задачи линейного программирования являются ограничения на наличие ресурсов, величину спроса, производственную мощность предприятия и другие производственные факторы.

Сущность линейного программирования состоит в нахождении точек наибольшего или наименьшего значения некоторой функции при определенном наборе ограничений, налагаемых на аргументы и образующихсистему ограничений, которая имеет, как правило, бесконечное множество решений. Каждая совокупность значений переменных (аргументов функции F), которые удовлетворяют системе ограничений, называетсядопустимым планом задачи линейного программирования. Функция F, максимум или минимум которой определяется, называется целевой функцией задачи. Допустимый план, на котором достигается максимум или минимум функции F, называется оптимальным планом задачи.

Система ограничений, определяющая множество планов, диктуется условиями производства. Задачей линейного программирования (ЗЛП) является выбор из множества допустимых планов наиболее выгодного (оптимального).

В общей постановке задача линейного программирования выглядит следующим образом:

Имеются какие-то переменные х = (х₁ , х₂ , … х_n ) и функция этих переменных f(x) = f (х₁ , х₂ , … х_n ), которая носит название целевой функции. Ставится задача: найти экстремум (максимум или минимум) целевой функции f(x) при условии, что переменные x принадлежат некоторой области G:

В зависимости от вида функции f(x) и области G и различают разделы математического программирования: квадратичное программирование, выпуклое программирование, целочисленное программирование и т.д. Линейное программирование характеризуется тем, что
а) функция f(x) является линейной функцией переменных х₁ , х₂ , … х_n
б) область G определяется системой линейных равенств или неравенств.

Математическая модель любой задачи линейного программирования включает в себя:

Алгоритм нахождения базиса системы векторов

Для того чтобы найти базис системы векторов A_v А₂. А , необходимо:

1) составить соответствующую системе векторов однородную систему уравнений

2) привести эту систему к равносильной разрешенной системе вида

• 3) записать базис системы векторов Б = (А_рА₂, . А ), включив в него векторы, соответствующие разрешенным неизвестным;
• 4) записать разложения векторов по базису; коэффициентами разложения вектора А. по этому базису являются координаты соответствующего вектора

в разрешенной системе уравнений, т.е.

Система векторов, состоящая из п векторов, ранг которой равен г, может иметь несколько базисов. Число возможных базисов системы векторов определяется как число меньшее или равное числу сочетаний из п по г.

Пример 3.3. Найти ранг и базис системы векторов

разложения векторов по базису, перейти к новому базису и найти число возможных базисов системы.

Решение. Составим систему уравнений A _t ay + А₂х₂ + . + А„х_п = 0, которая в координатной записи имеет вид

Приведение данной системы уравнений с помощью преобразований Жордана к равносильной разрешенной приведено в ниже следующей таблице.

Разрешенная система имеет вид

В базис системы векторов включаем 1-й и 2-й векторы Б_: = (A_VA₂), которые соответствуют разрешенным неизвестным х₁ и х₂. Ранг системы векторов равен числу векторов, вошедших в базис, т.е. г = 2.

Запишем разложения векторов по базису. Коэффициентами разложения вектора А₃ являются координаты вектора А’₃ = (3, -2), т.е. коэффициенты при х₃ в разрешенной системе уравнений (в последних трех строках таблицы), они образуют столбец, расположенный под х₃ А₃ = ЗЛ₁ – 2А_г Аналогично, коэффициентами разложения вектора А₄ являются координаты вектора А’₄ = (4, 1) А₄ = 4А_у + 1 А_т

Для нахождения нового базиса необходимо выбрать новый разрешающий элемент. Пусть этим элементом будет элемент я₉₄ = 1.

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Вход Регистрация

Donate FAQ Правила Поиск

Правила форума

Основы линейной алгебры

05/12/06
126
Нижний Новгород

Здраствуйте. Мне необходимо решить некоторые задания, прочитав курс теории. Сходу разобраться не удалось, и поэтому я не могу вникнуть в формулировки заданий, что вызывает сложности при решении.
Итак, задание номер 1.
Пусть A = – система векторов арифм. пространства.
а) Найти ранг и базу системы А
б) Вектора не входящие в базу выразить через векторы базы.

а1 = (-2, 1, 7, 3)т
а2 = (2, 6, 3, 6)т
а3 = (1, 5, -2, 7)т
а4 = (-1, 2, 12, 2)т

Как решал его я.. Составил матрицу А –

(-2 2 1 -1 )
( 1 . )
( 7 . )
( 3 . )

(0 0 1 -1)
(0 1 0 1)
(1 0 0 1)

bot

21/12/05 5742 Новосибирск

int13 05/12/06 126 Нижний Новгород bot 21/12/05 5742 Новосибирск Во всех пунктах, кроме третьего система A отдыхает. Остальные пункты делаются за один проход гауссовыми преобразованиями в том порядке, как Вы это делали в предыдущей задаче: Назначаете ненулевой элемент ведущим и преобразованиями строк обнуляете все элементы столбца, в котором он стоит, в любой другой строке опять выбираете ведущий и опять делаете то же самое. Прцесс прекратится, когда выбор ведущего станет невозможным. В этот момент при мысленной перестановке строк и столбцов у Вас выделится единичная матрица. Выделенные ведущие укажут номера векторов одной из баз, их количество – размерность оболочки (или ранг, как сказано). Как остальные векторы выражаются через базу, скажут столбцы так же как в решённой Вами задаче. Линейная оболочка множества векторов – это множество всех линейных комбинаций векторов из B. Линейная оболочка является пространством со всеми вытекающими отсюда понятиями: размерность, базис, . Относительно нахождения всех баз . задача дурацкая, но из конкретных зависимостей которые Вы найдёте, выразив все векторы через одну из баз, немного покомбинаторив, обычно нетрудно найти все возможные базы. Пункт в) странный: если ранг B окажется не равным 3, то эквивалентности заведомо нет, а если окажется, то для эквивалентности надо знать эту А. int13 05/12/06 126 Нижний Новгород В процессе упрощения этой системы получилась вот такая штука: ( 0 1 0 ) ( 0 9.5 5.5) ( 1 14/11 0 ) Причем направляющий элемент взял из всех столбцов кроме среднего, и когда я зануляю среднюю строку получается ( 0 0 0 ), то есть это как понимать.. Либо я не правильно решил, либо любые вектора являются решением? Добавлено спустя 2 минуты 50 секунд: Вдогонку, прошу расшифровать мне вот такое задание: Для данной матрицы А а) Найти столбцовую базу. Остальные столбцы выразить через нее. б) Найти строчечную базу. Остальные столбцы выразить через нее. в) Найти базисный минор. (-2 1 7 3 ) ( 2 6 3 6 ) ( 1 5 -2 7) ( -1 2 12 2) Когда читал теорию, мне показалось, что я видел такое высказывание, что столбцовая и строчечная базы неквадратной матрицы равны, и равны этому же базисному минору. Про конкретно квадратную не помню. Так вот, что здесь нужно сделать? Решить. Транспонировать, и снова решить?

Сообщения без ответов | Активные темы

Похожие темы	Автор	Ответы	Просмотры	Последнее сообщение
Два утверждения про базу системы векторов в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	e7min	4	252	07 авг 2019, 08:56
Верно ли, что любые к векторов этой системы образуют базу? в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	MrKreter	1	184	26 дек 2020, 13:56
Проверить эквивалентность двух систем векторов в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	N008	4	951	03 янв 2015, 19:37
Найти базис системы векторов и координаты векторов в ней в форуме Линейная и Абстрактная алгебра	Alecsand1232342	1	873	05 янв 2018, 09:20
Выразить через базу в форуме Линейная и Абстрактная алгебра	Iron_f1st	0	587	12 ноя 2013, 19:31
Найти ранги систем в форуме Линейная и Абстрактная алгебра	Diana_Kamalova	1	330	17 окт 2013, 14:21
Завод отправил на базу 3000 доброкачественных изделий в форуме Теория вероятностей	Pochemuchka	6	258	15 июн 2021, 15:09
Найти общее решение для систем и проанализировать структуры в форуме Линейная и Абстрактная алгебра	mctayler	2	637	25 дек 2018, 20:30
Найти общее решение систем уравнения Методом Гаусса в форуме Линейная и Абстрактная алгебра	f0rt1q	1	467	17 ноя 2013, 13:53
Найти общее решение для каждой из данных систем методом Гаус в форуме Линейная и Абстрактная алгебра	hofa989	3	582	09 янв 2014, 19:18

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot] и гости: 2

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения

Определение
1.
В любой системе векторовизК,
содержащей ненулевые вектора, всегда
можно выбрать подсистему
,
гдеr 
m, состоящую
из максимального числа линейно независимых
векторов так, что присоединение любого
вектора из этой системы к указанной
подсистеме делает ее линейно зависимой;
действительно, так
как
в системе имеется не нулевой вектор, а
он всегда линейно независим, то r

1. Такая подсистема линейно независимых
векторов называется базой
исходной системы, а число r
векторов в базе – рангом
этой системы векторов.

Замечание.
База системы определяется неоднозначно,
но число векторов в базе (ранг) всегда
одинаково. Например, из трех векторов
,
один из которых линейно зависим, можно
построить три базы из двух векторов:.

Свойства базы.

1. Все
   вектора системы можно представить в
   виде линейной комбинации векторов
   базы. (см. предыдущий п.4.3, теорема 2).

2.
Любой вектор подпространства, порожденного
системой векторов, можно представить
в виде линейной комбинации только
векторов, образующих ее базу и это
разложение единственно.

Доказательство.
Пусть G
– подпространство, порожденное векторами
и пустьr < m
( для r = m
утверждение очевидно) база системы
.
Тогда оставшиеся вектора системыможно представить в виде линейной
комбинации векторов базы

(4.8)

.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Теперь
рассмотрим любой вектор
:

.

Подставив
в это равенство вектора
из (4.8), получим

или
.

Определение
2.
Для векторного подпространства,
порожденного системой векторов
,
база этой системы векторов называетсябазисом,
а ранг системы векторов называется
размерностью
этого
подпространства.

В
качестве наглядного примера рассмотрим
подпространство, порожденное системой
свободных векторов.

4.5. Базис и размерность подпространства, порожденного системой

свободных
векторов

Рассмотрим
подпространство, элементом которого
является линейная комбинация из трех
свободных векторов
.
Предположим, что эта система векторов
линейно зависима. Случай линейно
независимых векторов будет рассмотрен
позже. Мы уже установили, что если
линейная комбинация из трех свободных
векторов линейно зависима, то это
означает, что эти вектора компланарны,
т.е. существует плоскость, которой они
параллельны. Очевидно, компланарным
будет и любой вектор,
являющийся линейной комбинацией этих
векторов. Поэтому подпространство,
порожденное системой таких трех линейно
зависимых векторов, представляет собой
совокупность всех векторов, компланарных
данным. Изображается такая система
векторов направленными отрезками,
лежащими в одной плоскости, либо в
параллельных ей плоскостях. Далее, так
как система из трех векторовлинейно зависима, то один из этих векторов
является линейной комбинацией двух
других векторов. Пусть этим вектором
будет,
где.
Рассмотрим ситуацию, когда оставшиеся
вектора линейно независимы, т.е. это
означает, что они не коллинеарны. Тогда
эти два упорядоченных вектора составят
базис подпространства компланарных
векторов и размерность этого подпространства
равна двум.Следовательно,
базис двумерного подпространства
компланарных свободных векторов
представляет собой два любых упорядоченных
неколлинеарных вектора.
Обычно в качестве базисных векторов
двумерного пространства выбирают
векторы, которые изображаются направленными
отрезками, параллельными координатным
осям Ох
и Оу
на плоскости и равные по модулю масштабному
отрезку координатных осей. Первый
вектор, направленный параллельно оси
Ох,
обозначают
:
его координаты (1,0), а второй вектор,
направленный параллельно осиОу
обозначают
:
его координаты (0,1). Выбор такого базиса
обусловлен тем, что если представлять
любой векторс координатами (х,у)
двумерного подпространства через базис
,,
то в этом случае коэффициентами линейной
комбинации базисных векторов будут
являться координатых
и у
вектора
,
т.е.,
и как мы уже видели, это разложение
единственно.

Теперь
рассмотрим случай, когда вектора
и,
(один из которых не равен)
коллинеарны, т.е. линейно зависимы (или).
Естественно и любой вектор, являющийся
линейной комбинацией этих векторов,
будет им коллинеарным. Поэтому
подпространство, порожденное системой
векторов, из которых только один
линейно независим, (им является вектор
не равный)
представляет собой множество коллинеарных
векторов. Базис такого подпространства
состоит из одного ненулевого вектора
и размерность такого подпространства
равна единице. Одномерное подпространство
изображается множеством направленных
отрезков, расположенных на одной прямой
или на параллельных ей прямых.

Теперь
обобщим понятие базиса для совокупности
векторов, составляющих все векторное
пространство К.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---