Как найти бедра равнобедренной трапеции


1. Формула длины основания равнобедренной трапеции через среднюю линию

Основания равнобедренной трапеции

a – нижнее основание

b – верхнее основание

m – средняя линия

Формулы длины основания:

Формула длины стороны трапецииФормула длины стороны трапеции

2. Формулы длины сторон через высоту и угол при нижнем основании

Длина сторон равнобедренной трапеции

a – нижнее основание

b – верхнее основание

c – равные боковые стороны

α угол при основании трапеции

h – высота трапеции

Формулы всех четырех сторон трапеции:

Формула длины сторон равнобедренной трапеции через высоту

Формула длины сторон равнобедренной трапеции через высоту

Формула длины сторон равнобедренной трапеции через боковую сторону


3. Формула длины сторон трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями

Длина сторон равнобедренной трапеции через диагональ

a – нижнее основание

b – верхнее основание

c – равные боковые стороны

d – диагонали

α , β – углы между диагоналями

h – высота трапеции

Формулы длины сторон трапеции:

Формула длины основания равнобедренной трапеции через диагонали

справедливо для данной ситуации:


4. Формулы длины сторон равнобедренной трапеции через площадь

Стороны равнобедренной трапеции через площадь

a – нижнее основание

b – верхнее основание

c – равные боковые стороны

α , β – углы при основаниях

m – средняя линия

h – средняя линия

Формулы длины сторон равнобедренной трапеции через площадь:

Формулы длины сторон  равнобедренной трапеции через площадьФормулы длины сторон  равнобедренной трапеции через площадь

Формулы длины сторон  равнобедренной трапеции через площадь

Формулы длины сторон  равнобедренной трапеции через площадь



Формулы площади произвольной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции

Формула периметра трапеции

Все формулы по геометрии

Подробности

Опубликовано: 08 октября 2013

Обновлено: 13 августа 2021

Равнобедренная трапеция. Формулы, признаки и свойства равнобедренной трапеции

Определение.

Равнобедренная трапеция — это трапеция у котрой боковые стороны равны.

На этой странице представленны формулы характерные равнобедренной трапеции. Не забывайте, что для равнобедренной трапеции выполняются все формулы и свойства трапеции.

Изображение равнобедренной трапеции с обозначениями
Рис.1

Признаки равнобедренной трапеции

Трапеция будет равнобедренной если выполняется одно из этих условий:

1. Углы при основе равны:

∠ABC = ∠BCD и ∠BAD = ∠ADC

2. Диагонали равны:

AC = BD

3. Одинаковые углы между диагоналями и основаниями:

∠ABD = ∠ACD, ∠DBC = ∠ACB, ∠CAD = ∠ADB, ∠BAC = ∠BDC

4. Сумма противоположных углов равна 180°:

∠ABC + ∠ADC = 180° и ∠BAD + ∠BCD = 180°

5. Вокруг трапеции можно описати окружность

Основные свойства равнобедренной трапеции

1. Сумма углов прилегающих к боковой стороне равнобедренной трапеции равна 180°:

∠ABC + ∠BAD = 180° и ∠ADC + ∠BCD = 180°

2. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона равна средней лини трапеции:

AB = CD = m

3. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность

4. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований (средней лини):

h = m

5. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату высоты:

SABCD = h2

6. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то квадрат высоты равен произведению основ трапеции:

h2 = BC · AD

7. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенному произведению основ трапеции:

AC2 + BD2 = AB2 + CD2 + 2BC · AD

8. Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции:

HF BC, HF AD

9. Высота (CP), опущенная из вершины (C) на большее основание (AD), делит его на большой отрезок (AP), который равен полусумме оснований и меньший (PD) – равен полуразности оснований:

Стороны равнобедренной трапеции

Формулы длин сторон равнобедренной трапеции:

1. Формулы длины сторон через другие стороны, высоту и угол:

a = b + 2h ctg α = b + 2c cos α

b = a – 2h ctg α = a – 2c cos α

c =  h  =  ab
sin α 2 cos α

2. Формула длины сторон трапеции через диагонали и другие стороны:

a =  d12c2        b =  d12c2        c = √d12ab
b a

3. Формулы длины основ через площадь, высоту и другую основу:

a =  2S b      b =  2S a
h h

4. Формулы длины боковой стороны через площадь, среднюю линию и угол при основе:

5. Формулы длины боковой стороны через площадь, основания и угол при основе:

Средняя линия равнобедренной трапеции

Формулы длины средней линии равнобедренной трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через основания, высоту и угол при основании:

m = ah ctg α = b + h ctg α = a – √c2h2 = b + √c2h2

2. Формула средней линии трапеции через площадь и сторону:

Высота равнобедренной трапеции

Формулы определения длины высоты равнобедренной трапеции:

1. Формула высоты через стороны:

2. Формула высоты через стороны и угол прилегающий к основе:

h =  ab tg β  = c sin β
2

Диагонали равнобедренной трапеции

Диагонали равнобедренной трапеции равны:

d1 = d2

Формулы длины диагоналей равнобедренной трапеции:

1. Формула длины диагонали через стороны:

d1 = √с2 + ab

2. Формулы длины диагонали по теореме косинусов:

d1 = √a2 + c2 – 2ac cos α

d1 = √b2 + c2 – 2bc cos β

3. Формула длины диагонали через высоту и среднюю линию:

d1 = √h2 + m2

4. Формула длины диагонали через высоту и основания:

Площадь равнобедренной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции:

1. Формула площади через стороны:

S =  a + b 4c2 – (ab)2
4

2. Формула площади через стороны и угол:

S = (b + c cos α) c sin α = (ac cos α) c sin α

3. Формула площади через радиус вписанной окружности и угол между основой и боковой стороной:

S =  4 r 2  =  4 r 2
sin α sin β

4. Формула площади через основания и угол между основой и боковой стороной:

5. Формула площади ранобедренной трапеции в которую можно вписать окружность:

S = (a + b) · r = √ab·c = √ab·m

6. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =  d12 · sin γ  =  d12 · sin δ
2 2

7. Формула площади через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании:

S = mc sin α = mc sin β

8. Формула площади через основания и высоту:

Окружность описанная вокруг трапеции

Окружность можно описать только вокруг равнобедренной трапеции!!!

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =  a·c·d1
4√p(pa)(pc)(pd1)

где

a – большее основание

В равнобокой трапеции боковые стороны и углы при основаниях равны между собой, следовательно, все формулы значительно упрощаются. Периметр такой трапеции равен сумме двух оснований и удвоенной боковой стороны.
P=2a+b+d

Высота равнобокой трапеции является катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза – боковая сторона трапеции, а второй катет – половина разности большего и меньшего оснований. Вычислить высоту в равнобокой трапеции можно с помощью теоремы Пифагора в этом треугольнике. (рис.104.1)
h=√(a^2-(c-b)^2/4)

Средняя линия трапеции не связана с боковыми сторонами и представляет собой сумму большего и меньшего основании, разделенную на два.
m=(b+c)/2

Площадь равнобокой трапеции вычисляется также как и обычной – произведением высоты на среднюю линию.
S=hm

Найти диагонали в равнобокой трапеции проще, так как высоты, входящие с ними в прямоугольные треугольники, делят большее основание на три части, одна из которых равна меньшему основанию, а две другие равны между собой. Сами диагонали также равны друг другу и вычислить их можно по формулам, приведенным из теоремы Пифагора. (рис.104.2)
d=√(h^2+((b+c)/2)^2 )=√(a^2-(c-b)^2/4+(b+c)^2/4)=√((2a^2-b^2-c^2)/2)

Внутри равнобокой окружности можно вписать окружность, радиус которой будет равен квадратному корню из произведения оснований, деленному на два, если сумма боковых сторон равна сумме оснований (что представляет собой половину высоты) (рис.104.3)
r=√bc/2

Радиус окружности, описанной вокруг равнобокой трапеции, ищется как радиус описанной окружности треугольника, образованного ее диагональю со сторонами. (рис.104.4)
R=abd/√((a+b+d)(a+b)(a+d)(b+d))

Трапеция — это выпуклый четырехугольник с двумя параллельными основами и двумя непараллельными
боковыми сторонами.

Иногда фигура определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна,
поэтому параллелограмм и прямоугольник являются частными случаями трапеции. Также это
четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, а остальные стороны не
равны между собой.
Параллельные стороны называются основами, а остальные боковыми.

Вычисление стороны необходимо для нахождения периметра, площади трапеции, ее диагоналей и других
значимых параметров.

  • Длина основания через среднию линию и другое известное
    основание
  • Нижнее основание через верхнее основание, высоту и углы при
    нижнем основании
  • Верхнее основание через нижнее основание, высоту и углы при
    нижнем основании
  • Нижнее основание через боковые стороны, верхнее основание и
    углы при нижнем основании
  • Верхнее основание через боковые стороны, нижнее основание и
    углы при нижнем основании
  • Боковую сторону через высоту и угол при нижнем
    основании

Длина основания через среднюю линию и известное основание

Рис 1

Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон фигуры. Через её значение
вычисляется одна из основ. Нужно умножить ее на два и вычесть известную:

a = 2m – b

Цифр после
запятой:

Результат в:

Например, средняя линия MN равна 6, а основание а – 9. Соответственно, значения, подставленные в
формулу, показывают, что b = 2*6 – 9 = 3.

Нижнее основание через верхнее основание, высоту и углы при нижнем основании

Рис 2

Высота h или BK – перпендикуляр, проведенный от одной основы к другой. Высота проводится в любой их
точке, но удобнее всего это делать из вершины углов при меньшей основе. Чтобы найти нижнее
основание, надо к верхнему прибавить произведение высоты на сумму котангенсов углов при нижнем:

a = b + h*(ctga + ctgb)

Цифр после
запятой:

Результат в:

Дано верхнее основание 10, высота 6 и углы 30 и 45. По формуле а = 10 + 6*(3+1) = 10 + 63 + 6 = 16+63.
Для равнобедренного четырёхугольника выведены две формулы. В первой (a = 2S/h – b) основа выражена с
помощью формулы площади. Пример: Площадь равнобедренной трапеции ABCD = 18, высота = 6, а AD = 5.
Найти BC. BC = 2*18/6 – 5 = 6 – 5 = 1

Второе выражение сформулировано следующим образом: (a = b + 2h*ctga). Высота АН в трапеции ADEF =
10, DE = 4, а DAF = 45 градусам. Найти AF: AF = 4 + 10*2*1 = 24

Верхнее основание через нижнее основание, высоту и углы при нижнем основании

Рис 3

Чтобы найти верхнюю основу, надо из нижней вычесть произведение высоты на сумму котангенсов углов при
ней:

b = a – h*(ctg α + ctg β)

Цифр после
запятой:

Результат в:

Дана трапеция с нижним основанием 15, высотой 8 и углами в 45 градусов. По формуле а = 15 + 8*(1+1) =
15 + 16 = 31

Формулы для равнобедренного четырёхугольника: b = 2S/h – a и b = a – 2h*ctga.

  • Площадь трапеции KLMN = 44, KL=MN, высота равна 8, KN = 5. Найти LM: LM = 44*2/8 – 5 = 6
  • Высота трапеции DEFG = 15, DG= 5, а EDG = 45 градусам. Найти EF: EF = 5 + 15*2*1 = 35

Нижнее основание через боковые стороны, верхнее основание и углы при нижнем основании

Рис 4

Для нахождения основы а нужно к основе b прибавить произведение одной и другой стороны и косинусов
углов при них

a = b + c * cos α + d * cos β

Цифр после
запятой:

Результат в:

Дана равнобокая трапеция с верхним основанием 6, боковыми сторонами 5 и 11 и углами в 45 градусов.
Найти нижнее основание: а = 6 + 5*2/2 + 11*2/2 = 6 + 162/2 = 6 + 82

Отдельно для подобного типа фигур было выведено два выражения: a = (d1^2 – c^2)/b и a = b +
2c*cosa
.

  • трапеции ABCD AB = CD = 8, диагональ AC = 12, а BC = 4. Вычислить AD: AD = (12*12 – 8*8)/4
    = (144 – 64)/4 = 20
  • В трапеции KLMN KL = MN = 4, LM = 7, а LKN равен 30 градусам. Вычислить KN: KN = 7 +
    4*2*3/2 = 7 + 43

Верхнее основание через боковые стороны, нижнее основание и углы при нем

Рис 5

Для нахождения основы b нужно из основы а вычесть произведение одной и другой боковой стороны и углов
при них

b = a – c * cos α – d * cos β

Цифр после
запятой:

Результат в:

Дана трапеция с нижним основанием 27, боковыми сторонами 20 и 14 и углами в 30 и 60 градусов. Найти
верхнее основание: b = 27 — 20*3/2 — 14*1/2 = 27 — 103 — 7 = 20 —
103
. Формулы для равнобедренного типа: b = (d1^2 — c^2)/a и b = a — 2c*cosa.

  • В трапеции DEFG DE и FG = 11, диагональ АС = 13, а EF = 12. Вычислить DG: DG = (13*13 –
    11*11)/12= (169 – 121)/12 = 4
  • Боковые стороны трапеции BCDE BC и DE = 25, BE = 10, а CBE равен 60 градусам. Вычислить CD:
    CD = 25 – 10*2*1/2 = 15

Боковая сторона через высоту и угол при нижнем основании

Рис 6

Чтобы найти боковую сторону, надо разделить высоту на синус угла при ней

d = h / sin α

Цифр после
запятой:

Результат в:

Дана трапеция с высотой 12 и углами в 30 и 60 градусов. Найти боковые стороны: c = 12/0,5 =
24, d = 12/3/2 = 243

Для прямоугольного типа формулы несколько отличаются. Самая простая из них связывает высоту и меньшую
боковую сторону: c = h.
Для нее существует еще несколько формул: с = d*sina; c = (a – b)*tga; c
= (d^2 – (a – b)^2)

  • В прямоугольной трапеции CDEF сторона EF равна 22, а прилежащий угол = 45. Найти CD. CD =
    22*2/2 = 112
  • Прямоугольная трапеция MNOP имеет основания MP и NO, равные 32 и 19 соответственно. NMP равен 60
    градусам. Найти MP: MP = (32 – 19)*3 = 133
  • В прямоугольной трапеции ABCD AD и BC равны 35 и 15 соответственно. Диагональ АС = 26. Найти AB.
    AB = (26^2 – (35 – 15)^2) = 676 – 400 = 276 = 269

Первая вытекает из прямоугольного треугольника и свидетельствует о том, что отношение катета к
гипотенузе равно синусу противолежащего угла. В этом треугольнике второй катет равен разности двух
оснований. Отсюда возникает утверждение, приравнивающее тангенс угла к отношению катетов. Третья
формула выведена на основании теоремы Пифагора.

Для второй боковой стороны выведено и записано три выражения: d = (a — b)/cosa; d = c/sina; d =
(c^2 — (a — b)^2)
. Первое и второе получаются из соотношения сторон в прямоугольном
треугольнике, а третье выводится из теоремы Пифагора.

  • В прямоугольной трапеции KLMN KN = 28, LM = 13 а прилежащий угол = 30. Найти KL: KL = (28 –
    13)/3/2 = 103
  • В прямоугольной трапеции EFGH EF равна 45. FEH равен 30 градусам. Найти GH: GH = 45/0,5 =
    90
  • В прямоугольной трапеции NOPQ NQ и OP =.36 и 17. Диагональ равна 29. Найти NO: NO = (29^2 –
    (36 – 17)^2) = 841 – 361= 480 = 430

Для равнобокой трапеции существуют формулы c = d1^2 – ab; c = (a – b)/2cosa; c = S/m*sina; c =
2S/(a+b)*sina
.

  • В трапеции LMNO LM = NO. LO = 16, MN = 6, диагональ равна 10. Найти LM: LM = 10^2 – 16*6 =
    100 – 96 = 4
  • Трапеция ABCD – равнобокая, AB = CD. AD = 18, BC = 4, а прилежащий угол равен 45 градусам. Найти
    AB: AB = (18 – 4)/2/2 = 14/2/2 = 14/2
  • В трапеции BCDE BC=DE. Площадь фигуры равна 48, BE = 17, CD = 7, а CBE равен 30 градусам.
    Вычислить BC: m = (17 – 7)/2 = 5, BC = 48/5*1/2 = 96/5 = 19,2
  • Площадь равнобедренной трапеции KLMN = 90, основания KN и LM = 32 и 18 соответственно, а LKN =
    60 градусов. Вычислить KL: KL = 2*90/(32 + 18)*3/2 = 360/503 = 129600/7500 = 17,28

Виды трапеций

Существуют следующие виды трапеций:

  • Равнобедренная трапеция — фигура, у которой боковые стороны и углы при основании равны.
    Диагонали также равны. Треугольники, образованные диагоналями и основой, являются
    равнобедренными. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то площадь равна квадрату высоты. Если
    разделить обе основы пополам и повести через эти точки линию, то она будет осью геометрической
    фигуры. Отрезки, последовательно соединяющие середины смежных сторон, образуют ромб.
  • Прямоугольная трапеция — фигура, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
    и равна высоте. Два угла будут равны 90 градусам, и они всегда принадлежат смежным вершинам, а
    другие всегда острый и тупой, их сумма всегда будет равна 180 градусам. Каждая диагональ
    образует с ее меньшей боковой стороной прямоугольный треугольник. А высота, которая проведена из
    вершины с тупым углом, делит фигуру на две. Одна из них прямоугольник, другая прямоугольный
    треугольник.
  • Разносторонняя трапеция — фигура, боковые стороны которой не равны и углы при основании не
    являются прямыми. Ее диагонали делят фигуру на четыре треугольника, два из которых подобны, а
    остальные — равновелики, то есть имеют одинаковые площади. Сумма углов при боковой стороне 180
    градусов.

Свойства трапеции

  1. Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.
  2. Любая биссектриса, выведенная из угла четырёхугольника, отсекает на основании (продолжении)
    отрезок с длиной боковой стороны.
  3. Треугольники AOD и COD, образованные отрезками диагоналей и основами, подобны.
    Коэффициент
    подобия – k = AD/BC.
    Отношение площадей треугольников — k^2.
  4. Треугольники ABO и DCO, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами, имеют одинаковую
    площадь.
  5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований равняется сумме её боковых сторон.
  6. Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений
    боковых сторон лежат на одной прямой.
  7. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равняется половине разности основ и лежит на средней
    линии.

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 12 декабря 2021 года; проверки требуют 4 правки.

Равнобедренная трапеция
Isosceles trapezoid.svg
Тип четырёхугольник, трапеция
Рёбра 4
Вид симметрии Dih2, [ ], (*), порядок 2
Двойственный многоугольник дельтоид
Свойства
выпуклый, вписанный

В евклидовой геометрии равнобедренная трапеция — это выпуклый четырёхугольник с осью симметрии, проходящей через середины двух противоположных сторон. Этот четырёхугольник является частным случаем трапеций. В любой равнобедренной трапеции две противоположные стороны (основания) параллельны, а две другие стороны (боковые) имеют одинаковые длины (свойство, которому удовлетворяет также параллелограмм). Диагонали также имеют одинаковые длины. Углы при каждом основании равны и углы при разных основаниях являются смежными (в сумме дающие 180º).

Специальные случаи[править | править код]

Прямоугольники и квадраты обычно рассматриваются как специальные случаи равнобедренных трапеций, хотя в некоторых источниках они таковыми не считаются.

Другим специальным случаем является трапеция с 3 равными сторонами. В англоязычной литературе её называют trilateral trapezoid (трёхсторонняя трапеция) [1], trisosceles trapezoid (триравнобедренная трапеция) [2] или, реже, symtra [3]. Такую трапецию можно рассматривать как отсечение 4 последовательных вершин от правильного многоугольника, имеющего 5 или более сторон.

Самопересечения[править | править код]

Любой несамопересекающийся четырёхугольник с единственной осью симметрии должен быть либо равнобедренной трапецией, либо дельтоидом[3]. Однако, если разрешить самопересечение, множество симметричных четырёхугольников нужно расширить включением в него самопересекающиеся равнобедренные трапеции, в которых пересекающиеся стороны равны, а две другие стороны параллельны, и антипараллелограммы, у которых противоположные стороны имеют равные длины.

У любого антипараллелограмма выпуклая оболочка является равнобедренной трапецией и антипараллелограмм может быть получен из диагоналей равнобедренной трапеции[4].

Isosceles trapezoid example.png Crossed isosceles trapezoid.png Antiparallelogram.svg
Выпуклая равнобедренная
трапеция
Самопересекающаяся
равнобедренная трапеция
Антипараллелограмм

Свойства[править | править код]

Если четырёхугольник является трапецией, не обязательно проверять, равны ли боковые стороны (и недостаточно, поскольку ромбы, являющиеся специальными случаями трапеций с боковыми сторонами равной длины, но у него нет осевой симметрии через середины оснований). Любое из следующих свойств выделяет равнобедренную трапецию от других трапеций:

  • Диагонали имеют одинаковую длину.
  • Углы при основании равны.
  • Отрезок, соединяющий середины параллельных сторон, перпендикулярен им.
  • Противоположные углы дополнительны (до 180º), из чего, в свою очередь, следует, что равнобедренные трапеции являются вписанными четырёхугольниками.
  • Диагонали делятся точкой пересечения на попарно равные отрезки. В терминах рисунка ниже, AE = DE, BE = CEAECE, если хотят исключить прямоугольники).

Если прямоугольники включаются в класс трапеций, то можно определить равнобедренную трапецию как “вписанный четырёхугольник с равными диагоналями” [5], как “вписанный четырёхугольник с парой параллельных сторон”, или как “выпуклый четырёхугольник с осью симметрии, проходящей через середины противоположных сторон”.

Углы[править | править код]

В равнобедренной трапеции углы при основаниях попарно равны. На рисунке ниже углы ∠ABC и ∠DCB являются одинаковыми тупыми углами, а углы ∠BAD и ∠CDA являются одинаковыми острыми углами.

Поскольку прямые AD и BC параллельны, углы, принадлежащие противоположным основаниям, являются дополнительными, то есть ABC + ∠BAD = 180°.

Диагонали и высота[править | править код]

Другая равнобедренная трапеция.

Диагонали равнобедренной трапеции равны. То есть любая равнобедренная трапеция является равнодиагональным четырёхугольником. Однако диагонали равнобедренной трапеции делятся в одной и той же пропорции. На рисунке диагонали AC и BD имеют одинаковую длину (AC = BD) и делят друг друга на отрезки той же длины (AE = DE и BE = CE).

Отношение, в котором делятся диагонали, равно отношению длин параллельных сторон, то есть

{displaystyle {frac {AE}{EC}}={frac {DE}{EB}}={frac {AD}{BC}}.}

Длина каждой диагонали, согласно следствию из теоремы Птолемея, задаётся формулой

{displaystyle p={sqrt {ab+c^{2}}}},

где a и b — длины параллельных сторон AD и BC, а c — длина каждой боковой стороны AB и CD.

Высота, согласно теореме Пифагора, задаётся формулой

{displaystyle h={sqrt {p^{2}-left({frac {a+b}{2}}right)^{2}}}={tfrac {1}{2}}{sqrt {4c^{2}-(a-b)^{2}}}.}

Расстояние от точки E до основания AD задаётся формулой

{displaystyle d={frac {ah}{a+b}}},

где a и b — длины оснований AD и BC, а h — высота трапеции.

Площадь[править | править код]

Площадь равнобедренной (а также любой) трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту. На рисунке, если мы примем AD = a, BC = b, а высота h равна длине отрезка между прямыми AD и BC (перпендикулярного им), то площадь K задаётся формулой:

{displaystyle K={frac {h}{2}}left(a+bright).}

Если вместо высоты трапеции известны длины боковых сторон AB =CD = c, то площадь можно вычислить по формуле Брахмагупты площади вписанных четырёхугольников. Равенство двух боковых сторон упрощает формулу до

{displaystyle K={sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)^{2}}},}

где {displaystyle s={tfrac {1}{2}}(a+b+2c)} — полупериметр трапеции. Эта формула аналогична формуле Герона вычисления площади треугольника. Эту же формулу можно переписать в виде

{displaystyle K={frac {1}{4}}{sqrt {(a+b)^{2}(a-b+2c)(b-a+2c)}}.}

Радиус описанной окружности[править | править код]

Радиус описанной окружности задаётся формулой[6]

{displaystyle R=c{sqrt {frac {ab+c^{2}}{4c^{2}-(a-b)^{2}}}}.}

Для прямоугольника, в котором a = b, формула упрощается до {displaystyle R={tfrac {1}{2}}{sqrt {a^{2}+c^{2}}}}.

См. также[править | править код]

  • Равнобедренная описанная трапеция

Литература[править | править код]

  • George Bruce Halsted. Elementary Synthetic Geometry. — J. Wiley & sons, 1896..
  • William Dwight Whitney, Benjamin Eli Smith. The Century Dictionary and Cyclopedia. — The Century co., 1911..

Примечания[править | править код]

  1. Michael de Villiers, Hierarchical Quadrilateral Tree [1] Архивная копия от 22 декабря 2014 на Wayback Machine
  2. isosceles trapezoid. Дата обращения: 25 сентября 2016. Архивировано 26 августа 2016 года.
  3. 1 2 Halsted, 1896, с. 49–53.
  4. Whitney, Smith, 1911, с. 1547.
  5. Mzone.mweb.co.za. Дата обращения: 25 сентября 2016. Архивировано 19 июля 2011 года.
  6. Trapezoid at Math24.net: Formulas and Tables [2] Архивная копия от 28 июня 2018 на Wayback Machine Accessed 1 July 2014.

Ссылки[править | править код]

  • Some engineering formulas involving isosceles trapezoids

Добавить комментарий