Как найти биномиальный ряд

Биномиальный ряд — это Ряд Тейлора для функции , заданной выражением ${displaystyle f(x)=(1+x)^{alpha },}$ где является произвольным комплексным числом, а |x| < 1. Ряд в явном виде,

${displaystyle {begin{aligned}(1+x)^{alpha }&=sum _{k=0}^{infty };{binom {alpha }{k}};x^{k}\&=1+alpha x+{frac {alpha (alpha -1)}{2!}}x^{2}+{frac {alpha (alpha -1)(alpha -2)}{3!}}x^{3}+cdots ,end{aligned}}}$

(1)

и биномиальный ряд справа в формуле (1) является степенным рядом, выраженном в терминах (обобщённых) биномиальных коэффициентов

${displaystyle {binom {alpha }{k}}:={frac {alpha (alpha -1)(alpha -2)cdots (alpha -k+1)}{k!}}.}$

Специальные случаи[править | править код]

Если alpha является неотрицательным целым числом n, то -й член и все последующие члены в последовательности равны 0, поскольку каждый из них содержит множитель , так что в этом случае ряд конечен и образует алгебраическую формулу бинома Ньютона.

Следующие выражения верны для любого комплексного beta , но они особенно полезны для работы с отрицательными целыми степенями в формуле (1):

${displaystyle {frac {1}{(1-z)^{beta +1}}}=sum _{k=0}^{infty }{k+beta choose k}z^{k}.}$

Чтобы это доказать, подставим в выражение (1) и применим тождество для биномиальных коэффициентов

${displaystyle {binom {-beta -1}{k}}=(-1)^{k}{binom {k+beta }{k}}.}$

Сходимость[править | править код]

Условия сходимости[править | править код]

Сходится ли ряд в формуле (1), зависит значений комплексных чисел alpha и x. Точнее:

Если , ряд сходится абсолютно для любого комплексного .
Если ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда либо , либо , где означает вещественную часть .
Если и ряд сходится тогда и только тогда, когда .
Если ряд сходится тогда и только тогда, когда либо , либо .
Если ряд расходится, за исключением случая, когда — неотрицательное целое число (в этом случае ряд становится конечной суммой).

В частности, если alpha не является отрицательным целым числом, ситуация на границе круга сходимости приведена ниже:

Тождества, используемые в доказательстве[править | править код]

Следующее выполняется для любого комплексного числа alpha :

${displaystyle {alpha choose k+1}={alpha choose k},{frac {alpha -k}{k+1}},}$

(2)

(3)

Если alpha не является неотрицательным целым (в этом случае биномиальные коэффициенты обращаются, когда больше alpha ), имеет место следующее асимптотическое соотношение для биномиальных коэффициентов в терминах «o» малое:

${displaystyle {alpha choose k}={frac {(-1)^{k}}{Gamma (-alpha )k^{1+alpha }}},(1+o(1)),quad {text{as }}kto infty .}$

(4)

Это, фактически, эквивалентно определению Эйлера для гамма-функции:

${displaystyle Gamma (z)=lim _{kto infty }{frac {k!;k^{z}}{z;(z+1)cdots (z+k)}},}$

откуда немедленно следуют грубые границы

${displaystyle {frac {m}{k^{1+operatorname {Re} ,alpha }}}leqslant left|{alpha choose k}right|leqslant {frac {M}{k^{1+operatorname {Re} alpha }}},}$

(5)

для некоторых положительных констант m и M.

Формула (2) для обобщённых биномиальных коэффициентов может быть переписана как

${displaystyle {alpha choose k}=prod _{j=1}^{k}left({frac {alpha +1}{j}}-1right).}$

(6)

Доказательство[править | править код]

Для доказательства (i) и (v) применим признак Д’Аламбера и используем формулу (2) выше, чтобы показать, что когда alpha не является неотрицательным целым, радиус сходимости в точности равен 1. Утверждение (ii) следует из формулы (5) путём сравнения с обобщённым гармоническим рядом

${displaystyle sum _{k=1}^{infty };{frac {1}{k^{p}}},}$

с . Для доказательства (iii) сначала используем формулу (3), чтобы получить

${displaystyle (1+x)sum _{k=0}^{n};{alpha choose k};x^{k}=sum _{k=0}^{n};{alpha +1 choose k};x^{k}+{alpha choose n};x^{n+1},}$

(7)

а затем используем (ii) и снова формулу (5) для доказательства сходимости правой части, когда . С другой стороны, ряд не сходится, если and , снова по формуле (5). Иначе можно заметить, что для всех , ${textstyle left|{frac {alpha +1}{j}}-1right|geqslant 1-{frac {operatorname {Re} alpha +1}{j}}geqslant 1}$ . Тогда, по формуле (6), для всех . Это завершает доказательство утверждения (iii). Перейдём к (iv) и используем тождество (7) выше с и вместо alpha , и используем формулу (4), чтобы получить

${displaystyle sum _{k=0}^{n};{alpha choose k};(-1)^{k}={alpha -1 choose n};(-1)^{n}={frac {1}{Gamma (-alpha +1)n^{alpha }}}(1+o(1))}$

при . Утверждение (iv) следует теперь из асимптотического поведения последовательности ${displaystyle n^{-alpha }=e^{-alpha log(n)}}$ . (А именно, ${displaystyle left|e^{-alpha log n}right|=e^{-operatorname {Re} alpha ,log n}}$
определённо сходится к , если и расходится к +infty , если . Если , то ${displaystyle n^{-alpha }=e^{-ioperatorname {Im} alpha log n}}$ и сходится тогда и только тогда, когда последовательность , что определённо выполняется, если , но неверно, если ).

Суммирование биномиальных рядов[править | править код]

Обычный подход к вычислению суммы биномиального ряда следующий. Если продифференцировать почленно биномиальный ряд в круге сходимости и использовать формулу (1), можно получить, что сумма ряда является аналитической функцией, решающей Обыкновенное дифференциальное уравнение с начальным значением . Единственным решение этой задачи является функция ${displaystyle u(x)=(1+x)^{alpha }}$ , которая, поэтому, и является суммой биномиального ряда, по меньшей мере для . Равенство расширяется до , если ряд сходится, согласно следствию из теоремы Абеля и непрерывности ${displaystyle (1+x)^{alpha }}$ .

История[править | править код]

Первые результаты о биномиальном ряде для неположительных целых степеней получены Исааком Ньютоном при изучении площадей, ограниченных определёнными кривыми. Джон Валлис нашёл на основе этой работы, рассматривая выражения вида ${displaystyle y=(1-x^{2})^{m}}$ , где m дробно, что (выражаясь современным языком) последующие коэффициенты $c_{k}$ при ${displaystyle (-x^{2})^{k}}$ получаются путём умножения предыдущего коэффициента на ${displaystyle {tfrac {m-(k-1)}{k}}}$ (как в случае целых степеней), посредством чего дал формулу для этих коэффициентов. Он в явном виде записал следующие выражения^[a]

${displaystyle (1-x^{2})^{1/2}=1-{frac {x^{2}}{2}}-{frac {x^{4}}{8}}-{frac {x^{6}}{16}}cdots }$

${displaystyle (1-x^{2})^{3/2}=1-{frac {3x^{2}}{2}}+{frac {3x^{4}}{8}}+{frac {x^{6}}{16}}cdots }$

${displaystyle (1-x^{2})^{1/3}=1-{frac {x^{2}}{3}}-{frac {x^{4}}{9}}-{frac {5x^{6}}{81}}cdots }$

Биномиальный ряд, поэтому, иногда называется биномиальной теоремой Ньютона. Ньютон не привёл никаких доказательств и никаких указаний о природе данного ряда. Позднее, в 1826 году Нильс Хенрик Абель обсуждал ряд в статье, опубликованной в журнале Крелле и рассмотрел важные вопросы сходимости^[2].

См. также[править | править код]

Биномиальное приближение^[en]
Бином Ньютона

Примечания[править | править код]

↑ ^[1] На деле этот источник даёт все неконстантные отрицательные члены, что неверно для второго уравнения; следует считать это ошибкой цитирования.

↑ Coolidge, 1949.
↑ Abel, 1826.

Литература[править | править код]

Niels Abel. Recherches sur la série 1 + (m/1)x + (m(m-1)/1.2)x² + (m(m-1)(m-2)/1.2.3)x³ + … // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1826. — Т. 1. — С. 311–339.
Coolidge J. L. The Story of the Binomial Theorem // The American Mathematical Monthly. — 1949. — Т. 56, вып. 3. — С. 147—157. — doi:10.2307/2305028. — JSTOR 2305028.

Ссылки[править | править код]

Weisstein, Eric W. Binomial Series (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Binomial Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
binomial formula (англ.) на сайте PlanetMath.
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Binomial series, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

Источник

Задача 1

Прямоугольник
со сторонами l₁ и l₂ разделен на четыре равные
части, одна из которых заштрихована. На прямоугольник брошены три точки.
Попадание точки в любое место прямоугольника равновозможно. Дискретная случайная величина – число точек,
попавших на заштрихованную часть. Найти: закон распределения, числовые
характеристики, функцию распределения F(x). Построить график F(x).

Задача 2

Для
случайной величины X найти: а) закон распределения; б) функцию
распределения; в) математическое ожидание и дисперсию. При установившемся
технологическом процессе всей
производимой продукции станок-автомат выпускает 2/3 первым сортом и 1/3 – вторым. Случайным образом отбирается 5
изделий. X – число изделий первого сорта среди отобранных.

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 3

Игральную
кость подбросили 3 раза. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее
квадратическое отклонение числа невыпадения единицы.

Задача 4

Монету
подбросили 4 раза. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее
квадратическое отклонение дискретной случайной величины X –
числа появлений герба.

Задача 5

В городе
имеется N=3 оптовых баз. Вероятность того, что требуемого сорта товар
отсутствует, на этих базах одинакова и равна p=0,2. Составить закон
распределения числа баз, на которых товар отсутствует в данный момент. Найти
математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

Задача 6

Продавец
азартных игр объясняет, что в его лотерее 40% заклепок. Игрок покупает 5
билетов.

а) Какова
вероятность того, что он вытащит не более двух заклепок?

б)
Рассчитайте ожидаемое значение и интерпретируйте его

Задача 7

Случайные
величины ξ и η имеют биномиальные распределения с параметрами n=20 и p=0,2
для величины ξ и n=100 и p=0,1 для величины η.

Найти
математическое ожидание и дисперсию величины γ=10ξ-2η, если известен
коэффициент корреляции ρ(ξ,η)=-0,7.

Задача 8

Вероятность
изготовления бракованной детали на первом станке составляет 3%, на второй
станке – 5%. На первом станке изготовлено 20 деталей, на втором 40 деталей.
Найти математическое ожидание и дисперсию числа бракованных деталей.

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 9

Производится
9 бомбометаний с вероятностью попадания при каждом 0,89. Какова вероятность при
более чем 4 бомбометаниях? Найти характеристики распределения случайной
величины.

Задача 10

Вероятность
того, что саженец абрикоса приживется в Новосибирской области, равна 0,6.
Посадили 5 саженцев. Записать закон распределения случайной величины X –
число прижившихся саженцев. Найти математическое ожидание и дисперсию
полученного распределения.

Задача 11

Из
курьерской службы отправились на объекты 5 курьеров. Каждый курьер с
вероятностью 0,3 независимо от других опаздывает на объект. Указать вид
распределения случайной величины X – числа опоздавших
курьеров. Построить ряд распределения случайной величины X.
Найти ее математическое ожидание и дисперсию. Найти вероятность того, что на
объекты опоздают не менее двух курьеров.

Задача 12

Проведено
5 независимых опытов. Вероятность взрыва в каждом опыте равна p=2/7.
Составить закон распределения числа взрывов, вычислить математическое ожидание,
дисперсию, среднеквадратическое отклонение и построить многоугольник
распределения.

Задача 13

На складе
производителя электрических гирлянд, которые планируется поставлять на продажу,
проводится выборочная проверка их работоспособности. Известно, что у примерно
5% производимых гирлянд бывают неисправности различного рода. Предположим, были
отобраны 3 гирлянды для проверки их работоспособности. Найдите закон
распределения случайной величины

– число гирлянд без неисправностей среди
отобранных. Определите вероятность того, что более чем одна гирлянда будет
исправлена.

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 14

Торговый
агент в среднем контактирует с 4 потенциальными покупателями в день. Из опыта
ему известно, что вероятность того, что потенциальный покупатель совершит
покупку, равна 0,023. Составить закон распределения ежедневного числа продаж
для агента. Найти числовые характеристики этого распределения. Чему равна
вероятность того, что у агента будет хотя бы 2 продажи в течение дня?

Задача 15

Случайная
величина имеет биноминальное распределение с математическим ожиданием M(X)=3 и
дисперсией D(X)=1,2. Найти P(X≥2).

Задача 16

По мишени
производится 4 независимых выстрела с вероятностью попадания при каждом
выстреле p=0,9. Найти закон распределения дискретной
случайной величины X, равной числу попадания в мишень. Написать функцию
распределения.

Задача 17

Производится
4 независимых выстрела по некоторой цели. Вероятность попадания при одном
выстреле равна 0,25. Выписать ряд распределения для числа попаданий в цель.

Задача 18

Вероятность
попадания в цель одним выстрелом равна 0,5. Производят пять выстрелов. Найти:
а) Распределение вероятностей числа попаданий; б) Наивероятнейшее число
попаданий; в) Вероятность, что попаданий будет не более двух.

Задача 19

Клиенты
банка не возвращают полученный кредит в 12% случаев.

а)
составить ряд распределения числа не отдавших кредит клиентов из взятых наудачу
3-х.

б) найти
среднее число не отдавших кредит клиентов и отклонение от него.

Задача 20

При
установившемся технологическом процессе происходит в среднем 10 обрывов нити на
100 веретен в час. Найти закон распределения и математическое ожидание
случайного числа обрывов нити в течение часа среди трех веретен, работающих
независимо друг от друга.

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 21

Составить
закон распределения случайной величины Х и найти ее математическое ожидание,
дисперсию и среднее квадратическое отклонение:

Х – число
выигравших билетов лотереи, если куплено 3 билета, а выигрышные билеты
составляют в тираже 8%;

Задача 22

Производится
3 независимых опыта, в каждом из которых событие A появляется с вероятностью
0,4. Построить ряд распределения числа появлений события в 3-х опытах.

Найти F(X),M(X),D(X),σ(X),p(x≥1)

Задача 23

Построить
ряд распределения числа попаданий мячом в корзину при 4 бросках, если
вероятность попадания равна 0,7.

Задача 24

Производится
три независимых испытания, в каждом из которых вероятность появления события A равна
0,4. Составить закон распределения дискретной случайной величины X –
числа появления события A в указанных испытаниях.
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Задача 25

Запишите
таблицу для данного закона распределения случайной величины X,
постройте многоугольник распределения. Найдите числовые характеристики распределения
(M(X),D(X),σ(X)). Запишите функцию распределения и постройте ее график.
Ответьте на вопрос о вероятности описанного события.

Записи
страховой компании показали, что 30% держателей страховых полисов старше 50 лет
потребовали возмещения страховых сумм. Для проверки в случайном порядке было
отобрано 5 человек старше 50 лет, имеющих полисы. Случайная величина X –
количество требующих возмещения среди отобранных. Чему равна вероятность того,
что потребуют возмещения более трех человек?

Задача 26

На
некоторой остановке автобус останавливается только по требованию. Вероятность
остановки равна 0,2. За смену автобус проходит мимо этой остановки 5 раз.
Составить закон распределения числа остановки за смену, найти математическое
ожидание и дисперсию этой случайной величины.

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 27

Устройство
состоит из пяти независимых элементов. Вероятность безотказной работы каждого
элемента в одном опыте равна 0,7. Для случайной величины X
элементов, безотказно работавших в одном опыте, построить закон распределения,
их графики, найти ее числовые характеристики.

Задача 28

В группе
студентов среднее число отличников составляет 20%. Составить закон распределения количества
отличников среди четырех студентов, отобранных случайным образом для участия в
деловой игре.

Задача 29

В урне 6
белых и 14 черных шара. Из урны извлекается один шар 4 раз подряд, причем
каждый раз вынутый шар возвращается в урну и шары перемешиваются. Приняв за
случайную величину Х число извлеченных белых шаров, составить закон
распределения этой случайной величины, найти ее математическое ожидание и
дисперсию.

Задача 30

Устройство состоит из трех
независимо работающих элементов. Вероятность отказа в одном опыте для каждого
элемента равна 0.1. Составить закон распределения случайного числа отказавших
элементов в одном опыте. Составить функцию распределения, построить ее график.

Задача 31

В
контрольной работе три задачи. Вероятность того, что задача будет решена, равна
0,9. Найти математическое ожидание случайной величины – числа решенных задач,
стандартное отклонение.

Задача 32

Известна
вероятность события A: p(A)=0,6. Дискретная случайная
величина ξ – число появлений A в трех опытах. Построить
ряд распределения случайной величины ξ. Найти математическое
ожидание m_ξ и дисперсию D_ξ.

Источник

From Wikipedia, the free encyclopedia

In mathematics, the binomial series is a generalization of the polynomial that comes from a binomial formula expression like (1+x)^n for a nonnegative integer . Specifically, the binomial series is the Taylor series for the function $f(x)=(1+x)^{alpha}$ centered at x=0 , where and |x|<1 . Explicitly,

${displaystyle {begin{aligned}(1+x)^{alpha }&=sum _{k=0}^{infty };{binom {alpha }{k}};x^{k}=1+alpha x+{frac {alpha (alpha -1)}{2!}}x^{2}+{frac {alpha (alpha -1)(alpha -2)}{3!}}x^{3}+cdots end{aligned}}}$

(1)

where the power series on the right-hand side of (1) is expressed in terms of the (generalized) binomial coefficients

${displaystyle {binom {alpha }{k}}:={frac {alpha (alpha -1)(alpha -2)cdots (alpha -k+1)}{k!}}.}$

Special cases[edit]

If α is a nonnegative integer n, then the (n + 2)th term and all later terms in the series are 0, since each contains a factor (n − n); thus in this case the series is finite and gives the algebraic binomial formula.

Closely related is the negative binomial series defined by the Taylor series for the function ${displaystyle g(x)=(1-x)^{-alpha }}$ centered at x=0 , where and |x|<1 . Explicitly,

${displaystyle {begin{aligned}{frac {1}{(1-x)^{alpha }}}&=sum _{k=0}^{infty };{frac {g^{(k)}(0)}{k!}};x^{k}\&=1+alpha x+{frac {alpha (alpha +1)}{2!}}x^{2}+{frac {alpha (alpha +1)(alpha +2)}{3!}}x^{3}+cdots ,end{aligned}}}$

which is written in terms of the multiset coefficient

${displaystyle left(!!{alpha choose k}!!right):={alpha +k-1 choose k}={frac {alpha (alpha +1)(alpha +2)cdots (alpha +k-1)}{k!}},.}$

Convergence[edit]

Conditions for convergence[edit]

Whether (1) converges depends on the values of the complex numbers α and x. More precisely:

If |x| < 1, the series converges absolutely for any complex number α.
If |x| = 1, the series converges absolutely if and only if either Re(α) > 0 or α = 0, where Re(α) denotes the real part of α.
If |x| = 1 and x ≠ −1, the series converges if and only if Re(α) > −1.
If x = −1, the series converges if and only if either Re(α) > 0 or α = 0.
If |x| > 1, the series diverges, unless α is a non-negative integer (in which case the series is a finite sum).

In particular, if alpha is not a non-negative integer, the situation at the boundary of the disk of convergence, , is summarized as follows:

If Re(α) > 0, the series converges absolutely.
If −1 < Re(α) ≤ 0, the series converges conditionally if x ≠ −1 and diverges if x = −1.
If Re(α) ≤ −1, the series diverges.

Identities to be used in the proof[edit]

The following hold for any complex number α:

${displaystyle {alpha choose k+1}={alpha choose k},{frac {alpha -k}{k+1}},}$

(2)

(3)

Unless alpha is a nonnegative integer (in which case the binomial coefficients vanish as is larger than alpha ), a useful asymptotic relationship for the binomial coefficients is, in Landau notation:

${displaystyle {alpha choose k}={frac {(-1)^{k}}{Gamma (-alpha )k^{1+alpha }}},(1+o(1)),quad {text{as }}kto infty .}$

(4)

This is essentially equivalent to Euler’s definition of the Gamma function:

${displaystyle Gamma (z)=lim _{kto infty }{frac {k!;k^{z}}{z;(z+1)cdots (z+k)}},}$

and implies immediately the coarser bounds

${displaystyle {frac {m}{k^{1+operatorname {Re} ,alpha }}}leq left|{alpha choose k}right|leq {frac {M}{k^{1+operatorname {Re} alpha }}},}$

(5)

for some positive constants m and M .

Formula (2) for the generalized binomial coefficient can be rewritten as

${displaystyle {alpha choose k}=prod _{j=1}^{k}left({frac {alpha +1}{j}}-1right).}$

(6)

Proof[edit]

To prove (i) and (v), apply the ratio test and use formula (2) above to show that whenever alpha is not a nonnegative integer, the radius of convergence is exactly 1. Part (ii) follows from formula (5), by comparison with the p-series

${displaystyle sum _{k=1}^{infty };{frac {1}{k^{p}}},}$

with . To prove (iii), first use formula (3) to obtain

$(1 + x) sum_{k=0}^n ; {alpha choose k} ; x^k =sum_{k=0}^n ; {alpha+1choose k} ; x^k + {alpha choose n} ;x^{n+1},$

(7)

and then use (ii) and formula (5) again to prove convergence of the right-hand side when is assumed. On the other hand, the series does not converge if and , again by formula (5). Alternatively, we may observe that for all , ${textstyle left|{frac {alpha +1}{j}}-1right|geq 1-{frac {operatorname {Re} alpha +1}{j}}geq 1}$ . Thus, by formula (6), for all . This completes the proof of (iii). Turning to (iv), we use identity (7) above with x=-1 and in place of alpha , along with formula (4), to obtain

${displaystyle sum _{k=0}^{n};{alpha choose k};(-1)^{k}={alpha -1 choose n};(-1)^{n}={frac {1}{Gamma (-alpha +1)n^{alpha }}}(1+o(1))}$

as . Assertion (iv) now follows from the asymptotic behavior of the sequence ${displaystyle n^{-alpha }=e^{-alpha log(n)}}$ . (Precisely, ${displaystyle left|e^{-alpha log n}right|=e^{-operatorname {Re} alpha ,log n}}$
certainly converges to if and diverges to +infty if . If , then ${displaystyle n^{-alpha }=e^{-ioperatorname {Im} alpha log n}}$ converges if and only if the sequence converges , which is certainly true if but false if : in the latter case the sequence is dense , due to the fact that log n diverges and converges to zero).

Summation of the binomial series[edit]

The usual argument to compute the sum of the binomial series goes as follows. Differentiating term-wise the binomial series within the disk of convergence |x| < 1 and using formula (1), one has that the sum of the series is an analytic function solving the ordinary differential equation (1 + x)u‘(x) = αu(x) with initial data u(0) = 1. The unique solution of this problem is the function u(x) = (1 + x)^α, which is therefore the sum of the binomial series, at least for |x| < 1. The equality extends to |x| = 1 whenever the series converges, as a consequence of Abel’s theorem and by continuity of (1 + x)^α.

History[edit]

The first results concerning binomial series for other than positive-integer exponents were given by Sir Isaac Newton in the study of areas enclosed under certain curves. John Wallis built upon this work by considering expressions of the form y = (1 − x²)^m where m is a fraction. He found that (written in modern terms) the successive coefficients c_k of (−x²)^k are to be found by multiplying the preceding coefficient by m − (k − 1)/k (as in the case of integer exponents), thereby implicitly giving a formula for these coefficients. He explicitly writes the following instances^[a]

$(1-x^2)^{1/2}=1-frac{x^2}2-frac{x^4}8-frac{x^6}{16}cdots$

$(1-x^2)^{3/2}=1-frac{3x^2}2+frac{3x^4}8+frac{x^6}{16}cdots$

$(1-x^2)^{1/3}=1-frac{x^2}3-frac{x^4}9-frac{5x^6}{81}cdots$

The binomial series is therefore sometimes referred to as Newton’s binomial theorem. Newton gives no proof and is not explicit about the nature of the series. Later, on 1826 Niels Henrik Abel discussed the subject in a paper published on Crelle’s Journal, treating notably questions of convergence. ^[2]

Footnotes[edit]

Notes[edit]

^ ^[1] In fact this source gives all non-constant terms with a negative sign, which is not correct for the second equation; one must assume this is an error of transcription.

Citations[edit]

^ Coolidge 1949.
^ Abel 1826.

References[edit]

Abel, Niels (1826), “Recherches sur la série 1 + (m/1)x + (m(m − 1)/1.2)x² + (m(m − 1)(m − 2)/1.2.3)x³ + …”, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1: 311–339
Coolidge, J. L. (1949), “The Story of the Binomial Theorem”, The American Mathematical Monthly, 56 (3): 147–157, doi:10.2307/2305028, JSTOR 2305028

External links[edit]

Weisstein, Eric W. “Binomial Series”. MathWorld.
Weisstein, Eric W. “Binomial Theorem”. MathWorld.
binomial formula at PlanetMath.
Solomentsev, E.D. (2001) [1994], “Binomial series”, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
“How Isaac Newton Discovered the Binomial Power Series”. August 31, 2022.

Источник

Найдем разложение в степенной ряд функции

( — произвольное вещественное число).

Дифференцируя равенство раз, мы получаем

так что

Следовательно, рядом Маклорена функции будет ряд

Если число — целое и положительное, то в и во всех последующих коэффициентах появляется равный нулю сомножитель. Поэтому эти коэффициенты, а следовательно, и сами члены, обращаются в нуль и ряд превращается в конечную сумму. Если же число нецелое, или целое, но отрицательное, то ни один из коэффициентов ряда в нуль не обратится и нам придется иметь дело с бесконечным рядом. Этот ряд называется биномиальным, а его коэффициенты — биномиальными коэффициентами. По внешнему виду они напоминают обычные биномиальные коэффициенты, рассматриваемые в элементарной математике.

Определим радиус сходимости биномиального ряда. Для этого составим ряд из модулей членов биномиального ряда и воспользуемся признаком сходимости Даламбера. Мы имеем

так что

и потому

Следовательно, при биномиальный ряд абсолютно сходится, и можно говорить о его сумме

Нам остается проверить, что ряд (7.24) действительно сходится к функции

Внутри своего интервала сходимости биномиальный ряд (как и всякий степенной ряд) сходится равномерно.

Поэтому применима теорема о почленном дифференцировании ряда (см. § 10 главы 5), которая дает нам

Умножим обе части написанного равенства на и приведем подобные члены. (Эта операция законна, так как при ряд, стоящий в (7.25) справа, сходится абсолютно.) В результате мы снова получим сходящийся ряд, в котором коэффициентом при будет сумма двух соседних коэффициентов умноженного ряда:

Эту сумму можно переписать как

Мы получили умноженный на коэффициент при в биномиальном ряде (7.24). Таким образом, в области сходимости биномиального ряда должно быть

Рассмотрим теперь отношение

и найдем производную этого отношения

Ввиду (7.26) числитель последней дроби равен нулю, так что

Следовательно, отношение является постоянной:

Для определения этой постоянной положим в (7.23) и в При этом мы, очевидно, получим

так что

Таким образом, из (7.27) и (7.28) следует, что

т. е. ряд Маклорена функции при сходится к этой функции. Поэтому мы можем написать

Придавая те или иные значения, можно получать различные полезные формулы.

Примеры.

1. При мы имеем

2. При получаем

Источник

Разложим в ряд
Маклорена функцию f(x)=(1+x)^m,
где m любое целое постоянное число.
Непосредственная оценка остаточного
члена и тут затруднена. Поступим следующим
образом. Заметим, что функция f(x)=(1+x)^mудовлетворяет
дифференциальному уравнению
(1+x)f'(x)=(m)f(x) (*), и условию f(0)=1. Найдем
степенной ряд, сумма которого S(x)
удовлетворяет уравнению (*) и условию
S(0)=1:

(5). Подставим в (*) получим
.
Приравняем коэффициенты при одинаковых
степенях x:a₁=m;a₁+2a₂=ma₁;
…;na_n+(n+1)a_n₊₁=ma_n.
Отсюда найдем

– это биномиальные коэффициенты.
Подставляя их в формулу (5), получим:

(6).

Если m целое
положительное число, то сумма (6)
обрывается, т.к. начиная с члена содержащего
x^m+1 все
коэффициенты равны нулю. При других m
имеется бесконечный ряд. Определим его
радиус сходимости:
,,.

Ряд (6) сходится
при |x|<1.
Получили, что в (-1;1) ряд (6) представляет
функцию S(x), удовлетворяющую дифференциальному
уравнению (*) и условиюS(0)=1.
Но дифференциальному уравнению может
удовлетворять только одна функция с
таким условием, потому S(x)=(1+x)^m
в (-1;1). Итак:

(7).

Это и есть
биноминальный ряд. При m
целом положительным он обрывается и
дает формулу бинома Ньютона.

5)Функция
f(x)=arctg(x).

Рассмотрим ряд:

сходится в (-1;1). Проинтегрируем на [0;x],
|x|<1. Получим:

(8).

Можно доказать,
что (4) верно на [-1,1].

9)Применение степенных рядов к приближенным вычислениям.

Если дана функции

(1) и нужно вычислить ее приближенное
значение при некотором х, то достаточно
взять сумму нескольких ее первых членов
f(x)»S_n(x).
Сколько первых членов нужно взять, чтобы
обеспечить точность вычисления, на этот
вопрос дает ответ оценка остатка ряда
|r_n(x)|.

Если ряд типа
Лейбница, то |r_n(x)|£|a_n+1xⁿ⁺¹|.
Отсюда находим n, начинаяс
которого r_n(x)
не превосходит заданной точности. Если
ряд другой, то применяют мажорируемый
ряд (обычно геометрическую прогрессию)
сумму остатка которой можно оценить
легче.

Примеры:

1)Вычислить число
е сточностью
до 7 знаков.

Т.к.
,
то при x=1
имеем:

Оценим |r_n|.

Итак,
.
Должно быть
;
видно, что при n=10 это уже есть. Поэтому
достаточно взять 11 первых членов:

2) Вычисление
логарифмов чисел.

Если х принадлежит
(-1;1), то
(1). если заменитьх на -х, то

(2) также справедливо в (-1;1).(1)
и(2) применяются
для вычисления ln чисел между 0 и 2. Как
вычислить логарифмылюбых
чисел? Сходящиеся ряды можно вычитать.
Из (1) вычтем (2), получим:

(3)

верно в (-1;1).Всякое положительное
число t можно представить в виде

при хÎ(-1;1):
t-t×x=1+x,
,
потому можно вычислять:

3) Вычисление
корней.

Надо с большой
точностью вычислить
.
Допустим известно некоторое приближенное
значение этого корня
»b,
тогда a»bⁿ,
,
где a-небольшая
величина: ½a½<1.
Тогда