Как найти биссектрису произвольного треугольника - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

L– биссектриса, отрезок |OB|, который делит угол ABC пополам

a, b – стороны треугольника

с – сторона на которую опущена биссектриса

d, e – отрезки полученные делением биссектрисы

γ – угол ABC , разделенный биссектрисой пополам

p – полупериметр, p=(a+b+c)/2

Длина биссектрисы через две стороны и угол, (L):

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, (L):

Длина биссектрисы через три стороны, (L):

Длина биссектрисы через стороны и отрезки d, e, (L):

Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.

Подробности

Опубликовано: 06 октября 2011

Обновлено: 13 августа 2021

Источник

Формулы для вычисления длины биссектрисы треугольника

Формулы для вычисления длины биссектрисы треугольника

Можно вывести различные формулы, с помощью которых можно вычислить длину биссектрисы треугольника, если известны:

· длины прилежащих сторон и угол между ними

· длины прилежащих сторон и отрезки, на которые биссектриса разбивает противолежащую сторону

· длины трех сторон треугольника.

Докажем первую из формул.

Задача 1. Вычислить длину биссектрисы треугольника, если известны длинны двух прилежащих сторон треугольника и угол между ними.

Решение. Пусть в треугольнике АВС известно, что

Обозначим биссектрису AD через la .

Используя формулу синуса двойного угла, получаем:

Ответ: .

Выражение называется средним гармоническим чисел а и с. Поэтому формулу можно запомнить следующим образом:

биссектриса треугольника равна произведению среднего гармонического прилежащих сторон треугольника на косинус половинного угла между ними.

Доказательство остальных формул можно посмотреть, например, в методическом пособии «Опорные задачи по планиметрии».

Задача 2. Вычислите биссектрису треугольника ABC, проведённую из вершины А, если ВС = 18, АС = 15, АВ = 12.

Решение. Воспользуемся формулой для вычисления биссектрисы угла, если известны три стороны треугольника:

Задача 3. Определить площадь треугольника, если две его стороны равны 35 см и 14 см, а биссектриса угла между ними содержит 12 см.

Пусть в треугольнике АВС АС=35, АВ=14, AD – биссектриса, AD=12.

Вычислим , получаем:

, .

(по основному тригонометрическому тождеству).

Далее по формуле синуса двойного угла вычисляем

Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой .

Задача 4. . В равнобедренном треугольнике BCD с основанием BD

проведена биссектриса BE. Известно, что СЕ = 20 и DE = 10. Найдите BE.

Используя свойство биссектрисы угла треугольника (урок 4), получаем

, то есть .

Таким образом, нам известны длины двух прилежащих сторон и отрезки, на которые биссектриса разбивает противолежащую сторону, поэтому

Ответ :.

Задачи для самостоятельного решения

1. Дан треугольник со сторонами 4, 8, 9. Найти длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.

2. В треугольнике ABC известно, что АВ = 10, АС = 15, BAC = 120°. Найдите биссектрису AD.

3. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины прямого угла.

4. В равнобедренном треугольнике BCD с основанием BD проведена биссектриса BE. Известно, что СЕ = 18 и DE = 12. Найдите BE.

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы треугольника может быть найдена разными способами, в зависимости от исходных данных.

I. Через длины двух сторон и отрезки, на которые биссектриса делит третью сторону.

Квадрат биссектрисы треугольника равен разности между произведением двух его сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону.

Соответственно, длина биссектрисы равна квадратному корню из разности между произведением двух его сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону.

Дано:

СF — биссектриса ∠ABC

Доказательство:

Опишем около треугольника ABC окружность и продлим биссектрису CF до пересечения с окружностью в точке D. Соединим точки A и D отрезком.

Рассмотрим треугольники BCF и DCA.

∠BCF=∠DCA (по условию);

Значит, треугольники BFC и DCA подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Что и требовалось доказать.

II. Через три стороны треугольника

Длина биссектрисы треугольника выражается через длины его сторон a, b и c по формуле

По свойству биссектрисы треугольника:

Согласно утверждению 1,

Что и требовалось доказать.

III Через две стороны треугольника и угол между ними.

Длина биссектрисы треугольника через две стороны, образующие угол, из вершины которого исходит биссектриса, и угол между этими сторонами выражается по формуле

Биссектриса треугольника

Напомним, что биссектрисой угла называют луч, делящий угол пополам.

Определение . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне (рис 1).

Поскольку в каждом треугольнике имеются три угла, то в каждом треугольнике можно провести три биссектрисы.

На рисунке 1 биссектрисой является отрезок AD .

Теорема 1 . Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Доказательство . Продолжим сторону AC треугольника ABC , изображенного на рисунке 1, за точку A . Проведем через точку B прямую, параллельную биссектрисе AD . Обозначим точку пересечения построенных прямых буквой E (рис. 2).

Докажем, что отрезки AB и AE равны. Для этого заметим, что угол EBA равен углу BAD , поскольку эти углы являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых EB и AD . Заметим также, что угол BEA равен углу DAC , поскольку эти углы являются соответственными при параллельных прямых EB и AD . Таким образом, угол EBA равен углу BEA , откуда вытекает, что треугольник EAB является равнобедренным, и отрезки AB и AE равны.

Отсюда, воспользовавшись теоремой Фалеса, получаем:

что и требовалось доказать.

Следствие 1 . Рассмотрим рисунок 3, на котором изображен тот же треугольник, как и на рисунке 1, но для длин отрезков использованы обозначения

b = |AC|, a = |BC|, c = |AB|, p = |BD|, q = |DC|.

что и требовалось доказать.

Следствие 2 . Рассмотрим рисунок 4, на котором изображены две биссектрисы треугольника, пересекающиеся в точке O .

Тогда справедлива формула:

что и требовалось доказать.

Теорема 2 . Рассмотрим рисунок 5, который практически совпадает с рисунком 2.

Тогда для длины биссектрисы справедлива формула:

Доказательство . Из рисунка 5 следует формула

Если воспользоваться этой формулой, то из подобия треугольников ADC и EBC , получаем:

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Длину биссектрисы треугольника (рис.6) можно найти по формуле:

Доказательство . Рассмотрим рисунок 6

откуда с помощью Теоремы 2 получаем:

что и требовалось доказать.

Задача . Из вершины C треугольника ABC (рис.7) проведена биссектриса CD и высота CE .

Доказать, что выполнено равенство:

Решение . Поскольку CD – биссектриса угла ACB , то

Поскольку CE – высота, то

что и требовалось доказать.

Из решения этой задачи вытекает простое следствие.

Следствие . Длины биссектрисы CD и высоты CE связаны следующей формулой:

[spoiler title=”источники:”]

Длина биссектрисы треугольника

http://www.resolventa.ru/spr/planimetry/bisector.htm

[/spoiler]

Источник

Длина биссектрисы треугольника может быть найдена разными способами, в зависимости от исходных данных.

I. Через длины двух сторон и отрезки, на которые биссектриса делит третью сторону.

Утверждение 1

$[ l = sqrt {ab - a_1 b_1 } ]$

Дано:

ΔABC,

СF — биссектриса ∠ABC

Доказать:

Доказательство:

Рассмотрим треугольники BCF и DCA.

∠BCF=∠DCA (по условию);

∠CBF=∠CDA (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу AC).

Значит, треугольники BFC и DCA подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$[ frac{{BC}}{{CD}} = frac{{CF}}{{AC}}, Rightarrow CD = frac{{BC cdot AC}}{{CF}}. ]$

$[ FD = CD - CF = frac{{BC cdot AC}}{{CF}} - CF. ]$

По свойству пересекающихся хорд

Отсюда

$[ BF cdot AF = CF cdot (frac{{BC cdot AC}}{{CF}} - CF) ]$

Что и требовалось доказать.

II. Через три стороны треугольника

Утверждение 2

Длина биссектрисы треугольника выражается через длины его сторон a, b и c по формуле

$[ l_c = frac{1}{{a + b}}sqrt {ab(a + b + c)(a + b - c)} . ]$

Доказательство:

По свойству биссектрисы треугольника:

$[ [ frac{a}{{a_1 }} = frac{b}{{b_1 }}, Rightarrow a_1 b = ab_1 . ]$

a₁+b₁=c, b₁=c-a₁, поэтому

$[ a_1 = frac{{ac}}{{a + b}}. ]$

Согласно утверждению 1,

$[ l^2 = ab - a_1 (c - a_1 ) = ab - frac{{ac}}{{a + b}}(c - frac{{ac}}{{a + b}}) = ]$

$[ = ab - frac{{ac^2 }}{{a + b}} + frac{{a^2 c^2 }}{{(a + b)^2 }} = frac{{ab(a + b)^2 - ac^2 (a + b) + a^2 c^2 }}{{(a + b)^2 }} = ]$

$[ = frac{{ab(a + b)^2 - a^2 c^2 - abc^2 + a^2 c^2 }}{{(a + b)^2 }} = frac{{ab(a + b)^2 - abc^2 }}{{(a + b)^2 }} = ]$

$[ = frac{{ab}}{{(a + b)^2 }}((a + b)^2 - c^2 ) = frac{{ab}}{{(a + b)^2 }}((a + b) + c)((a + b) - c) = ]$

$[ = frac{{ab}}{{(a + b)^2 }}(a + b + c)(a + b - c), ]$

откуда

$[ l = sqrt {frac{{ab}}{{(a + b)^2 }}(a + b + c)(a + b - c)} , ]$

$[ l_c = frac{1}{{a + b}}sqrt {ab(a + b + c)(a + b - c)} . ]$

Что и требовалось доказать.

Аналогично,

$[ l_a = frac{1}{{b + c}}sqrt {bc(b + c + a)(b + c - a)} , ]$

$[ l_b = frac{1}{{a + c}}sqrt {ac(a + c + b)(a + c - b)} . ]$

III Через две стороны треугольника и угол между ними.

Утверждение 3

$[ l_c = frac{{2abcos frac{alpha }{2}}}{{a + b}} ]$

Доказательство:

Найдем площади треугольников BCF, ACF и ABC.

$[ S_{Delta BCF} = frac{1}{2}BC cdot CF cdot sin angle BCF, ]$

$[ S_{Delta ACF} = frac{1}{2}AC cdot CF cdot sin angle ACF, ]$

$[ S_{Delta ABC} = frac{1}{2}AC cdot BC cdot sin angle BCA. ]$

Так как

$[ S_{Delta ABC} = S_{Delta BCF} + S_{Delta ACF} , ]$

то

$[ frac{1}{2}AC cdot BC cdot sin angle BCA = ]$

$[ = frac{1}{2}BC cdot CF cdot sin angle BCF + frac{1}{2}AC cdot CF cdot sin angle ACF, ]$

$[ ab cdot sin alpha = al cdot sinfrac{alpha }{2} + bl cdot sinfrac{alpha }{2}, ]$

$[ ab cdot sin alpha = l cdot sinfrac{alpha }{2}(a + b), ]$

$[ l = frac{{ab cdot sin alpha }}{{sinfrac{alpha }{2}(a + b)}} = frac{{ab cdot sin (2 cdot frac{alpha }{2})}}{{sinfrac{alpha }{2}(a + b)}} = frac{{ab cdot 2sin frac{alpha }{2}cos frac{alpha }{2}}}{{sinfrac{alpha }{2}(a + b)}} = frac{{2abcos frac{alpha }{2}}}{{a + b}}. ]$

Что и требовалось доказать.

Источник

Рис. 1. Треугольник (общий случай)

Треугольник — замкнутая геометрическая фигура, состоящая из трёх отрезков (в общем случае, разных). В физике эти отрезки классически называются буквами латинского алфавита ( displaystyle a,,b,,c и т.д.), в отличие от обозначений в геометрии.

Итак, треугольник, у которого все стороны имеют разную длину и ни один из углов не равен $displaystyle {{90}^{{}^circ }}$ , называется произвольным (рис. 1).

В случае, если у треугольника равны две стороны, данный треугольник называется равнобедренным.

В случае, если у треугольника все стороны одинаковы, он называется равносторонним.

В случае, если у треугольника один и углов прямой ( $displaystyle {{90}^{{}^circ }}$ ), он называется прямоугольным.

Для произвольного треугольника вводят ряд отрезков, характеризующих треугольник и обладающих собственными свойствами:

Биссектриса
Высота
Медиана

Для разных типов треугольников поиск длин параметров треугольника может происходить по-разному. Для физических задач использование конкретной формулы диктуется конкретными данными задачи.

Рис. 2. Треугольник (биссектриса)

Биссектриса угла — геометрическое место точек, равноудалённых от сторон этого угла. Т.е. биссектриса — это линия, которая делит угол треугольника пополам (рис. 2). Известно, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Для нахождения биссектрисы угла через различные данные можно пользоваться следующими соотношениями:

через две стороны и угол:

$displaystyle f=frac{2abcos {}^{alpha }!!diagup!!{}_{2};}{a+b}$ (1)

через три стороны:

$displaystyle f=frac{sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}}{a+b}$ (2)

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке: данная точка делит медианы в соотношении 2 к 1, считая от вершины (рис. 3).

Рис. 3. Треугольник (медиана)

Для нахождения медианы треугольника через различные данные можно пользоваться следующими соотношениями:

через три стороны:

$displaystyle m=frac{1}{2}sqrt{2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}$ (3)

через две стороны и угол между ними:

$displaystyle m=frac{1}{2}sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2abcos alpha }$ (4)

Рис. 4. Треугольник (высота)

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противоположную сторону или на её продолжение (рис. 4).

Для нахождения высоты треугольника через различные данные можно пользоваться следующими соотношениями:

через сторону и угол:

displaystyle h=bsin beta =asin alpha (5)

через сторону и площадь треугольника ()

$displaystyle h=frac{2S}{c}$ (6)

Важно: то, какую формулу выбрать для решения конкретной задачи, зависит от того, что легче найти, исходя из дано.

Источник

Формулы для вычисления длины биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника

Вам также может понравиться

Как найти частоту ряда статистика

Как найти украденную видеокарту

Карта как найти подарок дома

Добавить комментарий Отменить ответ