Как найти биссектрису угла задачи

Как найти биссектрису угла задачи

Свойства биссектрисы угла. Задачи

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке мы вспомним понятие биссектрисы угла, сформулируем и докажем прямую и обратную теоремы о свойствах биссектрисы, обобщим их. Решим задачу, в которой, кроме фактов о биссектрисе, применим другие геометрические факты.

Определение и свойства биссектрисы угла треугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства биссектрисы угла треугольника, а также приведем пример решения задачи, чтобы закрепить представленный материал.

Определение биссектрисы угла треугольника

Биссектриса угла – это луч, который берет начала в вершине угла и делит данный угол пополам.

Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий этот угол на две равные части. Такая биссектриса, также, называется внутренней.

Основание биссектрисы – точка на стороне треугольника, которую пересекает биссектриса. Т.е. в нашем случае – это точка D.

Внешней называется биссектриса угла, смежного с внутренним углом треугольника.

Свойства биссектрисы треугольника

Свойство 1 (теорема о биссектрисе)

Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон. Т.е. для нашего треугольника (см. самый верхний рисунок):

Свойство 2

Точка пересечения трех внутренних биссектрис любого треугольника (называется инцентром) является центром вписанной в фигуру окружности.

Свойство 3

Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону (считая от вершины).

Свойство 4

Если известны длины отрезков, образованных на стороне, которую пересекает биссектриса, а также две другие стороны треугольника, найти длину биссектрисы можно по формуле ниже (следует из теоремы Стюарта):

BD 2 = AB ⋅ BC – AD ⋅ DC

Свойство 5

Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.

  • CD – внутренняя биссектриса ∠ACB;
  • CE – биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
  • ∠DCE равен 90°, т.е. биссектрисы CD и CE перпендикулярны.

Пример задачи

Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе.

Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.

Применив теорему Пифагора мы можем найти длину гипотенузы (ее квадрат равен сумме квадратов двух катетов).
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
Следовательно, BC = 10 см.

Далее составляем пропорцию согласно Свойству 1, условно приняв отрезок BD на гипотенузе за “a” (тогда DC = “10-a”):

Избавляемся от дробей и решаем получившееся уравнение:
8a = 60 – 6a
14a = 60
a ≈ 4,29

Таким образом, BD ≈ 4,29 см, CD ≈ 10 – 4,29 ≈ 5,71 см.

Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы, использую формулу, приведенную в Свойстве 4:
AD 2 = AB ⋅ AC – BD ⋅ DC = 6 ⋅ 8 – 4,29 ⋅ 5,71 ≈ 23,5.

Элементы треугольника. Биссектриса

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, заключенный между вершиной треугольника и противолежащей ей стороной.

Свойства биссектрисы

1. Биссектриса треугольника делит угол пополам.

2. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон ()

3. Точки биссектрисы угла треугольника равноудалены от сторон этого угла.

4. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в этот треугольник окружности.

Некоторые формулы, связанные с биссектрисой треугольника

(доказательство формулы – здесь)
, где
— длина биссектрисы, проведённой к стороне ,
— стороны треугольника против вершин соответственно,
— длины отрезков, на которые биссектриса делит сторону ,

Приглашаю посмотреть видеоурок, в котором демонстрируется применение всех указанных выше свойств биссектрисы.

Задачи, рассматриваемые в видеоролике:
1.В треугольнике АВС со сторонами АВ=2 см, ВС=3 см, АС=3 см проведена биссектриса ВМ. Найти длины отрезков АМ и МС
2. Биссектриса внутреннего угла при вершине А и биссектриса внешнего угла при вершине С треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите угол BMC, если угол В равен 40, угол С – 80 градусов
3. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник, считая стороны квадратных клеток равными 1

Возможно, вам будет интересен и этот небольшой видеоурок, где применяется одно из свойств биссектрисы

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

[spoiler title=”источники:”]

Определение и свойства биссектрисы угла треугольника

Элементы треугольника. Биссектриса

[/spoiler]

Источник
  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по геометрии 7-9 класс
  4. Треугольники
  5. Построения циркулем и линейкой
  6. Построение биссектрисы угла

Пример:

Построить биссектрису данного угла.

Дано: А.

Построить: биссектрису А.

Решение:

Произвольно строим с помощью линейки А.

С помощью циркуля строим окружность произвольного радиуса с центром в вершине А.

Точки пересечения данной окружности со сторонами А обозначим В и С.

Теперь проведем две окружности одинакового радиуса ВС с центрами в точках В и С.

 

В зависимости от длины ВС, получим одну или две точки пересечения данных окружностей внутри А. Ту точку, которая лежит внутри угла обозначают буквой и проводят через нее луч с началом в точке А. В нашем случае, получилось две точки пересечения данных окружностей, которые лежат внутри А. Обозначаем одну из них Е и проводим с помощью линейки луч АЕ.

Докажем, что луч АЕ является биссектрисой данного А. Рассмотрим треугольники АВЕ и АСЕ.

В данных треугольниках АВ = АС как радиусы окружности с центром в точке А, ВЕ = СЕ по построению, АЕ – общая, следовательно, АВЕ =АСЕ по 3 признаку равенства треугольников, откуда следует, что ВАЕ =САЕ, т.е луч АЕ – биссектриса данного А. Что и требовалось доказать.

Замечание:

  • С помощью циркуля и линейки можно разделить данный угол на два равных угла, для этого нужно провести его биссектрису.
  • С помощью циркуля и линейки можно разделить данный угол на четыре равных угла, для этого нужно разделить угол пополам (на два равных угла), а затем каждую половину разделить пополам еще раз.
  • С помощью циркуля и линейки нельзя разделить данный угол на три равных угла (задача о трисекции угла).

Советуем посмотреть:

Построение угла, равного данному

Построение перпендикулярных прямых

Построение середины отрезка

Среднее пропорциональное

Треугольник

Равенство треугольников

Первый признак равенства треугольников

Перпендикуляр к прямой

Медианы треугольника

Биссектрисы треугольника

Высоты треугольника

Равнобедренный треугольник

Свойства равнобедренного треугольника

Второй признак равенства треугольников

Третий признак равенства треугольников

Окружность

Построения циркулем и линейкой

Треугольники


Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 152,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 154,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 19,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 289,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 356,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 362,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 586,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 701,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1144,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1147,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Источник

В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства биссектрисы угла треугольника, а также приведем пример решения задачи, чтобы закрепить представленный материал.

  • Определение биссектрисы угла треугольника

  • Свойства биссектрисы треугольника

    • Свойство 1 (теорема о биссектрисе)

    • Свойство 2

    • Свойство 3

    • Свойство 4

    • Свойство 5

  • Пример задачи

Определение биссектрисы угла треугольника

Биссектриса угла – это луч, который берет начала в вершине угла и делит данный угол пополам.

Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий этот угол на две равные части. Такая биссектриса, также, называется внутренней.

Внутренняя биссектриса треугольника

  • BD – биссектриса угла ABC;
  • α = β.

Основание биссектрисы – точка на стороне треугольника, которую пересекает биссектриса. Т.е. в нашем случае – это точка D.

Внешней называется биссектриса угла, смежного с внутренним углом треугольника.

Внешняя биссектриса треугольника

  • СD – внешняя биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
  • α = β.

Свойства биссектрисы треугольника

Свойство 1 (теорема о биссектрисе)

Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон. Т.е. для нашего треугольника (см. самый верхний рисунок):

Теорема о биссектрисе (формула)

Свойство 2

Точка пересечения трех внутренних биссектрис любого треугольника (называется инцентром) является центром вписанной в фигуру окружности.

Центр вписанной в треугольник окружности на пересечении биссектрис (инцентр)

Свойство 3

Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону (считая от вершины).

Пересечение биссектрис в треугольнике

Деление биссектрис треугольника в точке пересечения (соотношение)

Деление биссектрис треугольника в точке пересечения (соотношение)

Деление биссектрис треугольника в точке пересечения (соотношение)

Свойство 4

Если известны длины отрезков, образованных на стороне, которую пересекает биссектриса, а также две другие стороны треугольника, найти длину биссектрисы можно по формуле ниже (следует из теоремы Стюарта):

BD2 = AB ⋅ BC – AD ⋅ DC

Биссектриса треугольника

Свойство 5

Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.

Перпендикулярность внешней и внутренней биссектрис одного и того же угла треугольника

  • CD – внутренняя биссектриса ∠ACB;
  • CE – биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
  • ∠DCE равен 90°, т.е. биссектрисы CD и CE перпендикулярны.

Пример задачи

Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе.

Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.

Биссектриса прямоугольного треугольника к гипотенузе

Применив теорему Пифагора мы можем найти длину гипотенузы (ее квадрат равен сумме квадратов двух катетов).
BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82 = 100.
Следовательно, BC = 10 см.

Далее составляем пропорцию согласно Свойству 1, условно приняв отрезок BD на гипотенузе за “a” (тогда DC = “10-a”):

Теорема о биссектрисе (пример задачи)

Избавляемся от дробей и решаем получившееся уравнение:
8a = 60 – 6a
14a = 60
a ≈ 4,29

Таким образом, BD ≈ 4,29 см, CD ≈ 10 – 4,29 ≈ 5,71 см.

Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы, использую формулу, приведенную в Свойстве 4:
AD2 = AB ⋅ AC – BD ⋅ DC = 6 ⋅ 8 – 4,29 ⋅ 5,71 ≈ 23,5.

Следовательно, AD ≈ 4,85 см.

Источник

Тема. Биссектриса угла.

Цели урока:

Образовательные:

1.     Сформировать
у учащихся понятие биссектрисы угла, показать практическое применение его при
решении задач.

2.    
Развивать  у учащихся логическое мышление,
пространственное воображение, чертёжные навыки, интерес к предмету.

Развивающие:

1.     Развивать
мыслительную деятельность в процессе формирования нового понятия и решения
задач.

2.    
Развивать умение анализировать,
сравнивать, обобщать, делать выводы.

Воспитательные:

1.     Воспитывать
культуру математической речи, культуру учебного труда.

2.     Развивать
познавательную активность через игровые моменты, коммуникативные способности во
время работы в парах.

3.     Прививать
интерес к предмету.

4.     Учить
умению сосредотачиваться на учебной деятельности.

Тип
урока: Урок усвоения новых знаний.

Оборудование.
Мультимедийный проектор,«Сказки на уроках математики»,
таблицы с готовыми чертежами, цветной мел, модели углов, транспортиры, линейки,
модель часов.

Ход
урока.

I.                 
Организационный момент.

II.              
Актуализация чувственного опыта и опорных
знаний учащихся.

1.     «Паучок»  
«Угол» (мозговой штурм- все об углах)

2.     Графический
диктант:

Определите,
являются ли правильными утверждения:

– Угол, меньший
развёрнутого – тупой

– Любой острый
угол меньше половины развёрнутого

– Угол, больший
прямого – тупой, но меньше развёрнутого

– Угол, меньший
прямого – острый

– Сумма острого  и
прямого углов – тупой угол

– Половина тупого угла – острый угол

3.     Решение
задач (по готовым чертежам)

4.     а)
Назовите все углы и их виды. Нет ли среди них равных?

б)
Дан развёрнутый угол. Найдите градусную меру ½ этого угла; 1/6

в)
какую долю развёрнутого угла составляет угол 45 градусов? 60 градусов?

                5. Определите вид угла,
который образует часовая и минутная стрелка часов, показывающие 18 часов, 6
часов.

                6. Говорим правильно

Градусная мера угла АОВ равна пятидесяти
градусам;

Угол АОВ   равен пятидесяти градусам;

∠А – ∠В
= 8 °– разность градусных мер углов  равна восьми градусам

∠А + ∠В
= 120 °– сумма углов  равна ста двадцати градусам градусам

Угол А  больше угла С

Градусная мера угла А      больше
градусной меры угла С

III.          
Мотивация учебной деятельности

Проблемная ситуация( перед началом урока в
классе обнаружили мышку,  она была печальна и грустна. В чем же дело? Давайте
поможем ей).  Садитесь поудобнее, смотрите, слушайте и думайте.

д/ф «Мышкина тропинка»(роли озвучивают
ученики)

                                          
                                                          Горят причудливо краски                                    

                                                                                                    
И как ни мудра голова

                                                                                                     Вы
все-таки верьте сказке

                                                                                                    
Сказка всегда права

Учащиеся
самостоятельно формулируют тему урока. Что надо знать, что надо уметь.

Определение
биссектрисы угла. Какие ошибки допустили персонажи сказки?

Словарная работа Биссектриса

Практическая
работа( у каждого ученика цветной набор углов)

Как построить
биссектрису угла?

1 способ –
перегибание

2 способ – с
помощью транспортира

3 способ – с помощью циркуля и линейки –
творческое задание

IV.           
Восприятие и первичное осознание учащимися
нового материала.

V.              
Решить задачи

Задача
1.                                                                     Дано:
∠
MON = 48 °

                                                
                               ОZ
– биссектриса ∠MON

                                                                              
     

                                                                                  
Найти: ∠ MOZ и ∠
NОZ

Задача 2.                                                                       
Дано: ∠ АBC = 30 °

                                                                              
    BC
– биссектриса ∠ABД

                                                                                    
Найти: ∠ АВД и ∠
ДВС

 Задача 3.

Углы АОВ и ВОС – смежные. Найти градусную
меру угла, образованного биссектрисами этих углов.

VI.           
Итоги урока. Учащиеся оценивают свою
деятельность на уроке. Учитель оценивает работу учащихся.

VII.       
Домашнее задание: п. 5 № 152, № 157, №
169*.

Творческое
задание: построить биссектрису угла с помощью циркуля и линейки.

VIII.    Рефлексия

Я
понял, что…,                                              Мне понравилось…

Я
узнал что…,

Я
научился…,

Задача 3

Зззззз

ззз

ннннннн Найти Н

Источник

Элементы треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы

Высоты, медианы и биссектрисы треугольника постоянно встречаются нам в задачах по геометрии. Мы начнем с таблицы, в которой показано, что такое высоты, медианы и биссектрисы, и какими свойствами они обладают. Затем — подробные объяснения и решение задач.

Высотой треугольника называется перпендикуляр,
опущенный из вершины треугольника
на противоположную сторону.

В тупоугольном треугольнике высота
опускается на продолжение стороны.

Три высоты треугольника  всегда
пересекаются в одной точке.

В случае тупого угла пересекаются
продолжения высот.

Медианой треугольника называют отрезок,
соединяющий вершину треугольника с
серединой противоположной стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в
одной точке и делятся в ней в отношении
2 : 1 , считая от вершины.

Биссектриса треугольника делит
угол треугольника пополам.

Три биссектрисы пересекаются в одной точке,
которая является центром окружности,
вписанной в треугольник.

Напомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Вот как это выглядит в случае остроугольного треугольника.

Попробуйте провести три высоты в тупоугольном треугольнике. Получилось? Да, редкий выпускник справляется с этим заданием. Действительно, мы не можем опустить перпендикуляр из точки A на отрезок BC, зато можем опустить его на прямую BC — то есть на продолжение стороны BC.

В этом случае в одной точке пересекаются не сами высоты, а их продолжения.

В прямоугольном треугольнике каждый катет является высотой к другому катету. Три высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине прямого угла.

Как доказать, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке?
Доказательство здесь: Свойство высот треугольника.

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Доказательство этой теоремы смотрите здесь: Свойства медиан треугольника.

Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.

У биссектрисы угла есть замечательное свойство — точки, принадлежащие ей, равноудалены от сторон угла. Поэтому три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон треугольника. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник.

Читайте доказательство теоремы о том, что три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке:
Свойства биссектрис треугольника.

Еще одно свойство биссектрисы часто применяется при решении задач.

Теорема. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон:

displaystyle frac{a}{b}=frac{m}{n}

Доказательство этой теоремы здесь: Свойство биссектрисы треугольника.

Разберем несколько задач, в которых речь идет о высотах, медианах и биссектрисах треугольника. Все задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника.
Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть биссектрисы треугольник ABC (в котором угол C равен 90^{circ}) пересекаются в точке M.

Рассмотрим треугольник ABM.

angle M mkern -4mu AB=0,5 angle B mkern -2mu AC,

angle AB mkern -2mu M=0,5 angle ABC, тогда angle AM mkern -3mu B=180^{circ} - angle M mkern -3mu AB - angle AB mkern -3mu M = 180^{circ} - 0,5 left( angle ABC + angle B mkern -3mu AC right).

Острый угол между биссектрисами на рисунке обозначен varphi.

Угол varphi смежный с углом AMB, следовательно, varphi = 0,5 left( angle ABC + angle B mkern -3mu AC right).

Поскольку треугольник ABC — прямоугольный, то angle ABC + angle B mkern -3mu AC = 90^{circ}.

Тогда varphi = 0,5 left( angle ABC + angle B mkern -3mu AC right) = 90^{circ}:2=45^{circ}.

Ответ: 45.

Задача 2. Острые углы прямоугольного треугольника равны 29^{circ} и 61^{circ}. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть CH — высота, проведенная из вершины прямого угла C, CK — биссектриса угла C.

Тогда angle AC mkern -3mu H = angle ABC = 61^{circ};

angle AC mkern -3mu K = 90^{circ}:2=45^{circ}.

Угол между высотой и биссектрисой — это угол angle K mkern -2mu C mkern -2mu H.

angle K mkern -2mu C mkern -2mu H = angle A mkern -1mu C mkern -2mu H - angle AC mkern -3mu K = 61^{circ}-45^{circ}=16^{circ}.

Ответ: 16.

Задача 3.  Острые углы прямоугольного треугольника равны 24^{circ} и 66^{circ}. Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим треугольник АВС, в котором угол С – прямой, CD – высота, СМ – медиана.

angle CAB=24^{circ }, angle ABC=66^{circ }. Требуется найти угол МСD.

Треугольник CMB – равнобедренный, т.к. медиана СМ равна половине гипотенузы АВ.

Следовательно, angle MCB=angle MBC=66^{circ }.

angle BCD=angle BAC=24^{circ }.

Искомый angle MCD=angle MCB- angle BCD=66^{circ }-24^{circ }=42^{circ }.

Ответ: 42.

Задача 4.  Острые углы прямоугольного треугольника равны 27^{circ} и 63^{circ}. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим треугольник АВС, в котором угол С – прямой, CL – биссектриса, СМ – медиана.

angle CAB=23^{circ }, angle ABC=67^{circ }.. Требуется найти угол МСL.

Треугольник CMB – равнобедренный, т.к. медиана СМ равна половине гипотенузы АВ.

Следовательно, angle MCB=angle MBC=67^{circ }.

angle BCL=angle ACL=90^{circ }:2=45^{circ }, т.к. CL – биссектриса.

Искомый angle MCL=angle MCB- angle BCL=67^{circ }-45^{circ }=22^{circ }.

Ответ: 22.

Задача 5.  Два угла треугольника равны 58^{circ} и 72^{circ}. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Из треугольника ACH (угол H — прямой) найдем угол CAH. Он равен 18^{circ}.

Из треугольника ACK ( K — прямой) найдем угол ACK. Он равен 32^{circ}.

В треугольнике AOC известны два угла. Найдем третий, то есть угол AOC, который и является тупым углом между высотами треугольника ABC:

angle AOC = 180^{circ} - 18^{circ} - 32^{circ} = 130^{circ}.

Ответ: 130.

Задача 6.  В треугольнике ABC угол С равен 58^{circ}, AD и BE — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть в треугольнике ABC угол BAC равен A, угол ABC равен B.

Рассмотрим треугольник AOB.

angle O mkern -2mu AB = angle A,

angle ABO = angle B, тогда angle AO mkern -2mu B = 180^{circ} - left( angle A + angle B right).

Из треугольника ABC получим, что angle A + angle B = 180^{circ} - 58^{circ} = 122^{circ}.

Тогда angle AO mkern -2mu B = 180^{circ} - left( angle A + angle B right) = 180^{circ}-61^{circ}= 119^{circ}.

Ответ: 119.

Задача 7.  В треугольнике ABC угол A равен 60^{circ}, угол B равен 82^{circ}. AD, BD и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Найдем угол ACB. Он равен 38^{circ}.

Тогда angle AC mkern -3mu F = angle AC mkern -3mu B = 19^{circ}.

Из треугольника ACF найдем угол angle AF mkern -2mu C = angle AC mkern -3mu B = 19^{circ}. Он равен 101^{circ}.

Рассмотрим треугольник AOF.

angle AF mkern -2mu O = 101^{circ}, angle F mkern -3mu AO = angle B mkern -3mu AC = 30^{circ}. Значит angle AO mkern -3mu F = 49^{circ}.

Ответ: 49.

Задача 8.  В треугольнике ABC, CD — медиана, угол ACB равен 90^{circ}, угол B равен 58^{circ}. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы.

Поэтому AD=CD=BD.

Треугольник ADC равнобедренный, следовательно, углы при основании равны: angle ACD = angle CAD.

Поскольку в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусов, получим:

angle CAD=90^{circ }-angle ABC=90^{circ }-58^{circ }=32^{circ }.

angle ACD=angle CAD=32^{circ }.

Ответ: 32.

Задача 9.  В треугольнике АВС АD — биссектриса, угол С равен 50^{circ}. Угол САD равен 28^{circ}. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Поскольку AD – биссектриса, то angle A=2cdot angle CAD=2cdot 28^{circ }=56^{circ }.

Сумма углов треугольника равна 180^{circ}, следовательно,

angle B=180^{circ }- angle A-angle C=180^{circ }-50^{circ }-56^{circ }=74^{circ }.

Ответ: 74.

Задача 10. В треугольнике АВС CH – высота, AD – биссектриса, О – точка пересечения прямых CH и AD, угол BAD равен 26^{circ}. Найдите угол АОС. Ответ дайте в градусах.

Решение: 

Угол АОС – внешний в треугольнике АНО, следовательно,

angle AOC=angle OAH+angle AHO=26^{circ }+90^{circ }=116^{circ }.

Ответ: 116.

Задача 11. В треугольнике АВС проведена биссектриса AD и AB = AD = CD. Найдите меньший угол треугольника АВС. Ответ дайте в градусах.

Решение:

AD = CD, следовательно, треугольник ADC – равнобедренный и angle DAC=angle ACD=alpha .

AD – биссектриса, следовательно, angle BAD=angle DAC=alpha .

AB = AD, следовательно, треугольник ABD – равнобедренный и angle ABD=angle ADB=beta .

angle ADB – внешний в треугольнике ADC, следовательно, angle ADB=angle DAC+angle ACD=2alpha .

Таким образом, наименьшим углом треугольника АВС является angle C=alpha , два других угла – в два раза больше.

Воспользуемся тем, что сумма углов треугольника АВС равна 180^{circ}:

angle A+angle B+angle C=2alpha +2alpha +alpha =5alpha =180^{circ }, откуда получаем: alpha =180^{circ }:5=36^{circ }.

Наименьший угол треугольника АВС равен 36^{circ}.

Ответ: 36.

Задача 12. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки 2,8 и 4,2. Периметр треугольника равен 22. Найдите стороны треугольника.

Решение:

Пусть стороны треугольника равны a, b и c. Биссектриса делит сторону c на отрезки 2,8 и 4,2.
Значит, c = 2,8 + 4,2 = 7.

В соответствии со свойством биссектрисы:

displaystyle frac{a}{b}=frac{2,8}{4,2}=frac{28}{42}=frac{2}{3}.

Или: displaystyle a=frac{2}{3}b.

Одновременно выполнено условие для периметра: a+b+c = 22, a+b= 15.

Тогда displaystyle frac{5}{3}b=15, b=9, a=6.

Ответ: 9, 6, 7.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Элементы треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Добавить комментарий