Как найти боковое ребро прямого параллелепипеда

Четырехугольная призма, в основании которой находится параллелограмм, является параллелепипедом. В параллелепипеде 6 граней: 4 — боковые и 2 — его основание. Грани, как правило, представляют собой параллелограмм. Противолежащие грани параллельны и равны. Параллелепипеды бывают прямыми и наклонными. У прямого параллелепипеда боковые грани являются прямоугольниками. Прямой параллелепипед, в основании которого лежит прямоугольник, называется прямоугольным. У него все шесть граней — прямоугольники, противоположные стороны которых параллельны и равны, а все углы — прямые. Прямоугольный параллелепипед строится на трех ребрах, расположенных друг к другу под прямым углом. Длины этих ребер, обладающих общим концом, называются его измерениями.

Боковое ребро прямоугольного параллелепипеда можно рассчитать несколькими способами, в зависимости от исходных данных.
Если известны объем (V) и два ребра (b, c) правильного параллелепипеда, третье ребро (а) будет равно частному от деления объема на произведение двух ребер (b×c):

a = V / bc

Если известна площадь боковой поверхности и два ребра (b, c), находим неизвестное ребро (а) путем деления площади боковой поверхности (S) на удвоенную сумму двух известных ребер 2 (b+c).

a = S_б.п. / 2 (a+c)

Если известны два ребра (b, c) и полная площадь поверхности (S п.п.), неизвестное ребро (а) находим по формуле:

a = (S_п.п. — 2bc) / 2 (b+c)

Проведенный внутри параллелепипеда отрезок, соединяющий противоположные вершины двух его оснований, является диагональю параллелепипеда (D). Отрезок, соединяющий противоположные вершины одного из оснований, является диагональю основания (d). Внутри прямоугольного параллелепипеда можно построить прямоугольный треугольник, у которого гипотенузой будет диагональ параллелепипеда D, одним из катетов — диагональ основания d, другим — боковое ребро параллелепипеда (а). Используя теорему Пифагора, выразим квадрат диагонали основания d (гипотенузу) как сумму квадратов его сторон (катетов) b, с. Отсюда, квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда (D) равен сумме квадратов трёх его измерений (а,b,с). Зная ребра и диагональ параллелепипеда, находим боковое ребро по формуле:

a = √D² + d² = √D² + b² + c²

где b, c — ребра параллелепипеда, a — боковое ребро параллелепипеда, D — диагональ параллелепипеда, d — диагональ основания.

Калькулятор расчета длины бокового ребра правильного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед является прямой призмой, в основании которой лежит квадрат или прямоугольник, таким образом, совокупность ребер прямоугольного параллелепипеда может представлять собой два или три разных параметра. Если же они все равны между собой, то можно с уверенностью сказать, что такой параллелепипед является кубом, и его ребро можно найти по формулам, приведенным в разделе «Ребро куба».
Ребро прямоугольного параллелепипеда можно найти, зная объем тела и другие ребра:

Также можно рассчитать ребро прямоугольного параллелепипеда через площадь боковой или полной поверхности, тоже зная остальные два ребра:

   

Как и в случае с кубом, внутри прямоугольного параллелепипеда можно провести диагональ, которая соединит противоположные вершины оснований. В прямоугольном треугольнике диагональ параллелепипеда D будет гипотенузой, а диагональ основания d и ребро a – катетами. Тогда боковое ребро параллелепипеда можно будет найти через теорему Пифагора.

Если дана диагональ параллелепипеда, но нужно найти ребро, не входящее во внутренний прямоугольный треугольник, а являющееся стороной основания, то формула придет к точно такому же виду.

Найти боковое ребро правильного параллелепипеда
зная длину ребра и диагональ

Длина ребра параллелепипеда a
Длина ребра параллелепипеда c
Диагональ параллелепипеда d
Длина ребра параллелепипеда b

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 26 мая 2022 года; проверки требуют 4 правки.

Параллелепи́пед (др.-греч. παραλληλ-επίπεδον^[1] от др.-греч. παρ-άλληλος — «параллельный» и др.-греч. ἐπί-πεδον — «плоскость») — четырёхугольная призма, все грани которой являются параллелограммами.

Типы параллелепипеда[править | править код]

Различается несколько типов параллелепипедов:

• Наклонный — боковые грани не перпендикулярны основанию.
• Прямой — боковые грани перпендикулярны основанию.
• Прямоугольный — все грани являются прямоугольниками.
• Ромбоэдр — все грани являются равными ромбами.
• Куб — все грани являются квадратами.

Основные элементы[править | править код]

Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро — смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями.

Свойства[править | править код]

• Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
• Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
• Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
• Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Основные формулы[править | править код]

Прямой параллелепипед[править | править код]

Площадь боковой поверхности
S_б=Р_о*h, где Р_о — периметр основания, h — высота

Площадь полной поверхности
S_п=S_б+2S_о, где S_о — площадь основания

Объём
V=S_о*h

Прямоугольный параллелепипед[править | править код]

Площадь боковой поверхности
S_б=2c(a+b), где a, b — стороны основания, c — боковое ребро прямоугольного параллелепипеда

Площадь полной поверхности
S_п=2(ab+bc+ac)

Объём
V=abc, где a, b, c — измерения прямоугольного параллелепипеда.

Куб[править | править код]

Площадь поверхности:

Объём: , где  — ребро куба.

Произвольный параллелепипед[править | править код]

Объём и соотношения в наклонном параллелепипеде часто определяются с помощью векторной алгебры. Объём параллелепипеда равен абсолютной величине смешанного произведения трёх векторов, определяемых тремя сторонами параллелепипеда, исходящими из одной вершины. Соотношение между длинами сторон параллелепипеда и углами между ними даёт утверждение, что определитель Грама указанных трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения^[2]:215.

В математическом анализе[править | править код]

В математическом анализе под n-мерным прямоугольным параллелепипедом понимают множество точек вида

Сечение параллелепипеда плоскостью[править | править код]

В зависимости от расположения секущей плоскости и параллелепипеда сечение параллелепипеда может быть треугольником, четырехугольником, пятиугольником и шестиугольником.

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

• Прямоугольный параллелепипед Архивная копия от 21 февраля 2020 на Wayback Machine