Как найти боковое ребро усеченной четырехугольной пирамиды

Зная стороны оснований усеченной пирамиды, можно вычислить внутренний угол оснований, представленных правильными многоугольниками, периметры и площади оснований усеченной пирамиды, а также радиусы вписанной и описанной около оснований окружностей, воспользовавшись формулами для правильных многоугольников.
γ=180°(n-2)/n
P=n(a+b+d)
S_a=(na^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )
S_b=(nb^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )
r_a=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 )
r_b=b/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 )
R_a=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )
R_b=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )

Боковое ребро усеченной пирамиды дает возможность рассчитать через трапеции во внутреннем и боковом пространстве пирамиды апофему и высоту, а также углы между ними и основаниями.
Чтобы найти апофему усеченной пирамиды, рассмотрим боковую грань, представляющую собой равнобедренную трапецию, разделенную апофемой на две конгруэнтные прямоугольные трапециями, основаниями которых являются половины сторон оснований самой пирамиды. Исходя из этого апофема равна по теореме Пифагора квадратному корню из разности квадрата бокового ребра и квадрата разности половин сторон оснований пирамиды. (рис. 50.2)
f=√(d^2-(b/2-a/2)^2 )=√(d^2-(b-a)^2/4)

Чтобы найти высоту усеченной пирамиды, рассмотрим трапецию во внутреннем пространстве тела, между высотой и боковым ребром. Основаниями такой трапеции служат половины радиусов описанных окружностей вокруг оснований усеченной пирамиды. Следовательно, формула высоты по аналогии с апофемой выглядит следующим образом. (рис. 50.3)
h=√(d^2-(R_b-R_a )^2 )

Чтобы рассчитать углы при основаниях усеченной пирамиды и боковом ребре, можно воспользоваться в этой же трапеции/прямоугольном треугольнике тригонометрическими отношениями и принципом суммы углов трапеции.
cos⁡δ=(R_b-R_a)/d
ε=180°-δ

Углы при основаниях и апофеме усеченной пирамиды можно вычислить в трапеции, которую апофема образует с высотой пирамиды подобным образом, через радиусы вписанных в основания окружностей. (рис. 50.4)
cos⁡β=(r_b-r_a)/f
α=180°-β

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды состоит из n-ного количества равнобоких трапеций, площадь каждой из которых равна произведению полусуммы оснований трапеции на ее высоту, то есть, перекладывая на измерения пирамиды – полусуммы сторон оснований пирамиды на ее апофему. Чтобы найти площадь полной поверхности, нужно прибавить к полученному значению обе площади оснований усеченной пирамиды.
S_(б.п.)=nf (a+b)/2
S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.1,2)=n(f (a+b)/2+a^2/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )+b^2/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ))

Объем усеченной пирамиды, зная стороны оснований и боковое ребро, можно найти через высоту и площади оснований, найденные по указанным выше формулам.
V=1/3 h(S_осн1+S_осн2+√(S_осн1 S_осн2 ))

Когда человек слышит слово “пирамида”, то сразу вспоминает величественные египетские сооружения. Тем не менее древние каменные гиганты являются лишь одним из представителей класса пирамид. В данной статье рассмотрим с геометрической точки зрения свойства правильной четырехугольной пирамиды .

Что такое пирамида в общем случае?

В геометрии под ней понимают объемную фигуру, получить которую можно, если соединить все вершины плоского многоугольника с одной единственной точкой, лежащей в другой плоскости, чем этот многоугольник. Рисунок ниже показывает 4 фигуры, которые удовлетворяют данному определению.

Вам будет интересно:Литовские статуты: даты и история изданий, регламент, хронология принятия статутов

Мы видим что первая фигура имеет треугольное основание, вторая – четырехугольное. Две последние представлены пяти- и шестиугольным основанием. Однако боковая поверхность всех пирамид образована треугольниками. Их число точно равно количеству сторон или вершин многоугольника в основании.

Особым типом пирамид, которые от остальных представительниц класса отличаются идеальной симметрией, являются правильные пирамиды. Чтобы фигура была правильной, должны выполняться следующие два обязательных условия:

• в основании должен находиться правильный многоугольник;
• боковая поверхность фигуры должна состоять из равных равнобедренных треугольников.

Отметим, что второе обязательное условие можно заменить иным: перпендикуляр, проведенный к основанию из вершины пирамиды (точка пересечения боковых треугольников), должен пересекать это основание в его геометрическом центре.

Правильная четырехугольная пирамида

Теперь перейдем к теме статьи и рассмотрим, какие свойства правильной четырехугольной пирамиды характеризуют ее. Сначала покажем на рисунке, как выглядит эта фигура.

Ее основание является квадратом. Боковые стороны представляют 4 одинаковых равнобедренных треугольника (они также могут быть равносторонними при определенном соотношении длины стороны квадрата и высоты фигуры). Опущенная из вершины пирамиды высота пересечет квадрат в его центре (точка пересечения диагоналей).

Эта пирамида имеет 5 граней (квадрат и четыре треугольника), 5 вершин (четыре из них принадлежат основанию) и 8 ребер. Ось симметрии четвертого порядка, проходящая через высоту пирамиды, переводит ее в саму себя путем поворота на 90o.

Египетские пирамиды в Гизе являются правильными четырехугольными.

Далее приведем формулы, позволяющие определить все характеристики этой фигуры.

Четыре основных линейных параметра

Начнем рассмотрение математических свойств правильной четырехугольной пирамиды с формул высоты, длины стороны основания, бокового ребра и апофемы. Сразу скажем, что все эти величины связаны друг с другом, поэтому достаточно знать только две из них, чтобы однозначно вычислить оставшиеся две.

Предположим, что известна высота h пирамиды и длина a стороны квадратного основания, тогда боковое ребро b будет равно:

b = √(a2 / 2 + h2)

Теперь приведем формулу для длины ab апофемы (высота треугольника, опущенная на сторону основания):

ab = √(a2 / 4 + h2)

Очевидно, что боковое ребро b всегда больше апофемы ab.

Оба выражения можно применять для определения всех четырех линейных характеристик, если известны другие два параметра, например ab и h.

Площадь и объем фигуры

Это еще два важных свойства правильной четырехугольной пирамиды . Основание фигуры имеет следующую площадь:

So = a2

Эту формулу знает каждый школьник. Площадь боковой поверхности, которая образована четырьмя одинаковыми треугольниками, можно определить через апофему ab пирамиды так:

Sb = 2 × a × ab

Если ab является неизвестной, то можно ее определить по формулам из предыдущего пункта через высоту h или ребро b.

Общая площадь поверхности рассматриваемой фигуры складывается из площадей So и Sb:

S = So + Sb = a2 + 2 × a × ab = a (a + 2 × ab)

Рассчитанная площадь всех граней пирамиды показана на рисунке ниже в виде ее развертки.

Описание свойств правильной четырехугольной пирамиды не будет полным, если не рассмотреть формулу для определения ее объема. Эта величина для рассматриваемой пирамиды вычисляется следующим образом:

V = 1/3 × h × a2

То есть V равен третьей части произведения высоты фигуры на площадь ее основания.

Свойства правильной усеченной четырехугольной пирамиды

Получить эту фигуру можно из исходной пирамиды. Для этого необходимо срезать верхнюю часть пирамиды плоскостью. Оставшаяся под плоскостью среза фигура будет называться пирамидой усеченной.

Удобнее всего изучать характеристики усеченной пирамиды, если ее основания параллельны друг другу. В этом случае нижнее и верхнее основания будут подобными многоугольниками. Поскольку в четырехугольной правильной пирамиде основание – это квадрат, то образованное при срезе сечение тоже будет представлять квадрат, но уже меньшего размера.

Боковая поверхность усеченной фигуры образована не треугольниками, а равнобедренными трапециями.

Одним из важных свойств этой пирамиды является ее объем, который рассчитывается по формуле:

V = 1/3 × h × (So1 + So2 + √(So1 × So2))

Здесь h – расстояние между основаниями фигуры, So1, So2 – площади нижнего и верхнего оснований.

Материал урока.

На прошлых уроках
мы работали с пирамидами. Давайте вспомним, какой многогранник называется
пирамидой, что такое правильная пирамида, вспомним свойства правильной пирамиды.

Многогранник, составленный из -угольника  и  треугольников, называется пирамидой.

Пирамида называется правильной,
если ее основание – правильный многоугольник.

Площадь боковой поверхности правильной
пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Все боковые ребра правильной пирамиды
равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Пусть нам дана
пирамида PA₁A₂…A_n. Проведем секущую плоскость β,
параллельную плоскости основания пирамиды и пусть эта плоскость пересекает
боковые ребра в точках B_1,B₂,…,
B_n.

Плоскость β
разбивает пирамиду на две фигуры: пирамиду PB₁B₂…B_n  и многогранник. Многогранник, гранями которого являются n-угольники A₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n, расположенные в параллельных плоскостях и n четырехугольников A₁A₂B₂B₁, A₂A₃B₃B₂,…, A_nA₁B₁B_n называется
усеченной пирамидой.

Вокруг нас много
примеров усеченных пирамид. Вытяжка над кухонной плитой имеет форму усеченной
пирамиды.клавиши клавиатуры и другие предметы.

N-угольники
A₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n называются соответственно верхним и нижним основанием.
Четырехугольники A₁A₂B₂B₁, A₂A₃B₃B₂,…, A_nA₁B₁B_n называются боковыми
гранями.

Отрезки A₁B₁,…, A_nB_n называются боковыми рёбрами
усеченной пирамиды.

Усеченную пирамиду
обозначают так A₁A₂…A_nB₁B₂…B_n. Возьмем на верхнем основании произвольную
точку C и из этой точки опустим перпендикуляр на нижнее
основание. Этот перпендикуляр называется высотой усеченной пирамиды.

Теперь давайте
докажем, что боковые грани усеченной пирамиды – это трапеции.

Для доказательства
рассмотрим грань A₁A₂B₂B₁. Понятно,
что для других боковых граней доказательство будет проводится аналогично.

Поскольку секущая
плоскость проводилась параллельно плоскости основания, то можно записать, что A₁A₂
параллельно B₁B₂.
Очевидно, что две другие стороны четырехугольника A₁A₂B₂B₁ не параллельны (они пересекаются в точке P). Получаем, что этот четырехугольник – трапеция. Очевидно,
что все остальные боковые грани тоже будут трапециями.

Как и в случае с
пирамидой, усеченная пирамида тоже может быть правильной.

Усеченная пирамида
называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды
плоскостью, параллельной основанию.

Основаниями
усеченной пирамиды являются правильные многоугольники, а боковые грани –
равнобедренные трапеции.

Высоты этих трапеций
называются апофемами.

Объединение боковых граней называется боковой
поверхностью усеченной пирамиды, а объединение всех граней называется полной
поверхностью усеченной пирамиды. Тогда площадью боковой поверхности
пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

А площадью полной поверхности пирамиды называется
сумма площадей всех ее граней.

Теперь давайте
сформулируем и докажем теорему о площади боковой поверхности правильной
усеченной пирамиды.

Площадь боковой
поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы
периметров основания на апофему.

Доказательство.

Запишем формулу для
нахождения площади боковой поверхности усеченной пирамиды.

Поскольку усеченная
пирамида правильная, значит, ее гранями будут равнобедренные трапеции.

 Площадь равнобедренной
трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Высота боковой грани
есть ничто иное как апофема усеченной пирамиды.

Подставим все в
исходную формулу, вынесем половину апофемы за скобки, а в скобках сгруппируем
стороны по основаниям. Тогда получим, что площадь боковой поверхности будет
равна произведению полусуммы периметров оснований усеченной пирамиды на
апофему.

Что и
требовалось доказать.

Решим несколько
задач.

Задача. Стороны
оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды  равны  и . Высота пирамиды
равна . Найти площадь
боковой поверхности.

Решение.

Ответ. 120
см²

Решим еще одну
задачу.

Задача. Пирамида
пересечена плоскостью, параллельной основанию. Доказать что боковые ребра и
высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части.

Решение.

Что и
требовалось доказать.

Решим еще одну
задачу.

Задача. Правильная
треугольная пирамида  с высотой  и стороной основания
равной  рассечена плоскостью
, проходящей через
середину  высоты  параллельно
основанию . Найти площадь
боковой поверхности полученной усеченной пирамиды.

Решение.

Ответ.
135 см².

Подведем итоги
урока. Сегодня на уроке мы познакомились с такими понятиями как усеченная
пирамида, правильная усеченная пирамида. Рассмотрели свойства правильной
усеченной пирамиды. Решили несколько задач.