1. Формулы длины диагонали равнобедренной трапеции через ее стороны
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c – равные боковые стороны
d – диагональ трапеции
Формула диагонали трапеции (d ):
2. Формулы длины диагонали равнобедренной трапеции по теореме косинусов
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c – равные боковые стороны
α, β – углы трапеции
d – диагональ трапеции
Формулы диагонали трапеции (d ):
3. Формула длины диагонали равнобедренной трапеции
a – нижнее основание
b – верхнее основание
α, β – углы между диагоналями
h – высота трапеции
m – средняя линия трапеции
S – площадь трапеции
d – диагональ трапеции
Формулы диагонали трапеции (d ):
Справедливо для данного случая :
4. Формулы длины диагонали трапеции через высоту и стороны
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c – равные боковые стороны
h – высота трапеции
α – угол при нижнем основании
d – диагональ трапеции
Формулы диагонали трапеции (d ):
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
Найти длину диагонали трапеции
зная все четыре стороны
или две стороны и угол
или высоту, сторону и угол
или площадь, другую диагональ и угол
и еще много других формул.
1. Формулы длины диагоналей трапеции по теореме косинусов или через четыре стороны
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c , d – боковые стороны
α, β – углы трапеции
d1 , d2 – диагонали трапеции
Формулы диагоналей трапеции по теореме косинусов:
Формулы диагоналей трапеции через четыре стороны:
2. Формула длины диагоналей трапеции через высоту
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c , d – боковые стороны
α, β – углы трапеции
h – высота трапеции
d1 , d2 – диагонали трапеции
Формулы диагоналей трапеции через высоту:
3. Формула длины диагонали трапеции через другую диагональ
a – нижнее основание
b – верхнее основание
α, β – углы между диагоналями
h – высота трапеции
m – средняя линия трапеции
S – площадь трапеции
d1 , d2 – диагонали трапеции
Формулы диагоналей трапеции :
Справедливо для данного случая :
4. Формулы длины диагонали трапеции через сумму квадратов диагоналей
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c , d – боковые стороны
d1 , d2 – диагонали трапеции
Формула суммы квадратов диагоналей :
Формулы диагоналей трапеции :
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
1. Формула средней линии трапеции через основания (для всех видов трапеции)
a – нижнее основание
b – верхнее основание
m – средняя линия
Формула средней линии, (m ):
2. Формулы средней линии через основания, высоту и угол при нижнем основании
a, b – основания трапеции
c – боковая сторона под прямым углом к основаниям
d – боковая сторона
α – угол при основании
h – высота трапеции
m – средняя линия
Формулы средней линии трапеции, (m ):
3. Формула средней линии трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями
d1 , d2 – диагонали трапеции
α , β – углы между диагоналями
h – высота трапеции
m – средняя линия
Формулы средней линии трапеции, (m ):
4. Формула средней линии трапеции через площадь и высоту (для всех видов трапеции)
S – площадь трапеции
h – высота трапеции
m – средняя линия
Формула средней линии трапеции, (m ):
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
1. Формула боковой стороны (с) прямоугольной трапеции через другие стороны и угол при нижнем основании
a – нижнее основание
b – верхнее основание
d – боковая сторона
α – угол при нижнем основании
h – высота трапеции
c – боковая сторона под прямым углом к основаниям
Формулы длины боковой стороны (с) :
2. Формулы боковой стороны (с) прямоугольной трапеции через диагонали и угол между ними
a – нижнее основание
b – верхнее основание
d1 , d2 – диагонали трапеции
α , β – углы между диагоналями
c – боковая сторона под прямым углом к основаниям
Формулы длины боковой стороны (с):
3. Формулы боковой стороны (с) прямоугольной трапеции через площадь
a – нижнее основание
b – верхнее основание
m – средняя линия трапеции
c – боковая сторона под прямым углом к основаниям
Формула длины боковой стороны (с) :
4. Формулы боковой стороны (d) прямоугольной трапеции через другие стороны и угол при нижнем основании
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c – боковая сторона под прямым углом к основаниям
α – угол при нижнем основании
h – высота трапеции
d – боковая сторона
Формулы длины боковой стороны (d) :
5. Формула боковой стороны (d) прямоугольной трапеции через площадь
a – нижнее основание
b – верхнее основание
m – средняя линия трапеции
α – угол при нижнем основании
d – боковая сторона
Формула длины боковой стороны (d) :
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
1. Формула длины оснований прямоугольной трапеции через среднюю линию
a – нижнее основание
b – верхнее основание
m – средняя линия
Формулы длины оснований :
2. Формулы длины оснований через боковые стороны и угол при нижнем основании
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c , d – боковые стороны
α – угол при нижнем основании
Формулы длины оснований :
3. Формулы длины оснований трапеции через диагонали и угол между ними
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c – боковая сторона под прямым углом к основаниям
d1 , d2 – диагонали трапеции
α , β – углы между диагоналями
Формулы длины оснований :
4. Формулы длины оснований трапеции через площадь
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c – боковая сторона под прямым углом к основаниям
h – высота трапеции
Формулы длины оснований :
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
1. Формула средней линии равнобедренной трапеции через основания
a – нижнее основание
b – верхнее основание
m – средняя линия
Формула средней линии, (m ):
2. Формулы средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c – боковая сторона
α – угол при нижнем осровании
h – высота трапеции
m – средняя линия
Формулы средней линии трапеции, (m ):
3. Формула средней линии трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями
d – диагонали трапеции
α , β – углы между диагоналями
h – высота трапеции
m – средняя линия
Формула средней линии трапеции, (m ):
4. Формула средней линии трапеции через площадь и высоту
S – площадь трапеции
h – высота трапеции
α – угол при нижнем осровании
m – средняя линия
Формула средней линии трапеции, (m ):
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
1. Формула высоты равнобедренной трапеции через стороны и углы при основании
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c – равные боковые стороны
α – угол при нижнем основании
h – высота трапеции
Формулы длины высоты, (h ):
2. Формула высоты равнобедренной трапеции через диагонали и углы между ними
d – диагонали трапеции
α , β – углы между диагоналями
a , b – основания
h – высота трапеции
m – средняя линия
Формулы длины высоты, (h ):
3. Формула высоты равнобедренной трапеции через площадь
S – площадь трапеции
a , b – основания
h – высота трапеции
m – средняя линия
Формулы длины высоты, (h ):
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
1. Формула длины основания равнобедренной трапеции через среднюю линию
a – нижнее основание
b – верхнее основание
m – средняя линия
Формулы длины основания:
2. Формулы длины сторон через высоту и угол при нижнем основании
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c – равные боковые стороны
α – угол при основании трапеции
h – высота трапеции
Формулы всех четырех сторон трапеции:
3. Формула длины сторон трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c – равные боковые стороны
d – диагонали
α , β – углы между диагоналями
h – высота трапеции
Формулы длины сторон трапеции:
справедливо для данной ситуации:
4. Формулы длины сторон равнобедренной трапеции через площадь
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c – равные боковые стороны
α , β – углы при основаниях
m – средняя линия
h – средняя линия
Формулы длины сторон равнобедренной трапеции через площадь:
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
Трапеция это фигура, которая имеет четыре стороны, две из которых параллельны, а две другие, нет. Параллельные стороны называются – верхнее основание и нижнее основание. Две другие, называются боковыми сторонами.
Высота трапеции это отрезок, длина которого, равна кратчайшему расстоянию между основаниями и следовательно расположенному перпендикулярно к этим основаниям.
1. Формула высоты трапеции через стороны и углы при основании
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c , d – боковые стороны
α, β – углы трапеции
h – высота трапеции
Формулы длины высоты, (h ):
2. Формула высоты трапеции через диагонали и углы между ними
d1 , d2 – диагонали трапеции
α , β – углы между диагоналями
a , b – основания
h – высота трапеции
m – средняя линия
Формулы длины высоты, (h ):
3. Формула высоты трапеции через площадь
S – площадь трапеции
a , b – основания
h – высота трапеции
m – средняя линия
Формулы длины высоты, (h ):
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
Трапеция это фигура, которая имеет четыре стороны, две из которых параллельны, а две другие, нет. Параллельные стороны называются – верхнее основание и нижнее основание. Две другие, называются боковыми сторонами.
Средняя линия трапеции – отрезок соединяющий середины боковых сторон и расположен параллельно к основаниям. Длина средней линии, равна полу сумме оснований.
1. Формула средней линии трапеции через основания
b – верхнее основание
a – нижнее основание
m– средняя линия
Формула средней линии, (m ):
2. Формулы средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании
b – верхнее основание
a – нижнее основание
α, β – углы трапеции
h – высота трапеции
m – средняя линия
Формулы средней линии трапеции, (m):
3. Формула средней линии трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями
α, β – углы между диагоналями
d1 , d2 – диагонали трапеции
h – высота трапеции
m – средняя линия
Формулы средней линии трапеции, (m ):
4. Формула средней линии трапеции через площадь и высоту
S – площадь трапеции
h – высота трапеции
m – средняя линия
Формула средней линии трапеции, (m):
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
1. Формула длины основания трапеции через среднюю линию
a – нижнее основание
b – верхнее основание
m – средняя линия
Формулы длины оснований :
2. Формулы длины сторон через высоту и углы при нижнем основании
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c , d – боковые стороны
α, β – углы трапеции
h – высота трапеции
Формулы всех четырех сторон трапеции:
3. Формула длины сторон трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями
a – нижнее основание
b – верхнее основание
d1 , d2 – диагонали трапеции
α , β – углы между диагоналями
h – высота трапеции
Формулы длины сторон трапеции:
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
Трапеция — это выпуклый четырехугольник с двумя параллельными основами и двумя непараллельными
боковыми сторонами.
Иногда фигура определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна,
поэтому параллелограмм и прямоугольник являются частными случаями трапеции. Также это
четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, а остальные стороны не
равны между собой.
Параллельные стороны называются основами, а остальные боковыми.
Вычисление стороны необходимо для нахождения периметра, площади трапеции, ее диагоналей и других
значимых параметров.
- Длина основания через среднию линию и другое известное
основание - Нижнее основание через верхнее основание, высоту и углы при
нижнем основании - Верхнее основание через нижнее основание, высоту и углы при
нижнем основании - Нижнее основание через боковые стороны, верхнее основание и
углы при нижнем основании - Верхнее основание через боковые стороны, нижнее основание и
углы при нижнем основании - Боковую сторону через высоту и угол при нижнем
основании
Длина основания через среднюю линию и известное основание
Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон фигуры. Через её значение
вычисляется одна из основ. Нужно умножить ее на два и вычесть известную:
a = 2m – b
Цифр после
запятой:
Результат в:
Например, средняя линия MN равна 6, а основание а – 9. Соответственно, значения, подставленные в
формулу, показывают, что b = 2*6 – 9 = 3.
Нижнее основание через верхнее основание, высоту и углы при нижнем основании
Высота h или BK – перпендикуляр, проведенный от одной основы к другой. Высота проводится в любой их
точке, но удобнее всего это делать из вершины углов при меньшей основе. Чтобы найти нижнее
основание, надо к верхнему прибавить произведение высоты на сумму котангенсов углов при нижнем:
a = b + h*(ctga + ctgb)
Цифр после
запятой:
Результат в:
Дано верхнее основание 10, высота 6 и углы 30 и 45. По формуле а = 10 + 6*(3+1) = 10 + 63 + 6 = 16+63.
Для равнобедренного четырёхугольника выведены две формулы. В первой (a = 2S/h – b) основа выражена с
помощью формулы площади. Пример: Площадь равнобедренной трапеции ABCD = 18, высота = 6, а AD = 5.
Найти BC. BC = 2*18/6 – 5 = 6 – 5 = 1
Второе выражение сформулировано следующим образом: (a = b + 2h*ctga). Высота АН в трапеции ADEF =
10, DE = 4, а DAF = 45 градусам. Найти AF: AF = 4 + 10*2*1 = 24
Верхнее основание через нижнее основание, высоту и углы при нижнем основании
Чтобы найти верхнюю основу, надо из нижней вычесть произведение высоты на сумму котангенсов углов при
ней:
b = a – h*(ctg α + ctg β)
Цифр после
запятой:
Результат в:
Дана трапеция с нижним основанием 15, высотой 8 и углами в 45 градусов. По формуле а = 15 + 8*(1+1) =
15 + 16 = 31
Формулы для равнобедренного четырёхугольника: b = 2S/h – a и b = a – 2h*ctga.
- Площадь трапеции KLMN = 44, KL=MN, высота равна 8, KN = 5. Найти LM: LM = 44*2/8 – 5 = 6
- Высота трапеции DEFG = 15, DG= 5, а EDG = 45 градусам. Найти EF: EF = 5 + 15*2*1 = 35
Нижнее основание через боковые стороны, верхнее основание и углы при нижнем основании
Для нахождения основы а нужно к основе b прибавить произведение одной и другой стороны и косинусов
углов при них
a = b + c * cos α + d * cos β
Цифр после
запятой:
Результат в:
Дана равнобокая трапеция с верхним основанием 6, боковыми сторонами 5 и 11 и углами в 45 градусов.
Найти нижнее основание: а = 6 + 5*2/2 + 11*2/2 = 6 + 162/2 = 6 + 82
Отдельно для подобного типа фигур было выведено два выражения: a = (d1^2 – c^2)/b и a = b +
2c*cosa.
- трапеции ABCD AB = CD = 8, диагональ AC = 12, а BC = 4. Вычислить AD: AD = (12*12 – 8*8)/4
= (144 – 64)/4 = 20 - В трапеции KLMN KL = MN = 4, LM = 7, а LKN равен 30 градусам. Вычислить KN: KN = 7 +
4*2*3/2 = 7 + 43
Верхнее основание через боковые стороны, нижнее основание и углы при нем
Для нахождения основы b нужно из основы а вычесть произведение одной и другой боковой стороны и углов
при них
b = a – c * cos α – d * cos β
Цифр после
запятой:
Результат в:
Дана трапеция с нижним основанием 27, боковыми сторонами 20 и 14 и углами в 30 и 60 градусов. Найти
верхнее основание: b = 27 — 20*3/2 — 14*1/2 = 27 — 103 — 7 = 20 —
103. Формулы для равнобедренного типа: b = (d1^2 — c^2)/a и b = a — 2c*cosa.
- В трапеции DEFG DE и FG = 11, диагональ АС = 13, а EF = 12. Вычислить DG: DG = (13*13 –
11*11)/12= (169 – 121)/12 = 4 - Боковые стороны трапеции BCDE BC и DE = 25, BE = 10, а CBE равен 60 градусам. Вычислить CD:
CD = 25 – 10*2*1/2 = 15
Боковая сторона через высоту и угол при нижнем основании
Чтобы найти боковую сторону, надо разделить высоту на синус угла при ней
d = h / sin α
Цифр после
запятой:
Результат в:
Дана трапеция с высотой 12 и углами в 30 и 60 градусов. Найти боковые стороны: c = 12/0,5 =
24, d = 12/3/2 = 243
Для прямоугольного типа формулы несколько отличаются. Самая простая из них связывает высоту и меньшую
боковую сторону: c = h.
Для нее существует еще несколько формул: с = d*sina; c = (a – b)*tga; c
= (d^2 – (a – b)^2)
- В прямоугольной трапеции CDEF сторона EF равна 22, а прилежащий угол = 45. Найти CD. CD =
22*2/2 = 112 - Прямоугольная трапеция MNOP имеет основания MP и NO, равные 32 и 19 соответственно. NMP равен 60
градусам. Найти MP: MP = (32 – 19)*3 = 133 - В прямоугольной трапеции ABCD AD и BC равны 35 и 15 соответственно. Диагональ АС = 26. Найти AB.
AB = (26^2 – (35 – 15)^2) = 676 – 400 = 276 = 269
Первая вытекает из прямоугольного треугольника и свидетельствует о том, что отношение катета к
гипотенузе равно синусу противолежащего угла. В этом треугольнике второй катет равен разности двух
оснований. Отсюда возникает утверждение, приравнивающее тангенс угла к отношению катетов. Третья
формула выведена на основании теоремы Пифагора.
Для второй боковой стороны выведено и записано три выражения: d = (a — b)/cosa; d = c/sina; d =
(c^2 — (a — b)^2). Первое и второе получаются из соотношения сторон в прямоугольном
треугольнике, а третье выводится из теоремы Пифагора.
- В прямоугольной трапеции KLMN KN = 28, LM = 13 а прилежащий угол = 30. Найти KL: KL = (28 –
13)/3/2 = 103 - В прямоугольной трапеции EFGH EF равна 45. FEH равен 30 градусам. Найти GH: GH = 45/0,5 =
90 - В прямоугольной трапеции NOPQ NQ и OP =.36 и 17. Диагональ равна 29. Найти NO: NO = (29^2 –
(36 – 17)^2) = 841 – 361= 480 = 430
Для равнобокой трапеции существуют формулы c = d1^2 – ab; c = (a – b)/2cosa; c = S/m*sina; c =
2S/(a+b)*sina.
- В трапеции LMNO LM = NO. LO = 16, MN = 6, диагональ равна 10. Найти LM: LM = 10^2 – 16*6 =
100 – 96 = 4 - Трапеция ABCD – равнобокая, AB = CD. AD = 18, BC = 4, а прилежащий угол равен 45 градусам. Найти
AB: AB = (18 – 4)/2/2 = 14/2/2 = 14/2 - В трапеции BCDE BC=DE. Площадь фигуры равна 48, BE = 17, CD = 7, а CBE равен 30 градусам.
Вычислить BC: m = (17 – 7)/2 = 5, BC = 48/5*1/2 = 96/5 = 19,2 - Площадь равнобедренной трапеции KLMN = 90, основания KN и LM = 32 и 18 соответственно, а LKN =
60 градусов. Вычислить KL: KL = 2*90/(32 + 18)*3/2 = 360/503 = 129600/7500 = 17,28
Виды трапеций
Существуют следующие виды трапеций:
- Равнобедренная трапеция — фигура, у которой боковые стороны и углы при основании равны.
Диагонали также равны. Треугольники, образованные диагоналями и основой, являются
равнобедренными. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то площадь равна квадрату высоты. Если
разделить обе основы пополам и повести через эти точки линию, то она будет осью геометрической
фигуры. Отрезки, последовательно соединяющие середины смежных сторон, образуют ромб. - Прямоугольная трапеция — фигура, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
и равна высоте. Два угла будут равны 90 градусам, и они всегда принадлежат смежным вершинам, а
другие всегда острый и тупой, их сумма всегда будет равна 180 градусам. Каждая диагональ
образует с ее меньшей боковой стороной прямоугольный треугольник. А высота, которая проведена из
вершины с тупым углом, делит фигуру на две. Одна из них прямоугольник, другая прямоугольный
треугольник. - Разносторонняя трапеция — фигура, боковые стороны которой не равны и углы при основании не
являются прямыми. Ее диагонали делят фигуру на четыре треугольника, два из которых подобны, а
остальные — равновелики, то есть имеют одинаковые площади. Сумма углов при боковой стороне 180
градусов.
Свойства трапеции
- Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.
- Любая биссектриса, выведенная из угла четырёхугольника, отсекает на основании (продолжении)
отрезок с длиной боковой стороны. - Треугольники AOD и COD, образованные отрезками диагоналей и основами, подобны.
Коэффициент
подобия – k = AD/BC.
Отношение площадей треугольников — k^2. - Треугольники ABO и DCO, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами, имеют одинаковую
площадь. - В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований равняется сумме её боковых сторон.
- Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений
боковых сторон лежат на одной прямой. - Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равняется половине разности основ и лежит на средней
линии.
Как найти боковую сторону трапеции
Геометрия – наука, которую начинают изучать еще в школе. Ошибочно думать, что она никак не пригодится в жизни. Иногда необходимы точные размеры фигур, чтобы сделать, к примеру, WEB-дизайн помещения. А фигуры встречаются разные, в том числе и трапеции. Часто надо найти значения их боковых сторон или основания. Давайте в подробностях рассмотрим, как найти боковую сторону данного четырехугольника различной формы, если известны его углы, основания, диагонали, площадь и т.п.
1
Как найти боковую сторону трапеции, если известны основания?
Трапеция – это четырёхугольник, у которого параллельны лишь две стороны. И эти не пересекающиеся отрезки называются основаниями данной фигуры. Трапеции бывают различных вариантов:
- Равнобокие – это те, у которых боковые стороны равны.
- Прямоугольные – имеют у основания один прямой угол.
- Остроугольные, разносторонние – с двумя острыми углами у основания.
- Тупоугольные, разносторонние – с одним тупым углом у основания.
Рассмотрим вариант нахождения боковой стороны (высоты) прямоугольной трапеции, если вам даны значения оснований.
Чтобы решить данную задачу, вам понадобится сделать следующее:
- Проведите вторую высоту – ВН в четырехугольнике.
- Получившийся отрезок ВН = СД, так как основание ВС параллельно АД.
- Образовавшийся треугольник АВС – равнобедренный, ведь АС – биссектриса, соответственно углы у основания равны и АВ = СВ = 10 см.
- Рассмотрим треугольник АВН, фактически у нас известны две стороны его: ВА и АН. АН = АД – CD = 16 – 10 = 6 см.
- Отсюда по теореме Пифагора: ВН² = АВ² – НА² = 64; ВН = 8 см, соответственно и СД тоже равно 8 сантиметров.
Кроме того, если вам известен угол ВАД, то СД = (АД – ВС) • tg α либо СД = АВ • sin α.
Большая боковая сторона рассчитывается по следующим формулам:
- АВ² = СД² + (АД – ВС)²
- АВ = (АД – ВС)/cos ∠ВАН
- АВ = CД/sin ∠ВАН
2
Как найти боковую сторону прямоугольной трапеции, если известны диагонали, площадь, средняя линия?
Если обозначить высоту трапеции – b, большую боковую сторону – c, основания – a и к, диагонали – d1 и d2. Больший угол между ними β, меньший – α, то высоту (боковую сторону трапеции) можно найти по следующим формулам:
b = d2 • d1/ (a + к) • sin α;
или же b = d2 • d1/ (a + к) • sin β
Для того чтоб определить b – меньшую сторону прямоугольной трапеции, с – большую сторону фигуры, с известными данными S – площадью, n – средней линией, применяйте следующие расчеты:
b = S/n = 2S/ (a + к)
с = S/n • sin α = 2S/ (a + к) • sin α
3
Как найти боковые стороны равнобедренной трапеции?
Итак, у равнобокой трапеции АВ = DC. Если вам даны различные величины, то боковые стороны можно найти по нижеприведенным формулам:
- если известны высота – h и угол – α, то АВ = DC = h/ sin α;
- если даны значения оснований и угол – α , то АВ = DC = (a – b)/ cos α;
- если даны диагонали d и основания, то АВ² = DC² = d² – b • a;
- если известны значения средней линии – l, площадь – S, углы – α либо – β (вверху возле основания b, то АВ = DC = S/ l • sin α = S/ l • sin α.
или же:
АВ = DC = S/ (b + a) • sin α = S/ (b + a) • sin β
В дальнейшем, если вы выучите формулы и научитесь верно рисовать чертежи данных фигур, то решить задачку по геометрии вам не составит труда. Ведь по правильной картинке ответ задачи практически виден сразу.
Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел прямоугольная трапеция). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет – пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа “квадратный корень” применяется функция sqrt(), в которой sqrt – символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак “√”
См. также: трапеция и ее свойства.
Прямоугольная трапеция
Прямоугольная трапеция – это трапеция, у которой хотя бы один из углов прямой (классическое определение)
Примечание. На самом деле, у прямоугольной трапеции, как минимум, два прямых угла (см. ниже – свойства)
Другие определения:
- Прямоугольной называется трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям
- Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.
Формулы для прямоугольной трапеции
Обозначения формул даны на чертеже выше.
a и b – основания трапеции
с – боковая сторона прямоугольной трапеции, перпендикулярная основаниям
d – боковая сторона трапеции, не являющаяся перпендикулярной основаниям
α – острый угол при большем основании трапеции
m – средняя линия трапеции
Боковая сторона прямоугольной трапеции, перпендикулярная основаниям, равна высоте трапеции (Формула 1)
Боковая сторона прямоугольной трапеции,
перпендикулярная
основаниям, равна произведению синуса острого угла при большем основании на длину второй боковой стороны. (Треугольник CKD – прямоугольный, соответственно h/d=sinα согласно свойствам синуса, а c=h) (Формула 2)
Боковая сторона,
перпендикулярная
основаниям, равна произведению разности оснований на тангенс острого угла при большем основании. (Треугольник CKD – прямоугольный. Поскольку трапеция – прямоугольная, то длина KD – это и есть разность оснований, а h/KD=tgα по определению тангенса, а c=h, откуда с/KD=tgα) (Формула 3)
Боковая сторона, которая
не перпендикулярна
основаниям, равна частному разности оснований к косинусу острого угла при большем основании или частному высоты трапеции и синуса острого угла при большем основании. (разность оснований равна KD. В прямоугольном треугольнике CKD по определению косинуса cos α = KD / d, откуда и проистекает искомая формула) (Формула 4)
Боковая сторона прямоугольной трапеции, которая
не перпендикулярна
основаниям, равна корню квадратному из разности квадрата второй боковой стороны и квадрата разности оснований. (Разность оснований равна KD, КС равна второй боковой стороне. Треугольник CKD, далее – следствие из теоремы Пифагора – из квадрата гипотенузы вычитаем квадрат катета и извлекая из полученного выражения квадратный корень, находим искомый катет) (Формула 5)
Боковая сторона прямоугольной трапеции,
перпендикулярная
основаниям, равна корню квадратному из суммы квадрата второй боковой стороны и квадрата разности оснований. (Разность оснований равна KD, КС равна второй боковой стороне. Треугольник CKD, прямоугольный, далее – следствие из теоремы Пифагора – находим сумму квадратов катетов и извлекаем из полученного выражения квадратный корень) (Формула 6)
Боковая сторона прямоугольной трапеции,
перпендикулярная
основаниям, равна частному от деления двойной площади трапеции на сумму ее оснований. (Поскольку площадь трапеции равна произведению средней линии трапеции на высоту (S=mh), а h=c, то разделив площадь на среднюю линию прямоугольной трапеции, получим ее высоту, а подставив в формулу значение средней линии (m = ( a + b ) / 2), получим искомую формулу) (Формула 7)
Боковая сторона прямоугольной трапеции, которая
не перпендикулярна
основаниям, равна частному от деления двойной площади трапеции на произведение суммы ее оснований и синуса острого угла при основании. (Поскольку площадь трапеции равна произведению средней линии трапеции на высоту (S=mh), а h=c, то разделив площадь на среднюю линию прямоугольной трапеции, получим ее высоту, а выразив высоту через вторую боковую сторону и подставив в формулу значение средней линии (m = ( a + b ) / 2), получим искомую формулу) (Формула 8)
Так как прямоугольная трапеция – это частный случай трапеции, то остальные формулы и свойства можно посмотреть в разделе “Трапеция”.
Свойства прямоугольной трапеции
- У прямоугольной трапеции два угла обязательно прямые
- Оба прямых угла прямоугольной трапеции обязательно принадлежат смежным вершинам
- Оба прямых угла в прямоугольной трапеции обязательно прилежат к одной и той же боковой стороне
- Диагонали прямоугольной трапеции образуют с одной из боковых сторон прямоугольный треугольник
- Длина боковой стороны трапеции, перпендикулярной основаниям равна ее высоте
- У прямоугольной трапеции основания параллельны, одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, а вторая боковая сторона – наклонная к основаниям
- У прямоугольной трапеции два угла прямые, а два других – острый и тупой
Задача
В прямоугольной трапеции большая боковая сторона равна сумме оснований, высота равна 12 см. Найдите площадь прямоугольника, стороны которого равны основаниям трапеции.
Решение.
Обозначим трапецию как ABCD. Обозначим длины оснований трапеции как a (большее основание AD) и b (меньшее основание BC). Пусть прямым углом будет
∠A.
Площадь прямоугольника, стороны которого равны основаниям трапеции, будет равна
S = ab
Из вершины C верхнего основания трапеции ABCD опустим на нижнее основание высоту CK. Высота трапеции известна по условию задачи. Тогда, по теореме Пифагора
CK2 + KD
2 = CD2
Поскольку большая боковая сторона трапеции по условию равна сумме оснований, то CD = a + b
Поскольку трапеция прямоугольная, то высота, проведенная из верхнего основания трапеции разбивает нижнее основание на два отрезка
AD = AK + KD. Величина первого отрезка равна меньшему основанию трапеции, так как высота образовала прямоугольник ABCK, то есть BC = AK = b, следовательно, KD будет равен разности длин оснований прямоугольной трапеции KD = a – b.
то есть
122 + (a – b)2 = (a + b)2
откуда
144 + a2 – 2ab + b2 = a2 + 2ab + b2
144 = 4ab
Поскольку площадь прямоугольника S = ab (см. выше), то
144 = 4S
S = 144 / 4 = 36
Ответ: 36 см
2 .
0
Диагонали трапеции |
Описание курса
| Равнобокая (равнобедренная) трапеция
