Чтобы узнать наибольшую из этих десятичных дробей, нужно вначале найти дробь с наибольшей целой частью: у дробей 9,8 и 9,4 целые части – 9, у дробей 10,14 и 10,3 целые части – 10. Целая часть 10 больше целой части 9, значит дроби 9,8 и 9,4 можем больше не сравнивать – они в любом случае будут меньше двух оставшихся(10,14 и 10,3).
Теперь у нас осталось две дроби – 10,14 и 10,3. Целые части у них одинаковые, значит теперь нам нужно сравнивать дробные части. Начнём сравнение с десятых частей (10, 1 и 10, 3). У дроби 10,14 десятичная часть – 1, у дроби 10,3 десятичная часть – 3. Десятичная часть 1 в любом случае будет меньше десятичной части 3, значит можно даже не смотреть на сотую часть первой дроби(,14). Также есть способ полегче: 10,3 = 10,30(к концам десятичных дробей можно прибавлять сколько угодно нолей, они все равно не изменятся). Теперь у нас есть дроби 10,14 и 10,30. Как уже можно понять, сотая часть 14 меньше сотой части 30, а это значит, что десятичная дробь 10,14 меньше десятичной дроби 10,3.
Итак, можно составить тройное неравенство: 9,4 < 9,8 < 10,14 < 10,3. Из этого неравенства, да и из самих вычислений можно легко понять, что десятичная дробь 10,3 является наибольшей в данном списке.
Десятичные дроби — для чайников
Действия с десятичными дробями – деление умножение, сложение, вычитание, сравнение. Разбор примеров.
Все это здесь.
Между прочим, большинство ошибок на экзаменах происходят как раз из-за незнания простейших действий вроде этих.
Так что читай эту статью и отрабатывай скиллы.
Десятичные дроби — коротко о главном
1. Определение
Десятичной дробью называется обыкновенная дробь, знаменателем которой является ( 10) в какой-либо степени.
2. Конечная и бесконечная десятичная дробь
Десятичная дробь может быть:
- конечной, если она содержит конечное число цифр после запятой (( displaystyle frac{8}{10}, frac{13}{100},frac{49}{1000}));
- бесконечной, в том числе периодичной, если конечное число цифр определить не определено (( 0,05882352941…));
- периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр (( displaystyle frac{1}{7}=0,underbrace{142857}_{{период}}underbrace{142857}_{период}142…=0,left( 142857 right)))
3. Свойства десятичных дробей
- Десятичная дробь не меняется, если справа добавить нули ( displaystyle frac{3}{100}=0,03=0,030=0,030000)и т.д.;
- Десятичная дробь не меняется, если удалить нули, расположенные в конце десятичной дроби: ( 0,014330000=0,01433);
- Десятичная дробь возрастает в ( 10), ( 100), ( 1000) и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций вправо: ( 0,0125cdot 100=1,25) (перенесли запятую на ( 2) знака вправо – умножили на ( 100) и дробь возросла в ( 100) раз);
- Десятичная дробь уменьшается в ( 10), ( 100), ( 1000) и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций влево: ( 124,56:100=1,2456) (перенесли запятую на ( 2) знака влево – разделили на ( 100) и дробь уменьшилась в ( 100) раз).
4. Сложение десятичных дробей
Сложение происходит, как и сложение натуральных чисел в столбик, при этом запятая в ответе ставиться четко на том же месте, как и в складываемых числах.
5. Вычитание десятичных дробей
Так же, как и при сложении, при вычитании десятичные дроби записываются «столбиком»:
6. Умножение десятичных дробей
Десятичные дроби также записываются в столбик и умножаются как обыкновенные числа. При умножении нам неважно, стоят ли запятые под запятыми и так далее.
Однако, удобно, когда числа выровнены по правому краю – умножение происходит более упорядочено.
7. Деление десятичных дробей
Деление десятичной дроби на натуральное число
- Делим десятичную дробь на натуральное число по правилам деления в столбик, не обращая внимания на запятую в делимом (то число, которое мы делим на какое-либо другое число)
- Ставим в частном запятую, когда заканчивается деление целой части делимого.
Деление десятичных дробей друг на друга
- Считаем количество знаков справа от запятой в десятичной дроби.
- Умножаем и делимое, и делитель на 10, 100 или 1000 и т.д., в зависимости от того, сколько мы насчитали знаков в первом пункте. Умножать необходимо, чтобы превратить десятичную дробь в целое число.
Десятичные дроби — подробнее
Конечно, ты знаешь, что такое обыкновенная дробь. Например, ( displaystyle frac{1}{3}, frac{1}{4},frac{5}{112}).
Наравне с приведенными выше дробями существуют дроби ( displaystyle frac{8}{10}, frac{13}{100},frac{49}{1000}) и т.д.
Такие дроби можно записать намного удобнее и более кратко, то есть:
( displaystyle frac{8}{10}=0,8)
( displaystyle frac{13}{100}=0,13)
( displaystyle frac{49}{1000}=0,049)
Данного вида дроби называются десятичными. Иными словами:
Десятичной дробью называется обыкновенная дробь, знаменателем которой является ( 10) в какой-либо степени (первый пример – ( 10) в первой степени, второй – ( 10) во второй степени и т.д.).
Ты наверняка знаешь, что каждая цифра после запятой имеет свое название. На всякий случай напомню тебе про них, чтобы в дальнейшем мы говорили на одном языке:
Это огромное число читается по следующему алгоритму:
- Сначала читается число, стоящее до запятой и добавляется слово «целых»: ««( 46) целых»;
- Затем читается как обыкновенное число слева после запятой и добавляется слово, обозначающее название самой последней цифры. В нашем случае – «одна тысяча двести тридцать четыре десятитысячные».
А теперь прочитаем все вместе – «( 46) целых одна тысяча двести тридцать четыре десятитысячные». Разобрался? Переходим к визуализации полученных знаний!
Итак, небольшая тренировка на понимание, что такое эта десятичная дробь! Нарисуй квадрат ( 10) на ( 10) и закрась какую-нибудь его часть равную:
- ( 0,05;)
- ( 0,4;)
- ( 0,27;)
- ( 0,245)
Справился? Проверяем, что у тебя получилось.
Во-первых, квадрат ( 10) на ( 10) состоит из ( 100) клеточек. Соответственно, ( 0.05) – ( 5) клеточек из ( 100); ( 0,4) – ( 40) клеточек из ( 100) и так далее.
Наверняка, наибольшее затруднение составило последнее число – ( -0,245). На картинке это необходимо отразить как 24,5 клетки.
В общем, смотри:
С понятиями разобрались, теперь научимся переводить из десятичной дроби в обыкновенную и обратно.
Перевод из десятичной дроби в обыкновенную и обратно
Попробуй перевести:
- ( 0,136)
- ( 0,2436)
- ( 0,0456)
- ( 0,21)
Сравним ответы:
- ( displaystyle 0,136=frac{136}{1000})
- ( displaystyle 0,2436=frac{2436}{10000})
- ( displaystyle 0,0456=frac{456}{10000})
- ( displaystyle 0,21=frac{21}{100})
Уверена, что ты с легкостью справился! А как насчет обратного перевода? Из обыкновенных в десятичные?
Попробуй свои силы на вот этих дробях:
- ( displaystyle frac{2}{10})
- ( displaystyle frac{3}{100})
- ( displaystyle frac{4}{1000})
- ( displaystyle frac{4562}{100})
А вот и ответы:
- ( displaystyle frac{2}{10}=0,2)
- ( displaystyle frac{3}{100}=0,03)
- ( displaystyle frac{4}{1000}=0,004)
- ( displaystyle frac{4562}{100}=45frac{62}{100}=45,62)
Если ты со всем справился, можешь пропускать следующий абзац, а если где-то допустил ошибку, внимательно прочти о том, как легко и 100% правильно переводить дроби из обыкновенных в десятичные.
- Смотрим на дробь и определяем, есть ли у нее целая часть? Если есть, выделяем целую часть, записываем ее, и ставим запятую.
- После запятой должно быть столько знаков, сколько нулей стоит в знаменателе. Например, дробь ( displaystyle frac{4}{1000}) — ( 3) нуля в знаменателе, соответственно, мы как бы мысленно выделяем ( 3) ячейки.
- Затем записываем числитель – ( 4), но выравниваем его по правому краю, а в пустые ячейки вставляем нули.
Разобрался? Посмотри еще раз эту маленькую «инструкцию»:
Я думаю, ты во всем-всем разобрался! Потренируемся? Попробуй поработать еще с вот этими дробями:
- ( displaystyle frac{26}{10})
- ( displaystyle frac{43}{100})
- ( displaystyle frac{99}{1000})
- ( displaystyle frac{3562}{100})
А теперь ответы:
- ( displaystyle frac{26}{10}=2,6)
- ( displaystyle frac{43}{100}=0,43)
- ( displaystyle frac{99}{1000}=0,099)
- ( displaystyle frac{3562}{100}=35,62)
Виды десятичных дробей
Десятичная дробь может быть:
- конечной, если она содержит конечное число цифр после запятой (( displaystyle frac{8}{10}, frac{13}{100},frac{49}{1000}));
- бесконечной, в том числе периодичной, если конечное число цифр определить не определено (( 0,05882352941…));
- периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр (( displaystyle frac{1}{7}=0,underbrace{142857}_{{период}}underbrace{142857}_{период}142…=0,left( 142857 right))).
Поговорим сначала о конечных дробях.
Конечная десятичная дробь
Само собой понятно, что дроби ( displaystyle frac{8}{10}, frac{13}{100},frac{49}{1000}) являются конечными, ведь знаменатель дроби уже представлен как единица с последующими нулями, и поэтому мы сразу можем сказать, что данную обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную. А что ты скажешь насчет этой дроби: ( displaystyle frac{1}{4})? Ее знаменатель далеко не единица с последующими нулями, но ты четко знаешь, что у нее есть десятичный «аналог»:
( displaystyle frac{1}{4}=frac{1cdot 25}{4cdot 25}=frac{25}{100}=0,25)
То есть, чтобы определить, можно ли перевести дробь в десятичную, необходимо умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, такое, чтобы знаменатель стал равен ( 10), ( 100), ( 1000) и так далее.
Усвоил? Постарайся представить в виде конечной десятичной дроби следующие обыкновенные дроби:
- ( displaystyle frac{1}{5})
- ( displaystyle frac{1}{8})
- ( displaystyle frac{3}{5})
- ( displaystyle frac{1}{16})
Сравним наши ответы:
- ( displaystyle frac{1cdot 2}{5cdot 2}=frac{2}{10}=0,2)
- ( displaystyle frac{125}{1000}=0,125)
- ( displaystyle frac{3}{5}=frac{6}{10}=0,6)
- ( displaystyle frac{1}{16}=frac{625}{10000}=0,0625)
Справился? Молодец. Выходим на новый уровень и переходим к бесконечным десятичным дробям.
Бесконечная десятичная дробь
Итак, бери калькулятор и дели ( 1) на ( 17). Поделил? Ты получил ( 0,05882352941) и дальше окошко калькулятора не показывает… Это тоже является десятичной дробью, только данная десятичная дробь является бесконечной. Ты сейчас скажешь, а как же наше определение?
Десятичной дробью называется обыкновенная дробь, знаменателем которой является ( 10) в какой-либо степени (первый пример – ( 10) в первой степени, второй – ( 10) во второй степени и т.д.).
Все очень просто и никаких противоречий с определением нет. В данном случае нам необходимо привести наш знаменатель к ( {{10}^{n}}), с учетом, что ( n) это какое-либо бесконечное число, которое мы не можем «обозреть» взглядом», или иными словами – ( nto +infty )
Таким образом:
Бесконечной десятичной дробью называется обыкновенная дробь, в записи которой после запятой содержится бесконечное количество цифр.
Как правило, в задачах, где встречаются бесконечные десятичные дроби, просят указать ответ либо с округлением (например, до десятых, или до сотых), либо записать в виде обыкновенной дроби, то есть как ( displaystyle frac{1}{17}).
Подумай, какой самый популярный пример можно привести на тему «бесконечная десятичная дробь»? Правильно! Число ( pi ) является бесконечной десятичной дробью. Во всем мире люди договорились, что для решения математических задач принято, что ( pi =3,14), но это далеко не так. Число ( pi ) не имеет определенного завершения. Оно настолько бесконечно, что ежегодно в мире проводятся соревнования по запоминанию числа ( pi ). Мировой рекорд по запоминанию знаков числа ( pi ) после запятой принадлежит китайцу Лю Чао, который в 2006 году в течение 24 часов и 4 минут воспроизвёл 67 890 знаков после запятой без ошибки! Все 67 890 знаков после запятой мы приводить не будем, а приведем несколько сокращенную запись:
( pi =3,1415926535text{ }8979323846text{ }2643383279text{ }5028841971)
Думаю, этого хватит, чтобы оценить «масштабы» данного числа.
Наравне с бесконечными десятичными дробями существуют периодические десятичные дроби. Они так же не имеют конца, но последующие числа в них повторяются, например, попробуй перевести в десятичную дробь ( displaystyle frac{1}{3}). Что у тебя получилось?
( displaystyle frac{1}{3}=0,333333333….)
Чтобы не повторять число ( 3) много много раз, решили говорить «ноль целых и три в периоде», так как тройка будет повторяться после запятой бесконечное число раз. Из этого умозаключения следует определение:
Дробь называется периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр.
Чтобы кратко записать такую дробь, период (повторяющиеся цифры после запятой) пишут в скобках:
( displaystyle frac{1}{3}=0,underbrace{3}_{период}33333333….=0,left( 3 right))
( displaystyle frac{1}{7}=0,underbrace{142857}_{{период}}underbrace{142857}_{период}142…=0,left( 142857 right))
Важно, что период не может начинаться слева от запятой:
( displaystyle frac{100}{7}=underbrace{14,2857}_{не период}1428571428571…=14,left( 285714 right)).
Свойства десятичных дробей
Существует четыре свойства десятичных дробей. Они очень простые, и ты 100% знаешь о всех них, но давай их перечислим и вспомним:
1. Десятичная дробь не меняется, если справа добавить нули
( displaystyle frac{3}{100}=0,03=0,030=0,030000)и т.д.
2. Десятичная дробь не меняется, если удалить нули, расположенные в конце десятичной дроби:
( 0,014330000=0,01433)
ВНИМАНИЕ!!! Нельзя удалять нули, расположенные не в конце десятичной дроби!!!!
( 0,014330000ne 0,1433)
3. Десятичная дробь возрастает в ( 10), ( 100), ( 1000) и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций вправо:
( 0,0125cdot 100=1,25) (перенесли запятую на ( 2) знака вправо – умножили на ( 100) и дробь возросла в ( 100) раз)
4. Десятичная дробь уменьшается в ( 10), ( 100), ( 1000) и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций влево:
( 124,56:100=1,2456) (перенесли запятую на ( 2) знака влево – разделили на ( 100) и дробь уменьшилась в ( 100) раз)
Последние два свойства позволяют быстро умножать и делить десятичные дроби на ( 10), ( 100), ( 1000) и т.д. о чем подробнее мы поговорим чуть ниже.
Действия с десятичными дробями
Десятичные дроби – это обычные числа. Мы можем складывать их, вычитать из одной другую, умножать и делить.
Очень важно уметь правильно производить с ними математические действия, так как зачастую именно от арифметических ошибок зависит твоя оценка на экзамене.
Несомненно, ты знаешь, как все это делать, но на всякий случай, дам тебе краткую инструкцию к применению.
Как складывать десятичные дроби
При сложении десятичные дроби записываются «столбиком», так чтобы одноимённые разряды находились друг под другом без смещения. Соответственно, запятые стоят четко друг под другом.
Разберемся на примере:
Сложение происходит, как и сложение натуральных чисел в столбик, при этом запятая в ответе ставится четко на том же месте, как и в складываемых числах.
Если исходные числа имеют разное количество знаков после запятой, то к дроби с меньшим количеством десятичных знаков нужно приписать необходимое число нулей, чтобы уравнять в дробях количество знаков после запятой.
Если при сложении в сумме мы получаем больше ( 10), то одна единица прибавляется к сумме при сложении цифр следующего разряда.
Решим наш пример, учтя все правила:
Разобрался? Посчитай в столбик самостоятельно:
- ( 0,0125+0,141)
- ( 2,4225+0,34)
- ( 122,4355+1,34)
- ( 2,435+12,3)
Сравним ответы:
- ( 0,0125+0,141=0,1535)
- ( 2,4225+0,34=2,7625)
- ( 122,4355+1,34=123,7755)
- ( 2,435+12,3=14,735)
Как вычитать десятичные дроби
Так же, как и при сложении, при вычитании десятичные дроби записываются «столбиком», так чтобы одноимённые разряды находились друг под другом без смещения.
Соответственно, запятые стоят четко друг под другом.
Вычитание происходит, как и вычитание натуральных чисел в столбик, при этом запятая в ответе ставиться четко на том же месте, как и в числах, с которыми мы работаем.
Если исходные числа имеют разное количество знаков после запятой, то к дроби с меньшим количеством десятичных знаков нужно приписать необходимое число нулей, чтобы уравнять в дробях количество знаков после запятой.
Если при вычитании получается, что мы из меньшего числа вычитаем большее, то мы как бы занимаем десяток у более высокого разряда (при вычитании сотых частей, берем десяток у десятых, при вычитании десятых – у единиц и так далее), не забывая уменьшить вычитаемое число у заимствованного разряда.
Посмотрим подробно на примере:
Думаю, с рисунком тебе стало все понятно. Попробуй посчитать в столбик следующие выражения:
- ( 0,0125-0,141)
- ( 2,4225-0,34)
- ( 122,4355-1,34)
- ( 12,435-12,3)
Сравним полученные ответы:
- ( 0,0125-0,141=-0,1285)
- ( 2,4225-0,34=2,0825)
- ( 122,4355-1,34=121,0955)
- ( 12,435-12,3=0,135)
Как умножать десятичные дроби
Десятичные дроби также записываются в столбик и умножаются как обыкновенные числа. При умножении нам неважно, стоят ли запятые под запятыми и так далее.
Однако, удобно, когда числа выровнены по правому краю – умножение происходит более упорядочено.
Мы начинаем запись числа, получающего при перемножении, под тем разрядом второго числа, на который умножаем. Далее мы суммируем полученные числа и только затем ставим запятую.
Чтобы определить, между какими числами должна стоять запятая, мы должны посмотреть, сколько чисел стоит после знака запятой у первого множителя, сколько у второго, сложить их и отсчитать справа данное количество чисел.
Непонятно? Смотри:
Как ты видишь, при перемножении мы будем складывать столько слагаемых, сколько разрядов содержится во втором множителе, поэтому удобней записывать числа так, чтобы первый множитель был по количеству чисел больше, чем второй.
Таким способом мы значительно снизим вероятность ошибок.
Не веришь? Смотри:
Если при умножении мы получаем число, которое больше ( 9), например ( 12), то единицу мы прибавляем к значению, полученному при умножении последующих чисел следующего десятка.
Соответственно, если получаем, например, ( 24), то прибавляем ( 2).
Проиллюстрируем данное правило:
Разобрался? Дорешай данный пример самостоятельно.
Сколько у тебя получилось? У меня ( 10,33911).
А теперь пора приступить к некоторым очень важным моментам, которые помогут сохранить время на экзамене.
Как делить десятичные дроби
Теперь ты знаешь о десятичных дробях почти все. Осталось только разобраться с тем, как их делить друг на друга.
Если ты отлично это представляешь, смело пропускай данный подраздел. Если нет – смотри инструкцию к применению.
Итак. Мы рассмотрим два вида деления:
- деление десятичной дроби на натуральное число;
- деление десятичной дроби на десятичную дробь.
Начнем с деления десятичной дроби на натуральное число.
Чтобы делить десятичную дробь на натуральное число, необходимо пользоваться следующими правилами:
- Делим десятичную дробь на натуральное число по правилам деления в столбик, не обращая внимания на запятую в делимом (то число, которое мы делим на какое-либо другое число)
- Ставим в частном запятую, когда заканчивается деление целой части делимого.
Важно!!!
Если целая часть делимого меньше делителя, то в частном ставим ( 0) целых. Логично, правда?
Рассмотрим на конкретном примере:
Усвоил? Раздели столбиком следующие числа:
- ( 135,2:5)
- ( 16,4:2)
- ( 158,14:4)
- ( 2,456:2)
- ( 0,626:2)
Сравним наши ответы:
- ( 135,2:5=27,04)
- ( 16,4:2=8,2)
- ( 158,14:4=39,535)
- ( 2,456:2=1,228)
- ( 0,626:2=0,313)
Вспомни теперь свойства десятичных дробей, описанные ранее: если нам необходимо разделить дробь на ( 10), ( 100), ( 1000) и так далее, нет необходимости делать это в столбик – мы можем просто перенести запятую на столько цифр влево, сколько нулей у нас в делителе.
Например: ( 135,2:10=13,52).
А теперь попробуй самостоятельно:
- ( 135,2:100)
- ( 16,4:10)
- ( 158,14:1000)
- ( 2,456:10)
Перенес? Смотри, что у меня получилось:
- ( 135,2:100=1,352)
- ( 16,4:10=1,64)
- ( 158,14:1000=0,15814)
- ( 2,456:10=0,2456)
Молодец! Переходим к делению десятичных дробей друг на друга.
Деление десятичных дробей друг на друга
Итак, для того чтобы это делать существует три правила:
- Считаем количество знаков справа от запятой в десятичной дроби.
- Умножаем и делимое, и делитель на ( 10), ( 100) или ( 1000) и т.д., в зависимости от того, сколько мы насчитали знаков в первом пункте. Умножать необходимо, чтобы превратить десятичную дробь в целое число.
- Делим числа как натуральные.
ВАЖНО!!! При умножении мы смотрим, в каком из чисел, участвующих в делении, присутствует наибольшее количество знаков после запятой? Ориентируясь именно на это число мы умножаем на ( 10), ( 100), ( 1000) и так далее.
Рассмотрим на примере ( 16,4:0,02)
В каком числе у нас стоит наибольшее количество знаков после запятой? Правильно, во втором, то есть в делителе: после нуля стоит два знака. Что из этого следует? Что мы умножаем и делимое и делитель на ( 100)!
Что дальше? Мы получаем следующий пример: ( 1640:2) Посчитай, сколько это будет самостоятельно. У меня получилось ( 820).
Рассмотрим примерчик посложнее: ( 5,31:0,3)
Самое большое количество знаков после запятой содержится в первом числе – их два, соответственно, умножаем оба числа, участвующего в делении на ( 100). Получаем: ( 531:30).
А теперь делим в столбик:
Ты видишь, что нацело разделить не получилось, мы «снесли» еще один ноль, и только тогда пришли к ответу, поэтому сразу после окончания деления нашего делимого, мы ставим запятую.
Теперь ты полностью готов совершать любые действия с десятичными дробями. Молодец! Рассмотрим только, как их сравнивать, хотя я думаю, ты уже и сам с этим справишься!
Как сравнивать десятичные дроби
Мы можем сравнивать десятичные дроби двумя способами.
Способ первый – поразрядно.
Допустим, нам необходимо сравнить ( 5,365 V 5,36)
1. Смотрим, одинаковое ли количество знаков после запятой стоит у каждой дроби? Нет? Значит дописываем справа необходимое количество нулей (ты же помнишь, что от дописывания нулей дробь неизменна, правда?)
Что у нас получилось? Верно: ( 5,365 V 5,360)
2. Начинаем сравнивать слева направо: целую часть с целой, десятые части с десятыми и так далее. Когда одна из частей дроби оказывается больше аналогичной части другой, эта дробь и больше.
Перейдем к нашему примеру: целые части у нас одинаковы – их значение ( 5). Десятые тоже – ( 3). Сотые – ( 6), а вот тысячные у первой дроби ( 5), а у второй ( 0). Что больше: ( 5) или ( 0)? Верно, ( 5), соответственно:
( 5,365 > 5,360)
Способ второй – с помощью умножения.
Внимательно смотрим на дроби. На сколько нам нужно умножить два числа, чтобы сравнивать целые числа? Смотрим на ту дробь, у которой знаков после запятой больше, то есть на первую. У нее после запятой ( 3) знака, соответственно, чтобы сделать из нее целое число, необходимо умножить на ( 1000) Умножаем обе дроби на это значение:
( 5,365cdot 1000 V 5,36cdot 1000)
( 5365 V 5360)
Эти числа ты сравнишь без проблем:
( 5365 > 5360)
Заметь, результат получился одинаковый. Теперь попробуй сравнить дроби самостоятельно любым наиболее удобным для тебя способом:
- ( 21,34 V 20,34)
- ( 0,34 V 0,341)
- ( 120,15 V 1210,16)
- ( 10,565 V 10,465)
Справился? Смотри что вышло:
- ( 21,34 > 20,34)
- ( 0,34 < 0,341)
- ( 120,15 < 1210,16)
- ( 10,565 > 10,465)
Вот теперь ты усвоил дроби полностью!
Подготовка к ЕГЭ на 90+ в мини-группах
Алексей Шевчук — ведущий мини-групп
математика, информатика, физика
+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи
alexei.shevchuk@youclever.org — email для записи
- тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
- автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
- закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
- репетиторский стаж — c 2003 года;
- в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
- отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».
Сегодня мы будем учиться сравнивать десятичные дроби.
Для этого есть определенное правило.
1. Начинаем со сравнения целой части:
— двузначное число всегда больше однозначного, соответственно однозначное меньше двузначного; трехзначное всегда больше двузначного, а двузначное меньше трехзначного и т.д.
12 > 8, а 8< 12; 126 > 99, a 99< 100;
— если в числе одинаковое количество цифр, то начинаем сравнивать с наивысшего разряда, т.е. в десятичных числах сравниваем – десятки, в трехзначных числах – сравниваем сотни. В том числе, в котором единицы разряда больше, то и число будет больше; если единицы разряда меньше, то и число будет меньше:
12< 21, потому что 1 < 2;
221 > 121, потому что 2 > 1 и т.д.
2. Если целые – одинаковые число, то сравниваем дробные части.
Здесь, наоборот начинаем сравнивать – с десятых долей так же, как сравнивали целое.
Если десятые – одинаковые, сравниваем сотые и т.д.
Пример 1.
Сравним
2,46 и 2,43
Целые – одинаковые – по 2.
Десятые – одинаковые – по 4.
Сравниваем сотые: 6 сотых больше трех сотых, значит,
2,46 > 2,43.
Пример 2.
Пример 3.
10,13 и 6,13
Целое в первой дроби – двузначное число, во второй – однозначное.
Двузначное всегда больше однозначного, значит,
10,13 >6,13.
Пример 4.
0,9 и 0,09
Целых — нет. Сравниваем десятые: в первой дроби девять десятых, а во второй десятых нет. Значит:
0,9 > 0,09
Пример 5.
34,612 и 36,431
Сравниваем целые с десятков — по два.
Сравниваем единицы: в первой — четыре, а во второй шесть. Дальше можно не сравнивать. Значит,
34,612< 36,431
Пример 6.
3,567 и 3,562
Сравним единицы – их по 3 — поровну.
Сравним десятые – их по 5 – поровну.
Сравниваем сотые: в первой семь сотых, во второй две, значит,
3,567 > 3,562
Пример 7.
2,48 и 2,481
Сравним единицы – их по 2 — поровну.
Сравним десятые – их по 4 – поровну.
Сравниваем сотые – их по 8 – поровну.
Сравниваем тысячные, но в первой дроби их нет, поэтому приписываем справа 0.
2,480 и 2,481
В первой 0 тысячных, во второй 1, значит,
2,480< 2,481
Похожие статьи
Сравнение десятичных дробей
- Калькулятор сравнения десятичных дробей
Десятичные дроби сравнивают по тем же правилам, что и натуральные числа:
- Из двух десятичных дробей больше та, у которой больше разрядов в целой части. Например:
647,78 > 43,952,
потому что число 647 имеет больше разрядов в целой части, чем число 43.
- Из двух десятичных дробей с одинаковым числом разрядов больше та, у которой больше первая (слева направо) из неодинаковых цифр. Например:
432,35 > 432,21,
потому что у первого числа, цифра в разряде десятых больше, чем цифра в этом же разряде у второго числа.
- Две десятичные дроби равны, если у них одинаковое число разрядов и цифры одинаковых разрядов равны. Например, числа 7832,0954 и 7832,0954 равны. В этом легко убедиться, записав их одно под другим:
7832,0954
7832,0954
Калькулятор сравнения десятичных дробей
Данный калькулятор поможет вам сравнить десятичные дроби. Просто введите две десятичные дроби и нажмите кнопку Сравнить
. Вместо запятой, в записи десятичной дроби, используйте точку:
В данной теме будет рассмотрена как общая схема сравнения десятичных дробей, так и детальный разбор принципа сравнения конечных и бесконечных дробей. Теоретическую часть закрепим решением типичных задач. Также разберем на примерах сравнение десятичных дробей с натуральными или смешанными числами, и обыкновенными дробями.
Внесем уточнение: в теории ниже будет рассмотрено сравнение только положительных десятичных дробей.
Общий принцип сравнения десятичных дробей
Для каждой конечной десятичной и бесконечной периодической десятичной дробей существуют соответствующие им некоторые обыкновенные дроби. Следовательно, сравнение конечных и бесконечных периодических дробей возможно производить как сравнение соответствующих им обыкновенных дробей. Собственно, это утверждение и является общим принципом сравнения десятичных периодических дробей.
На основе общего принципа формулируются правила сравнения десятичных дробей, придерживаясь которых возможно не осуществлять перевод сравниваемых десятичных дробей в обыкновенные.
То же самое можно сказать и про случаи, когда происходит сравнение десятичной периодической дроби с натуральными числами или смешанными числами, обыкновенными дробями – заданные числа необходимо заменить соответствующими им обыкновенными дробями.
Если же речь идет о сравнении бесконечных непериодических дробей, то его обычно сводят к сравнению конечных десятичных дробей. Для рассмотрения берется такое количество знаков сравниваемых бесконечных непериодических десятичных дробей, которое даст возможность получить результат сравнения.
Равные и неравные десятичные дроби
Равные десятичные дроби – это две конечные десятичные дроби, у которых равны соответствующие им обыкновенные дроби. В противном случае десятичные дроби являются неравными.
Опираясь на данное определение, просто обосновать такое утверждение: если в конце заданной десятичной дроби подписать или, наоборот, отбросить несколько цифр 0, то получится равная ей десятичная дробь. К примеру: 0,5 = 0,50 = 0,500 = …. Или: 130,000 = 130,00 = 130,0 = 130. По сути, дописать или отбросить нуль в конце дроби справа – значит умножить или разделить на 10 числитель и знаменатель соответствующей обыкновенной дроби. Добавим к сказанному основное свойство дробей (умножая или деля числитель и знаменатель дроби на одно и то же натуральное число, получаем дробь, равную исходной) и имеем доказательство вышеуказанного утверждения.
К примеру, десятичной дроби 0,7 соответствует обыкновенная дробь 710. Дописав нуль справа, получим десятичную дробь 0,70, которой соответствует обыкновенная дробь 70100, 7·70100:10. Т.е.: 0,7 = 0,70. И наоборот: отбрасывая в десятичной дроби 0,70 нуль справа, получаем дробь 0,7 – таким образом, от десятичной дроби 70100 мы переходим к дроби 710, но 710=70:10100:10 Тогда: 0,70 = 0,7.
Теперь рассмотрим содержание понятия равных и неравных бесконечных периодических десятичных дробей.
Равные бесконечные периодические дроби – это бесконечные периодические дроби, у которых равны отвечающие им обыкновенные дроби. Если же соответствующие им обыкновенные дроби не равны, то заданные для сравнения периодические дроби также являются неравными.
Данное определение позволяет сделать следующие выводы:
– если записи заданных периодических десятичных дробей совпадают, то такие дроби являются равными. К примеру, периодические десятичные дроби 0,21(5423) и 0,21(5423) равны;
– если в заданных десятичных периодических дробях периоды начинаются с одной и той же позиции, первая дробь имеет период 0, а вторая – 9; значение разряда, предшествующего периоду 0, на единицу больше, чем значение разряда, предшествующего периоду 9, то такие бесконечные периодические десятичные дроби равны. К примеру, равными являются периодические дроби 91,3(0) и 91,2(9), а также дроби: 135,(0) и 134,(9);
– две любые другие периодические дроби не являются равными. Например: 8,0(3) и 6,(32); 0,(42) и 0,(131) и т.д.
Осталось рассмотреть равные и неравные бесконечные непериодические десятичные дроби. Такие дроби представляют из себя иррациональные числа, и их невозможно перевести в обыкновенные дроби. Следовательно, сравнение бесконечных непериодических десятичных дробей не сводится к сравнению обыкновенных.
Равные бесконечные непериодические десятичные дроби – это непериодические десятичные дроби, записи которых полностью совпадают.
Логичным будет вопрос: как сравнить записи, если увидеть «законченную» запись таких дробей невозможно? Сравнивая бесконечные непериодические десятичные дроби, нужно рассматривать только некоторое конечное число знаков заданных для сравнения дробей так, чтобы это позволило сделать вывод. Т.е. по сути сравнение бесконечных непериодических десятичных дробей заключается в сравнении конечных десятичных дробей.
Такой подход дает возможность утверждать о равенстве бесконечных непериодических дробей только с точностью до рассматриваемого разряда. Например, дроби 6,73451… и 6,73451… равны с точностью до стотысячных, т.к. равными являются конечные десятичные дроби 6,73451 и 6,7345. Дроби 20,47… и 20,47… равны с точностью до сотых, т.к. равными являются дроби 20,47 и 20,47 и так далее.
Неравенство бесконечных непериодических дробей устанавливается вполне конкретно при явных различиях в записях. Например, неравными являются дроби 6,4135… и 6,4176… или 4,9824… и 7,1132… и так далее.
Правила сравнения десятичных дробей. Решение примеров
Если установлен факт неравенства двух десятичных дробей, обычно также необходимо определить, какая из них больше, а какая – меньше. Рассмотрим правила сравнения десятичных дробей, которые дают возможность решить вышеуказанную задачу.
Очень часто достаточно лишь сравнить целые части заданных к сравнению десятичных дробей.
Та десятичная дробь, у которой целая часть больше, является бОльшей. Меньшей является та дробь, у которой целая часть меньше.
Указанное правило распространяется как на конечные десятичные дроби, так и на бесконечные.
Необходимо сравнить десятичные дроби: 7,54 и 3,97823… .
Решение
Совершенно очевидно, что заданные десятичные дроби равными не являются. Целые их части равны соответственно: 7 и 3. Т.к. 7 > 3, то 7,54 > 3,97823… .
Ответ: 7,54 > 3,97823… .
В случае, когда целые части заданных к сравнению дробей равны, решение задачи сводится к сравнению дробных частей. Сравнение дробных частей производится поразрядно – от разряда десятых к более младшим.
Рассмотрим сначала случай, когда нужно сравнить конечные десятичные дроби.
Необходимо выполнить сравнение конечных десятичных дробей 0,65 и 0,6411.
Решение
Очевидно, что целые части заданных дробей равны (0 = 0). Проведем сравнение дробных частей: в разряде десятых значения равны (6 = 6), а вот в разряде сотых значение дроби 0,65 больше, чем значение разряда сотых в дроби 0,6411 (5 > 4). Таким образом, 0,65 > 0,6411.
Ответ: 0,65 > 0,6411.
В некоторых задачах на сравнение конечных десятичных дробей с разным количеством знаков после запятой необходимо к дроби с меньшим количеством десятичных знаков приписывать нужное количество нулей справа. Удобно уравнивать таким образом количество десятичных знаков в заданных дробях еще до начала сравнения.
Необходимо сравнить конечные десятичные дроби 67,0205 и 67,020542.
Решение
Данные дроби очевидно не являются равными, т.к. записи их различны. При этом их целые части равны: 67 = 67. Прежде чем приступить к поразрядному сравнению дробных частей заданных дробей, уравняем количество знаков после запятой, дописав нули справа в дроби с меньшим количеством знаков. Тогда получим для сравнения дроби: 67,020500 и 67,020542. Проводим поразрядное сравнение и видим, что в разряде стотысячных значение в дроби 67,020542 больше, чем соответствующее в дроби 67,020500 (4 > 0). Таким образом, 67,020500 < 67,020542, а значит 67,0205 < 67,020542.
Ответ: 67,0205 < 67,020542.
Если необходимо сравнить конечную десятичную дробь с бесконечной, то конечная дробь заменяется бесконечной, ей равной с периодом 0. Затем производится поразрядное сравнение.
Необходимо сравнить конечную десятичную дробь 6,24 с бесконечной непериодической десятичной дробью 6,240012…
Решение
Мы видим, что целые части заданных дробей равны (6 = 6). В разрядах десятых и сотых значения обеих дробей также являются равными. Чтобы иметь возможность сделать вывод, продолжаем сравнение, заменяя конечную десятичную дробь равной ей бесконечной с периодом 0 и получаем: 6,240000… . Дойдя до пятого знака после запятой, находим различие: 0 < 1, а значит: 6,240000… < 6,240012…. Тогда: 6,24 < 6,240012… .
Ответ: 6,24 < 6,240012… .
Сравнивая бесконечные десятичные дроби, также применяют поразрядное сравнение, которое окончится тогда, когда значения в каком-то разряде у заданных дробей окажутся различными.
Необходимо сравнить бесконечные десятичные дроби 7,41(15) и 7,42172… .
Решение
В заданных дробях – равные целые части, значения десятых также равны, а вот в разряде сотых мы видим различие: 1 < 2. Тогда: 7,41(15) < 7,42172… .
Ответ: 7,41(15) < 7,42172… .
Необходимо сравнить бесконечные периодические дроби 4,(13) и 4,(131).
Решение:
Понятными и верными являются равенства: 4,(13) = 4,131313… и 4,(133) = 4,131131… . Сравниваем целые части и поразрядно дробные, и на четвертом знаке после запятой фиксируем расхождение: 3 > 1. Тогда: 4,131313… > 4,131131…, а 4,(13) > 4,(131).
Ответ: 4,(13) > 4,(131).
Сравнение десятичных дробей с натуральными числами, обыкновенными дробями и смешанными числами
Чтобы получить результат сравнения десятичной дроби с натуральным числом, необходимо сравнить целую часть заданной дроби с заданным натуральным числом. При этом надо учесть, что периодические дроби с периодами 0 или 9 нужно предварительно представить в виде равных им конечных десятичных дробей.
Если целая часть заданной десятичной дроби меньше заданного натурального числа, то и вся дробь является меньшей по отношению к заданному натуральному числу. Если целая часть заданной дроби больше или равна заданному натуральному числу, то дробь больше заданного натурального числа.
Необходимо сравнить натуральное число 8 и десятичную дробь 9,3142… .
Решение:
Заданное натуральное число меньше, чем целая часть заданной десятичной дроби (8 < 9), а значит это число меньше заданной десятичной дроби.
Ответ: 8 < 9,3142… .
Необходимо сравнить натуральное число 5 и десятичную дробь 5,6.
Решение
Целая часть заданной дроби равна заданному натуральному числу, тогда, согласно вышеуказанному правилу, 5 < 5,6.
Ответ: 5 < 5,6.
Необходимо сравнить натуральное число 4 и периодическую десятичную дробь 3,(9).
Решение
Период заданной десятичной дроби равен 9, а значит перед сравнением необходимо заменить заданную десятичную дробь равной ей конечной или натуральным числом. В данном случае: 3,(9) = 4. Таким, образом исходные данные равны.
Ответ: 4 = 3,(9).
Чтобы произвести сравнение десятичной дроби с обыкновенной дробью или смешанным числом, необходимо:
– записать обыкновенную дробь или смешанное число в виде десятичной дроби, а затем выполнить сравнение десятичных дробей или
– записать десятичную дробь в виде обыкновенной дроби (за исключением бесконечной непериодической), а затем выполнить сравнение с заданной обыкновенной дробью или смешанным числом.
Необходимо сравнить десятичную дробь 0,34 и обыкновенную дробь 13.
Решение
Решим задачу двумя способами.
- Запишем заданную обыкновенную дробь 13 в виде равной ей периодической десятичной дроби: 0,33333… . Тогда становится необходимым произвести сравнение десятичных дробей 0,34 и 0,33333… . Получим: 0,34 > 0,33333…, а значит 0,34 > 13.
- Запишем заданную десятичную дробь 0,34 в виде равной ей обыкновенной. Т.е.: 0,34 = 34100 = 1750. Сравним обыкновенные дроби с разными знаменателями и получим: 1750 > 13. Таким образом, 0,34 > 13.
Ответ: 0,34 > 13.
Необходимо сравнить бесконечную непериодическую десятичную дробь 4,5693… и смешанное число 438.
Решение
Бесконечную непериодическую десятичную дробь нельзя представить в виде смешанного числа, но возможно перевести смешанное число в неправильную дробь, а ее, в свою очередь, записать в виде равной ей десятичной дроби. Тогда: 438= 358 и
Т.е.: 438= 358= 4,375. Проведем сравнение десятичных дробей: 4,5693… и 4,375 (4,5693… > 4,375) и получим: 4,5693… > 438.
Ответ: 4,5693… > 438.
