Фигура конус является объектом изучения стереометрии. Основными свойствами конуса являются наличие у него объема и площади поверхности, которые можно вычислить с помощью линейных параметров. Одним из них является диаметр конуса. В данной статье покажем, как этот диаметр можно рассчитать по другим известным характеристикам фигуры.
Круглый прямой конус
В общем случае конусом является фигура, построенная в результате движения отрезка вдоль некоторой кривой на плоскости, при этом второй конец отрезка зафиксирован в определенной точке пространства. Сам отрезок называется генератрисой, или образующей, а кривая – директрисой, или направляющей.
Согласно приведенному определению, кривая, которая ограничивает фигуру, может быть совершенно любого типа. Самыми известными из них являются парабола, гипербола, эллипс и окружность. В последнем случае говорят о круглом конусе.
Круглый конус может быть наклонным и прямым. Обе фигуры показаны ниже на рисунке.
Здесь r – радиус окружности, которая ограничивает основание фигуры. Буквой h обозначена высота, которая представляет опущенный на основание из вершины конуса перпендикуляр. Буквой a обозначена ось конуса. Видно, что в случае прямой фигуры его высота совпадает с осью, то есть пересекает окружность в ее центре.
Помимо радиуса r и высоты h, важным линейным параметром конуса является длина его образующей g. Как было сказано, образующая – это отрезок, соединяющий директрису с высотой. Для прямого круглого конуса все образующие равны друг другу.
Далее в статье, раскрывая вопрос касательно того, как найти диаметр конуса, будет рассматриваться только конус круглый и прямой.
Вычисление диаметра фигуры через линейные параметры и угол при основании
Описанную пространственную фигуру можно получить, если вращать вокруг любого катета прямоугольный треугольник. Этот факт демонстрирует рисунок ниже.
Из рисунка видно, что два катета AC и AB являются радиусом r и высотой h объемной фигуры соответственно. Генератриса g – это гипотенуза BC. Эти соответствия позволяют записать формулу диаметра конуса через известные g и h:
d = 2*√(g2 – h2)
При записи этой формулы использовалась теорема Пифагора, а также определение диаметра, который в два раза больше радиуса основания конуса.
Если известен угол φ между основанием и любой из образующих g фигуры, тогда диаметр конуса можно определить по следующим формулам:
d = 2*g*cos(φ);
d = 2*h/tg(φ)
Оба равенства являются следствием применения определения тригонометрических функций тангенса и косинуса.
Вычисление диаметра через площадь поверхности и генератрису
Поверхность рассматриваемого конуса образована конической поверхностью и круглым основанием. Развертка конуса показана ниже.
Общая площадь развертки определяется по следующей формуле:
S = pi*r2 + pi*r*g
Если известна площадь S и генератриса g, тогда это уравнение позволяет вычислить радиус фигуры, а значит, и ее диаметр. Заметим, что речь идет об уравнении второго порядка относительно радиуса r. Решать его следует с использованием дискриминанта. При решении, как правило, получаются два корня, один из которых отрицательный. Он должен быть отброшен, ввиду его не физического значения.
С использованием описанной методики в конце статьи будет решена задача, и будет получен ответ на вопрос о том, чему равен диаметр конуса.
Определение диаметра через объем и высоту
Теперь покажем, как найти диаметр конуса, зная его объем V и высоту h. Для этого необходимо вспомнить, что объем конуса, как и объем любой пирамиды, можно определить, пользуясь следующим равенством:
V = 1/3*S*h
Здесь S – площадь основания. Поскольку площадь основания в рассматриваемом случае является площадью круга, то это выражение можно переписать в таком виде:
V = 1/3*pi*r2*h
Остается выразить отсюда радиус и умножить его в два раза, и мы получим ответ на вопрос о том, как найти диаметр конуса через величины V и h. Имеем:
r = √(3*V/(pi*h));
d = 2*r = 2*√(3*V/(pi*h))
Заметим, что в правой части получается размерность длины. Это доказывает правильность полученной формулы.
Все записанные в статье формулы для диаметра d фигуры также являются справедливыми для радиуса, который будет в два раза меньше диаметра.
Задача на определение диаметра через известную площадь конуса и его образующую
Дан конус, площадь поверхности которого составляет 150 см2. Генератриса равна 14 см. Чему равен диаметр конуса?
Для получения ответа на поставленный вопрос используем описанную в статье методику. Сначала выпишем соответствующее уравнение:
S = pi*r2 + pi*r*g =>
r2 + 14*r – 150/3,14 = 0
При получении последнего равенства мы разделили левую и правую его части на число Пи. Рассчитываем дискриминант D. Имеем:
D = 142 – 4*1*(-150/3,14) = 387,0828
Полученный дискриминант приведен с точностью до 0,0001. Формула для корней уравнения r имеет следующий вид:
r = (-14±√D)/2
Очевидно, что один из корней будет отрицательным. Его не будем вычислять. Определим лишь искомый положительный радиус фигуры:
r = (-14+√387,0828)/2 = 2,837 см
Чтобы найти диаметр конуса, остается умножить это значение на два и записать ответ: d = 5,674 см.
В конце отметим, что, зная два любых параметра круглого конуса прямого, можно определить любую его характеристику, включая объем и площадь поверхности.
Как рассчитать высоту и диаметр конуса, исходя из диаметра заготовки?
Rustam
Просветленный
(33665),
на голосовании
1 год назад
Например, изначальный диаметр окружности 500 мм, его “порезали” до центра, и свернули в конус.
Как рассчитать исходный (больший) диаметр заготовки, исходя из параметров предполагаемого конуса?
Высота конуса около 120 мм, диаметр 400-450 мм.
Если можно формулы….
Голосование за лучший ответ
Unit Converter
Enter the larger diameter, smaller diameter, and length of taper into the calculator. The calculator will evaluate and display the total taper and taper angle. This calculator can also determine any of the variables in the below formulas if the other values are known.
- Inscribe Angle Calculator
- Reference Angle Calculator
- Angle of Depression Calculator
Taper Angle Formula
The following equations are used to calculate the overall taper and taper angle.
T = (dl – ds) / L
TA = atan(0.5 x T)
- Where T is the taper
- dl is the larger diameter
- ds is the smaller diameter
- TA is the taper angle
- L is the length
To calculate the taper length, subtract the smaller diameter from the larger diameter, then divide by the overall length.
Taper Definition
A taper is typically referred to as a section of a pipe that reduces in overall diameter over a certain length. That reduction in size is the taper, and the rate at which it reduces over the length is considered the taper angle.
Taper Example
How to calculate a taper?
The first step in determining a taper is to determine the larger diameter of the section of a pipe.
For this example problem, the larger diameter is found to be 10 inches.
Next, the small diameter of the taper must be measured.
In this case, the small diameter is found to be 5 inches.
Next, determine the total length of the section from the small diameter to the larger diameter.
In this problem, the total length is found to be 3 inches.
Finally, calculate the taper using the formula above:
T = (dl – ds) / L
T = (10-5) / 3
T = 1.667 inches of taper
FAQ
What is a taper?
A taper is a section of a pipe that reduces in diameter over its length.
Конусность – это отношение разности диаметров к длине(высоте) конуса. Например,
конусноть 1:10 означает, что D – d = 1, а L(h) = 10. А конусноть 7:24 означает, что D – d = 7, а L(h) = 24.
C = (D-d)/L = 1:10
C = (D-d)/L = 7:24
Конус – геометрическое тело, которое получается путем вращением прямой линии (образующей конуса),
расположенной под углом к оси вращения.
Конусность измерить нельзя. Измеряют угол, который соответсвует конкретной конусности. Например,
угол конусности 1 : 10 будет равен 5° 43′ 29.3″ (5 градусам 43 минутам 29.3 секундам). 1 угол содержит 60 минут, а 1 минута содержит 60 секунд.
На производстве углы измеряют инструментом, который называется угломер.
С помощью калькулятора на данной странице вы сможете рассчитать любую конусность.
Часто это бывает нужно, когда на чертеже не хватает размеров, а чертеж не в векторном формате.
Так же, например, необходима бывает индентификация конусности на существующем изделии (штифт, инструмент и др.).
Нормальные конусности представлены в ГОСТ 8593-81.
Инструментальные конусности представлены в
ГОСТ 25557-2006. Среди инструментальных конусов
выделяются конуса Морзе. В российских стандартах обозначаются КМ0-КМ7 (КМ7 не рекомендован к применению). В немецких стандартах
МК0-МК7. В английских стандартах МТ0-МТ7.
Значок конуса обязательно должен быть направлен в сторону уменьшения диаметра.
| Конусность | Угол конуса | Угол уклона |
|---|---|---|
| 1 : 500 | 0° 6′ 52.5″ | 0° 3′ 25.25″ |
| 1 : 200 | 0° 17′ 11.3″ | 0° 8′ 35.65″ |
| 1 : 100 | 0° 34′ 22.6″ | 0° 17′ 11.3″ |
| 1 : 50 | 1° 8′ 45.2″ | 0° 34′ 22.6″ |
| 1 : 30 | 1° 54′ 34.9″ | 0° 57′ 17.45″ |
| 1 : 20 | 2° 51′ 51.1″ | 1° 25′ 55.55″ |
| 1 : 15 | 3° 49′ 5.9″ | 1° 54′ 32.95″ |
| 1 : 12 | 4° 46′ 18.8″ | 2° 23′ 9.4″ |
| 1 : 10 | 5° 43′ 29.3″ | 2° 51′ 44.65″ |
| 1 : 8 | 7° 9′ 9.6″ | 3° 34′ 34.8″ |
| 1 : 7 | 8° 10′ 16.4″ | 4° 5′ 8.2″ |
| 1 : 6 | 9° 31′ 38.2″ | 4° 45′ 49.1″ |
| 1 : 5 | 11° 25′ 16.3″ | 5° 42′ 38.15″ |
| 1 : 4 | 14° 15′ 0.1″ | 7° 7′ 30.05″ |
| 1 : 3 | 18° 55′ 28.7″ | 9° 27′ 44.35″ |
| 1 : 1.866025 | 30° 0′ 0″ | 15° 0′ 0″ |
| 1 : 1.207107 | 45° 0′ 0″ | 22° 30′ 0″ |
| 1 : 0.866025 | 60° 0′ 0″ | 30° 0′ 0″ |
| 1 : 0.651613 | 75° 0′ 0″ | 37° 30′ 0″ |
| 1 : 0.500000 | 90° 0′ 0″ | 45° 0′ 0″ |
| 1 : 0.288675 | 120° 0′ 0″ | 60° 0′ 0″ |
| Метрический конус | ||
| 1 : 20 | 2° 51′ 51.1″ | 1° 25′ 55.55″ |
| Конус Морзе №0 | ||
| 1 : 19.212 | 1° 29′ 27″ | 0° 44′ 43.5″ |
| Конус Морзе №1 | ||
| 1 : 20.047 | 1° 25′ 43″ | 0° 42′ 51.5″ |
| Конус Морзе №2 | ||
| 1 : 20.020 | 1° 25′ 50″ | 0° 42′ 55″ |
| Конус Морзе №3 | ||
| 1 : 19.992 | 1° 26′ 16″ | 0° 43′ 8″ |
| Конус Морзе №4 | ||
| 1 : 19.254 | 1° 29′ 15″ | 0° 44′ 37.5″ |
| Конус Морзе №5 | ||
| 1 : 19.002 | 1° 30′ 26″ | 0° 45′ 13″ |
| Конус Морзе №6 | ||
| 1 : 19.18 | 1° 29′ 36″ | 0° 44′ 48″ |
| Конусность 7:24 | ||
| 1 : 3.42857143 | 16° 35′ 39″ | 8° 17′ 49″ |
| Конусность резьб конических | ||
| 1 : 16 | 3° 34′ 48″ | 1° 47′ 24″ |
Конус 1:500 и 1:200 применяют для изготовления крепежных деталей для неразъемных
соединений, подвергающихся вибрациям и ударной переменной нагрузке, конических оправок.
Конус 1:100 применяют для изготовления крепежных деталей для неразъемных
соединений, подвергающихся вибрациям и спокойной переменной нагрузке, клиновых шпонок, конических оправок.
Конус 1:50 применяют для изготовления конических штифтов, установочных шпилек,
насадных рукояток.
Конус 1:30 применяют для изготовления конусов шеек шпинделей.
Конус 1:20 применяют для изготовления метрических конусов в шпинделях станков, оправок.
Конус 1:16 применяют для изготовления конических резьбовых соединений метрических и дюймовых.
Конус 1:15 применяют для изготовления конических соединений деталей при осевых нагрузках,
соединений поршней со штоками.
Конус 1:12 применяют для изготовления конических закрепительных втолок шарико- и
роликоподшипников.
Конус 1:10 применяют для изготовления конических соединений деталей при нагрузках,
перпендикулярных и параллельных оси, концов валов электрических и других машин, регулируемых
втулок подшипников шпинделей.
Конус 1:7 применяют для кранов в арматуростроении.
Конус 1:5 и 1:3 применяют для изготовления легкоразъемных конических
соединений при нагрузках, перпендикулярных оси, конических фрикционных муфт.
Конус 1:1.5 применяют для изготовления тяжелых винтовых трубных соединений с коническим
уплотнением.
Конус 30° применяют для изготовления фрикционных муфт приводов, зажимных цанг,
головок шинных болтов.
Конус 60° применяют для изготовления центровых отверстий.
Конус 75° применяют для изготовления внутренних конусов нажимных гаек в соединениях труб
высокого давления, наружных центров инструментов диаметром до 10 мм.
Конус 90° применяют для изготовления концов обрабатываемых валов и валиков,
конусов вентилей и клапанов, центровых отверстий для тяжелых работ, потайных головок заклепок диаметром
1 – 10 мм.
Конус 100° применяют для изготовления винтов по дереву.
Конус 120° применяют для изготовления потайных головок заклепок диаметром
2 – 5 мм, внутренних фаскок резьбовых отверстий, конусов под набивку сальников, дроссельных клапанов.
Главная
Расчёт параметров усеченного конуса
Параметры усечённого конуса:
Можно использовать для расчета классического конуса – для этого меньший диаметр установить “0”. Можно использовать для расчета трубы – оба диаметра выставляются одинаковыми.
Важно d2 должен быть больше d1, иначе углы и радиусы развёртки будут со знаком ” – “. В качестве разделителей разряда использовать не запятую, а точку.
d1 – меньший диаметр конуса, мм: , Длина окружности d1, мм:
d2 – больший диаметр конуса, мм: , Длина окружности d2, мм:
h – высота конуса, мм:
s – толщина развёртки, мм:
ρ – плотность материала, кг/м3:
Длина образующей конуса L, мм:
Объём усеченного конуса, мм 3: , м 3: ,
л.
Площадь развёртки усеченного конуса, мм 2: , м 2:
Сумма длин всех сторон развёртки, мм:
Радиус развертки больший R, мм :
Радиус развертки меньший r, мм :
Угол сектора развертки α, o :
Масса заготовки из листового материала, кг:
28.03.2022
