Как найти большую основу равнобедренной трапеции

Найти большее основание трапеции. Здравствуйте! В той статье разберём группу задач связанных с площадью трапеции. Часть задачек решается устно, другая часть нет, но всё же быстро. Перед решением стоит посмотреть статью «Углы равнобедренной трапеции», и информацию о выводе формулы площади. Сама формула:

Рассмотрим задачи:

27627. Основания трапеции равны 8 и 34, площадь равна 168. Найдите ее высоту.

Площадь трапеции (формула):

Нам известны основания и площадь, можем записать:

Ответ: 8

27628. Основание трапеции равно 13, высота равна 5, а площадь равна 50. Найдите второе основание трапеции.

Формула площади при данных обозначениях вершин:

Нам известны основание, площадь и высота, можем записать:

Ответ: 7

*Заметьте, что в условии не сказано какое именно дано основание меньшее и большее, да это и не важно для процесса вычисления.

27630. Средняя линия трапеции равна 12, площадь равна 96. Найдите высоту трапеции.

Формула площади при данных обозначениях вершин:

Нам известны средняя линя и площадь, можем записать:

Ответ: 8

27632. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите периметр трапеции.

Для того, что бы найти периметр нам необходимо найти чему равна боковая сторона. Как известно, у равнобедренной трапеции боковые стороны равны.

Используя данные в условии мы можем вычислить высоту:

Опустим  высоту из точки D к основанию АВ и точку пересечения обозначим как Е:

Теперь мы можем вычислить отрезок AH и по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ADH найти гипотенузу AD (боковую сторону трапеции):

По теореме Пифагора:

Таким образом периметр будет равен 7+13+5+5 = 30

Ответ: 30

27635. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.

Для вычисления площади нам необходимо найти высоту. Выполним дополнительные построения:

Нижнее основание будет разбито на отрезки 6, 14 и 6. По теореме Пифагора мы можем вычислить высоту:

Таким образом площадь будет равна:

Ответ: 160

27636. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите боковую сторону трапеции.

Задача обратная предыдущей. Из данных  в условии мы можем вычислить высоту:

Теперь выполним дополнительные построения (опустим  высоты):

Большее основание разбивается ими на отрезки 3, 7 и 3. По теореме Пифагора можем вычислить боковую сторону:

Ответ: 5

27637. Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150⁰. Найдите площадь трапеции.

Для вычисления площади необходимо найти высоту. Это мы можем сделать рассмотрев прямоугольный треугольник АВН:

Высоту нашли, вычисляем площадь:

Ответ: 42

27593. Основания трапеции равны 1 и 3, высота  — 1. Найдите площадь трапеции.

Посмотреть решение

27594. Средняя линия и высота трапеции равны соответственно 3 и 2. Найдите площадь трапеции.

Посмотреть решение

27629. Высота трапеции равна 10, площадь равна 150. Найдите среднюю линию трапеции.

Посмотреть решение

27631. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее периметр равен 60. Найдите площадь трапеции.

Посмотреть решение

27633. Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 6 и 2, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45⁰.

Посмотреть решение

27634. Основания прямоугольной трапеции равны 12 и 4. Ее площадь равна 64. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

27638. Основания трапеции равны 27 и 9, боковая сторона равна 8. Площадь трапеции равна 72. Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ выразите в градусах.

Посмотреть решение

На этом всё! Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Расскажите о статье и сайте в социальных сетях.

Трапеция — это выпуклый четырехугольник с двумя параллельными основами и двумя непараллельными
боковыми сторонами.

Иногда фигура определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна,
поэтому параллелограмм и прямоугольник являются частными случаями трапеции. Также это
четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, а остальные стороны не
равны между собой.
Параллельные стороны называются основами, а остальные боковыми.

Вычисление стороны необходимо для нахождения периметра, площади трапеции, ее диагоналей и других
значимых параметров.

Длина основания через среднюю линию и известное основание

Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон фигуры. Через её значение
вычисляется одна из основ. Нужно умножить ее на два и вычесть известную:

a = 2m – b

Например, средняя линия MN равна 6, а основание а – 9. Соответственно, значения, подставленные в
формулу, показывают, что b = 2*6 – 9 = 3.

Нижнее основание через верхнее основание, высоту и углы при нижнем основании

Высота h или BK – перпендикуляр, проведенный от одной основы к другой. Высота проводится в любой их
точке, но удобнее всего это делать из вершины углов при меньшей основе. Чтобы найти нижнее
основание, надо к верхнему прибавить произведение высоты на сумму котангенсов углов при нижнем:

a = b + h*(ctga + ctgb)

Дано верхнее основание 10, высота 6 и углы 30 и 45. По формуле а = 10 + 6*(3+1) = 10 + 63 + 6 = 16+63.
Для равнобедренного четырёхугольника выведены две формулы. В первой (a = 2S/h – b) основа выражена с
помощью формулы площади. Пример: Площадь равнобедренной трапеции ABCD = 18, высота = 6, а AD = 5.
Найти BC. BC = 2*18/6 – 5 = 6 – 5 = 1

Второе выражение сформулировано следующим образом: (a = b + 2h*ctga). Высота АН в трапеции ADEF =
10, DE = 4, а DAF = 45 градусам. Найти AF: AF = 4 + 10*2*1 = 24

Верхнее основание через нижнее основание, высоту и углы при нижнем основании

Чтобы найти верхнюю основу, надо из нижней вычесть произведение высоты на сумму котангенсов углов при
ней:

b = a – h*(ctg α + ctg β)

Дана трапеция с нижним основанием 15, высотой 8 и углами в 45 градусов. По формуле а = 15 + 8*(1+1) =
15 + 16 = 31

Формулы для равнобедренного четырёхугольника: b = 2S/h – a и b = a – 2h*ctga.

• Площадь трапеции KLMN = 44, KL=MN, высота равна 8, KN = 5. Найти LM: LM = 44*2/8 – 5 = 6
• Высота трапеции DEFG = 15, DG= 5, а EDG = 45 градусам. Найти EF: EF = 5 + 15*2*1 = 35

Нижнее основание через боковые стороны, верхнее основание и углы при нижнем основании

Для нахождения основы а нужно к основе b прибавить произведение одной и другой стороны и косинусов
углов при них

a = b + c * cos α + d * cos β

Дана равнобокая трапеция с верхним основанием 6, боковыми сторонами 5 и 11 и углами в 45 градусов.
Найти нижнее основание: а = 6 + 5*2/2 + 11*2/2 = 6 + 162/2 = 6 + 82

Отдельно для подобного типа фигур было выведено два выражения: a = (d1^2 – c^2)/b и a = b +
2c*cosa.

• трапеции ABCD AB = CD = 8, диагональ AC = 12, а BC = 4. Вычислить AD: AD = (12*12 – 8*8)/4
  = (144 – 64)/4 = 20
• В трапеции KLMN KL = MN = 4, LM = 7, а LKN равен 30 градусам. Вычислить KN: KN = 7 +
  4*2*3/2 = 7 + 43

Верхнее основание через боковые стороны, нижнее основание и углы при нем

Для нахождения основы b нужно из основы а вычесть произведение одной и другой боковой стороны и углов
при них

b = a – c * cos α – d * cos β

Дана трапеция с нижним основанием 27, боковыми сторонами 20 и 14 и углами в 30 и 60 градусов. Найти
верхнее основание: b = 27 — 20*3/2 — 14*1/2 = 27 — 103 — 7 = 20 —
103. Формулы для равнобедренного типа: b = (d1^2 — c^2)/a и b = a — 2c*cosa.

• В трапеции DEFG DE и FG = 11, диагональ АС = 13, а EF = 12. Вычислить DG: DG = (13*13 –
  11*11)/12= (169 – 121)/12 = 4
• Боковые стороны трапеции BCDE BC и DE = 25, BE = 10, а CBE равен 60 градусам. Вычислить CD:
  CD = 25 – 10*2*1/2 = 15

Боковая сторона через высоту и угол при нижнем основании

Чтобы найти боковую сторону, надо разделить высоту на синус угла при ней

d = h / sin α

Дана трапеция с высотой 12 и углами в 30 и 60 градусов. Найти боковые стороны: c = 12/0,5 =
24, d = 12/3/2 = 243

Для прямоугольного типа формулы несколько отличаются. Самая простая из них связывает высоту и меньшую
боковую сторону: c = h.
Для нее существует еще несколько формул: с = d*sina; c = (a – b)*tga; c
= (d^2 – (a – b)^2)

• В прямоугольной трапеции CDEF сторона EF равна 22, а прилежащий угол = 45. Найти CD. CD =
  22*2/2 = 112
• Прямоугольная трапеция MNOP имеет основания MP и NO, равные 32 и 19 соответственно. NMP равен 60
  градусам. Найти MP: MP = (32 – 19)*3 = 133
• В прямоугольной трапеции ABCD AD и BC равны 35 и 15 соответственно. Диагональ АС = 26. Найти AB.
  AB = (26^2 – (35 – 15)^2) = 676 – 400 = 276 = 269

Первая вытекает из прямоугольного треугольника и свидетельствует о том, что отношение катета к
гипотенузе равно синусу противолежащего угла. В этом треугольнике второй катет равен разности двух
оснований. Отсюда возникает утверждение, приравнивающее тангенс угла к отношению катетов. Третья
формула выведена на основании теоремы Пифагора.

Для второй боковой стороны выведено и записано три выражения: d = (a — b)/cosa; d = c/sina; d =
(c^2 — (a — b)^2). Первое и второе получаются из соотношения сторон в прямоугольном
треугольнике, а третье выводится из теоремы Пифагора.

• В прямоугольной трапеции KLMN KN = 28, LM = 13 а прилежащий угол = 30. Найти KL: KL = (28 –
  13)/3/2 = 103
• В прямоугольной трапеции EFGH EF равна 45. FEH равен 30 градусам. Найти GH: GH = 45/0,5 =
  90
• В прямоугольной трапеции NOPQ NQ и OP =.36 и 17. Диагональ равна 29. Найти NO: NO = (29^2 –
  (36 – 17)^2) = 841 – 361= 480 = 430

Для равнобокой трапеции существуют формулы c = d1^2 – ab; c = (a – b)/2cosa; c = S/m*sina; c =
2S/(a+b)*sina.

• В трапеции LMNO LM = NO. LO = 16, MN = 6, диагональ равна 10. Найти LM: LM = 10^2 – 16*6 =
  100 – 96 = 4
• Трапеция ABCD – равнобокая, AB = CD. AD = 18, BC = 4, а прилежащий угол равен 45 градусам. Найти
  AB: AB = (18 – 4)/2/2 = 14/2/2 = 14/2
• В трапеции BCDE BC=DE. Площадь фигуры равна 48, BE = 17, CD = 7, а CBE равен 30 градусам.
  Вычислить BC: m = (17 – 7)/2 = 5, BC = 48/5*1/2 = 96/5 = 19,2
• Площадь равнобедренной трапеции KLMN = 90, основания KN и LM = 32 и 18 соответственно, а LKN =
  60 градусов. Вычислить KL: KL = 2*90/(32 + 18)*3/2 = 360/503 = 129600/7500 = 17,28

Виды трапеций

Существуют следующие виды трапеций:

• Равнобедренная трапеция — фигура, у которой боковые стороны и углы при основании равны.
  Диагонали также равны. Треугольники, образованные диагоналями и основой, являются
  равнобедренными. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то площадь равна квадрату высоты. Если
  разделить обе основы пополам и повести через эти точки линию, то она будет осью геометрической
  фигуры. Отрезки, последовательно соединяющие середины смежных сторон, образуют ромб.
• Прямоугольная трапеция — фигура, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
  и равна высоте. Два угла будут равны 90 градусам, и они всегда принадлежат смежным вершинам, а
  другие всегда острый и тупой, их сумма всегда будет равна 180 градусам. Каждая диагональ
  образует с ее меньшей боковой стороной прямоугольный треугольник. А высота, которая проведена из
  вершины с тупым углом, делит фигуру на две. Одна из них прямоугольник, другая прямоугольный
  треугольник.
• Разносторонняя трапеция — фигура, боковые стороны которой не равны и углы при основании не
  являются прямыми. Ее диагонали делят фигуру на четыре треугольника, два из которых подобны, а
  остальные — равновелики, то есть имеют одинаковые площади. Сумма углов при боковой стороне 180
  градусов.

Свойства трапеции

1. Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.
2. Любая биссектриса, выведенная из угла четырёхугольника, отсекает на основании (продолжении)
   отрезок с длиной боковой стороны.
3. Треугольники AOD и COD, образованные отрезками диагоналей и основами, подобны.
   Коэффициент
   подобия – k = AD/BC.
   Отношение площадей треугольников — k^2.
4. Треугольники ABO и DCO, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами, имеют одинаковую
   площадь.
5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований равняется сумме её боковых сторон.
6. Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений
   боковых сторон лежат на одной прямой.
7. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равняется половине разности основ и лежит на средней
   линии.

Как найти основание равнобедренной трапеции

Трапецией называют четырехугольник, основания которого лежат на двух параллельных прямых, при этом две другие стороны параллельными не являются. Нахождение основания равнобедренной трапеции требуется как при сдаче теории и решении задач в учебных заведениях, так и в ряде профессий (инженерных, архитектурных, дизайнерских).

Инструкция

У равнобедренной (или равнобокой) трапеции непараллельные стороны как и углы, которые образуются при пересечении нижнего основания, равны.

Трапеция имеет два основания, и чтобы их найти, нужно сначала обозначить фигуру. Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. При этом известны все параметры, кроме оснований. Боковая сторона AB=CD=a, высота BH=h и площадь равна S.

Для решения задачи об основании трапеции проще всего будет составить систему уравнений, чтобы через взаимосвязанные величины найти нужные основания.

Обозначьте отрезок BC за x, а AD за y, чтобы в дальнейшем было удобно обращаться с формулами и понимать их. Если не сделать этого сразу, можно запутаться.

Выпишите все формулы, которые пригодятся при решении поставленной задачи, используя известные данные. Формула площади равнобедренной трапеции: S=((AD+BC)*h)/2. Теорема Пифагора: a*a = h*h +AH*AH .

Вспомните свойство равнобедренной трапеции: высоты, выходящие из вершины трапеции, отсекают равные отрезки на большом основании. Отсюда следует, что два основания можно связать по формуле, вытекающей из этого свойства: AD=BC+2AH или y=x+2AH

Найдите катет AH, следуя теореме Пифагора, которую вы уже записали. Пусть он будет равен некому числу k. Тогда формула, вытекающая из свойства равнобедренной трапеции будет выглядеть так: y=x+2k.

Выразите через площадь трапеции неизвестную величину. У вас должно получиться: AD=2*S/h-BC или y=2*S/h-x.

После этого подставьте данные числовые значения в полученную систему уравнений и решите ее. Решение любой системы уравнений можно найти автоматически в программе MathCAD.

Полезный совет

Старайтесь всегда при решении задач максимально упростить обозначения и формулы. Так решение найдется гораздо быстрее.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?