Как найти большую полуось орбиты через период

Сегодня речь пойдет о конфигурации планет.

Конфигурация — характерное взаимное положение Солнца, планет, других небесных тел Солнечной системы на небесной сфере.

Будем называть планеты нижними, если они расположены ближе к Солнцу, чем Земля. Остальные планеты будут верхними – они расположены дальше нашей планеты от Солнца.

Планета может расположиться так, что Земля, Солнце и указанная планета находятся на одной линии. При этом может оказаться, что Солнце расположилось между Землей и рассматриваемой планетой. Такое расположение будем называть верхним соединением. Если же планета оказалась между Землей и Солнцем – то это уже нижнее соединение. Также может быть, что Земля находится между верхней планетой и Солнцем – тогда речь пойдет о противостоянии, или оппозиции.

Элонгация — одна из конфигураций планет, такое положение планеты, при котором её угловое расстояние от Солнца максимально для земного наблюдателя. Различают восточную и западную элонгацию (планета находится, соответственно, к востоку и к западу от Солнца). Об элонгации имеет смысл говорить только для Венеры и Меркурия; наилучшие условия для наблюдения этих планет наступают именно вблизи элонгаций. Из-за того, что орбиты планет не вполне круговые, угловое расстояние от Солнца в момент элонгации может быть разным, для Меркурия — от до , для Венеры — около .

Квадратура — в астрономии такая конфигурация Луны или верхней планеты (то есть планеты, более удалённой от Солнца, чем Земля) относительно Земли и Солнца, когда угол планета-Земля-Солнце равен . Если светило при этом находится к востоку от Солнца, конфигурация называется восточной квадратурой, к западу — западной квадратурой.

Сидерический период – это время совершения полного оборота какого-либо тела (планеты, кометы, астероида или искусственного спутника) вокруг главного тела (Солнца или др. планеты для спутника планеты) относительно неподвижных звёзд. Сидерический период также называют годом. Например, Меркурианский год, Юпитерианский год, и т. п.

Синодический же период – это время наблюдения с Земли совершения полного оборота планеты вокруг Солнца или Луны (искусственного спутника) вокруг Земли относительно Солнца ; промежуток времени между двумя последовательными соединениями Луны или какой-нибудь планеты Солнечной системы с Солнцем при наблюдении за ними с Земли. При этом соединения планет с Солнцем должны происходить в фиксированном линейном порядке, что существенно для внутренних планет: например, это будут последовательные верхние соединения, когда планета проходит за Солнцем.

Будем помнить также и о том, что орбиты планет не круговые. Это эллипсы, причем Солнце находится в одном из главных фокусов орбиты планеты.

Перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты планеты или иного небесного тела Солнечной системы.

Антонимом перигелия является афелий (апогелий) — наиболее удалённая от Солнца точка орбиты. Воображаемую линию между афелием и перигелием называют линией апсид.

Названия апоцентров меняются: эти точки получают конкретные наименования но названию центрального тела, и некоторые из них приведены в нижеследующей таблице:

Задача 9.

Центральное тело	Греческое название	Наименование перицентра	Наименование апоцентра
Солнце	Гелиос	перигелий	афелий
Земля	Гея	перигей	апогей
Венера	Геспер	перигесперий	апогесперий
Марс	Арес	периарий	апоарий
Сатурн	Кронос	перикроний	апокроний
Луна	Селена	периселений	апоселений

Теперь обратимся к математике и разберемся, что же такое эксцентрисистет. Будем говорить об эксцентриситете эллипса, поскольку нас пока больше интересуют орбиты планет.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение рас­стояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси; обозначив эксцентриситет буквой  , получаем:

Так как , то , т. е. эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы. Заметим, что , поэтому

Или

И

Следовательно, эксцентриситет определяется отношением осей эллипса, а отношение осей, в свою очередь, опреде­ляется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше , тем меньше, следовательно, отношение  ; значит, чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут. В случае окружности  и  .

Радиус перигелия рассчитывается по формуле:

где:

 — большая полуось;

 — эксцентриситет орбиты.

Скорость в перигелии рассчитывается по формуле:

где:

 — гравитационная постоянная;

 — масса Солнца;

 — большая полуось;

 — эксцентриситет орбиты.

Афелийное расстояние рассчитывается по формуле

Следовательно, большая полуось орбиты планеты является средним  ее расстоянием от Солнца

Cидерические периоды обращения и двух планет связаны с их средними расстояниями и от Солнца третьим законом Кеплера

Если  дается в годах   и   — в   астрономических единицах, то, принимая для Земли год и а. е., получим для любой планеты

Средняя орбитальная, или круговая, скорость планеты

всегда выражается в км/с. Так как обычно задается в астрономических единицах (1 а. е.= км) и T— в годах (1 год= с), то

Подставляя , получим:

Где скорость планеты теперь выражена в км/с.

Средняя продолжительность синодического периода обращения планеты связана с сидерическим периодом уравнением синодического движения:  для  верхних планет

для нижних планет

где — сидерический период обращения Земли, равный 1 звездному году.

Задача 1.

Найти перигельное и афелийное расстояния, сидерический и синодический периоды обращения, а также круговую скорость малой планеты Поэзии, если большая полуось и эксцентриситет ее орбиты равны 3,12 а. е. и 0,144.

Перигельное расстояние, а.е.

афелийное расстояние, а.е.

Сидерический период обращения

а так как а. е., то планета верхняя и поэтому ее синодический период обращения вычисляется по формуле

при году:

Круговая скорость, км/с:

Задача 2.

Вычислить перигельное и афелийное расстояния планет Сатурна и Нептуна, если их средние расстояния от Солнца равны 9,54 а. е. и 30,07 а. е., а эксцентриситеты орбит— 0,054 и 0,008.

Перигельное расстояние Сатурна, а.е.

афелийное расстояние Сатурна, а.е.

Перигельное расстояние Нептуна, а.е.

афелийное расстояние Нептуна, а.е.

Ответ: а.е., а.е., а.е., а.е.

Задача 3.

Какая из двух планет — Нептун (а = 30,07 а.е., ) или Плутон (а = 39,52 а. е., )    —     подходит ближе к Солнцу? В скобках даны большая полуось и эксцентриситет орбиты  планеты.

Нужно сравнить перигельные расстояния, причем для Нептуна мы его уже вычислили: а.е. Вычислим для Плутона:

Таким образом, Плутон ближе подходит к Солнцу.

Задача 4.

Найти эксцентриситет орбиты и перигельное расстояние планеты Марса и астероида Адониса, если у Марса большая полуось орбиты равна 1,52 а. е. и наибольшее расстояние от Солнца 1,66 а. е., а у Адониса соответственно 1,97 а. е. и 3,50 а. е. Указать, какая из этих двух планет подходит ближе к Солнцу.

Опять определим перигельные расстояния. Наибольшие расстояния от Солнца нам известны – афелийные. Тогда для Марса

Следовательно, перигельное расстояние Марса равно

Для Адониса

Следовательно, перигельное расстояние Адониса равно

Таким образом, Адонис подходит ближе к Солнцу.

Ответ: , а.е. , , а.е.

Задача 5.

На каком среднем и наибольшем гелиоцентрическом расстоянии движутся малые планеты Икар и Симеиза, если у Икара перигельное расстояние и эксцентриситет орбиты равны 0,187 а. е. и 0,827, а у Симеизы — 3,219 а. е. и 0,181? У какой из этих планет радиус-вектор изменяется в больших пределах, абсолютно и относительно?

Так как афелийное расстояние у Симеизы больше, то радиус-вектор ее длиннее (абсолютно). Но, так как , то относительно радиус-вектор Икара больше изменяется.

Задача 6.

Вычислить периоды обращения вокруг Солнца планеты Венеры и астероида Европы, у которых средние гелиоцентрические расстояния соответственно равны 0,723 а. е. и 3,10 а. е.

Сидерический период Венеры равен:

Или 224,5 суток.

Сидерический период астероида Европы равен:

Ответ: сидерический период Венеры равен 0,615 года или 224,5 суток, а у Европы 5,458 года.

Задача 7.

Определить периоды обращения вокруг Солнца малой планеты Аполлона и кометы Икейи, если обе они проходят вблизи Солнца почти на одинаковых расстояниях, равных у Аполлона 0,645 а. е., а у кометы 0,633 а. е., но их орбиты имеют эксцентриситеты 0,566 и 0,9933 соответственно.

Определим большие полуоси орбит Аполлона и кометы Икейи:

Тогда сидерический период Аполлона

Тогда сидерический период Икейи

Ответ: года, лет.

Задача 8.

Первый спутник планеты Юпитера — Ио обращается вокруг нее за 42ч28м на среднем расстоянии в 421 800 км. С какими периодами обращаются вокруг Юпитера его спутники Европа и Ганимед, большие полуоси орбит которых равны 671,1 тыс. км и 1070 тыс. км?

Для спутников справедлив закон Кеплера. Применим его для Европы:

Период 42ч28м= ч.

А теперь то же самое для Ганимеда:

Ответ: Период Европы 85,23 ч, или 3^д 55, период Ганимеда 171,59 ч, или 7^д 15

Задача 9.

Найти средние расстояние от Сатурна его спутников Мимаса и Реи, обращающихся вокруг планеты с периодами в 22ч37м и 4^д,518. Самый крупный спутник планеты — Титан, обращается за 15^д,945 по орбите с большой полуосью в 1221 тыс. км.

Переведем периоды в часы: период Мимаса 22,62 ч, период Реи 108,43 ч, период Титана 382, 68 ч.

Применяем закон Кеплера для Титана и Мимаса:

То же для Реи:

Ответ: большая полуось Мимаса 185,27 тыс. км, Реи 526,7 тыс. км.

Как найти большую полуось орбиты Земли

Орбита Земли вокруг Солнца имеет форму эллипса, где Солнце находится в одном из фокусов. В этом эллипсе большая полуось является расстоянием от Солнца до наиболее удаленной точки орбиты Земли, а малая полуось — расстоянием от Солнца до наименее удаленной точки орбиты (перигелия). Найти большую полуось орбиты Земли может быть полезно для различных научных и инженерных приложений, таких как спутники и штатное планирование космических миссий.

Используйте законы Кеплера

Известный немецкий астроном Йоханнес Кеплер в конце XVI — начале XVII веков разработал законы движения планет вокруг Солнца. Он сформулировал три закона, которые описывают движение всех планет в нашей Солнечной системе. Первый закон гласит, что орбиты планет являются эллипсами с Солнцем в одном из фокусов. Второй закон утверждает, что скорость планеты на орбите изменяется с позицией, приближаясь к Солнцу, скорость увеличивается, а при удалении от Солнца — уменьшается. Третий закон описывает соотношение между периодом обращения планеты вокруг Солнца и ее расстоянием от Солнца.

Соберите данные

Для вычисления большой полуоси орбиты Земли вам понадобятся следующие данные:

• Расстояние до Солнца в перигелии (ближайшей точке к Солнцу) — 147,1 миллионов километров.
• Расстояние до Солнца в афелии (самой дальней точке от Солнца) — 152,1 миллионов километров.
• Период орбиты Земли вокруг Солнца — 365,25 дней.

Выполните вычисления

Используя данные, вычислите большую полуось орбиты Земли с использованием второго закона Кеплера, согласно которому квадрат периода обращения планеты вокруг Солнца пропорционален кубу большой полуоси орбиты:

T²/a³ = k

Где T — период орбиты Земли в годах, a — большая полуось орбиты в астрономических единицах (1 а.e. равна расстоянию от Земли до Солнца), k — гравитационный параметр Солнечной системы, равный 0,0000000000674.

Для решения этой формулы следует возвести период орбиты Земли в квадрат и умножить полученное значение на гравитационный параметр. Затем нужно полученное произведение разделить на 4π². Корень из полученного значения даст большую полуось орбиты Земли в астрономических единицах. Для преобразования данного значения в километры нужно умножить его на среднее расстояние от Земли до Солнца.

Итог

Таким образом, мы можем вычислить большую полуось орбиты Земли, используя законы Кеплера и несколько известных фактов об орбите Земли. Следует заметить, что точность этого вычисления может быть улучшена с использованием более точных данных об орбите Земли и гравитационном параметре Солнечной системы.

Как найти большую полуось орбиты Земли

Знание большой полуоси орбиты Земли необходимо для многих астрономических расчетов. В этой статье мы рассмотрим, что такое большая полуось орбиты Земли, как ее найти и как она влияет на нашу планету.

Что такое большая полуось орбиты Земли?

Большая полуось орбиты Земли — это расстояние от центра Земли до центра Солнца в самой дальней точке орбиты Земли. Она является важным параметром орбиты Земли и влияет на расположение нашей планеты в Солнечной системе.

Большая полуось орбиты Земли равна примерно 149.6 миллионов километров или 1 астрономической единице (АЕ).

Как найти большую полуось орбиты Земли?

Существует несколько способов найти большую полуось орбиты Земли. Один из самых точных способов — это измерение расстояния от Земли до Солнца. Для этого используются радары, астрономические приборы и космические аппараты.

Другой способ — это использование законов Кеплера. Кеплер установил, что каждая планета движется по эллиптической орбите вокруг Солнца, при этом Солнце находится в одном из фокусов эллипса. Большая полуось орбиты Zемли может быть определена по формуле:

a = (r1 + r2) / 2

где a — большая полуось, r1 — минимальное расстояние между Землей и Солнцем (перигелий), r2 — максимальное расстояние между Землей и Солнцем (апогей).

Минимальное расстояние между Землей и Солнцем (перигелий) составляет примерно 147.1 миллионов километров, а максимальное расстояние (апогей) составляет примерно 152.1 миллионов километров.

Как большая полуось орбиты Земли влияет на нашу планету?

Большая полуось орбиты Земли влияет на климат и времена года на Земле. По мере того, как Земля двигается по своей орбите, расстояние между Землей и Солнцем меняется. Когда Земля находится ближе к Солнцу, она получает больше тепла и на Земле становится теплее (лето), а когда она находится дальше от Солнца, она получает меньше тепла и на Земле становится холоднее (зима).

Большая полуось орбиты Земли также влияет на продолжительность года. Этот параметр называется “тропический год” и составляет примерно 365 дней 5 часов 48 минут. Однако, из-за изменчивости в период обращения Земли вокруг Солнца, введена поправка в 1 сутки, которая называется “високосным годом” и происходит каждые 4 года.

Итог

Большая полуось орбиты Земли — это расстояние от центра Земли до центра Солнца в самой дальней точке орбиты Земли. Ее можно найти, используя законы Кеплера или измерение расстояния от Земли до Солнца. Большая полуось орбиты Земли влияет на климат и времена года на Земле, а также на продолжительность года.

Как найти большую полуось орбиты Земли

Орбита Земли является одной из наиболее изученных траекторий в Солнечной системе. Каждый космический аппарат, запущенный из нашей планеты, выбирает определенную траекторию с учетом ее физических особенностей, включая большую полуось орбиты. В данной статье мы рассмотрим, как найти большую полуось орбиты Земли.

Определение большой полуоси орбиты Земли

Большая полуось орбиты Земли — это расстояние от центра Земли до точки на орбите, где находится орбитальное перигелий, наиболее удаленная точка от нашей звезды. Этот параметр измеряется в астрономических единицах (А.Е.), которые равны среднему расстоянию между Землей и Солнцем (около 149,6 миллионов километров).

Методы измерения большой полуоси орбиты Земли

Существует несколько методов измерения большой полуоси орбиты Земли, каждый из которых включает использование различных важных параметров и формул. Самые распространенные методы включают:

• Метод золотого сечения — этот метод использует золотое сечение для поиска большой полуоси орбиты. Метод основан на теории, что большая полуось орбиты Земли соответствует длине отрезка, который делит окружность на две части, наиболее близкие по соотношению с золотым сечением.
• Метод Гаусса — этот метод основан на принципах гравитационного взаимодействия между Землей и другими объектами в Солнечной системе, которые могут влиять на орбиту Земли. Этот метод использовался известным немецким астрономом Карлом Фридрихом Гауссом для измерения большой полуоси орбиты Земли в 19 веке.
• Метод Батемана-Хорна — этот метод основан на наблюдениях орбитальной динамики Земли, которые предполагают наличие определенных штампов на орбите Земли. Эти штампы могут быть обнаружены с помощью спутников, которые вращаются вокруг Земли и фиксируют данные об орбите. По этим данным можно рассчитать большую полуось орбиты Земли.

Заключение

Найдя большую полуось орбиты Земли, мы можем определить ее физические параметры и различные аспекты, связанные с нашей орбитой вокруг Солнца. Измерение этого параметра требует использования определенных формул и методов, которые учитывают различные факторы, такие как гравитационное притяжение и динамику Земли.

Светило науки – 1618 ответов – 6948 раз оказано помощи

Большая полуось — один из основных геометрических параметров объектов, образованных посредством конического сечения.

Эллипс[править | править код]

Большой осью эллипса называется его наибольший диаметр — отрезок проходящий через центр и два фокуса. Большая полуось составляет половину этого расстояния и идёт от центра эллипса к его краю через фокус.

Под углом в 90° к большой полуоси располагается малая полуось — минимальное расстояние от центра эллипса до его края. У частного случая эллипса — круга — большая и малая полуоси равны и являются радиусами. Таким образом, можно рассматривать большую и малую полуоси как некоего рода радиусы эллипса.

Длина большой полуоси связана с длиной малой полуоси через эксцентриситет , фокальный параметр и фокальное расстояние (полурасстояние между фокусами) следующим образом:

Большая полуось представляет собой среднее арифметическое между расстояниями от любой точки эллипса до его фокусов.

Рассмотрев уравнение в полярных координатах, с точкой в начале координат (полюс) и лучом, начинающейся из этой точки (полярная ось):

Получим средние значения и
и большую полуось

Парабола[править | править код]

Параболу можно получить как предел последовательности эллипсов, где один фокус остаётся постоянным, а другой отодвигается в бесконечность, сохраняя постоянным. Таким образом и стремятся к бесконечности, причём быстрее, чем .

Гипербола[править | править код]

Большая полуось гиперболы составляет половину минимального расстояния между двумя ветвями гиперболы, на положительной и отрицательной сторонах оси (слева и справа относительно начала координат). Для ветви расположенной на положительной стороне, полуось будет равна:

Если выразить её через коническое сечение и эксцентриситет, тогда выражение примет вид:

.

Прямая, содержащая большую ось гиперболы, называется поперечной осью гиперболы.^[1]

Астрономия[править | править код]

Орбитальный период[править | править код]

В небесной механике орбитальный период обращения малых тел по эллиптической или круговой орбите вокруг более крупного центрального тела рассчитывается по формуле:

где:

 — это размер большой полуоси орбиты

 — это стандартный гравитационный параметр (произведение гравитационной постоянной на массу объекта )

Следует обратить внимание, что в данной формуле для всех эллипсов период обращения определяется значением большой полуоси, независимо от эксцентриситета.

В астрономии большая полуось, наряду с орбитальным периодом, является одним из самых важных орбитальных элементов орбиты космического тела.

Для объектов Солнечной системы большая полуось связана с орбитальным периодом по третьему закону Кеплера.

где:

 — орбитальный период в годах;

 — большая полуось в астрономических единицах.

Это выражение является частным случаем общего решения задачи двух тел Исаака Ньютона:

где:

 — гравитационная постоянная

 — масса центрального тела

 — масса обращающегося вокруг него спутника. Как правило, масса спутника настолько мала по сравнению с массой центрального тела, что ею можно пренебречь. Поэтому, сделав соответствующие упрощения в этой формуле, получим данную формулу в упрощённом виде, который приведён выше.

Орбита движения спутника вокруг общего с центральным телом центра масс (барицентра), представляет собой эллипс. Большая полуось используется в астрономии всегда применительно к среднему расстоянию между планетой и звездой, в результате орбиты планет Солнечной системы приведены к гелиоцентрической системе, а не к системе движения вокруг центра масс. Эту разницу удобнее всего проиллюстрировать на примере системы Земля—Луна. Отношение масс в этом случае составляет 81,30059. Большая полуось геоцентрической орбиты Луны составляет 384 400 км, в то время как расстояние до Луны относительно центра масс системы Земля—Луна составляет 379 730 км — из-за влияния массы Луны центр масс находится не в центре Земли, а на расстоянии 4670 км от него. В итоге средняя орбитальная скорость Луны относительно центра масс составляет 1,010 км/с, а средняя скорость Земли — 0,012 км/с. Сумма этих скоростей даёт орбитальную скорость Луны 1,022 км/с; то же самое значение можно получить, рассматривая движение Луны относительно центра Земли, а не центра масс.

Среднее расстояние[править | править код]

Часто говорят, что большая полуось является средним расстоянием между центральным и орбитальным телом. Это не совсем верно, так как под средним расстоянием можно понимать разные значения — в зависимости от величины, по которой производят усреднение:

• усреднение по эксцентрической аномалии. В таком случае среднее расстояние будет точно равно большой полуоси орбиты.
• усреднение по истинной аномалии, тогда среднее расстояние будет точно равно малой полуоси орбиты.
• усреднение по средней аномалии даст значение среднего расстояния, усреднённое по времени:

• усреднение по радиусу, которое получают из следующего соотношения:

Энергия; расчёт большой полуоси методом векторов состояния[править | править код]

В небесной механике большая полуось может быть рассчитана методом векторов орбитального состояния:

для эллиптических орбит

для гиперболической траектории

и

(удельная орбитальная энергия)

и

(стандартный гравитационный параметр),
где:

 — орбитальная скорость спутника, на основе вектора скорости,

 — вектор положения спутника в координатах системы отсчёта, относительно которой должны быть вычислены элементы орбиты (например, геоцентрический в плоскости экватора — на орбите вокруг Земли, или гелиоцентрический в плоскости эклиптики — на орбите вокруг Солнца),

 — гравитационная постоянная,

и  — массы тел.

Большая полуось рассчитывается на основе общей массы и удельной энергии, независимо от значения эксцентриситета орбиты.

Большие и малые полуоси орбит планет[править | править код]

Орбиты планет всегда приводятся в качестве главных примеров эллипсов (первый закон Кеплера). Однако минимальная разница между большой и малой полуосями показывает, что они практически круговые по внешнему виду. Эта разница (или соотношение) основывается на эксцентриситете и вычисляется как , что для типичных эксцентриситетов планет дает очень малые значения. Причина предположения о значительной эллиптичности орбит, вероятно, кроется в гораздо большей разнице между афелием и перигелием. Эта разница (или соотношение) также основывается на эксцентриситете и рассчитывается как . Из-за большой разницы между афелием и перигелием второй закон Кеплера легко изобразить графически.

	Эксцентриситет	Большая полуось a (а. е.)	Малая полуось b (а. е.)	Разница (%)	Перигелий (а. е.)	Афелий (а. е.)	Разница (%)
Меркурий	0.206	0.38700	0.37870	2.2	0.307	0.467	52
Венера	0.007	0.72300	0.72298	0.002	0.718	0.728	1.4
Земля	0.017	1.00000	0.99986	0.014	0.983	1.017	3.5
Марс	0.093	1.52400	1.51740	0.44	1.382	1.666	21
Юпитер	0.049	5.20440	5.19820	0.12	4.950	5.459	10
Сатурн	0.057	9.58260	9.56730	0.16	9.041	10.124	12
Уран	0.046	19.21840	19.19770	0.11	18.330	20.110	9.7
Нептун	0.010	30.11000	30.10870	0.004	29.820	30.400	1.9

См. также[править | править код]

• Элементы орбиты
• Кеплеровы элементы орбиты
• Эксцентриситет
• Апоцентр и перицентр

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

• Semi-major and semi-minor axes of an ellipse Архивная копия от 2 апреля 2012 на Wayback Machine With interactive animation

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах. 

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте. 

Как быстро и эффективно исправить почерк?  Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.