поделиться знаниями или
запомнить страничку
- Все категории
-
экономические
43,658 -
гуманитарные
33,653 -
юридические
17,917 -
школьный раздел
611,962 -
разное
16,905
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Сторона параллелограмма
Зная диагонали параллелограмма и одну его сторону, можно найти вторую сторону. Для этого нужно извлечь квадратный корень из половины суммы квадратов диагоналей без удвоенного квадрата известной стороны.
Другой способ как вычислить сторону параллелограмма требует высоты и противолежащего ей угла, тогда из прямоугольного треугольника, образованного высотой, сторона параллелограмма будет равна отношению высоты к синусу известного угла: 
Также высоту можно использовать при нахождении стороны параллелограмма через площадь. Так как площадь параллелограмма представляет собой произведение стороны и высоты, то сторона будет отношением площади к высоте, которая падает на эту сторону: 
Геометрические фигуры. Параллелограмм. Стороны, диагонали параллелограмма.
Формулы для вычисления длин сторон параллелограмма:
1. Формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними:
2. Формула сторон параллелограмма через диагонали и вторую сторону:
3. Формула сторон параллелограмма через высоту и sin угла:
4. Формула сторон параллелограмма через площадь и высоту:
Диагонали параллелограмма.
Диагональю параллелограмма является каждый отрезок соединяющий 2 вершины противолежащих углов параллелограмма.
У параллелограмма есть 2 диагонали — длинная d1, и короткая — d2
Формулы вычисления длины диагонали параллелограмма:
1. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и cos β (из теоремы косинусов):
2. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и cos α (из теоремы косинусов):
3. Формула диагонали параллелограмма через 2 стороны и известную вторую диагональ:
4. Формула диагонали параллелограмма через площадь, диагональ которая известна, и угол между диагоналями:
Как найти большую сторону параллелограмма
Тип 3 № 49979 
Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 33.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 4 : 3, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.
Заметим, что как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых секущей. Значит, треугольник ADL − равнобедренный. Пусть тогда Противоположные стороны параллелограмма ABCD попарно равны, тогда
24
Июл 2013
Категория: 01 Геометрия
01. Параллелограмм
2013-07-24
2022-09-11
Задача 1. Сумма двух углов параллелограмма равна 
. Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Задача 2. Один угол параллелограмма больше другого на 
. Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Задача 3. Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 
Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Задача 4. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 
и 
Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Задача 5. Периметр параллелограмма равен 
Меньшая сторона равна 
Найдите большую сторону параллелограмма.
Решение: + показать
Задача 6. Две стороны параллелограмма относятся как 
а периметр его равен 
Найдите большую сторону параллелограмма.
Решение: + показать
Задача 7. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 
Найдите его большую сторону.
Решение: + показать
Задача 8. Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Задача 9. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 
считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 
Решение: + показать
Задача 10. В параллелограмме 
высота, опущенная на сторону 
из точки 
равна 
. Найдите синус угла 
.
Решение: + показать
Задача 11. В параллелограмме 
Найдите высоту, опущенную на сторону 
Решение: + показать
Задача 12. В параллелограмме 
Найдите большую высоту параллелограмма.
Решение: + показать
Задача 13. Площадь параллелограмма равна 
две его стороны равны 
и 
Найдите большую высоту этого параллелограмма.
Решение: + показать
Задача 14. В параллелограмме 
. Найдите 
.
Решение: + показать
Задача 15. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Задача 16. Площадь параллелограмма равна 
Точка 
— середина стороны 
. Найдите площадь трапеции 
.
Решение: + показать
Задача 17. Площадь параллелограмма равна 
Найдите площадь параллелограмма 
вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.
Решение: + показать
Задача 18. Найдите диагональ 
параллелограмма , если стороны квадратных клеток равны 1.
Решение: + показать
Задача 19. Диагонали четырехугольника равны 
и 
Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
Решение: + показать
Вы можете пройти тест по теме «Параллелограмм. Вычисление углов и длин».
Автор: egeMax |
комментария 2
Свойства параллелограмма:
1. Противоположные стороны равны и параллельны
2. Противоположные углы равны
3. Точка пересечения диагоналей, делит их пополам
1. Формулы длины сторон через диагонали и угол между ними.
a, b – стороны параллелограмма
D – большая диагональ
d – меньшая диагональ
α, β – углы между диагоналями
Формулы сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними (по теореме косинусов), (a, b):
Формулы сторон параллелограмма через диагонали и сторону, (a, b):
Формулы сторон параллелограмма , (a, b):
2. Формулы длины сторон параллелограмма через высоту.
a, b – стороны параллелограмма
Hb – высота на сторону b
Ha – высота на сторону a
α, β – углы параллелограмма
Формулы сторон параллелограмма через высоту, (a, b):
3. Дополнительные, интересные формулы параллелограмма:
a, b – стороны параллелограмма
D – большая диагональ
d – меньшая диагональ
α – острый угол между диагоналями
Формула суммы квадратов диагоналей:
Формула разности квадратов сторон:
Формулы площади параллелограмма
Формула периметра параллелограмма
Все формулы по геометрии
- Подробности
-
Опубликовано: 31 октября 2011
-
Обновлено: 13 августа 2021
Параллелограммом называют четырёхугольный многоугольник, две соседние стороны которого равны и
параллельны противоположным. Помимо этого, есть ещё несколько важных условий определения фигуры как
параллелограмма:
- В месте пересечения диагонали делятся пополам, а точка, в которой пересекаются диагонали,
является одновременно центром этих двух отрезков. При этом она всегда лежит внутри фигуры. - Любая диагональ данного четырёхугольника разделяет его на одинаковые треугольники, так как
проходит из одной вершины к противоположной, то есть по центру четырёхугольника. - Сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей.
- Углы фигуры, расположенные друг напротив друга, попарно равны. Это условие вытекает из
утверждения, что параллельные стороны фигуры равны. - Сумма двух односторонних углов равна 180°. Это условие напрямую связано с теоремой о двух
параллельных прямых и секущей. И действительно, если рассматривать две противоположные и третью
между ними стороны параллелограмма как две параллельные прямые и секущую, то можно заметить, что
углы, принадлежащие одной стороне, будут соответствовать односторонним углам, сумма которых,
согласно теореме, равна 180°.
Только при выполнении всех условий четырёхугольный многоугольник будет считаться
параллелограммом.
- Длинная сторона параллелограмма через две диагонали и
острый угол между ними - Длинная сторона параллелограмма через две диагонали и тупой
угол между ними - Короткая сторона параллелограмма через две диагонали и
острый угол между ними - Короткая сторона параллелограмма через две диагонали и
тупой угол между ними - Сторона параллелограмма через две диагонали и другую
известную сторону - Сторона параллелограмма через высоту и синус угла
- Сторона параллелограмма через площадь и высоту
Нахождение длинной стороны через две диагонали и острый угол между ними
Длинную сторону параллелограмма можно найти, зная обе диагонали и острый угол между ними, по
формуле:
a = (√(D² + d² — 2 (D * d) * cosα)) / 2
где D – длинная диагональ, d – короткая диагональ, α — острый угол между диагоналями.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Допустим, дан параллелограмм, у которого диагонали 7 и 4 см, а угол между
ними 68º. Тогда, согласно формуле, сторона будет равна: a = (√(7² + 4² — 2 (7 * 4) * cos68º)) / 2 = 3,317 см. Ответ:
3,317 см.
Нахождение короткой стороны через две диагонали и острый угол между ними
Можно вычислить и короткую сторону по формуле:
b = (√(D² + d² + 2 (D * d) * cosα)) / 2
где D – длинная диагональ, d – короткая диагональ, α — острый угол между диагоналями.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Теперь необходимо найти другую сторону параллелограмма. Данные останутся те
же, что и в прошлой задаче, но в уравнении поменяется знак, так как по отношению к углу поменялась
сторона, которую надо найти. Сторона b будет равна: b = (√(7² + 4² + 2 (7 * 4) * cos68º)) / 2 = 4.64.
Ответ: 4,64 см.
Нахождение длинной стороны через две диагонали и тупой угол между ними
Стороны параллелограмма можно найти, зная диагонали и тупой угол между ними. Для этого нужно
использовать следующую формулу:
a = (√(D² + d² + 2 (D * d) * cosβ)) / 2
где D – длинная диагональ, d – короткая диагональ, β — тупой угол между диагоналями.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Рассмотрим нахождение сторон всё того же параллелограмма с диагоналями 7 и 4
см. Однако на этот раз возьмём между диагоналями другой угол: β=112º. В таком случае для стороны a
минус меняется на плюс, а сама сторона равна: a = (√(7² + 4² + 2 (7 * 4) * cos112º)) / 2 = 3.914
Нахождение короткой стороны через две диагонали и тупой угол между ними
Аналогично можно найти и короткую сторону, зная диагонали и тупой угол между ними:
b = (√(D² + d² — 2 (D * d) * cosβ)) / 2
где D – длинная диагональ, d – короткая диагональ, β — тупой угол между диагоналями.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Для стороны b так же изменится знак в формуле, но наоборот: плюс на минус. Тогда
получается: b = (√(7² + 4² — 2 (7 * 4) * cos112)) / 2 = 4,64 см. Ответ совпал с ответом второй
задачи, все опять решено верно, а сторона в воображаемом параллелограмме действительно равна 4,64
см.
Нахождение стороны параллелограмма через диагонали и другую сторону
Как и в случае с прошлыми пунктами, существуют формула, которая позволяет найти сторону
параллелограмма с использованием диагоналей и известной стороны. Вот она:
a = √(D² + d² — 2b² / 2)
где D, d — диагонали, b — сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Выводится данная формулы из первого следствия теоремы косинусов.
Пример. Используем для следующих задач другой параллелограмм. Эта фигура будет с
диагоналями 9 и 5 см и стороной 6 см. Тогда другая сторона данного параллелограмма равна: a = √(9² + 5² — 2 * 6² / 2) = 4,1 см. Ответ: 4,1 см.
Для проверки ответа можем решить обратную задачу, при которой нам не известна сторона b, но известна
сторона a = 4,1 см. По обратной формуле получается b = √(9² + 5² — 2 * 4,1² / 2) = 6 см. Ответ
совпадает с изначальными данными первой задачи. А значит и этот воображаемый параллелограмм
действительно существует.
Нахождение стороны через синус угла и высоту
Высота – это отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины фигуры на противоположную сторону. Есть
несколько интересных свойств у неё. Например, высоты, проведенные из острых углов, будут всегда
лежать вне фигуры, в то время как высоты из тупых углов всегда лежат внутри. Если из одного угла
опустить две высоты, то между ними образуется угол, равный смежному углу параллелограмма. Равными
будут те высоты, что заключены между параллельными сторонами четырёхугольника. Найти сторону
параллелограмма через эту величину достаточно просто, по формуле:
a = h / sinα
где: h — высота параллелограмма, sin α — угол.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Стоит заметить, что высота должна быть опущена не к искомой стороне, а к соседней. При этом для
формулы сойдет синус любого известного угла параллелограмма.
Пример. Найти сторону параллелограмма, если высота, опущенная на соседнюю сторону
равна 10 см, а острый угол — 30º. Решение: a=10 / 0,5 = 20 см
Нахождение стороны через площадь и высоту
Более подробно о площади и высоте параллелограмма рассказано в пунктах выше. В этом достаточно легко
вывести единственную формулу, по которой можно найти сторону. Если площадь является произведением
стороны на высоту, то сторона будет равна отношению площади к высоте:
a = S / h
где S — площадь параллелограмма, h — высота.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Причем не имеет значения, к какой стороне опущена высота: к искомой или соседней.
Пример. Найти сторону параллелограмма, если его площадь равна 20 см, а высота,
опущенная на одну из сторон — 5 см. Решение: a = 20 / 5 = 4 см.
Фигура кажется сложной для восприятия из-за того, что её нельзя постоянно наблюдать где-то в
повседневной жизни. Однако всё становится проще, если вспомнить, что есть более известные широкой
публике частные случаи параллелограмма. Их-то человек обычно наблюдает ежедневно. Это ромб,
прямоугольник и квадрат. Причем последний, хоть и наиболее известен, является и наиболее
интересным.
Ромб считается частным случаем, потому что представляет собой параллелограмм, диагонали которого в
точке пересечения образуют прямой угол. Прямоугольник является частным случаем, потому что это
параллелограмм, у которого все углы прямые. У квадрата же положение ещё интереснее, так как его
можно назвать не только частным случаем параллелограмма, но и прямоугольника, и ромба. Квадрат – это
комбо трёх предыдущих определений. Можно даже сказать, что квадрат одновременно является особенным
случаем и для параллелограмма, и для прямоугольника, и для ромба. Все его стороны равны,
противоположные стороны параллельны. Все углы являются прямыми, даже образующиеся при пересечении
диагоналей, которые к тому же делятся пополам в точке пересечения.
