Как найти буквенную часть одночлена

Одночлены — это любое число, переменная, любая степень, а также произведение чисел, переменных и степеней, с которыми можно совершать разные математические действия. Примеры одночленов: 9, 5², x, 5a; 3ab² ;  −6²aa²b³. 

Приведение одночлена к стандартному виду

Приведение одночлена к стандартному виду заключается в умножении однотипных множителей, входящих в этот одночлен. То есть числа нужно перемножать с числами, переменные с переменными, степени со степенями. В результате этих действий получается упрощённый одночлен, который тождественно равен предыдущему. Важно: в одночлене степени можно перемножать только в том случае, если они имеют одинаковые основания.

Рассмотрим следующий одночлен:  3a²5a³b²
 — числа 3 и 5 перемножим и получим число 15,
— степени a² и a³ имеют одинаковое основание a,  поэтому мы можем записать результат a⁵,
— степень b² остаётся без изменений.
Получили результат: 3a²5a³b² = 15a⁵b²

Для того, чтобы далее рассматривать одночлены и действия с ними, вспомним тему «Степень с натуральным показателем«

где: a — основание степени; n — показатель степени.

Коэффициент одночлена

• Числовой сомножитель (в примере 15) называют коэффициентом одночлена. Приводя одночлен к стандартному виду, коэффициент нужно записывать в первую очередь, и только потом переменные и степени.
• Если коэффициент в одночлене отсутствует, то говорят, что коэффициент равен единице.
  Например, для одночлена ab коэффициентом является 1, поскольку ab это произведение единицы и ab: abc = 1×ab.
• Если перед одночленом стоит знак минуса, то коэффициент равен минус единице. Например, для одночлена —ab коэффициентом является -1, поскольку ab это произведение -1 и ab.

Степень одночлена

Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных входящих в этот одночлен.  Показатель числового множителя при этом не считается.
Если одночлен не содержит переменных или степеней, а состоит из числа, то говорят, что степень такого одночлена равна нулю.  

Примеры:

• Степенью одночлена 15a⁵b² является 7: переменная a имеет степень 5, а переменная b — 2. Отсюда 5 + 2 = 7. Показатель числового сомножителя 15 считать не нужно, поскольку нас интересуют только показатели переменных.
• Степенью одночлена 7ab² является 3:  переменная a имеет показатель 1, а переменная b — 2. 
• Степень одночлена 11 равна нулю, так как это число.

Не следует путать степень одночлена и степень числа:

• Степень числа это произведение из нескольких одинаковых множителей.
• Степень одночлена это сумма показателей всех переменных входящих в этот одночлен.

Сложение и вычитание одночленов

Чтобы сложить (вычесть) одночлены, нужно сложить (вычесть) их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений.

Чтобы складывать и вычитать одночлены, они должны иметь одинаковую буквенную часть. Коэффициенты могут быть любыми. Сложение и вычитание одночленов это по сути представляет собой приведение подобных слагаемых.

Пример 1. Сложить одночлены 6a²b и 2a²b:
сложим коэффициенты 6 и 2, а буквенную часть 6a²b оставим без изменений.
Получим: 6a²b + 2a²b = 8a²b

Пример 2. Вычесть из одночлена 5a²b³ одночлен 2a²b³
Решение: 5a²b³ − 2a²b³ = 5a²b³ −2a²b³ = 3a²b³

Умножение одночленов

Чтобы перемножить одночлены, нужно перемножить их числовые и буквенные части.

Пример 3. Перемножить одночлены 5x и 8y
Перемножим числовые и буквенные части по отдельности: 5x × 8y = (5 × 8) × (x × y) = 40xy

Пример 4. Перемножить одночлены 5x²y³ и 7x³y²c
Перемножим числовые и буквенные части по отдельности. В процессе умножения будем применять правило перемножения степеней с одинаковыми основаниями. Перемножаемые сомножители будем заключать в скобки:
5x²y³ × 7x³y²c = (5 × 7) × (x²x³) × (y³y²) × c = 35x⁵y⁵c

Пример 5. Перемножить одночлены −5a²bc и 2a²b⁴
−5a²bc × 2a²b⁴ = (−5 × 2) × (a²a²) × (bb⁴) × c = −10a⁴b⁵c

Деление одночленов

Для того, чтобы разделит один многочлен на другой, нужно коэффициент первого одночлена разделить на коэффициент второго одночлена, а буквенную часть первого одночлена разделить на буквенную часть второго одночлена. При этом используется правило деления степеней.

Пример 6. Разделить одночлен 8a²b² на одночлен 4ab. 
Разделим коэффициент делимого на коэффициент делителя, получим 8 : 4 = 2.
Теперь делим буквенную часть:
— в делимом содержится a², в делителе — просто a. Делим a² на a, получаем a, поскольку a² : a = a^2 − 1 = a. 
— в делимом содержится b², в делителе — просто b. Делим b² на b, получаем b, поскольку b² : b = b^2 − 1 = b. Значит, при делении одночлена 8a²b² на одночлен 4ab получается одночлен 2ab.

Если переменная есть только в одном многочлене:

Если в делителе окажется переменная, которой нет в делимом, то  деление невозможно.

Например, одночлен 6xy² нельзя разделить на одночлен 3xyz, так как в делителе 3xyz содержится переменная z, которая не содержится в делимом 6xy².

Но в некоторых дробях, если невозможно выполнить деление, бывает возможным выполнить сокращение. Делается это с целью упростить выражение.

*сокращение дроби это деление числителя и знаменателя на одно и то же число.
Так, в примере нельзя разделить одночлен 6xy² на одночлен 3xyz. Но можно сократить эту дробь на одночлен 3xy.

Если в делимом содержится переменная, которая не содержится в делителе, то деление будет возможным. В этом случае переменная, которая отсутствовала в делителе, будет перенесена в частное без изменений.

Например, при делении одночлена 4x²y²z на 2xy, получается 2xyz. 

Если одна из степеней, входящая в делимое, имеет показатель меньший, чем показатель той же степени из делителя, то деление одночлена на одночлен также невозможно.

Например, разделить одночлен 2x на одночлен x² нельзя, поскольку степень x, входящая в делимое, имеет показатель 1, тогда как степень x², входящая в делитель, имеет показатель 2. Мы не сможем найти частное, которое при перемножении с делителем x² даст в результате делимое 2x.

Возведение одночлена в степень

При возведении степень одночлена каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются: (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ 

Пример 7. Возвести одночлен xy во вторую степень.
Чтобы возвести одночлен xy во вторую степень, нужно возвести во вторую степень каждый множитель этого одночлена: (xy)² = x²y²

Пример 8. Возвести одночлен −a²bc³ в пятую степень.
В данном примере коэффициентом одночлена является −1. Этот коэффициент тоже нужно возвести в пятую степень: 
(−a²bc³)⁵ = (−1)⁵ × (a²)⁵ × b⁵ × (c³)⁵ = −1a¹⁰b⁵c¹⁵ = −a¹⁰b⁵c¹⁵
Когда коэффициент равен −1, то саму единицу не записывают. Записывают только минус и потом остальные множители одночлена.

Пример 9. Представить одночлен 121a⁶ в виде одночлена, возведённого в квадрат.
— число 121 получается, если число 11 возвести в квадрат — это первый множитель.
— степень a⁶ получается, если возвести в квадрат степень a³ — это второй множитель.
Таким образом, если произведение 11a³ возвести во вторую степень, то получится  121a⁶
(11a³)² = 11² × (a³)² = 121a⁶

Разложение одночлена на множители

Поскольку одночлен является произведением чисел, переменных и степеней, то он может быть разложен на множители, из которых состоит.

Пример 10. Разложить одночлен 3a³b² на множители
Данный одночлен можно разложить на множители:
3a³b² = 3×a×a×a× b×b =  3×a×a×a×b² = 3×a³×b×b

Понятие одночлена, примеры одночленов
и «не одночленов»

Рассмотри некоторые примеры:

1. ;

2. ;

3. ;

Найдем общие черты для приведенных выражений. Во всех трех случаях выражение является произведением чисел и переменных, возведенных в степень. На основании этого дадим определение одночлена: одночленом называют такое алгебраическое выражение, которое состоит из произведения степеней и чисел.

Теперь приведем примеры выражений, не являющихся одночленами:

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

Найдем отличие этих выражений от предыдущих. Оно состоит в том, что в примерах 4-7 есть операции сложения, вычитания или деления, тогда как в примерах 1-3, являющихся одночленами, этих операций нет.

Приведем еще несколько примеров:

8. ;

9. ;

Выражение под номером 8 является одночленом, так как это произведение степени на число, тогда как пример 9 не является одночленом.

Описание операции упрощения, определение понятий коэффициента и буквенной части одночлена

Теперь выясним действия над одночленами.

1.Упрощение. Рассмотрим пример №3 ;и пример №2 /

Во втором примере мы видим только один коэффициент –  , каждая переменная встречается только один раз, то есть переменная «а» представлена в единственном экземпляре, как «», аналогично переменные «» и «» встречаются только один раз.

В примере №3 наоборот, есть два различных коэффициента –  и , переменную «» мы видим дважды – как «» и как «», аналогично переменная «» встречается два раза. То есть, данное выражение следует упростить, таким образом, приходим к первому действию, выполняемому над одночленами – приведение одночлена к стандартному виду. Для этого приведем к стандартному виду выражение из примера 3, затем определим эту операцию и научимся приводить к стандартному виду любой одночлен.

Итак, рассмотри пример:

Первым действием в операции приведения к стандартному виду всегда нужно перемножить все числовые множители:

  ;

Результат данного действия будет называться коэффициентом одночлена.

Далее необходимо перемножить степени. Перемножим степени переменной «х» согласно правилу умножения степеней с одинаковыми основаниями, в котором говорится, что при умножении показатели степени складываются:

;

теперь перемножим степени «у»:

;

Итак, приведем упрощенное выражение:

;

Дальше упростить данное выражение нельзя, такое выражение и называется стандартным видом исходного одночлена, где  это коэффициент одночлена, а – это буквенная часть.

Формулировка правила приведения одночлена к стандартному виду, решение примеров

Любой одночлен можно привести к стандартному виду. Сформулируем правило приведения к стандартному виду:

– перемножить все числовые множители;

– поставить полученный коэффициент на первое место;

– перемножить все степени, то есть получить буквенную часть;

То есть, любой одночлен характеризуется коэффициентом и буквенной частью. Забегая вперед, отметим, что одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными.

Теперь нужно наработать технику приведения одночленов к стандартному виду. Рассмотри примеры из учебника:

Задание: привести одночлен к стандартному виду, назвать коэффициент и буквенную часть.

Для выполнения задания воспользуемся правилом приведения одночлена к стандартному виду и свойствами степеней.

1. ;

2. ;

3. ;

Комментарии к первому примеру: Для начала определим, действительно ли данное выражение является одночленом, для этого проверим, есть ли в нем операции умножения чисел и степеней и нет ли в нем операций сложения, вычитания или деления. Можем сказать, что данное выражение является одночленом, так как вышеуказанное условие выполняется. Далее, согласно правилу приведения одночлена к стандартному виду, перемножим численные множители:

 – мы нашли коэффициент заданного одночлена;

Далее перемножим между собой соответствующие степени:

; ; ; то есть, получена буквенная часть выражения:;

запишем ответ: ;

Комментарии ко второму примеру: Следуя правилу выполняем:

1) перемножить числовые множители:

;

2) перемножить степени:

Переменные  и  представлены в единственном экземпляре, то есть их перемножить ни с чем нельзя, они переписываются без изменений, степень  перемножается:

;

запишем ответ:

;

В данном примере коэффициент одночлена равен единице, а буквенная часть .

Комментарии к третьему примеру: аналогично предыдущим примерам выполняем действия:

1) перемножить численные множители:

;

2) перемножить степени:

;

;

;

;

выпишем ответ: ;

В данном случае коэффициент одночлена равен «», а буквенная часть .          

Описание операции вычисления конкретного численного значения одночлена, решение примеров

Теперь рассмотрим вторую стандартную операцию над одночленами. Поскольку одночлен это алгебраическое выражение, состоящее из буквенных переменных, которые могут принимать конкретные числовые значения, то мы имеем арифметическое числовое выражение, которое следует вычислить. То есть, следующая операция над многочленами состоит в вычислении их конкретного числового значения.

Рассмотрим пример. Задан одночлен:

данный одночлен уже приведен к стандартному виду, его коэффициент равен единице, а буквенная часть

Ранее мы говорили, что алгебраическое выражение не всегда можно вычислить, то есть переменные, которые в него входят, могут принимать не любое значение. В случае одночлена же входящие в него переменные могут быть любыми, это является особенностью одночлена. 

Итак, в заданном примере требуется вычислить значение одночлена при , , , .

Выполним действия:

 ;

Для вычисления мы воспользовались тем, что  в любой четной степени равно единице.

То есть, заданный одночлен при заданных значениях буквенных переменных будет принимать рассчитанное нами значение.

Рассмотрим еще один пример. Одночлен остается тот же самый, но значения буквенных переменных изменились:

;

;

выполним вычисление:

.

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ 

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Школьный помощник (Источник).

2. Google.com.ua (Источник).

3. Научная библиотека (Источник)

Рекомендованное домашнее задание

Задание 1: определить, является ли выражение одночленом:

а); b); c); d); e)

Задание 2: привести одночлен к стандартному виду? Указать коэффициент и буквенную часть:

a); b); c); d); e)

Задание 3: вычислить конкретное значение одночлена при заданных числовых значениях переменных:

a)

b)

c)

Звучит страшно, но на деле все намного проще! Каждый семиклассник прошел через непонимание одночленов, потому что у него не было под рукой этой статьи!👇

Время чтения: 5 минут

Одночлен – что это?

Простыми словами одночлен – это произведение чисел, букв переменных и степеней.

Стандартный вид – это правильный и “красивый” вид одночлена. В стандартном виде одночлен выглядит так:

• Записывается числовой множитель
• Произведение одинаковых переменных записывается в виде степени
• Переменные записываются в алфавитном порядке

У каждого одночлена есть своя степень и коэффициент.

Коэффициент – число, записанное перед буквенной частью (если одночлен в стандартном виде).

Если перед буквенной частью отсутствует число, говорят, что коэффициент равен единице.

Степень одночлена – это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.

Пример

Давай разберем подробнее на примере📝

Тренажер

Предлагаю тебе самостоятельно попробовать решить несколько заданий по пройденной теме🥸

На этом все! Остались вопросы? Напиши о них в комментариях!👇

Обязательно подпишись на канал, чтобы не пропустить больше полезных статей!🧠

#математика #огэ #егэ #репетитор #алгебра #геометрия #одночлен #стандартныйвидодночлена #многочлен #7класс #школа #средняяшкола

Определение одночлена

Одночлен – это алгебраическое выражение, которое является произведением чисел, переменных и их степеней.

Одночленами также считают все числа, любые переменные и их степени.

Например:

Например:

$x^2cdot23xy$ – одночлен нестандартного вида, с коэффициентом 23 и степенью 4 (x в кубе и y в первой степени);

$-frac{3}{15}a^3 b^2$ – одночлен стандартного вида, с коэффициентом $left(-frac{3}{15}right)$ и степенью 5 (a в кубе и b в квадрате);

9 – одночлен стандартного вида, с коэффициентом 9 и степенью 0;

a – одночлен стандартного вида, с коэффициентом 1 и степенью 1.

Число 0, а также одночлены, тождественно равные нулю (например, $0 cdot x^3, 0cdot mn$), называются нуль-одночленами. Считают, что нуль-одночлен степени не имеет. Одночлены с одинаковой буквенной частью (например, $2ab^3 c^2 и -frac{7}{5}ab^3 c^2$) называются подобными.

Приведение одночлена к стандартному виду

Любой одночлен можно преобразовать так, чтобы получился одночлен стандартного вида.

Если в одночлен в качестве множителей входят несколько переменных, их принято записывать по алфавиту. Но это не является обязательным.

Примеры

Пример 1. Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида, найдите его коэффициент и степень:

а) $ frac{1}{2}x^5y^4c cdot (-5xy^2 c^3) = frac{1}{2} cdot (-5) cdot c^{1+3} cdot x^{5+1} cdot y^{4+2} = -2,5c^4 x^6 y^6 $

коэффициент (-2,5), степень 4+6+6 = 16

б) $ -(3m^4)^2 cdot (-m^3 kp)^3 = -3^2 cdot (-1)^3 cdot k^3 cdot m^{8+9} cdot p^3 = 9k^3 m^17 p^3 $

коэффициент 9, степень 3+17+3 = 23

в) $ (-2)^3 xy cdot 1,5(x^4 y)^2 = -8 cdot 1,5 cdot x^{1+8} cdot y^{1+2} = -12x^9 y^3 $

г) $ (8m^3 )^2 n^3 cdot frac{1}{(4mn)^3} = frac{8^2 m^6 n^3}{4^3 m^3 n^3} = frac{(2^3)^2}{(2^2)^3} cdot frac{m^6}{m^3} cdot frac{n^3}{n^3} = m^3$

коэффициент 1, степень 3

Пример 2. Запишите одночлен в стандартном виде и найдите его числовое значение:

а) $ frac{1}{2} xycdot frac{1}{4}x^2 при x = 2, y = 3 $

$ frac{1}{2}xy cdot frac{1}{4}x^2 = frac{1}{2} cdot frac{1}{4} cdot x^{1+2}cdot y = frac{1}{8} x^3 y $

Подставляем: $ frac{1}{8}cdot2^3cdot3 = 3 $

б) $ (-2a^2 b^3) cdot left(frac{0,5}{ab}right)^2 при a = 73,b = 3 $

$ (-2a^2 b^3) cdot left(frac{0,5}{ab}right)^2 = -2 cdot frac{1}{2}^2 cdot frac{a^2}{a^2} cdot frac{b^3}{b^2} = -frac{1}{2}b $

Подставляем: $ -frac{1}{2}cdot3 = -1,5 $

Пример 3. Представьте выражение в виде квадрата одночлена:

а) $ 16x^4 y^2 z^6 = 4^2cdot(x^2 )^2cdot y^2cdot(z^3 )^2 = (4x^2 yz^3 )^2 $

б) $ frac{49}{64}x^{12} y^4 z^{16} = (frac{7}{8} x^6 y^2 z^8 )^2 $

Пример 4*. Известно, что $ 5a^2 b^3 = 7$. Найдите значение выражения $ -frac{4}{49} a^6 b^9 $

Выразим произведение переменных через число: $ a^2 b^3 = frac{7}{5} $

Преобразуем выражение:

$$ -frac{4}{49} a^6 b^9 = -frac{4}{49} left(underbrace{a^2 b^3}_{=7/5text{}}right)^3 = -frac{4}{7^2} cdot left(frac{7}{5}right)^3 = -frac{4}{5^3} cdot frac{7^3}{7^2} = -frac{28}{125} $$

Ответ: $ -frac{28}{125} $