Как найти часть целого через дробь

Задачи на дроби

• Выражение части в долях целого
• Нахождение дроби от числа
• Нахождение числа по его дроби

Выражение части в долях целого

Чтобы выразить часть в долях целого, нужно часть разделить на целое.

Нахождение дроби от числа

Для решения задач, в которых требуется найти часть целого справедливо следующее правило:

Если часть целого выражена дробью, то чтобы найти эту часть, можно целое разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель.

Второй способ нахождения части целого:

Чтобы найти часть целого, можно умножить целое на дробь, выражающую эту часть целого.

Нахождение числа по его дроби

Для решения задач, в которых требуется найти целое по его части справедливо следующее правило:

Если часть искомого целого выражена дробью, то чтобы найти это целое, можно данную часть разделить на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель.

Второй способ нахождения целого по его части:

Чтобы найти целое по величине выражающей его часть, можно разделить эту величину на дробь, выражающую данную часть.

Если известно сколько составляет часть от целого, то по известной части можно “восстановить”
целое.

Для этого пользуемся правилом нахождения целого (числа)
по его дроби (части).

Пример. Рассмотрим задачу.

Поезд прошёл 240 км, что составило
всего пути.
Какой путь должен пройти поезд?

Решение. 240 км — часть всего пути. Эти же километры
выражены дробью 15/23
от всего пути. Знаменатель дроби говорит о том, что весь путь разделён на 23 части,
и 15 таких частей составляют 240 км
(числитель дроби равен 15).
Значит, можно найти, сколько составляет

часть пути.

240 : 15 = 16 (км)

Весь путь (целое) всегда обозначаем за единицу, которую можно выразить дробью

.

Значит, чтобы найти весь путь (23 части, каждая из которых по
16 км) нужно:

16 · 23 = 368 (км)

Кратко запись решения такой задачи можно сделать следующим образом.

Ответ: поезд должен пройти 368 км.

Сложные задачи на нахождение числа по его части

Часто задачи данного типа сложнее, чем рассмотренная задача выше, и более сложные задачи приходиться решать в
несколько действий.

Рассмотрим задачу.

При подготовке к диктанту по английскому языку Оля
выучила четверть всех слов, заданных учителем.
Если бы она выучила ещё 4 слова, то была
бы выучена треть всех слов.
Сколько всего слов надо было выучить Оле?

Решение. Как обычно подчеркнём в условии задачи все важные данные.

Как видно из условия, четыре невыученных слова — это часть от всех слов, которую можно найти в виде
разности дробей.

Такую часть всех слов составляют 4 слова.

Итак, 4 слова — это

от всех слов (целого). Теперь по правилу нахождения
числа по его части данное числовое значение разделим на соответствующую ему дробь

.

Ответ: всего 48 слов надо было выучить к диктанту.

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Добрый день! В прошлый раз мы определяли значение дроби от числа. Сегодня будем решать обратную задачу.

Нам известно значение дроби от числа, можем ли мы найти его значение?

Допустим, мы знаем вес кусочка пирога. Можно ли узнать, сколько весит весь пирог?

Предположим, что пирог был разрезан на 8 кусочков, два из которых мы взвесили. Их вес равен 120 г. Сколько весит весь пирог?

Для того, чтобы найти вес всего пирога, вес двух кусочков разделим на 2. Так мы узнаем вес одного куска пирога. И умножим этот вес на 8, на это количество частей у нас разрезан пирог. Но если мы вспомним, что деление можно заменить на дробь, то получим произведение дроби на число. При этом вспомним, что умножение на обратную дробь – это деление на дробь. Получается, чтобы найти целое, зная его часть, выраженную дробью, нужно разделить эту часть на дробь.

Снова немного странное выражение, чтобы найти большее число мы делим. На самом деле, когда мы делим на дробь, мы действительно получаем бОльшее значение.

Таким же способом находим целое число, если его часть выражена десятичной дробью или процентами. Проценты удобнее перевести в десятичную дробь. Но возможно, кому-то удобнее переводить проценты в обыкновенную дробь со значением 100 в знаменателе.

Чтобы было понятнее, разберем несколько примеров.

Видим, что аналогичным образом находим целое число, если его часть выражена дробью или процентами.

Для закрепления материала предлагаем несколько примеров для самостоятельного решения. Ответы размещайте в комментариях.

Надеемся, эта тема была вам интересна. Если что-то осталось непонятным, задавайте вопросы в комментариях.

Завтра разберемся, как определить, какую часть одно число составляет от другого.

Ставим лайки, подписываемся, в комментариях пишем темы, которые вам хотелось бы разобрать, задаем вопросы.

До скорой встречи!

В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно найти дробь от целого числа и наоборот – как найти число, если известно, чему равна определенная дробь от него. Также разберем примеры решения задач для лучшего понимания и закрепления теоретического материала.

• Нахождение дроби от числа

• Нахождение числа по значению дроби

Нахождение дроби от числа

Чтобы найти часть от целого числа n, которая представлена дробью, нужно умножить эту дробь (например, ^a/_b) на данное число n.

Дробь от числа = n ⋅

a/b

 =  

n ⋅ a/b

 
Пример 1

 
Решение

5/12

⋅ 24 =

5 ⋅ 24/12

=

120/12

= 10

 
Пример 2

 
Решение

4/9

⋅ 7 =

4 ⋅ 7/9

=

28/9

=3

1/9

 
Таким образом, результат нахождения дроби числа не всегда бывает целым числом.

Примечание: если дробь является смешанной, сперва ее следует представить в виде неправильной и только потом выполнять умножение.

Нахождение числа по значению дроби

Если известно сколько число n занимает в числе m, и эта доля выражена в виде дроби, то для нахождения числа m используется формула:

 
Пример:

Один ряд кинозала вмещает 20 кресел, что составляет

2/5

от всей вместимости зала. Определите, сколько всего посадочных мест в зале.

 
Решение

Общее количество кресел равняется:

20 :

2/5

= 20 ⋅

5/2

=

20 ⋅ 5/2

= 50

Математика

5 класс

Урок № 50

Нахождение целого по его части

Перечень рассматриваемых вопросов:

• обыкновенная дробь;
• числитель, знаменатель обыкновенной дроби;
• сократимая, несократимая дробь;
• задачи на дроби.

Тезаурус

Дробь в математике – это число, состоящее из одной или нескольких равных частей (долей) единицы.

Правильные дроби – это дроби, в которых числитель меньше знаменателя.

Неправильные дроби – это дроби, в которых числитель равен или больше знаменателя.

Обязательная литература

1. Никольский С. М. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. / ФГОС // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

«Без знания дробей никто не может быть сведущим в математике», – однажды сказал древнеримский философ Марк Туллий Цицерон. И трудно с ним не согласиться, ведь дроби в нашей жизни встречаются очень часто.

Убедимся в этом, решая задачи на нахождение целого по его части.

В окружающем нас мире очень часто приходится находить не только часть от чего-либо, но и, наоборот, целое по его части. Например, мы можем услышать в прогнозе погоды такую фразу «Сегодня выпало 20 миллиметров осадков, что составляет половину месячной нормы». А сколько тогда составляет месячная норма? Если половина нормы это 20 миллиметров, тогда норма в два раза больше, т. е. 40 миллиметров.

А теперь немного изменим условие задачи. Найдём всю месячную норму, если известно, что за день выпало 20 миллиметров, что составляет месячной нормы.

Для решения этой задачи воспользуемся следующими рассуждениями.

Будем считать, что месячная норма это . По условию, её равны 20 миллиметрам. Сначала найдём нормы, а потом и .

20 : 2 = 10 мм – одна треть нормы. 10 мм · 3 = 30 мм – три трети нормы.

Ответ: месячная норма равна 30 мм.

Итак, сформулируем правило нахождения целого по его части: если часть искомого целого выражена дробью, то чтобы найти целое, можно эту часть разделить на числитель дроби, а результат умножить на её знаменатель.

Решим задачу.

Два путешественника отправились в поход, который длился несколько дней. В первый день они преодолели от всего маршрута. Во второй день они прошли от того, что прошли в первый день.

Какой путь должны преодолеть путешественники, если во второй день они прошли 20 км?

Решение.

Составим схему, на основе которой будем выполнять решение этой задачи.

Нам известно, что 20 километров это четыре пятых маршрута, пройденного в первый день. Соответственно, найдём длину маршрута в первый день.

20 : 4 · 5 = 25 км – расстояние, пройденное за 1 день.

Теперь, зная, что 25 = от всего маршрута, найдём весь пройденный путешественниками путь: 25 : 5 · 13 = 65 км.

Ответ: весь путь равен 65 км.

Решим задачу. Младшей сестре исполнилось 9 лет, что составляет   от возраста её старшей сестры. А возраст старшей сестры составляет от возраста их матери. Сколько лет старшей сестре и матери?

Решение: для решения этой задачи составим следующую схему.

По известному возрасту младшей сестры найдём возраст старшей.

9 : 3 · 5 =15 (лет) – возраст старшей из дочерей.

Теперь найдём возраст матери.

15 : 5 · 12 = 36 (лет) – возраст матери.

Ответ: 15 лет; 36 лет.

Тренировочные задания

№ 1. За один день бригада заасфальтировала 5 км дороги, что составило всей работы. Сколько километров должна заасфальтировать бригада?

Решение: для решения этой задачи нужно использовать правило нахождения части от целого: чтобы найти целое по части, нужно эту часть разделить на числитель дроби, а результат умножить на её знаменатель.

Т. е. 5 : 5 · 7 = 7 км

Ответ: 7 км.

№ 2. Первая сторона треугольника равна 12 см, что составляет от его периметра, другая составляет от первой стороны. Чему равна третья сторона треугольника?

Решение: для решения этой задачи сначала нужно вспомнить, что периметр – это сумма длин всех сторон треугольника, т. е. сумма длин трёх сторон.

Теперь найдём периметр, исходя из условия задачи.

1) 12 : 3 · 10 = 60 см – периметр.

12 : 2 · 3 = 18 см – вторая сторона.

Теперь от периметра отнимем сумму длин двух сторон и получим третью сторону.

40 – (18 + 12) = 10 см – третья сторона. Ответ: 10 см.