Как найти часть полусферы - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Калькулятор вычисляет объем части полусферы, полученной путем сечения полусферы плоскостью, проходящей на заданном расстоянии от центра полусферы под заданным углом.

1)Разрез полусферы под углом

Угол может быть в пределах (0..180) градусов.Расстояние h не должно превышать диаметра полусферы. Формулы вычисления можно найти сразу под калькулятором.

Объем полусферы, рассеченной плоскостью под заданным углом

Расстояние между центром основания полусферы и режущей плоскостью вдоль основания полусферы.

Угол в градусах между основанием полусферы и плоскостью разреза.

Точность вычисления

Знаков после запятой: 5

Формулы объема сечения полусферы плоскостью

Начинаем с простых случаев

Разрез проходит строго по центру полусферы, h=R

2)Центральный разрез полусферы, боковая проекция.

Это самый простой случай, формула получается путем легкой модификации формулы объема полусферы:
$V=frac{2}{3}R^3pi$
Следующим образом:
$V=frac{2}{3}R^3alpha$ , где a угол разреза в радианах.

Полусфера разрезана под углом 90 градусов

3)Прямой разрез полусферы. Боковая проекция.

Если полусфера разрезана под прямым углом, мы попросту берем половину объема сечения сферы.

$V=frac{pi H^2(3R-H)}{6}$

Полусфера разрезана ниже центра h > R

4)Разрез ниже середины полусферы. Боковая проекция.

Если разрезать полусферу таким, образом, что центр полусферы окажется в части, для которой нужно вычислить объем мы получим самый сложный случай. Для такого случая мы вычисляем объем другой отрезанной части и вычитаем полученный объем из объема всей полусферы:
$V=frac{2}{3}R^3pi-V_d$
V_d вычисляется по формулам приведенным далее, с предварительным преобразованием угла

Сечение проходит выше центра полусферы h < R

5) Разрез полусферы под углом выше центра

Это наиболее общий случай, который решается интегрированием по объему.
Разместим полусферу на координатной плоскости таким образом, чтобы секущая плоскость была параллельна плоскости Z-O-Y, центр полусферы в начале координат. Секущая плоскость будет удаена от плоскости Z-O-Y на расстояние sin(α)*r0, где r0=R-h расстояние от пересечения основания полусферы и секущей плоскости до центра полусферы:

6)Расположение разрезанной полусферы в системе координат

В линейной 3-мерной координатной системе секущая плоскость будет иметь уравнение .
В сферической системе координат (ISO): $r=frac{r_0 sin alpha}{sin theta cos varphi}$ (1)
Далее будем решать интеграл в сферической системе координат:
$V=2int_{frac{pi}{2}-alpha}^{frac{pi}{2}-{varphi}_0}d{varphi}int_{theta_{varphi}}^{frac{pi}{2}}sin{theta}d{theta} int_{r_{varphi,theta}}^R{r^2}d{r}$ (2)
Так как разрезанная полусфера расположена симметрично относительно плоскости X-O-Y мы будем интегрировать только половину возможного угла тета и домножим интеграл на 2.

Интервалы интегрирования

Интервал угла φ постоянный: $[frac{pi}{2}-alpha-frac{pi}{2}-{varphi}_0]$
Где a угол сечения к основанию полусферы в радианах
и согласно изображению (6) угол ${varphi}_0=arcsin(frac{r_0 sin alpha}{R})$ (3)
Интервал радиусов
Верхняя граница упрается в радиус полусферы – R. Плоскость сечения ограничивает интервал снизу, согласно формуле (1) имеем:
$r_{varphi,theta}=frac{r_0 sin alpha}{sin theta cos varphi}$ (4)
Интервалы угла θ
Так как мы интегрируем только верхнюю половину интервала θ то верхняя граница θ равна $frac{pi}{2}$ , а нижнюю можно выразить из формулы (1), принимая r=R. Таким образом:
$theta_{varphi}=arcsinleft(frac{r_0 sin{alpha}}{Rcosvarphi}right)$ (5)
Используя (3) мы можем сократить формулу так:
$theta_{varphi}=arcsinleft(frac{sin {varphi}_{0}}{cosvarphi}right)$ (6)

Формула объема

Для получения формулы объема сечения полусферы, решим интеграл (2) в интервалах (3),(4),(6):

Интегрируем по r

$V=2int_{frac{pi}{2}-alpha}^{frac{pi}{2}-{varphi}_0}d{varphi}int_{theta_{varphi}}^{frac{pi}{2}}sin{theta}d{theta}left.frac{1}{3}r^3right|_{frac{r_0 sin alpha}{sin theta cos varphi}}^R$

Результат:
$V=frac{2}{3}int_{frac{pi}{2}-alpha}^{frac{pi}{2}-{varphi}_0}d{varphi}int_{theta_{varphi}}^{frac{pi}{2}}R^3sin{theta}-frac{r_0^3 sin^3 alpha}{cos^3 varphi}d{theta}$
Интегрируем по θ
$V=frac{2}{3}int_{frac{pi}{2}-alpha}^{frac{pi}{2}-{varphi}_0}d{varphi}left. cot theta frac{r_0^3sin^3 alpha}{cos^3 varphi} - R^3 costhetaright|_{arcsinleft( frac{sin {varphi}_{0}}{cos varphi}right)}^{frac{pi}{2}}$
Результат:
$V=frac{2}{3}int_{frac{pi}{2}-alpha}^{frac{pi}{2}-{varphi}_0} R^2 r_0sinalpha frac{sqrt{frac{cos^2varphi}{sin^2{varphi}_0}-1}}{cosvarphi} - r_0^3sin^3alphafrac{sqrt{frac{cos^2varphi}{sin^2{varphi}_0}-1}}{cos^3varphi} d{varphi}$
Интегрируем по φ
$V=frac{2}{3}R^2 r_0 sin alpha left( csc{varphi}_0 arcsinfrac{sinvarphi}{cos{varphi}_0} - arctanfrac{sinvarphi sin {varphi}_0}{sqrt{cos^2varphi-sin^2varphi_0}} right)$
$- frac{r_0^3sin^3 alpha}{3}left( cot^2{varphi}_0 arctanfrac{sinvarphi sin {varphi}_0}{sqrt{cos^2varphi-sin^2varphi_0}} +csc {varphi}_0 tanvarphi secvarphi sqrt{cos^2varphi-sin^2varphi_0} right)Bigg|_{frac{pi}{2}-alpha}^{frac{pi}{2}-{varphi}_0}$
Получаем окончательную формулу:
$V= frac{r_0^3sin^3 alpha}{3}left( cot^2{varphi}_{0}(K_2- frac{pi}{2}) +K_1csc {varphi}_0 cotalpha cscalpharight)$
$-frac{2}{3}R^2 r_0 sin alpha left( csc{varphi}_0 left(arcsinleft[frac{cosalpha}{cos{varphi}_0}right]-frac{pi}{2}right) - K_2+frac{pi}{2}right)$
Где:
$K_1=sqrt{sin^2alpha-sin^2varphi_0}$ ,
$K_2=arctanfrac{cosalpha sin {varphi}_0}{K_1}$ .

Источник

Карту можно поделить на полусферы — половинки карты. По оси Иц-Мц карта делится на восточную и западную полусферу, а по оси Асцендент-Десцендент — на верхнюю и нижнюю.

Нам нужно посчитать, в какой полусфере планет больше. Чем больше перевес, тем выраженнее эта полусфера.

Преобладающая полусфера — это интегральный показатель, так как тут берутся сразу все планеты и обобщается их положение.

Восточная полусфера

Восточная полусфера включает дома с 10 по 3. Это полусфера, где находится Асцендент, а Асцендент — это «я». Все дома этой полусферы связаны с нашим личным развитием и нашими личными интересами. Тут мы должны сами все «вывозить», но зато самостоятельны.

1 дом — это, собственно, «я», 2 — наши личные ресурсы, 3 — наше обучение и близкое окружение, 10 — наше личное развитие. А вот 11 дом — наше развитие в коллективе, этот дом самый спорный в восточной полусфере, так как он — про коллектив, а не про индивидуальность. Почему же он тут? 11 дом — это еще и дом нашей личной свободы и независимости. В плане общества, коллектива тут мы не уступаем и пытаемся понравиться, как в 7 доме, а находим единомышленников по душе. 12 дом — это наше подсознание, в нем вроде как зона альтруизма, почему же он относится к эгоистичной восточной полусфере? В 12 доме все-таки живут наши личные страхи, эмоции, переживания и «тараканы». Благодаря 12 дому мы вписываемся в коллективное бессознательное, но он покажет, как именно мы туда вписаны. Это теневая сторона нашего «я».

Выраженная восточная полусфера — это:

индивидуалист, одиночка, «сами с усами»
эгоизм (в том числе здоровый эгоизм)
независимость
может быть сложно с партнерством
инициатор
либо мир ждет от человека инициативы, отдает ему «руль»

Западная полусфера

Западная полусфера включает дома с 4 по 9. Это полусфера, где находится Десцендент, и это — зона «ты». Все дома этой зоны связаны с другими людьми, их интересами и нашим взаимодействием с ними. Тут мы зависим от других, местами вынуждены уступать, но зато можем положиться на них. 4 дом — это наша семья. 5 дом — наши дети. Но 5 дом — довольно эгоцентричен, почему он относится к западной полусфере? 5 дом все-таки отвечает за то, как мы выражаем себя для других, а не для себя (в отличие от 1 дома), тут важно произвести впечатление. 6 дом — это служение другим людям через работу, труд, заботу, 7 — просто другие люди и их интересы, 8 — ресурсы других людей и наши совместные с ними, 9 — идеи, с помощью которых люди влияют на нас и мы влияем на людей.

Выраженная западная полусфера — это:

коллективист, командный игрок
альтруизм (в том числе нездоровый альтруизм)
зависимость от окружающих и их мнения, ведомый
сложно одному
нужны поддержка, одобрение, диалог, партнерство
либо мир задвигает инициативы человека и заставляет его считаться с другими, сотрудничать

Верхняя полусфера (южная)

Верхняя полусфера включает дома с 7 по 12. Это полусфера, где находится Мц — точка, связанная с социальным развитием. Эта полусфера — видимая (небо над нами), поэтому тут должны быть видимые внешние результаты, это зона внешнего.

7 дом — это дом социальных отношений, 8 — социальных ресурсов, 9 — социального успеха и признания, 10 — социального развития и достижений, 11 — общения в социуме. А вот с 12 домом интересно: казалось бы, он отвечает за внутреннее, скрытое, но находится в верхней полусфере, почему? Дело в том, что он слабо связан с нашими личными делами. 12 дом все-таки связывает нас с людьми и глобально — с человечеством. Поэтому он отвечает за самопожертвование, сопереживание.

Выраженная верхняя полусфера — это:

развитие вовне
ориентация на внешний мир, нечто глобальное
социальное развитие, развитие в обществе, в профессии
важна оценка обществом
либо мир заставляет человека развиваться социально, вписываться в систему, вытаскивает его «на поверхность»

Нижняя полусфера (северная)

Нижняя полусфера включает дома с 1 по 6. Это полусфера, где находится Иц — точка, связанная с семьей и близкими. Эта полусфера — невидима (невидимая для нас часть неба), поэтому она связана с нашими внутренними процессами и личными делами, это зона внутреннего.

1 дом — это наше «я» и личные дела, 2 — личные финансы, 3 — близкое окружение, 4 — семья и близкие, 5 — дети и то, что мы любим, 6 — работа и ежедневная рутина.

Выраженная нижняя полусфера — это:

развитие внутрь
важна внутренняя жизнь и личное развитие
ориентация на нечто локальное
важно ближнее окружение, близкие, семья
важна внутренняя оценка или оценка близкими
либо мир заставляет человека обустраивать в первую очередь свою личную жизнь, семью, прокачивать себя изнутри, а в плане соц. реализации может «задвигать»

О расчете преобладающей полусферы

У нас получается 2 пары полусфер: восточная и западная, верхняя и нижняя. Мы должны оценить количество планет в каждой паре по отдельности. Если количество планет в паре полусфер равное, то мы пропускаем трактовку этой пары полусфер в данной карте.

Имеет смысл учитывать личные планеты как более важные факторы, то есть оценивать не только количество планет в той или иной полусфере, но и качество. Например, если Луна и Солнце в одной полусфере, а другие планеты — в другой, то полусфера, где Луна и Солнце, все-таки будет важна. В общем, учитываем и количество, и качество планет. И опираемся только на явный перевес.

В карте выше есть явный перевес в верхнюю полусферу, а вот восточная-западная — в балансе, там планет поровну.

Как работают выраженные полусферы

Полусферы все-таки основаны на домах, а это значит, что они, как и дома, отражают по большей части событийность (но не только). Натура человека, которую мы видим через планеты в знаках и их аспекты, может противоречить акцентированным полусферам, но судьба все равно склоняет его к такому сценарию. Если психологический срез карты говорит об обратном, то нам нужно это учитывать.

Например, если в карте заполнен знак Весов, но при этом большинство планет в восточной полусфере, то партнерство и взаимодействие будет для натива очень важным, но жизнь будет склонять человека самого проявлять инициативу, возможно, через партнерство, деликатно и тактично.

Итого

Восточная полусфера со стороны Асц — область личного развития и личных интересов.
Западная полусфера со стороны Дсц — область партнерства и сотрудничества.
Верхняя (южная) полусфера со стороны Мц — область социальной реализации и проявления вовне, в мире.
Нижняя (северная) полусфера со стороны Иц — область развития внутрь, интересов личных и ближнего круга.

Задания

Какие полусферы выделены у вас в карте? Как это проявляется?
Посмотрите карты близких и знакомых, какие полусферы выделены у них и как это проявляется?
Как думаете, как может проявиться выделенная западная полусфера, если при этом преобладает огонь?
Как может проявиться выделенная верхняя полусфера, если при этом стеллиум в 12 доме?
Как может проявиться выделенная нижняя полусфера, если при этом стеллиум в Козероге?
Какие полусферы преобладают в карте ниже? Как вы можете это интерпретировать?

Следующий урок

Все уроки «Астрологии с нуля от Афы Суари»

Профессиональный астролог, изучает астрологию с 2001, консультирует с 2010 года. Преподаватель западной астрологии, ведет курсы и вебинары. Автор собственной методики ректификации и алгоритмов астрологического анализа по разным сферам. Руководитель проекта «Astrodox» (астрологический процессор для Android). Основатель проекта «Астрология 21 века».

Источник

2 (дно) = S

Полусфера, как форма обладающая приятным видом не имеющим углов и граней, часто используется в качестве малых архитектурных форм для оформления детских площадок, загородных участков, газонов и рекреационных зон. Цветные бетонные полусферы эстетично подходят под любой стиль оформления пространства, одновременно выполняя роль ограничителя проезда для транспорта. Полусфера яркого цвета, раскрашенная в виде арбуза, божий коровки, цветка, глобуса или любого другого предмета схожей формы, станет заметным и долговечным примером малых архитектурных форм.

Среди множества вариантов ограждений для тротуаров и парковочных зон, золотой серединой в соотношении цены, качества и долговечности являются бетонные полусферы. Бетонные полушары обладают всеми качествами которыми должны обладать дорожные ограждения. Это прочный долговечный материал устойчивый к ультрафиолету, воздействию химических реагентов и солей, не поддающийся коррозии и обладающий хорошим весом. Гладкая не травмоопасная форма полушара идеально подходит для применения в качестве ограждения для пешеходных зон, тротуаров, детских площадок, площадей перед станциями метрополитена и других мест скопления людей.

Особенностью бетонной полусферы как преграды для проезда автомобиля является ее прочность и долгое сохранение первоначального вида. Это несомненно делает выгодным установку бетонных полусфер перед другими вариантами ограждений из пластика или металла. Для фиксации полусферы из бетона на устанавливаемой поверхности используется арматурный штырь который вставляется в засверленное отверстие в тротуаре, асфальте, бетоне или плитке. То есть без разрушения поверхности дороги или тротуара и проведения сложных черновых работ. Таким образом полусфера аккуратно и прочно фиксируется, но в любой момент может быть демонтирована с помощью специальных средств. После снятия полусферы на месте установки остается малозаметное отверстие.

Во все эпохи и времена примером самой прочной архитектурной формы являлась пирамида, конус и полусфера/полушар. По сей день жители севера выстраивают свои жилища (иглу) в форме половины шара с заниженным входом у основания. Сферическая форма позволяет распределять возможные нагрузки по всей конструкции по принципу яичной скорлупы, и дает возможность разведения костра, без опасения задымления помещения. В современной архитектуре полусфере отведена особенная роль. Полукруглые дома и шатры, или как еще их называют купольные дома, выстраиваются во всех уголках планеты.

Футуристичный вид зданий в виде полусферы используется в частном загородном строительстве, при строительстве городских зданий и сооружений, при возведении шатров и куполов с внутренней эко системой. Примером здания в виде полушара (сферической формы) в Москве является дом на Ленинградском проспекте.

В Санкт-Петербурге строение полушар вмещает в себя целый аквапарк. Конструкция выполнена по современной технологии повышенной прочности с симпатичной иллюминацией снаружи.

Совсем новый, но быстро обретающий популярность вид уличных и домашних светильников — светящаяся полусфера. Полушары правильной формы имеют внушительные размеры от 40 см в диаметре и излучают на выбор 14 цветов при четырех режимах свечения. Выбор цвета и режима свечения осуществляется при помощи пульта дистанционного управления. В основе светящийся полусферы установлен прочный пластиковый патрон с RGB светодиодной лампой и специальным фильтром. Сверху на патрон с фильтром устанавливается пластиковый купол высокой прочности. Питание светящегося уличного полушара осуществляется от сети 220 В.

Особенностью таких ламп является их обычный вид при дневном свете и совсем необычное свечение в темное время суток. Днем эти полусферы выглядят как бетонные или каменные, а ночью сияют мягким светом.

Рабочий диапазон полусферических ламп от -40 до +80 градусов C. Корпус полусферы влагонепроницаем, устойчив к физическим воздействиям и легко моется. По вопросу установки светящихся полусфер для улицы и помещения или как купить, обращайтесь по эл адресу: radair[собака]yandex.ru или по телефону в контактах сайта.

Самыми удобными креслами в мире считаются именно кресла в виде полусфер. Придуманное неизвестным изобретателем кресло полусфера Papasan обрело популярность еще в 50 годах двадцатого века. Основа кресла плелась из ротанга (испанского тростника), а вельветовый чехол в качестве подушки набивался хлопковым пухом.

К началу двадцать первого века появилось множество кресел и диванов в виде полушаров/полусфер не только из разных видов древесины, но из пластика, стеклопластика и даже металла. Кресло полусфера не редкий элемент дизайнерской мебели в современном доме. Ведь именно такая форма, по мнению владельцев, придает чувство особенной расслабленности и комфорта.

Во многих смыслах универсальный тренажер для развития координации, равновесия и не только. Все та же форма полусферы, но на это раз из резины, в народе более известный как полу-мяч. Изобретатель резиновой полусферы для фитнеса утверждает, что все упражнения совершаемые на неустойчивой поверхности, на такой как резиновая полусфера, заставляют работать большое количество мелких мышц, улучшает координацию и положительно влияет на работу вестибулярного аппарата.

То есть воздействие мяча повышает тонус опорно-двигательного аппарата и улучшает осанку. Регулировать жесткость полушара можно при помощи воздуха, накачивая или спуская через специальный клапан, это в свою очередь регулирует сложность выполнения упражнений используя резиновую полусферу для фитнеса.

Если не все, то многие выросшие в СССР помнят этот атрибут каждой детской площадки во дворе. Пользующаяся огромной популярностью, на ровне с качелями, горка в виде металлической паутинки полусферической формы — прекрасное спортивное и развлекательное сооружение в одном флаконе. Детвора кружилась по ней как стая обезьян, играя в салки, перебиралась на руках с одного края на другой. Достаточно подобных детских паутинок сохранилось и по сей день, что в очередной раз является примером прочности конструкции с применением формы полушара, полусферы.

Еще одно воплощение в виде полусферической формы направленное на развитие и образование деток дошкольного и школьного возраста.

Шатер в виде полушара олицетворяющий небесный свод с захватывающей анимационной проекцией на астрономическую тему, легко устанавливается в спортивных или актовых залах учебных заведений.

Под куполом мобильных планетариев читаются интереснейшие лекции с сопровождением анимации при помощи проектора. Форма полусферы как нельзя лучше подходит для имитации небесного пространства.

Объем части полусферы, отрезанной под углом
- - - Объем полусферы, рассеченной плоскостью под заданным углом
  - Разрез проходит строго по центру полусферы, h=R
  - Полусфера разрезана под углом 90 градусов
  - Полусфера разрезана ниже центра h > R
  - Сечение проходит выше центра полусферы h < R
    - Интервалы интегрирования
    - Формула объема
    - Похожие калькуляторы
Калькулятор полушария
- Форма полушария
- Калькулятор Использование
- Полушарие Формулы для радиуса r:
  - Расчет полушария:
Объем полушария – формула, определение, примеры
- Каков объем полушария?
- Объем полушария Формула
- Как найти объем полушария?
- Примеры объема полушария
- Практические вопросы по объему полушария
- Часто задаваемые вопросы об объеме полушария
  - Каков объем полушария?
  - Что такое полушарие?
  - Как найти объем полушария?
  - Какова формула объема полушария?

Объем части полусферы, отрезанной под углом

УчебаМатематикаГеометрия

Объем несимметрично отрезанной части полусферы.