Как найти частное комплексных чисел калькулятор

С помощью данного калькулятора вы можете сложить, вычесть, умножить, и разделить комплексные числа.
Программа решения комплексных чисел не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение
с пояснениями, т.е. отображает процесс нахождения решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.

Правила ввода действительной и мнимой части

Примеры подробного решения >>

Введите действительную и мнимую части чисел ( z_1 ) и ( z_2 ).
У каждого числа нужно ввести как минимум одну часть – действительную или мнимую.

Определение.
Комплексными числами называют выражения вида (а + bi) где (a) и (a) — действительные числа, а (i) — некоторый символ, для которого
по определению выполняется равенство ( i^2=-1 ).

Название «комплексные» происходит от слова «составные» — по виду выражения (а + bi). Число (а) называется действительной частью
комплексного числа (а + bi), а число (b) — его мнимой частью. Число (i) называется мнимой единицей.
Например, действительная часть комплексного числа (2-3i) равна (2), мнимая часть равна (-3).
Запись комплексного числа в виде (а + bi) называют алгебраической формой комплексного числа.

Определение.
Два комплексных числа (a + bi) и (c + di) называются равными тогда и только тогда, когда (a =c) и (b =d), т. е. когда равны
их действительные и мнимые части.

Операции сложения и умножения двух комплексных чисел определяются следующим образом.

Определения.
Суммой двух комплексных чисел (a+ bi) и (c + di) называется комплексное число ( (a+c) + (b+d)i ), т.е.
( (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i ).

Произведением двух комплексных чисел (a + bi) и (c + di) называется комплексное число ( (ac – bd) + (ad + bc)i ), т. е.
( (a + bi)(с + di) = (aс-bd) + (ad + bc)i ).

Из двух предыдущих формул следует, что сложение и умножение комплексных чисел можно выполнять по правилам действий с многочленами.
Поэтому нет необходимости запоминать эти формулы, их можно получить по обычным правилам алгебры, считая, что ( i^2=-1 ).

1. Переместительное свойство
( z_1 + z_2 = z_2 + z_1 ),
( z_1z_2 = z_2z_1 )

2. Сочетательное свойство
( (z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3) ),
( (z_1z_2)z_3 = z_1(z_2z_3) )

3. Распределительное свойство
( z_1(z_2 + z_3) = z_1z_2 + z_1z_3 )

Определение.
Сопряженным с числом (z = a + bi) называется комплексное число (a -bi), которое обозначается ( overline{z} ), т. е.
( overline{z} = overline{a+bi} = a-bi )

Например :
( overline{3 + 4i} = 3-4i ),
( overline{-2-5i} = -2+5i ),
( overline{i} = -i )

Отметим, что ( overline{a-bi} = a+bi ), поэтому для любого комплексного числа (z) имеет место равенство
( overline{(overline{z})} = z )
Равенство ( overline{z} = z ) справедливо тогда и только тогда, когда (z) — действительное число.

Определение.
Модулем комплексного числа (z = a + bi) называется число ( sqrt{a^2+b^2} ), т.е.
( |z|=|a+bi| = sqrt{a^2+b^2} )

Из данной формулы следует, что ( |z| geqslant 0 ) для любого комплексного числа (z), причем (|z|=0) тогда и только тогда,
когда (z=0), т.е. когда (a=0) и (b=0).

Определение.
Комплексное число ( (-1)z ) называется противоположным комплексному числу (z) и обозначается (-z).
Если (z = a + bi), то (-z = -a – bi)
Например : ( -(3-5i) = -3+5i )
Для любого комплексного числа (z) выполняется равенство
( z+(-z) = 0 ).

Вычитание комплексных чисел вводится как операция, обратная сложению: для любых комплексных чисел (z_1) и
(z_2) существует, и притом только одно, число (z), такое, что
( z + z_2 = z_1 ),
т.е. это уравнение имеет только один корень.

Деление комплексных чисел вводится как операция, обратная умножению: для любых комплексных чисел ( z_1 ) и
( z_2 neq 0 ) существует, и притом только одно, число ( z ), такое, что ( z cdot z_2=z_1 ) т.е. это уравнение
относительно z имеет только один корень, который называется частным чисел ( z_1 ) и ( z_2 ) и обозначается
( z_1:z_2 ), или ( frac{z_1}{z_2} ), т.е. ( z=z_1:z_2 = frac{z_1}{z_2} )

Комплексное число нельзя делить на ноль.

Частное комплексных чисел ( z_1 ) и ( z_2 neq 0 ) можно найти по формуле
$$ frac{z_1}{z_2} = frac{z_1 cdot overline{z_2}}{|z_2|^2} $$

Каждое комплексное число (z), не равное нулю, имеет обратное ему число (w), такое, что (z cdot w = 1), где
$$ w= frac{1}{z} = frac{a}{a^2+b^2}-frac{b}{a^2+b^2}i $$

Если ( z_1 = a_1 + b_1i ; , ; z_2 = a_2 + b_2i ), то формулу частного
комплексных чисел можно представить в виде
$$ frac{z_1}{z_2} = frac{a_1+b_1i}{a_2+b_2i}= frac{(a_1+b_1i)(a_2-b_2i)}{a^2_2+b^2_2} =
frac{a_1a_2+b_1b_2}{a^2_2+b^2_2}+ frac{a_2b_1-a_1b_2}{a^2_2+b^2_2}i $$

Действительные числа геометрически изображаются точками числовой прямой. Комплексное число (a + bi) можно рассматривать как пару
действительных чисел ((a; b)). Поэтому естественно комплексные числа изображать точками плоскости.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Комплексное число (z = a + bi) изображается точкой плоскости с
координатами ((a; b)), и эта точка обозначается той же буквой (z).

Такое соответствие между комплексными числами и точками плоскости взаимно однозначно: каждому комплексному числу (a + bi)
соответствует одна точка плоскости с координатами ((a; b)) и, наоборот, каждой точке плоскости с координатами ((a; b)) соответствует
одно комплексное число (a + bi). Поэтому слова «комплексное число» и «точка плоскости» часто употребляются как синонимы. Так, вместо
слов «точка, изображающая число (1 + i)» говорят «точка (1 + i)». Можно, например, сказать «треугольник с вершинами в точках (i, ; 1+i, ; -i )».

При такой интерпретации действительные числа (a), т.е. комплексные числа (a+0i), изображаются точками с координатами ((a; 0)),
т.е. точками оси абсцисс. Поэтому ось абсцисс называют действительной осью.
Чисто мнимые числа (bi = 0+bi) изображаются точками с координатами ((0; b)), т.е. точками оси ординат, поэтому ось ординат называют
мнимой осью. При этом точка с координатами ((0; b)) обозначается (bi).
Например, точка ((0; 1)) обозначается (i), точка ((0; -1)) — это (-i) , точка ((0; 2)) — это точка (2i).
Начало координат — это точка (O).
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называют комплексной плоскостью.

Отметим, что точки (z) и (-z) симметричны относительно точки (O) (начала координат), а точки ( z ) и ( overline{z} ) симметричны
относительно действительной оси.

Комплексное число (z = a+bi) можно изображать вектором с началом в точке (O) и концом в точке (z). Этот вектор будем обозначать той
же буквой (z), длина этого вектора равна (|z|).

Число ( z_1 + z_2 ) изображается вектором, построенным по правилу сложения векторов ( z_1 ) и ( z_2 )
а вектор ( z_1 – z_2 ) можно построить как сумму векторов ( z_1 ) и ( -z_2 ).

Выясним геометрический смысл модуля комплексного числа (|z|).
Пусть (z = a+bi). Тогда по определению модуля ( |z|= sqrt{a^2+b^2} ). Это означает, что (|z|) — расстояние от точки (O) до точки (z).

Например, равенство (|z| = 4) означает, что расстояние от точки (O) до точки (z) равно (4). Поэтому множество всех точек (z),
удовлетворяющих равенству (|z| = 4), является окружностью с центром в точке (O) радиуса (4). Уравнение (|z| = R) является уравнением
окружности с центром в точке (O) радиуса (R), где (R) — заданное положительное число.

Выясним геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел, т.е. ( |z_1-z_2| ).
Пусть ( z_1 = a_1+b_1i, ; z_2 = a_2+b_2i )
Тогда ( |z_1-z_2| = |(a_1-a_2) + (b_1-b_2)i| = sqrt{(a_1+a_2)^2 + (b_1+b_2)^2} )

Из курса геометрии известно, что это число равно расстоянию между точками с координатами ( (a_1;b_1) ) и ( (a_2;b_2) ).

Итак, ( |z_1-z_2| ) — расстояние между точками ( z_1 ) и ( z_2 ).

Определение
Аргумент комплексного числа ( z neq 0 ) — это угол ( varphi ) между положительным направлением действительной оси и
вектором (Oz). Этот угол считается положительным, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательным при отсчете по часовой
стрелке.

Связь между действительной и мнимой частями комплексного числа (z = a + bi), его модулем (r=|z|) и аргументом ( varphi ) выражается
следующими формулами:
( left{ begin{array}{l} a=r cos varphi \ b=r sin varphi end{array} qquad (1) right. )

$$ left{ begin{array}{l} cos varphi =frac{a}{sqrt{a^2+b^2}} \ sin varphi =frac{b}{sqrt{a^2+b^2}} end{array} qquad (2) right. $$

Аргумент комплексного числа (z = a+bi) ( ( z neq 0 ) ) можно найти, решив систему (2). Эта система имеет бесконечно много решений
вида ( varphi =varphi_0+2kpi ), где ( kinmathbb{Z} , ;; varphi_0 ) — одно из решений системы (1), т.е. аргумент комплексного
числа определяется неоднозначно.

Для нахождения аргумента комплексного числа (z = a+bi) ( ( zneq 0 ) ) можно воспользоваться формулой
( tg varphi = large frac{b}{a} normalsize qquad (3) )

При решении уравнения (3) нужно учитывать, в какой четверти находится точка (z = a+bi).

Из равенства (1) следует, что любое комплексное число (z = a+bi), где ( zneq 0 ), представляется в виде
( z = r(cosvarphi +isinvarphi ) qquad (4) )
где ( r=|z|=sqrt{a^2+b^2} ) – модуль комплексного числа (z), ( varphi ) – его аргумент. Запись комплексного числа в
виде (4), где (r>0), называют тригонометрической формой комплексного числа (z).

С помощью тригонометрической формы записи комплексных чисел удобно находить произведение и частное комплексных чисел
(z_1) и (z_2). Если два комплексных числа записаны в тригонометрической форме :
( z_1 = r_1(cosvarphi_1 +isinvarphi_1), quad z_2 = r_2(cosvarphi_2 +isinvarphi_2) )
то произведение этих комплексных чисел можно найти по формуле:
( z_1z_2 = r_1r_2(cos(varphi_1+varphi_2) +isin(varphi_1+varphi_2)) )

Из этой формулы следует, что при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Формула для нахождения частного комплексных чисел:
$$ frac{z_1}{z_2} = frac{r_1}{r_2}(cos(varphi_1-varphi_2) +isin(varphi_1-varphi_2)) $$

Из этой формулы следует, что модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, а разность
аргументов делимого и делителя является аргументом частного.

Для любого ( n in mathbb{Z} ) справедлива формула
$$ z^n = r^n(cos varphi + i sin varphi)^n = r^n(cos (nvarphi) + i sin (nvarphi) ) $$
которую называют формулой Муавра.