Как найти частное комплексных чисел примеры - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти частное двух комплексных чисел, представленных в алгебраической или тригонометрической форме. Также приведены примеры для лучшего понимания теоретического материала.

Деление в алгебраической форме
Деление в геометрической форме

Деление в алгебраической форме

Результатом деления (т.е. частное) двух комплексных чисел x = a₁ + b₁i и y = a₂ + b₂i также является комплексное число z:

Порядок действий следующий:

Делимое и делитель умножаем на число, комплексно сопряженное делителю. Не забываем, что i² = -1.

Примечание: Для (a + bi) комплексно сопряженным будет число (a – bi), т.е. действительная часть остается той же, а у мнимой знак меняется на противоположный.
В результате выполнения умножения в знаменателе получается обычное действительное число.
(a₂ + b₂i)(a₂ – b₂i) = a₂ ⋅ a₂ – a₂ ⋅ b₂i + b₂i ⋅ a₂ – b₂i ⋅ b₂i = a₂² – b₂² ⋅ i² = a₂² + b₂².
Теперь выполним аналогичное действие в числителе:
(a₁ + b₁i)(a₂ – b₂i) = a₁ ⋅ a₂ – a₁ ⋅ b₂i + b₁i ⋅ a₂ – b₁i ⋅ b₂i = a₁a₂ – b₁b₂i² – a₁b₂i + b₁a₂i = (a₁a₂ + b₁b₂) + (a₂b₁ – a₁b₂) ⋅ i.
Делим полученный числитель на знаменатель:

Пример 1:
Разделим комплексное число (3 – i) на (-5 + 2i).

Решение:
Руководствуемся планом действий, описанным выше, и получаем:

Деление в геометрической форме

Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме, например, x = |x| ⋅ (cos φ₁ + i ⋅ sin φ₁) и y = |y| ⋅ (cos φ₂ + i ⋅ sin φ₂), то разделить их можно по формуле ниже:

Пример 2
Найдем частное комплексных чисел: x = 4 ⋅ (cos 60° + i ⋅ sin 60°) и y = 2 ⋅ (cos 25° + i ⋅ sin 25°).

Решение:
|x| : |y| = 4 : 2 = 2
φ₁ – φ₂ = 60° – 25° = 35°
x : y = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°)

Источник

Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел

Пусть даны два комплексных числа в алгебраической форме $z_1 = a + bi, z_2 = c + di$, тригонометрической форме $z_1 = r_1 (cos varphi_1 + isin varphi_1), z_2 = r_2(cos varphi_2 + isin varphi_2)$ и показательной форме $z_1 = r_1 e^{varphi_1 i} , z_2 = r_2 e^{varphi_2 i}$.

Формула суммы и разности

В алгебраической форме $$z_1 + z_2 = (a+bi) + (c+di) = (a + c) + (b + d)i, $$ $$z_1 – z_2 = (a+bi) – (c+di) = (a-c) + (b – d)i, $$в тригонометрической и показательной форме тоже можно выполнять сложение и вычитание, но удобнее это делать в алгебраической.

Формула произведения

В алгебраической форме $$z_1 cdot z_2 = (a+bi) cdot (c+di) = (ac – bd) + i(ad + bc),$$ в тригонометрической форме $$z_1 cdot z_2 = r_1 r_2 (cos (varphi_1 + varphi_2) + isin (varphi_1 + varphi_2)),$$в показательной форме $$z_1 cdot z_2 = r_1 r_2 e^{(varphi_1+varphi_2)i}.$$

Формула деления

В алгебраической форме $$frac{z_1}{z_2} =frac{z_1 overline{z_2}}{z_2 overline{z_2}} = frac{ac+bd}{c^2+d^2} + frac{bc-ad}{c^2+d^2}i, $$в тригонометрической форме $$frac{z_1}{z_2} = frac{r_1}{r_2} (cos(varphi_1 – varphi_2)+isin(varphi_1-varphi_2)),$$в показательной форме $$frac{z_1}{z_2} = frac{r_1}{r_2}e^{(varphi_1 – varphi_2)i}.$$

Введите первое комплексное число

Введите второе комплексное число

Пример 1

Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел $$z_1 = 1+2i, z_2 = -2+i.$$

Решение

Сначала находим сумму. Для этого раскрываем скобки и проводим вычисления с подобными $$z_1 + z_2 = (1+2i) + (-2+i) = 1+2i – 2 + i = (1-2) + (2i+i) = -1 + 3i.$$

Тоже самое делаем для того, чтобы найти разность. Раскрываем скобки и вычисляем $$z_1 – z_2 = (1+2i) – (-2+i) = 1+2i + 2 – i = 3 + i.$$

Теперь найдем произведение чисел. Раскрываем скобки попарно перемножая слагаемые в скобках. Но не забываем, что $i = sqrt{-1}$, а это значит, что $i^2 = -1$, получаем $$z_1 cdot z_2 = (1+2i)cdot (-2+i) = -2 + i – 4i + 2i^2 = $$ $$ = -2 – 3i – 2 = -4-3i.$$

Выполним деление комплексных чисел. Здесь необходимо числитель и знаменатель домножить на комплексно-сопряженное число к знаменателю, чтобы избавиться от дроби $$frac{z_1}{z_2} = frac{1+2i}{-2+i} = frac{(1+2i)(-2-i)}{(-2+i)(-2-i)} = $$ В числителе и знаменателе раскрываем скобки, то есть выполняем умножение комплексных чисел по соответствующей формуле. И не забываем про то, что $i^2 = -1$ $$ = frac{-2-i-4i-2i^2}{4+2i-2i-i^2} = frac{-2-5i+2}{4+1} = frac{-5i}{5} = -i.$$

Ответ

$$z_1 + z_2 = -1+3i, z_1 – z_2 = 3+i, z_1 cdot z_2 = -4-3i, frac{z_1}{z_2} = -i$$

Пример 2

Найти произведение и частное комплексных чисел $z_1 = 2(cos frac{pi}{3} + isin frac{pi}{3})$ и $z_2 = 4(cos frac{pi}{6} + isin frac{pi}{6})$

Решение

Начнем с умножения двух чисел. Вычисляем произведение модулей и складываем аргументы синуса и косинуса $$z_1 cdot z_2 = 2(cos frac{pi}{3} + isin frac{pi}{3}) cdot 4(cos frac{pi}{6} + isin frac{pi}{6}) = $$ $$ = 8 (cos (frac{pi}{3} + frac{pi}{6}) + isin (frac{pi}{3}+frac{pi}{6})) = 8(cosfrac{pi}{2} + isin frac{pi}{2}).$$

Деление выполняется наоборот. Ищем частное модулей и разность аргументов $$frac{z_1}{z_2} = frac{2}{4} (cos (frac{pi}{3} – frac{pi}{6}) +isin (frac{pi}{3}-frac{pi}{6}) = frac{1}{2} (cos frac{pi}{6} + isin frac{pi}{6}).$$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$z_1 cdot z_2 = 8(cosfrac{pi}{2} + isin frac{pi}{2}), frac{z_1}{z_2} = frac{1}{2} (cos frac{pi}{6} + isin frac{pi}{6})$$

Пример 3

Найти произведение и частное комплексных чисел $ z_1 = 6e^{frac{pi}{2}i} $ и $ z_2 = 2e^{frac{pi}{4}i} $

Решение

Для умножения двух комплексных чисел необходимо перемножить их аргументы и сложить показатели степеней $$z_1 cdot z_2 = 6e^{frac{pi}{2}i} cdot 2e^{frac{pi}{4}i} = 12e^{(frac{pi}{2}+frac{pi}{4})i} = 12e^{frac{3pi}{4}i}.$$

Для деления нужно найти частное аргументов двух комплексных чисел и вычислить разницу показателей степеней $$frac{z_1}{z_2} = frac{6e^{frac{pi}{2}i}} {2e^{frac{pi}{4}i}} = frac{6}{2} e^{(frac{pi}{2}-frac{pi}{4})i} = 3e^{frac{pi}{4}i}.$$

Ответ

$$z_1 cdot z_2 = 12e^{frac{3pi}{4}i}, frac{z_1}{z_2} = 3e^{frac{pi}{4}i}$$

Источник

Содержание:

Деление комплексных чисел в алгебраической форме
Деление комплексных чисел в геометрической форме

Деление комплексных чисел в алгебраической форме

Определение

Частным двух комплексных чисел
$z_{1}=a_{1}+b_{1} i$ и
$z_{2}=a_{2}+b_{2} i$ называется число
$z$, которое задается соотношением:

$z=frac{z_{1}}{z_{2}}=frac{a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+frac{a_{2} b_{1}-a_{1} b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}} i$

На практике деление комплексных чисел проводят по следующей схеме:

сначала делимое и делитель умножают на число,
комплексно сопряженное делителю, после чего делитель становится действительным числом;
в числителе умножают два комплексных числа;
полученную дробь почленно делят.

Пример

Задание. Найти частное
$frac{-2+i}{1-i}$

Решение. Домножим и числитель, и знаменатель заданной дроби на число, комплексно сопряженное к знаменателю
$1-i$, это будет
$1+i$, тогда имеем:

$frac{-2+i}{1-i}=frac{-2+i}{1-i} cdot frac{1+i}{1+i}=frac{(-2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}$

Далее перемножаем комплексные числа как алгебраические двучлены, учитывая, что
$i^{2}=-1$:

$frac{-2+i}{1-i}=frac{(-2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=frac{-2-2 i+i-1}{1^{2}-i^{2}}=$

$=frac{-3-i}{1-(-1)}=frac{-3-i}{2}=-frac{3}{2}-frac{i}{2}$

Ответ. $frac{-2+i}{1-i}=-frac{3}{2}-frac{i}{2}$

Деление комплексных чисел в геометрической форме

Если надо поделить комплексные числа $z_{1}$ и
$z_{2}$ в геометрической форме:
$frac{z_{1}}{z_{2}}=frac{left|z_{1}right|left(cos phi_{1}+i sin phi_{1}right)}{left|z_{2}right|left(cos phi_{2}+i sin phi_{2}right)}$ , то искомое число

$z=frac{z_{1}}{z_{2}}=frac{left|z_{1}right|}{left|z_{2}right|}left[cos left(phi_{1}-phi_{2}right)+i sin left(phi_{1}-phi_{2}right)right]$

То есть модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент – разности аргументов делимого и делителя.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти частное
$frac{z_{1}}{z_{2}}$, если
$z_{1}=2 cdotleft(cos frac{3 pi}{4}+i sin frac{3 pi}{4}right)$, а
$z_{2}=cos frac{pi}{4}+i sin frac{pi}{4}$

Решение. Искомое частное

$frac{z_{1}}{z_{2}}=frac{2 cdotleft(cos frac{3 pi}{4}+i sin frac{3 pi}{4}right)}{cos frac{pi}{4}+i sin frac{pi}{4}}=$

$=frac{2}{1} cdotleft[cos left(frac{3 pi}{4}-frac{pi}{4}right)+i sin left(frac{3 pi}{4}-frac{pi}{4}right)right]=$

$=2 cdotleft[cos frac{pi}{2}+i sin frac{pi}{2}right]=2 cdot(0+i)=2 i$

Ответ. $frac{z_{1}}{z_{2}}=2 cdotleft(cos frac{pi}{2}+i sin frac{pi}{2}right)=2 i$

Читать дальше: возведение комплексного числа в степень.

Источник

Деление комплексных чисел

Деление в алгебраической форме

Результатом деления (т.е. частное) двух комплексных чисел и также является комплексное число z :

Порядок действий следующий:

Примечание:

Пример 1:
Разделим комплексное число на .

Решение:
Руководствуемся планом действий, описанным выше, и получаем:

Деление в геометрической форме

Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме, например, и , то разделить их можно по формуле ниже:

Пример 2
Найдем частное комплексных чисел: и .

Деление комплексных чисел

Деление комплексных чисел в алгебраической форме

Частным двух комплексных чисел $z_<1>=a_<1>+b_ <1>i$ и $z_<2>=a_<2>+b_ <2>i$ называется число $z$, которое задается соотношением:

На практике деление комплексных чисел проводят по следующей схеме:

сначала делимое и делитель умножают на число, комплексно сопряженное делителю, после чего делитель становится действительным числом;
в числителе умножают два комплексных числа;
полученную дробь почленно делят.

Задание. Найти частное $frac<-2+i><1-i>$

Решение. Домножим и числитель, и знаменатель заданной дроби на число, комплексно сопряженное к знаменателю $1-i$, это будет $1+i$, тогда имеем:

Далее перемножаем комплексные числа как алгебраические двучлены, учитывая, что $i^<2>=-1$:

Деление комплексных чисел в геометрической форме

Если надо поделить комплексные числа $z_<1>$ и $z_<2>$ в геометрической форме: $frac>>=frac<left|z_<1>right|left(cos phi_<1>+i sin phi_<1>right)><left|z_<2>right|left(cos phi_<2>+i sin phi_<2>right)>$ , то искомое число

Деление комплексных чисел

Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению.

Частным двух комплексных чисел z1 и z2≠0 называется комплексное число z , при умножении которого на z2 получается z1:

Для комплексных чисел, записанных в алгебраической форме:

На практике частное комплексных чисел находят умножением делимого и делителя на число, комплексно-сопряженное делителю.

С помощью формулы правило деления комплексных можно записать так:

Найти частное комплексных чисел:

1) Чтобы выполнить деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, и делимое, и делитель умножаем на число, комплексно-сопряженное делителю (вариант: и числитель, и знаменатель умножаем на число, сопряженное знаменателю):

Умножение комплексных чисел выполняем как умножение многочленов.

i² заменяем на -1.

Деление комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме, будет рассмотрено позже.

[spoiler title=”источники:”]

http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_16_10.php

Деление комплексных чисел

[/spoiler]

Источник

Частное комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах

Для комплексных
чисел

частное

может быть записано в следующем виде

,
откуда следует, что модуль
частного двух комплексных чисел равен
отношению модулей делимого и делителя,
а главное значение
аргумента
частного с точностью до

равно разности
аргументов делимого и делителя.

(9)

Пример 18.
Представить в показательной форме числа

а)

; б)

.

Решение. а)

.
Для этого числа

.

,
поэтому

.

б)
Найдем модуль
и аргумент числа

,
предварительно представив его в
алгебраической форме.

.

– алгебраическая форма данного числа и

,

,

.

Так как действительная
и мнимая части числа

отрицательны, то главное значение
аргумента равно

,
т.е.

Замечание.
При сложении и вычитании комплексных
чисел, как правило, целесообразнее
использовать алгебраическую форму этих
чисел. При умножении, возведении в
степень и извлечении корня более
рациональным может оказаться
тригонометрическая или показательная
форма.

Извлечение корня целой положительной степени из комплексного числа

Извлечь корень
целой положительной степени

из числа

значит найти такое число

,

-ая
степень которого равна

Пусть

.
Тогда

и

,
откуда

,

,
откуда

,
(10)

т. е.

,

(10) – формула для
извлечения корня целой положительной
степени

из комплексного числа

Пример 19
Представить следующие выражения в
алгебраической форме: а)

;
б)

.

Решение.
а)

,

,
откуда

и

.

б)

При

при

.●

Пример 20.
Решить уравнение

и изобразить корни этого уравнения на
комплексной плоскости.

Решение.

Подставляя
последовательно

,

,

и

,
получим четыре
различных корня исходного уравнения:

,

,

(рис. 15).●

Рис. 15

ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОго
ПЕРЕМЕННОго.

Понятие функции
комплексного переменного вводится по
аналогии с понятием функции действительной
переменной.

Определение.
Величина

называется функцией
комплексного переменного
в области

,
если задан закон, по которому каждому
значению

,
ставится в соответствие одно или
несколько значений