Как найти частное решение линейного дифференциального уравнения

Как найти общее и частное решение линейных дифференциальных уравнений

Линейное дифференциальное уравнение – это уравнение, в котором все $y$ и его производные, входят только в первой степени и не перемножаются между собой.

В этой статье рассмотрим решение таких уравнений первого и второго порядка с неоднородной правой частью. В зависимости от порядка диффура выбирается метод его решения. Хотя есть универсальный метод вариации произвольных постоянных. Разберем все методы.

Линейное ДУ первого порядка

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка имеют следующий вид $$y’+g(x)y=f(x),$$ где $g(x)$ и $f(x)$ некоторые функции. Для решения такого типа уравнений можно применить метод Бернулли, либо метод Лагранжа (вариация произвольной постоянной).

Метод Бернулли

1. Выполняем подстановку $y=uv, y’=u’v+uv’$, где $u(x),v(x)$ некоторые функции
2. Строим систему уравнений, чтобы найти $u(x)$ и $v(x)$
3. Подставляем $u(x), v(x)$ в $y=uv$, чтобы получить общее решение.

Пример 1

Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка $$y’-y tg x=frac{1}{cos x}, y(0)=0.$$

Решение

Первым шагом делаем подстановку $y=uv, y’=u’v+uv’$ и получаем $$u’v+uv’-uv tg x=frac{1}{cos x}.$$ Теперь выносим за скобки функцию $u$ и составляем систему уравнений: $$u’v+u(v’-v tg x)=frac{1}{cos x}$$ $$begin{cases} v’-v tg x = 0 \ u’v=frac{1}{cos x} end{cases}.$$ Сначала решаем первое уравнение методом разделяющихся переменных, чтобы из него получить $v(x)$: $$begin{cases} frac{dv}{v} = tg x dx \ u’v=frac{1}{cos x} end{cases} Rightarrow begin{cases} ln|v| = -int frac{d(cos x)}{cos x} \ u’v = frac{1}{cos x} end{cases}$$ $$begin{cases} ln|v| = -ln|cos x| \ u’v=frac{1}{cos x} end{cases} Rightarrow begin{cases} v=frac{1}{cos x} \ u’ = 1 end{cases} Rightarrow begin{cases} v=frac{1}{cos x} \ u=x+C end{cases}.$$ Таким образом подставляем найденные $u$ и $v$ в подстановку $y=uv$, чтобы получить общее решение линейного дифференциального уравнения $$y=frac{x+C}{cos x}.$$ Но по условию требуется найти частное решение, поэтому используя дополнительное условие $y(0)=0$ находим константу $C$ $$frac{0+C}{cos 0} = 0 Rightarrow C = 1.$$ Теперь зная значение $C=1$ подставляем его в общее решение и получаем ответ в виде частного решения линейного дифференциального уравнения $$y = frac{x}{cos x}.$$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$y = frac{x}{cos x}$$

Метод Лагранжа (вариация произвольной постоянной)

1. Находим общее решение однородного уравнения
2. В общем решении заменяем постоянную $C$ на функцию $C(x)$
3. Находим $y’$ и подставляем его вместе с $y$ в исходное уравнение
4. Получаем чему равно $C(x)$ из последнего равенства
5. Подставляем $C(x)$ в ранее полученное общее решение и записываем ответ

Пример 2

Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка $$y’ cos^2 x + y = tg x, quad y(0)=0.$$

Решение

Сначала приведем уравнение к виду $y’+g(x)=f(x)$ путем деления обеих частей диффура на квадрат косинуса $$y’ + frac{y}{cos^2 x} = frac{sin x}{cos^3 x}.$$ Теперь находим общее решение однородного дифференциального уравнения $$y’+frac{y}{cos^2 x} = 0.$$ Разделяем переменные по разные стороны и интегрируем обе части: $$frac{dy}{dx}=-frac{y}{cos^2 x}$$ $$int frac{dy}{y}=-int frac{dx}{cos^2 x}$$ $$ln|y|=-tg x + C$$ $$y = Ce^{-tg x}.$$ Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения методом Лагранжа варьируя произвольную постоянную. А именно, заменяем в полученном общем решении константу $C$ на функцию $C(x)$ $$y = C(x)e^{-tg x}.$$ Находим производную функции $$y’ = C'(x)e^{-tg x} – C(x)e^{-tg x} frac{1}{cos^2 x}.$$ Подставляем общее решение и его производную в исходное линейное дифференциальное уравнение, чтобы получить $C'(x)$ $$(C'(x)e^{-tg x} – C(x)e^{-tg x} frac{1}{cos^2 x}) cos^2 x + C(x)e^{-tg x} = tg x.$$ После упрощения получаем, что $$C'(x)e^{-tg x} cos^2 x = tg x.$$ Умножаем уравнение на $e^{tg x}$ и делим на $cos^2 x$ $$C'(x) = frac{tg x}{cos^2 x} e^{tg x}.$$ Теперь, можно получить $C(x)$, просто проинтегрировав правую часть уравнения $$C(x) = int frac{tg x}{cos^2 x} e^{tg x} dx. $$ Выполняем подведение под знак дифференциала $frac{1}{cos^2 x}$ $$C(x) = int tg x e^{tg x} d(tg x).$$ Для комфорта взятия интеграла сделаем замену $tg x = t$, а затем применяя метод интегрирования по частям найдем решение интеграла $$C(x)=int t e^t dt = begin{vmatrix} u = t qquad du=dt \ dv=e^t qquad v=e^t end{vmatrix} = te^t – int e^t dt = te^t – e^t + C.$$ Возвращаемся назад к иксам $$C(x) = te^t – e^t + C = tg x e^{tg x} – e^{tg x} + C.$$ Итак, теперь можно записать общее решение линейного дифференциального уравнения неоднородного $$ytext{о.н.} = ( tg x e^{tg x} – e^{tg x} + C)e^{-tg x} = tg x – 1 + Ce^{-tg x}.$$ По условию задачи требуется найти частное решение, значит применяем условие $y(0)=0$ и находим значение постоянной $C$ $$0 – 1 + C = 0 Rightarrow C=1.$$ Теперь можно записать окончательный ответ $$y = e^{-tg x} + tg x – 1.$$

Ответ

$$y = e^{-tg x} + tg x – 1$$

Линейное ДУ второго порядка

Обычно в контрольных работах дают задачи на решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Поэтому разберем как решать именно такие уравнения $$y”+py’+qy=f(x).$$

Метод подбора по правой части

Общее решение линейного неоднородного уравнения складывается из общего решения однородного и частного решения неоднородного уравнений $$y_text{о.н.} = y_text{о.о.}+y_text{ч.н.}.$$ Поэтому первым делом нужно решить однородное уравнение (т.е. f(x)=0), а затем найти частное решение подобрав правую часть по таблице.

Для того, чтобы найти общее решение линейного однородного уравнения, требуется составить характеристический многочлен и найти его корни $$lambda^2 + plambda + q = 0.$$ В зависимости от получившихся корней общее решение однородного уравнения выглядит следующим образом:

1. $lambda_1 neq lambda_2$, то $y_text{о.о.} = C_1 e^{lambda_1 x} + C_2 e^{lambda_2 x}$
2. $lambda_1 = lambda_2$, то $y_text{о.о.} = C_1 e^{lambda_1 x} + C_2 xe^{lambda_1 x}$
3. $lambda_{1,2} = alpha pm beta i$, то $y_text{о.о.} = C_1e^{alpha x}cos beta x + C_2 e^{alpha x} sin beta x$.

Далее необходимо по виду правой части подобрать частное решение $y_text{ч.н.}$. Для этого нужно воспользоваться таблицей.

№	Правая часть	Корни характеристического многочлена	Вид частного решения
1	$$P_n (x)$$	Число 0 не является корнем характеристического уравнения.	$$tilde{P_n}(x)$$
Число 0 – корень характеристического уравнения кратности $S$.	$$x^s tilde{P_n}(x)$$
2	$$P_n (x) e^{alpha x}$$	Число $alpha$ не является корнем характеристического уравнения.	$$tilde{P_n} (x) e^{alpha x}$$
Число $alpha$ является корнем характеристического уравнения кратности $S$.	$$x^s tilde{P_n} (x) e^{alpha x}$$
3	$$P_n (x) cos beta x + Q_m (x) sin beta x$$	Число $pm ibeta$ не является корнем характеристического уравнения.	$$tilde {P_n} cos beta x + tilde{Q_m} sin beta x$$
Число $pm ibeta$ является корнем характеристического уравнения кратности $S$.	$$x^s (tilde {P_n} cos beta x + tilde{Q_m} sin beta x)$$
4	$$e^{alpha x}[P_n (x) cos beta x + Q_m (x) sin beta x]$$	Число $alpha pm ibeta$ не является корнем характеристического уравнения.	$$e^{alpha x}[P_n (x) cos beta x + Q_m (x) sin beta x]$$
Число $alpha pm ibeta$ является корнем характеристического уравнения.	$$x^s e^{alpha x}[P_n (x) cos beta x + Q_m (x) sin beta x]$$

Где $P_n(x)$ и $Q_m(x)$ многочлены.

Пример 3

Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка $$y”+y’-2y=8sin 2x.$$

Решение

Первым делом находим общее решение однородного дифференциального уравнения $$y”+y’-2y=0.$$ Для этого составляем характеристический многочлен и находим его корни по общей формуле решения квадратных уравнений: $$lambda^2+lambda-2=0$$ $$lambda_{1,2} = frac{-1pm sqrt{1^2-4cdot 1 cdot (-2)}}{2} = frac{-1pm 3}{2}$$ $$lambda_1 = -2, quad lambda_2 = 1.$$ Теперь, используя корни, записывам $$y_text{о.о.} = C_1e^{-2 x} + C_2e^{x}.$$ Теперь нужно найти частное решение неоднородного уравнения $y_text{ч.н.}$ методом подбора правой части. Смотрим на неё и видим, что в нее входит произведение многочлена нулевой степени на косинус. Значит, частное решение будет подбирать в виде $$y_text{ч.н.} = Acos 2x + Bsin 2x,$$ где $A$ и $B$ неизвестные коэффициенты, которые требуется найти на следующем этапе решения. Найдем первую и вторую производную от частного решения: $$y’_text{ч.н.} = -2Asin 2x + 2Bcos 2x$$ $$y”_text{ч.н.} = -4Acos 2x – 4Bsin 2x$$ Теперь подставим полученные производные от $y_text{ч.н.}$ и его само в исходное дифференциальное уравнение, чтобы получить значения $A$ и $B$ методом неопределенных коэффициентов: $$-4Acos 2x – 4Bsin 2x -2Asin 2x + 2Bcos 2x – 2Acos 2x -2Bsin 2x = 8sin 2x$$ $$(2B – 6A)cos 2x + (-6B – 2A)sin 2x = 8sin 2x.$$ Теперь необходимо составить систему уравнений. Справа видим только синус, значит все что перед косинусом слева равно нулю. А всё что перед синусом равно восьми $$begin{cases} 2B-6A = 0 \ -6B-2A = 8 end{cases} Leftrightarrow begin{cases} B-3A=0 \ 3B+A=-4 end{cases} Leftrightarrow begin{cases} B = frac{6}{5} \ A=-frac{2}{5} end{cases}$$ Теперь частное решение неоднородного уравнения выглядит следующим образом $$y_text{ч.н.} = -frac{2}{5} cos 2x – frac{6}{5}sin 2x.$$ Подставляем все найденные данные в окончательную формулу, чтобы записать ответ $$y_text{о.н.} = y_text{о.о.} + y_text{ч.н.} = C_1e^{-2 x} + C_2e^{x} -frac{2}{5} cos 2x – frac{6}{5}sin 2x.$$

Ответ

$$y = C_1e^{-2 x} + C_2e^{x} -frac{2}{5} cos 2x – frac{6}{5}sin 2x$$

Пример 4

Решить линейное дифференциальное уравнение $$y”-4y=e^{2x}sin 2x.$$

Решение

Сначала получим общее решение однородного уравнения $$y”-4y=0.$$ Составляем характеристическое уравнение и найдем его корни: $$lambda^2 – 4 = 0$$ $$(lambda – 2)(lambda + 2) = 0$$ $$lambda_1 = -2, quad lambda_2 = 2.$$ Записываем теперь решение $$y_text{о.о.} = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}.$$ Теперь выполним подбор частного решения неоднородного уравнения, основываясь на типе правой части. Она состоит из произведение экспоненты на синус, перед которым многочлен. По таблице находим, что частное решение нужно искать в виде $$y_text{ч.н.} = Ae^{2x}cos 2x + Be^{2x}sin 2x.$$ Необходимо найти коэффициенты $A$ и $B$. Для этого нужно найти вторую производную частного решения и подставить в исходное уравнение $$y’_text{ч.н.} = 2Ae^{2x}cos 2x – 2Ae^{2x}sin 2x + 2Be^{2x}sin 2x + 2Be^{2x}cos 2x = $$ $$ = (2A+2B)e^{2x}cos 2x + (2B-2A)e^{2x}sin 2x$$ $$y”_text{ч.н.} = 2(2A+2B)e^{2x}cos 2x – 2(2A+2B)e^{2x}sin 2x + 2(2B-2A)e^{2x}sin 2x + 2(2B-2A)e^{2x}cos 2x = $$ $$ = 8Be^{2x}cos 2x – 8Ae^{2x}sin 2x.$$ Подставляем в исходное ДУ: $$8Be^{2x}cos 2x – 8Ae^{2x}sin 2x – 4Ae^{2x}cos 2x – 4Be^{2x}sin 2x = e^{2x} sin 2x$$ $$(8B-4A)e^{2x}cos 2x + (-8A-4B)e^{2x}sin 2x = e^{2x}sin 2x.$$ Теперь составляем систему уравнений путем сопоставления левой и правой части. То, что слева перед синусом приравниваем к тому, что справа перед синусом. А справа косинуса нет, значит там ноль. Поэтому приравниваем скобки перед косинусом слева к нулю $$begin{cases} 8B-4A=0 \ -8A-4B = 1 end{cases} Rightarrow begin{cases} 2B-A=0 \ -8A-4B=1 end{cases} Rightarrow begin{cases} A = -frac{1}{10} \ B = -frac{1}{20} end{cases}.$$ Теперь частное решение приобретает вид $$y_text{ч.н.} = -frac{1}{10}e^{2x}cos 2x – frac{1}{20} e^{2x} sin 2x,$$ и можно записать окончательный ответ к задаче $$y_text{о.н.} = y_text{о.о.}+y_text{ч.н.} = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}-frac{1}{10}e^{2x}cos 2x – frac{1}{20} e^{2x} sin 2x.$$

Ответ

$$y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}-frac{1}{10}e^{2x}cos 2x – frac{1}{20} e^{2x} sin 2x$$

Метод Лагранжа (вариация произвольной постоянной)

Данный метод удобно применять тогда, когда правая часть не подходит под формулы из таблицы. Таким образом, метод Лагранжа становится универсальной палочкой-выручалочкой при решении данного типа задач. Алгоритм следующий:

1. Находим общее решение однородного уравнения $y_text{о.о.} = C_1 y_1 + C_2 y_2$
2. Заменяем константы $C_1,C_2$ на функции $C_1(x)$ и $C_2(x)$
3. Решаем систему методом Крамера $begin{cases} C_1 ‘(x)y_1 + C_2 ‘(x)y_2 = 0 \ C_2 ‘(x)y’_1 + C_2 ‘(x) y’_2 = f(x) end{cases}$
4. Интегрируем полученные $C’_1 (x)$ и $C’_2 (x)$
5. Подставляем $C_1(x)$ и $C_2(x)$ в общее решение $y_text{о.о.}$

Пример 5

Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка $$y”+y=frac{1}{sin x}.$$

Решение

Первым делом находим общее решение однородного уравнения $$y”+y=0, $$ составив характериcтический многочлен $$lambda^2 + 1 = 0, $$ и вычислив его корни $$lambda_{1,2} = pm i.$$ Записываем решение $$y_text{о.о.} = C_1 cos x + C_2 sin x.$$ Далее заменяем в нём постоянные $C_1$ и $C_2$ на функции $C_1(x)$ и соответственно $C_2(x)$. И сразу замечаем, что $y_1 = cos x$ и $y_2 = sin x$. Это пригодится для дальнейшего решения задачи при построении системы уравнений. А сейчас записываем, что $$y_text{о.о.} = C_1 (x) cos x + C_2(x) sin x.$$ Перед тем как составим систему уравнений найдем производные: $$y’_1 = -sin x$$ $$y’_2 = cos x.$$ Теперь получаем систему и решаем её методом Крамера $$begin{cases} C_1 ‘(x)cos x+C_2(x)sin x = 0 \ -C’_1 (x)sin x + C’_2(x) cos x = frac{1}{sin x} end{cases}.$$ Находим значение главного определителя $$Delta = begin{vmatrix} cos x & sin x \ -sin x & cos x end{vmatrix} = cos^2 x + sin^2 x = 1.$$ Найдем значение первого дополнительного определителя $$Delta_1 = begin{vmatrix} 0 & sin x \ frac{1}{sin x} & cos x end{vmatrix} = -1 .$$ Найдем значение второго дополнительного определителя $$Delta_2 = begin{vmatrix} cos x & 0 \ -sin x & frac{1}{sin x} end{vmatrix} = frac{cos x}{sin x}.$$ Теперь можно получить производные от искомых функций: $$C’_1(x) = frac{Delta_1}{Delta} = -1$$ $$C’_2(x) = frac{Delta_2}{Delta} = frac{cos x}{sin x}.$$ А затем путем интегрирования находим первообразные последних функций: $$C_1(x)=int (-1) dx = -x + tilde{C_1}$$ $$C_2(x)=int frac{cos x}{sin x} dx = int frac{d(sin x)}{sin x} = ln|sin x| + tilde{C_2}.$$ Теперь получим общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения путем подстановки найденных $C_1(x)$ и $C_2(x)$ в $y_text{о.о.}$ $$y_text{о.о.} = (-x + tilde{C_1})cos x + (ln|sin x|+tilde{C_2})sin x.$$

Ответ

$$y = (-x + tilde{C_1})cos x + (ln|sin x|+tilde{C_2})sin x$$

I. Обыкновенные дифференциальные
уравнения

1.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением называется
уравнение, связывающее между собой
независимую переменную x, искомую
функцию y и её производные или
дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение
записывается так:

F(x,y,y’)=0, F(x,y,y”)=0, F(x,y,y’,y”,.., y⁽ⁿ⁾)=0

Дифференциальное уравнение называется
обыкновенным, если искомая функция зависит
от одного независимого переменного.

Решением дифференциального уравнения
называется такая функция ,
которая обращает это уравнение в тождество.

Порядком дифференциального уравнения
называется порядок старшей производной,
входящей в это уравнение

Примеры.

1. Рассмотрим дифференциальное уравнение
первого порядка

Решением этого уравнения является
функция y = 5 ln x. Действительно, ,
подставляя y’ в уравнение, получим
– тождество.

А это и значит, что функция y = 5 ln x– есть
решение этого дифференциального уравнения.

2. Рассмотрим дифференциальное уравнение
второго порядка y” – 5y’ +6y = 0. Функция
– решение этого уравнения.

Действительно, .

Подставляя эти выражения в уравнение,
получим: ,

– тождество.

А это и значит, что функция
– есть решение этого дифференциального
уравнения.

Интегрированием дифференциальных
уравнений называется процесс нахождения
решений дифференциальных уравнений.

Общим решением дифференциального
уравнения называется функция вида ,в
которую входит столько независимых
произвольных постоянных, каков порядок
уравнения.

Частным решением дифференциального
уравнения называется решение, полученное
из общего решения при различных числовых
значениях произвольных постоянных.
Значения произвольных постоянных
находится при определённых начальных
значениях аргумента и функции.

График частного решения
дифференциального уравнения называется интегральной
кривой.

Примеры

1.Найти частное решение дифференциального
уравнения первого порядка

xdx + ydy = 0, если y = 4 при x = 3.

Решение. Интегрируя обе части уравнения,
получим

Замечание. Произвольную постоянную С,
полученную в результате интегрирования,
можно представлять в любой форме, удобной
для дальнейших преобразований. В данном
случае, с учётом канонического уравнения
окружности произвольную постоянную С
удобно представить в виде .

– общее решение дифференциального
уравнения.

Частное решение уравнения,
удовлетворяющее начальным условиям y =
4 при x = 3 находится из общего
подстановкой начальных условий в общее
решение: 3² + 4²= C²; C=5.

Подставляя С=5 в общее решение, получим x²
+y² = 5².

Это есть частное решение
дифференциального уравнения, полученное из
общего решения при заданных начальных
условиях.

2. Найти общее решение дифференциального
уравнения

Решением этого уравнения является всякая
функция вида ,
где С – произвольная постоянная.
Действительно, подставляя в уравнения ,
получим: ,
.

Следовательно, данное дифференциальное
уравнение имеет бесконечное множество
решений, так как при различных значениях
постоянной С равенство
определяет различные решения уравнения .

Например, непосредственной подстановкой
можно убедиться, что функции
являются решениями уравнения .

Задача, в которой требуется найти частное
решение уравнения y’ = f(x,y) 
удовлетворяющее начальному условию y(x₀)
= y₀, называется задачей Коши.

Решение уравнения y’ = f(x,y),
удовлетворяющее начальному условию, y(x₀)
= y₀, называется решением задачи Коши.

Решение задачи Коши имеет простой
геометрический смысл. Действительно,
согласно данным определениям, решить
задачу Коши y’ = f(x,y)  при условии y(x₀)
= y₀,, означает найти интегральную
кривую уравнения y’ = f(x,y)  которая
проходит через заданную точку M₀(x₀,y₀).

II. Дифференциальные уравнения первого
порядка

2.1. Основные понятия

Дифференциальным уравнением первого
порядка называется уравнение вида F(x,y,y’) =
0.

В дифференциальное уравнение первого
порядка входит первая производная и не
входят производные более высокого порядка.

Уравнение y’ = f(x,y) называется
уравнением первого порядка, разрешённым
относительно производной.

Общим решением дифференциального
уравнения первого порядка называется
функция вида ,
которая содержит одну произвольную
постоянную.

Пример. Рассмотрим дифференциальное
уравнение первого порядка .

Решением этого уравнения является
функция .

Действительно, заменив в данном уравнении,

его значением, получим

то есть 3x=3x

Следовательно, функция
является общим решением уравнения
при любом постоянном С.

Найти частное решение данного уравнения,
удовлетворяющее начальному условию y(1)=1
Подставляя начальные условия x = 1, y =1 
в общее решение уравнения ,
получим
откуда C = 0.

Таким образом, частное решение получим из
общего
подставив в это уравнение, полученное
значение C = 0

– частное решение.

2.2. Дифференциальные уравнения с
разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с
разделяющимися переменными называется
уравнение вида: y’=f(x)g(y) или через
дифференциалы ,
где f(x)  и g(y)– заданные функции.

Для тех y, для которых ,
уравнение y’=f(x)g(y) равносильно уравнению,

в котором переменная y присутствует
лишь в левой части, а переменная x- лишь в
правой части. Говорят, «в уравнении y’=f(x)g(y
разделим переменные».

Уравнение вида
называется уравнением с разделёнными
переменными.

Проинтегрировав обе части уравнения
по x, получим G(y) = F(x) + C– общее
решение уравнения, где G(y) и F(x) –
некоторые первообразные соответственно
функций
и f(x), C произвольная постоянная.

Алгоритм решения дифференциального
уравнения первого порядка с разделяющимися
переменными

1. Производную функции переписать через её
   дифференциалы
2. Разделить переменные.
3. Проинтегрировать обе части равенства,
   найти общее решение.
4. Если заданы начальные условия, найти
   частное решение.

Пример 1

Решить уравнение y’ = xy

Решение. Производную функции y’
заменим на

разделим переменные

проинтегрируем обе части равенства:

Ответ:

Пример 2

Найти частное решение уравнения

2yy’ = 1- 3x²,
если y₀ = 3 при x₀ = 1

Это—уравнение с разделенными
переменными. Представим его в
дифференциалах. Для этого перепишем данное
уравнение в виде
Отсюда

Интегрируя обе части последнего
равенства, найдем

Подставив начальные значения x₀ = 1,
y₀ = 3 найдем С 9=1-1+C, т.е. С = 9.

Следовательно, искомый частный интеграл
будет
или

Пример 3

Составить уравнение кривой, проходящей
через точку M(2;-3) и имеющей касательную с угловым
коэффициентом

Решение. Согласно условию

Это уравнение с разделяющимися
переменными. Разделив переменные, получим:

 Проинтегрировав обе части уравнения,
получим:

Используя начальные условия, x = 2  и y
= – 3 найдем C:

Следовательно, искомое уравнение имеет
вид

2.3. Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением
первого порядка называется уравнение вида y’
= f(x)y + g(x)

где f(x) и g(x) – некоторые заданные функции.

Если g(x)=0 то
линейное дифференциальное уравнение
называется однородным и имеет вид:  y’ = f(x)y

Если
то уравнение y’ = f(x)y + g(x) называется неоднородным.

Общее решение линейного однородного
дифференциального уравнения y’ = f(x)y задается формулой:
где С – произвольная постоянная.

В частности, если С =0, то решением
является  y = 0 Если линейное однородное уравнение имеет
вид y’ = ky где k – некоторая постоянная, то его общее решение
имеет вид: .

Общее решение линейного неоднородного
дифференциального уравнения y’ = f(x)y + g(x) задается формулой ,

т.е. равно сумме общего решения
соответствующего линейного однородного
уравнения и частного решения
данного уравнения.

Для линейного неоднородного уравнения
вида y’
= kx + b,

где k и b–
некоторые числа и частным
решением будет являться постоянная функция
.
Поэтому общее решение имеет вид .

Пример. Решить уравнение y’ + 2y +3 = 0

Решение. Представим уравнение в виде y’
= -2y – 3 где k = -2, b= -3 Общее решение задается формулой .

Следовательно,
где С – произвольная постоянная.

Ответ:

2.4. Решение линейных дифференциальных
уравнений первого порядка методом Бернулли

Нахождение общего решения линейного
дифференциального уравнения первого
порядка y’ = f(x)y + g(x) сводится к решению двух дифференциальных
уравнений с разделенными переменными с
помощью подстановки y=uv,
где u и v – неизвестные функции от x.
Этот метод решения называется методом
Бернулли.

 Алгоритм решения линейного дифференциального
уравнения первого порядка

y’ = f(x)y + g(x)

1. Ввести подстановку y=uv.

2. Продифференцировать это равенство y’ =
u’v + uv’

3. Подставить y и y’ в данное уравнение:  
u’v + uv’ = f(x)uv + g(x) или u’v + uv’ +  f(x)uv = g(x).

4. Сгруппировать члены уравнения так, чтобы
u вынести
за скобки:

5. Из скобки, приравняв ее к нулю, найти
функцию

Это уравнение с разделяющимися
переменными:

Разделим переменные и получим:

Откуда .
.

6. Подставить полученное значение v в уравнение
(из п.4):

и найти функцию
Это уравнение с разделяющимися переменными:

7. Записать общее решение в виде: ,
т.е. .

Пример 1

Найти частное решение уравнения y’ = -2y
+3 = 0  если y =1  при x = 0

Решение. Решим его с помощью
подстановки y=uv, .y’ = u’v + uv’

Подставляя y и y’
в данное уравнение, получим

Сгруппировав второе и третье слагаемое
левой части уравнения, вынесем общий
множитель u за
скобки

Выражение в скобках приравниваем к нулю и,
решив полученное уравнение, найдем функцию v
= v(x)

Получили уравнение с разделенными
переменными. Проинтегрируем обе части
этого уравнения:
Найдем функцию v:

Подставим полученное значение v в уравнение
Получим:

Это уравнение с разделенными переменными.
Проинтегрируем обе части уравнения:
Найдем функцию u = u(x,c)
Найдем общее решение:
Найдем частное решение уравнения,
удовлетворяющее начальным условиям y = 1 при
x = 0:

Ответ:

III. Дифференциальные уравнения высших
порядков

3.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением второго
порядка называется уравнение, содержащее
производные не выше второго порядка. В
общем случае дифференциальное уравнение
второго порядка записывается в виде: F(x,y,y’,y”)
= 0

Общим решением дифференциального
уравнения второго порядка называется
функция вида ,
в которую входят две произвольные
постоянные C₁ и C₂.

Частным решением дифференциального
уравнения второго порядка называется
решение, полученное из общего
при некоторых значениях произвольных
постоянных C₁ и C₂.

3.2. Линейные однородные дифференциальные
уравнения второго порядка с



постоянными коэффициентами.

Линейным однородным дифференциальным
уравнением второго порядка с постоянными
коэффициентами называется уравнение вида
y” + py’ +qy = 0, где pи q–
постоянные величины.

Алгоритм решения однородных дифференциальных
уравнений второго порядка с постоянными
коэффициентами

1. Записать дифференциальное уравнение в
виде: y” + py’ +qy = 0.

2. Составить его характеристическое
уравнение, обозначив y” через r²,
y’  через r, yчерез
1:
r² + pr +q = 0

3.Вычислить дискриминант  D = p² -4q
и найти корни характеристического
уравнения; при этом если:

а) D > 0; следовательно,
характеристическое уравнение имеет два
различных действительных корня .
Общее решение дифференциального уравнения
выражается в виде ,
где C₁ и C₂ – произвольные постоянные.

б) D = 0; следовательно,
характеристическое уравнение имеет равные
действительные корни .
Общее решение дифференциального уравнения
выражается в виде

в) D < 0; следовательно,
характеристическое уравнение имеет
комплексные корни,
Общее решение дифференциального уравнения
выражается, в виде 

Примеры.

1. Найти частное решение дифференциального
уравнения

Решение. Составим характеристическое
уравнение

D>0,

Общее решение

Дифференцируя общее решение, получим

Составим систему из двух уравнений

Подставим вместо ,и

заданные начальные условия:

Таким образом, искомым частным решением
является функция

.

2. Найти частное решение уравнения

Решение

<0,

Общее решение

–
частное решение.

IV. Практическая работа

Вариант 1

1. Составить уравнение кривой, проходящей
через точку M(1;2) и имеющей угловой коэффициент .

2. Найти частные решения дифференциальных
уравнений:

а)

б)

в)

г)

Вариант 2

1. Составить уравнение кривой, проходящей
через точку M(2;1) и имеющей угловой коэффициент

2. Найти частные решения дифференциальных
уравнений:

а)

б)

в)

г)

V. Ответы

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений

На
данном уроке мы рассмотрим алгоритм
решения третьего типа дифференциальных
уравнений, который встречается
практически в любой контрольной работе
– линейные
неоднородные дифференциальные уравнения
первого порядка.
Для краткости их часто называют
просто линейными уравнениями.
Материал не представляет особых
сложностей, главное, уметь уверенно
интегрировать и дифференцировать.

Начнем
с систематизации и повторения.

На
что в первую очередь следует посмотреть,
когда вам предложено для
решения любоедифференциальное
уравнение первого порядка? В первую
очередь необходимо проверить, а нельзя
ли у данного диффура разделить переменные?
Если переменные разделить можно (что,
кстати, далеко не всегда очевидно), то
нужно использовать алгоритмы и приемы
решения, которые мы рассмотрели на
первом уроке – Дифференциальные
уравнения первого порядка.
Советую посетить этот урок чайникам и
всем читателям, которые чувствуют, что
их знания и навыки в теме пока не очень
хороши.

Если
переменные в ДУ разделить не удалось,
переходим к следующему этапу –
проверяем,  а не является ли уравнение
однородным? Проверку обычно выполняют
мысленно или на черновике, с самим
алгоритмом проверки и образцами решения
однородных уравнений можно ознакомиться
на втором уроке – Однородные
дифференциальные уравнения первого
порядка.

Если
переменные разделить не удалось, и
уравнение однородным не является, то
в 90% случаев перед вами как раз линейное
неоднородное уравнение второго порядка.

Линейное
уравнение первого порядка в
стандартной записи имеет
вид:

Что
мы видим?
1) В линейное уравнение входит
первая производная .
2)
В линейное уравнение входит произведение ,
где  –
одинокая буковка «игрек» (функция),
а  –
выражение, зависящее только
от «икс».
3)
И, наконец, в линейное уравнение входит
выражение ,
тоже зависящее только
от«икс».
В частности,  может
быть константой.

Примечание: Разумеется,
в практических примерах эти три слагаемых
не обязаны располагаться именно в таком
порядке, их спокойно можно переносить
из части со сменой знака.

Перед
тем, как перейти к практическим задачам,
рассмотрим некоторые частные 
модификации линейного уравнения.

– Как
уже отмечалось, выражение  может
быть некоторой константой  (числом),
в этом случае линейное уравнение
принимает вид: 

– Выражение  тоже
может быть некоторой константой ,
тогда линейное уравнение принимает
вид: .
В простейших случаях константа равна
+1 или –1, соответственно, линейное
уравнение записывается еще проще:  или .

– Рядом
с производной может находиться
множитель ,
зависящий только
от «икс»:  –
это тоже линейное уравнение.

Поехали.

Пример
1

Решить
дифференциальное уравнение 

Решение: Данное
уравнение является линейным и имеет
простейший вид: .

Как
решить линейное уравнение?

Существуют
два способа решения. Первый способ –
это так называемый метод
вариации произвольной постоянной.
Второй способ связан с заменой переменной,
его также иногда называют методом
Бернулли.
В данной статье я не буду рассматривать
метод вариации произвольной постоянной.
Нет, он не сложнее,  дело в том, что
его значительно труднее объяснить,
поэтому как-нибудь в другой           
раз. А вот метод замены переменной
алгоритмически прост и понятен, и
решение уравнения принимает чёткий
трафаретный характер.

В
который раз у меня хорошая новость!
Линейное дифференциальное уравнение
можно решить одной-единственной заменой:

,
где  и  –
некоторые, пока
ещё неизвестные функции,
зависящие от «икс».

Коль
скоро проводится замена ,
то нужно выяснить, чему равна производная.
По правилу дифференцирования
произведения:

Подставляем  и  в
наше уравнение :

В
чём состоит задача? Необходимо
найти неизвестные функции «у» и «вэ»,
которые зависят от «икс». И как раз
этому будут посвящены все последующие
действия.

После
подстановки смотрим на два слагаемых,
которые располагаются вот на этих
местах:

У
них нужно вынести за скобки всё, что
можно вынести. В данном случае:

Теперь
нужно составить систему уравнений.
Система составляется стандартно:

Приравниваем
к нулю то, что находится в скобках: .

Если ,
тогда из нашего уравнения  получаем:  или
просто .

Уравнения
записываем в систему:
.

Именно
в таком порядке.

Система
опять же решается стандартно.

Сначала из
первого уравнения находим функцию . Это
простейшее уравнение с разделяющимися
переменными, поэтому его решение я
приведу без комментариев.

Функция  найдена.
Обратите внимание, что константу  на
данном этапе мы не
приписываем. 

Далее подставляем
найденную функцию  во
второе уравнение системы :

Да
тут ништяк, экспоненты сокращаются, и
получается диффур, даже не простейший,
а для студенток муз-педа.

Из
второго уравнения находим
функцию .


Функция  найдена.
А вот здесь уже добавляем константу .

Ха.
А задача-то решена! Вспоминаем, с чего
всё начиналось: . 
Обе
функции найдены: 
 

Записываем
общее решение:

В
ответе можно раскрыть скобки, это дело
вкуса:

Ответ: общее
решение 

Проверка
выполняется по той же технологии,
которую мы рассматривали на
урокеДифференциальные
уравнения первого порядка.

Берём
полученный ответ  и
находим производную:

Подставим  и  в
исходное уравнение :

Получено
верное равенство, таким образом, общее
решение найдено правильно.

Пример
2

Найти
общее решение дифференциального
уравнения 

Решение: Данное
уравнение имеет «классический»
вид  линейного
уравнения. Проведем замену:  и
подставим  и  в
исходное уравнение :

После
подстановки проведем вынесение множителя
за скобки,  какие два слагаемых нужно
мучить – смотрите предыдущий пример.
Хотя, наверное, все уже поняли:

Составляем
систему. Для этого приравниванием к
нулю то, что находится в скобках: ,
автоматически получая и второе уравнение
системы:

В
результате:
.

Из
первого уравнения найдем функцию :

 –
найденную функцию   подставим
во второе уравнение системы :

Теперь
находим функцию .
Уравнение опять получилось простенькое:

Обе
функции найдены: 


Таким
образом:
Общее решение: 

Ответ: общее
решение: 

Желающие
могут выполнить проверку, для проверки
в ответе лучше предварительно раскрыть
скобки.

Пример
3

Найти
общее решение дифференциального
уравнения 

Это
пример для самостоятельного решения,
полное решение и ответ в конце урока.

Если
у вас возникли (или возникнут) проблемы
технического характера, пожалуйста,
вернитесь к первому уроку Дифференциальные
уравнения первого порядка.

Как
видите, алгоритм решения линейного
уравнения довольно прост. В чем
особенность решения линейных уравнений?
Особенность состоит в том, что практически
всегда в ответе получается общее
решение,
в отличие, например, от однородных
уравнений,
где общее решение хорошо выражается
крайне редко и ответ приходится
записывать в виде общего
интеграла. 

Рассмотрим
что-нибудь с дробями

Пример
4

Найти
частное решение дифференциального
уравнения ,
удовлетворяющее начальному условию 

Напоминаю,
что такая постановка вопроса также
называется задачей
Коши.

Решение: Алгоритм
решения полностью сохраняется, за
исключением того, что в конце прибавится
один небольшой пунктик.

Обратите
внимание, что уравнение представлено
не совсем в стандартной форме. Этого в
данном случае можно не делать, но я
все-таки  рекомендую всегда переписывать
уравнения в привычном виде :

Данное
ДУ является линейным, проведем
замену: 

Типовой
вынос за скобки:

Составим
и решим систему:

Из
первого уравнения найдем :

 –
подставим найденную функцию во второе
уравнение системы и найдем функцию :

Здесь
интеграл взят методом
подведения функции под знак дифференциала.

Обе
функции найдены, таким образом, общее
решение:

На
заключительном этапе нужно решить
задачу Коши, то есть найти частное
решение, удовлетворяющее начальному
условию .
Как находить частное решения для диффура
первого порядка, мы очень подробно
рассмотрели на уроке Дифференциальные
уравнения первого порядка.

В
данном случае:

Ответ: частное
решение: 

А
вот проверку частного решения еще раз
повторим. Сначала проверяем, действительно
ли выполняется начальное условие ?
 –
да, начальное условие выполнено.

Теперь
берём полученный ответ  и
находим производную. Используем правило
дифференцирования частного:

Подставим  и  в
исходное уравнение :

Получено
верное равенство, значит, задание
выполнено верно.

Пример
5

Найти
решение задачи Коши
, 

Это
пример для самостоятельного решения,
полное решение и ответ в конце урока.

Перейдем
к рассмотрению «частных видов» линейных
уравнений, о которых шла речь в начале
урока.

Пример
6

Найти
решение задачи Коши для данного
дифференциального уравнения
, 

Решение: В
данном уравнении слагаемые опять не
на своих местах, поэтому сначала пытаемся
максимально близко приблизить диффур
к виду :

Что
здесь особенного? Во-первых, в правой
части у нас константа .
Это допустимо. Во-вторых, рядом с
производной есть множитель ,
который зависит только от «икс». Это
тоже допустимо. Из-за этих особенностей
линейное уравнение не перестает быть
линейным.

Алгоритм
решения полностью сохраняется за
исключением пары нюансов в самом начале.

Проведем
замену: 

Теперь
следовало бы выполнить вынесение
множителя за скобки. Прозвучит каламбурно,
но сначала нам нужно раскрыть скобку,
поскольку одно из нужных нам слагаемых
недоступно:

Вот
теперь проводим вынесение множителя
скобки:

Обратите
внимание на тот факт, что за скобки мы
вынесли не только функцию ,
но еще и «икс». Всё, что
можно вынести за скобки – выносим.

Составим
и решим систему:

Из
первого уравнения найдем :

 –
подставим во второе уравнение системы:

Таким
образом, общее решение: 

Найдем
частное решение, соответствующее
заданному начальному условию:

Ответ: частное
решение: 

Пример
7

Найти
частное решение ДУ
, 

Это
пример для самостоятельного решения.

Какие
трудности встречаются в ходе решения
линейного уравнения? Основной камень
преткновения состоит в том, что может
появиться довольно сложный интеграл.
Как правило, неприятный интеграл
появляется при нахождении функции  (в
то время как с нахождением функции  обычно
проблем не возникает).

Рассмотрим
пару примеров с такими интегралами.

 Пример
8

Найти
общее решение ДУ

Решение: Сначала
приводим линейное уравнение к родному
виду : 

Уравнение
кажется простым, но, как я уже отмечал,
впечатление может быть обманчивым. Не
редкость, когда «страшный» диффур на
самом деле оказывается несложным, а
«легкий» на вид диффур вызывает
мучительную боль за бесцельно прожитые
часы.

Проведем
замену: 


Составим
и решим систему:
.

Из
первого уравнения найдем :

 –
подставим найденную функцию во второе
уравнение:

Такой
интеграл, кстати, еще нигде не встречался
в моих уроках. Он берется по частям.
Вспоминаем формулу
интегрирования по частям: .
Но, вот незадача, буквы  и  у
нас уже заняты, и использовать те же
самые буквы в формуле – не есть хорошо.
Что делать? Используем ту же формулу,
но с другими буквенными обозначениями.
Можно выбрать любые другие буквы, я
привык записывать правило с «а» и «бэ»:

Интегрируем
по частям:

Если
возникли трудности или недопонимание,
освежите знания на уроках Метод
замены переменной и Интегрирование
по частям.

Таким
образом:

Ответ: общее
решение: 

Давненько
я не вспоминал интегрирование по частям,
даже ностальгия появилась. А поэтому
еще один пример для самостоятельного
решения. Какой пример? Конечно же, с
логарифмом! Ну а чего еще от меня можно
было ожидать? =)

Пример
9

Найти
общее решение дифференциального
уравнения

В
предложенном примере проявлена небольшая
вольность для любознательных фанатов
матана. Нет, алгоритм остался точно
таким же, просто я сразу начал решать
диффур, не перенеся предварительно  в
правую часть. Полное решение и ответ в
конце урока.

В
моей коллекции есть уравнения и с более
трудными интегралами, но сейчас речь
идет о дифференциальных уравнениях. В
этой связи я намеренно не включил в
урок такие задачи, все-таки интегралы
изучаются в другой теме.

Надеюсь,
мои примеры и объяснения были полезны,
до скорых встреч!

Решения
и ответы:

Пример
3: Решение: Данное
уравнение является линейным неоднородным,
проведем замену: 


Составим
и решим систему:

Из
первого уравнения найдем :




 –
подставим во второе уравнение
системы:



Таким
образом: 
Ответ: общее
 решение: 

Пример
5: Решение: Данное
уравнение является линейным неоднородным,
замена: 


Составим
и решим систему:
 . 
Из
первого уравнения найдем :



 –
подставим во второе уравнение
системы:



Общее
решение: 
Найдем
частное решение, соответствующее
заданному начальному условию:

Ответ: частное
решение: 

Пример
7: Решение: Данное
уравнение является линейным неоднородным,
замена: 


(раскрыли
только левые скобки!)

Составим
и решим систему:
 . 
Из
первого уравнения найдем :

 –
подставим во второе уравнение:
(Примечание:
здесь использовано основное логарифмическое
тождество:  ).

Таким
образом, общее решение:

Найдем
частное, соответствующее заданному
начальному условию:

Ответ: частное
решение:

Пример
9: Решение: Данное
ДУ является линейным, проведем
замену: 


Решим
систему:

Из
первого уравнения найдем :



 

 –
подставим во второе уравнение:




Интегрируем
по частям:


Таким
образом: 
Ответ: общее
решение: 

83