Как найти частное решение матрицы методом гаусса - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Метод Гаусса

Метод Гаусса
1. Пример 1
2. Пример 2
Несовместность системы (нет решений)
1. Пример 3
Общее и частное решение системы (бесконечное множество решений)
1. Пример 4

Пусть задана система линейных алгебраических уравнений: $$begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_3 = b_1 \ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + a_{23} x_3 = b_2 \ a_{31} x_1 + a_{32} x_2 + a_{33} x_3 = b_3 end{cases}. $$

Запишем систему уравнений в виде расширенной матрицы, состоящей из коэффициентов и столбца свободных членов. Вертикальная черта используется для удобства оформления. $$ begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & | & b_1 \ a_{21} & a_{22} & a_{23} & | & b_2 \ a_{31} & a_{32} & a_{33} & | & b_3 end{pmatrix} $$
С помощью элементарных преобразований матрицы (вычитание одной строки из другой, умноженной на коэффициент, удаление одинаковых и нулевых строк, деление строки на число отличное от нуля) получаем нули под главной диагональю $$ begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & | & b_1 \ 0 & a_{22} & a_{23} & | & b_2 \ 0 & 0 & a_{33} & | & b_3 end{pmatrix} $$
Используя элементарные преобразования, изложенные в пункте 2, приводим матрицу к виду содержащему нули везде, кроме главной диагонали $$ begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 & | & b_1 \ 0 & a_{22} & 0 & | & b_2 \ 0 & 0 & a_{33} & | & b_3 end{pmatrix} $$

Пример 1

Решить систему уравнений методом Гаусса $$begin{cases} x_1 + 2 x_2 + x_3 = 5 \ -x_1 + 3 x_2 -2 x_3 = 3 \ – x_1 -7 x_2 + 4 x_3 = -5 end{cases}. $$

Решение

Запишем расширенную матрицу, состоящую из коэффициентов при неизвестных $x_1, x_2, x_3$ и отдельно столбец свободных членов $b_1, b_2, b_3$. $$begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 5 \ -1 & 3 & -2 & | & 3 \ -1 & -7 & 4 & | & -5 end{pmatrix} $$

Приведем матрицу к нижнетреугольному виду (под главной диагональю должны быть нули) с помощью элементарных преобразований.

Прибавим ко второй строке первую. $$begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 5 \ 0 & 5 & -1 & | & 8 \ -1 & -7 & 4 & | & -5 end{pmatrix} $$

Далее прибавляем к третьей строке первую. $$ begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 5 \ 0 & 5 & -1 & | & 8 \ 0 & -5 & 5 & | & 0 end{pmatrix}$$

Теперь осталось к третьей строке прибавить вторую строку, чтобы под главной диагональю были только нули. $$ begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 5 \ 0 & 5 & -1 & | & 8 \ 0 & 0 & 4 & | & 8 end{pmatrix}$$

Замечаем, что в третьей строке стоят числа, которые можно сократить на четыре. Для этого выполняем деление всей третьей строки на 4. $$ begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 5 \ 0 & 5 & -1 & | & 8 \ 0 & 0 & 1 & | & 2 end{pmatrix}$$

Теперь выполняем обратный ход Гаусса снизу вверх. Прибавляем ко второй строке третью строку. $$begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 5 \ 0 & 5 & 0 & | & 10 \ 0 & 0 & 1 & | & 2 end{pmatrix}$$

Сразу замечаем, что вторую строку можно сократить на 5. $$begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 5 \ 0 & 1 & 0 & | & 2 \ 0 & 0 & 1 & | & 2 end{pmatrix}$$

Продолжаем обратный ход, вычитаем третью строку из первой. $$begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 3 \ 0 & 1 & 0 & | & 2 \ 0 & 0 & 1 & | & 2 end{pmatrix}$$

Осталось из первой строки вычесть вторую строку, умноженную на 2, для того, чтобы в первой строке появился ноль. $$begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -1 \ 0 & 1 & 0 & | & 2 \ 0 & 0 & 1 & | & 2 end{pmatrix}$$

Теперь перепишем получившуюся матрицу в виде системы уравнений, чтобы в дальнейшем получить чему равны неизвестные $x_1, x_2, x_3$. $$begin{cases} x_1 = -1 \ x_2 = 2 \ x_3 = 2 end{cases}$$

Ответ

$$x_1 = -1, x_2 = 2, x_3 = 2$$

Пример 2

Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса $$begin{cases} 2x_1 + 5 x_2 + 4x_3 + x_4 = 20 \ x_1 + 3 x_2 + 2x_3 +x_4 = 11 \ 2x_1 +10 x_2 + 9 x_3 + 7x_4 = 40 \ 3x_1 + 8x_2 + 9x_3 + 2x_4 = 37 end{cases}. $$

Решение

Записываем расширенную матрицу $$ begin{pmatrix} 2&5&4&1&|&20 \ 1&3&2&1&|&11 \ 2&10&9&7&|&40 \ 3&8&9&2&|&37 end{pmatrix}.$$

Умножаем вторую строку на 2 и вычитаем из неё первую строчку. Из третьей строки просто вычитаем первую. Умножаем четвертую строку на 2 и вычитаем из неё первую строку, умноженную на 3. Получаем матрицу $$begin{pmatrix} 2&5&4&1&|&20 \ 0&1&0&1&|&2 \ 0&5&5&6&|&20 \ 0&1&6&1&|&14 end{pmatrix}.$$

Берем вторую строку, умноженную на 5 и вычитаем из третьей. Затем вторую строку вычитаем из четвертой. $$begin{pmatrix} 2&5&4&1&|&20 \ 0&1&0&1&|&2 \ 0&0&5&1&|&10 \ 0&0&6&0&|&12 end{pmatrix}$$

Теперь умножаем третью строку на 6 и вычитаем её из четвертой строки, умноженной на 5. $$begin{pmatrix} 2&5&4&1&|&20 \ 0&1&0&1&|&2 \ 0&0&5&1&|&10 \ 0&0&0&-6&|&0 end{pmatrix}$$

Получили нижнетреугольную матрицу, то есть ниже главной диагонали расположены нули. Теперь проделываем элементарные преобразования снизу вверх, так называемый обратный ход Гаусса. Но прежде замечаем, что появилась строка, в которой можно выполнить сокращение. А именно в четвертой строке можно разделить все числа на (-6). И получаем $$begin{pmatrix} 2&5&4&1&|&20 \ 0&1&0&1&|&2 \ 0&0&5&1&|&10 \ 0&0&0&1&|&0 end{pmatrix}$$

Вот теперь вычитаем четвертую строчку из третьей, второй и первой. $$begin{pmatrix} 2&5&4&0&|&20 \ 0&1&0&0&|&2 \ 0&0&5&0&|&10 \ 0&0&0&1&|&0 end{pmatrix}$$

Из второй строки мы не будем вычить третью, потому что там итак стоит ноль, ради которого мы проводим элементарные преобразования, поэтому пропускаем этот шаг.

Умножаем на 4 третью строку и вычитаем её из первой, умноженной на 5. $$begin{pmatrix} 10&25&0&0&|&60 \ 0&1&0&0&|&2 \ 0&0&5&0&|&10 \ 0&0&0&1&|&0 end{pmatrix}$$

Замечаем, что в первой строке можно все числа сократить на 5. $$begin{pmatrix} 2&5&0&0&|&12 \ 0&1&0&0&|&2 \ 0&0&5&0&|&10 \ 0&0&0&1&|&0 end{pmatrix}$$

Теперь остался последний шаг это умножить вторую строку на 5 и вычесть из первой. $$begin{pmatrix} 2&0&0&0&|&2 \ 0&1&0&0&|&2 \ 0&0&5&0&|&10 \ 0&0&0&1&|&0 end{pmatrix}$$

Замечаем, что первую строку можно сократить на 2, а третью строку на 5. $$begin{pmatrix} 1&0&0&0&|&1 \ 0&1&0&0&|&2 \ 0&0&1&0&|&2 \ 0&0&0&1&|&0 end{pmatrix}$$

Переписываем матрицу в виде привычной системы уравнений и получаем ответ $$begin{pmatrix} 1&0&0&0&|&1 \ 0&1&0&0&|&2 \ 0&0&1&0&|&2 \ 0&0&0&1&|&0 end{pmatrix} sim begin{cases} x_1 = 1 \ x_2 = 2 \ x_3 = 2 \ x_4 = 0 end{cases}.$$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 2, x_4 = 0$$

Несовместность системы (нет решений)

Если в результате элементарных преобразований появилась нулевая строка вида $$begin{pmatrix} 0&0&0&|&b end{pmatrix} text{ где } b neq 0,$$то система уравнений не имеет решений. На этом алгоритм Гаусса заканчивает свою работу и можно записывать ответ, что система несовместна, то есть нет решений.

Пример 3

Найти решение системы линейных уравнений методом Гаусса $$begin{cases} 7x_1 – 2x_2 – x_3 = 2 \ 6x_1 – 4x_2 – 5x_3 = 3 \ x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 5 end{cases}.$$

Решение

Как обычно пишем расширенную матрицу по коэффициентам при неизвестных переменных и столбцу свободных членов $$begin{pmatrix} 7&-2&-1&|&2 \ 6&-4&-5&|&3 \ 1&2&4&|&5 end{pmatrix}.$$

Запускаем алгоритм Гаусса. Идём сверху вниз. Умножаем вторую строку на 7 и вычитаем из неё первую строчку умноженную на 6. Затем первую строку вичитаем из третьей, умноженной на 7. $$begin{pmatrix} 7&-2&-1&|&2 \ 0&-16&-29&|&9 \ 0&16&29&|&33 end{pmatrix}$$

Далее по алгоритму прибавляем вторую строку к третьей. $$begin{pmatrix} 7&-2&-1&|&2 \ 0&-16&-29&|&9 \ 0&0&0&|&42 end{pmatrix}$$

Видим, что в результате элементарных преобразований появилась строка в которой все нули, кроме свободного члена. Это означает, что система несовместа, то есть у системы уравнений нет решения.

Ответ

Нет решений, так как система несовместна.

Общее и частное решение системы (бесконечное множество решений)

Часто после элементарных преобразований в расширенной матрице появляются нулевые строки вида $$begin{pmatrix} 0&0&0&|&0 end{pmatrix}.$$ Такую строку нужно вычеркивать из матрицы и система уравнений будет иметь бесконечное множество решений. Разберем это на практике.

Пример 4

Найти общее и два частных решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса $$begin{cases} x_1+x_2-x_3=4 \ 3x_1+2x_2-5x_3=7 \ 3x_1+x_2-7x_3=2 end{cases}.$$

Решение

Составляем расширенную матрицу $$begin{pmatrix} 1&1&-1&|&4 \ 3&2&-5&|&7 \ 3&1&-7&|&2 end{pmatrix}.$$

Из второй и третьей строки вычетаем первую, умноженную на 3. $$begin{pmatrix} 1&1&-1&|&4 \ 0&-1&-2&|&-5 \ 0&-2&-4&|&-10 end{pmatrix}$$

Из третьей строки вычитаем вторую, домноженную на 2. $$begin{pmatrix} 1&1&-1&|&4 \ 0&-1&-2&|&-5 \ 0&0&0&|&0 end{pmatrix}$$

Теперь согласно обратному ходу Гаусса вторую строку прибавляем к первой. $$begin{pmatrix} 1&0&-3&|&-1 \ 0&-1&-2&|&-5 \ 0&0&0&|&0 end{pmatrix}$$

По окочанию элементарных преобразований получилась строка, в которой все элементы равны нулю. Значит, система имеет бесконечное множество решений. Для его записи понадобится отличать базисные и свободные переменные. Обычно за базисные берут переменные, которые стоят на главной диагонали, а остальные свободные. В нашем случае базисными будут $x_1, x_2$, а свободной $x_3$.

Переписываем матрицу в виде системы $$begin{pmatrix} 1&0&-3&|&-1 \ 0&-1&-2&|&-5 \ 0&0&0&|&0 end{pmatrix} sim begin{cases} x_1-3x_3 = -1 \ -x_2-2x_3 = -5 end{cases}.$$

Так как $x_1, x_2$ являются базисными переменными, то их переносим в левую часть равенства, а всё остальное в правую часть. Получившееся называют общим решением решением системы уравнений $$begin{cases} x_1-3x_3 = -1 \ -x_2-2x_3 = -5 end{cases} sim begin{cases} x_1 = 3x_3-1 \ x_2 = 5-2x_3 end{cases}.$$

Чтобы получить частное решение системы уравнений нужно вместо свободного $x_3$ подставить любое число, например $x_3 = 0$. Тогда получаем, что $$begin{cases} x_1 = -1 \ x_2 = 5 end{cases}.$$ Возьмем ещё например $x_3 = 1$ и получаем $$begin{cases} x_1 = 2 \ x_2 = 3 end{cases}.$$

Можно брать различные числа вместо $x_3$ и получать бесконечное множество решений.

Ответ

Общее решение системы уравнений $$begin{cases} x_1 = 3x_3-1 \ x_2 = 5-2x_3 end{cases}.$$

Частные решения системы уравнений $$begin{cases} x_1 = -1 \ x_2 = 5 end{cases}, begin{cases} x_1 = 2 \ x_2 = 3 end{cases}.$$

Источник

Решение СЛАУ методом Гаусса

Смысл метода: последовательно исключаем переменную за переменной, пока в одной из строк не будет однозначно определена переменная x_i. Идею можно проиллюстрировать на простом примере:
x₁ – x₂ = 3
-x₁ + 2x₂ = 1
=========== (складываем строки)
-x₂ + 2x₂= 3 + 1 = 4 или x₂ = 4
Откуда, x₁ = 7

Суть метода можно понять, проанализировав пример решения.

Решение.
Запишем систему в виде расширенной матрицы:

Далее умножаем 2-ую строку на (2) и добавляем к первой:

Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим первую строчку на (3), 2-ую строку умножаем на (-1). Следующее действие: складываем первую и вторую строки:

Теперь исходную систему можно записать как:
x₃ = 51/17
x₂ = [27 – 7x₃]/3
x₁ = [14 – (2x₂ + 3x₃)]
Из 1-ой строки выражаем x₃ : 51/17 = 3
Из 2-ой строки выражаем x₂ : (27 – 7*3)/3 = 2
Из 3-ой строки выражаем x₁ : (14 – 2*2 – 3*3) = 1

Вывод: метод Гаусса является достаточно простым методом при небольшом количестве переменных и позволяет найти точное значение переменных. Процесс отыскания переменных можно упростить, если каждый раз сортировать столбцы по возрастанию.

Метод Гаусса онлайн

Данный онлайн калькулятор находит решение системы линейных уравнений (СЛУ) методом Гаусса. Дается подробное решение. Для вычисления выбирайте количество переменных и количество уравнений. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку “Вычислить.”

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Метод Гаусса

Метод Гаусса − это метод перехода от исходной системы линейных уравнений (при помощи эквивалентных преобразований) к системе, которая решается проще, чем исходная система.

Эквивалентными преобразованиями системы линейных уравнений являются:

перемена местами двух уравнений в системе,
умножение какого-либо уравнения в системе на ненулевое действительное число,
прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

(1)

Запишем систему (1) в матричном виде:

A-называется матрица коэффициентов системы, b − правая часть ограничений, x− вектор переменных, которую нужно найти. Пусть rang(A)=p.

Эквивалентные преобразования не меняют ранг матрицы коэффициентов и ранг расширеннной матрицы системы. Не меняется также множество решений системы при эквивалентных преобразованиях. Суть метода Гаусса заключается в приведении матрцы коэффициентов A к диагональному или ступенчатому.

Построим расшренную матрицу системы:

(4)

Предположим a₁₁≠0. Если это не так, то можно поменять местами эту строку со строкой с ненулевым элементом в столбце 1 (если нет таких строк, то переходим к следующему столбцу). Обнуляем все элементы столбца 1 ниже ведущего элемента a₁₁. Для этого сложим строки 2,3, . m со строкой 1, умноженной на −a₂₁/a₁₁, −a₃₁/a₁₁, . −a_m1/a₁₁, соответственно. Тогда (4) примет следующий вид:

(5)

На следующем этапе обнуляем все элементы столбца 2, ниже элемента . Если данный элемент нулевой, то эту строку меняем местами со строкой, лежащий ниже данной строки и имеющий ненулевой элемент во втором столбце. Далее обнуляем все элементы столбца 2 ниже ведущего элемента a₂₂. Для этого сложим строки 3, . m со строкой 2, умноженной на −a₃₂/a₂₂, . −a_m2/a₂₂, соответственно. Продолжая процедуру, получим матрицу диагонального или ступенчатого вида. Пусть полученная расширенная матрица имеет вид:

(6)

Обратим внимание на последние строки. Если . равны нулю, то система линейных уравнений имеет решение, если же хотя бы один из этих чисел отлично от нуля, то система несовместна. Иными словами, система (2) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A навен рангу расширенной матрицы (A|b).

Пусть . Тогда

Так как rangA=rang(A|b), то множество решений (7) есть (n−p)− многообразие. Следовательно n−p неизвестных можно выбрать произвольно. Остальные неизвестные из системы (7) вычисляются так. Из последнего уравнения выражаем x_p через остальные переменные и вставляем в предыдущие выражения. Далее из предпоследнего уравнения выражаем x_p−1 через остальные переменные и вставляем в предыдущие выражения и т.д. Рассмотрим метод Гаусса на конкретных примерах.

Примеры решения системы линейных уравнений методом Гаусса

Пример 1. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:

Матричный вид записи: Ax=b, где

Для решения системы, запишем расширенную матрицу:

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a_{1 1}. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -2/3,-1/2 соответственно:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a2 2. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 9/8:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Из вышеизложенной таблицы можно записать:

Подставив верхние выражения в нижние, получим решение.

Пример 2. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:

Матричный вид записи: Ax=b, где

Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a₁₁. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/5,-6/5 соответственно:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a₂₂. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -1:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Выразим переменные x₁, x₂ относительно остальных переменных.

где x₃, x₄− произвольные действительные числа.

Подставив верхние выражения в нижние, получим решение.

где x₃, x₄− произвольные действительные числа.

Векторный вариант решения:

Запишем вышеизложенное решение, представив свободные переменные в виде тождеств:

Тогда векторное решение можно представить так:

где x₃, x₄− произвольные действительные числа.

Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Используя этот онлайн калькулятор для решения систем линейных уравнений (СЛУ) методом Гаусса, вы сможете очень просто и быстро найти решение системы.

Воспользовавшись онлайн калькулятором для решения систем линейных уравнений методом Гаусса, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на решения систем линейных уравнений, а также закрепить пройденный материал.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Изменить названия переменных в системе

Заполните систему линейных уравнений:

Ввод данных в калькулятор для решения систем линейных уравнений методом Гаусса

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Для изменения в уравнении знаков с “+” на “-” вводите отрицательные числа.
Если в уравнение отсутствует какая-то переменная, то в соответствующем поле ввода калькулятора введите ноль.
Если в уравнение перед переменной отсутствуют числа, то в соответствующем поле ввода калькулятора введите единицу.

Например, линейное уравнение x ₁ – 7 x ₂ – x ₄ = 2

будет вводится в калькулятор следующим образом:

Дополнительные возможности калькулятора для решения систем линейных уравнений методом Гаусса

Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши “влево”, “вправо”, “вверх” и “вниз” на клавиатуре.
Вместо x ₁, x ₂, . вы можете ввести свои названия переменных.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

[spoiler title=”источники:”]

http://matworld.ru/calculator/gauss-method-online.php

http://ru.onlinemschool.com/math/assistance/equation/gaus/

[/spoiler]

Источник

Карл Фридрих Гаусс – немецкий математик, основатель одноименного метода решения СЛАУ

Карл Фридрих Гаусс – был известным великим математиком и его в своё время признали «королём математики». Хотя название «метод Гаусса» является общепринятым, Гаусс не является его автором: метод Гаусса был известен задолго до него. Первое его описание имеется в китайском трактате «Математика в девяти книгах», который составлен между II в. до н. э. и I в. н. э. и представляет собой компиляцию более ранних трудов, написанных примерно в X в. до н. э.

Метод Гаусса – последовательное исключение неизвестных. Этот метод используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений. Хотя уравнения при помощи метода Гаусса решаются легко, но всё же студенты часто не могут найти правильное решение, так как путаются в знаках (плюсы и минусы). Поэтому во время решения СЛАУ необходимо быть предельно внимательным и только тогда можно легко, быстро и правильно решить даже самое сложное уравнение.

У систем линейных алгебраических уравнений есть несколько преимуществ: уравнение не обязательно заранее на совместность; можно решать такие системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равняется нулю; есть возможность при помощи метода Гаусса приводить к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Определения и обозначения
Простейшие преобразования элементов матрицы
Алгоритм решения методом Гаусса пошагово
- Шаг 1. Переписываем систему в виде матрицы
- Шаг 2. Преобразовываем матрицу: вторую строку в первом столбце приводим к нулю
- Шаг 3. Приводим матрицу к ступенчатому виду
- Шаг 4. Записываем эквивалентную систему
- Шаг 5. Производим проверку (решение системы обратным путём)
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица невырожденная, а количество в ней неизвестных равняется количеству уравнений
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица вырожденная, а количество в ней неизвестных не совпадает с количеством уравнений
Примеры решения методом Гаусса
Заключение

Определения и обозначения

Как уже говорилось, метод Гаусса вызывает у студентов некоторые сложности. Однако, если выучить методику и алгоритм решения, сразу же приходит понимание в тонкостях решения.

Для начала систематизируем знания о системах линейных уравнений.

СЛАУ в зависимости от её элементов может иметь:

Одно решение;
много решений;
совсем не иметь решений.

В первых двух случаях СЛАУ называется совместимой, а в третьем случае – несовместима. Если система имеет одно решение, она называется определённой, а если решений больше одного, тогда система называется неопределённой.

Метод Крамера и матричный способ не подходят для решения уравнений, если система имеет бесконечное множество решений. Вот поэтому нам и нужен метод Гаусса, который поможет нам в любом случае найти правильное решение. К элементарным преобразованиям относятся:

перемена мест уравнений системы;
почленное умножение обеих частей на одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами;
сложение к обеим частям одного из уравнений определённых частей другого уравнения.

Итак, когда мы знаем основные правила и обозначения, можно приступать к решению.

Теперь рассмотрим, как решаются системы методом Гаусса на простом примере:

$[left{ begin{aligned} a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z = d_{1}\ a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z = d_{2}\ a_{3}x + b_{3}y + c_{3}z = d_{3} end {aligned} right.]$

где а, в, с – заданные коэффициенты, d – заданные свободные члены, x, y, z – неизвестные. Коэффициенты и свободные члены уравнения можно называть его элементами.

Если = = = , тогда система линейных алгебраических уравнений называется однородной, в другом случае – неоднородной.

Множественные числа , , называются решением СЛАУ, если при подстановке , , в СЛАУ получим числовые тождества.

Система, которую мы написали выше имеет координатную форму. Если её переделать в матричную форму, тогда система будет выглядеть так:

$A = begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{31}\ a_{12}&a_{22}&a_{32}\ a_{13}&a_{23}&a_{33} end{pmatrix} right$

– это основная матрица СЛАУ.

$X = begin{pmatrix} x\ y\ z end{pmatrix} right$

– матрица столбец неизвестных переменных.

$B = begin{pmatrix} b_{1}\ b_{2}\ b_{3} end{pmatrix} right$

– матрица столбец свободных членов.

Если к основной матрице добавить в качестве – ого столбца матрицу-столбец свободных членов, тогда получится расширенная матрица систем линейных уравнений. Как правило, расширенная матрица обозначается буквой , а столбец свободных членов желательно отделить вертикальной линией от остальных столбцов. То есть, расширенная матрица выглядит так:

$T = begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{31}vert{b_{1}}\ a_{12}&a_{22}&a_{32}vert{b_{2}}\ a_{13}&a_{23}&a_{33}vert{b_{3}} end{pmatrix} right$

Если квадратная матрица равна нулю, она называется вырожденная, а если – матрица невырожденная.

Если с системой уравнений: $A = begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{31}\ a_{12}&a_{22}&a_{32}\ a_{13}&a_{23}&a_{33} end{pmatrix} right$

Произвести такие действия:

тогда получается эквивалентная система, у которой такое же решение или нет решений совсем.

Теперь можно перейти непосредственно к методу Гаусса.

Нужна помощь в написании работы?

Мы – биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена работы

Простейшие преобразования элементов матрицы

Мы рассмотрели основные определения и уже понимаем, чем нам поможет метод Гаусса в решении системы. Теперь давайте рассмотрим простую систему уравнений. Для этого возьмём самое обычное уравнение, где и используем решение методом Гаусса:

$left{ begin{aligned} 2x - y = -4\ 6x + y = -6 end {aligned} уравненияright.$

Из уравнения запишем расширенную матрицу:

$begin{pmatrix} 2&-1&vert{-4}\ 6&1&vert{-6}\ end{pmatrix} right$

Из данной матрицы видно, по какому принципу она записана. Вертикальную черту не обязательно ставить, но просто так удобнее решать систему.

Матрица системы – это матрица, которая составляется исключительно с коэффициентами при неизвестных. Что касается расширенной матрицы системы, так, это такая матрица, в которой кроме коэффициентов записаны ещё и свободные члены. Любую из этих матриц называют просто матрицей.

На матрице, которая написана выше рассмотрим, какие существуют элементарные преобразования:

1. В матрице строки можно переставлять местами. Например, в нашей матрице спокойно можно переставить первую и вторую строки:

$begin{pmatrix} 2&-1&vert{-4}\ 6&1&vert{-6}\ end{pmatrix} right$ . $begin{pmatrix} 6&1&vert{-6}\ 2&-1&vert{-4} end{pmatrix} right$

2. Если в матрице имеются (или появились) пропорциональные строки (одинаковые), тогда необходимо оставить всего лишь одну строку, а остальные убрать (удалить).

3. Если в ходе преобразований в матрице появилась строка, где находятся одни нули, тогда такую строку тоже нужно удалять.

4. Строку матрицы можно умножать (делить) на любое число, которое отличное от нуля. Такое действие желательно проделывать, так как в будущем проще преобразовывать матрицу.

5. Сейчас рассмотрим преобразование, которое больше всего вызывает затруднение у студентов. Для этого возьмём изначальную нашу матрицу:

$begin{pmatrix} 2&-1&vert{-4}\ 6&1&vert{-6}\ end{pmatrix} right$

Для удобства умножаем первую строку на (-3):

$begin{pmatrix} 2&-1&vert{-4}\ 6&1&vert{-6}\ end{pmatrix} right$ $begin{pmatrix} -6&3&vert{12}\6&1&vert{-6}end{pmatrix}right$

Теперь ко второй строке прибавляем первую строку, которую умножали на -3. Вот что у нас получается:

$begin{pmatrix} -6&3&vert{12}\ 6&1&vert{-6} end{pmatrix} right$

В итоге получилось такое преобразование:

$begin{pmatrix} -6&3&vert{12}\ 0&4&vert{6} end{pmatrix} right$

Теперь для проверки можно разделить все коэффициенты первой строки на те же и вот что получается:

$begin{pmatrix} 2&-1&vert{-4}\ 6&1&vert{-6} end{pmatrix} right$

В матрице верхняя строка преобразовалась:

$begin{pmatrix} -6&3&vert{12}\ 6&1&vert{-6} end{pmatrix} right$

Первую строку делим на и преобразовалась нижняя строка:

$begin{pmatrix} -6&3&vert{12}\ 0&4&vert{6} end{pmatrix} right$

И верхнюю строку поделили на то же самое число :

$begin{pmatrix} 2&-1&vert{-4}\ 0&4&vert{6} end{pmatrix} right$

Как вы можете убедиться, в итоге строка, которую мы прибавляли ни капельки не изменилась, а вот вторая строка поменялась. ВСЕГДА меняется только та строка, к которой прибавляются коэффициенты.

Мы расписали в таких подробностях, чтобы было вам понятно, откуда какая цифра взялась. На практике, например, на контрольной или экзамене матрица так подробно не расписывается. Как правило, в задании решение матрицы оформляется так:

$begin{pmatrix} 2&-1&vert{-4}\ 6&1&vert{-6}\ end{pmatrix} right$ . $begin{pmatrix} 2&-1&vert{-4}\ 0&4&vert{6} end{pmatrix} right$

Если в примере приведены десятичные дроби, метод Гаусса в этом случае также поможет решить систему линейных алгебраических уравнений. Однако, не стоит забывать, что следует избегать приближённых вычислений, так как ответ будет неверным. Лучше всего использовать десятичные дроби, а от них переходить к обыкновенным дробям.

Алгоритм решения методом Гаусса пошагово

После того, как мы рассмотрели простейшие преобразования, в которых на помощь пришёл метод Гаусса, можем вернуться к нашей системе, которую уже разложили по полочкам и пошагово распишем:

$left{ begin{aligned} 2x - y = -4\ 6x + y = -6 end {aligned} уравненияright$

Шаг 1. Переписываем систему в виде матрицы

Записываем матрицу:

$begin{pmatrix} 2&-1&vert{-4}\ 6&1&vert{-6}\ end{pmatrix} right$

Шаг 2. Преобразовываем матрицу: вторую строку в первом столбце приводим к нулю

Как мы привели вторую строку в первом столбце к нулю описано выше. Напомним, что первую строку умножали на и вторую строку прибавили к первой , умноженной на .

$begin{pmatrix} -6&3&vert{12}\ 0&4&vert{6} end{pmatrix} right$

Шаг 3. Приводим матрицу к ступенчатому виду

Теперь вторую строку можно поделить на 2 и получается:

$begin{pmatrix} -6&3&vert{12}\ 0&2&vert{3} end{pmatrix} right$

Верхнюю строку делим на и приводим матрицу к ступенчатому виду:

Когда оформляют задание, так и отчёркивают простым карандашом для упрощения работы, а также обводят те числа, которые стоят на “ступеньках”. Хотя в учебниках и другой литературе нет такого понятия, как ступенчатый вид. Как правило, математики такой вид называют трапециевидным или треугольным.

Шаг 4. Записываем эквивалентную систему

После наших элементарных преобразований получилась эквивалентная система:

$left{ begin{aligned} 2x - y = -4\ 2y = 3 end {aligned} уравненияright$

Шаг 5. Производим проверку (решение системы обратным путём)

Теперь систему нужно решить в обратном направлении, то есть обратным ходом, начиная с последней строки.:

находим : ,

После находим :

Тогда:

Как видим, уравнение решено правильно, так как ответы в системе совпадают.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица невырожденная, а количество в ней неизвестных равняется количеству уравнений

Как мы уже упоминали, невырожденная матрица бывает тогда, когда . Разберём систему уравнений невырожденной матрицы, где уравнений по количеству столько же, сколько и неизвестных. Эту систему уравнений решим другим способом.

Дана система уравнений:

$left{ begin{aligned} x - 2y + z = 0\ 2x + 2y - z = 3\ 4x - y + z = 5 end {aligned} right$

Для начала нужно решить первое уравнение системы относительно неизвестной переменной . Далее подставим полученное выражение сначала во второе уравнение, а затем в третье, чтобы исключить из них эту переменную.

$left{ begin{aligned} x - 2y + z = 0\ 2x + 2y - z = 3\ 4x - y + z = 5 end {aligned} leftrightarrowleft{begin{aligned}x = 2y - z\2 * (2y - z) + 2y - z = 3\4 * (2y - z) - y + z = 5end {aligned} leftrightarrowleft{begin{aligned}x = 2y - z = 0\2x + 2y - z = 3\4x - y + z = 5end {aligned}rightleftrightarrowleft{ begin{aligned}x = 2y - z\6y - 3z = 3\7y - 3z = 5end {aligned}$

Теперь переходим ко второму уравнению системы относительно и полученный результат подставим в третье уравнение.. Это нужно для того, чтобы исключить неизвестную переменную :

$left{begin{aligned}x = 2y - z = 0\6y - 3z = 3\7y - 3z = 5end {aligned}leftrightarrowleft{begin{aligned}x = 2y - z\{y} = {1over{2}}z + {1over{2}}\7y - 3z = 5end {aligned}leftrightarrowleft{begin{aligned}x = 2y - z\{y} = {1over{2}}z + {1over{2}}\7 * ({1over{2}}z + {1over{2}}) - 3z = 5end {aligned}leftrightarrowleft{begin{aligned}x = 2y - z\y = {1over{2}}z + {1over{2}}\{1over{2}}z = {3over{2}}end {aligned}right$

Из последнего, третьего уравнения мы видим, что . Из второго уравнения находим . И последнее, находим первое уравнение .

Итак, мы нашли все три неизвестных при помощи последовательного исключения. Такой процесс называют – прямой ход метода Гаусса. Когда последовательно находятся неизвестные переменные, начиная с последнего уравнения, называется обратным ходом метода Гаусса.

Когда выражается через и в первом уравнении, а затем подставляется полученное выражение во второе или третье уравнения, тогда, чтобы привести в к такому же результату, необходимо проделать такие действия:

берём второе уравнение и к его левой и правой частям прибавляем определённые части из первого уравнения, которые умножаются на $-{a_{21}over{a_{11}}$ ,
берём третье уравнение и к его левой и правой частям прибавляем определённые части из первого уравнения, которые умножаются на $-{a_{31}over{a_{11}}$ .

И действительно, благодаря такой процедуре у нас есть возможность исключать неизвестную переменную со второго и третьего уравнения системы:

$left{begin{aligned}x - 2y + z = 0\2x + 2y - z = 3\4x - y + z = 5end {aligned}leftrightarrowleft{begin{aligned}x - 2y + z = 0\2x + 2y - z + (-{2over{1}}) * (x - 2y + x = 3 + (-{2over{1}}) * 0end {aligned}leftrightarrowleft{begin{aligned}x - 2y + z = 0\6x - 3y = 3\7x - 3y = 5end {aligned}right$

Возникают нюансы с исключением неизвестных переменных тогда, когда в уравнении системы нет каких-либо неизвестных переменных. Рассмотрим такую систему:

$left{ begin{aligned} 2y + z = -4\ x + y + 2z = -3\ 2x + 2z = 0 end {aligned} right$

В этой системе в первом уравнении нет переменной и поэтому у нас нет возможности решить первое уравнение системы относительно , чтобы исключить данную переменную из остальных уравнений. В таком случае выход есть. Нужно всего лишь уравнения переставить местами.

Так как мы описываем уравнения системы, в которых определитель основных матриц отличен от нуля, тогда всегда есть такое уравнение, в котором есть необходимая нам переменная и это уравнение мы можем поставить туда, куда нам нужно.

В примере, который мы рассматриваем, достаточно всего лишь поменять местами первое и второе уравнение.

$left{ begin{aligned} x + y + 2z = -3\ 2y + z = -4\ 2x + 2z = 0 end {aligned} right$

Теперь мы можем спокойно разрешить первое уравнение относительно переменной и убрать (исключить) из остальных уравнений в системе. Вот и весь принцип работы с такими, на первый взгляд, сложными системами.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица вырожденная, а количество в ней неизвестных не совпадает с количеством уравнений

Метод Гаусса помогает решать системы уравнений, у которых основная матрица прямоугольная или квадратная, но основная вырожденная матрица может совсем не иметь решений, иметь бесконечное множество решений или иметь всего лишь одно единственное решение.

Рассмотрим, как при помощи метода Гаусса устанавливается совместность или несовместность систем линейных уравнений. В случае, если есть совместность определим все решения или одно решение.

В принципе, исключать неизвестные переменные можно точно так, как описано выше. Однако, есть некоторые непонятные ситуации, которые могут возникнуть в ходе решения:

1. На некоторых этапах в момент исключения неизвестных переменных некоторые уравнения могут обратиться в тождества . В данном случае такие уравнения лишние в системе и их можно смело полностью убирать, а затем продолжать решать уравнение методом Гаусса.

Например, вам попалась подобная система:

$left{ begin{aligned} x + 2y - z + 3k = 7\ 2x + 4y - 2z + 6k = 14\ x - y + 3z + k = -1 end {aligned} right$

У нас получается такая ситуация

$left{begin{aligned}x + 2y - z + 3k = 7\2x + 4y - 2z + 6k = 14\x - y + 3z + k = -1end{aligned}leftrightarrowright$

$left{begin{aligned}x + 2y - z + 3k = 7\2x + 4y - 2z + 6k + (-2) * (x + 2y - z + 3k) = 14 + (-2) * 7\x - y + 3z + k + (-1) * (x + 2y - z + 3k) = -1 + (-1) * 7end{aligned}leftrightarrowright$

$left{begin{aligned}x + 2y - z + 3k = 7\0 = 0\-3y + 4z - 2k = -8end{aligned}right$

Как видим, второе уравнение . Соответственно, данное уравнение мы можем из системы удалить, так как оно без надобности.

$left{begin{aligned}x + 2y - z + 3k = 7\0 = 0\-3y + 4z - 2k = -8end{aligned}leftrightarrowright$ $left{begin{aligned}x + 2y - z + 3k = 7\-3y + 4z - 2k = -8end{aligned}right$

Дальше можно продолжать решение системы линейных алгебраических уравнений уравнений традиционным методом Гаусса.

2. При решении уравнений прямым ходом методом Гаусса могут принять не только одно, но и несколько уравнений такой вид: , где – число, которое отличное от нуля. Это говорит о том, что такое уравнение никогда не сможет превратиться в тождество даже при любых значениях неизвестных переменных. То есть, можно выразить по-другому. Если уравнение приняло вид, значит система несовместна, то есть, не имеет решений. Рассмотрим на примере:

$left{ begin{aligned} 2x - y + 3z = 1\ 2x - y - z = -2\ 4x - 2y + 6z = 0\ 6x + 8y - 7z = 2 end {aligned} right$

Для начала необходимо исключить неизвестную переменную из всех уравнений данной системы, начиная со второго уравнения. Для этого нужно прибавить к левой и правой частям второго, третьего, четвёртого уравнения части (левую и правую) первого уравнения, которые соответственно, умножаются на (-1), (-2), (-3). Получается:

$left{begin{aligned}2x - y + 3z = 1\ 2x - y - z = -2\4x - 2y + 6z = 0\6x + 8y - 7z = 2end {aligned}leftrightarrowright$

$left{begin{aligned}2x - y + 3z = 1\2x - y - z + (-1) * (2x - y + 3z) = -2 + (-1) * 1\4x - 2y + 6z + (-2) * (2x - y + 3z) = 0 + (-2) * 1\6x + 8y - 7z + (-3) *(2x - y + 3z) = 2 + (-3) * 1end {aligned}leftrightarrowright$

$left{begin{aligned}2x - y + 3z = 1\-4z = -3\0 = -2\11y - 16z = -1end {aligned} right$

В третьем уравнении получилось равенство . Оно не подходит ни для каких значений неизвестных переменных , и , и поэтому, у данной системы нет решений. То есть, говорится, что система не имеет решений.

3. Допустим, что при выполнении прямого хода методом Гаусса нам нужно исключить неизвестную переменную , и ранее, на каком-то этапе у нас уже исключалась вместе с переменной . Как вы поступите в таком случае? При таком положении нам нужно перейти к исключению переменной $x_{n+1}$ . Если же $x_{n+1}$ уже исключались, тогда переходим к $x_{n+2}$ , $x_{n+3}$ и т. д.

Рассмотрим систему уравнений на таком этапе, когда уже исключилась переменная :

$left{ begin{aligned} x + 2y + z + k + l + n = 7\ x + 2y + z + 2k + l - n = 1\ x + 2y + z - k + 5l - n = 2\ x+ 2y + z - k - 4l + 4n = -1 end {aligned} right$

Такая система уравнений после преобразования выглядит так:

$left{ begin{aligned} x + 2y + z + k + 3l + n = 7\ k - 2l - n = -6\ -2k + 2l - 2n = -5\ -3k - 7l + 3n = -8 end {aligned} right$

Вы наверное уже обратили внимание, что вместе с исключились и . Поэтому решение методом Гаусса продолжаем исключением переменной из всех уравнений системы, а начнём мы с третьего уравнения:

$left{begin{aligned} x + 2y + z + k + 3l + n = 7\ k - 2l - n = -6\ -2k + 2l - 2n = -5\ -3k - 7l + 3n = -8 end {aligned}leftrightarrowleft{begin{aligned} x + 2y + z + k + 3l + n = 7\k - 2l - n = -6\-2k + 2l - 2n + 2 * (k - 2l - 2n) = -5 + 2 * (-6)\-3k - 7l + 3n + 3 * (k - l - n) = -8 + 3 * (-6) end {aligned}leftrightarrow left{begin{aligned}x + 2y + z + k + 3l + n = 7\k - 2l - n = -6\-2l - 6n = -17\-13l - 3n = -26 end {aligned} right$

Чтобы завершить уравнение прямым ходом метода Гаусса, необходимо исключить последнюю неизвестную переменную из последнего уравнения:

Допусти, что система уравнений стала:

$left{begin{aligned}x + y - 2z - k + l + n = 6\k + 7l + n = 1\l + n = 3end {aligned} right$

В этой системе нет ни одного уравнения, которое бы сводилось к . В данном случае можно было бы говорить о несовместности системы. Дальше непонятно, что же делать? Выход есть всегда. Для начала нужно выписать все неизвестные, которые стоят на первом месте в системе:

В нашем примере это , и . В левой части системы оставим только неизвестные, которые выделены зелёным квадратом а в правую перенесём известные числа, но с противоположным знаком. Посмотрите на примере, как это выглядит:

$left{begin{aligned} x - k + l = 6 - y + 2z - 2n\ k + 7l = 1 - n\ l = 3 - n end {aligned} right$

Можно придать неизвестным переменным с правой части уравнений свободные (произвольные) значения: , , , где , , – произвольные числа.

$left{begin{aligned} x - k + l = 6 - delta_y + 2delta_z - 2delta_n\ k + 7l = 1 - delta_n\ l = 3 - delta_n end {aligned} right$

Теперь в правых частях уравнений нашей системы имеются числа и можно приступать к обратному ходу решения методом Гаусса.

В последнем уравнении системы получилось: , и теперь мы легко найдём решение в предпоследнем уравнении: , а из первого уравнения получаем:

= =

В итоге, получился результат, который можно и записать.

Ответ

Примеры решения методом Гаусса

Выше мы подробно расписали решение системы методом Гаусса. Чтобы закрепить материал, решим несколько примеров, в которых опять нам поможет метод Гаусса. Соответственно, начнём с самой простой системы.

Задача

Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:

$left{ begin{aligned} 3x_1 + 4x_2 = 10\ 5x_1 - 7x_2 = 3 end {aligned} right$

Решение

Выписываем матрицу, куда добавляем столбец свободных членов:

$begin{pmatrix} 3&4&vert{10}\ 5&-7&vert{3} end{pmatrix} right$

Прежде всего мы смотрим на элемент, который находится в матрице в левом верхнем углу (первая строка, первый столбец). Для наглядности выделим цифру зелёным квадратом. На этом месте практически всегда стоит единица:

Так как мы должны использовать подходящее элементарное преобразование строк и сделать так, чтобы элемент, который находится в матрице под выделенной цифрой превратился в . Для этого можно ко второй строке прибавить первую строку и умножить на .Однако, не сильно хочется работать с дробями, поэтому давайте постараемся этого избежать. Для этого нужно вторую строку умножить на (разрешающий элемент данного шага).

Соответственно, первая строка остаётся неизменной, а вторая поменяется:

$begin{pmatrix} 3&4&vert{10}\ 15&-21&vert{9} end{pmatrix} right$

Подбираем такое элементарное преобразование строк, чтобы во второй строке в первом столбце образовался . Для этого первую строку нужно умножить на и только после этого ко второй строке прибавить изменённую после умножения на вторую строку. Вот что получилось:

. Теперь прибавляем со второй строки первую строку . У нас получился , который записываем во вторую строку в первый столбец. Также решаем и остальные элементы матрицы. Вот что у нас получилось:

$begin{pmatrix} 3&4&vert{10}\ 0&-41&vert{-41} end{pmatrix} right$

Как всегда у нас первая строка осталась без изменений, а вторая с новыми числами.

Итак, у нас получился ступенчатый вид матрицы:

Записываем новую систему уравнений:

$left{ begin{aligned} 3x_1 + 4x_2 = 10\ - 41x_2 = -41 end {aligned} уравненияright$

Для проверки решаем систему обратным ходом. Для этого находим сначала :

Так как найден, находим :

Подставляем в изначальную нашу систему уравнений найденные и :

$left{ begin{aligned} 3x_1 + 4x_2 = 10\ 5x_1 - 7x_2 = 3 end {aligned} right$

и .

Как видите из решения, система уравнений решена верно. Запишем ответ.

Ответ

Выше мы решали систему уравнений в двумя неизвестными, а теперь рассмотрим систему уравнений с тремя неизвестными.

Задача

Решить систему уравнений методом Гаусса:

$left{ begin{aligned} x + 2y - 3z = -4\ 2x + 5y - 4z = 0\ -3x + y + 3z = 5 end {aligned} right$

Решение

Составляем матрицу, куда вписываем и свободные члены:

$begin{pmatrix} 1&2&-3&vert{-4}\ 2&5&-4&vert{0}\ -3&1&3&vert{5} end{pmatrix} right$

Что нам надо? Чтобы вместо цифры 2 появился 0. Для этого подбираем ближайшее число. Например, можно взять цифру -2 и на неё перемножить все элементы первой строки. Значит, умножаем , а потом прибавляем, при этом задействуем вторую строку: . В итоге у нас получился нуль, который записываем во вторую строку в первый столбец. Затем , и . Аналогично, и . И умножаем свободный член . Так и запишем следующую матрицу. Не забывайте, что первая строка остаётся без изменений:

$begin{pmatrix} 1&2&-3&vert{-4}\ 0&1&2&vert{8}\ -3&1&3&vert{5} end{pmatrix} right$

Дальше необходимо проделать те же самые действия по отношению к третьей строке. То есть, первую строку нужно умножать не на (-2), а на цифру 3, так как и в третьей строке нужно коэффициенты привести у нулю. Также первую строку умножаем на 3 и прибавляем третью строку. Получается так:

$begin{pmatrix} 1&2&-3&vert{-4}\ 0&1&2&vert{8}\ 0&7&-6&vert{-7} end{pmatrix} right$

Теперь нужно обнулить элемент 7, который стоит в третьей строке во втором столбце. Для этого выбираем цифру (-7) и проделываем те же действия. Однако, необходимо задействовать вторую строку. То есть, вторую строку умножаем на (-7) и прибавляем с третьей строкой. Итак, . Записываем результат в третью строку. Такие же действия проделываем и с остальными элементами. Получается новая матрица:

$begin{pmatrix} 1&2&-3&vert{-4}\ 0&1&2&vert{8}\ 0&0&-20&vert{-63} end{pmatrix} right$

В результате получилась ступенчатая система уравнений:

$left{ begin{aligned} x + 2y - 3z = -4\ y + 2z = 8\ -20z = -63 end {aligned} right$

Сначала находим : ,

Обратный ход:

$left{ begin{aligned} 2,05 + 2 * 3,4 - 3 * 3,15 = -4\ 2 * 2,05 + 5 * 1,7 - 4 * 3,15 = 0\ -3 * 2,05 + 1,7 + 3 * 3,15 = 5 end {aligned} right$

Итак, уравнение системы решено верно.

Ответ

Система с четырьмя неизвестными более сложная, так как в ней легко запутаться. Попробуем решить такую систему уравнений.

Задача

Решите систему уравнений методом Гаусса:

$left{ begin{aligned} x_1+2x_2 + 3x_3 - 2x_4=6\ 2x_1 + 4x_2 - 2x_2 - 3x_4=18\ 3x_1 + 2x_2 - x_3 + 2x_4 =4\ 2x_1 - 3x_2 + 2x_3 + x_4 =8 end{aligned} right$

Решение

В уравнении , то есть – ведущий член и пусть ≠ 0

Из данного уравнения составим расширенную матрицу:

$begin{pmatrix} 1&2 &3&2&vert{6}\ 2& 4& -2& -3&vert{18}\ 3& 2& -1& 2&vert{4}\ 2& -3& 2& 1&vert{8} end{pmatrix} right$

Теперь нужно умножить последние три строки (вторую, третью и четвёртую) на: , , . Затем прибавим полученный результат ко второй, третьей и четвёртой строкам исключаем переменную из каждой строки, начиная не с первой, а не со второй. Посмотрите, как изменилась наша новая матрица и в теперь стоит 0.

$begin{pmatrix} 1&2&3&-2&6\ 0&0&-8&1&6\ 0&-4&-10&8&-14\ 0&-7&-4&5&20 end{pmatrix} right$

Поменяем вторую и третью строку местами и получим:

$begin{pmatrix} 1&2&3&-2&6\ 0&-4&-10&8&-14\ 0&0&-8&1&6\ 0&-7&-4&5&20 end{pmatrix} right$

Получилось так, что $a^1_{22}$ = b и тогда, умножая вторую строку на (-7/4) и результат данной строки, прибавляя к четвёртой, можно исключить переменную из третьей и четвёртой строк:

$begin{pmatrix} 1&2&3&-2&6\ 0&-4&-10&8&-14\ 0&0&-8&1&6\ 0&0&13,5&9&4,5 end{pmatrix} right$

Получилась такая матрица:

$begin{pmatrix} 1&2&3&-2&6\ 0&-4&-10&8&-14\ 0&0&-8&1&6\ 0&0&0&-{{117}over{16}}&{117}over{8} end{pmatrix} right$

Также, учитывая, что $a^3_{23}$ = , умножим третью строку на: 13,5/8 = 27/16, и, полученный результат прибавим к четвёртой, чтобы исключить переменную и получаем новую систему уравнений:

$left{ begin{aligned} x_1+2x_2 + 3x_3 - 2x_4=6\ - 4x_2 - 10x_3 + 8x_4=-14\ -8x_3 + x_4=6\ -{{117}over{16}} x_4 = {{117}over{8}} end{aligned} right$

Теперь необходимо решить уравнение обратным ходом и найдём из последнего, четвёртого уравнения ,

из третьего: = ${6-x_4}over{-8}$ = =

второе уравнение находим: = ${-14-8x_4+10x_3}over{-4}$ = = 2,

из первого уравнения: = .

Значит, решение системы такое: (1, 2, -1, -2).

Ответ

Добавим ещё несколько примеров для закрепления материла, но без такого подробного описания, как предыдущие системы уравнений.

Задача

Решить систему уравнений методом Гаусса:

$left{ begin{aligned} x + 2y + 3z = 3\ 3x + 5y + 7z = 0\ x + 3y + 4z = 1 end{aligned} right$

Решение

Записываем расширенную матрицу системы:

$begin{pmatrix} 1&2&3&vert{3}\ 3&5&7&vert{0}\ 1&3&4&vert{1} end{pmatrix} right$

Сначала смотрим на левое верхнее число:

Как выше уже было сказано, на этом месте должна стоять единица, но не обязательно. Производим такие действия: первую строку умножаем на -3, а потом ко второй строке прибавляем первую:

$begin{pmatrix} 1&2&3&vert{3}\ 0&-1&-2&vert{-9}\ 1&3&14vert{1} end{pmatrix} right$

Производим следующие действия: первую строку умножаем на -1. Затем к третьей строки прибавляем вторую:

$begin{pmatrix} 1&2&3&vert{3}\ 0&-1&-2&vert{-9}\ 0&1&1vert{-2} end{pmatrix} right$

Теперь вторую строку умножаем на 1, а затем к третьей строке прибавляем вторую:

$begin{pmatrix} 1&2&3&vert{3}\ 0&-1&-2&vert{-9}\ 0&0&-1&vert{-11} end{pmatrix} right$

Получился ступенчатый вид уравнения:

$left{ begin{aligned} x + 2y + 3z = 3\ -y - 2z = -9\ -z = -11 end{aligned} right$

Проверяем:

Ответ

Заключение

Итак, вы видите, что метод Гаусса – интересный и простой способ решения систем линейных алгебраических уравнений. Путём элементарных преобразований нужно из системы исключать неизвестные переменные, чтобы систему превратить в ступенчатый вид. Данный метод удобен тем, что всегда можно проверить, правильно ли решено уравнение. Нужно просто подставить найденные неизвестные в изначальную систему уравнений.

Если элементы определителя не равняются нулю, тогда лучше обратиться к методу Крамера, а если же элементы нулевые, тогда такие системы очень удобно решать благодаря методу Гаусса.

Предлагаем ещё почитать учебники, в которых также описаны решения систем методом Гаусса.

Литература для общего развития:

Умнов А. Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра, изд. 3: учеб. пособие – М. МФТИ – 2011 – 259 с.

Карчевский Е. М. Лекции по линейной алгебре и аналитической геометрии, учеб. пособие – Казанский университет – 2012 – 302 с.

Источник

Сегодня разбираемся с методом Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. О том, что это за системы, можно почитать в предыдущей статье, посвященной решению тех же СЛАУ методом Крамера. Метод Гаусса не требует каких-то специфических знаний, нужна лишь внимательность и последовательность. Несмотря на то что с точки зрения математики для его применения хватит и школьной подготовки, у студентов освоение этого метода часто вызывает сложности. В этой статье попробуем свести их на нет!

Метод Гаусса

Метод Гаусса – наиболее универсальный метод решения СЛАУ (за исключением ну уж очень больших систем). В отличие от рассмотренного ранее метода Крамера, он подходит не только для систем, имеющих единственное решение, но и для систем, у которых решений бесконечное множество. Здесь возможны три варианта.

Система имеет единственное решение (определитель главной матрицы системы не равен нулю);
Система имеет бесконечное множество решений;
Решений нет, система несовместна.

Итак, у нас есть система (пусть у нее будет одно решение), и мы собираемся решать ее методом Гаусса. Как это работает?

Метод Гаусса состоит из двух этапов – прямого и обратного.

Прямой ход метода Гаусса

Сначала запишем расширенную матрицу системы. Для этого в главную матрицу добавляем столбец свободных членов.

Вся суть метода Гаусса заключается в том, чтобы путем элементарных преобразований привести данную матрицу к ступенчатому (или как еще говорят треугольному) виду. В таком виде под (или над) главной диагональю матрицы должны быть одни нули.

Что можно делать:

Можно переставлять строки матрицы местами;
Если в матрице есть одинаковые (или пропорциональные) строки, можно удалить их все, кроме одной;
Можно умножать или делить строку на любое число (кроме нуля);
Нулевые строки удаляются;
Можно прибавлять к строке строку, умноженную на число, отличное от нуля.

Обратный ход метода Гаусса

После того как мы преобразуем систему таким образом, одна неизвестная Xn становится известна, и можно в обратном порядке найти все оставшиеся неизвестные, подставляя уже известные иксы в уравнения системы, вплоть до первого.

Когда интернет всегда под рукой, можно решить систему уравнений методом Гаусса онлайн. Достаточно лишь вбить в онлайн-калькулятор коэффициенты. Но согласитесь, гораздо приятнее осознавать, что пример решен не компьютерной программой, а Вашим собственным мозгом.

Пример решения системы уравнений методом Гаусс

А теперь – пример, чтобы все стало наглядно и понятно. Пусть дана система линейных уравнений, и нужно решить ее методом Гаусса:

Сначала запишем расширенную матрицу:

Теперь займемся преобразованиями. Помним, что нам нужно добиться треугольного вида матрицы. Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой и получим:

Затем умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 1-ую строку на (6). Умножим 2-ую строку на (13). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Вуаля – система приведена к соответствующему виду. Осталось найти неизвестные:

Система в данном примере имеет единственное решение. Решение систем с бесконечным множеством решений мы рассмотрим в отдельной статье. Возможно, сначала Вы не будете знать, с чего начать преобразования матрицы, но после соответствующей практики набьете руку и будете щелкать СЛАУ методом Гаусса как орешки. А если Вы вдруг столкнетесь со СЛАУ, которая окажется слишком крепким орешком, обращайтесь к нашим авторам! Заказать недорого реферат вы можете, оставив заявку в Заочнике. Вместе мы решим любую задачу!

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Источник

Пусть
переменныхназываются основными (или базисными),
если определитель матрицы из коэффициентов
при них (т.е. базисный минор) отличен от
нуля. Остальныепеременных
называются неосновными (или свободными).
Каждому разбиению переменных на основные
и неосновные соответствует одно базисное
решение, а число способов разбиения не
превосходит числа сочетанийто
и базисных решений имеется не более

Совместная
система
линейных уравнений спеременнымиимеет
бесконечное множество решений, среди
которых базисных решений конечное
число, не превосходящее

Достоинства
метода Гаусса по сравнению с другими:

–
менее трудоемкий метод;

–
позволяет однозначно установить,
совместна система или нет и в случае
совместности найти ее решение;

–
дает возможность найти максимальное
число линейно независимых уравнений –
ранг матрицы системы.

Рассмотрим
пример. Найти
решение системы линейных алгебраических
уравнений

Составим
расширенную матрицу по данной системе

поменяем
местами первую и вторую строку

умножим
первую строку на
и сложим со второй строкой; умножим
первую строку наи сложим с третьей строкой

умножим
вторую строку на
и сложим с третьей строкой

последняя
строка вычеркивается, так как все ее
элементы равны нулю

Ранг
основной матрицы
ранг
расширенной матрицыследовательно, система совместна. Число
строк в основной матрицечисло
столбцов в основной матрицеследовательно, система имеет множество
решений.

Выявим
базисные переменные

следовательно,
базисные
переменные, тогда

3.4. Однородные системы линейных алгебраических уравнений

Система
линейных уравнений спеременными называетсясистемой
линейных однородных уравнений,
если все их свободные члены равны нулю.

Системы
линейных однородных уравнений:

Система
линейных однородных уравнений всегда
совместна, так как имеет, по крайней
мере, нулевое решение

Если
в однородной системе
а
ее определитель отличен от нуля, то
такая система имеет только нулевое
решение.

Система
линейных однородных уравнений имеет
ненулевое решение тогда и только тогда,
когда ранг ее матрицы коэффициентов
при переменных меньше числа переменных,
т.е. при

Рассмотрим
пример. Найти
решение системы линейных алгебраических
уравнений

Составим
по данной системе расширенную матрицу

поменяем
местами первую и третью строки

умножим
первую строку на
и сложим со второй строкой, а затем с
третьей строкой, получим

умножим
вторую строку на
и сложим с третьей строкой

разделим
последнюю строку на

Таким
образом, ранг расширенной матрицы и
ранг основной матрицы равны
следовательно,
система совместна. Число строк в основной
матрице равно 3, а число столбцов равно
4, т.е. решений множество. Определим
базисные переменные

базисные
переменные.

Перейдем
от матрицы к системе, выразим переменные
через другие переменные

Контрольные
вопросы

Сформулировать
теорему Кронекера
– Капелли.
Сформулировать
Метод Гаусса решения систем m
линейных
уравнений с n
неизвестными.
Дать
определение базисному решению систем
линейных алгебраических уравнений.
Какие
системы линейных алгебраических
уравнений называют однородными?

Лекция
№4. Векторы

4.1.
Векторы в науке и технике. Понятие
вектора. Координаты вектора.

4.2.
Линейные операции над векторами.

4.3.
Декартова система координат. Базис
векторного пространства.

4.4.
Скалярное произведение векторов,
основные свойства и выражение в
координатной форме.

4.5.
Векторное произведение векторов.
Основные свойства векторного произведения
векторов и выражение в координатной
форме.

4.6.
Применение векторного произведения
векторов к решению задач.

4.7.
Смешанное произведение векторов.
Основные свойства смешанного произведения
векторов и выражение в координатной
форме.

4.8.
Применение смешанного произведения
векторов к решению задач.

Векторы
в науке и технике. Понятие вектора.
Координаты вектора

В
физике и математике вектор – это
величина, которая характеризуется
численным значением и направлением. В
физике встречается немало важных
величин, которые характеризуются
направлением. Например, сила, скорость,
ускорение, вращающий момент, импульс,
напряженность электрического и магнитного
полей. Их можно противопоставить другим
величинам, таким как масса, объем,
давление, температура, плотность, которые
можно описать обычным числом и называются
они скалярными величинами.

Векторная
запись используется при работе с
величинами, которые невозможно задать
полностью с помощью обычных чисел.
Например, необходимо описать положение
предмета, но полностью определить
местоположение предмета невозможно,
пока не будет известно направление, в
котором он находится. Таким образом,
местонахождение предмета характеризуется
численным значением (расстоянием в
километрах) и направлением.

При
изучении и расчете цепей переменного
тока удобно пользоваться векторными
диаграммами, на которых синусоидальные
напряжения и токи условно изображают
с помощью векторов. Применение этих
диаграмм упрощает изучение и расчет
цепей и вносит наглядность в рассматриваемые
соотношения.

Вектором
на плоскости называется
направленный отрезок

с начальной точкой
и конечной точкойкоторый
можно перемещать параллельно самому
себе.

Рис.
1

Вектор
на плоскости

От
любой точки можно отложить вектор,
равный данному, и притом только один,
используя параллельный перенос. При
параллельном переносе точки смещаются
по параллельным или совпадающим прямым
на одно и тоже расстояние.

Нулевой
вектор – точка
в пространстве. Начало и конец нулевого
вектора совпадают, и он не имеет длины
и направления.

Абсолютной
величиной или модулем вектора называется
длина отрезка, изображающего вектор.
Другими словами длина
вектора есть
расстояние между началом и концом
вектора

Векторы
называются коллинеарными,
если они
расположены на одной или на параллельных
прямых. Нулевой вектор коллинеарен
любому вектору. Если векторы
иколлинеарны и их лучи сонаправлены, то
векторыиназываютсонаправленными.
Обозначают
Если векторыиколлинеарны,
а их лучи не являются сонаправленными,
то векторы называютпротивоположно
направленными.
Обозначают
Нулевой вектор условились считать
сонаправленным с любым вектором.

Рис.2

Коллинеарные
вектора

Свойство
коллинеарных векторов.

Если
векторы
иколлинеарны и,
то существует числотакое,
что.
Причем, еслито векторыисонаправленные, еслито
противоположно направленные.

Векторы
называются компланарными,
если при
откладывании их от одной и той же точки
они будут лежать в одной плоскости.
Любые два вектора компланарны. Коллинеарные
векторы всегда компланарны, но не все
компланарные векторы коллинеарны.

Признак
компланарности трех векторов.

Если
вектор
можно разложить по векторами,
т.е. представить в виде,
где-некоторые
числа, то векторы-компланарны.