Как
и в общем случае исследования системы
неоднородных
линейных уравнений, использование
теоремы
Кронекера–Капелли в частном случае
исследования системы линейных однородных
уравнений также плодотворно. Общая
схема решения:
A1*:
Вычисляем
:
ранг матрицы
.
Так
как для однородной системы уравнений
=
,
то всегда выполняется
.
Однородная система уравнений всегда
совместна. Пусть
=
.
Это значит, что определён базовый
минор:
M
матрицы
.
A2*:
В системе уравнений оставляем только
те
уравнения-строки, которые попали
в базовый минор:
остальные являются следствием выделенных.
A3*:
В левой части каждого из оставшихся для
дальнейшего решения уравнений оставляем
те
столбцов с неизвестными, которые попали
в базовый минор:
остальные неизвестные объявляем
свободными
и соответствующие столбцы с ними
переносим в правую часть.
A4*:
Находим решения преобразованной системы
уравнений, применяя формулы Крамера:
определитель
преобразованной системы не
равен нулю!
A5*:
Полученное решение системы называют
общим:
вычисленные по формулам Крамера
неизвестные выражаются
через свободные
неизвестные. Присваивая свободным
неизвестным произвольные значения,
получаем частные
решения.
Замечание:
отметим ещё раз, что свободных неизвестных
:
их можно воспринимать как число степеней
свободы процесса; вычисляемых неизвестных
–
.
☺☺
Пример
8–04:
Исследовать систему уравнений:
Найти общее решение и одно частное.
Решение:
1). Составим матрицу:
=
и найдём её ранг. Выделим для окаймления
минор (не равен нулю), расположенный в
правом верхнем углу матрицы:
-
3
4
1
2
6
8
2
5
1
9
12
3
10
2
1
3). Окаймляющие
миноры будем обозначать:
,
где
–
указывает номер отмеченной для окаймления
строки,
–
указывает номер отмеченного для
окаймления столбца. Тогда можем записать:
=
=4·
–8·
+12·
=m1·(5)–h1·(4)+g1·(1)=4·(5)–8·(4)+12·(1)
=0;
Замечание:
параметры: m1,
h1,
g1
изменяются при переходе к минорам
,
,
числа:(5),
(4),
(1)
не
изменяются. Это позволяет применить
единый шаблон вычислений!
=
=
m2·(5)–h2·(4)+g2·(1)=
3·(5)–6·(4)+9·(1)
=0;
4).
Так как все миноры 3-го порядка
оказались равными нулю, то
=2.
5). Учитывая
расположение не равного нулю минора,
3-е уравнение отбрасываем и свободными
неизвестными объявляем
и
:
далее применяем
правило Крамера:
=1; 
=
=
;
=
=0.
6). Общее решение
системы:
=
=
;
=
=0;
частное решение получим при значениях:
=1,
=–1,
→
=1,
=0.
Ответ:
общее решение:
=
=
;
=
=0;
частное решение: (1,–1,1,0).
Пример
8–05:
Исследовать
систему уравнений:
Найти
общее и частное решение.
Решение:
1). Применим пошаговый
процесс метода Гаусса:
-
4
-3
2
-1
1
–1
-1
2
3
-2
1
-3
1
–1
1
2
2
-1
0
-5
=(1)→
1
-1
1
2
=(2)→
5
-3
1
-8
1
0
-1
-7
-
1
–1
-1
2
1
0
0
-7
0
0
-2
0
0
0
1
0
0
0
-2
0
=(3)→
0
0
0
0
=(4)→
0
1
0
–9
0
1
0
–9
Выполнены
операции:
(1):
[R4]–[R1];
[R1]–[R2];
[R2]–[R3];
[R3]–[R4].
(2):
[R2]–[R1];
[R3]–[R1];
[R4]–[R1].
(3):
[R3]–[R1];
[R2]
делим на (–2); [R1]–[R2];
[R1]–[R4].
(4):
раскрываем
полученный результат.
2).
Видим:
=3.
Свободной неизвестной объявляем
=
.
3). Из уравнения-строки
[R4] запишем:
=9
;
из строки [R2]:
=0;
[R4] запишем:
=7
.
Произвольная величина
определяет бесчисленное множество
решений заданного уравнения.
Ответ: общее
решение: (7
;9
;0;
)=
(7,9,
0;1).
Замечание:
видим,
что и применение фундаментальных
результатов теоремы Кронекера-Капелли
не продвинуло нас в понимании системы
решений
системы ЛОУ!
☻
Соседние файлы в папке ЛА и АГ пособие
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Общее, базисное и частное решение систем линейных алгебраических уравнений.
Пусть 
переменных 
называются основными (или базисными), если определитель матрицы из коэффициентов при них (т.е. базисный минор) отличен от нуля. Остальные 
переменных называются неосновными (или свободными). Каждому разбиению переменных на основные и неосновные соответствует одно базисное решение, а число способов разбиения не превосходит числа сочетаний 
то и базисных решений имеется не более 
Совместная система 
линейных уравнений с 
переменными 
имеет бесконечное множество решений, среди которых базисных решений конечное число, не превосходящее 
Достоинства метода Гаусса по сравнению с другими:
– менее трудоемкий метод;
– позволяет однозначно установить, совместна система или нет и в случае совместности найти ее решение;
– дает возможность найти максимальное число линейно независимых уравнений – ранг матрицы системы.
Рассмотрим пример. Найти решение системы линейных алгебраических уравнений
Составим расширенную матрицу по данной системе
поменяем местами первую и вторую строку
умножим первую строку на 
и сложим со второй строкой; умножим первую строку на 
и сложим с третьей строкой
умножим вторую строку на 
и сложим с третьей строкой
последняя строка вычеркивается, так как все ее элементы равны нулю
Ранг основной матрицы 
ранг расширенной матрицы 
следовательно, система совместна. Число строк в основной матрице 
число столбцов в основной матрице 
следовательно, система имеет множество решений.
Выявим базисные переменные
следовательно, 
базисные переменные, тогда
Как найти общее и частное решение системы линейных уравнений
Пример 2. Исследовать совместность, найти общее и одно частное решение системы
Решение. Переставим первое и второе уравнения, чтобы иметь единицу в первом уравнении и запишем матрицу B.
Получим нули в четвертом столбце, оперируя первой строкой:
Теперь получим нули в третьем столбце с помощью второй строки:
Третья и четвертая строки пропорциональны, поэтому одну из них можно вычеркнуть, не меняя ранга:
Третью строку умножим на (–2) и прибавим к четвертой:
Видим, что ранги основной и расширенной матриц равны 4, причем ранг совпадает с числом неизвестных, следовательно, система имеет единственное решение:
-x1=-3 → x1=3; x2=3-x1 → x2=0; x3=1-2x1 → x3=5.
x4 = 10- 3x1 – 3x2 – 2x3 = 11.
Пример 3. Исследовать систему на совместность и найти решение, если оно существует.
Решение. Составляем расширенную матрицу системы.
Переставляем первые два уравнения, чтобы в левом верхнем углу была 1:
Умножая первую строку на (-1), складываем ее с третьей:
Умножим вторую строку на (-2) и прибавим к третьей:
Система несовместна, так как в основной матрице получили строку, состоящую из нулей, которая вычеркивается при нахождении ранга, а в расширенной матрице последняя строка останется, то есть rB > rA.
Задание. Исследовать данную систему уравнений на совместность и решить ее средствами матричного исчисления.
Решение
Пример. Доказать совместимость системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) методом Крамера. (ответ ввести в виде: x1,x2,x3)
Решение:doc:doc:xls
Ответ: 2,-1,3.
Пример. Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность. Найти общее решение системы и одно частное решение.
Решение
Ответ:x3 = – 1 + x4 + x5; x2 = 1 – x4; x1 = 2 + x4 – 3x5
Задание. Найти общее и частное решения каждой системы.
Решение. Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли.
Выпишем расширенную и основную матрицы:
| 1 | 1 | 14 | 0 | 2 | 0 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 |
Здесь матрица А выделена жирным шрифтом.
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rang(A) = rang(B) = 3. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2,x3, значит, неизвестные x1,x2,x3 – зависимые (базисные), а x4,x5 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -1 | 3 | -6 |
| 2 | 3 | -3 | 1 | -3 | 2 |
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 |
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
27x3 =
– x2 + 13x3 = – 1 + 3x4 – 6x5
2x1 + 3x2 – 3x3 = 1 – 3x4 + 2x5
Методом исключения неизвестных находим:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2,x3 через свободные x4,x5, то есть нашли общее решение:
x3 = 0
x2 = 1 – 3x4 + 6x5
x1 = – 1 + 3x4 – 8x5
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной, т.к. имеет более одного решения.
Задание. Решить систему уравнений.
Ответ😡2 = 2 – 1.67x3 + 0.67x4
x1 = 5 – 3.67x3 + 0.67x4
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной
Пример. Проверить совместность линейной системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса.
Решение: Проверяем совместность системы с помощью теоремы Кронекера – Капелли. Согласно теореме Кронекера – Капелли, из того, что следует несовместность исходной системы.
Ответ: система не совместна.
Решение
Разрешенная система уравнений. Общее, частное и базисное решения
Определение. Неизвестная х, называется разрешенной для системы уравнений, если она входит в одно из уравнений системы с коэффициентом +1, а в остальные уравнения не входит, т.е. входит с коэффициентом, равным нулю.
Определение. Неизвестная х. называется разрешенной, если в системе линейных уравнений (2.2) существует s-e уравнение, содержащее это неизвестное с коэффициентом asj = 1, а в остальных уравнениях системы (2.2) коэффициенты при этом неизвестном равны нулю, т.е. а- = 0 при / ф s.
Определение. Система уравнений называется разрешенной, если каждое уравнение системы содержит разрешенную неизвестную, отличную от разрешенных переменных в остальных уравнениях.
Разрешенные неизвестные, взятые по одной из каждого уравнения системы, образуют полный набор разрешенных неизвестных системы. Заметим, что полный набор разрешенных неизвестных определяется неоднозначно.
Разрешенные неизвестные, входящие в полный набор, называют также базисными переменными, а не входящие в полный набор — свободными переменными.
В общем случае разрешенная система уравнений имеет вид
Определение. Общим решением разрешенной системы уравнений называется совокупность выражений разрешенных неизвестных через свободные члены (правые части) и свободные неизвестные:
Определение. Частным решением системы уравнений называется решение, получающееся из общего решения при конкретных значениях свободных неизвестных.
Определение. Базисным решением называется частное решение, получающееся из общего при нулевых значениях свободных неизвестных.
Определение. Базисное решение называется вырожденным, если число его координат, отличных от нуля, меньше числа разрешенных неизвестных.
Определение. Базисное решение называется невырожденным, если число его координат, отличных от нуля, равно числу разрешенных неизвестных системы, входящих в полный набор.
Любое общее решение системы представляет собой совокупность соотношений, используя которые можно получить любое частное решение из множества всех возможных частных решений системы.
Разрешенная система уравнений всегда совместна; причем если система не имеет свободных неизвестных, то она является определенной; если же имеется хотя бы одна свободная неизвестная, то система является неопределенной.
Пример 2.3. Найти общее, базисное и какое-либо частное решение системы
Решение. Система является разрешенной, поэтому, включив в набор разрешенных неизвестных х и х2, записываем общее решение
Если включить в набор разрешенных неизвестных х5 вместо х<, то можно записать другое общее решение
Найдем частное решение, соответствующее значениям свободных переменных х3 = 0, х4 = 1, х5 = 2, для этого, подставляя в первое общее решение заданные значения свободных неизвестных, получим
Запишем частное решение Хч = (9, 24, 0, 1, 2).
Если принять свободные переменные равными нулю х3 = х4 = ,rg = О, то из первого общего решения получим ту = 10, х2 = 20 и запишем базисное решение Х6 = (10, 20, 0, 0, 0).
Если для какой-либо заданной системы уравнений получена равносильная ей разрешенная система, то общее, частное и базисное решения этой разрешенной системы являются также решениями исходной системы.
Е1еобходимо заметить, что любые две разрешенные системы уравнений, равносильные заданной системе, совпадают, если они имеют одни и те же разрешенные, а следовательно и свободные, неизвестные.
[spoiler title=”источники:”]
http://math.semestr.ru/gauss/example-system.php
http://bstudy.net/719710/estestvoznanie/razreshennaya_sistema_uravneniy_obschee_chastnoe_bazisnoe_resheniya
[/spoiler]
Метод Гаусса
- Метод Гаусса
- Пример 1
- Пример 2
- Несовместность системы (нет решений)
- Пример 3
- Общее и частное решение системы (бесконечное множество решений)
- Пример 4
Пусть задана система линейных алгебраических уравнений: $$begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_3 = b_1 \ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + a_{23} x_3 = b_2 \ a_{31} x_1 + a_{32} x_2 + a_{33} x_3 = b_3 end{cases}. $$
- Запишем систему уравнений в виде расширенной матрицы, состоящей из коэффициентов и столбца свободных членов. Вертикальная черта используется для удобства оформления. $$ begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & | & b_1 \ a_{21} & a_{22} & a_{23} & | & b_2 \ a_{31} & a_{32} & a_{33} & | & b_3 end{pmatrix} $$
- С помощью элементарных преобразований матрицы (вычитание одной строки из другой, умноженной на коэффициент, удаление одинаковых и нулевых строк, деление строки на число отличное от нуля) получаем нули под главной диагональю $$ begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & | & b_1 \ 0 & a_{22} & a_{23} & | & b_2 \ 0 & 0 & a_{33} & | & b_3 end{pmatrix} $$
- Используя элементарные преобразования, изложенные в пункте 2, приводим матрицу к виду содержащему нули везде, кроме главной диагонали $$ begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 & | & b_1 \ 0 & a_{22} & 0 & | & b_2 \ 0 & 0 & a_{33} & | & b_3 end{pmatrix} $$
| Пример 1 |
| Решить систему уравнений методом Гаусса $$begin{cases} x_1 + 2 x_2 + x_3 = 5 \ -x_1 + 3 x_2 -2 x_3 = 3 \ – x_1 -7 x_2 + 4 x_3 = -5 end{cases}. $$ |
| Решение |
|
Запишем расширенную матрицу, состоящую из коэффициентов при неизвестных $x_1, x_2, x_3$ и отдельно столбец свободных членов $b_1, b_2, b_3$. $$begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 5 \ -1 & 3 & -2 & | & 3 \ -1 & -7 & 4 & | & -5 end{pmatrix} $$ Приведем матрицу к нижнетреугольному виду (под главной диагональю должны быть нули) с помощью элементарных преобразований. Прибавим ко второй строке первую. $$begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 5 \ 0 & 5 & -1 & | & 8 \ -1 & -7 & 4 & | & -5 end{pmatrix} $$ Далее прибавляем к третьей строке первую. $$ begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 5 \ 0 & 5 & -1 & | & 8 \ 0 & -5 & 5 & | & 0 end{pmatrix}$$ Теперь осталось к третьей строке прибавить вторую строку, чтобы под главной диагональю были только нули. $$ begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 5 \ 0 & 5 & -1 & | & 8 \ 0 & 0 & 4 & | & 8 end{pmatrix}$$ Замечаем, что в третьей строке стоят числа, которые можно сократить на четыре. Для этого выполняем деление всей третьей строки на 4. $$ begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 5 \ 0 & 5 & -1 & | & 8 \ 0 & 0 & 1 & | & 2 end{pmatrix}$$ Теперь выполняем обратный ход Гаусса снизу вверх. Прибавляем ко второй строке третью строку. $$begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 5 \ 0 & 5 & 0 & | & 10 \ 0 & 0 & 1 & | & 2 end{pmatrix}$$ Сразу замечаем, что вторую строку можно сократить на 5. $$begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 5 \ 0 & 1 & 0 & | & 2 \ 0 & 0 & 1 & | & 2 end{pmatrix}$$ Продолжаем обратный ход, вычитаем третью строку из первой. $$begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 3 \ 0 & 1 & 0 & | & 2 \ 0 & 0 & 1 & | & 2 end{pmatrix}$$ Осталось из первой строки вычесть вторую строку, умноженную на 2, для того, чтобы в первой строке появился ноль. $$begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -1 \ 0 & 1 & 0 & | & 2 \ 0 & 0 & 1 & | & 2 end{pmatrix}$$ Теперь перепишем получившуюся матрицу в виде системы уравнений, чтобы в дальнейшем получить чему равны неизвестные $x_1, x_2, x_3$. $$begin{cases} x_1 = -1 \ x_2 = 2 \ x_3 = 2 end{cases}$$ |
| Ответ |
| $$x_1 = -1, x_2 = 2, x_3 = 2$$ |
| Пример 2 |
| Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса $$begin{cases} 2x_1 + 5 x_2 + 4x_3 + x_4 = 20 \ x_1 + 3 x_2 + 2x_3 +x_4 = 11 \ 2x_1 +10 x_2 + 9 x_3 + 7x_4 = 40 \ 3x_1 + 8x_2 + 9x_3 + 2x_4 = 37 end{cases}. $$ |
| Решение |
|
Записываем расширенную матрицу $$ begin{pmatrix} 2&5&4&1&|&20 \ 1&3&2&1&|&11 \ 2&10&9&7&|&40 \ 3&8&9&2&|&37 end{pmatrix}.$$ Умножаем вторую строку на 2 и вычитаем из неё первую строчку. Из третьей строки просто вычитаем первую. Умножаем четвертую строку на 2 и вычитаем из неё первую строку, умноженную на 3. Получаем матрицу $$begin{pmatrix} 2&5&4&1&|&20 \ 0&1&0&1&|&2 \ 0&5&5&6&|&20 \ 0&1&6&1&|&14 end{pmatrix}.$$ Берем вторую строку, умноженную на 5 и вычитаем из третьей. Затем вторую строку вычитаем из четвертой. $$begin{pmatrix} 2&5&4&1&|&20 \ 0&1&0&1&|&2 \ 0&0&5&1&|&10 \ 0&0&6&0&|&12 end{pmatrix}$$ Теперь умножаем третью строку на 6 и вычитаем её из четвертой строки, умноженной на 5. $$begin{pmatrix} 2&5&4&1&|&20 \ 0&1&0&1&|&2 \ 0&0&5&1&|&10 \ 0&0&0&-6&|&0 end{pmatrix}$$ Получили нижнетреугольную матрицу, то есть ниже главной диагонали расположены нули. Теперь проделываем элементарные преобразования снизу вверх, так называемый обратный ход Гаусса. Но прежде замечаем, что появилась строка, в которой можно выполнить сокращение. А именно в четвертой строке можно разделить все числа на (-6). И получаем $$begin{pmatrix} 2&5&4&1&|&20 \ 0&1&0&1&|&2 \ 0&0&5&1&|&10 \ 0&0&0&1&|&0 end{pmatrix}$$ Вот теперь вычитаем четвертую строчку из третьей, второй и первой. $$begin{pmatrix} 2&5&4&0&|&20 \ 0&1&0&0&|&2 \ 0&0&5&0&|&10 \ 0&0&0&1&|&0 end{pmatrix}$$ Из второй строки мы не будем вычить третью, потому что там итак стоит ноль, ради которого мы проводим элементарные преобразования, поэтому пропускаем этот шаг. Умножаем на 4 третью строку и вычитаем её из первой, умноженной на 5. $$begin{pmatrix} 10&25&0&0&|&60 \ 0&1&0&0&|&2 \ 0&0&5&0&|&10 \ 0&0&0&1&|&0 end{pmatrix}$$ Замечаем, что в первой строке можно все числа сократить на 5. $$begin{pmatrix} 2&5&0&0&|&12 \ 0&1&0&0&|&2 \ 0&0&5&0&|&10 \ 0&0&0&1&|&0 end{pmatrix}$$ Теперь остался последний шаг это умножить вторую строку на 5 и вычесть из первой. $$begin{pmatrix} 2&0&0&0&|&2 \ 0&1&0&0&|&2 \ 0&0&5&0&|&10 \ 0&0&0&1&|&0 end{pmatrix}$$ Замечаем, что первую строку можно сократить на 2, а третью строку на 5. $$begin{pmatrix} 1&0&0&0&|&1 \ 0&1&0&0&|&2 \ 0&0&1&0&|&2 \ 0&0&0&1&|&0 end{pmatrix}$$ Переписываем матрицу в виде привычной системы уравнений и получаем ответ $$begin{pmatrix} 1&0&0&0&|&1 \ 0&1&0&0&|&2 \ 0&0&1&0&|&2 \ 0&0&0&1&|&0 end{pmatrix} sim begin{cases} x_1 = 1 \ x_2 = 2 \ x_3 = 2 \ x_4 = 0 end{cases}.$$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 2, x_4 = 0$$ |
Несовместность системы (нет решений)
Если в результате элементарных преобразований появилась нулевая строка вида $$begin{pmatrix} 0&0&0&|&b end{pmatrix} text{ где } b neq 0,$$то система уравнений не имеет решений. На этом алгоритм Гаусса заканчивает свою работу и можно записывать ответ, что система несовместна, то есть нет решений.
| Пример 3 |
| Найти решение системы линейных уравнений методом Гаусса $$begin{cases} 7x_1 – 2x_2 – x_3 = 2 \ 6x_1 – 4x_2 – 5x_3 = 3 \ x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 5 end{cases}.$$ |
| Решение |
|
Как обычно пишем расширенную матрицу по коэффициентам при неизвестных переменных и столбцу свободных членов $$begin{pmatrix} 7&-2&-1&|&2 \ 6&-4&-5&|&3 \ 1&2&4&|&5 end{pmatrix}.$$ Запускаем алгоритм Гаусса. Идём сверху вниз. Умножаем вторую строку на 7 и вычитаем из неё первую строчку умноженную на 6. Затем первую строку вичитаем из третьей, умноженной на 7. $$begin{pmatrix} 7&-2&-1&|&2 \ 0&-16&-29&|&9 \ 0&16&29&|&33 end{pmatrix}$$ Далее по алгоритму прибавляем вторую строку к третьей. $$begin{pmatrix} 7&-2&-1&|&2 \ 0&-16&-29&|&9 \ 0&0&0&|&42 end{pmatrix}$$ Видим, что в результате элементарных преобразований появилась строка в которой все нули, кроме свободного члена. Это означает, что система несовместа, то есть у системы уравнений нет решения. |
| Ответ |
| Нет решений, так как система несовместна. |
Общее и частное решение системы (бесконечное множество решений)
Часто после элементарных преобразований в расширенной матрице появляются нулевые строки вида $$begin{pmatrix} 0&0&0&|&0 end{pmatrix}.$$ Такую строку нужно вычеркивать из матрицы и система уравнений будет иметь бесконечное множество решений. Разберем это на практике.
| Пример 4 |
| Найти общее и два частных решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса $$begin{cases} x_1+x_2-x_3=4 \ 3x_1+2x_2-5x_3=7 \ 3x_1+x_2-7x_3=2 end{cases}.$$ |
| Решение |
|
Составляем расширенную матрицу $$begin{pmatrix} 1&1&-1&|&4 \ 3&2&-5&|&7 \ 3&1&-7&|&2 end{pmatrix}.$$ Из второй и третьей строки вычетаем первую, умноженную на 3. $$begin{pmatrix} 1&1&-1&|&4 \ 0&-1&-2&|&-5 \ 0&-2&-4&|&-10 end{pmatrix}$$ Из третьей строки вычитаем вторую, домноженную на 2. $$begin{pmatrix} 1&1&-1&|&4 \ 0&-1&-2&|&-5 \ 0&0&0&|&0 end{pmatrix}$$ Теперь согласно обратному ходу Гаусса вторую строку прибавляем к первой. $$begin{pmatrix} 1&0&-3&|&-1 \ 0&-1&-2&|&-5 \ 0&0&0&|&0 end{pmatrix}$$ По окочанию элементарных преобразований получилась строка, в которой все элементы равны нулю. Значит, система имеет бесконечное множество решений. Для его записи понадобится отличать базисные и свободные переменные. Обычно за базисные берут переменные, которые стоят на главной диагонали, а остальные свободные. В нашем случае базисными будут $x_1, x_2$, а свободной $x_3$. Переписываем матрицу в виде системы $$begin{pmatrix} 1&0&-3&|&-1 \ 0&-1&-2&|&-5 \ 0&0&0&|&0 end{pmatrix} sim begin{cases} x_1-3x_3 = -1 \ -x_2-2x_3 = -5 end{cases}.$$ Так как $x_1, x_2$ являются базисными переменными, то их переносим в левую часть равенства, а всё остальное в правую часть. Получившееся называют общим решением решением системы уравнений $$begin{cases} x_1-3x_3 = -1 \ -x_2-2x_3 = -5 end{cases} sim begin{cases} x_1 = 3x_3-1 \ x_2 = 5-2x_3 end{cases}.$$ Чтобы получить частное решение системы уравнений нужно вместо свободного $x_3$ подставить любое число, например $x_3 = 0$. Тогда получаем, что $$begin{cases} x_1 = -1 \ x_2 = 5 end{cases}.$$ Возьмем ещё например $x_3 = 1$ и получаем $$begin{cases} x_1 = 2 \ x_2 = 3 end{cases}.$$ Можно брать различные числа вместо $x_3$ и получать бесконечное множество решений. |
| Ответ |
|
Общее решение системы уравнений $$begin{cases} x_1 = 3x_3-1 \ x_2 = 5-2x_3 end{cases}.$$ Частные решения системы уравнений $$begin{cases} x_1 = -1 \ x_2 = 5 end{cases}, begin{cases} x_1 = 2 \ x_2 = 3 end{cases}.$$ |
Структура общего решения системы уравнений
Однородная система линейных уравнений
или
всегда совместна, так как имеет тривиальное решение . Если ранг матрицы системы равен количеству неизвестных
, то тривиальное решение единственное. Предположим, что
. Тогда однородная система имеет бесконечно много решений. Заметим, что расширенная матрица
однородной системы при элементарных преобразованиях строк приводится к упрощенному виду
, т.е.
. Поэтому из (5.11) получаем общее решение однородной системы уравнений:
(5.13)
Получим другую форму записи решений однородной системы, которая раскрывает структуру множества решений. Для этого подчеркнем следующие свойства.
Свойства решений однородной системы уравнений
1. Если столбцы — решения однородной системы уравнений, то любая их линейная комбинация
также является решением однородной системы.
В самом деле, из равенств следует, что
т.е. линейная комбинация решений является решением однородной системы.
2. Если ранг матрицы однородной системы равен , то система имеет
линейно независимых решений.
Действительно, по формулам (5.13) общего решения однородной системы найдем частных решений
, придавая свободным переменным следующие стандартные наборы значений (всякий раз полагая, что одна из свободных переменных равна единице, а остальные — равны нулю):
Получим решений
которые линейно независимы. В самом деле, если из этих столбцов составить матрицу, то последние ее строк образуют единичную матрицу. Следовательно, минор, расположенный в последних
строках не равен нулю (он равен единице), т.е. является базисным. Поэтому ранг матрицы будет равен
. Значит, все столбцы этой матрицы линейно независимы (см. теорему 3.4).
Любая совокупность линейно независимых решений
однородной системы называется фундаментальной системой (совокупностью) решений.
Заметим, что фундаментальная система решений определяется неоднозначно. Однородная система может иметь разные фундаментальные системы решений, состоящие из одного и того же количества линейно независимых решений.
Теорема 5.3 об общем решении однородной системы. Если — фундаментальная система решений однородной системы уравнений (5.4), то столбец
(5.14)
при любых значениях произвольных постоянных также является решением системы (5.4), и, наоборот, для каждого решения х этой системы найдутся такие значения произвольных постоянных
, при которых это решение
удовлетворяет равенству (5.14).
Прямое утверждение теоремы следует из свойства 1 решений однородной системы. Докажем обратное утверждение о том, что любое решение можно представить в виде (5.14). Для этого составим матрицу
, приписав к столбцам фундаментальной системы решений столбец
Найдем ранг этой матрицы. Так как первые столбцов линейно независимы, то
. Так как каждый из столбцов матрицы
является решением системы
, то по первой формуле из (5.13) получаем
Следовательно, первая строка матрицы является линейной комбинацией последних
строк этой матрицы.
По второй формуле из (5.13) получим, что вторая строка матрицы является линейной комбинацией последних
строк этой матрицы, и т.д. По r-й формуле из (5.13) получим, что r-я строка матрицы
является линейной комбинацией последних
строк этой матрицы. Значит, первые
строк матрицы
можно вычеркнуть и при этом ранг матрицы не изменится. Следовательно,
, так как после вычеркивания в матрице
будет всего
строк. Таким образом,
. Значит, есть базисный минор матрицы
, который расположен в первых
ее столбцах, а столбец
не входит в этот базисный минор. Тогда по теореме о базисном миноре найдутся такие числа
, что
Итак, обратное утверждение доказано.
Алгоритм решения однородной системы уравнений
1-5. Выполнить первые 5 пунктов алгоритма Гаусса. При этом не требуется выяснять совместность системы, так как любая однородная система имеет решение (пункт 3 метода Гаусса следует пропустить). Получить формулы (5.11) общего решения, которые для однородной системы будут иметь вид (5.13).
Если ранг матрицы системы равен числу
неизвестных
, то система имеет единственное тривиальное решение
и процесс решения заканчивается.
Если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных , то система имеет бесконечно много решений. Структуру множества решений находим в следующих пунктах алгоритма.
6. Найти фундаментальную систему решений однородной системы. Для этого подставить в (5.13) последовательно
стандартных наборов значений свободных переменных, в которых все свободные переменные равны нулю, кроме одной, равной единице (см. свойство 2 решений однородной системы).
7. Записать общее решение однородной системы по формуле (5.14).
Замечания 5.3
1. В пункте 6 алгоритма вместо стандартного набора значений свободных переменных можно использовать и другие наборы значений, лишь бы они обеспечивали линейную независимость получаемых частных решений однородной системы.
2. Матрица столбцы которой образуют фундаментальную систему решений однородной системы, называется фундаментальной. Используя фундаментальную матрицу, общее решение (5.14) однородной системы можно записать в виде
, где
— столбец произвольных постоянных.
3. Если базисный минор матрицы расположен в левом верхнем углу (в первых
строках и первых
столбцах), то упрощенный вид расширенной матрицы (5.9) однородной системы можно представить в виде блочной матрицы
Тогда блочная матрица размеров
является фундаментальной. В этом можно убедиться, используя стандартные наборы значений свободных переменных. Применение блочных матриц может служить вторым способом нахождения фундаментальной системы решений.
Пример 5.4. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы
Решение. 1. Составляем расширенную матрицу системы
2-4. Используя элементарные преобразования над строками матрицы , приводим ее к ступенчатому, а затем и к упрощенному виду (см. решение примера 5.3):
Пункт 3 метода Гаусса пропускаем.
5. Переменные — базисные, а
— свободные. Записываем формулу (5.13) общего решения однородной системы
6. Находим фундаментальную систему решений. Так как и
, надо подобрать
линейно независимых решения. Подставляем в систему стандартные наборы значений свободных переменных:
1) если , то
;
2) если , то
.
В результате получили фундаментальную систему решений
7. Записываем общее решение однородной системы по формуле (5.14):
Заметим, что фундаментальную систему решений можно получить, взяв иные наборы значений свободных переменных. Например, и
. Тогда получим другую фундаментальную систему решений
и общее решение системы
Несмотря на различия, обе формулы задают одно и то же множество решений.
Структура общего решения неоднородной системы уравнений
Ранее была выведена формула (5.11) общего решения системы линейных уравнений. Получим другую форму записи, отражающую структуру множества решений.
Рассмотрим неоднородную систему и соответствующую ей однородную систему
. Между решениями этих систем имеются связи, выражающиеся следующими свойствами.
Свойства решений неоднородной системы уравнений
1. Разность двух решений и
неоднородной системы есть решение однородной системы.
Действительно, из равенств и
следует, что
.
2. Пусть — решение неоднородной системы. Тогда любое решение
неоднородной системы можно представить в виде
, где
— решение однородной системы.
В самом деле, для любого решения неоднородной системы разность
по свойству 1 является решением однородной системы, т.е.
— решение однородной системы.
Теорема 5.4 о структуре общего решения неоднородной системы.
Пусть — решение неоднородной системы, а
— фундаментальная система решений соответствующей однородной системы уравнений. Тогда столбец
(5.15)
при любых значениях [i]произвольных постоянных является решением неоднородной системы, и, наоборот, для каждого решения
этой системы найдутся такие значения произвольных постоянных
, при которых это решение
удовлетворяет равенству (5.15).[/i]
Говорят, что общее решение неоднородной системы есть сумма частного решения неоднородной системы и общего решения соответствующей однородной системы.
Доказательство теоремы вытекает из свойств 1, 2 и теоремы 5.3.
Алгоритм решения неоднородной системы уравнений
1-5. Выполнить первые 5 пунктов метода Гаусса решения системы уравнений и получить формулу общего решения неоднородной системы вида (5.11).
6. Найти частное решение неоднородной системы, положив в (5.11) все свободные переменные равными нулю.
7. Записав формулы (5.13) общего решения соответствующей однородной системы, составить фундаментальную систему ее решений. Для этого подставить в (5.13) последовательно
стандартных наборов значений свободных переменных, в которых все переменные равны нулю, за исключением одной, равной единице.
8. Записать общее решение неоднородной системы по формуле (5.15).
Замечания 5.4
1. Используя фундаментальную матрицу однородной системы
, решение неоднородной системы
можно представить в виде
где — частное решение неоднородной системы, а
— столбец произвольных постоянных.
2. Если базисный минор матрицы расположен в левом верхнем углу (в первых
строках и первых
столбцах), то упрощенный вид расширенной матрицы (5.9) неоднородной системы можно представить в виде блочной матрицы
Тогда блочная матрица оказывается фундаментальной (см. п.3 замечаний 5.3), а столбец
является частным решением неоднородной системы (в этом можно убедиться, подставляя в (5.11) нулевой набор свободных переменных). Используя блочные матрицы, общее решение (5 15) неоднородной системы можно представить в виде
(5.16)
где — столбец произвольных постоянных. Полученную формулу можно считать вторым способом решения неоднородной системы.
Пример 5.5. Найти структуру (5.15) общего решения неоднородной системы
Решение. 1-5. Первые 5 пунктов метода Гаусса выполнены при решении примера 5.3, где получены формулы общего решения неоднородной системы:
Переменные — базисные, а
— свободные.
6. Полагая , получаем частное решение неоднородной системы
.
7. Находим фундаментальную систему решений однородной системы (см. пример 5.4):
8. Записываем по формуле (5.15) общее решение неоднородной системы
Искомая структура множества решений найдена.
Получим формулу общего решения вторым способом, используя п.2 замечаний 5.4. При решении примера 5.3 расширенная матрица системы была приведена к упрощенному виду. Разбиваем ее на блоки:
Записываем частное решение неоднородной системы
и составляем фундаментальную матрицу:
По формуле (5.16) получаем общее решение неоднородной системы, которое преобразуем к виду (5.15):
которое совпадает с ранее полученным.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
