В данном материале мы разберем, как разделить одно натуральное число на другое с остатком. Для начала сформируем общее представление о таком действии, определимся с терминами и обозначениями, а потом посмотрим, какие задачи можно решить с его помощью. В последнем пункте попробуем объяснить, какие связи существуют между понятиями делимого, делителя, неполного частного и остатка от деления.
Общее представление о делении с остатком
Ранее мы указывали, что сам процесс деления сводится к разъединению одного множества на два или несколько. Чаще всего мы встречаемся с делением на равные части, то есть множества, получившиеся в результате, будут одинаковыми. Но так разделить возможно далеко не всегда. К примеру, 8 конфет разделить поровну на троих детей не выйдет: у каждого будет по 2 конфеты, а две останутся лишними. В данном случае мы имеем остаток 2, то есть остались две конфеты. Этот пример отображает основной смысл деления с остатком. Запишем определение:
Разделить с остатком – значит представить исходное множество в виде некоторого числа равных множеств и еще одного дополнительного, элементов которого недостаточно для создания требуемого множества.
В чем состоит смысл деления с остатком?
В случае натуральных чисел деление с остатком имеет следующий смысл. Мы уже знаем, что понятие натурального числа тесно связано с количеством чего-либо. Допустим, у нас есть некое число предметов (обозначим его a), а после его деления образуется остаток, условно d. У нас остались числа b и c. Есть два основных подхода к их обозначению:
1) если b –количество элементов в каждом равном множестве, полученном после деления, то c – это количество множеств, которое у нас получилось.
2) если b – это количество множеств, то c – это число предметов в каждом из них.
Поясним нашу мысль на конкретных числах. Допустим, натуральное число 13 было разделено на 4. В итоге мы имеем два числа – 3 и 1. Мы можем рассмотреть эту ситуацию с двух сторон:
1) тринадцать предметов были сгруппированы по 4. У нас получилось 3 группы, а в исходном множестве остался всего 1 предмет;
2) тринадцать предметов разложили по 4 группам. У нас получилось, что в каждой группе по 3 предмета, а остаток равен 1.
Если натуральное число a всегда можно разделить с остатком на любое натуральное b, то можно выделить следующие ситуации:
1. A можно разделить на b без остатка, то есть все предметы можно разделить на равные множества. При этом «лишних» у нас не останется, тогда d будет равно 0. Получается, что деление без остатка – это частный случай деления с остатком.
2. A может быть меньше b. Тогда ни одного требуемого множества мы из него составить не можем, и число c будет равно нулю, а остаток равен a (то есть числу предметов в исходном множестве).
3. A может делиться на b с остатком. Тогдазначения a, b, c и d будут натуральными числами.
Подводим итог:
Результат деления натуральных чисел a и b с остатком – это два числа c и d, которые либо оба являются натуральными, либо одно из них равно нулю.
Основные понятия, используемые при делении с остатком
Здесь мы определимся с основными терминами, которые будем использовать, если речь идет о делении с остатком.
То натуральное число, которое делят на части, принято называть делимым, а то, на которое делят – делителем. Получившиеся в результате два числа мы называем соответственно остатком и неполным частным. К примеру, если мы разделим 8 на 3, то в итоге неполным частным будет 2, и остатком тоже 2.
Знак деления, используемый при решении примеров с остатком, аналогичен тому же знаку «разделить» (две точки, расположенные вертикально), что и при делении нацело. В некоторых источниках можно встретить обозначение «÷», смысл которого тот же самый. Так, числовое выражение 16:3 означает деление одного натурального числа на другое с остатком.
Обозначим неполное частное буквой с, остаток – d, исходное число – a, а делитель – b. Тогда суть процесса деления в буквенном виде мы можем выразить как a:b=c (ост. d).
Также можно записать это в виде схемы: делимое: делитель = неполное частное (ост. остаток).
Из самого понятия о делении с остатком следует, что в любом случае остаток будет меньше делителя. Если бы он был равен ему или был нулевым, то это уже было бы деление нацело, поскольку у нас в итоге вышло бы несколько равных множеств.
Задачи, в которых используется деление с остатком
В результате процесса деления, описываемого в этой статье, всегда получаются два числа, одно из которых является остатком, а другое – неполным частным. Поэтому оно будет полезно для решения двух разных типов задач:
1. Нахождение количества необходимых равных множеств, которые можно составить из заданного количества предметов, или же количества предметов в равных множествах, полученных в результате деления.
Например:
У нас есть 67 шаров, которыми мы будем наряжать елки. Если на каждую елку нужно 15 шаров, сколько всего елок можно нарядить? Результат мы получим после деления с остатком.
Другой пример:
У нас есть 162 книги, которые нужно упаковать в 40 ящиков. Число книг, которое мы будем класть в каждую коробку, можно определить в результате деления 162 на 40.
Вычислять мы можем не только количество предметов, но и изменения величин (массы, времени, длины и др.)
Например, на заводе произведено 6 113 л молока. Его нужно разлить в бутылки по 2 л. Мы можем вычислить неполное частное и понять, сколько бутылок будет в итоге. Или же если на производство какого-то изделия тратится 3 часа, то мы можем найти, сколько можно их выпустить за один восьмичасовой рабочий день.
2. Задачи второго типа направлены на вычисление количества предметов в исходном множестве, которые остались после деления. Это могут быть не только предметы, но и величины.
Например:
У нас есть 197 конфет, которые раскладываются по коробкам. Мы знаем число этих коробок – оно равно 20. Деление 197 на 20 подскажет нам, сколько конфет остались неупакованными.
Чтобы изготовить бетонную плиту, надо израсходовать 750 кг цемента. Если мы закупили 12 900 кг, на сколько плит нам хватит? Результат мы вычислим в результате деления с остатком.
Основные связи между понятиями делимого, делителя, неполного частного и остатка от деления
Для установления этих связей сразу разберем конкретный пример.
У нас есть некоторое множество предметов, обозначим его буквой a. Распределим его по кучкам, количество которых равно b. Всего в каждой кучке у нас будет c предметов. Остаток обозначим d. В буквенном виде это выражение можно записать как a:b=c (ост. d). Теперь проанализируем связи, которые есть в этом равенстве.
Если у нас есть значения делителя, неполного частного и остатка, мы можем найти делимое. Если мы объединим все имеющиеся кучки и добавим к ним остаток, то получим множество из исходного количества предметов.
Учитывая смысл умножения и сложения натуральных чисел, мы можем записать это в виде равенства c·b+d=a. А наличие у умножения и сложения переместительных свойств позволяет нам переформулировать его как a=b·c+d. Получается следующее правило:
Чтобы найти делимое, нужно сложить остаток с произведением делителя на неполное частное.
Верное равенство, полученное в итоге, будет полезно для решения задач с неизвестным делимым, то есть таких, где нужно найти исходное число предметов. Приведем пример:
Вычислите делимое, если неполное частное равно одиннадцати, остаток двум, а делитель семи.
Решение
Имеем b=7, c=11 и d=2. Это все данные, которые нам нужны для вычислений. Подставим нужные значения: b·c+d=7·11+2. Следуя правильному порядку выполнения математических действий, получим в итоге 7·11+2=77+2=79 (если нужно, повторите основы умножения и сложения натуральных чисел).
Ответ: делимое будет равно 79.
Если нужно проверить верность результата действия деления с остатком, то для этого мы также проверяем справедливость равенства a=b·c+d.
Если нам известны значения делимого, делителя и неполного частного, то мы можем найти остаток.
Вспомним, что остаток от деления, который мы выше договорились обозначить буквой d, представляет собой число элементов, оставшееся в исходном множестве после его разделения на равные части. Значит, d=a−b·c. Записать это равенство мы можем благодаря свойствам умножения и вычитания натуральных чисел. Сформулируем определение:
Чтобы найти остаток от деления одного натурального числа на другое, нужно вычесть из делимого произведение делителя на неполное частное.
У нас получилось буквенное выражение d=a−b·c, которое будет нам полезно при нахождении остатка от деления. Разберем такую задачу.
Мы разделили 67 на 15 и получили неполное частное 4. Вычислите остаток от деления.
Решение
Имеем a=67, b=15, c=4. Если мы подставим в выражение a−b·c исходные значения, то сможем подсчитать остаток: 67−15·4. Поскольку 15·4=60, то 67−15·4=67−60=7.
Ответ: остаток от деления равен 7.
Мы также можем найти неполное частное, если знаем значение делимого, делителя и остатка. Исключим из исходного множества те элементы, которые образуют остаток. Благодаря свойствам вычитания натуральных чисел количество элементов в множестве мы теперь можем записать как a−d. После этого уже можно произвести деление без остатка, в результате которого получится b множеств по c элементов в каждом. Мы получили равенство (a−d):b=c. Его также можно записать в виде c=(a−d):b.
Если нужно найти неполное частное, нужно из делимого вычесть остаток и результат разделить на делитель.
Мы разделили 221 на 52 и получили остаток 13. Вычислите неполное частное.
Решение
Отнимем остаток от делимого и результат разделим на делитель. Считаем: (221−13):52=208:52=4 (для подсчета мы использовали метод подбора частного).
Ответ: неполное частное равно 4.
Осталось разобрать последний случай: как быть, если нужно найти делитель при известных значениях делимого, остатка и неполного частного? Начнем опять же с исключения остатка из делимого, то есть запишем a-d. Вспомнив смысл деления одного натурального числа на другое, запишем следующее равенство: (a−d):c=b. Также будет верно b=(a−d):c. Сформулируем правило:
Найти делитель можно, если вычесть из делимого остаток и получившуюся разность разделить на неполное частное.
Возьмем пример решения такой задачи.
Было выполнено деление 877 на некоторое число с остатком 2, неполное частное при этом составило 35. Найдите значение делителя.
Решение
Вычтем остаток из делимого и получим 875. Результат нужно разделить на известное нам неполное частное 35. В итоге получится нужное нам значение делителя. Вычислим столбиком:
Ответ: делитель равен 25.
- Главная
- Справочники
- Справочник по математике для начальной школы
- Деление
- Деление с остатком
Начнём рассмотрение новой темы с решения задачи.
Мама принесла 8 конфет и разделила их поровну между двумя детьми. Сколько конфет получил каждый?
8 : 2 = 4 (к.)
Каждый ребёнок получил по 4 конфеты.
На следующий день мама опять принесла 8 конфет, но в гостях у её детей была ещё одна подружка. Мама опять разделила конфеты поровну, но уже между тремя детьми. Сколько конфет получил каждый ребёнок?
Каждый получил по 2 конфеты и 2 конфеты остались лишними.
Как это записать?
8 : 3 = 2 (ост. 2)
Как сделать проверку?
2 • 3 + 2 = 8
Правило 1
Деление с остатком — это деление одного числа на другое, при котором остаток не равен нулю.
16 : 7 = 2 (ост. 2)
23 : 8 = 2 (ост. 7)
Правило 2
При делении с остатком остаток всегда должен быть меньше делителя.
43 : 8 = 5 (ост. 3)
остаток 3 < делимого 5
34 : 4 = 8 (ост. 2)
остаток 2 < делимого 4
Правило 3
Если делимое меньше делителя, в частном получается ноль, а остаток равен делимому.
7 : 10 = 0 (ост. 7)
6 : 9 = 0 (ост. 6)
Порядок решения
14 : 5 = 2 (ост. 4)
1. Нахожу наибольшее число до 14, которое делится на 5 без остатка. Это число 10.
10 : 5 = 2
2. Вычитаю из делимого найденное число: 14 − 10 = 4
3. Сравниваю остаток с делителем
4 < 5
Решение верно.
Проверка деления с остатком
1. Умножаю неполное частное на делитель.
2. Прибавляю остаток к полученному результату.
3. Сравниваю полученный результат с делимым, он должен быть МЕНЬШЕ.
Деление в столбик
В 23 содержится 5 раз по 4, и ещё остаётся 3.
Решение записывают так:
23 : 4 = 5 (ост. 3) или так:
, где 23 – делимое, 4 – делитель, 5 – неполное частное, а 3 – остаток.
Советуем посмотреть:
Табличное деление
Внетабличное деление
Деление суммы на число
Деление на однозначное число
Деление чисел, оканчивающихся нулями
Свойства деления
Деление
Правило встречается в следующих упражнениях:
2 класс
Страница 76. Урок 29,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 77. Урок 29,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 79. Урок 30,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 80. Урок 30,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 81. Урок 31,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 82. Урок 31,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 84. Урок 32,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 87. Урок 33,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 108. Повторение,
Петерсон, Учебник, часть 3
3 класс
Страница 61. Тест 2. Вариант 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 84. ПР 3. Вариант 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 20,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 27,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 31,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 47,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 35,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
Страница 44,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
Страница 94. Урок 41,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 17. Урок 7,
Петерсон, Учебник, часть 3
4 класс
Страница 46,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 47,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 54,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 69,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 44,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1
Страница 50. Тест 1. Вариант 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 26,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 31,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 34,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 72,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
5 класс
Задание 1090,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1130,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1131,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1161,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1722,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 532,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 1
Задание 533,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 1
Номер 671,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 800,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1091,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
6 класс
Номер 8,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 338,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 342,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 357,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 652,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 676,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 971,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1333,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Задание 578,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
7 класс
Номер 47,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 351,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 496,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 603,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 607,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 772,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 784,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 873,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1177,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1215,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
8 класс
Номер 4,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 47,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 138,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 139,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 141,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 212,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 241,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 302,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 304,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 306,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Деление c остатком — арифметическая операция, играющая большую роль в арифметике, теории чисел, алгебре и криптографии. Чаще всего эта операция определяется для целых или натуральных чисел следующим образом[1]. Пусть 
и 
— целые числа, причём 
Деление с остатком («делимого») на («делитель») означает нахождение таких целых чисел 
и 
, что выполняется равенство:
Таким образом, результатами деления с остатком являются два целых числа: называется неполным частным от деления, а — остатком от деления. На остаток налагается дополнительное условие: 
то есть остаток от деления должен быть неотрицательным числом и по абсолютной величине меньше делителя. Это условие обеспечивает однозначность результатов деления с остатком для всех целых чисел, то есть существует единственное решение уравнения 
при заданных выше условиях. Если остаток равен нулю, говорят, что нацело делится на 
Нахождение неполного частного также называют целочисленным делением, а нахождение остатка от деления называют взятием остатка или, неформально, делением по модулю (однако последний термин стоит избегать, так как он может привести к путанице с делением в кольце или группе вычетов по аналогии со сложением или умножением по модулю).
- Примеры
-
- Проверка:
- Проверка:
-
- Проверка:
- Проверка:
-
- Проверка:
- Проверка:
-
- Проверка:
- Проверка:
Операция деления с остатком может быть определена не только для целых чисел, но и для других математических объектов (например, для многочленов), см. ниже.
Определение[править | править код]
Оставаясь строго в рамках натуральных чисел, приходится различать деление с остатком и деление нацело, поскольку нулевой остаток не является натуральным числом; кроме того, неполное частное при делении меньшего числа на большее должно равняться нулю, что тоже выводит за рамки натуральных чисел. Все эти искусственные ограничения неоправданно усложняют формулировки, поэтому в источниках обычно либо рассматривается расширенный натуральный ряд, включающий ноль[2], либо теория сразу формулируется для целых чисел, как указано выше[1].
Для вычисления неполного частного от деления на положительное число следует разделить (в обычном смысле) на и округлить результат до ближайшего целого в меньшую сторону:
- когда .
где полускобки 
обозначают взятие целой части. Значение неполного частного позволяет вычислить значение остатка по формуле:
Для отрицательного делителя нужно округлять частное в большую сторону:
- когда .
Операция «mod» и связь со сравнениями[править | править код]
Величина остатка может быть получена бинарной операцией «взятия остатка» от деления на , обозначаемой mod:
Не следует путать это обозначение с обозначением сравнения по модулю . Формула для влечёт выполнение сравнения:
однако обратная импликация, вообще говоря, неверна. А именно, это сравнение не подразумевает выполнения неравенства 
, необходимого для того, чтобы было остатком.
В программировании[править | править код]
| Язык | Неполное частное |
Остаток | Знак остатка |
|---|---|---|---|
| ActionScript | % |
Делимое | |
| Ada | mod |
Делитель | |
rem |
Делимое | ||
| Бейсик | |
MOD |
Не определено |
| Си (ISO 1990) | / |
% |
Не определено |
| Си (ISO 1999) | / |
% |
Делимое[3] |
| C++ (ISO 2003) | / |
% |
Не определено[4] |
| C++ (ISO 2011) | / |
% |
Делимое[5] |
| C# | / |
% |
Делимое |
| ColdFusion | MOD |
Делимое | |
| Common Lisp | mod |
Делитель | |
rem |
Делимое | ||
| D | / |
% |
Делимое[6] |
| Delphi | div |
mod |
Делимое |
| Eiffel | // |
\ |
Делимое |
| Erlang | div |
rem |
Делимое |
| Euphoria | remainder |
Делимое | |
| Microsoft Excel (англ.) | QUOTIENT() |
MOD()
|
Делитель |
| Microsoft Excel (рус.) | ЧАСТНОЕ() |
ОСТАТ()
|
|
| FileMaker | Div() |
Mod() |
Делитель |
| Fortran | mod |
Делимое | |
modulo |
Делитель | ||
| GML (Game Maker) | div |
mod |
Делимое |
| Go | / |
% |
Делимое |
| Haskell | div
|
mod |
Делитель |
quot
|
rem |
Делимое | |
| J | |~ |
Делитель | |
| Java | /
|
%
|
Делимое[7] |
Math.floorDiv
|
Math.floorMod
|
Делитель (1.8+) | |
| JavaScript | .toFixed(0) | % |
Делимое |
| Lua | % |
Делитель | |
| Mathematica | Quotient
|
Mod |
Делитель |
| MATLAB | idivide(?, ?, 'floor') |
mod |
Делитель |
idivide |
rem |
Делимое | |
| MySQL | DIV |
MOD% |
Делимое |
| Oberon | DIV |
MOD |
+ |
| Objective Caml | mod |
Не определено | |
| Pascal | div |
mod |
Делимое[8] |
| Perl | Нет | % |
Делитель |
| PHP | Нет[9] | % |
Делимое |
| PL/I | mod |
Делитель (ANSI PL/I) | |
| Prolog (ISO 1995) | mod |
Делитель | |
| PureBasic | / |
Mod% |
Делимое |
| Python | // |
% |
Делитель |
| QBasic | |
MOD |
Делимое |
| R | %/% | %% |
Делитель |
| RPG | %REM |
Делимое | |
| Ruby | /
|
% |
Делитель |
| Scheme | modulo |
Делитель | |
| SenseTalk | modulo |
Делитель | |
rem |
Делимое | ||
| Tcl | % |
Делитель | |
| Verilog (2001) | % |
Делимое | |
| VHDL | mod |
Делитель | |
rem |
Делимое | ||
| Visual Basic | |
Mod |
Делимое |
Нахождение остатка от деления часто используется в компьютерной технике и телекоммуникационном оборудовании для создания контрольных чисел и получения случайных чисел в ограниченном диапазоне, например в конгруэнтном генераторе случайных чисел.
Обозначения операции взятия остатка в различных языках программирования представлены в таблице справа.
Например, в Паскале операция mod вычисляет остаток от деления, а операция div осуществляет целочисленное деление, при котором остаток от деления отбрасывается:
78 mod 33 = 12 78 div 33 = 2
Знак остатка[править | править код]
Операция взятия остатка в языках программирования может возвращать отрицательный результат (для отрицательного делимого или делителя). Тут есть два варианта:
- Знак остатка совпадает со знаком делимого: неполное частное округляет к нулю.
- Знак остатка совпадает со знаком делителя: неполное частное округляет к .
Если в языке есть оба типа остатков, каждому из них соответствует своя операция неполного частного. Обе операции имеют жизненный смысл.
Операция div в x86/x64 делит регистровую пару rdx:rax на любой другой регистр или число из памяти[10]. Неполное частное и остаток выходят по первому варианту — округляют к нулю.
Как запрограммировать, если такой операции нет?[править | править код]
Неполное частное можно вычислить через деление и взятие целой части: ![q=left[{frac {a}{b}}right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a5108d8efbb2b9259f9487fc6f9f7bb61aa7337)
, где ![[x]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07548563c21e128890501e14eb7c80ee2d6fda4d)
, в зависимости от задачи, может быть «полом» или усечением. Однако деление здесь получается дробное, которое намного медленнее целого. Такой алгоритм используется в языках, в которых нет целых типов (отдельные электронные таблицы, программируемые калькуляторы и математические программы), а также в скриптовых языках, в которых издержки интерпретации намного превышают издержки дробной арифметики (Perl, PHP).
При отсутствии команды mod остаток программируется как 
.
Если положительно, а знак совпадает со знаком делимого, не определён или неизвестен, для нахождения минимального неотрицательного остатка можно воспользоваться формулой 
.
Неполное частное и неотрицательный остаток от деления на степень двойки 
— это битовый сдвиг 
(для чисел со знаком — арифметический) и 
.
Обобщения[править | править код]
Вещественные числа[править | править код]
Если два числа и (отличное от нуля) относятся к множеству вещественных чисел, может быть поделено на без остатка, и при этом частное также является вещественным числом. Если же частное по условию должно быть целым числом, в этом случае остаток будет вещественным числом, то есть может оказаться дробным.
Формально:
- если , то , где .
- Пример
Деление 7,9 на 2,1 с остатком даёт:
- (неполное частное);
- (остаток).
Гауссовы целые числа[править | править код]
Гауссово число — это комплексное число вида 
, где 
— целые числа. Для них можно определить деление с остатком: любое гауссово число 
можно разделить с остатком на любое ненулевое гауссово число 
, то есть представить в виде:
- ,
где частное и остаток — гауссовы числа, причём 
Однако, в отличие от целых чисел, остаток от деления определяется неоднозначно. Например, 
можно разделить на 
тремя способами:
Многочлены[править | править код]
При делении с остатком двух многочленов 
и 
для однозначности результата вводится условие: степень многочлена-остатка должна быть строго меньше степени делителя:
- , причём .
- Пример
- (остаток 3), так как: .
См. также[править | править код]
- Алгоритм Евклида
- Делимость
- Наибольший общий делитель
- Непрерывная дробь
- Сравнение по модулю
Примечания[править | править код]
- ↑ 1 2 Деление // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2.
- ↑ Потапов М. К., Александров В. В., Пасиченко П. И. Алгебра и анализ элементарных функций. М.: Наука, 1981, 560 с., С. 9.
- ↑ ISO/IEC 9899:TC2: When integers are divided, the result of the
/operator is the algebraic quotient with any fractional part discarded. [This is often called «truncation toward zero».]; в списке изменений 1999→TC1 и TC1→TC2 данное изменение не числится. - ↑ «ISO/IEC 14882:2003 : Programming languages — C++», 5.6.4: International Organization for Standardization, International Electrotechnical Commission, 2003. «the binary % operator yields the remainder from the division of the first expression by the second. …. If both operands are nonnegative then the remainder is nonnegative; if not, the sign of the remainder is implementation-defined».
- ↑ N3242=11-0012 (Working draft), текст совпадает с C99
- ↑ D language specification (англ.). dlang.org. Дата обращения: 29 октября 2017. Архивировано из оригинала 3 октября 2017 года.
- ↑ Арнолд, Кен, Гослинг, Дж., Холмс, Д. Язык программирования Java. — 3-е изд. — М., СПб., Киев: Вильямс, 2001. — С. 173—174. — ISBN 5-8459-0215-0.
- ↑ Стандарт 1973 года: div — division with truncation.
- ↑ PHP: Arithmetic Operators — Manual. Дата обращения: 27 ноября 2014. Архивировано 19 ноября 2014 года.
- ↑ DIV — Unsigned Divide
Формула деления с остатком
Деление с остатком, как это?
Разделить с остатком число a на число b – значит найти два таких числа: c – частное и n – остаток, и сложить их.
Данную формулу так же можно прочитать следующим образом:
Разделить с остатком число a на число b – значит найти два таких числа c и n (частное и остаток), что:
Правило деления с остатком
Что бы разделить число с остатком, нужно:
1. Подобрать близкое к делимому число, которое меньше делимого и делителя на делитель без остатка;
2. Выполнить деление;
3. Найти остаток – из делимого вычесть число, которое разделили. Остаток всегда должен быть меньше делителя.
Примеры
19 : 4 = 4 (остаток 1), 19 = 4 • 4 + 3;
23 : 3 = 7 (остаток 2), 23 = 7 • 3 + 2.
Объясним правило на примере 19 : 4
1. Подбираем близкое к 19 число, которое меньше 19 и делится на 4 без остатка. Это число 16;
2. Делим 16 на 4, получаем 4;
3. Находим остаток: 19 – 16 = 3. Сравниваем остаток с делителем: 3 < 4. Значит, частное найдено верно.
4. Значит, 19 : 4 = 4 + 3 (остаток).
Проверка деления с остатком
Что бы проверить деление с остатком нужно:
1. Остаток сравнить с делителем (остаток должен быть меньше делителя);
2. Частное умножить на делитель и к полученному произведению прибавить остаток. Если получится делимое, то пример решен верно.
Пример №1
Проверяем:
1. 4 < 3;
2. 7 • 4 + 3 = 23.
Пример №2
Проверяем:
1. 5 < 15;
2. 3 • 15 + 5 = 50.
Деление с остатком.
Рассмотрим простой пример:
15:5=3
В этом примере натуральное число 15 мы поделили нацело на 3, без остатка.
Иногда натуральное число полностью поделить нельзя нацело. Например, рассмотрим задачу:
В шкафу лежало 16 игрушек. В группе было пятеро детей. Каждый ребенок взял одинаковое количество игрушек. Сколько игрушек у каждого ребенка?
Решение:
Поделим число 16 на 5 столбиком получим:
Мы знаем, что 16 на 5 не делиться. Ближайшее меньшее число, которое делиться на 5 это 15 и 1 в остатке. Число 15 мы можем расписать как 5⋅3. В итоге (16 – делимое, 5 – делитель, 3 – неполное частное, 1 — остаток). Получили формулу деления с остатком, по которой можно сделать проверку решения.
16=5⋅3+1
a=b⋅c+d
a – делимое,
b – делитель,
c – неполное частное,
d – остаток.
Ответ: каждый ребенок возьмет по 3 игрушки и одна игрушка останется.
Остаток от деления
Остаток всегда должен быть меньше делителя.
Если при делении остаток равен нулю, то это значит, что делимое делиться нацело или без остатка на делитель.
Если при делении остаток больше делителя, это значит, что найденное число не самое большое. Существует число большее, которое поделит делимое и остаток будет меньше делителя.
Вопросы по теме “Деление с остатком”:
Остаток может быть больше делителя?
Ответ: нет.
Остаток может быть равен делителю?
Ответ: нет.
Как найти делимое по неполному частному, делителю и остатку?
Ответ: значения неполного частного, делителя и остатка подставляем в формулу и находим делимое. Формула:
a=b⋅c+d
(a – делимое, b – делитель, c – неполное частное, d – остаток.)
Пример №1:
Выполните деление с остатком и сделайте проверку: а) 258:7 б) 1873:8
Решение:
а) Делим столбиком:
258 – делимое,
7 – делитель,
36 – неполное частное,
6 – остаток. Остаток меньше делителя 6<7.
Подставим в формулу и проверим правильно ли мы решили пример:
7⋅36+6=252+6=258
б) Делим столбиком:
1873 – делимое,
8 – делитель,
234 – неполное частное,
1 – остаток. Остаток меньше делителя 1<8.
Подставим в формулу и проверим правильно ли мы решили пример:
8⋅234+1=1872+1=1873
Пример №2:
Какие остатки получаются при делении натуральных чисел: а) 3 б)8?
Ответ:
а) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 3. В нашем случае остаток может быть равен 0, 1 или 2.
б) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 8. В нашем случае остаток может быть равен 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7.
Пример №3:
Какой наибольший остаток может получиться при делении натуральных чисел: а) 9 б) 15?
Ответ:
а) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 9. Но нам надо указать наибольший остаток. То есть ближайшее число к делителю. Это число 8.
б) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 15. Но нам надо указать наибольший остаток. То есть ближайшее число к делителю. Это число 14.
Пример №4:
Найдите делимое: а) а:6=3(ост.4) б) с:24=4(ост.11)
Решение:
а) Решим с помощью формулы:
a=b⋅c+d
(a – делимое, b – делитель, c – неполное частное, d – остаток.)
а:6=3(ост.4)
(a – делимое, 6 – делитель, 3 – неполное частное, 4 – остаток.) Подставим цифры в формулу:
а=6⋅3+4=22
Ответ: а=22
б) Решим с помощью формулы:
a=b⋅c+d
(a – делимое, b – делитель, c – неполное частное, d – остаток.)
с:24=4(ост.11)
(с – делимое, 24 – делитель, 4 – неполное частное, 11 – остаток.) Подставим цифры в формулу:
с=24⋅4+11=107
Ответ: с=107
Задача:
Проволоку 4м. нужно разрезать на куски по 13см. Сколько таких кусков получится?
Решение:
Сначала надо метры перевести в сантиметры.
4м.=400см.
Можно поделить столбиком или в уме получим:
400:13=30(ост.10)
Проверим:
13⋅30+10=390+10=400
Ответ: 30 кусков получиться и 10 см. проволоки останется.
