Как найти частную производную по направлению - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Производная функции по направлению

Как найти?

Постановка задачи

Найти производную функции $ u(x,y,z) $ в точке $ M (x_1,y_1,z_1) $ по направлению вектора $ overline{l} = (l_x,l_y,l_z) $

План решения

Если для функции $ u(x,y,z) $ существует производная в точке $ M(x_1,y_1,z_1) $, то значит в этой точке существует производная по любому направлению $ overline{l} $ и находится по формуле:

$$ frac{partial u}{partial l} = frac{partial u}{partial x} bigg |_M cdot cos alpha + frac{partial u}{partial y} bigg |_M cdot cos beta + frac{partial u}{partial z} bigg |_M cdot cos gamma $$

Находим частные производные первого порядка:
$$ frac{partial u}{partial x}; frac{partial u}{partial y}; frac{partial u}{partial z} $$
Вычисляем полученные производные в точке $ M(x_1,y_1,z_1) $:
$$ frac{partial u}{partial x} bigg |_{M(x_1,y_1,z_1)}; frac{partial u}{partial y} bigg |_{M(x_1,y_1,z_1)}; frac{partial u}{partial z} bigg |_{M(x_1,y_1,z_1)} $$
Получаем направляющие косинусы по формулам:
$$ cos alpha = frac{l_x}{|overline{l}|}; cos beta = frac{l_y}{|overline{l}|}; cos gamma = frac{l_z}{|overline{l}|} $$
Подставляем все полученные данные в формулу и записываем ответ

Примеры решений

Пример 1

Найти производную функции $ u = x+ln(z^2+y^2) $ в точке $ M (2,1,1) $ по направлению вектора $ overline{l} = (-2,1,-1) $

Решение

Находим частные производные первого порядка и вычисляем их начение в точке $ M $:

$$ frac{partial u}{partial x} = 1; frac{partial u}{partial x} bigg |_{M(2,1,1)} = 1 $$

$$ frac{partial u}{partial y} = frac{2y}{z^2+y^2}; frac{partial u}{partial y} bigg |_{M(2,1,1)}=1 $$

$$ frac{partial u}{partial z} = frac{2z}{z^2+y^2}; frac{partial u}{partial z} bigg |_{M(2,1,1)} = 1 $$

Вычисляем направляющие косинусы:

$$ cos alpha = frac{-2}{sqrt{(-2)^2+1^2+(-1)^2}} = frac{-2}{sqrt{6}} $$

$$ cos beta = frac{1}{sqrt{(-2)^2+1^2+(-1)^2}} = frac{1}{sqrt{6}} $$

$$ cos gamma = frac{-1}{sqrt{(-2)^2+1^2+(-1)^2}} = – frac{1}{sqrt{6}} $$

Подставляем полученные частные производные в точке $ M $ и направляющие косинусы в формулу:

$$ frac{partial u}{partial l} = 1 cdot (-frac{2}{sqrt{6}}) + 1 cdot frac{1}{sqrt{6}} + 1 cdot (-frac{1}{sqrt{6}}) = -frac{2}{sqrt{6}} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ frac{partial u}{partial l} = -frac{2}{sqrt{6}} $$

Пример 2

Найти производную $ u = xy – frac{x}{z} $ в точке $ M(-4,3,-1) $ по направлению вектора $ overline{l} = (5,1,-1) $

Решение

Берем частные производные первого порядка от функции в точке $ M(-4,3,-1) $:

$$ frac{partial u}{partial x} = y – frac{1}{z}; frac{partial u}{partial x} bigg |_{M(-4,3,-1)} = 4 $$

$$ frac{partial u}{partial y} = x; frac{partial u}{partial y} bigg |_{M(-4,3,-1)} = -4 $$

$$ frac{partial u}{partial z} = frac{x}{z^2}; frac{partial u}{partial z} bigg |_{M(-4,3,-1)} = -4 $$

Вычисляем направляющие косинусы:

$$ cos alpha = frac{5}{sqrt{5^2+1^2+(-1)^2}} = frac{5}{sqrt{27}} $$

$$ cos beta = frac{1}{sqrt{5^2+1^2+(-1)^2}} = frac{1}{sqrt{27}} $$

$$ cos gamma = frac{-1}{sqrt{5^2+1^2+(-1)^2}} = frac{-1}{sqrt{27}} $$

По формуле производной по направлению получаем ответ:

$$ frac{partial u}{partial l} = 4 cdot frac{5}{sqrt{27}} + (-4) cdot frac{1}{sqrt{27}} + (-4) cdot frac{-1}{sqrt{27}} = frac{20}{sqrt{27}} $$

Ответ

$$ frac{partial u}{partial l} = frac{20}{sqrt{27}} $$

Источник

У этого термина существуют и другие значения, см. Производная.

В математическом анализе производная по направлению — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.
Производная по направлению показывает, как быстро значение функции изменяется при движении в данном направлении.

Назначение[править | править код]

Производная функции одной переменной показывает, как изменяется её значение при малом изменении аргумента.
Если мы попытаемся по аналогии определить производную функции многих переменных, то столкнёмся с трудностью: в этом случае изменение аргумента (то есть точки в пространстве) может происходить в разных направлениях, и при этом будут получаться разные значения производной.
Именно это соображение и приводит к определению производной по направлению|^[1].

Определение[править | править код]

Рассмотрим дифференцируемую функцию ${displaystyle f(x_{1},;ldots ,;x_{n})}$ от аргументов в окрестности точки ${displaystyle {vec {x}}{,}^{0}=(x_{1}^{0},;ldots ,;x_{n}^{0})}$ . Для любого единичного вектора ${displaystyle {vec {e}}=(e_{1},;ldots ,;e_{n})}$ определим производную функции в точке ${vec {x}}{,}^{0}$ по направлению vec{e} следующим образом^[1]:

${displaystyle nabla _{mathbf {e} }{f}({vec {x}}{,}^{0})=lim _{hto 0}{frac {f({vec {x}}{,}^{0}+hcdot {vec {e}})-f({vec {x}}{,}^{0})}{h}}}$

Значение этого выражения показывает, как быстро меняется значение функции при сдвиге аргумента в направлении вектора vec{e} .

Если направление сонаправленно с координатной осью, то производная по направлению совпадает с частной производной по этой координате.

В источниках встречаются разные обозначения для производной по направлению :

Производная по направлению имеет те же свойства, что и обычная производная функции одного аргумента:

${displaystyle nabla _{mathbf {e} }(f+g)=nabla _{mathbf {e} }f+nabla _{mathbf {e} }g}$
${displaystyle nabla _{mathbf {e} }(cf)=cnabla _{mathbf {e} }f}$
${displaystyle nabla _{mathbf {e} }(fg)=gnabla _{mathbf {e} }f+fnabla _{mathbf {e} }g}$
${displaystyle nabla _{mathbf {e} }(hcirc g)(mathbf {p} )=h'(g(mathbf {p} ))nabla _{mathbf {e} }g(mathbf {p} )}$

Выражение производной по направлению через частные производные[править | править код]

Пусть направляющий вектор направления имеет координаты ${displaystyle (e_{1},e_{2}dots e_{n})}$ . Тогда имеет место формула:

${displaystyle nabla _{mathbf {e} }{f}(mathbf {x} )={frac {partial f}{partial x_{1}}}e_{1}+dots +{frac {partial f}{partial x_{n}}}e_{n}}$

На языке векторного анализа эту формулу можно записать иначе. Производную по направлению дифференцируемой по совокупности переменных функции можно рассматривать как проекцию градиента функции на это направление, или иначе, как скалярное произведение градиента на орт направления|^[2]:

${displaystyle nabla _{mathbf {e} }{f}(mathbf {x} )=nabla fcdot {vec {e}}}$

Отсюда следует, что в заданной точке производная по направлению принимает максимальное значение тогда, когда её направление совпадает с направлением градиента функции в данной точке.

Нормальная производная[править | править код]

Нормальная производная — производная по направлению нормали некоторой поверхности. Понятие нормальной производной особенно важно при решении краевых задач^[3] (см. пример в статье Задача Неймана). Если нормаль обозначить , то нормальная производная ${displaystyle {frac {partial f}{partial mathbf {n} }}}$ для функции f даётся формулой:

${displaystyle nabla _{mathbf {n} }{f}(mathbf {x} )={frac {partial f(mathbf {x} )}{partial mathbf {n} }}={frac {partial f}{partial mathbf {x} }}cdot mathbf {n} =nabla f(mathbf {x} )cdot mathbf {n} }$

Для функции, заданной на плоскости, нормальная производная определяется как производная по направлению нормали некоторой кривой, лежащей в той же плоскости^[3].

Вариации и обобщения[править | править код]

До сих пор рассматривались функции в евклидовом пространстве, однако производная по направлению может быть определена в произвольном гладком многообразии. Пусть — выбранная точка многообразия, gamma — гладкая кривая, проходящая через точку P ( ${displaystyle gamma (t_{0})=P}$ ), — касательный вектор для кривой gamma в точке P. Тогда можно определить ковариантную производную по направлению вектора :

${displaystyle nabla _{mathbf {v} }f(mathbf {P} )=left.{frac {d}{dt}}f(gamma (t))right|_{t=t_{0}}.}$

Можно показать, что это определение зависит только от вектора , то есть для всех кривых с общим касательным вектором значение ковариантной производной будет одно и то же.

Ещё одно обобщение — производная Гато.

См. также[править | править код]

Полная производная функции

Примечания[править | править код]

↑ ¹ ² Фихтенгольц, 1966, с. 391—393.
↑ Фихтенгольц, 1966, с. 393—394.
↑ ¹ ² Нормальная производная // Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 416. — 847 с.

Литература[править | править код]

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — Т. I. — С. 391—394.

Ссылки[править | править код]

Производная по направлению с примерами на YouTube
“Свободный полет по производным” — перевод статьи Calculus: Building Intuition for the Derivative | BetterExplained (англ.)

Источник

Частные производные функции нескольких
переменных, по своему смыслу, характеризуют
скорость изменения функции по направлениям
осей координат. Вполне естественно
выяснить с какой скоростью изменяется
функция в данной точке

в фиксированном направлении, задаваемом
вектором

.
Ответ на этот вопрос дает понятие
производной в точке

по
направлению вектора

.
Опуская точное определение такой
производной, которая естественно
является пределом отношения приращения
функции к приращению аргумента,
вычисленному в заданном направлении,
приведем формулы для её вычисления.

Для дифференцируемой функции трех
переменных

,
производная в направлении вектора

:

,
где

– направляющие косинусы вектора

,
которые вычисляются по формулам

,

,

и являются координатами единичного
вектора

того же направления:

Для дифференцируемой функции двух
переменных

формулы аналогичны, только будет
отсутствовать третья координата.

Определение. Градиентом функции

называется
вектор

,
координаты которого равны соответственно
частным производным

в точке

,
то есть

.

Для функции трех переменных

имеем

.

Используя определение градиента,
формулы для вычисления производной по
направлению можно записать в виде
скалярного произведения двух векторов:

или

Из этих формул, с учетом определения
скалярного произведения,

,
следуют основные свойства градиента:

градиент
это вектор, направленный в сторону
максимального роста функции

,
то есть производная по направлению в
данной точке принимает максимальное
значение в направлении её градиента
в этой точке;
модуль
градиента равен максимальной производной
по направлению.
градиент
перпендикулярен линии (поверхности)
уровня функции;

Пример 1. Найти градиент функции

и
его модуль в точке

,
и вычислить производную по направлению
вектора

.

Решение.1)Вычисляем

.
Подставляя координаты точки

,
получим

.
Модуль, полученного вектора

.

2) Вычисляем единичный вектор заданного
направления

.
Производная по направлению равна

=

.

Пример 2. Найти вектор нормальный
к линиям уровня функции

.

Решение. Поскольку градиент функции
перпендикулярен линиям уровня этой
функции в произвольной точке, получим

,
значит, вектор

– нормальный вектор к линиям уровня

,
которые образовывают множество
параллельных прямых, перпендикулярных
вектору

.

7.7. Экстремум функции двух переменных

Определение. Точка

является точкой максимума (минимума)
функции

,
если существует окрестность этой точки
такая, что для всех точек

из
этой окрестности

(

Максимум или минимум, как и ранее,
называют экстремумом. Далее, в силу
простоты и наглядности, исследование
на экстремум проведем для функций двух
переменных

,
тем более, что идеи и последовательность
действий такие же, как и для функции
одной переменной.

Прежде всего, находим стационарные
точки, то есть точки в которых
обращаются в нуль обе частные производные
– необходимое условие экстремума,
то есть решаем систему уравнений:

Пусть, например, точка

является решением этой системы, то
есть – стационарная точка. Для
того, чтобы выяснить будет ли в этой
точке экстремум, используем следующие
достаточные условия существования
экстремума в стационарной точке.

1) Находим частные производные второго
порядка исследуемой функции и вычисляем
их значения в точке

,
обозначая:

;

2) Составим определитель

3) Если

,
то в точке

будет экстремум:

максимум,
если
минимум,
если

4) Если

,
то в точке

нет экстремума.

5) Если

,
то требуется дальнейшее исследование.

Пример. Исследовать на экстремум
функцию

Решение. 1) Ищем стационарные точки:

Из второго уравнения системы получим

,
подставляя это значение в первое
уравнение, после очевидных вычислений
имеем

.
Таким образом далее предстоит исследовать
единственную стационарную точку

.

2) Находим производные второго порядка
данной функции:

;

3) Вычисляем значения вторых производных
в стационарной точке:

;

4) Составляем определитель

,
т.к.

,
то в точке

есть экстремум, а так как

,
это минимум.

5) Находим

.

Замечание. Исследование на наибольшее
и наименьшее значение функции нескольких
переменных непрерывной в замкнутой
ограниченной области подобно исследованию
функции одной переменной на замкнутом
промежутке
.
Сначала ищутся критические точки внутри
области и вычисляются значения функции
в этих критических точках. Затем находят
наибольшее и наименьшее значения
функции на границе области. И в заключение,
из всех полученных значений выбирают
наибольшее и наименьшее, которые и
являются решением задачи.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Пусть F(x,y,z)F(x,y,z) – функция трех переменных, (x,y,z)(x,y,z) – декартовы координаты.

Градиентом функции F(x,y,z)F(x,y,z) называется векторное поле

∇F(x,y,z)=∂F∂xi+∂F∂yj+∂F∂zk,
nabla F(x,y,z)=frac{partial F}{partial x}mathbf{i}+frac{partial F}{partial y}mathbf{j}+frac{partial F}{partial z}mathbf{k},

где ∂F∂xfrac{partial F}{partial x}, ∂F∂yfrac{partial F}{partial y} и ∂F∂zfrac{partial F}{partial z} – частные производные функции F(x,y,z)F(x,y,z), а imathbf{i}, jmathbf{j} и kmathbf{k} – базис декартовой системы координат (x,y,z)(x,y,z).

Иногда градиент обозначается так: grad⁡F(x,y,z)operatorname{grad} F(x,y,z).

Градиент функции в данной точке показывает направление наибольшего роста функции.

Пример 1

Найти градиент функции F(x,y,z)=ln⁡(x2+y2+z2)F(x,y,z)=ln(x^2+y^2+z^2) в точке M(1,2,3)M(1,2,3).

Вычислим частные производные:
∂F∂x=∂∂xln⁡(x2+y2+z2)=2xx2+y2+z2,
frac{partial F}{partial x}=frac{partial }{partial x}ln(x^2+y^2+z^2)=frac{2x}{x^2+y^2+z^2},

∂F∂y=∂∂yln⁡(x2+y2+z2)=2yx2+y2+z2,
frac{partial F}{partial y}=frac{partial }{partial y}ln(x^2+y^2+z^2)=frac{2y}{x^2+y^2+z^2},

∂F∂z=∂∂zln⁡(x2+y2+z2)=2zx2+y2+z2.
frac{partial F}{partial z}=frac{partial }{partial z}ln(x^2+y^2+z^2)=frac{2z}{x^2+y^2+z^2}.

Градиент в точке M(1,2,3)M(1,2,3) (подставляем в формулы для частных производных значения x=1x=1, y=2y=2, z=3z=3):

∇F(M)=17 i+27 j+37 k=17 OM→.
nabla F(M)=frac{1}{7},,mathbf{i}+frac{2}{7},,mathbf{j}+frac{3}{7},,mathbf{k}=frac{1}{7},,overrightarrow{OM}.

Производная по направлению

Пусть FF – функция на плоскости или в пространстве.

Производной функции FF по направлению вектора amathbf{a} в точке MM называется число

∂F∂a(M)=1∥a∥ddεF(M+εa)∣ε=0,
frac{partial F}{partialmathbf{a}}(M)=frac{1}{|mathbf{a}|}left.frac{d}{dvarepsilon}Fleft(M+varepsilon mathbf{a}right)right|_{varepsilon=0},

если производная в правой части существует.

Пример 2

Найдем производную функции F(x,y,z)=x2y−y2z+z2xF(x,y,z)=x^2y-y^2z+z^2x по направлению вектора a=i−2j+2kmathbf{a}=mathbf{i}-2mathbf{j}+2mathbf{k} в точке M(−1,0,1)M(-1,0,1).

Вычисляем значение функции в точке M+εaM+varepsilon mathbf{a} с координатами (−1+ε,−2ε,1+2ε)(-1+varepsilon,-2varepsilon,1+2varepsilon):

F(M+εa)=(−1+ε)2(−2ε)−(−2ε)2(1+2ε)+(1+2ε)2(−1+ε)=−6ε3−5ε−1.
Fleft(M+varepsilon mathbf{a}right)=(-1+varepsilon)^2(-2varepsilon)-(-2varepsilon)^2(1+2varepsilon)+(1+2varepsilon)^2(-1+varepsilon)=-6{varepsilon^{3}}-5varepsilon-1.

Длина вектора amathbf{a}:

∥a∥=a12+a22+a32=12+(−2)2+22=9=3.
|mathbf{a}|=sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}=sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=sqrt{9}=3.

Производная по направлению:
∂F∂a(M)=1∥a∥ddεF(M+εa)∣ε=0=13ddε(−6ε3−5ε−1)∣ε=0=−53
frac{partial F}{partialmathbf{a}}(M)=frac{1}{|mathbf{a}|}left.frac{d}{dvarepsilon}Fleft(M+varepsilon mathbf{a}right)right|_{varepsilon=0}=frac{1}{3}left.frac{d}{dvarepsilon}left(-6{varepsilon^{3}}-5varepsilon-1right)right|_{varepsilon=0}=-frac{5}{3}

Выражение производной по направлению через градиент

Используя формулу Тейлора для функций нескольких переменных, легко получить выражение производной по направлению через градиент. Действительно, из равенства

F(M+εa)=F(M)+ε(∇F(M),a)+o(ε2)Fleft(M+varepsilon mathbf{a}right)=F(M)+varepsilonleft(nabla F(M),mathbf{a}right)+oleft(varepsilon^2right)

следует, что

ddεF(M+εa)∣ε=0=(∇F(M),a).
left.frac{d}{dvarepsilon}Fleft(M+varepsilon mathbf{a}right)right|_{varepsilon=0}=left(nabla F(M),mathbf{a}right).

Таким образом,

∂F∂a(M)=(∇F(M),a)∥a∥.
frac{partial F}{partialmathbf{a}}(M)=frac{left(nabla F(M),mathbf{a}right)}{|mathbf{a}|}.

Пример 2′2′

Частные производные:

∂F∂x(M)=2xy+z2∣(x,y,z)=(−1,0,1)=1,
frac{partial F}{partial x}(M)=left.2xy+z^2right|_{(x,y,z)=(-1,0,1)}=1,

∂F∂y(M)=x2−2yz∣(x,y,z)=(−1,0,1)=1,
frac{partial F}{partial y}(M)=left.x^2-2yzright|_{(x,y,z)=(-1,0,1)}=1,

∂F∂z(M)=−y2+2zx∣(x,y,z)=(−1,0,1)=−2.
frac{partial F}{partial z}(M)=left.-y^2+2zxright|_{(x,y,z)=(-1,0,1)}=-2.

Градиент:

∇F(M)=i+j−2k.
nabla F(M)=mathbf{i}+mathbf{j}-2mathbf{k}.

Скалярное произведение:

(∇F(M),a)=(i+j−2k,i−2j+2k)=1−2−4=−5.
left(nabla F(M),mathbf{a}right)=left(mathbf{i}+mathbf{j}-2mathbf{k},mathbf{i}-2mathbf{j}+2mathbf{k}right)=1-2-4=-5.

Производная по направлению:

∂F∂a(M)=(∇F(M),a)∥a∥=−53.
frac{partial F}{partialmathbf{a}}(M)=frac{left(nabla F(M),mathbf{a}right)}{|mathbf{a}|}=-frac{5}{3}.

Тест по теме “Градиент функции. Производная по направлению”

Источник

Производная функции по направлению