Как найти частные производные функции нескольких переменных

Частные производные для функции от нескольких переменных

21 сентября 2015

Рассмотрим функцию от двух переменных:

[f=fleft( x,y right)]

Поскольку переменные $x$ и $y$ являются независимыми, для такой функции можно ввести понятие частной производной:

Частная производная функции $f$ в точке $M=left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ по переменной $x$ — это предел

[{{{f}’}_{x}}=underset{Delta xto 0}{mathop{lim }},frac{fleft( {{x}_{0}}+Delta x;{{y}_{0}} right)}{Delta x}]

Аналогично можно определить частную производную по переменной $y$ :

[{{{f}’}_{y}}=underset{Delta yto 0}{mathop{lim }},frac{fleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}}+Delta y right)}{Delta y}]

Другими словами, чтобы найти частную производную функции нескольких переменных, нужно зафиксировать все остальные переменные, кроме искомой, а затем найти обычную производную по этой искомой переменной.

Отсюда вытекает основной приём для вычисления таких производных: просто считайте, что все переменные, кроме данной, являются константой, после чего дифференцируйте функцию так, как дифференцировали бы «обычную» — с одной переменной. Например:

$begin{align}& {{left( {{x}^{2}}+10xy right)}_{x}}^{prime }={{left( {{x}^{2}} right)}^{prime }}_{x}+10ycdot {{left( x right)}^{prime }}_{x}=2x+10y, \& {{left( {{x}^{2}}+10xy right)}_{y}}^{prime }={{left( {{x}^{2}} right)}^{prime }}_{y}+10xcdot {{left( y right)}^{prime }}_{y}=0+10x=10x. \end{align}$

Очевидно, что частные производные по разным переменным дают разные ответы — это нормально. Куда важнее понимать, почему, скажем, в первом случае мы спокойно вынесли $10y$ из-под знака производной, а во втором — вовсе обнулили первое слагаемое. Всё это происходит из-за того, что все буквы, кроме переменной, по которой идёт дифференцирование, считаются константами: их можно выносить, «сжигать» и т.д.

Что такое «частная производная»?

Сегодня мы поговорим о функциях нескольких переменных и о частных производных от них. Во-первых, что такое функция нескольких переменных? До сих пор мы привыкли считать функцию как $yleft( x right)$ или $tleft( x right)$, или любую переменную и одну-единственную функцию от нее. Теперь же функция у нас будет одна, а переменных несколько. При изменении $y$ и $x$ значение функции будет меняться. Например, если $x$ увеличится в два раза, значение функции поменяется, при этом если $x$ поменяется, а $y$ не изменится, значение функции точно так же изменится.

Разумеется, функцию от нескольких переменных, точно так же как и от одной переменной, можно дифференцировать. Однако поскольку переменных несколько, то и дифференцировать можно по разным переменным. При этом возникают специфические правила, которых не было при дифференцировании одной переменной.

Прежде всего, когда мы считаем производную функции от какой-либо переменной, то обязаны указывать, по какой именно переменной мы считаем производную — это и называется частной производной. Например, у нас функция от двух переменных, и мы можем посчитать ее как по $x$, так и по $y$ — две частных производных у каждой из переменных.

Во-вторых, как только мы зафиксировали одну из переменных и начинаем считать частную производную именно по ней, то все остальные, входящие в эту функцию, считаются константами. Например, в $zleft( xy right)$, если мы считаем частную производную по $x$, то везде, где мы встречаем $y$, мы считаем ее константой и обращаемся с ней именно как с константой. В частности при вычислении производной произведения мы можем выносить $y$ за скобку (у нас же константа), а при вычислении производной суммы, если у нас где-то получается производная от выражения, содержащего $y$ и не содержащего $x$, то производная этого выражения будет равна «нулю» как производная константы.

На первый взгляд может показаться, что я рассказываю о чем-то сложном, и многие ученики по началу путаются. Однако ничего сверхъестественного в частных производных нет, и сейчас мы убедимся в этом на примере конкретных задач.

Задачи с радикалами и многочленами

Задача № 1

Чтобы не терять время зря, с самого начала начнем с серьезных примеров.

[zleft( x,y right)=sqrt{frac{y}{x}}]

Для начала напомню такую формулу:

[{{left( sqrt{x} right)}^{prime }}_{x}=frac{1}{2sqrt{x}}]

Это стандартное табличное значение, которое мы знаем из стандартного курса.

В этом случае производная $z$ считается следующим образом:

[{{{z}’}_{x}}={{left( sqrt{frac{y}{x}} right)}^{prime }}_{x}=frac{1}{2sqrt{frac{y}{x}}}{{left( frac{y}{x} right)}^{prime }}_{x}]

Давайте еще раз, поскольку под корнем стоит не $x$, а некое другое выражение, в данном случае $frac{y}{x}$, то сначала мы воспользуемся стандартным табличным значением, а затем, поскольку под корнем стоит не $x$, а другое выражение, нам необходимо домножить нашу производную на еще одну из этого выражения по той же самой переменной. Давайте для начала посчитаем следующее:

[{{left( frac{y}{x} right)}^{prime }}_{x}=frac{{{{{y}’}}_{x}}cdot x-ycdot {{{{x}’}}_{x}}}{{{x}^{2}}}=frac{0cdot x-ycdot 1}{{{x}^{2}}}=-frac{y}{{{x}^{2}}}]

Возвращаемся к нашему выражению и записываем:

[{{{z}’}_{x}}={{left( sqrt{frac{y}{x}} right)}^{prime }}_{x}=frac{1}{2sqrt{frac{y}{x}}}{{left( frac{y}{x} right)}^{prime }}_{x}=frac{1}{2sqrt{frac{y}{x}}}cdot left( -frac{y}{{{x}^{2}}} right)]

В принципе, это все. Однако оставлять ее в таком виде неправильно: такую конструкцию неудобно использовать для дальнейших вычислений, поэтому давайте ее немного преобразуем:

[frac{1}{2sqrt{frac{y}{x}}}cdot left( -frac{y}{{{x}^{2}}} right)=frac{1}{2}cdot sqrt{frac{x}{y}}cdot frac{y}{{{x}^{2}}}=]

[=-frac{1}{2}cdot sqrt{frac{x}{y}}cdot sqrt{frac{{{y}^{2}}}{{{x}^{4}}}}=-frac{1}{2}sqrt{frac{xcdot {{y}^{2}}}{ycdot {{x}^{4}}}}=-frac{1}{2}sqrt{frac{y}{{{x}^{3}}}}]

Ответ найден. Теперь займемся $y$:

[{{{z}’}_{y}}={{left( sqrt{frac{y}{x}} right)}^{prime }}_{y}=frac{1}{2sqrt{frac{y}{x}}}cdot {{left( frac{y}{x} right)}^{prime }}_{y}]

Выпишем отдельно:

[{{left( frac{y}{x} right)}^{prime }}_{y}=frac{{{{{y}’}}_{y}}cdot x-ycdot {{{{x}’}}_{y}}}{{{x}^{2}}}=frac{1cdot x-ycdot 0}{{{x}^{2}}}=frac{1}{x}]

Теперь записываем:

[{{{z}’}_{y}}={{left( sqrt{frac{y}{x}} right)}^{prime }}_{y}=frac{1}{2sqrt{frac{y}{x}}}cdot {{left( frac{y}{x} right)}^{prime }}_{y}=frac{1}{2sqrt{frac{y}{x}}}cdot frac{1}{x}=]

[=frac{1}{2}cdot sqrt{frac{x}{y}}cdot sqrt{frac{1}{{{x}^{2}}}}=frac{1}{2}sqrt{frac{x}{ycdot {{x}^{2}}}}=frac{1}{2sqrt{xy}}]

Все сделано.

Задача № 2

[zleft( x,y right)=frac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}]

Этот пример одновременно и проще, и сложней, чем предыдущий. Сложнее, потому что здесь больше действий, а проще, потому что здесь нет корня и, кроме того, функция симметрична относительно $x$ и $y$, т.е. если мы поменяем $x$ и $y$ местами, формула от этого не изменится. Это замечание в дальнейшем упростит нам вычисление частной производной, т.е. достаточно посчитать одну из них, а во второй просто поменять местами $x$ и $y$.

Приступаем к делу:

[{{{z}’}_{x}}={{left( frac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1} right)}^{prime }}_{x}=frac{{{left( xy right)}^{prime }}_{x}left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)-xy{{left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)}^{prime }}_{x}}{{{left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)}^{2}}}]

Давайте посчитаем:

[{{left( xy right)}^{prime }}_{x}=ycdot {{left( x right)}^{prime }}=ycdot 1=y]

Однако многим ученикам такая запись непонятна, поэтому запишем вот так:

[{{left( xy right)}^{prime }}_{x}={{left( x right)}^{prime }}_{x}cdot y+xcdot {{left( y right)}^{prime }}_{x}=1cdot y+xcdot 0=y]

Таким образом, мы еще раз убеждаемся в универсальности алгоритма частных производных: каким бы мы образом их не считали, если все правила применяются верно, ответ будет один и тот же.

Теперь давайте разберемся еще с одной частной производной из нашей большой формулы:

[{{left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)}^{prime }}_{x}={{left( {{x}^{2}} right)}^{prime }}_{x}+{{left( {{y}^{2}} right)}^{prime }}_{x}+{{{1}’}_{x}}=2x+0+0]

Подставим полученные выражения в нашу формулу и получим:

[frac{{{left( xy right)}^{prime }}_{x}left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)-xy{{left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)}^{prime }}_{x}}{{{left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)}^{2}}}=]

[=frac{ycdot left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)-xycdot 2x}{{{left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)}^{2}}}=]

[=frac{yleft( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1-2{{x}^{2}} right)}{{{left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)}^{2}}}=frac{yleft( {{y}^{2}}-{{x}^{2}}+1 right)}{{{left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)}^{2}}}]

По $x$ посчитано. А чтобы посчитать $y$ от того же самого выражения, давайте не будем выполнять всю ту же последовательность действий, а воспользуемся симметрией нашего исходного выражения — мы просто заменим в нашем исходном выражении все $y$ на $x$ и наоборот:

[{{{z}’}_{y}}=frac{xleft( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+1 right)}{{{left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)}^{2}}}]

За счет симметрии мы посчитали это выражение гораздо быстрее.

Нюансы решения

Для частных производных работают все стандартные формулы, которые мы используем для обычных, а именно, производная частного. При этом, однако, возникают свои специфические особенности: если мы считаем частную производную $x$, то когда мы получаем ее по $x$, то рассматриваем ее как константу, и поэтому ее производная будет равна «нулю».

Как и в случае с обычными производными, частную (одну и ту же) можно посчитать несколькими различными способами. Например, ту же конструкцию, которую мы только что посчитали, можно переписать следующим образом:

[{{left( frac{y}{x} right)}^{prime }}_{x}=ycdot {{left( frac{1}{x} right)}^{prime }}_{x}=-yfrac{1}{{{x}^{2}}}]

Далее мы точно таким же образом считаем еще две конструкции, а именно:

[{{left( xy right)}^{prime }}_{x}=ycdot {{{x}’}_{x}}=ycdot 1=y]

Вместе с тем, с другой стороны, можно использовать формулу от производной суммы. Как мы знаем, она равна сумме производных. Например, запишем следующее:

[{{left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)}^{prime }}_{x}=2x+0+0=2x]

Теперь, зная все это, давайте попробуем поработать с более серьезными выражениями, поскольку настоящие частные производные не ограничиваются одними лишь многочленами и корнями: там встречаются и тригонометрия, и логарифмы, и показательная функция. Сейчас этим и займемся.

Задачи с тригонометрическими функциями и логарифмами

Задача № 1

[zleft( x,y right)=sqrt{x}cos frac{x}{y}]

Запишем следующие стандартные формулы:

[{{left( sqrt{x} right)}^{prime }}_{x}=frac{1}{2sqrt{x}}]

[{{left( cos x right)}^{prime }}_{x}=-sin x]

Вооружившись этими знаниями, попробуем решить:

[{{{z}’}_{x}}={{left( sqrt{x}cdot cos frac{x}{y} right)}^{prime }}_{x}={{left( sqrt{x} right)}^{prime }}_{x}cdot cos frac{x}{y}+sqrt{x}cdot {{left( cos frac{x}{y} right)}^{prime }}_{x}=]

Отдельно выпишем одну переменную:

[{{left( cos frac{x}{y} right)}^{prime }}_{x}=-sin frac{x}{y}cdot {{left( frac{x}{y} right)}^{prime }}_{x}=-frac{1}{y}cdot sin frac{x}{y}]

Возвращаемся к нашей конструкции:

[=frac{1}{2sqrt{x}}cdot cos frac{x}{y}+sqrt{x}cdot left( -frac{1}{y}cdot sin frac{x}{y} right)=frac{1}{2sqrt{x}}cdot cos frac{x}{y}-frac{sqrt{x}}{y}cdot sin frac{x}{y}]

Все, по $x$ мы нашли, теперь давайте займемся вычислениями по $y$:

[{{{z}’}_{y}}={{left( sqrt{x}cdot cos frac{x}{y} right)}^{prime }}_{y}={{left( sqrt{x} right)}^{prime }}_{y}cdot cos frac{x}{y}+sqrt{x}cdot {{left( cos frac{x}{y} right)}^{prime }}_{y}=]

Опять же посчитаем одно выражение:

[{{left( cos frac{x}{y} right)}^{prime }}_{y}=-sin frac{x}{y}cdot {{left( frac{x}{y} right)}^{prime }}_{y}=-sin frac{x}{y}cdot xcdot left( -frac{1}{{{y}^{2}}} right)]

Возвращаемся к исходному выражению и продолжаем решение:

[=0cdot cos frac{x}{y}+sqrt{x}cdot frac{x}{{{y}^{2}}}sin frac{x}{y}=frac{xsqrt{x}}{{{y}^{2}}}cdot sin frac{x}{y}]

Все сделано.

Задача № 2

[zleft( x,y right)=ln left( x+ln y right)]

Запишем необходимую нам формулу:

[{{left( ln x right)}^{prime }}_{x}=frac{1}{x}]

Теперь посчитаем по $x$:

[{{{z}’}_{x}}={{left( ln left( x+ln y right) right)}^{prime }}_{x}=frac{1}{x+ln y}.{{left( x+ln y right)}^{prime }}_{x}=]

[=frac{1}{x+ln y}cdot left( 1+0 right)=frac{1}{x+ln y}]

По $x$ найдено. Считаем по $y$:

[{{{z}’}_{y}}={{left( ln left( x+ln y right) right)}^{prime }}_{y}=frac{1}{x+ln y}.{{left( x+ln y right)}^{prime }}_{y}=]

[=frac{1}{x+ln y}left( 0+frac{1}{y} right)=frac{1}{yleft( x+ln y right)}]

Задача решена.

Нюансы решения

Итак, от какой бы функции мы не брали частную производную, правила остаются одними и теми же, независимо от того, работаем ли мы с тригонометрией, с корнями или с логарифмами.

Неизменными остаются классические правила работы со стандартными производными, а именно, производная суммы и разности, частного и сложной функции.

Последняя формула чаще всего и встречается при решении задач с частными производными. Мы встречаемся с ними практически везде. Ни одной задачи еще не было, чтобы там нам она не попадалась. Но какой бы мы формулой не воспользовались, нам все равно добавляется еще одно требование, а именно, особенность работы с частными производными. Как только мы фиксируем одну переменную, все остальные оказываются константами. В частности, если мы считаем частную производную выражения $cos frac{x}{y}$ по $y$, то именно $y$ и является переменной, а $x$ везде остается константой. То же самое работает и наоборот. Ее можно выносить за знак производной, а производная от самой константы будет равна «нулю».

Все это приводит к тому, что частные производные от одного и того же выражения, но по разным переменным могут выглядеть совершенно по-разному. Например, посмотрим такие выражения:

[{{left( x+ln y right)}^{prime }}_{x}=1+0=1]

[{{left( x+ln y right)}^{prime }}_{y}=0+frac{1}{y}=frac{1}{y}]

Задачи с показательными функциями и логарифмами

Задача № 1

[zleft( x,y right)={{e}^{x}}{{e}^{frac{x}{y}}}]

Для начала запишем такую формулу:

[{{left( {{e}^{x}} right)}^{prime }}_{x}={{e}^{x}}]

Зная этот факт, а также производную сложной функции, давайте попробуем посчитать. Я сейчас решу двумя различными способами. Первый и самый очевидный — это производная произведения:

[{{{z}’}_{x}}={{left( {{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}} right)}^{prime }}_{x}={{left( {{e}^{x}} right)}^{prime }}_{x}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}cdot {{left( {{e}^{frac{x}{y}}} right)}^{prime }}_{x}=]

[={{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}cdot {{left( frac{x}{y} right)}^{prime }}_{x}=]

Давайте решим отдельно следующее выражение:

[{{left( frac{x}{y} right)}^{prime }}_{x}=frac{{{{{x}’}}_{x}}cdot y-x.{{{{y}’}}_{x}}}{{{y}^{2}}}=frac{1cdot y-xcdot 0}{{{y}^{2}}}=frac{y}{{{y}^{2}}}=frac{1}{y}]

Возвращаемся к нашей исходной конструкции и продолжаем решение:

[={{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}cdot frac{1}{y}={{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}left( 1+frac{1}{y} right)]

Все, по $x$ посчитано.

Однако как я и обещал, сейчас постараемся посчитать эту же частную производную другим способом. Для этого заметим следующее:

[{{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}={{e}^{x+frac{x}{y}}}]

В этом запишем так:

[{{left( {{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}} right)}^{prime }}_{x}={{left( {{e}^{x+frac{x}{y}}} right)}^{prime }}_{x}={{e}^{x+frac{x}{y}}}cdot {{left( x+frac{x}{y} right)}^{prime }}_{x}={{e}^{x+frac{x}{y}}}cdot left( 1+frac{1}{y} right)]

В результате мы получили точно такой же ответ, однако объем вычислений оказался меньшим. Для этого достаточно было заметить, что при произведении показатели можно складывать.

Теперь посчитаем по $y$:

[{{{z}’}_{y}}={{left( {{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}} right)}^{prime }}_{y}={{left( {{e}^{x}} right)}^{prime }}_{y}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}cdot {{left( {{e}^{frac{x}{y}}} right)}^{prime }}_{y}=]

[=0cdot {{e}^{frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}cdot {{left( frac{x}{y} right)}^{prime }}_{y}=]

Давайте решим одно выражение отдельно:

[{{left( frac{x}{y} right)}^{prime }}_{y}=frac{{{{{x}’}}_{y}}cdot y-xcdot {{{{y}’}}_{y}}}{{{y}^{2}}}=frac{0-xcdot 1}{{{y}^{2}}}=-frac{1}{{{y}^{2}}}=-frac{x}{{{y}^{2}}}]

Продолжим решение нашей исходной конструкции:

[={{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}cdot left( -frac{x}{{{y}^{2}}} right)=-frac{x}{{{y}^{2}}}cdot {{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}]

Разумеется, эту же производную можно было бы посчитать вторым способом, ответ получился бы таким же.

Задача № 2

[zleft( x,y right)=xln left( {{x}^{2}}+y right)]

Посчитаем по $x$:

[{{{z}’}_{x}}={{left( x right)}_{x}}cdot ln left( {{x}^{2}}+y right)+xcdot {{left( ln left( {{x}^{2}}+y right) right)}^{prime }}_{x}=]

Давайте посчитаем одно выражение отдельно:

[{{left( ln left( {{x}^{2}}+y right) right)}^{prime }}_{x}=frac{1}{{{x}^{2}}+y}cdot {{left( {{x}^{2}}+y right)}^{prime }}_{x}=frac{2x}{{{x}^{2}}+y}]

Продолжим решение исходной конструкции: $$

[1cdot ln left( {{x}^{2}}+y right)+xcdot frac{2x}{{{x}^{2}}+y}=ln left( {{x}^{2}}+y right)+frac{2{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+y}]

Вот такой ответ.

Осталось по аналогии найти по $y$:

[{{{z}’}_{y}}={{left( x right)}^{prime }}_{y}.ln left( {{x}^{2}}+y right)+xcdot {{left( ln left( {{x}^{2}}+y right) right)}^{prime }}_{y}=]

Одно выражение посчитаем как всегда отдельно:

[{{left( {{x}^{2}}+y right)}^{prime }}_{y}={{left( {{x}^{2}} right)}^{prime }}_{y}+{{{y}’}_{y}}=0+1=1]

Продолжаем решение основной конструкции:

[xcdot frac{1}{{{x}^{2}}+y}cdot 1=frac{x}{{{x}^{2}}+y}]

Все посчитано. Как видите, в зависимости от того, какая переменная берется для дифференцирования, ответы получаются совершенно разные.

Нюансы решения

Вот яркий пример того, как производную одной и той же функции можно посчитать двумя различными способами. Вот смотрите:

[{{{z}’}_{x}}=left( {{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}} right)={{left( {{e}^{x}} right)}^{prime }}_{x}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}cdot {{left( {{e}^{frac{x}{y}}} right)}^{prime }}_{x}=]

[={{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}cdot frac{1}{y}={{e}^{x}}cdot {{e}^{^{frac{x}{y}}}}left( 1+frac{1}{y} right)]

[{{{z}’}_{x}}={{left( {{e}^{x}}.{{e}^{frac{x}{y}}} right)}^{prime }}_{x}={{left( {{e}^{x+frac{x}{y}}} right)}^{prime }}_{x}={{e}^{x+frac{x}{y}}}.{{left( x+frac{x}{y} right)}^{prime }}_{x}=]

[={{e}^{x}}cdot {{e}^{^{frac{x}{y}}}}left( 1+frac{1}{y} right)]

При выборе разных путей, объем вычислений может быть разный, но ответ, если все выполнено верно, получится одним и тем же. Это касается как классических, так и частных производных. При этом еще раз напоминаю: в зависимости от того, по какой переменной идет взятие производной, т.е. дифференцирование, ответ может получиться совершенно разный. Посмотрите:

[{{left( ln left( {{x}^{2}}+y right) right)}^{prime }}_{x}=frac{1}{{{x}^{2}}+y}cdot {{left( {{x}^{2}}+y right)}^{prime }}_{x}=frac{1}{{{x}^{2}}+y}cdot 2x]

[{{left( ln left( {{x}^{2}}+y right) right)}^{prime }}_{y}=frac{1}{{{x}^{2}}+y}cdot {{left( {{x}^{2}}+y right)}^{prime }}_{y}=frac{1}{{{x}^{2}}+y}cdot 1]

В заключение для закрепления всего этого материала давайте попробуем посчитать еще два примера.

Задачи с тригонометрической функция и функцией с тремя переменными

Задача № 1

[zleft( x,y right)={{3}^{xsin y}}]

Давайте запишем такие формулы:

[{{left( {{a}^{x}} right)}^{prime }}={{a}^{x}}cdot ln a]

[{{left( {{e}^{x}} right)}^{prime }}={{e}^{x}}]

Давайте теперь решать наше выражение:

[{{{z}’}_{x}}={{left( {{3}^{xsin y}} right)}^{prime }}_{x}={{3}^{x.sin y}}cdot ln 3cdot {{left( xcdot sin y right)}^{prime }}_{x}=]

Отдельно посчитаем такую конструкцию:

[{{left( xcdot sin y right)}^{prime }}_{x}={{{x}’}_{x}}cdot sin y+x{{left( sin y right)}^{prime }}_{x}=1cdot sin y+xcdot 0=sin y]

Продолжаем решать исходное выражение:

[={{3}^{xsin y}}cdot ln 3cdot sin y]

Это окончательный ответ частной переменной по $x$. Теперь посчитаем по $y$:

[{{{z}’}_{y}}={{left( {{3}^{xsin y}} right)}^{prime }}_{y}={{3}^{xsin y}}cdot ln 3cdot {{left( xsin y right)}^{prime }}_{y}=]

Решим одно выражение отдельно:

[{{left( xcdot sin y right)}^{prime }}_{y}={{{x}’}_{y}}cdot sin y+x{{left( sin y right)}^{prime }}_{y}=0cdot sin y+xcdot cos y=xcdot cos y]

Решаем до конца нашу конструкцию:

[={{3}^{xcdot sin y}}cdot ln 3cdot xcos y]

Задача № 2

[tleft( x,y,z right)=x{{e}^{y}}+y{{e}^{z}}]

На первый взгляд этот пример может показаться достаточно сложным, потому что здесь три переменных. На самом деле, это одна из самых простых задач в сегодняшнем видеоуроке.

Находим по $x$:

[{{{t}’}_{x}}={{left( x{{e}^{y}}+y{{e}^{z}} right)}^{prime }}_{x}={{left( xcdot {{e}^{y}} right)}^{prime }}_{x}+{{left( ycdot {{e}^{z}} right)}^{prime }}_{x}=]

[={{left( x right)}^{prime }}_{x}cdot {{e}^{y}}+xcdot {{left( {{e}^{y}} right)}^{prime }}_{x}=1cdot {{e}^{y}}+xcdot o={{e}^{y}}]

Теперь разберемся с $y$:

[{{{t}’}_{y}}={{left( xcdot {{e}^{y}}+ycdot {{e}^{z}} right)}^{prime }}_{y}={{left( xcdot {{e}^{y}} right)}^{prime }}_{y}+{{left( ycdot {{e}^{z}} right)}^{prime }}_{y}=]

[=xcdot {{left( {{e}^{y}} right)}^{prime }}_{y}+{{e}^{z}}cdot {{left( y right)}^{prime }}_{y}=xcdot {{e}^{y}}+{{e}^{z}}]

Мы нашли ответ.

Теперь остается найти по $z$:

[{{{t}’}_{z}}={{left( xcdot {{e}^{y}}+{{y}^{z}} right)}^{prime }}_{z}={{left( xcdot {{e}^{y}} right)}^{prime }}_{z}+{{left( ycdot {{e}^{z}} right)}^{prime }}_{z}=0+ycdot {{left( {{e}^{z}} right)}^{prime }}_{z}=ycdot {{e}^{z}}]

Мы посчитали третью производную, на чем решение второй задачи полностью завершено.

Нюансы решения

Как видите, ничего сложного в этих двух примерах нет. Единственное, в чем мы убедились, так это в том, что производная сложной функции применяется часто и в зависимости от того, какую частную производную мы считаем, мы получаем разные ответы.

В последней задаче нам было предложено разобраться с функцией сразу от трех переменных. Ничего страшного в этом нет, однако в самом конце мы убедились, что все они друг от друга существенно отличаются.

Ключевые моменты

Окончательные выводы из сегодняшнего видеоурока следующие:

1. Частные производные считаются так же, как и обычные, при этом, чтобы считать частную производную по одной переменной, все остальные переменные, входящие в данную функцию, мы принимаем за константы.
2. При работе с частными производными мы используем все те же стандартные формулы, что и с обычными производными: сумму, разность, производную произведения и частного и, разумеется, производную сложной функции.

Конечно, просмотра одного этого видеоурока недостаточно, чтобы полностью разобраться в этой теме, поэтому прямо сейчас на моем сайте именно к этому видео есть комплект задач, посвященных именно сегодняшней теме — заходите, скачивайте, решайте эти задачи и сверяйтесь с ответом. И после этого никаких проблем с частными производными ни на экзаменах, ни на самостоятельных работах у вас не будет. Конечно, это далеко не последний урок по высшей математике, поэтому заходите на наш сайт, добавляйтесь ВКонтакте, подписывайтесь на YouTube, ставьте лайки и оставайтесь с нами!

Смотрите также:

1. Производная параметрической функции
2. Системы линейных уравнений: основные понятия
3. Сравнение дробей
4. Четырехугольная пирамида в задаче C2
5. Задача B5: вычисление площади методом обводки
6. Задача B4: вклад в банке и проценты

Чтобы понять частные производные, сначала нужно разобраться с обычными. И не нужно ничего искать: в нашей отдельной статье мы уже подготовили все для того, чтобы у вас это получилось. А сейчас речь пойдет о частных производных.

Добро пожаловать на наш телеграм-канал за полезной рассылкой и актуальными студенческими новостями.

Функция двух и более переменных

Прежде чем говорить о частных производных, нужно затронуть понятие функции нескольких переменных, без которого нет смысла в частной производной. В школе мы привыкли иметь дело с функциями одной переменной: 

Производными таких функций мы и считали раньше. График функции одной переменной представляет собой линию на плоскости: прямую, параболу, гиперболу и т.д.

А что, если добавить еще одну переменную? Получится такая функция:

Это – функция двух независимых переменных x и y. График такой функции представляет собой поверхность в трехмерном пространстве: шар, гиперболоид, параболоид или еще какой-нибудь сферический конь в вакууме. Частные производные функции z по иксу и игреку соответственно записываются так:

Существуют также функции трех и более переменных. Правда, график такой функции нарисовать невозможно: для этого понадобилось бы как минимум четырехмерное пространство, которое невозможно изобразить.

Частная производная первого порядка

Запоминаем главное правило:

При вычислении частной производной по одной из переменных, вторая переменная принимается за константу. В остальном правила вычисления производной не меняются.

То есть, частная производная по сути ничем не отличается от обычной. Так что, держите перед глазами таблицу производных элементарных функций и правила вычисления обычных производных. Рассмотрим пример, чтобы стало совсем понятно. Допустим, нужно вычислить частные производные первого порядка следующей функции:

Сначала возьмем частную производную по иксу, считая игрек обычным числом:

Теперь считаем частную производную по игреку, принимая икс за константу:

Как видите, ничего сложного в этом нет, а успех с более сложными примерами – лишь дело практики.

Частная производная второго порядка

Как находится частная производная второго порядка? Так же, как и первого. Чтобы найти частные производные второго порядка, нужно просто взять производную от производной первого порядка. Вернемся к примеру выше и посчитаем частные производные второго порядка.

По иксу:

По игреку:

Частные производные третьего и высших порядков не отличаются по принципу вычисления. Систематизируем правила:

1. При дифференцировании по одной независимой переменной, вторая принимается за константу.
2. Производная второго порядка – это производная от производной первого порядка. Третьего порядка – производная от производной второго порядка и т.д.

Частные производные и полный дифференциал функции

Частый вопрос в практических заданиях – нахождение полного дифференциала функции. Для функции нескольких переменных полный дифференциал определяется, как главная линейная часть малого полного приращения функции относительно приращений аргументов.

Определение звучит громоздко, но с буквами все проще. Полный дифференциал первого порядка функции нескольких переменных выглядит так:

Зная, как считаются частные производные, нет никакой проблемы вычислить и полный дифференциал.

Частные производные – не такая уж и бесполезная тема. Например, дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка широко используются для математического описания реальных физических процессов.

Здесь мы дали лишь общее, поверхностное представление о частных производных первого и второго порядка. Вас интересует эта тема или остались конкретные вопросы? Задавайте их в комментариях и обращайтесь к экспертам профессионального студенческого сервиса за квалифицированной и скорой помощью в учебе. С нами вы не останетесь один на один с проблемой!

Частные производные

Частные производные применяются в заданиях с функциями нескольких переменных. Правила нахождения точно такие же как и для функций одной переменной, с разницей лишь в том, что одну из переменных нужно считать в момент дифференцирования константой (постоянным числом).

Формула

Частные производные для функции двух переменных $ z(x,y) $ записываются в следующем виде $ z’_x, z’_y $ и находятся по формулам:

Частные производные первого порядка

$$ z’_x = frac{partial z}{partial x} $$

$$ z’_y = frac{partial z}{partial y} $$

Частные производные второго порядка

$$ z”_{xx} = frac{partial^2 z}{partial x partial x} $$

$$ z”_{yy} = frac{partial^2 z}{partial y partial y} $$

Смешанная производная

$$ z”_{xy} = frac{partial^2 z}{partial x partial y} $$

$$ z”_{yx} = frac{partial^2 z}{partial y partial x} $$

Частная производная сложной функции

а) Пусть $ z (t) = f( x(t), y(t) ) $, тогда производная сложной функции определяется по формуле:

$$ frac{dz}{dt} = frac{partial z}{partial x} cdot frac{dx}{dt} + frac{partial z}{partial y} cdot frac{dy}{dt} $$

б) Пусть $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, тогда частные производные функции находится по формуле: 

$$ frac{partial z}{partial u} = frac{partial z}{partial x} cdot frac{partial x}{partial u} + frac{partial z}{partial y} cdot frac{partial y}{partial u} $$

$$ frac{partial z}{partial v} = frac{partial z}{partial x} cdot frac{partial x}{partial v} + frac{partial z}{partial y} cdot frac{partial y}{partial v} $$

Частные производные неявно заданной функции

а) Пусть $ F(x,y(x)) = 0 $, тогда $$ frac{dy}{dx} = -frac{f’_x}{f’_y} $$

б) Пусть $ F(x,y,z)=0 $, тогда $$ z’_x = – frac{F’_x}{F’_z}; z’_y = – frac{F’_y}{F’_z} $$

Примеры решений

Пример 1

Найти частные производные первого порядка $ z (x,y) = x^2 – y^2 + 4xy + 10 $

Решение

Для нахождения частной производной по $ x $ будем считать $ y $ постоянной величиной (числом): $$ z’_x = (x^2-y^2+4xy+10)’_x = 2x – 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Для нахождения частной производной функции по $ y $ определим $ y $ константой: $$ z’_y = (x^2-y^2+4xy+10)’_y = -2y+4x $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ z’_x = 2x+4y; z’_y = -2y+4x $$

Пример 2

Найти частные производные функции второго порядка $ z = e^{xy} $

Решение

Сперва нужно найти первый производные, а затем зная их можно найти производные второго порядка. Полагаем $ y $ константой: $$ z’_x = (e^{xy})’_x = e^{xy} cdot (xy)’_x = ye^{xy} $$ Положим теперь $ x $ постоянной величиной: $$ z’_y = (e^{xy})’_y = e^{xy} cdot (xy)’_y = xe^{xy} $$ Зная первые производные аналогично находим вторые. Устанавливаем $ y $ постоянной: $$ z”_{xx} = (z’_x)’_x = (ye^{xy})’_x = (y)’_x e^{xy} + y(e^{xy})’_x = 0 + ye^{xy}cdot (xy)’_x = y^2e^{xy} $$ Задаем $ x $ постоянной: $$ z”_{yy} = (z’_y)’_y = (xe^{xy})’_y = (x)’_y e^{xy} + x(e^{xy})’_y = 0 + x^2e^{xy} = x^2e^{xy} $$ Теперь осталось найти смешанную производную. Можно продифференцировать $ z’_x $ по $ y $, а можно $ z’_y $ по $ x $, так как по теореме $ z”_{xy} = z”_{yx} $ $$ z”_{xy} = (z’_x)’_y = (ye^{xy})’_y = (y)’_y e^{xy} + y (e^{xy})’_y = ye^{xy}cdot (xy)’_y = yxe^{xy} $$

Ответ

$$ z’_x = ye^{xy}; z’_y = xe^{xy}; z”_{xy} = yxe^{xy} $$

Пример 3

Найти частную производную сложной функции $ z = x^2 + y^2, x = sin t, y = t^3 $

Решение

Находим $ frac{partial z}{partial x} $: $$ frac{partial z}{partial x} = (x^2+y^2)’_x = 2x $$ Находим $ frac{partial z}{partial y} $: $$ frac{partial z}{partial y} = (x^2+y^2)’_y = 2y $$ Теперь ищем $ frac{dx}{dt} $ и $ frac{dy}{dt} $: $$ frac{dx}{dt} = frac{d(sin t)}{dt} = cos t $$ $$ frac{dy}{dt} = frac{d(t^3)}{dt} = 3t^2 $$ Подставляем всё это в формулу и записываем ответ: $$ frac{dz}{dt} = frac{partial z}{partial x} cdot frac{dx}{dt} + frac{partial z}{partial y} cdot frac{dy}{dt} $$ $$ frac{dz}{dt} = 2x cdot cos t + 2y cdot 3t^2 $$

Ответ

$$ frac{dz}{dt} = 2x cdot cos t + 2y cdot 3t^2 $$

Пример 4

Пусть $ 3x^3z – 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ задаёт неявную функцию $ F(x,y,z) = 0 $. Найти частные производные первого порядка.

Решение

Записываем функцию в формате: $ F(x,y,z) = 3x^3z – 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ и находим производные: $$ z’_x (y,z – const) = (x^3 z – 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)’_x = 3 x^2 z – 4 $$ $$ z’_y (x,y – const) = (x^3 z – 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)’_y = 3z^2 $$

Ответ

$$ z’_x = 3x^2 z – 4; z’_y = 3z^2; $$

1. Понятие частных производных

Рассмотрим
вначале случай функции двух переменных.
Пусть функция z=f(x,y)
определена на открытом множестве
,
(х₀,у₀)
– внутренняя точка множества G.

Определение.
Если существует конечный предел

,

то
он называется частной
производной функции
z=f(x,y)
по переменной
х
в точке (х₀,у₀)
и обозначается
,
,
,
.

Если существует
конечный предел

,

то
он называется частной
производной функции
z=f(x,y)
по переменной
у
в точке (х₀,у₀)
и обозначается
,
,
,
.

Итак,
=,
=.

Из
определения следует, что частная
производная функции z=f(x,y)
по переменной х
в точке (х₀,у₀)
является обычной производной функции
одной переменной f(х,у₀)
в точке х₀.
Если функция z=f(x,y)
имеет частную производную

в каждой точке (х,у)G,
то говорят, что частная производная
существует на G.
В этом случае каждой точке (х,у)G
соответствует число
.
Этим на множестве G
определяются две функции, которые
обозначаются

и
,
и называются частными производными
функции f
на множестве G.
Т.к. частная производная

функции f
определяется как обычная производная
функции одной переменной х
(или у),
получаемой из f
фиксированием
другой переменной у
(или х),
то правила дифференцирования функций
одной переменной применимы для нахождения
частных производных функций нескольких
переменных.

Пример
1. Найти
частные производные функции
.


.

,

.


Аналогично
определяются частные производные
функции трех и большего числа переменных.

Пусть
функция u=f(x₁,x₂,…x_n)
определена на открытом множестве
,

– внутренняя точка множества G.

Определение.
Если существует конечный предел

,

то
он называется частной
производной функции
u=f(x₁,x₂,…x_n)
по переменной
x_j
в точке

и обозначается
,
,
,
.

Геометрический
смысл частных производных

Пусть
функция z=f(x,y)
определена на множестве
.
Рассмотрим поверхность z=f(x,y),
являющуюся графиком этой функции. Пусть
точка M₀(x₀,y₀,z₀)
принадлежит поверхности. Проведем через
точку M₀
плоскость x=x₀,
параллельную плоскости yOz.
Кривая z=f(x₀,y)
является линией пересечения поверхности
и плоскости. Частная производная данной
функции по переменной у
совпадает с производной функции f(x₀,y)
в точке у=у₀:

.

Следовательно,

равна угловому коэффициенту касательной
к кривой z=f(x₀,y)
в точке M₀(x₀,y₀,z₀).
,
где 
– угол между касательной и положительным
направлением оси Оу.

2. Дифференцируемость и дифференциал функции нескольких переменных

Пусть
функция z=f(x,y)
определена на множестве
,
(х₀,у₀)
– внутренняя точка множества G.
Придадим значениям х₀
и у₀
приращения х
и у,
одновременно не равные нулю, так, что
точка (х₀+х,у₀+у)G.
Тогда полное приращение функции
z=f(х₀+х,у₀+у)–f(х₀,у₀).

Пример
2. Найти
полное приращение функции z=x²–xy+y²
в точке (х₀,у₀).

.

Если
координатам фиксированной точки (х₀,у₀)
придают фиксированные приращения, то
z–число.
Если фиксируется только точка (х₀,у₀),
то z=z(x,y)
– функция переменных x
и y.
Если ничего не фиксируется, то
z=z(х₀,у₀,x,y)–
функция четырех переменных.

В
примере z
можно представить в виде z=Ах+Ву+х+у,
где

– постоянные,

– функции от x,y,
такие, что
.

Но не для каждой
функции двух переменных ее полное
приращение можно представить таким
образом.

Определение.
Пусть функция z=f(x,y)
определена на множестве
.
Функция f(x,y)
называется дифференцируемой
в точке
(х₀,у₀)G,
если ее полное приращение в этой точке
можно представить в виде

z=Ах+Ву+х+у, (1)

где
А,
В
– постоянные, =(x,y),
=(x,y)-
бесконечно малые функции при х0,
у0.

Полное
приращение дифференцируемой функции
можно записать также в виде:

z=Ах+Ву+, (2)

где
,
.

Покажем,
что (1) эквивалентно (2).

1)
(1)(2).
Т. к. первые два слагаемых одинаковые,
то надо показать, что х+у
можно представить в виде 
(с выполнением соответствующих условий).

,
где
.

, (*)

т.к.
.

Пусть
,
тогда x0,
y0.
Значит, по условию,
0,
0.
Следовательно, в силу неравенства (*),
0.
Итак, 0
при 0.

2)
(2)(1).
,

где
.

. (**)

Пусть
x0,
y0.
Тогда 0.
Отсюда, по условию, 0.
А, значит, в силу неравенств (**), 0,
0.

Итак,
условия (1) и (2) эквивалентны.

Замечание.
Т.к.
,
то =()
при 0,
и (2) можно записать в виде

z=Ах+Ву+(). (3)

Определение.
Пусть функция z=f(x,y)
дифференцируема в точке (х₀,у₀).
Дифференциалом
функции f
в точке (х₀,у₀).
Называется линейная относительно x
и y
часть полного приращения функции в
точке (х₀,у₀).

Обозначается
dz,
df(х₀,у₀).

dz=Ах+Ву. (4)

Т.о.,
z=dz+х+у
или z=dz+(). (5)

Т.к.
z–dz=(),
то z
и dz
одного порядка малости при 0.
Из (5) также следует, что dz0
– главная часть полного приращения
функции при 0.
Т.о., дифференциал обладает двумя
свойствами:

1)
является линейной частью приращения
функции;

2)
если dz0,
то он является главной частью полного
приращения при 0.

Из
второго свойства следует применение
дифференциала к приближенным вычислениям:

f(х₀,у₀)df(х₀,у₀)
при 0,

f(х₀+х,у₀+у)=f(х,у)f(х₀,у₀)+df(х₀,у₀).

Теорема
1
(непрерывность дифференцируемой
функции). Если функция z=f(x,y)
дифференцируема в точке (х₀,у₀),
то она непрерывна в этой точке.

Доказательство.

Пусть
функция z=f(x,y)
дифференцируема в точке (х₀,у₀).
Тогда ее полное приращение может быть
представлено в виде (1)

z=Ах+Ву+х+у,

где
А,
В
– постоянные,
.

Пусть
x0,
y0.
Тогда 0,
0,
и, значит, f(х₀,у₀)0.
Т.е. бесконечно малым приращениям
аргументов в точке (х₀,у₀)
соответствует бесконечно малое полное
приращение функции. Следовательно, по
определению, функция z=f(x,y)
непрерывна в точке (х₀,у₀).

Теорема
2 (необходимое
условие дифференцируемости). Если
функция z=f(x,y)
дифференцируема в точке (х₀,у₀),
то в этой точке существуют конечные
частные производные
,
,
и имеет место равенство:

, (6)

т.е.
всегда
.

Доказательство.

Т.к.
функция дифференцируема в точке (х₀,у₀),
то имеет место (1). Пусть х₀
получает приращение х0,
а у₀
остается неизменным, т.е. у=0.
Тогда

.

Обозначим
,
.
Тогда

.

Разделим
обе части этого равенства на х0:
.

Т.к.
существует предел правой части при
х0:
,
то существует и предел левой части:
,
и эти пределы равны:

=А.

Аналогично
доказывается, что
=В.

Замечание
1. Теорема,
обратная к теореме 1, неверна. Функция,
непрерывная в точке (х₀,у₀),
может быть не дифференцируема в ней.

Пример
3. z=f(x,y)=|x|.


,
функция непрерывна на
.

Покажем,
что функция дифференцируема на
,
кроме точек оси Оу.

Следовательно,
у

не существует. Из теоремы 2 следует, что
функция не дифференцируема на оси Оу.


Замечание
2. Теорема,
обратная к теореме 2, не имеет места.
Функция f(x,y),
имеющая частные производные

и
,
может и не быть дифференцируемой в точке
(х₀,у₀).

Пример
4. Доказать,
что функция

имеет в точке (0;0) частные производные,
но не дифференцируема в этой точке.


,

,

.

Итак, частные
производные существуют в точке (0;0).

Докажем,
что функция не дифференцируема в точке
(0;0). От противного. Пусть функция
дифференцируема в точке (0;0). Тогда

может
быть представлено в виде:

,
где
.

Т.к.
,
то

.

Докажем,
что этот предел не существует. Пусть
х0,
у0,
так, что у=kx,
k0.
Тогда

.

Предел
зависит от k,
значит, он не существует. Поэтому
сделанное предположение неверно, и
функция не дифференцируема в точке
(0;0). 

Теорема
3 (достаточное
условие дифференцируемости функции
двух переменных).
Пусть функция f(x,y)
в некоторой окрестности точки (х₀,у₀)
имеет частные производные

и
,
которые непрерывны в точке (х₀,у₀).
Тогда функция f(x,y)
дифференцируема в точке (х₀,у₀).

Доказательство.

Пусть
функция f(x,y)
и ее частные производные

и

определены в некоторой окрестности
точки М₀(х₀,у₀):

.

Придадим
х₀,
у₀
произвольные приращения х
и у,
не равные нулю одновременно и такие,
чтобы
.
Тогда функция f
получит приращение
,
которое можно представить в виде:

(7)

Первая
скобка является частным приращением
по переменной х
функции f(x,y)
в точке
;
вторая скобка является частным приращением
функции f(x,y)
по переменной у
в точке (х₀,у₀).
Т. к. первая скобка является приращением
функции одной переменной
в
точке х₀,
а вторая – приращением функции одной
переменной

в точке у₀,
то к ним можно применить теорему Лагранжа.

В
силу условия функция

имеет производную
на
,
а функция
имеет
производную на
.Тогда
применяя теорему Лагранжа, получим

=, (8)

,
. (9)

Подставим
(8) и (9) в (7):

,
.

Добавим
и вычтем справа

и
:

. (10)

Обозначим
,

,

,
.

Тогда
.
Если доказать, что

при
,
то функция f(x,y)
будет дифференцируема в точке (х₀,у₀)
по определению.

Пусть
.
Так как
,
то
,
,
.
Тогда в силу непрерывности частных
производных в точке (х₀,у₀)

,

.

Следовательно,
,
.
По определению функция f(x,y)
дифференцируема в точке (х₀,у₀).

Простое объяснение принципов решения частных производных и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.