Как найти частные производные функции заданной уравнением

Частные производные

Частные производные применяются в заданиях с функциями нескольких переменных. Правила нахождения точно такие же как и для функций одной переменной, с разницей лишь в том, что одну из переменных нужно считать в момент дифференцирования константой (постоянным числом).

Формула

Частные производные для функции двух переменных $ z(x,y) $ записываются в следующем виде $ z’_x, z’_y $ и находятся по формулам:

Частные производные первого порядка

$$ z’_x = frac{partial z}{partial x} $$

$$ z’_y = frac{partial z}{partial y} $$

Частные производные второго порядка

$$ z”_{xx} = frac{partial^2 z}{partial x partial x} $$

$$ z”_{yy} = frac{partial^2 z}{partial y partial y} $$

Смешанная производная

$$ z”_{xy} = frac{partial^2 z}{partial x partial y} $$

$$ z”_{yx} = frac{partial^2 z}{partial y partial x} $$

Частная производная сложной функции

а) Пусть $ z (t) = f( x(t), y(t) ) $, тогда производная сложной функции определяется по формуле:

$$ frac{dz}{dt} = frac{partial z}{partial x} cdot frac{dx}{dt} + frac{partial z}{partial y} cdot frac{dy}{dt} $$

б) Пусть $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, тогда частные производные функции находится по формуле: 

$$ frac{partial z}{partial u} = frac{partial z}{partial x} cdot frac{partial x}{partial u} + frac{partial z}{partial y} cdot frac{partial y}{partial u} $$

$$ frac{partial z}{partial v} = frac{partial z}{partial x} cdot frac{partial x}{partial v} + frac{partial z}{partial y} cdot frac{partial y}{partial v} $$

Частные производные неявно заданной функции

а) Пусть $ F(x,y(x)) = 0 $, тогда $$ frac{dy}{dx} = -frac{f’_x}{f’_y} $$

б) Пусть $ F(x,y,z)=0 $, тогда $$ z’_x = – frac{F’_x}{F’_z}; z’_y = – frac{F’_y}{F’_z} $$

Примеры решений

Пример 1

Найти частные производные первого порядка $ z (x,y) = x^2 – y^2 + 4xy + 10 $

Решение

Для нахождения частной производной по $ x $ будем считать $ y $ постоянной величиной (числом): $$ z’_x = (x^2-y^2+4xy+10)’_x = 2x – 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Для нахождения частной производной функции по $ y $ определим $ y $ константой: $$ z’_y = (x^2-y^2+4xy+10)’_y = -2y+4x $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ z’_x = 2x+4y; z’_y = -2y+4x $$

Пример 2

Найти частные производные функции второго порядка $ z = e^{xy} $

Решение

Сперва нужно найти первый производные, а затем зная их можно найти производные второго порядка. Полагаем $ y $ константой: $$ z’_x = (e^{xy})’_x = e^{xy} cdot (xy)’_x = ye^{xy} $$ Положим теперь $ x $ постоянной величиной: $$ z’_y = (e^{xy})’_y = e^{xy} cdot (xy)’_y = xe^{xy} $$ Зная первые производные аналогично находим вторые. Устанавливаем $ y $ постоянной: $$ z”_{xx} = (z’_x)’_x = (ye^{xy})’_x = (y)’_x e^{xy} + y(e^{xy})’_x = 0 + ye^{xy}cdot (xy)’_x = y^2e^{xy} $$ Задаем $ x $ постоянной: $$ z”_{yy} = (z’_y)’_y = (xe^{xy})’_y = (x)’_y e^{xy} + x(e^{xy})’_y = 0 + x^2e^{xy} = x^2e^{xy} $$ Теперь осталось найти смешанную производную. Можно продифференцировать $ z’_x $ по $ y $, а можно $ z’_y $ по $ x $, так как по теореме $ z”_{xy} = z”_{yx} $ $$ z”_{xy} = (z’_x)’_y = (ye^{xy})’_y = (y)’_y e^{xy} + y (e^{xy})’_y = ye^{xy}cdot (xy)’_y = yxe^{xy} $$

Ответ

$$ z’_x = ye^{xy}; z’_y = xe^{xy}; z”_{xy} = yxe^{xy} $$

Пример 3

Найти частную производную сложной функции $ z = x^2 + y^2, x = sin t, y = t^3 $

Решение

Находим $ frac{partial z}{partial x} $: $$ frac{partial z}{partial x} = (x^2+y^2)’_x = 2x $$ Находим $ frac{partial z}{partial y} $: $$ frac{partial z}{partial y} = (x^2+y^2)’_y = 2y $$ Теперь ищем $ frac{dx}{dt} $ и $ frac{dy}{dt} $: $$ frac{dx}{dt} = frac{d(sin t)}{dt} = cos t $$ $$ frac{dy}{dt} = frac{d(t^3)}{dt} = 3t^2 $$ Подставляем всё это в формулу и записываем ответ: $$ frac{dz}{dt} = frac{partial z}{partial x} cdot frac{dx}{dt} + frac{partial z}{partial y} cdot frac{dy}{dt} $$ $$ frac{dz}{dt} = 2x cdot cos t + 2y cdot 3t^2 $$

Ответ

$$ frac{dz}{dt} = 2x cdot cos t + 2y cdot 3t^2 $$

Пример 4

Пусть $ 3x^3z – 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ задаёт неявную функцию $ F(x,y,z) = 0 $. Найти частные производные первого порядка.

Решение

Записываем функцию в формате: $ F(x,y,z) = 3x^3z – 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ и находим производные: $$ z’_x (y,z – const) = (x^3 z – 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)’_x = 3 x^2 z – 4 $$ $$ z’_y (x,y – const) = (x^3 z – 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)’_y = 3z^2 $$

Ответ

$$ z’_x = 3x^2 z – 4; z’_y = 3z^2; $$

Дифференцирование функции, заданной неявно

Известно, что функция
может быть задана неявно уравнением,
связывающим переменныеи:

.

Например, уравнение
определяет функцию,
при этомDER.

Уравнение
выполняется только прии задает точку.
Уравнениене определяет никакой функции наR,
так как оно не имеет действительных
корней, а значит, нельзя рассматриватькак функцию от.
Итак, уравнение вида
не всегда задает функцию.

Пусть уравнение
определяет
как некоторую функцию от.
Если в это уравнение подставить вместо
у функцию,
то получим тождество

.

Придадим
приращение,
тогда значению аргумента будет
соответствовать значение функции,
но с другой стороны

.

Разность
также равна нулю:

.

Как было показано выше, ее полное
приращение в этой точке можно представить
в виде

.

Разделим последнее равенство на
:

.

Откуда

.

Перейдя к пределу, получим формулу
вычисления производной функции, заданной
неявно:

.

Аналогично можно вычислить частные
производные неявной функции
переменных по всем ее аргументам.

Например, для функции
справедливо:

,.

Пример. Вычислить производную
неявной функции, заданной уравнением.

Решение.Обозначим левую часть
данного уравнения через.

,.

Следовательно,

.

Пример. Вычислить производную
неявной функции, заданной уравнением.

Решение.Обозначим левую часть
данного уравнения через.

,.

Следовательно,

.

Пример. Найти частные производные
неявной функции,
заданной уравнением.

Решение.,,.
Следовательно,

,

.

Частные производные и дифференциалы высших порядков

Частные производные высших порядков.
Пусть функция
имеет непрерывные частные производныеи
в точкеD().
Эти производные, в свою очередь,
являются функциями двух переменных
и.
Будем называть
ичастными производными первого порядка.

Частные производные по

и по
от частных производных первого
порядка, если они существуют, называются
частными производными второго порядка
от функции
в точке
и обозначаются

,,,

(если
дифференцируется последовательно два
раза по);

,,,

(если
дифференцируется сначала по,
а затем по);

,,,

(если
дифференцируется сначала по,
а затем по);

,,,

(если
дифференцируется последовательно два
раза по).

Производные второго порядка можно снова
дифференцировать как по
,
так и по.
В результате получим восемь частных
производных третьего порядка:

,,,,,,,.

Аналогично, частная производная от
производной
-го
порядка называется частной производной-го
порядка и обозначается

,,и т. д.

Частные производные высших порядков
функции
,
взятые по различным переменным,
например,,,,и т.д., называются смешанными производными.

Среди частных производных второго
порядка функции
имеются две смешанные производныеи.

Возникает вопрос: зависит ли результат
дифференцирования функций нескольких
переменных от порядка дифференцирования
по разным переменным.

Справедлива следующая

Теорема. Если функцияи ее частные производные,,иопределены и непрерывны в точкеи в некоторой ее окрестности, то.

Замечание.Данная теорема, а также
все приведенные выше рассуждения имеют
место и для функции любого числа
переменных.

Пример. Найти частные производные
второго порядка функции

.

Решение.Функция определена и
непрерывна наR².
Найдем частные производные первого
порядка

,.

Они определены и непрерывны на R².
Найдем частные производные второго
порядка

,,

.

Дифференциалы высших порядков. Пусть— функция двух независимых переменныхи,
дифференцируемая в областиD().
Придаваяиприращения,,
в любой точкеDможно найти полный дифференциал

,

который называют дифференциалом
первого порядка функции
.

Дифференциал от дифференциала первого
порядка в любой точке
D,
если он существует, называется
дифференциалом второго порядка и
обозначается

.

Найдем аналитическое выражение для
,
считаяипо­стоянными:

.

Поступая аналогично, получаем аналитическое
выражение для дифференциала третьего
порядка
:

.

Замечание.Приведенные выше формулы
дифференциалов не обладают свойствами
инвариантности для сложных функций.

Пример. Найтии
,
если.

Решение.Используем формулу для
вычисления полного дифференциала
.

,.

Для определения
вычислим предварительно частные
производные второго порядка:

,,

.

Соседние файлы в папке Высшая математика

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Чтобы понять частные производные, сначала нужно разобраться с обычными. И не нужно ничего искать: в нашей отдельной статье мы уже подготовили все для того, чтобы у вас это получилось. А сейчас речь пойдет о частных производных.

Добро пожаловать на наш телеграм-канал за полезной рассылкой и актуальными студенческими новостями.

Функция двух и более переменных

Прежде чем говорить о частных производных, нужно затронуть понятие функции нескольких переменных, без которого нет смысла в частной производной. В школе мы привыкли иметь дело с функциями одной переменной: 

Производными таких функций мы и считали раньше. График функции одной переменной представляет собой линию на плоскости: прямую, параболу, гиперболу и т.д.

А что, если добавить еще одну переменную? Получится такая функция:

Это – функция двух независимых переменных x и y. График такой функции представляет собой поверхность в трехмерном пространстве: шар, гиперболоид, параболоид или еще какой-нибудь сферический конь в вакууме. Частные производные функции z по иксу и игреку соответственно записываются так:

Существуют также функции трех и более переменных. Правда, график такой функции нарисовать невозможно: для этого понадобилось бы как минимум четырехмерное пространство, которое невозможно изобразить.

Частная производная первого порядка

Запоминаем главное правило:

При вычислении частной производной по одной из переменных, вторая переменная принимается за константу. В остальном правила вычисления производной не меняются.

То есть, частная производная по сути ничем не отличается от обычной. Так что, держите перед глазами таблицу производных элементарных функций и правила вычисления обычных производных. Рассмотрим пример, чтобы стало совсем понятно. Допустим, нужно вычислить частные производные первого порядка следующей функции:

Сначала возьмем частную производную по иксу, считая игрек обычным числом:

Теперь считаем частную производную по игреку, принимая икс за константу:

Как видите, ничего сложного в этом нет, а успех с более сложными примерами – лишь дело практики.

Частная производная второго порядка

Как находится частная производная второго порядка? Так же, как и первого. Чтобы найти частные производные второго порядка, нужно просто взять производную от производной первого порядка. Вернемся к примеру выше и посчитаем частные производные второго порядка.

По иксу:

По игреку:

Частные производные третьего и высших порядков не отличаются по принципу вычисления. Систематизируем правила:

1. При дифференцировании по одной независимой переменной, вторая принимается за константу.
2. Производная второго порядка – это производная от производной первого порядка. Третьего порядка – производная от производной второго порядка и т.д.

Частные производные и полный дифференциал функции

Частый вопрос в практических заданиях – нахождение полного дифференциала функции. Для функции нескольких переменных полный дифференциал определяется, как главная линейная часть малого полного приращения функции относительно приращений аргументов.

Определение звучит громоздко, но с буквами все проще. Полный дифференциал первого порядка функции нескольких переменных выглядит так:

Зная, как считаются частные производные, нет никакой проблемы вычислить и полный дифференциал.

Частные производные – не такая уж и бесполезная тема. Например, дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка широко используются для математического описания реальных физических процессов.

Здесь мы дали лишь общее, поверхностное представление о частных производных первого и второго порядка. Вас интересует эта тема или остались конкретные вопросы? Задавайте их в комментариях и обращайтесь к экспертам профессионального студенческого сервиса за квалифицированной и скорой помощью в учебе. С нами вы не останетесь один на один с проблемой!

Частные производные

Частной производной по x функции z = f(x,y) в точке A(x₀,y₀) называется предел отношения частного приращения по x функции в точке A к приращению ∆x при стремлении ∆x к нулю.

Частные производные функции z(x,y) находятся по следующим формулам:

Вторые частные производные функции z(x,y) находятся по формулам:



Смешанные частные производные функции z(x,y) находятся по формулам:

Назначение сервиса. Сервис используется для нахождения частных производных функции (см. пример). Решение производится в онлайн режиме и оформляется в формате Word.

• Решение онлайн
• Видеоинструкция
• Также решают

Правила ввода функции, заданной в явном виде

1. 
   
2. 
   
3. 
   

Примеры

x2+xy ≡ x^2+x*y.

cos2(2x+y) ≡ (cos(2*x+y))^2

≡ (x-y)^(2/3)

Правила ввода функции, заданной в неявном виде

1. Все переменные выражаются через x,y,z
2. 
   
3. 
   

Примеры

≡ x^2/(z+y)

cos2(2x+zy) ≡ (cos(2*x+z*y))^2

≡ z+(x-y)^(2/3)

Частные производные используются, например, при нахождении полного дифференциала и экстремумов функции.

Частные производные функции нескольких переменных

Ели одному из аргументов функции z = f(x,y) придать приращение, а другой аргумент не изменять, то функция получит частное приращение по одному из аргументов: Δxz=f(x+Δx,y)-f(x,y) – это частное приращение функции z по аргументу x; Δyz=f(x,y+Δy)-f(x,y) – это частное приращение функции z по аргументу у.

Частной производной функции нескольких переменных по одному из её аргументов называется предел отношения частного приращения функции по этому аргументу к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:

– это частная производная функции z по аргументу x;

– это частная производная функции z по аргументу у.

Чтобы вычислить частную производную ФНП по одному из её аргументов, нужно все другие её аргументы считать постоянными и проводить дифференцирование по правилам дифференцирования функции одного аргумента.

Пример 1. z=2x5+3x2y+y2–4x+5y-1

Пример 2. Найти частные производные функции z = f(x;y) в точке A(x₀;y₀).



Находим частные производные:





Найдем частные производные в точке А(1;1)





Находим вторые частные производные:

Найдем смешанные частные производные:

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).