Частные производные второго порядка
Содержание:
- Примеры с решением
Предположим, что функция 
определена в области D и имеет в этой области частные производные 
и 
. Эти частные производные являются функциями двух переменных, определенными в области D.
Частными производными второго порядка функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка.
Частных производных второго порядка четыре. Они обозначаются следующим образом: 
Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего, четвертого и более высоких порядков. Например, для функции имеем: 
и т.д. А запись 
означает, что функция продифференцирована 
раз по переменной 
, а затем 
раз по переменной 
.
Частные производные второго или более высокого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными. Для функции таковыми, например, являются производные 
, и 
.
Аналогично определяются частные производные высших порядков и для функции большего числа переменных.
Если первая производная переменной найдена, получите вторую производную функции, взятую дважды для переменной.
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
Примеры с решением
Пример 1.
Найти частные производные второго порядка функции 
Решение:
Частные производные первого порядка для данной функции имеют вид:
Тогда
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Пример 2.
Найти 
функции 
.
Решение:
Имеем
, тогда 
.
Дифференцируя в обратном порядке, приходим к такому же результату:
В этих двух примерах смешанные частные производные 
, и 
равны.
Но, вообще говоря, значения смешанных производных зависят от того, в каком порядке производится дифференцирование. Ответ на вопрос, при каких условиях смешанные производные не зависят от того, в каком порядке производится дифференцирование, дает следующая теорема.
Теорема 1. Если производные и 
определены в некоторой окрестности точки 
и непрерывны в самой точке 
, то они равны в этой точке: 
.
Следствие. Если производные и . определены и непрерывны в некоторой области, то они равны в этой области.
Аналогичное утверждение справедливо и для частных производных более высокого порядка.
Теорема 2 (Шварц). Если частные производные любого порядка непрерывны в некоторой области, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны в этой области.
Доказательство. Пусть функция 
определена в области D и имеет в этой области непрерывные частные производные 
и 
Возьмем любые точки 
и 
из этой области. Рассмотрим выражение
. Введем вспомогательную функцию
.
Тогда А запишется в виде
. Применив к этой разности теорему Лагранжа, получим
, где 
. Разность в скобке можно рассматривать как приращение функции 
одной переменной 
на отрезке с концами в точках ,
. Применив еще раз теорему Лагранжа (уже по переменной ), получим
С другой стороны, А можно переписать в виде
. Введя вспомогательную функцию 
и рассуждая аналогично, получим
Сравнив выражения для А, получим
или 
Переходя в этом равенстве к пределу при 
и учитывая непрерывность производных второго порядка в области D (в частности, в точке 
), получим
,
то есть 
Методом математической индукции доказанное утверждение можно распространить на частные производные любого порядка.
Лекции:
- Тройной интеграл
- Равномерное распределение
- Признак Даламбера: пример решения
- Производящие функции
- Сложение и вычитание пределов
- Векторы и операции с ними
- Таблица истинности логических выражений
- Элементы векторной алгебры
- Асимптоты графика функции
- Разложение в ряд маклорена
Уважаемые студенты!
Заказать задачи по физике, информатике, экономике, праву, химии, теормеху, сопромату и другим предметам можно здесь всего за 10 минут.
Частные производные
Частные производные применяются в заданиях с функциями нескольких переменных. Правила нахождения точно такие же как и для функций одной переменной, с разницей лишь в том, что одну из переменных нужно считать в момент дифференцирования константой (постоянным числом).
Формула
Частные производные для функции двух переменных $ z(x,y) $ записываются в следующем виде $ z’_x, z’_y $ и находятся по формулам:
Частные производные первого порядка
$$ z’_x = frac{partial z}{partial x} $$
$$ z’_y = frac{partial z}{partial y} $$
Частные производные второго порядка
$$ z”_{xx} = frac{partial^2 z}{partial x partial x} $$
$$ z”_{yy} = frac{partial^2 z}{partial y partial y} $$
Смешанная производная
$$ z”_{xy} = frac{partial^2 z}{partial x partial y} $$
$$ z”_{yx} = frac{partial^2 z}{partial y partial x} $$
Частная производная сложной функции
а) Пусть $ z (t) = f( x(t), y(t) ) $, тогда производная сложной функции определяется по формуле:
$$ frac{dz}{dt} = frac{partial z}{partial x} cdot frac{dx}{dt} + frac{partial z}{partial y} cdot frac{dy}{dt} $$
б) Пусть $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, тогда частные производные функции находится по формуле:
$$ frac{partial z}{partial u} = frac{partial z}{partial x} cdot frac{partial x}{partial u} + frac{partial z}{partial y} cdot frac{partial y}{partial u} $$
$$ frac{partial z}{partial v} = frac{partial z}{partial x} cdot frac{partial x}{partial v} + frac{partial z}{partial y} cdot frac{partial y}{partial v} $$
Частные производные неявно заданной функции
а) Пусть $ F(x,y(x)) = 0 $, тогда $$ frac{dy}{dx} = -frac{f’_x}{f’_y} $$
б) Пусть $ F(x,y,z)=0 $, тогда $$ z’_x = – frac{F’_x}{F’_z}; z’_y = – frac{F’_y}{F’_z} $$
Примеры решений
| Пример 1 |
| Найти частные производные первого порядка $ z (x,y) = x^2 – y^2 + 4xy + 10 $ |
| Решение |
|
Для нахождения частной производной по $ x $ будем считать $ y $ постоянной величиной (числом): $$ z’_x = (x^2-y^2+4xy+10)’_x = 2x – 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Для нахождения частной производной функции по $ y $ определим $ y $ константой: $$ z’_y = (x^2-y^2+4xy+10)’_y = -2y+4x $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ z’_x = 2x+4y; z’_y = -2y+4x $$ |
| Пример 2 |
| Найти частные производные функции второго порядка $ z = e^{xy} $ |
| Решение |
|
Сперва нужно найти первый производные, а затем зная их можно найти производные второго порядка. Полагаем $ y $ константой: $$ z’_x = (e^{xy})’_x = e^{xy} cdot (xy)’_x = ye^{xy} $$ Положим теперь $ x $ постоянной величиной: $$ z’_y = (e^{xy})’_y = e^{xy} cdot (xy)’_y = xe^{xy} $$ Зная первые производные аналогично находим вторые. Устанавливаем $ y $ постоянной: $$ z”_{xx} = (z’_x)’_x = (ye^{xy})’_x = (y)’_x e^{xy} + y(e^{xy})’_x = 0 + ye^{xy}cdot (xy)’_x = y^2e^{xy} $$ Задаем $ x $ постоянной: $$ z”_{yy} = (z’_y)’_y = (xe^{xy})’_y = (x)’_y e^{xy} + x(e^{xy})’_y = 0 + x^2e^{xy} = x^2e^{xy} $$ Теперь осталось найти смешанную производную. Можно продифференцировать $ z’_x $ по $ y $, а можно $ z’_y $ по $ x $, так как по теореме $ z”_{xy} = z”_{yx} $ $$ z”_{xy} = (z’_x)’_y = (ye^{xy})’_y = (y)’_y e^{xy} + y (e^{xy})’_y = ye^{xy}cdot (xy)’_y = yxe^{xy} $$ |
| Ответ |
| $$ z’_x = ye^{xy}; z’_y = xe^{xy}; z”_{xy} = yxe^{xy} $$ |
| Пример 3 |
| Найти частную производную сложной функции $ z = x^2 + y^2, x = sin t, y = t^3 $ |
| Решение |
|
Находим $ frac{partial z}{partial x} $: $$ frac{partial z}{partial x} = (x^2+y^2)’_x = 2x $$ Находим $ frac{partial z}{partial y} $: $$ frac{partial z}{partial y} = (x^2+y^2)’_y = 2y $$ Теперь ищем $ frac{dx}{dt} $ и $ frac{dy}{dt} $: $$ frac{dx}{dt} = frac{d(sin t)}{dt} = cos t $$ $$ frac{dy}{dt} = frac{d(t^3)}{dt} = 3t^2 $$ Подставляем всё это в формулу и записываем ответ: $$ frac{dz}{dt} = frac{partial z}{partial x} cdot frac{dx}{dt} + frac{partial z}{partial y} cdot frac{dy}{dt} $$ $$ frac{dz}{dt} = 2x cdot cos t + 2y cdot 3t^2 $$ |
| Ответ |
| $$ frac{dz}{dt} = 2x cdot cos t + 2y cdot 3t^2 $$ |
| Пример 4 |
| Пусть $ 3x^3z – 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ задаёт неявную функцию $ F(x,y,z) = 0 $. Найти частные производные первого порядка. |
| Решение |
|
Записываем функцию в формате: $ F(x,y,z) = 3x^3z – 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ и находим производные: $$ z’_x (y,z – const) = (x^3 z – 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)’_x = 3 x^2 z – 4 $$ $$ z’_y (x,y – const) = (x^3 z – 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)’_y = 3z^2 $$ |
| Ответ |
| $$ z’_x = 3x^2 z – 4; z’_y = 3z^2; $$ |
Данный онлайн калькулятор предназначен для решения частных производных первого и второго порядков.
Частная производная – это производная функции одной переменной, когда значение другой переменной фиксировано. Следовательно, частные производные находятся так же, как и производные функций одной переменной. Частная производная это обобщенное понятие производной, когда в функции содержится несколько переменных.
Калькулятор поможет найти частные производные функции онлайн.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.
: x^a
: x^aмодуль x: abs(x)
Для того, чтобы найти производную функции 
нужно написать в строке: f[x], x. Если Вам требуется
найти производную n-го порядка, то следует написать: f[x], {x, n}. В
том случае, если Вам требуется найти частную производную функции 
напишите в окне гаджета: f[x, y, z,…,t], j, где 
— интересующая Вас переменная. Если нужно найти частную производную по
некоторой переменной порядка n, то следует ввести: f[x, y, z,…,t], {j,
n}, где означает тоже, что и Выше.
Важно подчеркнуть, что калькулятор выдает пошаговое нахождение
производной при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу
выдаваемого ей ответа.
- Примеры
- x*E^x, x;
- x^3*E^x, {x,17};
- x^3*y^2*Sin[x+y], x;
- x^3*y^2*Sin[x+y], y,
- x/(x+y^4), {x,6}.
Частные производные
Частной производной по x функции z = f(x,y) в точке A(x0,y0) называется предел отношения частного приращения по x функции в точке A к приращению ∆x при стремлении ∆x к нулю.
Частные производные функции z(x,y) находятся по следующим формулам: 
Вторые частные производные функции z(x,y) находятся по формулам:
Смешанные частные производные функции z(x,y) находятся по формулам: 
Назначение сервиса. Сервис используется для нахождения частных производных функции (см. пример). Решение производится в онлайн режиме и оформляется в формате Word.
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
- Также решают
Правила ввода функции, заданной в явном виде
Примеры
x2+xy ≡ x^2+x*y.
cos2(2x+y) ≡ (cos(2*x+y))^2
≡ (x-y)^(2/3)
Правила ввода функции, заданной в неявном виде
- Все переменные выражаются через x,y,z
Примеры
≡ x^2/(z+y)
cos2(2x+zy) ≡ (cos(2*x+z*y))^2
≡ z+(x-y)^(2/3)
Частные производные используются, например, при нахождении полного дифференциала и экстремумов функции.
Частные производные функции нескольких переменных
Ели одному из аргументов функции z = f(x,y) придать приращение, а другой аргумент не изменять, то функция получит частное приращение по одному из аргументов: Δxz=f(x+Δx,y)-f(x,y) – это частное приращение функции z по аргументу x; Δyz=f(x,y+Δy)-f(x,y) – это частное приращение функции z по аргументу у.
Частной производной функции нескольких переменных по одному из её аргументов называется предел отношения частного приращения функции по этому аргументу к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:
– это частная производная функции z по аргументу x;
– это частная производная функции z по аргументу у.
Чтобы вычислить частную производную ФНП по одному из её аргументов, нужно все другие её аргументы считать постоянными и проводить дифференцирование по правилам дифференцирования функции одного аргумента.
Пример 1. z=2x5+3x2y+y2–4x+5y-1
Пример 2. Найти частные производные функции z = f(x;y) в точке A(x0;y0).
Находим частные производные:
Найдем частные производные в точке А(1;1)
Находим вторые частные производные:
Найдем смешанные частные производные:
Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).
