Вычисление значения частоты любой ноты и интересное звучание «псевдонатурального» строя
Время на прочтение
4 мин
Количество просмотров 8.2K
Я занимаюсь написанием различных мелодий в разных жанрах довольно давно, но только недавно решил соотнести это занятие с научным подходом.
Что, если существует формула нахождения частоты любой выбранной ноты на любом аккорде? Что ж, углубившись в построение частот нот и настройку музыкальных инструментов, можно выяснить, что, во-первых, лучше использовать алгоритм, а во-вторых – всё будет зависеть от того, какой звукоряд используется:
На сегодняшний день, стандартом звукоряда является “равномерно темперированный строй“. В нём, ноты всех аккордов образуются от ноты “ля”, а соотношение между соседними нотами всегда одинаковое: 1 делить на корень 12-ой степени из двух.
Значение частоты ноты “ля” в так называемой “первой октаве” (четвёртой по стандарту MIDI) равна 440 герц.
Не мала вероятность того, что вы натыкались на споры о частоте в 432 герца, мол она звучит лучше, что можно услышать от обычных людей, или же что она подсознательно воздействует на организм, лечит любые болезни, и вообще её поменяли, чтобы жили мы хуже, что можно услышать от скрывающихся от властей проповедников правды, которые живут по месту прописки.
А раньше – стандарта на частоту ноты “ля” вообще не было. Её настраивали по-разному для разных композиций и инструментов, что делало каждую мелодию более уникальной. Попробуйте сравнить ноты “ля” в современных мелодиях и на настоящих записях старых композиций: ноты в старых мелодиях зачастую будут звучать намного ниже, ибо частота часто была в районе 415-и герц.
Но просто менять частоту ноты “ля”, и образовывать от неё другие – это скучно, ведь это почти равнозначно простому понижению питча итоговой мелодии. Что, если можно добиться очень необычного звучания? Например: поменять звукоряд.
Помимо “равномерно темперированного строя“, существует “натуральный строй“, в котором аккорды строятся иначе, а соотношение между нотами вообще сумасшедшие, но что главное – они могут быть не равны в разных аккордах, из-за чего вообще все и стали использовать “равномерно темперированный строй“. Не уверен, что такое подойдёт для современного композитора, ведь хочется иногда басовую партию прописать сначала на высоких частотах – прописал, сместил вниз, и получил кашу на выходе.
А что, если объединить строи, взяв из “равномерно темперированного строя” тот факт, что все ноты строятся от ноты “ля”, а соотношения между нотами взять из “натуральный строя“? Правильно, получится какофония. Возможно, получатся удачные частоты для довольно необычных мелодий.
И так, теперь нужно написать программу, которая вычислит нам все частоты с довольно хорошей точностью, и выдаст их в виде массива дробных чисел.
Для начала нужно понять, какая будет частота ноты “ля” в субконтроктаве (нулевой аккорд по стандарту MIDI):
|
Стандарт (440) |
440 – 220 – 110 – 55 – 27.5 |
|
Среднее старых мелодий (415) |
415 – 207.5 – 103.75 – 51.875 – 25.9375 |
|
Для фанатов 432 (432, ого) |
432 – 216 – 108 – 54 – 27 |
А соотношения можно взять обратные тем, что указаны на картинке немного выше.
Ну, и теперь можно продумать весь алгоритм:
база_ля = 27.5 либо 25.9375 либо 27
колтчество_октав = 15
ноты_равномерные = []
ноты_натуральные = []
// Генерация нот в равномерном соотношении
// Можно заранее высчитать соотношения, ведь они одинаковые
полтона_вверх = 1.0594630943592953
полтона_вниз = 0.9438743126816934
// Основной цикл
для "октава" в количестве "колтчество_октав":
ля = база_ля
умножаем ноту ля на два столько раз, какая сейчас октава - 1
// Теперь считаем ноты, одну за другой
ля_диез = ля * полтона_вверх
си = ля_диез * полтона_вверх
соль_диез = ля * полтона_вниз
соль = соль_диез * полтона_вниз
...
до_диез = ре * полтона_вниз
до = до_диез * полтона_вниз
добавить все ноты в массив друг за другом, от "до" до "си"
// Генерация нот в натуральном соотношении, уже интереснее
для "октава" в количестве "колтчество_октав":
ля = база_ля
умножаем ноту ля на два столько раз, какая сейчас октава - 1
// И начинается самое интересное:
ля_диез = ля * (16/15) иррациональное значение
си = ля_диез * 1.0546875
соль_диез = ля * 0.96
соль = соль_диез * 0.9375
фа_диез = соль * 0.9375
фа = фа_диез * (128/135) иррациональное значение
ми = фа * 0.9375
ре_диез = ми * 0.96
ре = ре_диез * 0.9375
до_диез = ре * (128/135) иррациональное значение
до = до_диез * 0.9375
добавить все ноты в массив друг за другом, от "до" до "си"Как можно заметить, все данные полностью совпадают с официальными, а даже если и не совпадают – то это потому что наш результат более точен, а в официальных данных приведены сокращённые значения.
Реализацию данного алгоритма я уже написал на языке программирования Python, с ней можно ознакомиться в моём репозитории на Codeberg (да здравствует свободное ПО!).
И рассчитав все ноты, получив их в виде массива, можно генерировать звуки нужных частот. Я даже написал программу всё на том же Python, которую можно найти во всё том же репозитории, и которая позволяет сыграть на MIDI клавиатуре мелодию “в любом строю”, меняя его нажатием стрелочек “влево” и “вправо”.
С частотой ноты “ля” в 415 герц и в “псевдонатуральном строю” ноты звучат словно на полтона ниже, но это не совсем так (что даже можно заметить), и звучат словно более эмоционально, более выразительно и душевно.
А для чего это я делал?
Разумеется, я начал этим увлекаться не просто так. У меня есть наполеоновские планы по созданию собственного, полностью свободного и кросс-платформенного аналога FLStudio, с удобным управлением и красивым дизайном, а не как это сделано в LMMS (без обид, но управление в нём очень кривое, и отвлекает от написания музыки). Я уже даже продумал, как будут устроены инструменты (не VST, но возможно даже лучше, и точно безопаснее, ибо я параноик, и хочу защитить пользователей от уязвимостей через инструменты).
И одной из главных особенностей моего аналога будет передача инструментам не только номера нажатой ноты по стандарту MIDI, но ещё и частоты, чтобы инструменты по большей части работали с частотами, и можно было добиваться необычных звучаний прямо во время написания.
Из проблем пока нерешённость, на чём лучше писать (пока что думаю на C++, с использованием мультимедиа библиотеки SFML), и как генерировать сами звуки, ибо у меня получается пока только шум, но по синусу улетающий в бесконечность. Вторая проблема решится подробным изучением принципов наложения разных волн разных частот для создания красивого звука и принципов работы с сэмплами. Будет сложно, особенно учитывая, что я не варился в музыкальной школе десять лет.
А для тех, кто был в музыкальной школе, и не мало – предлагаю писать в комментарии уточнения для данной статьи, а так же делиться своими необычными фактами. Думаю, многим будет интересно почитать.
А если вы шарите за разработку VST плагинов или вообще заинтересованы в написании свободного аналога FLStudio – можете связаться со мной, можно вместе что-нибудь обдумать.
Премного благодарен за выделенное внимание.
Сегодня я расскажу о том, что такое чистые музыкальные интервалы, почему невозможна абсолютная их чистота и на какие компромиссы музыкантам приходилось идти из-за этого. [Cпойлер]И до сих пор приходится! Кто верит во вселенскую гармонию, лучше не читайте, тлен гарантирован )
Для понимания потребуется базовое знакомство с нотами и интервалами. В поcте много цифр, но вам считать ничего не придётся, достаточно понимать, что происходит.
Любую музыкальную ноту можно выразить цифрой — частотой колебания в герцах. А интервал между двумя нотами — соотношением двух частот. Например, нота на октаву выше данной всегда имеет частоту в 2 раза больше. Поэтому октава — это соотношение 2:1 или множитель 2.
Когда я буду говорить «интервал между двумя нотами равен 5:4», я буду иметь в виду, что частота более высокой ноты в 5:4 (или 1,25) раз выше, чем частота нижней ноты.
Имеет значение именно соотношение («во сколько раз выше»), а не разница частот («на сколько герц больше»). Например, между 100 и 200 Гц такой же интервал, как между 300 и 600 Гц, — октава (2:1).
Чтобы сложить два интервала, мы перемножаем их соотношения. «На октаву выше» значит «в 2 раза выше по частоте», поэтому на две октавы выше — в 4 раза выше, на три октавы — в 8 раз выше, и так далее.
—
Интервалы, которые выражаются простым соотношением (то есть дробью, у которой и числитель и знаменатель — небольшие целые числа), называются чистыми интервалами.
Основные чистые интервалы:
2:1 — октава
3:2 — квинта
4:3 — кварта
5:4 — большая терция
6:5 — малая терция.
Если интервал между нотами чистый, то эти ноты очень хорошо «сливаются» вместе. Музыканты издавна стремились к таким созвучиям.
Этому есть физическое объяснение. Любая нота состоит из гармоник — колебаний, кратных друг другу по частоте. Если соотношение между нотами простое, то часть гармоник у этих двух нот будут совпадать и полностью сливаться друг с другом.
Например, возьмём ноту с частотой 300 Гц и ноту на октаву выше (300*2=600 Гц) и выделим у них общие гармоники:
300, 600, 900, 1200, 1500, 1800, 2100, 2400,…
600, 1200, 1800, 2400,…Теперь возьмём ноту с частотой 300 Гц и ноту на чистую квинту выше:
300, 600, 900, 1200, 1500, 1800, 2100, 2400, 2700,…
450, 900, 1350, 1800, 2250, 2700,…На спектрограмме эти совпадающие гармоники хорошо видно (для сравнения я взял негармоничную пару — 300 и 520 Гц):
Кроме того, гармоники любой отдельной ноты содержат в себе чистые интервалы. Например, третья гармоника любой ноты в 3/2 раза выше по частоте, чем вторая гармоника этой же ноты. Так что чистые интервалы происходят из базовых физических свойств звука.
Самый простой из чистых интервалов — это октава: 2/1. Она обладает важным свойством — если взять две ноты с разницей в октаву, то ВСЕ гармоники верхней ноты будут совпадать с чётными гармониками нижней (пример – в предыдущей сноске). Такие ноты максимально «сливаются» вместе и воспринимаются как одна. Поэтому они и назваются одинаково (До и следующая До). Сравните одну и ту же мелодию сыгранную большими терциями, квинтами и октавами, и всё станет понятно:
В посте я буду говорить про разные квинты, терции, и т.д. Но величина октавы будет всегда одна — 2/1.
—
Когда одновременно звучат колебания близкой частоты (например, 200 и 202 Гц), между ними возникают так называемые биения — звук «плавает» или «дрожит» оттого что колебания медленно сдвигаются по фазе относительно друг друга.
Поэтому если интервал между двумя нотами не совсем чистый, но близок к чистому, то биения возникнут между некоторыми гармониками этих нот. Для примера — квинта, которая немного больше чистой:
200, 400,
600, 800, 1000, 1200,…
302, 604, 906, 1208,…
Чем сильнее интервал отклоняется от чистого, тем чаще биения и тем «нестабильнее» он звучит.
—
Ещё интервалы измеряют в центах. Цент — это очень маленький интервал: 1,0005777895… (корень 1200-й степени из 2х). Это одна сотая современного полутона. Он понадобится, чтобы оценить мелкие различия между интервалами.
Вот пример, который поможет ощутить масштабы цента:
—
Последнее примечание: из интервалов я буду говорить только о секундах, терциях и квинтах, потому что интервалы, которые являются обращениями друг друга, ведут себя совершенно аналогично. Например, если в каком-то строю терция C-E получается немного больше, чем чистая терция, то секста E-C — ровно настолько же меньше. И так далее: с квартами дела обстоят так же, как с квинтами, а с септимами — так же, как с секундами.
Невозможность совершенства
Если посмотреть на таблицу частот разных нот, видно, что чистых интервалов там практически нет. Между нотами A3 и A4 одна октава разницы (220 Гц * 2=440 Гц). А, скажем, нота E4, которая на квинту выше A3, имеет частоту не 330 Гц (220 Гц * 3/2), а немного меньше.
Всё дело в том, что с чистыми интервалами есть проблема: они в очень многих случаях НЕ СХОДЯТСЯ друг с другом.
Например, возьмём ноту До (C), прибавим к ней две октавы и одну большую терцию. То есть два раза удвоим частоту, а потом умножим на 5/4.
Получилась нота Ми (E) через две октавы.
Теперь отложим от той же самой До четыре квинты вверх. То есть, четыре раза умножим частоту на 3/2. Получилась та же самая нота Ми.
Или не та же самая?
В первом случае частота Ми ровно в 5 раз выше, чем До: 2*2*5/4=5.
А во втором — в 81/16 раз выше (3/2*3/2*3/2*3/2=81/16). То есть в 5,0625 раз выше.
Получается, что две октавы плюс чистая большая терция не равны четырём чистым квинтам, из-за чего невозможно определить правильную частоту Ми относительно До. И таких расхождений много1.
—
Ещё пример: простая мелодия, которая начинается с До и движется так: квинта вверх, кварта вниз, квинта вверх, кварта вниз, большая терция вниз — вернулись в ту же До.
НО! Если все эти интервалы чистые, то До в конце мелодии получается выше, чем До, которая была в начале! А именно — в 81/80 раз выше: 3/2*3/4*3/2*3/4*4/5=81/80, и не равно 1. Повторим эту мелодию ещё раз, начав с новой До — и До станет выше почти на полтона. Вот, послушайте (в конце я для наглядности повторяю изначальную До):
Чтобы этого сдвига не происходило, придётся, например, пожертвовать чистотой большой терции и немного её увеличить.
А вот здесь, с 4:15, очень наглядно показывают этот сдвиг на примере аккордов.
—
Из всего этого ясно, что для построения нотной системы неизбежно придётся идти на какие-то компромиссы. Например, чтобы в предпоследнем примере получались не разные Ми, а одинаковые, придётся либо сделать квинту немного меньше, чем 3/2, либо сделать большую терцию немного больше, чем 5/4, либо сделать понемножку и то и другое. Именно это и происходило, когда музыканты пытались найти компромисс. В одни исторические периоды предпочтение отдавали чистой квинте, в другие — чистой терции.
Вот теперь можно рассказать про несколько исторических строёв.
Пифагоров строй
Начнём с того, что строй этот создал не Пифагор. Насколько я понимаю, строй оформился в период поздней античности, а название получил потому что был основан на идеях пифагорейцев, которым очень нравилась идея гармонии чисел.
Пифагоров строй — это звукоряд, построенный на двух самых простых соотношениях — октаве и чистой квинте. Берём основную ноту, откладываем от неё вверх и вниз цепочку квинт и таким образом находим частоты для всех остальных нот.
Начнём, например, с До. Прибавим к ней чистую квинту и получим Соль, частота которой в 3/2 раза выше До. Прибавим к этой Соль чистую квинту — получим Ре, частота которой в 3/2 выше, чем у Соль, и в 9/4 раз выше, чем у исходной До (3/2*3/2). Дальше — Ля, с частотой в 27/8 выше исходной До, и так далее.
В обратную сторону от До тоже можно откладывать квинты. Получится Фа, с множителем 2/3, Си-бемоль с множителем 4/9, и так далее.
На верхней клавиатуре изображены несколько первых шагов процесса:
На нижней клавиатуре полученные ноты собраны в одну октаву с До. Например, Ре (9/4), которая получилась из двух квинт, мы понизили на октаву (=поделили на 2), и получилась Ре, которая на тон выше исходной До: 9/8. Ля тоже понизим на октаву — получится 27/16. Ми понизим на две октавы, Фа повысим на октаву, и так далее.
Если начать с Ре и отложить от неё по три квинты в обе стороны, получится 7 нот (F-C-G-D-A-E-B), составляющих До-мажор. Переместим их в одну октаву и получим такие соотношения:
| Нота | C | D | E | F | G | A | B | C | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Соотношение с первой С | 1/1 | 9/8 | 81/64 | 4/3 | 3/2 | 27/16 | 243/128 | 2/1 | |
| Соотношение между соседними нотами | 9/8 | 9/8 | 256/243 | 9/8 | 9/8 | 9/8 | 256/243 |
Если продолжить процесс дальше и отложить от Ре по шесть квинт в обе стороны, то получится такой ряд нот:
| Нота | Соотношение с D |
| Ab | 1024/729 |
| Eb | 256/243 |
| Bb | 128/81 |
| F | 32/27 |
| C | 16/9 |
| G | 4/3 |
| D | 1 |
| A | 3/2 |
| E | 9/8 |
| B | 27/16 |
| F# | 81/64 |
| C# | 243/128 |
| G# | 729/512 |
Получилось 13 нот, причём ноты Ab и G# получились разными: соотношение 1024/729 близко, но не равно 729/512 (1,40466…<1,423828…).
Так проявляется ещё одна проблема чистых интервалов: 7 чистых октав не равны 12 чистым квинтам. 7 октав — это 128/1. А 12 чистых квинт — это 531441/4096, то есть 129,746…
Наша пифагорова G# ровно на 12 квинт выше, чем Ab, поэтому когда мы их приводим в одну октаву, получается не одна нота а две близких.
Разница между ними называется Пифагоровой коммой. Это небольшой интервал, примерно 23,46 цента, то есть чуть меньше четверти нынешнего полутона.
Нам нужно 12 нот, поэтому отбросим Ab и оставим G#.
Можно, конечно, ввести в наш строй обе ноты — Ab и G#, но это во-первых, непрактично на многих инструментах2, а во вторых, не решит проблему полностью. Например, мы не сможем сыграть чистую квинту от G#, потому что ноты D# у нас нет, а если играть вместо неё Eb, квинта будет не чистая, а опять же уменьшенная на пифагорову комму.
А если продолжать добавлять ноты, то придётся строить инструмент с такой, например, клавиатурой:
Если играть в До-мажоре или каких-то близких тональностях, достаточно будет среднего ряда клавиш. А вот чистую квинту от G# придётся играть так: G# на средней клавиатуре и D# на верхней. И вообще: в тональностях, в которых много «чёрных клавиш» часть нот придётся брать на одной клавиатуре, часть на другой.
И теперь одна квинта из двенадцати не чистая, а на пифагорову комму меньше чистой.
Эту квинту назвали «волчьей» квинтой. «Биения», которые возникают в «волчьей» квинте, напомнили кому-то волчий вой, отсюда название.
Одна плохая квинта из двенадцати — ещё не беда (в конце концов, мы можем избегать игры в тональностях, в которых эта квинта встречается — а это половина всех тональностей). Беда в том, что ВСЕ интервалы в пифагоровом строе получены из квинт, а значит — любой интервал, в котором участвует волчья квинта, уменьшается или увеличивается на пифагорову комму. Например, большая секунда получается из двух квинт, поэтому из 12-ти больших секунд 10 штук получаются чистыми, а две (C#-D# и G#-A#) — уменьшены на пифагорову комму. Септимы D#-C# и A#-G#, соответственно, увеличены на пифагорову комму. С другими интервалами такая же беда, только там изменённых интервалов получится ещё больше. Например, большая терция строится из четырёх квинт, поэтому из 12-ти больших терций 8 будут «обычного» размера, а 4 штуки — на пифагорову комму меньше.
—
Ещё одна проблема с пифагоровым строем — терции в нём серьёзно отличаются от чистых. Пифагорова большая терция — это «четыре чистых квинты минус две октавы». То есть, 3/2*3/2*3/2*3/2:4. Получается 81/64, а это заметно больше, чем чистая большая терция 5/4 (1,265625 > 1,25).
То же самое с малой терцией. Пифагорова малая терция — это «две октавы минус три чистые квинты», или 2/3*2/3*2/3*4. Получается32/27, и это заметно меньше, чем чистая малая терция 6/5 (1,185185… < 1,2).
| Малая терция | Большая терция | |
| Чистая | 6:5 315.64 центов |
5:4 386.31 центов |
| Пифагорова | 32:27 294.13 цента |
81:64 408 центов |
| Разница | на 21.51 цент меньше | на 21.51 цент больше |
Интервал, на который они отличаются, называется синтонической коммой. Её размер — 81:80 или 21.51… цент (примерно одна пятая нынешнего полутона). С этой коммой мы уже встречались в начале текста — именно настолько повышалась До в мелодии, состоящей из чистых интервалов — и встретимся ещё.
Пифагоровы терции звучат для нас вполне норм, потому что они близки к нашим нынешним терциям (которые тоже совсем нечистые, но мы привыкли). Но средневековым музыкантам это было не норм, поэтому терция в то время не использовалась как основа гармонии.
Пифагоров строй использовали примерно до 15 века. Потом его стали модифицировать, чтобы как-то поправить ситуацию с терциями.
Среднетоновый строй на 1/4 коммы
В 16 веке появился новый строй — среднетоновый на 1/4 коммы. Он устроен так же как пифагоров, только размер всех квинт уменьшен ровно настолько, чтобы большая терция стала чистой.
Вот как это работает. Пифагорова большая терция создаётся с помощью четырёх квинт: строим цепочку квинт С-G-D-A-E, понижаем полученную E на две октавы, и получаем терцию C-E, которая, как я показывал выше, не чистая, а на синтоническую комму больше чистой. Если уменьшить каждую квинту на 1/4 синтонической коммы, то терция, полученная из четырёх квинт, уменьшится на одну синтоническую комму, а значит, станет равна чистой терции. При этом квинта перестала быть чистой, но и не сильно пострадала — уменьшилась всего на 5 центов.
Все остальные интервалы тоже получены из квинты, поэтому их размеры тоже изменились. Одним это пошло на пользу, другим — нет. Например, малая терция стала почти чистой (всего на 6 центов меньше чистой), большая секунда стала на 11 центов меньше чистой, и так далее. Но в целом интервалы получились приемлемые.
К сожалению, проблемы с «волчьей квинтой» и прочими волчьими интервалами здесь ещё хуже, чем в пифагоровом строе. В пифагоровом строе «волчья квинта» на пифагорову комму меньше чистой, а в среднетоновом — на полторы пифагоровы коммы больше. Поэтому одна квинта из двенадцати у нас получается безобразно, на 35 центов, увеличенной. Две большие секунды из двенадцати получаются безобразно увеличенными (на 30 центов больше чистой). 9 из 12-ти малых терций почти чистые, зато остальные три — на 47(!!) центов уменьшены. 8 из 12-ти больших терций совершенно чистые, зато остальные на 41(!) цент увеличены.
В итоге, при игре в тональностях, недалеко отходящих от основной ноты, мы получаем совершенно чистые большие терции и приемлемо чистые остальные интервалы. А вот в каком-нибудь Фа-диез мажоре будет много фальшивящих интервалов.
Одна и та же последовательность аккордов в разных тональностях. Начинаем с базового До мажора и сдвигаемся каждый раз на тон выше. Где-то в середине — там, где аккорды максимально далеки от базовой тональности — можно услышать некую фальшь.
Среднетоновый строй на 1/4 коммы был основным строем в европейской музыке до начала 18-го века, а на многих органах — до середины 19-го века.
Натуральный строй
Другая идея, которая возникла в конце 16 века — построить такой звукоряд, чтобы интервалы были максимально чистыми хотя бы в пределах одной тональности.
Возьмём ноту F и прибавим к ней чистую большую терцию, получив ноту A. К этой A прибавим чистую малую терцию и получим C. Продолжим чередовать большие и малые терции пока не получится 7 нот:
| Нота | F | A | C | E | G | B | D | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Соотношение | 5:4 | 6:5 | 5:4 | 6:5 | 5:4 | 6:5 |
Чистая большая терция и чистая малая терция дают в сумме чистую квинту (5/4*6/5=3/2; хоть где-то эти чистые интервалы сходятся!), поэтому квинты F-C, A-E, C-G, E-B и G-D здесь получились чистые.
Соберём эти ноты в одну октаву и получим звукоряд До-мажор — CDEFGABC, в котором почти все интервалы чистые. Чистыми получились все большие терции (CE, FA и GB) и три из четырёх малых терций (E-G, A-C и B-D). Однако, полного совершенства не получилось даже здесь: квинта D-A и малая терция D-F на пифагорову комму меньше, чем чистые.
Кроме того, получились две разных больших секунды. Одна — C-D, F-G и A-B — такая же как в пифагоровом строе (9:8 или 204 цента). Вторая — D-E и G-A — на пифагорову комму меньше (10:9 или 182 цента). Малые секунды E-F и B-C одинаковые — 15:16 (112 центов).
Итак, у нас есть 7 «белых» нот, интервалы между которыми чисты настолько, насколько это возможно. Добавим к ним 5 оставшихся «чёрных» нот (например, вычтем квинту из F и получим Bb, и так далее).
Получился строй, в котором интервалы в «исходной» тональности (До-мажор) и близких к ней тональностях — в основном чистые. Но если фальши убавилось в одном месте, её должно прибавиться где-то ещё, поэтому интервалы в далёких от До-Мажора тональностях будут сильно фальшивить.
Сейчас в чистом строю играют только музыканты, аутентично исполняющие древнюю музыку. А с другой стороны, инструменты, у которых высота нот не фиксированная (вокал, безладовые струнные, часть духовых), на практике часто склоняются к чистым интервалам. Например, певцы, поющие терцию, могут подстраиваться друг под друга так, чтобы исчезли «биения».
Все терции и квинты в натуральном До мажоре.
«Хорошо темперированные» строи
В конце 17-начале 18 века появились строи, разработанные так, чтобы можно было играть во всех или почти всех тональностях с минимальной «лажей» в интервалах. Идея была в том, чтобы понижать не все квинты, как в среднетоновом строе, а выборочно понижать часть из них.
Этих строёв было множество. Например, в одной из темпераций Веркмейстера пять квинт (C-G, D-A, E-B, F#-C#, and Bb-F) уменьшены на 1/3 коммы, две квинты (G#-D# и Eb-Bb) увеличены на 1/3 коммы, а остальные квинты — чистые.
В «хорошо темперированных» строях одни интервалы получаются чистыми, другие — почти чистыми, и лишь некоторые отклоняются сильно. В итоге стало возможно играть во всех тональностях без сильной фальши. Тональности получились разными — в одних было больше отклонений от чистых интервалов, чем в других, и распределение этих отклонений получалось разное. Если в нынешнем, равномерно темперированном строе перенести музыку в другую тональность, то она прозвучит точно так же (в том смысле, что соотношения между всеми нотами останутся такими же). А в «хорошо темперированном» строе от этого изменится «оттенок» музыки, потому что интервалы будут немного другими.
Здесь нельзя не упомянуть «Хорошо темперированный клавир» — сборник произведений Баха, вышедший в 1722 году. Он состоит из произведений во всех 24-х тональностях (12 мажорных и 12 минорных). Название, скорее всего, отсылает к «хорошо темперированным» строям, тем более что и состав сборника как бы говорит: наконец-то появился строй, в котором можно играть во всех тональностях!
Бах был недоволен общепринятым тогда среднетоновым строем и настраивал свои инструменты как-то по своему. Неизвестно, какую именно темперацию он использовал. Некоторые музыковеды даже полагают, что строй Баха каким-то образом зашифрован в тринадцати петлях, нарисованных им на заглавии сборника:
Равномерно темперированный строй
Идея разбить октаву на 12 равных частей высказывалась с древних времён. Это решает проблему с несходящимся квинтовым кругом, делает все интервалы одинаковыми, а все тональности равноправными. Однако на практике её применять не спешили. Во первых, терции в этом строе почти такие же нечистые, как и в пифагоровом. Во-вторых, для расчётов соотношений между нотами нужна продвинутая математика — ведь всё основано на корне 12-й степени из двух. В-третьих, в эпоху «хорошо темперированных строёв» композиторам очень нравилось то, что у разных тональностей разный «оттенок» и характер.
В течение 19 века многие композиторы (например, Бетховен) начали широко применять в музыке модуляции в далёкие тональности, и идея о равноправности тональностей становилась всё более привлекательной.
Итак, берём октаву (2/1) и разбиваем её на 12 равных интервалов — полутонов, из которых будем составлять все остальные интервалы (большая терция — это 4 полутона, чистая квинта — 7 полутонов, и так далее). Каждый полутон равняется корню 12-й степени из двух (21/12) — примерно 1.059463. Теперь между двумя соседними нотами ВСЕГДА интервал в 100 центов. Все терции одинаковы по размеру, все квинты одинаковые, и так далее.
В этом строю нет ни одного чистого интервала кроме октавы — все остальные определяются не то чтобы непростыми дробями (как в пифагоровом строе), а вообще иррациональными отношениями. Очень близки к чистым оказались квинта (выше чистой всего на 2 цента), и большая секунда (ниже чистой всего на 4 цента). А вот терциям не повезло. Малая терция получилась на 16 центов меньше чистой, а большая — на 14 центов больше. Это серьёзная разница, приводящая к заметным биениям:
Тем не менее к 20 веку практически все музыканты перешли на этот строй (а лютни и гитары на нём всегда и были). Равноправие тональностей и полное отсутствие «волчьих» интервалов оказалось важнее, чем нечистые терции.
В следующей части поста — ещё аудиопримеры и таблицы с интервалами.
—
1 – Например:
Три чистые большие терции не равны октаве, а меньше: 5/4*5/4*5/4=1,953125.
Четыре чистые малые терции не равны октаве, а больше: 6/5*6/5*6/5*6/5=2,0736
Шесть чистых тонов не равны октаве, а больше: 9/8*9/8*9/8*9/8*9/8*9/8=2,027286529541015625.
2 — тем не менее были попытки решить проблему хотя бы частично и существовали инструменты, на которых одна, две или три из чёрных клавиш в каждой октаве раздвоены — например, Ля-бемоль и Соль-диез.
Например, вот этот клавесин, с 14 клавишами на октаву:
Или этот, с 19-ю клавишами на октаву:
Как узнать частоту нот какой нибудь октавы с самой малой погрешностью? Или может есть какой то стандарт частот для нот?
Мыслитель
(8255),
закрыт
5 лет назад
Дополнен 9 лет назад
То есть мне не важно какой октавы, можно любую.
Может там можно какое то число на какое то разделить, чтобы получить точное значение частоты?
Дополнен 9 лет назад
Есть же даже приборы для настройки пианино, у них же должны быть точные стандарты частот.
Дополнен 9 лет назад
Вот что нашел:
“В 1711 году придворный трубач английской королевы Джон Шор изобрёл необходимый всем музыкантам и настройщикам музыкальных инструментов нехитрый предмет, похожий на металлическую вилочку с двумя зубцами. Эта «вилочка» была названа камертоном. Если ударить по камертону, его концы начинают свободно колебаться и раздается звук, который служит эталоном высоты при настройке музыкальных инструментов и в пении. Камертон, изобретенный Шором, давал 420 колебаний в секунду. Издаваемый камертоном звук было решено присвоить ноте ЛЯ, от неё и настраивали все другие звуки. Эталонная частота колебаний A1 ко времени изобретения К. английским музыкантом Дж. Шором (1711) была 419,9 гц. В конце 18 в. по инициативе работавшего в Петербурге композитора и дирижёра Дж. Сарти в России был введён “петербургский К.” с частотой a1 = 436 гц. В 1858 Парижская АН предложила т. н. нормальный К. с частотой a1 = 435 гц; эта частота была принята на международной конференции в Вене (1885) как международный эталон высоты звука и получила название музыкального строя. В СССР с 1 января 1936 действует общесоюзный стандарт с частотой a1 = 440 гц.
У многих струнных инструментов, чаще всего у скрипки, при изменении температуры натяжение струн меняется, поэтому скрипачам приходится часто подтягивать струны, и камертон тут незаменим.
В наши дни симфонические оркестры редко пользуются камертоном. В оркестре роль камертона выполняет деревянный духовой инструмент гобой, поскольку в его конструкции температура не влияет на музыкальный строй и его нота ЛЯ всегда устойчива. Но если с оркестром играет рояль, то все инструменты оркестра настраивают уже по роялю, а рояль перед концертом должен быть хорошо настроен по камертону.
Сегодня камертон можно приобрести в специализированных музыкальных магазинах.”.
Дополнен 9 лет назад
http://otvet.mail.ru/question/21578095
http://www.liveinternet.ru/users/alexandrs/post210474509/
http://www.forumklassika.ru/archive/index.php/t-42070.html
Дополнен 9 лет назад
Я не знаю насколько это правильно, но лично я для получения октав использую такой способ:
Если мы возмём за стандарт частоту ноты ля(A) , например, 440 гц,
тогда 440гц / 2 = 220гц, что равно частоте ноты ля предыдущей октавы,
а если 440гц * 2 = 880гц, что равно частоте ноты ля следующей октавы.
Дополнен 9 лет назад
Вот в итоге интересная штука получается:
Диапазон частот мы можем расписать на одномерное линии и это будет логично, а еще мы можем из этой линии построить таблицу, где осью X будут частоты нот, а осью Y будут октавы и это тоже будет логично. Но что же тогда получается что из одномерного диапазона частот мы образовали двухмерный? То есть выходит что каждая линия второго измерения это очередная одномерная линия? А когда все такие одномерные линии мы параллельно расположим на плоскость, то получиться частотная таблица нот и октав?
Дополнен 9 лет назад
13,75 * 2 = 27,5
27,5 * 2 = 55
55 * 2 = 110
110 * 2 = 220
220 * 2 = 440
440 * 2 = 880
880 * 2 = 1760
1760 * 2 = 3520
3520 * 2 = 7040
7040 * 2 = 14080
14080 * 2 = 28160
28160 * 2 = 56320
Дополнен 9 лет назад
Такое изображение получается если на одномерной линии нарисовать точки, где каждый пиксель соответствует значению частоты семи нот и разных октав, правда я вниз её сам растянул, чтобы лучше было видно.
Дополнен 9 лет назад
т.е. каждая нота ля соответствует красному цвету, а, например, каждая нота до соответствует желтому цвету и вообщем т.п.
Видно что в начале(слева) спектр цветов получается сжатым это от 14 пикселей до 25,
а в конце(справа) спектр цветов получается расширенным – это от 440 до 587 пикселей.
Дополнен 9 лет назад
Как получить ноты и диезы для нашей таблицы?
Как мне подсказали что нужно ноту умножить на корень 12-й степени из 2, он приближенно равен 1,059463094,
т.е. берем ноту ЛЯ 440 гц и умножаем на 1,059463094, получаем приближенно 466,16376136 гц что приблизительно соответствует частоте диезу(#полутону) ноты ЛЯ, затем частоту диеза(полутона) ноты ЛЯ умножаем на 1,059463094 и получаем приближенную частоту 493.883 гц ноты СИ, далее делаем тоже самое и получаем частоту 523,25 гц ноты ДО, мы получили не частоту диеза(полутона) ноты СИ, а мы получили частоту ноты ДО, а потому что у нот СИ и МИ нет диеза(полутона).
http://otvet.mail.ru/question/77087693
Дополнен 9 лет назад
Не на гитаре, не на пианино вы не найдете диеза(полутона) нот СИ и МИ.
Дополнен 9 лет назад
Там СИ диез# равен ноте ДО, а МИ диез# равен ноте ФА, поэтому нет даже смысла считать их за диезы.
Так сложилось скорее всего потому что на слух такая система звучит гораздо приятней чем если было бы всё по другому.
Дополнен 9 лет назад
http://otvet.mail.ru/question/1159567
Дополнен 9 лет назад
Вот полная частотная таблица нот и октав:
Значения в таблице не точные.
Дополнен 9 лет назад
Дополнен 9 лет назад
Код для делфи:
uses Math;
var
Form1: TForm1;
arr: array[1..12,1..13] of real;
procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);
var
x,y: integer;
begin
arr[1,1]:=13.75;
arr[2,1]:=14.57;
arr[3,1]:=15.435;
arr[4,1]:=16.35;
arr[5,1]:=17.325;
arr[6,1]:=18.355;
arr[7,1]:=19.445;
arr[8,1]:=20.601;
arr[9,1]:=21.826;
arr[10,1]:=23.125;
arr[11,1]:=24.5;
arr[12,1]:=25.955;
StringGrid1.Cells[1,0]:=’A-“ля”‘;
StringGrid1.Cells[2,0]:=’A#-“ля диез”‘;
StringGrid1.Cells[3,0]:=’B-“си”‘;
StringGrid1.Cells[4,0]:=’C-“до”‘;
StringGrid1.Cells[5,0]:=’C#-“до диез”‘;
StringGrid1.Cells[6,0]:=’D-“ре”‘;
StringGrid1.Cells[7,0]:=’D#-“ре диез”‘;
StringGrid1.Cells[8,0]:=’E-“ми”‘;
StringGrid1.Cells[9,0]:=’F-“фа”‘;
StringGrid1.Cells[10,0]:=’F#-“фа диез”‘;
StringGrid1.Cells[11,0]:=’G-“соль”‘;
StringGrid1.Cells[12,0]:=’G#-“соль диез”‘;
for x:=1 to 12 do
for y:=1 to 13 do
begin
If y>=2 Then arr[x,y]:=arr[x,y-1]*2;
StringGrid1.Cells[x,y]:=FloatToStr(arr[x,y]);
StringGrid1.Cells[0,y]:=’октава: ‘;
end;
end;
Дополнен 9 лет назад
[ссылка появится после проверки модератором]
Doc Johnson
Высший разум
(152290)
9 лет назад
видел этот стандарт в каком-то справочнике по физике, а вкаком не помню… там прописаны соотношеня частот, помню только, что до 1 октавы это 256 гц, соответственно, нота до от субконтроктавы и далее, это будет 16, 32, 64, 128, 256, 512, и т.д. гц…
Moi27K°
Просветленный
(20876)
9 лет назад
Международный стандарт: нота ля 1-й октавы = 440 Гц. Умножаем на корень 12-й степени из 2, – получаем ля#. И т. д. Умножаем на 2 – следующая октава. Проще найти готовые таблицы. Но это только для темперированного строя! Голос, струнные жесткой фиксации не имеют.
Random converter
- Калькуляторы
- Музыкальные калькуляторы
Калькулятор частот музыкальных нот
Калькулятор преобразует музыкальные ноты в частоту и длину звуковых волн. Возможно и обратное преобразование. Ноты обычно используется для описания музыкальных звуков, которые может слышать человек. Однако нотная запись может быть использована и для описания высоких и низких частот, выходящих за пределы диапазона, который способен слышать человек. Мы можем слышать ноты ниже 20 Гц, потому что они обычно содержат обертоны, которые находятся в пределах слышимого диапазона. Иногда очень высокие и очень низкие частоты также описывают, указывая октавы выше или ниже первой октавы.
Пример: рассчитать частоту ноты C4 (нота до первой октавы).
Использовать американскую нотацию
Номер октавы в американской нотации: 4
или Нота MIDI
Смещение
+ — центы
Тон настройки ля первой октавы (A4)
Гц
Поделиться ссылкой на этот калькулятор, включая входные параметры
| A | B | C | D | E | F | G |
| ля | си | до | ре | ми | фа | соль |
Определения и формулы
Основная формула для расчета частот музыкальных нот равномерно темперированного строя:
где
fn — частота ноты, которая удалена от тона настройки A440 на n полутонов;
f0 — частота ноты, которая используется в качестве стандарта настройки. Обычно это тон настройки 440 Гц, называемый также A440 или нотой ля первой октавы. В научной нотации это нота A четвертой октавы (A4);
n — количество полутонов от стандартного тона настройки; n > 0 для нот выше тона настройки и n < 0 для нот ниже тона настройки.
Приведенную выше формулу можно изменить для расчета количества полутонов n от тона настройки f0:
Для расчета частот музыкальных нот по известному номеру ноты MIDI nm при тоне настройки A440 (440 Гц) и наоборот используются такие формулы:
и
В этих формулах 69 — это нота MIDI, соответствующая ля первой октавы (A4). В стандарте MIDI имеется 128 нот (от 0 до 127). Первая нота с номером 0 — C–1 (минус 1), то есть нота до октавы, следующей вниз за субконтроктавой и не имеющей названия в русском языке. Частота этой ноты 8,176 Гц. Последняя нота в стандарте MIDI имеет номер 127 и соответствует ноте G9 (соль шестой октавы) с частотой 13289,750 Гц.
Для расчета частот музыкальных нот, если известен номер клавиши фортепиано со стандартным набором из 88 клавиш np при стандартном тоне настройки A440 и наоборот можно используются такие формулы:
и
В этих формулах 49 — это нота фортепиано, соответствующая ля первой октавы (A4). В стандартной клавиатуре фортепиано имеется 88 нот (от 1 до 88). Первая нота с номером 1 — A0, то есть нота ля субконтроктавы. Частота этой ноты 27,500 Гц. Последняя нота имеет номер 88 и соответствует ноте С8 (соль шестой октавы) с частотой 13289,750 Гц.
Отметим, что соотношение частот двух нот в любом полутоне (или интервале малая секунда) a равно корню 12-й степени из двух или 100 центам:
Цент представляет собой логарифмическую единицу измерения музыкальных интервалов, определяемую как отношение двух частот f1 и f2, равное
100 центов составляет один полутон равномерно темперированного строя или один цент — это 1/100 полутона.
Для расчета смещения от ноты в центах nb по известной частоте fn, воспользуемся следующей формулой:
Например, нота ля диез (или си бемоль) первой октавы имеет частоту 466,164 Гц. Вышеприведенная формула дает результат nb = 100,0008857 ≈ 100 центов.
Частота 440,2542274 Гц на 1 цент выше частоты ля первой октавы:
Тогда nb = 0.999999989 ≈ 1 центу.
Длина волны λ музыкальной ноты с частотой fn рассчитывается по формуле:
где c — скорость звука в воздухе при 20°C, приблизительно равная 343 м/с.
Подробнее о звуке
Общие сведения
Каналы восприятия информации об окружающей среде: 75% зрение, 13% слух, 6% соматосенсорная система, 3% обоняние и 3% вкус
Для вида гоминидов, именуемого Homo sapiens (человек разумный), звуковой канал получения информации об окружающем мире (слух) является вторым по информативной мощности каналом, уступая зрительному каналу и превосходя остальные каналы (осязание, обоняние и вкус), а также кинестетический канал, позволяющий ощущать собственное тело и его расположение в пространстве. Распределение получаемой человеком информации из окружающего мира по каналам восприятия оценивается учёными примерно следующим образом: около 75% информации мы получаем по зрительному каналу, до 13% информации поступает по звуковому каналу, остальные 12% приходятся на другие каналы. Безусловно, эти оценки отражают только среднестатистические данные и для конкретного индивида могут сильно отличаться.
Уступая другим видам млекопитающих по части диапазона частоты воспринимаемых звуков (слоны и киты, например, способны воспринимать инфразвук, а дельфины и летучие мыши — ультразвук), человеку удалось применить звук в качестве системы коммуникации. Развив речь, человечество не только получило в распоряжение дополнительный канал коммуникации, но и сумело применить её как для адекватного отображения прошлых событий (передача опыта последующим поколениям), так для реализации неотложных действий в настоящем времени (тактика коллективной охоты, обороны и нападения) и планирования поведения в будущем и коллектива, и отдельного индивида (стратегия выживания).
Болевой порог звукового давления — 20 Па
Человеческое ухо способно улавливать звуковое давление от 2*10-5 Па (порог слышимости) и выдерживать давление до 20 Па (болевой порог). Но человек относительно плохо различает звуки по громкости — поэтому шкала мощности акустических колебаний носит логарифмический характер. Мы уступаем и в этом параметре не только собратьям по классу млекопитающих, но и другим животным, например, птицам. Совы и филины, лисы и кошки способны услышать действия столь миниатюрных живых объектов, как мыши, на большом расстоянии, поскольку они составляют их повседневный рацион питания.
Но нам присуще восприятие ритмических рисунков; кроме того, человек обладает тонким слухом по сравнению с другими представителям мира животных за счёт точного ощущения частоты звука и особенно разности частот разных звуков. Эти качества привели нас к созданию совершенно другого, искусственного мира звуков — музыки.
Вероятно, первыми из музыкальных инструментов появились ударные инструменты, эволюционировав от пустой колоды полусгнившего дерева до современных электронных ударных установок. Вторыми, тоже с известной долей вероятности, появились духовые инструменты, также совершив эволюцию от морских раковин и рогов копытных животных, от простого свистка или дудки, изготовленных из полого стебля тростника/ивового прутика, до современных флейт, гобоев, труб, саксофонов и органов. С вступлением человечества в век металлов появились и струнные инструменты, но им не дано было стать вдохновением военных ратей в силу камерного звучания лир, кифар, лютней и арф. Вершиной эволюции музыкальных инструментов можно считать современный музыкальный синтезатор, способный заменить все инструменты разом, и, ко всему прочему, задающий требуемый ритмический рисунок.
Пожалуй, первыми из людей оценили завораживающее и экстатическое влияние звуков в виде ритмов, молитв и песнопений представители различных религиозных культов, от первобытных шаманов и жрецов древних богов до высших иерархов различных церквей и конфессий, заказывавших знаменитым композиторам бессмертные произведения.
Военные тоже с давних пор оценили воодушевляющую и дисциплинирующую роль ударных музыкальных инструментов и музыки вообще. Под звуки флейт и тимпанов шли в атаку тяжеловооруженные гоплиты спартанцев, тараня оборону персов при битве под Марафоном. Под них вышагивали, ощетинившись лесом копий-сарисс, смертоносные фаланги Александра Македонского , сметая всё на своём пути. Под звуки горнов, фанфар и труб, как сигналов к определённым маневрам, проносились по полям сражений кавалерийские турмы и алы римлян, шли в атаку клином средневековые рыцари, и маневрировали уланы, драгуны и гусары времён наполеоновских войн. И в наше время музыка используется в армиях для достижения тех же целей, что и две тысячи лет назад.
Звук воевал не только на суше — сигналы боцманских дудок подавали команды палубным матросам о манипуляциях с парусами с незапамятных времён; под удары барабанов, задающих темп гребли, гнули спину гребцы на боевых галерах всех эпох и народов. Вопреки устоявшемуся мнению о печальной участи галерных рабов, это несколько не соответствовало действительности: у древних греков на пентаконтерах (пятидесятивёсельниках) времён Одиссея и аргонавтов, а за ними в средние века и на драккарах викингов, гребцами служили вольные воины. Позднее звуки корабельных колоколов — рынд — отбивали временные интервалы (склянки), задавая распорядок корабельных вахт.
Звук также играл и продолжает играть главенствующую роль в таком древнем виде занятий человечества, как охота с собаками: не считая дистанционного управления сворами псов с помощью обычных и ультразвуковых свистков, опытные охотники по тону лая собак могут определить, идут ли они по следу или ведут зверя по-зрячему, обложив его.
Совершенно неудивительно, что сам звук, его обработка и генерация стали источником существования значительной части человечества. Простой перечень профессий, связанных со звуком, мог бы занять почти энциклопедический том. К людям, имеющим отношение к звуку, надо относить не только композиторов, сочиняющих музыку, исполнителей музыки — музыкантов и певцов, но также музыкальных критиков и редакторов, звукорежиссёров и дикторов радио и телевидения, инженеров-акустиков, архитекторов-акустиков, учёных, работающих в этой области, и даже экологов, оценивающих шумовое загрязнение окружающей среды. Этот перечень можно ещё продолжать и продолжать…
Историческая справка
Слева направо: Аристотель, Евклид, Птолемей и Фрэнсис Бэкон; источник: Википедия
Звук и особенности его распространение интересовали человечество с незапамятных времён. Ещё античные учёные Птолемей и Евклид понимали природу возникновения звука как колебательный процесс, описывая его терминами, соответствующими состоянию науки на тот момент. Другой авторитетный древнегреческий учёный Аристотель высказал предположение о конечности скорости распространения звука в воздухе. По мере развития науки и техники, связанной с измерением времени, появилась возможность экспериментального определения скорости звука. В работе «Новый органон», написанной английским учёным Френсисом Бэконом в первой половине 17-го века, указывался метод определения скорости звука путем сравнения промежутков времени между вспышкой выстрела и появлением звука выстрела.
Слева направо: Жан Пикар, Марен Мерсенн, Пьер Гассенди и Ульям Дерем; источник: Википедия
Используя этот метод, на протяжении 17-го столетия различные исследователи (Марен Мерсенн, Уильям Дерем, Пьер Гассенди, Жан Пикар, Оле Рёмер, Роберт Бойль и другие), провели измерение скорости звука в воздухе, получив результаты в диапазоне 350–390 м/сек. Разброс значений объяснялся неточностью методов измерения и несогласованностью на тот момент единиц измерения длины.
Слева направо: Оле Рёмер, Исаак Ньютон, Герман Гельмгольц и Роберт Бойль; источник: Википедия
Теоретическое обоснование скорости звука дал сэр Исаак Ньютон в своей работе «Начала». Из-за неверного предположения о процессе передачи звука как изотермическом процессе оценка Ньютона 298 м/с оказалась заниженной примерно на 15%. Уточнил формулу и получил верное теоретическое значение Пьер-Симон маркиз де Лаплас, рассматривая процесс распространения звука как адиабатический процесс. Сейчас значение скорости звука в воздухе при нормальных условиях принимается равным 343 м/сек.
Верхняя и нижняя деки корпуса скрипки имеют несколько резонансных частот, то есть, на этих частотах корпус усиливает колебания струн
Значительный вклад в становление физиологической и музыкальной акустики сделал выдающийся немецкий физик, врач, физиолог, психолог и акустик Герман Людвиг Фердинанд Гельмгольц. Как теоретик, он создал теорию акустического резонанса, разработал резонансную теорию слуха, исследовал натуральный звукоряд. Впервые выдвинул теорию возникновения комбинационных тонов — психоакустического явления, при котором человек слышит дополнительный тон при одновременном звучании двух тонов. Гельмгольц объяснил их появление нелинейностью механической системы человеческого слуха (внутреннего уха). Он также объяснил явление диссонанса наличием биений между обертонами в созвучиях. Для исследования звука он изобрёл прибор, ныне известный как резонатор Гельмгольца. Набор резонаторов различного размера стал прообразом современных анализаторов спектра звуков.
Определение звука
В различных областях науки понятие звука определяется по-разному. Звуком в физике называют физическое явление, заключающееся в распространении механических колебаний в виде акустических упругих волн в твёрдой, жидкой или газообразной среде, а также в плазме. В вакууме звуки отсутствуют по причине отсутствия материальной среды передачи достаточной плотности. В биологии, физиологии и психологии под звуком подразумевают восприятие этих механических колебаний органами чувств животных и человека. В междисциплинарном разделе физики, изучающем звуки — в акустике — под звуком понимается достаточно узкий диапазон колебаний от 16-20 Гц и до 15-20 кГц, определяемый возможностью воспринимать их человеческим ухом. Звук ниже диапазона слышимости человека называется инфразвуком; выше диапазона слышимости вплоть до нескольких гигагерц — ультразвуком.
Как любая волна в физике, звук характеризуется, в первую очередь, амплитудой и частотой, или величиной, обратной частоте — длиной волны. Если принять диапазон звука согласно рекомендациям Американского национального института стандартов (ANSI) точно равным значениям в 20 Гц —20000 Гц, то значения длин волн в воздухе при нормальных условиях будут лежать в диапазоне 17 м —17 мм.
Звук. Физика явлений
В связи с тем, что звук может распространяться только через материальную среду, в газообразных, жидких средах и плазме звук передаётся в виде продольных волн сжатия и расширения. В твёрдых телах звук может передаваться как продольными, так и поперечными (под прямым углом к направлению распространения) волнами. В этом случае говорят о напряжении сдвига. Примером продольных волн может служить сжатие и растягивание витков пружины под воздействием источника колебаний. В качестве примера поперечных волн могут служить колебания натянутых струн любого смычкового (скрипка, виолончель, контрабас) или щипкового (лира, гусли, гитара, арфа) инструментов.
Источник звука, создавая колебания в окружающей среде, создаёт звуковую волну, которая распространяется от источника звука с определённой скоростью, присущей данной среде. Следует заметить, что никакого перемещения частиц среды при этом не происходит, они просто колеблются относительного равновесного положения.
Распространение звука определяется четырьмя факторами:
- Плотность, упругость и температура среды, в которой звук распространяется.
- Движение самой среды относительно неподвижного источника и приемника звука.
- Движение источника звука относительно неподвижной среды и приемника звука.
- Вязкость среды.
Первый фактор является определяющим для скорости распространения звука в данной среде. Очевидно, что чем выше плотность среды, или давление в газообразных средах, равно как и температура, тем выше в ней скорость распространения звука. Скорость звука в газах ниже, чем в жидкостях, а та, в свою очередь, ниже скорости распространения звука в твёрдых телах.
Второй фактор интуитивно понятен из повседневного опыта: звуки источника имеют разную частоту, принимаем ли мы звук от источника, стоя лицом к ветру (в этом случае его частота повышается), или наоборот (в этом случае частота понижается).
Для уменьшения отражения звука от стен за микрофоном иногда устанавливают звукопоглощающий экран
Третий фактор аналогичен второму: звук приближающегося поезда или автомобиля отличается от звука удаляющегося локомотива или машины. В физике это явление изменения частоты при приёме звукового сигнала в зависимости от относительного движения источника и приёмника звука носит название эффекта Доплера.
Последний фактор связан с затуханием звуковой волны при её распространении. Опять же из повседневного опыта мы знаем, что далёкие раскаты грома не столь оглушительны, как если бы молния ударила неподалёку.
При прохождении через среды с неоднородными (переменными) характеристиками, звук, как и любая другая волна, может быть преломлён, отражён, сфокусирован или рассеян. Кроме того, при размерах препятствий, сопоставимых или меньших по сравнению с длиной волны звука, возможна дифракция (огибание) препятствий.
На границах раздела сред упругая энергия может передаваться поверхностными волнами различных типов, при этом скорость распространения поверхностной волны отличается от скорости распространения продольных и поперечных волн. Примером таких волн могут служить расходящиеся круги на воде от брошенного в неё камня.
Речь
Замена одной фонемы на другую кардинально меняет смысл слов /д/ом и /т/ом
В повседневной деятельности современного человека звуки в виде членораздельной устной речи играют важнейшую роль как средство межличностных коммуникаций и источника информации. При дефектах речи или слуха, обусловленных врождёнными или приобретёнными аномалиями вследствие различных заболеваний, воспроизведение или восприятие звуков искажается, что затрудняет общение и понимание.
Речь представляет собой устную форму существования языка, который, в свою очередь, представляет собой набор лексем (слов во всех их формах) и имён, составляющий словарь языка, применяемых по определённым правилам, присущим данному конкретному языку (синтаксис). Наука о звуках речи называется фонетикой.
Каждое слово создаётся из ограниченного набора единиц речи — гласных и согласных звуков — фонем. Фонема ( от древнегреческого «звук») представляет собой минимально смыслоразличимую единицу языка, то есть замена одной фонемы на другую кардинально меняет смысл слова, например: /д/ом и /т/ом в русском языке (в английском языке ki/ss/ and ki/ll/). В различных языках имеются от двух десятков до пяти десятков фонем, по этой причине существуют несколько тысяч современных языков и их диалектов. Комбинация фонем называется морфемой, являющейся наименьшей значащей единицей языка. В свою очередь, одна (корень/основа) или несколько морфем (приставка+корень+суффикс+окончание) составляют слово как основную единицу языка.
Замена одной фонемы на другую кардинально меняет смысл английских слов ki/ss/ и ki/ll/.
Помимо обыденной повествовательной речи в каждом языке имеется особая устная речь, структурированная по определённым признакам и произносимая особенным образом (декламация). Имеется ввиду такое проявление языка, как поэзия. Поэзия представляет собой форму литературы, использующую эстетические и ритмические качества языка, такие, как благозвучие, звуковой символизм и интонация. Организация поэтической речи предусматривает упорядоченность звукового строения по стихотворным строкам, по ритму, рифмам, метрам. В зависимости от стихотворного стиля, в поэтических произведениях чаще всего одновременно упорядочивается общее количество слогов и расположение слогов определённой долготы, силы или высоты на определённых позициях слогового ряда.
Поэзия как явление намного старше письменности, и дошедшие до нас из глубины веков эпические поэмы шумеров о Гильгамеше, древнеиндийские «Рамаяна» и «Махабхарата» в исходном материале существовали в форме устной поэтической речи. В качестве более близких географически и исторически примеров можно привести европейские литературные памятники: староиспанскую «Песнь о моём Сиде», старофранцузскую «Песнь о Роланде», древнескандинавский поэтический сборник «Старшая Эдда», изначально существовавшие в форме устных сказаний.
Музыка
Судя по археологическим находкам первобытных музыкальных инструментов, музыка сопровождала современное человечество, возникшее в Африке примерно 160 тысяч лет тому назад, ещё в ту доисторическую эпоху. Самым древним чисто музыкальным инструментом (не учитывая ударных инструментов) принято считать флейту. Углеродный анализ образца фрагмента этого инструмента, сделанного из берцовой кости пещерного медведя датирует находку 40 тысячами лет тому назад! Вполне достоверно можно предположить существование ещё более древних инструментов этого типа, выполненных из дерева, тростника и других подручных материалов, которые гораздо легче в обработке. По вполне понятным причинам такие артефакты не могли сохраниться в течение столь долгого периода.
Никельхарпа — традиционный шведский смычковый музыкальный инструмент
В историческом разрезе в различных музыкальных культурах применялись разнообразные музыкальные инструменты, что влияло на характер музыкальных произведений, стиль и манеру исполнения, да и на сам строй инструментов.
Собственно музыка состоит из музыкальных звуков (тонов), представляющих собой звуки разной высоты (частоты). Чистый тон является периодическим сигналом синусоидальной формы, а его частота (высота) звука является главной специфической характеристикой. Другими важными характеристиками музыкального звука являются длительность, которая измеряется не в секундах и миллисекундах, а в относительных величинах (целая, половина, одна четвёртая, одна восьмая, одна шестнадцатая), равно как и другая характеристика — динамика звука (пиано, форте и их производные степени). При этом абсолютная длительность будет зависеть от длительности ноты и темпа произведения. То есть, например, целая нота в произведениях разного темпа имеет разную длительность. Аналогично и тембр (окраска) звука описывается не строгим заданием спектра звука, а специфическими музыкальными терминами. Темп исполнения тоже является немаловажной характеристикой отдельного произведения (largo, lente, adagio, moderato, allegro, vivo, presto), равно как и их производные.
В отличие от фортепиано, которое настраивается в равномерно-темперированном строе, скрипка настраивается по чистым квинтам; вначале настраивается по камертону или фортепиано струна Ля, затем струны Ми и Ре от струны Ля и струна Соль от струны Ре. Отметим, что в равномерно темперированном строе соотношение частот звуков в чистой квинте (1.498307) отличается от принятого в пифагорейском и натуральном строе (2:3). И как они вместе играют?
К характеристикам звука относятся также описания апериодических процессов: атака звука (характер нарастания), спад (затухание), поддержка звука, окончательное затухание звука, вибрато (амплитудное, частотное и фазовое) и модуляция огибающей. Помимо этих характеристик имеются специфические музыкальные термины, описывающие приёмы исполнения (стаккато и легато), влияющие на восприятие музыки. Так что с точки зрения физики любое музыкальное произведение представляет собой временную последовательность звуков определённых форм сигналов (тембр), частот, амплитуд и длительностей вместе с паузами между ними. Такое толкование близко к современному толкованию музыки музыкальными теоретиками, вполне справедливо считающих всё существующие в природе звуки музыкой. Достаточно вспомнить композиции выдающейся английской группы Pink Floyd, в которые органично вписываются звуки подъёма будильников и их тиканье, перезвон колоколов Большого Бена, взрыв самолёта в небе и звон монет в лотке игрального автомата.
Ещё древнегреческие теоретики музыки, Пифагор и Аристоксен, относили музыку к точным наукам. Это связано с воспроизведением музыкальных звуков в созвучиях, рассчитанных Пифагором по определённым математическим закономерностям, соответствующим представлениям его учению о гармонии. Созвучия в простейшей форме представляют собой два одновременно воспроизводимых звука, в нынешней интерпретации это музыкальный интервал, который звучит благозвучно. Соотношения между частотами тонов, согласно Пифагору, составляют 8 к 9. Такой набор благозвучных созвучий определяет так называемый пифагорейский строй, который, будучи транспонирован (перенесён) в другую тональность (изменение исходной частоты), мог давать совершенно другой результат — транспонированные звуки могли звучать весьма фальшиво.
Чистый (синусоидальный) тон 640 Гц; на нижнем графике показана спектрограмма (зависимость частоты от времени)
Научное обоснование этому явлению (диссонансу) дал немецкий учёный Генрих Гельмгольц, введя понятие натурального звукоряда и обертонов, которые являлись высшими кратными гармониками исходного тона. Он объяснял явление диссонанса возникновением биений высших гармоник. Исходя из этих соображений, был создан чистый или натуральный строй, в котором использовались интервалы, построенные на основе обертонов. При этом строе высоты звуков соотносились друг к другу как отношения чисел математического натурального ряда (октава 1:2, квинта 2:3, кварта 3:4, большая терция 4:5, малая терция 5:6, большой целый тон 8:9, малый целый тон 9:10, диатонический полутон 15:16). В результате получается диатоника (семиступенная гамма), абсолютно гармоничная начальному тону, но только в пределах этой тональности, которая тоже плохо поддавалась транспонированию с появлением так называемой волчьей квинты.
В результате был создан вполне удачный компромисс, в котором все 12 звуков гаммы соотносились один к другому как два, умноженное на корень 12 степени из двух, называемый равномерно темперированным строем. Ныне этот строй лежит в основе европейской музыки, основой которой является звук Ля первой октавы, настраиваемый по камертону, звучащему на частоте 440 Гц. При изобретении собственно камертона — инструмента для фиксации и воспроизведения эталонного звука, изобретённого в 1711 году придворным трубачом английской королевы Джоном Шором — и ещё пару столетий назад, камертоны имели иные частоты (419 Гц и 435 Гц). Сейчас, при отсутствии камертона, музыкальные инструменты подстраиваются по звучанию гобоя, который, в силу технического выполнения, мало подвержен изменению строя из-за воздействия внешних факторов.
Биения двух синусоидальных сигналов частотой 660 и 640 Гц.
Необходимо отметить, что помимо европейских строев существуют иные строи, соответствующие музыкальным традициям других великих цивилизаций (классические индийский, японский и китайский строи). Индийский строй делит привычную европейцам октаву на 22 ступени, поэтому индийская традиционная музыка звучит непривычно европейскому слуху. Японская и китайская музыкальные традиции тяготеют к лидийскому ладу, основанному на пентатонике, как и многие народные песни европейцев. Одна из хитовых песен «My sweet Lord» участника бессмертного английского ансамбля Битлз, написанная Джорджем Харрисоном, применяет в своей мелодике именно сочетание европейской музыки с индийской традиционной музыкой, c использованием техники исполнения “slide guitar”.
Фонограф. Англия. 1905
Что дальше?
Человечество, с изобретением и развитием музыки, стало настоящим музыкальным наркоманом. Благодаря созданию музыкальных «консервов», начало которым положили фонограф Эдисона и граммофон Эмиля Берлинера , музыка перестала быть привилегией высшего класса общества. Пройдя эволюцию от записи и воспроизведения звука на воске, шеллаке, виниле, компакт-кассетах, CD, вплоть до современных носителей цифровой памяти или онлайн доступа к музыкальному контенту, любая музыка стала доступной всем слоям общества. И любо-дорого смотреть, как наши дети и внуки уже в младенческом возрасте пытаются вертеть попами в такт музыке. А менеджеры музыкальных телепрограмм лихорадочно рыщут в поисках (и находят!) самородных талантов среди домохозяек и простых рабочих, которые порой превосходят по диапазону голоса оперных див и знаменитых теноров и баритонов!
Некоторые опыты со звуками. Фигуры Хладни
Для демонстрации этого эксперимента требуется генератор звуковой частоты, усилитель звукового сигнала, преобразователь звуковых волн (динамик), пластина из достаточно жёсткого материала и сыпучий материал с малой адгезией (подойдёт мел, мука, сахар или любой другой мелкодисперсный материал). Концентрация частиц материала происходит в точках с минимальной амплитудой отклика на акустическое воздействие, что прекрасно демонстрирует волновой характер звука. Мы использовали поднос из нержавеющей стали, приклеенный клейкой монтажной лентой к колонке со снятой декоративной крышкой и изменяли частоту от 250 до 1000 Гц.
Unit Converter articles were edited and illustrated by Анатолий Золотков
Чёрно-белая матемузыка
Повторяющийся узор фортепианной клавиатуры из чёрных и белых клавиш известен всем и является одним из символов музыки вообще. Достаточно нарисовать на плакате 7 белых клавиш и 5 чёрных – и всем сразу же понятно, что речь пойдёт о чём-то музыкальном. А знаете ли вы, почему клавиши расположены именно таким образом, а не иначе? Почему белых клавиш семь, а чёрных пять? Давайте разбираться…
Где купить частотомер?
Чтобы разобраться в этом вопросе, нам потребуется помощь физики и математики. Начнём с того, что у каждого музыкального звука на фортепиано есть физическая характеристика – частота, а измеряется она в особых единицах – герцах (Гц). Например, нота «ля» первой октавы обладает частотой в 440 Гц. Для измерения частоты используется специальный физический прибор – частотомер или осциллометр,то есть «счётчик колебаний».
Если хотите, вы тоже можете купить себе для экспериментов частотомер, стоит он недорого – только за ним нужно бежать вовсе не в магазин научного оборудования, а в магазин музыкальных инструментов. И называется он там не «частотомер», а «тюнер», то есть «инструмент для настройки» – но на самом деле тюнер представляет собой самый обычный частотомер, только чуть-чуть переделанный. Встроенный микрофон «слушает» ноту, которую мы играем или поём, и показывает нам её высоту на маленьком экранчике. Для настройки струн скрипки или гитары – самая удобная штука на свете!
Впрочем, если вам лень отправляться в магазин или вы не хотите тратить лишние деньги, можно воспользоваться достижениями современных технологий. Например, скачать для своего смартфона маленькое бесплатное приложение «Тюнер и метроном». Или «Sound Analyzer Free», или «Frequency Counter», таких приложений много, просто «Тюнер и метроном» – самое наглядное и (главное) весьма точное. Нажимаем на кнопочку «Тюнер» – и пожалуйста, вот вам прекрасный частотомер для экспериментов со звуком!
Первый эксперимент: что такое октава?
Если поднести частотомер к пианино, и нажать на клавишу «ля» первой октавы, то прибор покажет нам на экранчике частоту 440 Гц (если, конечно, пианино настроено и исправно). А теперь нажмём на клавишу «ля» второй октавы – прибор покажет нам частоту 880 Гц. Как любопытно, правда? Ведь 880 – это 440, умноженное на 2!
Может быть, это совпадение?
Нажмём на клавишу «ля» малой октавы и снова посмотрим на экранчик тюнера. Он тут же покажет нам частоту 220 герц. А 220 – это 440, разделённое на 2!
Значит, не совпадение, а строгая закономерность… Если мы продолжим наши эксперименты с нотами «ля» по всей клавиатуре пианино, получим такую вот таблицу частот:
Посмотрите, с помощью простых наблюдений за частотомером мы открыли один из самых главных законов теории музыки: частота нот на расстоянии одной октавы отличается ровно в два раза. Хотите ноту на октаву выше? Умножьте частоту на 2. Хотите ноту на октаву ниже? Разделите частоту на 2. Хотите ноту на две октавы выше? Умножаем частоту на 4, легко и просто!
Второй эксперимент: что такое квинта?
Хорошо. Если умножить частоту на 2, получим октаву вверх. Если умножить на 4, получим две октавы вверх. А что будет, если умножить частоту на 3?
Шикарный вопрос! Снова берём ноту «ля» 1-й октавы, частота равна 440 Гц. 440 умножить на 3 равно 1320. Какая это будет нота? Снова берём наш частотомер и находим ноту на клавиатуре пианино банальным методом перебора («научного тыка»). Оп! Есть! Это нота «ми» третьей октавы! Опустим её на октаву вниз, то есть разделим на 2, и получим частоту 660 Гц – «ми» второй октавы. Ноты «ля» первой октавы и «ми» второй октавы образуют красиво звучащий музыкальный интервал, квинту. Именно по квинтам, например, настраиваются струны скрипки. А если мы опустим нашу ноту «ми» ещё на октаву вниз (то есть разделим на 4), то получим «ми» первой октавы, 330 Гц.
Итак, чтобы получить квинту вверх, нам нужно нашу частоту умножить на 3 и разделить на 2, или умножить на дробь 3/2. А если мы умножим нашу частоту на обратную дробь, то есть 2/3? 440 умножить на 2 и разделить на 3 будет примерно 293. Опять включаем частотомер и ищем эту частоту на клавиатуре пианино… Есть! Вот она! Это нота «ре» первой октавы – а нота «ре» образует от ноты «ля» в точности такую же квинту, только сыгранную вниз! Получается, что ноты, из которых можно составлять красивые мелодии и вообще музыку, образуются не «сами по себе», не случайно, а по строгим математическим законам! Вот это да!
И все остальные ноты…
От ноты «ре» (дробь 2/3) отложим квинту вниз, и получим ноту «соль» (дробь 2/3 х 2/3 = 4/9) – только очень низкую. Чтобы вернуть её «на место», поднимем её вверх на октаву с помощью уже привычного умножения на 2, получим 4/9 х 2 = 8/9. Частота ноты «соль» – 391 Гц. А если мы снова (ну, как с квинтами!) перевернём дробь, то есть возьмём не 8/9, а 9/8? Получим 495 герц, то есть ноту «си» первой октавы!
От ноты «соль» (4/9) возьмём ещё квинту вниз и снова поднимем на октаву (получим дробь 16/27) – здравствуйте, перед нами самая настоящая нота «до». Наконец, взяв квинту вниз от «до» и подняв на 2 октавы (дробь 64/81), мы получаем последнюю недостающую ноту – «фа» (348 гц). Смотрите, какая у нас получается таблица:
Итак, перед нами все «семь звонких нот», «до-ре-ми-фа-соль-ля-си-до», которые образуют так называемый «диатонический звукоряд». Именно эти ноты стали «белыми» клавишами на пианино. Диатонический звукоряд (диатоника) в основном используется в народных инструментах – например, ирландской свистковой флейте (фейджоге, или тинвистле).
Нужны ещё пять!
Исполняя музыку на различных инструментах, древние музыканты пришли к выводу, что семи нот им всё-таки мало, что в диатоническом звукоряде «чего-то не хватает». Звуковые расстояния между нотами были на слух явно разными: между нотами «до» и «ре» – целый тон. Между нотами «ре» и «ми» – снова целый тон. А вот между нотами «ми» и «фа» – уже не тон, а половина тона! Дальше: «фа-соль» – тон, «соль-ля» – тон, «ля-си» – тон, а вот между «си» и верхней «до» – опять не тон, а только половинка! И тогда музыканты решили «дополнить» диатонический звукоряд дополнительными (по-латыни «альтерированными») звуками, вставив их на те места, где расстояние между «обычными» нотами составляло целый тон:
1) между «до» и «ре»
2) между «ре» и «ми»
3) между «фа» и «соль»
4) между «соль» и «ля»
5) между «ля» и «си»
Как видите, всего получилось пять дополнительных нот, именно они и превратились в чёрные клавиши фортепиано! Вместе с дополнительными нотами (5 нот) диатонический звукоряд (7 нот) превратился в так называемый хроматический (всего 12 нот).
Так чёрные они или белые?
Самые древние клавиатуры для инструментов типа фортепиано (ни пианино, ни роялей в те далёкие времена ещё не было) делали из обычного дерева (даже нелакированного), и никто особо не задумывался, какого цвета они должны быть. Как мастер покрасил – такими они и были, часто их вообще не красили. Однако со временем появилась мода основные клавиши красить в один цвет, а дополнительные – в другой. Причём, что интересно, сперва те клавиши, которые мы называем «белыми» (основные), часто были не белыми, а чёрными! А дополнительные (то есть «чёрные») были, наоборот, белыми! Посмотрите на этот старинный клавесин, построенный в Париже в 1683 году – клавиатура у него раскрашена «шиворот-навыворот»!
Окончательно привычный нам внешний вид клавиатуры фортепиано утвердился только к началу XIXвека – тогда все мастера стали делать «белые» клавиши белыми, а «чёрные» – чёрными. Однако является ли такая раскраска обязательной, принципиально важной? Вообще говоря, нет. Опытные музыканты играют, совсем не глядя на клавиатуру, так что им, по большому счёту, абсолютно неважно, в какие цвета раскрашены клавиши инструмента. Если кому-то интересно, то пускай будут хоть рыже-зелёно-малиновые! Так что многие фирмы-производители даже сегодня экспериментируют с цветом клавиш для получения большего эффекта на сцене – посмотрите на суперсовременный синтезатор Roland AX-Edge на картинке. У этой модели, как видите, все клавиши – и «чёрные», и «белые» – абсолютно чёрного цвета!
А вот ещё один ультрасовременный вариант «пианино» – ROLI Seabord Grand. У него не просто все клавиши чёрные, а ещё и образуют единую гладкую игровую поверхность, где вообще нет отдельных клавиш для нажатия! Чудеса, да и только…
