Как найти частоту собственных колебаний стержня

Ударом или иным способом в каждом твердом стержне можно возбудить продольную упругую волну, распространяющуюся вдоль его длины. От противоположного конца стержня эта волна отразится, и, таким образом, весь стержень придет в колебательное состояние, изображаемое стоячей волной. Это колебательное состояние будет свободным, так как оно возникнет благодаря кратковременному импульсу и будет далее продолжаться без действия внешних сил. Ряд сведений о характере этих свободных колебаний мы получим, если положим известной длину стержня и укажем способ его закрепления. Длина стержня и способ его закрепления дают нам так называемые граничные условия. Они сводятся к следующему: в закрепленном месте стержня существует узел стоячей волны, на открытом конце стержня образуется пучность стоячей волны.

Рассмотрим несколько способов возбуждения продольных свободных колебаний в стержне с длиной

Стержень, закрепленный в обоих концах.

В этом случае на концах стержня должны образоваться узлы волны смещений. Так как расстояние между узлами равно половине длины волны, то возможные длины волн связаны с длинои стержня условием т. е. где любое целое число.

Используя для скорости упругой волны выражение и вспоминая связь частоты с длиной волны, получим выражение для собственных частот свободных продольных колебаний стержня

Прежде всего необходимо подчеркнуть принципиально новый для нас результат. Сплошное тело имеет не одну, а множество собственных (характеристических) частот колебания. Соответственное этим разнообразны возможные свободные колебания стержня. Стержень может также совершать негармонические колебания с любым спектром, составленным из частот

Частота является основной частотой колебания стержня. Ей соответствует колебательное движение с условием Это значит, что при основном колебании центр стержня лежит в пучности стоячей волны, а узлов между концами стержня нет. Колебанию во втором обертоне (вторая гармоника) соответствует условие Теперь в центре стержня имеется узел. Если возбуждена третья гармоника, то между концами стержня будут лежать два узла, и т. д.

Пример. Для железного стержня длиной основная частота Гц.

Стержень, открытый с обоих концов.

Если стержень подвесить на нитях, а затем возбудить в нем колебания, то возникшая стоячая волна должна удовлетворять условию: на обоих концах стержня существует пучность. Так же как и в предыдущем случае, между длиной стержня и длинами волн возникает связь: Следовательно, формула собственных частот будет той же самой.

Отличие от предыдущего случая заключается в распределении узлов и пучностей. В основном колебании центр стержня покоится (узел). Если возбуждена вторая гармоника, то в центре стержня будет пучность, далее через четверть длины волны — узлы и на краях — пучности.

Стержень, закрепленный в одном конце.

В этом случае на одном конце должен быть узел, а на другом — пучность. При колебании с основной частотой стержень имеет форму, соответствующую одной четверти периода синусоиды. Так как расстояние между узлом и пучностью равно то связь между длинами волн и длиной стержня дается условием

Собственные частоты колебаний такого стержня выразятся формулой

Если в первых двух случаях частоты относились друг к другу, как целые числа, то теперь отношение частот дается отношением нечетных чисел.

Стержень, закрепленный в середине, будет в этом месте иметь узел, а на концах — пучности. Задача ничем не отличается от рассмотренной.

Граничные условия, которые использовались при рассмотрении колебательного состояния стержней, являются предельным случаем граничных условий отражения волн, изложенных на стр. 111., Как было выяснено ранее, при отражении от границы, отделяющей среду от среды с большим сопротивлением, происходит отражение волны смещения с потерей полволны. Если стержень закреплен, то волна вовсе не проникает во вторую среду. В этом случае можно говорить о бесконечно большом сопротивлении второй среды. Коэффициент отражения становится равным единице и отражение происходит с лотерей полволны. Нетрудно видеть, что это соответствует наличию узла на границе двух сред. Отражение волны от незакрепленного конца стержня соответствует отражению от среды с нулевым сопротивлением. Равенство коэффициента отражения единице – и отсутствие потери полволны приводят к необходимости существования пучности на такой границе.

Продольные собственные колебания могут быть также возбуждены в столбах жидкости и столбах газа.

Рассмотрим расчетные
схемы, которые относятся только к плоским
стержневым системам.

Собственная частота,
соответствующая k-й форме изгибных
колебаний стержневых систем с учетом
массы теплоносителя, определяется (см.
также (9.11)) по формуле

(11.5)

где

f_к — число
колебаний в 1 с;

— k-й корень частотного уравнения;
EI — изгибная
жесткость; m_c и m_т —
погонная масса стержня и учитываемого
теплоносителя соответственно.

Для составления
частотного уравнения используют общее
выражение собственных форм изгибных
колебаний

X(x)
= C₁S(x)
+ C₂T(x)
+ C₃U(x)
+ C₄V(x),
(11.6)

где X(x)
— функция координаты x, принимающая
значение от 0 до l; С₁, С₂,
С₃, С₄ — произвольные
постоянные, определяемые граничными
условиями; S(x),
T(x), U(x),
V(x) —
табулированные функции Крылова,
определяемые выражениями

(11.7)

В
качестве граничных условий в опорных
сечениях стержня принимают значения:

– прогиба Х(0,l);

– угла поворота
X (0,l);

– момента EIX (0,l);

– перерезывающей
силы EIX (0,l),
где Х (0,l);
Х (0,l);
Х (0,l)
— первая, вторая и третья производные
от уравнения (11.6) (могут быть получены
по справочным данным, например, в
справочнике «Вибрации в технике» (М.,
1978. Т. 3).

С
учетом (11.6), (11.7) и граничных условий
получают систему из четырех уравнений
и составляют определитель из коэффициентов
при постоянных С₁,
С₂,
С₃
и С₄,
который приравнивают нулю. Раскрытие
определителя дает частное уравнение,
корнями которого является множество
значений (l)_k.
Для оценочных расчетов ограничиваются
нахождением первых двух-трех корней
(l),
соответствующих основным формам
колебаний. Число подлежащих учету корней
частотного уравнения определяется
шириной спектра нагрузок, способных
вызвать сколько-нибудь заметные вибрации.

Для типовых расчетных
схем стержневых систем и балок с
различными условиями закрепления в
табл. 11.1, 11.2. приведен для примера ряд
значений корней частотных уравнений,
соответствующих основным формам
колебаний.

Приведенные в нормах
[1, см. приложение 1] более полные таблицы
содержат также значения корней частотного
уравнения Г-образных участков стержней
в зависимости от угла гиба 
для определения основной собственной
частоты колебаний в плоскости,
перпендикулярной плоскости гиба. В [9]
содержатся таблицы значений корней для
многоопорных труб (стержней) 

Таблица 11.1

Значения l стержней с различными условиями крепления [1]

Схема стержня	Номер формы колебаний
1	2	3	4
Оперт — оперт	3,142	6,283	9,425	12,566
Защемлен — защемлен	4,730	7,853	10,996	14,137
Защемлен — оперт	3,927	7,069	10,210	13,352
Защемлен — свободен	1,875	4,694	7,855	10,996

В расчетах стержневых
систем со ступенчатым изменением сечений
при наличии промежуточных опор и
дополнительных масс при составлении
частотных уравнений учитывают условия
сопряжения смежных участков.

Аналитические условия
сопряжения записывают в виде:

– равенства
перемещений Х_– = Х₊;

– углов
поворота X _–
=
X ₊;

– моментов
(EIX )_–
=
(EIX )₊;

– перерезывающих
сил с учетом реакций опор и сосредоточенных
массовых нагрузок (EIX )_–
=
(EIX )₊
±
R.

В табл. 11.2 приведены
значения первых корней частотных
уравнений для типовых стержней с
промежуточными опорами и сосредоточенными
массами.

Таблица 11.2

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

, (17)

где – плотность материала.

Продольные колебания балки

Рис. 2

Согласно закона Гука, продольную силу S можно выразить как

, (18)

где – продольное напряжение;

Е – модуль Юнга;

– осевая деформация.

Тогда

. (19)

Подставляем выражение 19 в 17:

После приведения подобных имеем:

.

В левой части возьмем производную и разделим обе части на dx. После некоторых преобразований получим

, (20)

где – скорость распространения звука в материале.

Уравнение (20) является одномерным волновым, подчеркивая то обстоятельство, что при продольных колебаниях контур перемещений распространяется в осевом направлении со скоростью а, т.е. со скоростью распространения звука в материале. Волновое решение этой задачи имеет вид:

и представляет некоторую произвольную функцию от х, перемещающуюся со скоростью а. Можно показать, что это уравнение удовлетворяет уравнению (20), для чего найдем соответствующие производные этой функции:

Подставив эти выражения в уравнение (19):

,

получаем тождество, следовательно, это уравнение удовлетворяется. Более общая форма волнового решения имеет вид:

, (21)

где первое слагаемое представляет собой функцию f₁(x), перемещающуюся в положительном направлении оси х, а второе слагаемое состоит из функции f₂(x), перемещающейся в отрицательном направлении оси х.

При решении задач о продольных колебаниях балки вместо общего решения (21) принимается решение в форме:

, (22)

где А и В – произвольные постоянные;

р – круговая частота.

В зависимости (22) содержится время t, для того, чтобы перейти к координате х, проделаем следующие операции: разрешим уравнение (20) относительно функции Х, описывающей форму собственных колебаний, для чего осуществим подстановку уравнения (22) в уравнение (20). Для этого найдем соответствующие производные:

Выполним подстановку в (20):

.

Решением данного уравнения относительно функции Х будет:

.

Для рассматриваемого случая (рис. 2,а) стержень имеет незакрепленные концы, на которых продольная сила, пропорциональная , равна нулю на каждом конце. Таким образом, концевые условия будут иметь вид:

Для того, чтобы удовлетворить первому условию, возьмем производную

.

Так как при х=0 в ноль обращается первое слагаемое, а во втором слагаемом cos0=1, то следует принять, что D=0.

В таком случае

Для удовлетворения второго условия возьмем производную при . Если считать, что , тогда

получим ,

т.е. существует нетривиальное решение только при

. (23)

Это соотношение представляет частотное уравнение для рассматриваемого случая, откуда можно найти частоты собственных форм продольных колебаний стержня с незакрепленными концами. Уравнение будет удовлетворяться, если положить

, (24)

где i–целое число. Принимая i=0,1,2,3,…, можно получить частоты различных форм продольных колебаний. Значение i=0 соответствует частоте, равной нулю, что означает перемещение стержня как абсолютно жесткого тела в направлении оси х. Частоту основной формы колебаний можно найти, положив в равенстве (24) i=1, что дает

. (25)

Соответствующий период колебаний

.

Форма колебаний будет иметь вид:

. (26)

Найдем форму колебаний для второй частоты:

(27)

На рис. 3.3 показаны формы колебаний при i=1,2.

Формы продольных колебаний стрежня

Рис 3

При действии продольных сил продольные элементы будут иметь продольно изгибные колебания. А поперечные балки будут при этом подвергаться изгибу в двух плоскостях и кручению. Поэтому рассмотрим поперечные колебания стержня в плоскости xy. Возьмем стержень длиной , выделим бесконечно малый элемент длиной dx на расстоянии х от левого конца стержня и обозначим через у поперечное перемещение малого элемента (рис. 4,а). Рассмотрим силы, действующие на бесконечно малый элемент при поперечных колебаниях (рис. 4,б).

Поперечные колебания стержня

Рис. 4

Слева на элемент действуют – поперечная сила V и изгибающий момент М, а с правой стороны – сила и момент , где вторые слагаемые являются приращениями поперечной силы и изгибающего момента по длине элемента dx. Составим уравнение равновесия сил, действующих в направлении оси у, при этом учтем силу инерции, и получим:

(28)

и уравнение равновесия моментов:

,

отсюда

. (29)

Из теории изгиба стержней момент равняется:

. (30)

Подставляя (30) в (29) и далее в (28), получаем:

. (31)

Данное уравнение является уравнением поперечных свободных колебаний стержня. Так как жесткость стержня EI не зависит от х, то уравнение (31) примет следующий вид:

;

проведем преобразования и получим

, (32)

где – скорость распространения поперечных волн в продольном направлении.

Аналогично продольным колебаниям примем форму колебаний в виде:

.

Подставим данное уравнение в (32), для этого найдем соответствующие производные:

Выполним подстановку в (32):

. (33)

Так как дифференциальное уравнение (33) четвертого порядка, то для его решения нужно провести следующее преобразования:

и . (34)

Тогда уравнение (33) примет вид:

.

Из данного уравнения видно, что величина n может принимать следующие значения: где . Тогда его общее решение примет следующий вид:

.

Полученное выражение можно записать в следующей эквивалентной форме:

.

Для удобства решения данного уравнения возьмем вариант записи общего решения в виде, предложенном академиком Крыловым А.М. /10/:

, (35)

где – функции Крылова.

Для функций Крылова справедливы следующие правила дифференцирования:

Постоянные С_i, входящие в выражение (35), являются произвольными и определяются в каждом конкретном случае в соответствии с условиями закрепления на концах стержня:

– для шарнирно закрепленного конца прогиб и изгибающий момент равны нулю, что означает ;

– для защемленного конца равны нулю прогиб и угол наклона, что означает ;

– для свободного конца обращаются в нуль изгибающий момент и поперечная сила; в результате получаем

Так как у стержня два конца, то, записывая концевые условия для них, можно всегда найти постоянные величины , а найдя их, определить частоты и формы колебаний.

В данном разделе показано точное решение свободных колебаний балки. В следующем разделе для оценки точности решения задач на собственные колебания методом конечных элементов был решен тестовый пример.

Решение тестовой задачи о собственных колебаниях балки

Для доказательства правильности выбранного численного метода решения задачи на собственные колебания балки автором было произведено решение тестовой задачи. В качестве образца была взята балка длиной 1 метр, высота и ширина поперечного сечения по 0.02 метра, материал с модулем Юнга 2.1·10¹¹ Па, плотностью 7850 кг/м³. Решение производилось тремя способами: аналитически по зависимостям метода конечных элементов для одного элемента (рис. 1) и по зависимостям МКЭ с помощью программного комплекса ANSYS. В качестве выходной информации сравнивались частоты собственных колебаний и их форма.

Аналитическое решение. Для определения собственных частот продольных колебаний была взята незакрепленная балка (рис. 3,а). Линейная частота определялась из зависимости (25), для чего была сделана следующая операция: делилось выражение (25) на 2 и получили линейную частоту:

. (36)

Найдем две первых частоты

,

.

Форма колебаний описана уравнениями (26) и (27):

.

.

Найдем значения Х на концах стержня:

при х=0 ,

при х= .

Формы колебаний показаны на рис 3.

При определении собственных частот изгибных колебаний была взята свободно опирающаяся на краях балка (рис. 5).

Балка, свободно опирающаяся на краях

Рис 5

Концевые условия для данного случая будут иметь следующий вид:

при х=0 и х=

Решим при х=0:

Так как и , то, чтобы Х=0, принимаем .

Решим при х= , учитывая что :

Проведем преобразования и получим

(37)

Чтобы не были равны нулю, необходимо, чтобы был равен нулю определитель системы (37), т.е.:

Так как , то решение примет следующий вид:

, (38)

где i–целое число.

Это соотношение представляет частотное уравнение для рассматриваемого случая, откуда можно найти частоты собственных изгибных колебаний стержня. Принимая i=0,1,2,3,…, можно получить частоты различных форм изгибных колебаний. Учитывая выражение (34), получим:

.

Для того, чтобы получить линейную частоту, поделим данное выражение на и получим:

. (39)

Найдем первые две частоты колебаний:

,

.

Для определения формы колебаний произведем следующие вычисления. Из первого уравнения системы (37) получим:

; т.к. , то

* г = /з (■” > г, ф, 5, Но, Рс 0, Рс, Ей, Еп, Яс, Иг, Ро, П т, П №, П а, Р), Уф = /4(Г,г,<р,2, Но, Рсд , Рс, Ей, Еп,Кс,Рг,Ро,Пт,П(у ,П0,р), г2 = /5((~, г, (р, г, Но, Рср, Рс, Ей, Еп, Ис, Бг, Ро, П т, П ¡у, Па, Р),

р = /(¡{¿,г, Ф, г, Но, Ре £,, Ре, Ей, Еп, Яе.Рг.Ро.П^.Пи/.П^.Р).

Анализ полученной системы уравнений показывает, что предложенная экспериментальная установка будет моделировать процессы в баке ракеты при работе термической системы обезвреживания только при равенстве всех критериев подобия для установки и бака ракеты. Проведенный численный их анализ показал, что уменьшение масштаба установки по сравнению с баком не представляется возможным и только в частном случае, когда процесс термического обезвреживания внутри бака происходит в условиях асимметричных вдоль продольной оси, то представленная экспериментальная установка будет моделировать процесс происходящий в секторе с углом ф. Кроме того полученная система уравнения может служить основой для численного математического моделирования реакторов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Сформулирована математическая модель гетерогенного горения с учетом межфазного взаимодействия жидкой и газообразной фаз.

2. Предложена математическая модель термической системы обезвреживания остатков КРТ в баке отработавшей ступени РН «Космос».

3. Показано, что процесс термического обезвреживания в баке ракеты можно моделировать на пилотной установке упрощенной конструкции.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шалай В.В., Корнеев С. А. Математическое моделирование тепломассообменных процессов в двухфазных системах газ – жидкость / в настоящем сборнике.

ШАЛАЙ Виктор Владимирович – кандидат технических наук, доцент, зам. зав. кафедрой «Автоматические установки»

КОРНЕЕВ Сергей Александрович – кандидат технических наук, доцент, докторант ОмГТУ, кафедра «Основы теории механики и автоматического управления» ДУБОНОСОВ Анатолий Павлович – зам. главного конструктора.

ЧАРУШИН Михаил Иванович – аспирант ОмГТУ, кафедра «Автоматические установки»

РОТОВА Оксана Геннадьевна – аспирантка ОмГТУ, кафедра «Автоматические установки»

н.и.лаврович собственные частоты

Омскии государственный ^

технический университет колебаний стержней

УДК 534.014.1

Собственные частоты колебаний являются важной характеристикой изделия. На этапе проектирования конструкции их обязательно определяют для того, чтобы либо избежать резонанса на рабочих режимах эксплуатации, либо, наоборот, использовать его эффект. Кроме того, собственные частоты используются для определения состояния изделия, например, широко распространен частотный контроль для определения качества изделий из хрусталя, фарфора, а в настоящее время широко используется такой контроль, например, для турбинных и компрессорных лопаток.

С течением времени в любом изделии происходят изменения геометрии и физико-механических свойств материала. Причины могут быть разные, например, статические, динамические, температурные воздействия, коррозия, усталостное старение и т.д. Наибольший интерес представляют поперечные колебания изделий, которые обобщенно можно представить в виде некоторого стержня с консольным закреплением.

В теории колебаний поперечные колебания стержней, как систем с распределенными параметрами, описываются дифференциальным уравнением

В СТАТЬЕ РАССМАТРИВАЮТСЯ МЕТОДЫ РАСЧЕТА СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЕЙ И ДАЮТСЯ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ ИХ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ МАТЕРИАЛА И КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА ДЕТАЛЕЙ.

представляется в форме Фурье

У(х,1)=у,(х) . у20), (2)

подставляя (2) в (1) и преобразуя, получаем следующее уравнение упругой линии:

у^х^с, сЬ г,х + сгБЬ г,х + С3С05 г,х + с4вт г,х (3)

Из условия закрепления стержня получают

трансцендентное уравнение относительно г, и г,, допускающее множество решений. Наибольший интерес представляет решение , при котором гн . £ =СС,, где £ -рабочая длина стержня, (X 1 – параметр, определяющий вид упругой линии при ¡-х главных колебаниях.

Решив (1), получим [1]

Р, =

(4)

г.,д4У д2у , (, Ек

(1)

)ск 2 Л

у(х,1) – динамическое уравнение упругой линии стержня; Е, С – модули упругости материала 1го и 2го рода соответственно;

(1,р- погонная и удельная массы соответственно; и- осевой момент инерции поперечного сечения; к – коэффициент неравномерности распределения касательных напряжений по высоте поперечного сечения. При решении уравнения (1) первый интеграл обычно

2С’Лср-

Зависимость (4) имеет сложную структуру и неудобна для практического использования.

Обычно поступают более простым способом и не учитывают влияния инерции поворота поперечного сечения и сдвига, то есть ограничиваются двумя первыми членами уравнения (1), это означает переход к эквивалентной системе с сосредоточенными параметрами. В этом случае выражение для определения частоты собственных колебаний стержня имеет вид

(5)

Точность определения собственных частот колебаний по выражению (5) невысока, но вполне удовлетворительна для длинных стержней.

Недостатками приведенных выше выражений для определения собственных частот колебаний стержней

являются высокая сложность, низкая точность и самое главное, что ^ Е, в являются величинами, переменными во времени, они как раз характеризуют изменение физико-механических свойств в материале, появление и накопление усталостных повреждений. При этих условиях решить уравнение (1) в явном виде вообще невозможно, необходимо использовать другую модель для расчета собственных частот колебаний стержней.

Предлагается провести эквивалентную замену колебательной системы с распределенными параметрами на систему с сосредоточенными, то есть массу стержня привести в одну точку, а сам стержень считать невесомым, но имеющим те же упругие характеристики. В этом случае возникает проблема сточным определением приведенной массы стержня.

Рассмотрим в качестве предлагаемой модели простейший вибратор, представляющий собой консольно закрепленный стержень прямоугольного поперечного сечения (рис. 1). Уравнение движения точки А вибратора, максимально удаленной от заделки, имеет известный вид

т„„/(г)+я(/)у(/) +л:(<МО = о,

где тпр- приведенная масса вибратора в точке А;

(6)

В(() – коэффициент, характеризующий демпфирование;

К.(1) – коэффициент, характеризующий жесткость вибратора.

Решения уравнения (6) имеют следующий вид [2]

[щГ

-/(Кг)<(г

( ‘ -сое

г +/

о>,(//к О-/32(0+7:6″

1йЗ(()

(7)

(8)

4 йг(0 2 й)(/)’

где уЛ- максимальная амплитуда колебаний стержня в точке А;

= приведенный коэффициент,

характеризующий демпфирование;

ф,(г) – частота ¡-х главных колебаний вибратора;

частота колебаний в начальный момент

времени;

Р – собственная частота колебаний

стержня;

]- фазовый угол. Учитывая, что /3(/) и <в(/) непрерывные, дифференцируемые функции, медленно изменяющиеся во времени, то можно пренебречь величинами более высокого порядка малости и выражение (8) преобразуется к виду:

со,(,) = ^Рг-р(1)-рЧ,) (9)

В большинстве случаев нас интересуют главные колебания на 1-й гармонике.. В нашем случае собственная частота основной гармоники колебаний вибратора, имеющего прямоугольное поперечное сечение, находится из следующего выражения: [3]

Еа-Ь3

(10)

При малых амплитудах колебаний принято считать, что

ш(0а/»(0

Теоретически т находится следующим образом (Рис. 1) [3]

(к,

4 ‘ Е]

[ в х] <2?:- я?

—-х+-

С 2 3

Ул £/’ 3

(13)

где О- мгновенная сила, приложенная в точке А и изгибающая вибратор до амплитуды уЛ.

Подставляя (12) и (13) в (11) и, интегрируя, получаем для стержней постоянного поперечного сечения следующую зависимость

»!„„ = 0,2357-т, (14)

где т = ц ■(. – масса рабочей части образца. Таким образом, теоретический коэффициент приведения массы оказался равным «^=0,2357. Определяя собственные частоты колебаний стержней по зависимостям (9), (10) и (14) можно получить результаты, несколько отличающиеся от действительных. Это связано с несоответствием между теоретическим и экспериментальным коэффициентами приведения масс. В основном на величину К^ влияют геометрия стержня £, а, Ь, упругие свойства материала и условия крепления.

В лаборатории надежности ОмГТУ проводились исследования по определению действительного коэффициента приведения массы, при котором собственные частоты колебаний стержней находятся по выражению (10) с высокой точностью. На рис.1 показана принципиальная схема устройства для проведения испытаний. Испытываемые образцы 1 устанавливались в специальное крепление 2, позволяющее менять рабочую длину образца £ от 0 до 300 мм, и закреплялись при заданной длине, причем усилие прижима увеличивалось до тех пор, пока собственная частота колебаний не становилась постоянной величиной. Далее, свободный конец образца (точка А) отклонялся на заданную величину уЛ и отпускался, образец начинал совершать свободные затухающие колебания. Частота собственных колебаний фиксировалась с помощью специального светового датчика 3, включающего в себя два фотодиода, соосных с 2-мя отверстиями для световых потоков. Датчик 3 устанавливался так, чтобы упругая линия испытываемого образца находилась между двумя фотодиодами. Колеблющийся образец 1 дважды за период перекрывал каждый световой поток, падающий на соответствующий фотодиод. Электрические сигналы, возникающие в световом датчике 3, преобразовывались и через усилитель 4 подавались на частотомер (43-34), работающий в режиме измерения периода, что значительно повышало точность измерения частоты колебаний. В расчетах использовались только последние показания частоты по частотомеру, то есть при малой амплитуде колебаний, которая определялась расстоянием между двумя фотодиодами.

£ 4

с X 5 4 «о

е 5 а.

(Н)

(12)

Рис.1

Образцы для испытаний изготавливались из различного металла, длины, ширины и толщины. На рис.2 приведены наиболее характерные результаты для образцов из стали 10 толщиной 2, 3, 5 мм и алюминиевого сплава Д-12 толщиной 2 мм. Ширина представленных образцов была равна 30 мм. Модули упругости материала образцов определялись предварительно классическим способом при растяжении на прессе в пределах зоны пропорциональности напряжений и относительных деформаций.

Для наглядности на рис.2 представлены только результаты аппроксимации экспериментальных данных,

полученных методом линеаризации. В результате анализа можно сделать следующие выводы:

(.Ширина образцов незначительно влияет на коэффициент приведения массы.

2. Чем больше отношение толщины образца к длине, тем ближе коэффициент приведения массы, полученный экспериментально, к теоретической величине.

3. Чем меньше длина образца, тем больше К^.

4. Повышение модуля упругости материала приводит к увеличению коэффициента приведения массы.

Таким образом, показано, что для точного определения собственных частот стержневых систем вполне пригодна модель с сосредоточенными параметрами и решением (10) с экспериментальными поправками, приведенными на рис. 2.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Результаты исследования нашли свое практическое применение. Было разработано устройство (защищенное авторским свидетельством на изобретение), позволяющее проводить экспресс-анализ упругих свойств материала стержней. Устройство и методика экспресс-анализа были внедрены в промышленности.

Проведенные исследования позволяют использовать собственные частоты колебаний стержней для контроля

степени упрочнения, толщины покрытий и изменения физико-механических свойств материала с течением времени. Кроме того, с учетом результатов, полученных в [4-6], их можно использовать для контроля усталостной повреждаемости материала, повышения предела выносливости путем циклического тренинга и оценке возможности дальнейшего использования изделия, после отработки назначенного ресурса.

Литература

1. Дубко А.Н. Обобщенное решение задачи об определении частот собственных поперечных колебаний однородных прямых стержней // Вестник машиностроения. -1983. -№6. – С. 37-38.

2. Наумов В.А., Асауленко А.П., Паврович Н.И. Закономерности простейшей колебательной системы с медленно изменяющимися параметрами. Расчеты на жесткость и прочность в машиностроении: Межвузовский сборник научных трудов ОмПИ. – Омск: ОмПИ, 1981. – С. 52-56.

3. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний.-М.: Наука, 1964,-473с.

4. Самарин В.К. Возможности контроля повреждаемости по изменению частоты собственных колебаний образцов // Проблемы прочности. -1978. – №6. – С. 61 -64.

5. Лаврович Н.И. К вопросу о контроле усталостной повреждаемости материала. – М., 1988. – 15 с. – Деп. в ВИНИТИ 16.06.88, №4758.

6. Лаврович Н.И. Оценка надежности и долговечности деталей по параметрам колебательного процесса. Динамика систем, механизмов и машин : Тез. Докл. Международн. Конферен. 26-28 октября 1999 г. – Омск, 1999.-С. 88-89.

ЛАВРОВИЧ Николай Иосифович – к. т. н., доцент, докторант ОмГТУ (каф. “Сопротивление материалов”).

авв”ч!рня™ов экспериментальные исследования ориентирования зерна

УДК 631.362 на решете, совершающем

бигармонические колебания

СТАТЬЯ СОДЕРЖИТ МЕТОДИКУ И РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ ПРОЦЕССА ОРИЕНТИРОВАНИЯ ЗЕРНА ПШЕНИЦЫ НА ПЛОСКОМ СОРТИРОВАЛЬНОМ РЕШЕТЕ ЗЕРНООЧИСТИТЕЛЬНОЙ МАШИНЫ. ОПРЕДЕЛЕНЫ РЕЖИМЫ, НА КОТОРЫХ ОРИЕНТИРУЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ПЛОСКОГО КАЧАЮЩЕГОСЯ РЕШЕТА ПРИ БИГАРМОНИЧЕСКИХ ЕГО КОЛЕБАНИЯХ НАИБОЛЬШАЯ.

Работа плоского решета включает в себя два взаимосвязанных процесса: транспортирование зерна и его сепарация через отверстия. На нее влияют четыре фактора: силы, действующие на зерно; режим относительного движения зерна по решету; предельная скорость зерна по решету; ориентирование зерна на решете.

В [4] предложено ориентацию какой-нибудь частицы определять угловой координатой ф, отсчитываемой от некоторого выбранного направления. Введено стохастическое уравнение вращения частицы:

где ^эффективный момент инерции частицы;

М-момент сил, обусловленных динамическим воздействием среды и внешним ориентирующим полем; ^-эффективный коэффициент вязкости; £ (О-случайное воздействие, обусловленное стесненностью движения частиц со случайно варьируемыми характеристиками.

Данное уравнение является общим для любых рабочих органов, участвующих в процессе сепарации зерна, поэтому оно может не учитывать все тонкости, лежащие в основе ориентирования зерна на плоских решетах.

По данным проф. Летошнева М.Н.[3] следует, что условия при скользящем перемещении семян для решет с продолговатыми отверстиями более благоприятны для разделения, чем при движении с подбрасыванием.

Уравнение колебаний стержня относительно оси проходящей через его конец

Вращательное движение твердых тел

Однородный стержень длиной l = 0,5 м совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальный оси, проходящей через его верхний конец. Найти период колебаний T стержня.

Дано:

Решение:

Стержень, совершающий колебания вокруг оси, проходящей через его верхний конец, представляет физический маятник. Период колебаний физического маятника

Момент инерции стержня находим по теореме Штейнера

Колебания механических систем

3. Колебания механических систем

3.1. Физический маятник

3.1.1. Физический маятник представляет собой однородный стержень длины l = 2 м. Колебания происходят вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его верхний конец.

1. Момент инерции стержня относительно горизонтальной оси колебаний определится как

. (1)

2. Период малых колебаний физического маятника при расстоянии от центра масс до оси колебаний d = l/2, определится посредствам уравнения

. (2)

3.1.2. Физический маятник представляет собой тонкий стержень длиной l = 2 ми массой m0 = 1 кг, на концах которого закреплены свинцовые шарики массами m1 = m2 = 0,5 кг. Маятник совершает малые колебания вокруг оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно его оси. Определить период колебаний.

1. Период колебаний физического маятника определяется уравнением

, (1)

где Jz – момент инерции маятника относительно оси колебаний z, M – масса маятника, lС – расстояние от центра масс маятника до оси.

2. Маятник состоит из двух точечных масс m1 и m2 и массы стержня m0, поэтому его суммарный момент инерции определится как

. (2)

3. Поскольку маятник симметричен, то ось вращения будет проходить через центр масс, т. е. lC = l/2, поэтому период маятника определится следующим уравнением

. (3)

3.1.3. В условиях предыдущей задачи массы шаров равны m1 = 0,3 кг, m2 = 0,6 кг. Определить период колебаний стержня, длина и масса которого остались неизменными.

1. В этом случае момент инерции стержня с шарами определится посредствам уравнения

. (1)

2. Так как на концах стержня закреплены шары разной массы, то ось z, вокруг которой происходят колебания, не будет совпадать с центром масс. Определим положение центра масс маятника

, (2)

, (3)

. (4)

3. Период колебаний маятника

. (5)

3.1.4. Однородный диск радиусом R = 30см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через одну из образующих цилиндрической поверхности диска. Определите период колебаний этого физического маятника.

1. В данном случае расстояние между осью, относительно которой происходят колебания и центром масс диска равно радиусу диска, т. е. lC = R.

2. Момент инерции диска относительно оси, проходящий через образующую диска определяется как

. (1)

3. Период колебаний такого физического маятника будет равен

. (2)

3.1.5. На концах невесомого тонкого стержня длиной l = 1 м укреплены одинаковые грузы. Стержень совместно с грузами колеблется вокруг вертикальной оси, проходящей через точку, удалённую на расстояние d = 0,25 м от одного из грузов. Определить период колебаний маятника и его приведённую длину.

1. Определим расстояние между центром масс и осью z, вокруг которой происходят колебания

. (2)

2. Определим момент инерции маятника

. (3)

3. Период колебаний данного физического маятника

. (4)

4. Приведённая длина маятника определится как

. (5)

3.1.6. На концах невесомого тонкого стержня длиной l = 0,3 м укреплены одинаковые точечные грузы. Стержень совместно с грузами колеблется вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку, удалённую на расстояние d = 0,1 м от одного из концов стержня. Определить период колебаний маятника и его приведённую длину.

1. В отличие от предыдущей задачи, где колебания происходили в плоскости перпендикулярной вектору силы тяжести, т. е. при движении системы потенциальная энергия не изменялась, в данном случае изменение относительного положения грузов будет сопровождаться изменением потенциальной энергии системы. Момент инерции, при этом, определится как

. (1)

2. Период колебаний такого физического маятника, при учёте того, что lC = l/4, будет определяться уравнением (4) предыдущей задачи

. (2)

3. Приведённая длина маятника

. (3)

3.1.7. На невесомом стержне длиной l = 0,3 м закреплены два одинаковых шарика: один в середине стержня, а второй – на одном из его концов. Система тел колеблется около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определить период колебаний и приведённую длину этого физического маятника.

1. Определим положение центра масс данной механической системы

. (1)

2. Найдём далее момент инерции маятника относительно горизонтальной оси вращения

. (2)

3. Приведённая длина физического маятника, с учётом того, что расстояние между центром масс маятника и осью, вокруг которой происходят колебания d = 3l/4

. (4)

4. Период колебаний маятника

. (5)

3.1.8. Физический маятник представляет собой систему трёх точечных грузов, соединённых невесомыми стержнями одинаковой длины l = 0,3 м колеблется вокруг горизонтальной оси, проходящей перпендикулярно плоскости чертежа через общую точку О стержневой системы. Определить период колебаний маятника.

1. Определим положение центра масс относительно оси колебаний, проходящих через точку О

, (1)

. (2)

2. Расстояние между центром масс и осью колебаний составит

. (3)

3. Момент инерции анализируемой колебательной системы относительно оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа

. (4)

4. Период колебаний маятника

. (5)

3.1.9. Тонкий обруч радиусом R = 0,3 м колеблется вокруг вбитого горизонтально в стену гвоздя, так что плоскость колебания параллельна стене. Определить период колебаний такого физического маятника.

1. В данном случае центр масс обруча не совпадает с осью колебаний, для определения момента инерции относительно оси колебаний х, перпендикулярной плоскости чертежа необходимо воспользоваться теоремой Гюйгенса – Штейнера

. (1)

2. Период колебаний обруча

. (2)

3.1.10. Однородный диск радиусом R = 0,3 м колеблется около горизонтальной оси, проходящей через одну из образующих цилиндрической поверхности диска. Определить период колебаний.

1. Так же как и в предыдущей задаче, центр масс диска не совпадает с положением оси х, относительно которой колеблется физический маятник. Для определения момента инерции диска относительно оси х воспользуемся теоремой Гюйгенса – Штейнера

. (3)

2. Период колебаний маятника с учётом того, что d = R, определится посредствам следующего уравнения

. (4)

3.1.11. Диск радиусом R = 0,24 м колеблется вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Определить приведённую длину и период колебаний маятника.

1. По методике, использованной в предыдущих задачах определим момент инерции диска относительно горизонтальной оси х, которая разнесена с осью колебаний на расстояние d = R

. (2)

2. Приведённая длина физического маятника

. (3)

3. Период колебаний

. (4)

3.1.12. Математический маятник длиной l1 = 0,4 м и физический маятник в виде тонкого прямоугольного стержня длиной l2 = 0,6 м синхронно колеблются около одной горизонтальной оси. Определить расстояние d между центром масс стержня и осью его колебаний.

1. Поскольку колебания математического и физического маятников синхронные, то периоды будут одинаковыми

.

3.1.13. Физический маятник представляет собой однородный диск радиусом r = 0,4 м, горизонтальная ось колебаний которого проходит на расстоянии d = r/4 от центра масс диска. Определить период малых колебаний диска.

1. Момент инерции диска относительно оси, проходящей центр масс, определяется уравнением

. (1)

2. Момент инерции относительно параллельной оси, отстоящей на расстоянии d, определим с помощью теоремы Гюйгенса – Штейнера

. (2)

3. Период малых колебаний этого физического маятника запишется следующим образом

. (3)

3.2. Свободные колебания механических систем

3.2.1. Определить частоту малых колебаний тонкого однородного стержня массой m = 1 кг длиной l = 1 м вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О, если противоположный конец стержня присоединён к пружине жёсткости k = 100 Н/м. В статическом положении стержень вертикален и пружина не деформирована.

1. Момент инерции стержня относительно оси колебаний

. (1)

2. Рассматриваемая конструкция физического маятника в соответствие с уравнением (1) имеет следующее значение приведённой массы

(2)

3. Циклическая частота колебаний стержня при условии равенства расстояния от оси колебаний до центра масс d = l/2 определится уравнением

. (3)

4. Циклическая частота собственных колебаний стержня, один конец которого присоединён к пружине жёсткостью k

. (4)

5. Период собственных малых колебаний физического маятника

. (4)

3.2.2. Однородный стержень массой m = 1 кг совершает колебания вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О, свободный конец стержня соединён с вертикальной пружиной жёсткости k = 10 Н/м. Определить период малых колебаний физического маятника.

1. Физический маятник в данном случае можно рассматривать как часть массы стержня подвешенной к вертикальной пружине. Присоединённую к пружине массу определим их уравнения момента инерции стержня относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа

. (1)

2. Период колебаний в этом случае запишется как

. (2)

3.2.3. Найти циклическую частоту собственных малых свободных горизонтальных колебаний однородного диска массой m = 0,33 кг, соединённого с пружиной жёсткостью k = 50 Н/м. Качение диска по горизонтальной плоскости происходит без проскальзывания.

1. Если в качестве обобщённой координаты принять горизонтальное перемещение диска х, то уравнение его кинетической энергии можно представить в виде суммы энергии поступательного движения и энергии вращения

. (1)

2. Момент инерции диска относительно оси z, перпендикулярной плоскости чертежа и проходящей через точку крепления пружины к диску

. (2)

3. Подставим уравнение (2) в уравнение (1)

, (3)

приведённая масса, при этом, равна .

4. Определим частоту собственных колебаний

. (4)

3.2.4. Определить собственную частоту колебаний системы, состоящей из упруго закреплённой горизонтальной рейки А, которая лежит на подпружиненном цилиндре В и катке С. Массы рейки m1 = 1 кг и цилиндра m2 = 0,5 кг, жёсткости пружин: k1 = 20 Н/м, k2 = 10 Н/м, радиус качения цилиндра составляет r = 0,2 м. Расстояние от точки крепления вертикальной пружины до оси цилиндра l = 0,22 м.

1. Рассматриваемая в задаче колебательная система имеет одну степень свободы, поэтому положение любой движущейся точки, принадлежащей системе, можно однозначно охарактеризовать одной обобщённой координатой, в качестве которой целесообразно взять линейное перемещение рейки с началом системы отсчёта в положении статического равновесия.

3. При перемещении рейки на расстояние х каток поворачивается на угол .

4. Запишем уравнение кинетической энергии колебательной системы

. (2)

5. Подставим в уравнение кинетической энергии значение момента инерции цилиндра и его угловой скорости

. (3)

. (4)

6. Из уравнения (4) определим приведённую массу (инерционный коэффициент)

. (2)

7. Коэффициент упругости системы определим путём анализа уравнения потенциальной энергии системы

. (3)

8. Коэффициент упругости системы, таким образом, равен

. (4)

9. Циклическая частота собственных колебаний системы

. (5)

10. Собственная частота колебаний

. (6)

3.2.5. Найти циклическую частоту собственных колебаний механической системы, состоящей из балки длиной 2l с грузом на конце массой m = 1 кг. Второй конец балки закреплён шарнирно, в своей средней части балка опирается на пружину жёсткости k =36 H/м.

1. В положении равновесия пружина под действием веса груза деформируется на величину lj0, т. е. на середину балки действует сила упругости

. (1)

2. Уравнение моментов относительно центра шарнирной опоры позволяет определить величину j0

. (2)

3. Предположим далее, что после сообщения грузу импульса угол отклонения балки составит j + j0, что обеспечит действие со стороны пружины силы

. (3)

4. Уравнение вращательного движения балки относительно шарнира будет иметь следующий вид

, (4)

, (5)

. (6)

5. Приведённая масса системы, таким образом, определяется как

. (7)

6. Циклическая частота собственных колебаний

. (8)

3.2.6. Модель крыла самолёта или рулей глубины подводной лодки или торпеды можно представить в виде жёсткой пластинки с шарнирным закреплением одного конца и подпружиненным вторым концом. Пластинка обтекается потоком газа или жидкости со скоростью v, направленной вдоль пластины. Определить критическое значение скорости, соответствующее потере устойчивости пластинкой, т. е. возникновению колебаний.

1. При отклонении пластинки от горизонтального положения статического равновесия, когда на неё действует сила тяжести и реакции опор, возникают силы, обусловленные гидродинамическими давлениями. Главный вектор этих сил, приложенных в сечении пластинки, отстоящем на расстоянии b от упругой опоры

(1)

где СХ, СY – постоянные коэффициенты, r – плотность жидкости или газа, j – угол отклонения пластинки, l – длина пластинки.

2. Момент сил относительно шарнирного закрепления

, (2)

. (3)

3. Дифференциальное уравнение движения

. (4)

4. Условие устойчивости

. (5)

3.2.7. Вычислить кинетическую энергию механической системы, состоящей из пружины массой m и прикрепленного к ней груза массой M, совершающего малые гармонические свободные колебания. Смещение точек пружины пропорционально их расстоянию до подвеса О.

1. Кинетическая энергия колебательной системы будет складываться из энергии возвратно-поступательного движения груза и кинетической энергии движущейся пружины

, (1)

где KМ – кинетическая энергия тела массой М, Km – кинетическая энергия пружины.

2. Если выбрать вертикальную ось oy, направленную вниз, то кинетическую энергию тела можно представить в традиционном виде

. (2)

3. Энергию пружины будем рассматривать, задавшись её длиной в статическом состоянии l и линейной плотностью r (кг/м). Выделим на длине пружины элемент её длины ds, который будет иметь смещения x одинаковые по всей длине пружины и совпадающие со смещениями груза. Это даёт основание записать следующее соотношение

. (3)

4. Кинетическая энергия элемента пружины длины dy определится на основании уравнения (3) следующим образом

. (4)

. (5)

5. Энергию всей пружины определится посредствам определённого интеграла взятого в пределах от 0 до l:

(6)

. (7)

6. Реализуем уравнение (1), используя значения полученных энергий груза и пружины

, (8)

величина, стоящая в скобках называется приведённой массой колебательной системы.

Таким образом, уравнение (8) при заданном законе движения груза позволяет определить величину кинетической энергии колебательной системы в любой момент времени, включая и амплитудные значения, которые будут иметь место при sin(wt+j0) = 1.

Раздел 6. Свободные колебания систем с распределёнными параметрами

Основная особенность процесса свободных колебаний систем с бесконечным числом степеней свободы выражается в бесконечности числа собственных частот и форм колебаний. С этим связаны и особенности математического характера: вместо обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих колебания систем с конечным числом степеней свободы, здесь приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями в частных производных. Кроме начальных условий, определяющих начальные смещения и скорости, необходимо учитывать и граничные условия, характеризующие закрепление системы.

6.1. Продольные колебания стержней

При анализе продольных колебаний прямолинейного стержня (рис.67,а) будем считать, что поперечные сечения остаются плоскими и что частицы стержня не совершают поперечных движений, а перемещаются только в продольном направлении.

Пусть u – продольное перемещение текущего сечения стержня при колебаниях; это перемещение зависит от расположения сечения (координаты x ) и от времени t . Таким образом, есть функция двух переменных; её определение и представляет основную задачу. Перемещение бесконечно близкого сечения равно , следовательно, абсолютное удлинение бесконечно малого элемента равно (рис.67,б), а относительное его удлинение .

Соответственно продольная сила в сечении с координатой х может быть записана в виде

, (173)

где жёсткость стержня при растяжении (сжатии). Сила N также является функцией двух аргументов – координаты х и времени t .

Рассмотрим элемент стержня, расположенный между двумя бесконечно близкими сечениями (рис.67,в). К левой грани элемента приложена сила N, а к правой – сила . Если обозначить через плотность материала стержня, то масса рассматриваемого элемента составляет . Поэтому уравнение движения в проекции на ось х

,

. (174)

Учитывая (173) и принимая A = const , получим

, (175)

. (176)

Следуя методу Фурье, ищем частное решение дифференциального уравнения (175) в виде

, (177)

т.е. предположим, что перемещение u можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от аргумента х , а другая только от аргумента t . Тогда вместо определения функции двух переменных u ( x , t ) необходимо определять две функции X( x ) и T( t ), каждая из которых зависит только от одной переменной.

Подставив (177) в (174), получим

,

где штрихами обозначена операция дифференцирования по x , а точками – по t . Перепишем это уравнение таким образом:

.

Здесь левая часть зависит только от x,а правая – только от t . Для тождественного выполнения этого равенства (при любых x и t ) необходимо, чтобы каждая из его частей была равна постоянной, которую обозначим через :

; . (178)

Отсюда следуют два уравнения:

; . (179)

Первое уравнение имеет решение:

, (180)

указывающее на колебательный характер, причём из (180) видно, что неизвестная величина имеет смысл частоты свободных колебаний.

Второе из уравнений (179) имеет решение:

, (181)

определяющее форму колебаний.

Частотное уравнение, определяющее величину , составляется путём использования граничных условий. Это уравнение всегда трансцендентное и имеет бесконечное число корней. Таким образом, число собственных частот бесконечно, причём каждому значению частоты соответствует своя функция T_n ( t ), определяемая зависимостью (180), и своя функция Xn ( x ), определяемая зависимостью (181). Решение (177) является лишь частным и не даёт полного описания движения. Полное решение получается путём наложения всех частных решений:

.

Функции X_n ( x ) называются собственными функциями задачи и описывают собственные формы колебаний. Они не зависят от начальных условий и удовлетворяют условию ортогональности, которое при А=const имеет вид

, если .

Рассмотрим некоторые варианты граничных условий.

Закреплённый конец стержня (рис.68,а). В концевом сечении перемещение u должно быть равно нулю; отсюда следует, что в этом сечении

Свободный конец стержня (рис.68,б). В концевом сечении продольная сила

(183)

должна тождественно равняться нулю, что возможно, если в концевом сечении X’=0.

Упругозакреплённый конец стержня (рис.68,в).

При перемещении u концевого стержня возникает упругая реакция опоры , где С_о – жёсткость опоры. Учитывая (183) для продольной силы, получим граничное условие

,

если опора расположена на левом конце стержня (рис.68,в), и

,

если опора расположена на правом конце стержня (рис.68,г).

Сосредоточенная масса на конце стержня.

Развиваемая массой сила инерции:

.

Так как, согласно первому из уравнений (179), , то сила инерции может быть записана в виде . Получаем граничное условие

,

если масса находится на левом конце (рис.68,д), и

, (184)

если масса связана с правым концом (рис.68,е).

Определим собственные частоты консольного стержня (рис.68,a’).

Согласно (182) и (183), граничные условия

X’=0 при х= .

Подставляя поочерёдно эти условия в решение (181), получим

D=0; .

Условие С 0 приводит к частотному уравнению:

.

Корни этого уравнения

(n=1,2,…)

определяют собственные частоты:

(n=1,2,…). (185)

Первая (низшая) частота при n=1:

.

Вторая частота (при n=2):

и т. д.

Определим собственные частоты стержня с массой на конце (рис.68,е).

Согласно (182) и (184), имеем

при х= .

Подставляя эти условия в решение (181), получим:

D=0; .

Следовательно, частотное уравнение при учёте (176) имеет вид

.

Здесь правая часть представляет собой отношение массы стержня к массе концевого груза.

Для решения полученного трансцендентного уравнения необходимо воспользоваться каким-либо приближённым способом.

При и значения наиболее важного низшего корня будут соответственно 0.32 и 0.65 .

При малом отношении решающее влияние оказывает груз и хорошие результаты даёт приближённое решение

.

Для стержней переменного сечения, т.е. при А const , из (173) и (174) получается уравнение движения в виде

.

Это дифференциальное уравнение не поддаётся решению в замкнутом виде. Поэтому в подобных случаях приходится прибегать к приближённым методам определения собственных частот.

6.2. Крутильные колебания валов

Крутильные колебания вала с непрерывно распределенной массой (рис.69,а) описываются уравнениями, которые по структуре полностью совпадают с приведенными выше уравнениями продольных колебаний стержней.

Крутящий момент М в сечении с абсциссой х связан с углом поворота дифференциальной зависимостью, аналогичной (173):

, (186)

где J_p-полярный момент инерции поперечного сечения.

В сечении, расположенном на расстоянии dx , крутящий момент равен (рис.69,б):

.

Обозначая через (где – плотность материала вала) интенсивность момента инерции массы вала относительно его оси (т.е. момент инерции единицы длины), уравнение движения элементарного участка вала можно записать так:

,

или подобно (174):

.

Подставляя сюда выражение (186), при Jp=const получим, аналогично (175):

, (187)

.

Общее решение уравнения (187), как и уравнения (175), имеет вид

,

(188)

Собственные частоты и собственные функции при этом определяются конкретными граничными условиями.

В основных случаях закрепления концов аналогично случаю продольных колебаний получим

а) закрепленный конец ( =0): Х=0;

б) свободный конец (М=0): Х’=0;

в) упругозакрепленный левый конец: СоХ=GJpX ‘ ( Со-коэффициент жёсткости);

г) упругозакрепленный правый конец: – СоХ=GJpX ‘;

д ) диск на левом конце: (Jo-момент инерции диска относительно оси стержня);

е) диск на правом конце: .

Если вал закреплён на левом конце (х=0), а правый конец ( х= ) свободен, то Х=0 при х=0 и Х’=0 при x= ; собственные частоты определяются аналогично (185):

(n=1,2,…).

Если левый конец закреплён, а на правом конце имеется диск, получим трансцендентное уравнение:

.

Если оба конца вала закреплены, то граничные условия будут X=0 при х=0 и х= . В этом случае из (188) получим

; D=0,

(n=1,2,…),

отсюда находим собственные частоты:

.

Если левый конец вала свободен, а на правом конце имеется диск, то X’=0 при х=0 ; Jo X=GJpX ‘ при х= .

При помощи (188) находим

С=0; ,

или трансцендентное частотное уравнение:

.

6.3.Изгибные колебания балок

6.3.1.Основное уравнение

Из курса сопротивления материалов известны дифференциальные зависимости при изгибе балок:

; (189)

, (190)

где EJ – жёсткость при изгибе; y=y ( x , t ) – прогиб; M=M( x , t ) – изгибающий момент; q – интенсивность распределённой нагрузки.

Объединяя (189) и (190), получим

. (191)

В задаче о свободных колебаниях нагрузкой для упругого скелета являются распределённые силы инерции:

,

где m – интенсивность массы балки (масса единицы длины), и уравнение (191) принимает вид

.

В частном случае постоянного поперечного сечения, когда EJ = const , m = const , имеем:

. (192)

Для решения уравнения (192) полагаем, как и выше,

y = X ( x ) × T ( t ). (193)

Подставляя (193) в (192), приходим к уравнению:

.

Для тождественного выполнения этого равенства необходимо, чтобы каждая из частей равенства была постоянной. Обозначая эту постоянную через , получим два уравнения:

; (194)

. (195)

Первое уравнение указывает на то, что движение носит колебательный характер с частотой .

Второе уравнение определяет форму колебаний. Решение уравнения (195) содержит четыре постоянных и имеет вид

,

. (196)

Удобно использовать вариант записи общего решения, предложенный А.Н.Крыловым:

, (197)

(198)

представляют собой функции А.Н.Крылова.

Обратим внимание на то, что S=1, T=U=V=0 при x=0. Функции S,T,U,V связаны между собой следующим образом:

(199)

Поэтому производные выражения (197) записываются в виде

(200)

В задачах рассматриваемого класса число собственных частот бесконечно велико; каждой из них отвечает своя функция времени T_n и своя фундаментальная функция X_n . Общее решение получится путём наложения частных решений вида (193)

. (201)

Для определения собственных частот и формул необходимо рассмотреть граничные условия.

6.3.2. Граничные условия

Для каждого конца стержня можно указать два граничных условия .

Свободный конец стержня (рис. 70,а). Нулю равны поперечная сила Q=EJX”’T и изгибающий момент M=EJX”T. Поэтому граничные условия имеют вид

Шарнирно-опёртый конец стержня (рис.70,б). Нулю равны прогиб y=XT и изгибающий момент M=EJX”T. Следовательно, граничные условия таковы:

Защемленный конец (рис.70,в). Нулю равны прогиб y=XT и угол поворота . Граничные условия:

На конце стержня имеется точечный груз массы (рис.70,г). Его сила инерции может быть при помощи уравнения (194) записана так: ; она должна быть равна поперечной силе Q=EJX”’T , поэтому граничные условия принимают вид

; X”=0 . (205)

В первом условии знак плюс принимается в случае, когда точечный груз связан с левым концом стержня, и знак минус, когда он связан с правым концом стержня. Второе условие вытекает из отсутствия изгибающего момента .

Упруго-опертый конец стержня (рис.70,д). Здесь изгибающий момент равен нулю, а поперечная сила Q=EJX”’T равна реакции опоры (C_o-коэффициент жёсткости опоры).

X”=0 ; (206)

(знак минус принимается в случае, когда упругая опора является левой, и знак плюс, когда она является правой).

6.3.3. Частотное уравнение и собственные формы

Развёрнутая запись граничных условий приводит к однородным уравнениям относительно постоянных C₁, C₂, C₃, C₄.

Чтобы эти постоянные не равнялись нулю, должен равняться нулю определитель, составленный из коэффициентов системы; это приводит к частотному уравнению. При этих операциях выясняются соотношения между C₁, C₂, C₃, C₄, т.е. определяются собственные формы колебаний (с точностью до постоянного множителя).

Проследим составление частотных уравнений на примерах.

Для балки с шарнирно-опёртыми концами согласно (203) имеем следующие граничные условия: X=0; X”=0 при x=0 и x= . При помощи (197)-(200) получим из первых двух условий: C₁=C₃=0. Два оставшихся условия можно записать в виде

Чтобы C₂ и C₄ не были равны нулю, необходимо равенство нулю определителя:

.

Таким образом, частотное уравнение имеет вид

.

Подставляя выражения T и U, получим

.

Так как , то окончательно частотное уравнение записывается так:

. (207)

Корни этого уравнения:

, ( n =1,2,3. ).

Учитывая (196), получим

. (208)

Перейдём к определению собственных форм. Из записанных выше однородных уравнений вытекает следующее соотношение между постоянными C₂ и C₄:

.

Следовательно, (197) приобретает вид

Согласно (207), имеем

, (209)

где – новая постоянная, значение которой остаётся неопределённым, пока не введены в рассмотрение начальные условия.

6.3.4. Определение движения по начальным условиям

Если требуется определить движение, следующее после начального возмущения, то необходимо указать для всех точек балки как начальные смещения, так и начальные скорости:

(210)

и использовать свойство ортогональности собственных форм:

.

Общее решение (201) запишем так:

. (211)

Скорость определяется выражением

. (212)

Подставляя в правые части уравнений (211) и (212) , а в левые части – предполагаемые известными начальные смещения и скорости, получим

.

Умножая эти выражения на и интегрируя по всей длине, имеем

(213)

Бесконечные суммы в правых частях исчезли вследствие свойства ортогональности. Из (213) следуют формулы для постоянных и

(214)

Теперь эти результаты нужно подставить в решение (211).

Снова подчеркнём, что выбор масштаба собственных форм несущественен. Если, например, в выражении собственной формы (209) принять вместо величину в раз большую, то (214) дадут результаты в раз меньшие; после подстановки в решение (211) эти различия компенсируют друг друга. Тем не менее часто пользуются нормированными собственными функциями, выбирая их масштаб таким, чтобы знаменатели выражений (214) равнялись единице, что упрощает выражения и .

6.3.5. Влияние постоянной продольной силы

Рассмотрим случай, когда колеблющаяся балка испытывает действие продольной силы N , величина которой не меняется в процессе колебаний. В этом случае уравнение статического изгиба усложняется и приобретает вид (при условии, что сжимающая сила считается положительной)

.

Полагая и считая жёсткость постоянной, получаем уравнение свободных колебаний

. (215)

Принимаем по-прежнему частное решение в виде .

Тогда уравнение (215) распадается на два уравнения:

Первое уравнение выражает колебательный характер решения, второе определяет форму колебаний, а также позволяет найти частоты. Перепишем его таким образом:

(216)

где K определяется формулой (196), а

. (217)

Решение уравнения (216) имеет вид

Рассмотрим случай, когда оба конца стержня имеют шарнирные опоры. Условия на левом конце дают . Удовлетворяя те же условия на правом конце, получим

Приравнивая нулю определитель, составленный из коэффициентов при величинах и , приходим к уравнению

,

. (218)

Корни этого частотного уравнения:

.

Следовательно, собственная частота определится из уравнения

.

Отсюда при учёте (217) находим

. (219)

При растяжении частота увеличивается, при сжатии уменьшается. Когда сжимающая сила N приближается к критическому значению, корень стремится к нулю.

6.3.6. Влияние цепных усилий

Ранее продольная сила считалась заданной и не зависящей от перемещений системы. В некоторых практических задачах сопровождающая процесс поперечных колебаний продольная сила возникает вследствие изгиба балки и носит характер реакции опоры. Рассмотрим, например, балку на двух шарнирно-неподвижных опорах. При её изгибе возникают горизонтальные реакции опор, вызывающие растяжение балки; соответствующее горизонтальное усилие принято называть цепным усилием. Если балка совершает поперечные колебания, то цепное усилие будет изменяться во времени.

Если в мгновение t прогибы балки определяются функцией , то удлинение оси можно найти по формуле

.

Соответствующее цепное усилие найдём при помощи закона Гука

.

Подставим этот результат в (215) вместо продольной силы N (с учётом знака)

. (220)

Полученное нелинейное интегродифференциальное уравнение упрощается при помощи подстановки

, (221)

где безразмерная функция времени, максимальное значение которой можно положить равным любому числу, например, единице; амплитуда колебаний.

Подставляя (221) в (220), получим обыкновенное дифференциальное уравнение

, (222)

коэффициенты которого имеют следующие значения:

; .

Дифференциальное уравнение (222) является нелинейным, следовательно, частота свободных колебаний зависит от их амплитуды.

Точное решение для частоты поперечных колебаний имеет вид

,

где частота поперечных колебаний, вычисленная без учёта цепных усилий; поправочный коэффициент, зависящий от отношения амплитуды колебаний к радиусу инерции поперечного сечения ; величина приводится в справочной литературе.

При соизмеримости амплитуды и радиуса инерции поперечного сечения поправка к частоте становится значительной. Если, например, амплитуда колебаний стержня круглого сечения равна его диаметру, то , и частота почти в два раза больше, чем в случае свободного смещения опор.

Случай соответствует нулевому значению радиуса инерции, когда изгибная жёсткость балки исчезающе мала – струна. При этом формула для даёт неопределённость. Раскрывая эту неопределённость, получим формулу для частоты колебаний струны

.

Эта формула относится к случаю, когда в положении равновесия натяжение равно нулю. Часто задачу о колебаниях струны ставят в других предположениях: считают, что перемещения малы, а растягивающая сила задана и остаётся неизменной в процессе колебаний.

При этом формула для частоты имеет вид

,

где N – постоянная растягивающая сила.

6.4. Влияние вязкого трения

Ранее предполагалось, что материал стержней идеально упругий и трение отсутствует. Рассмотрим влияние внутреннего трения, считая, что оно является вязким; тогда связь напряжений с деформациями описывается соотношениями

; . (223)

Пусть стержень с распределёнными параметрами совершает свободные продольные колебания. В этом случае продольная сила запишется в виде

. (224)

Из уравнения движения элемента стержня было получено соотношение (174)

.

Подставляя сюда (224), приходим к основному дифференциальному уравнению

, (225)

которое отличается от (175) вторым слагаемым, выражающим влияние сил вязкого трения.

Следуя методу Фурье, ищем решение уравнения (225) в виде

, (226)

где функция только координаты x , а функция только времени t .

При этом каждый член ряда должен удовлетворять граничным условиям задачи, а вся сумма – также и начальным условиям. Подставляя (226) в (225) и требуя, чтобы равенство удовлетворялось для любого номера r , получим

, (227)

где штрихи обозначают дифференцирование по координате x , а точки – дифференцирование по времени t .

Разделив (227) на произведение , приходим к равенству

, (228)

левая часть, которого может зависеть только от координаты x , а правая – только от времени t . Для тождественного выполнения равенства (228) необходимо, чтобы обе части были равны одной и той же постоянной, которую обозначим через .

Из этого следуют уравнения

(229)

. (230)

Уравнение (229) не зависит от коэффициента вязкости K и, в частности, остаётся таким же в случае идеально упругой системы, когда . Поэтому числа полностью совпадают с найденными ранее; однако, как будет показано ниже, величина даёт лишь приближённое значение собственной частоты. Отметим, что собственные формы совершенно не зависят от вязких свойств стержня, т.е. формы свободных затухающих колебаний совпадают с формами свободных незатухающих колебаний.

Теперь перейдём к уравнению (230), описывающему процесс затухающих колебаний; его решение имеет вид

, (231)

; (232)

. (233)

Выражение (232) определяет темп затухания, а (233) – частоту колебаний.

Таким образом, полное решение уравнения задачи

. (234)

Постоянные и всегда можно найти по заданным начальным условиям. Пусть начальные смещения и начальные скорости всех сечений стержня заданы следующим образом:

; , (235)

где и – известные функции.

Тогда при , согласно (211) и (212), имеем

умножая обе части этих равенств на и интегрируя в пределах всей длины стержня, получим

(236)

Соответственно условию ортогональности собственных форм все остальные слагаемые, входящие в правые части этих равенств, обращаются в нуль. Теперь из равенств (236) легко найти и для любого номера r .

Рассматривая (232) и (234), заметим, что чем выше номер формы колебаний , тем быстрее её затухание. Кроме того, слагаемые, входящие в (234), описывают затухающие колебания, если есть действительное число. Из (233) видно, что это имеет место лишь для нескольких начальных значений r , пока выполняется неравенство

. (237)

При достаточно больших значениях r неравенство (237) нарушается и величина становится мнимой. При этом соответствующие члены общего решения (234) уже не будут описывать затухающие колебания, но будут представлять апериодическое затухающее движение. Другими словами, колебания, в обычном смысле слова, выражает только некоторая конечная часть суммы (234).

Все эти качественные выводы относятся не только к случаю продольных колебаний, но и к случаям крутильных и изгибных колебаний.

6.5. Колебания стержней переменного сечения

В тех случаях, когда распределённая масса и сечение стержня переменны по его длине, следует вместо уравнения продольных колебаний (175) исходить из уравнения

. (238)

Уравнение крутильных колебаний (187) должно быть заменено уравнением

, (239)

а уравнение поперечных колебаний (192) – уравнением

. (240)

Уравнения (238)-(240) при помощи однотипных подстановок ; ; можно привести к обыкновенным дифференциальным уравнениям для функции

(241)

(242)

(243)

и одному однотипному уравнению для функции .

Уравнения (241)-(243) в отличие от уравнений, решённых выше, имеют переменные коэффициенты.

Замкнутую форму решений можно получить лишь в отдельных случаях, когда переменные определены специальными зависимостями. В общем случае неизбежен переход к приближённым методам. В частности, возможен путь, основанный на сосредоточении распределённой массы в ряде точек по длине стержня, после чего система сохраняет лишь конечное число степеней свободы, равное числу точек приведения. Используются также различные варианты вариационного метода и некоторые другие приближённые методы, о которых речь пойдёт ниже.

6.6. Колебания круговых колец

6.6.1. Колебания в плоскости кольца

Рассмотрим круговой брус малой кривизны постоянного сечения с радиусом R осевой линии (рис.71,а). Будем считать груз нерастяжимым. Перемещение центра тяжести поперечного сечения, зафиксированного угловой координатой , можно разложить на радиальный и окружной компоненты – соответственно и . Из условия нерастяжимости оси бруса следует, что перемещения и связаны зависимостью:

. (244)

Угол поворота поперечного сечения бруса в процессе движения определяется формулой

. (245)

Изменение кривизны бруса равно производной от по дуге:

. (246)

Изгибающий момент в поперечном сечении кольца:

. (247)

Теперь составим уравнение движения элемента бруса (рис.71,б).

Помимо перечисленных сил, на элемент действует также сила инерции:

,

где масса единицы длины бруса.

Проектируя приложенные к элементу силы на радиус, получим

. (248)

Равенство нулю суммы проекций всех сил на направление касательной приводит к уравнению:

. (249)

Уравнение моментов имеет вид

. (250)

Исключим из (248) и (249) нормальную силу N , а поперечную силу Q заменим её значением из (250):

. (251)

Подставляя сюда значение M из (247), получим уравнение движения в перемещениях , и, наконец, исключая один из компонентов перемещения, с помощью условия нерастяжимости (244) придём к уравнению, в которое входит единственная переменная :

. (252)

Решение уравнения движения (252) будем искать в виде

; .

При этом для получается обыкновенное дифференциальное уравнение

, (253)

.

Согласно общим правилам решения дифференциальных уравнений, следует найти общее решение уравнения (253), включающее шесть постоянных, и подчинить его граничным условиям. На каждом конце бруса должны быть равны нулю либо компоненты перемещений , либо соответствующие им внутренние силы. Равенство нулю определителя системы, выражающей граничные условия, приводит к частотному уравнению.

Для замкнутого кольца граничные условия заменяются условиями периодичности, которые выполняются, если принять

; . (254)

Подставляя (254) в (253), устанавливаем, что последнее удовлетворяется тождественно, если

. (255)

Формула (255) определяет частоты собственных колебаний кольца в своей плоскости. Значению соответствует нулевая частота, так как при формулы (254) описывают смещение кольца как жёсткого тела.

6.6.2. Колебания, перпендикулярные плоскости кольца

В этом случае положение поперечного сечения кольца в процессе движения характеризуется смещением его центра тяжести из плоскости кольца и углом поворота сечения х₄ (рис.72,а). В поперечном сечении кольца возникают изгибающие и крутящие моменты (рис.72,б), а также поперечная сила, перпендикулярная плоскости кольца.

Установим зависимость моментов от перемещений. Так как задача линейная, то рассмотрим сначала силовые факторы, связанные со смещением х₃, а затем – с х₄.

Если х₃ постоянно по длине окружности, то кольцо смещается как жёсткое целое, и внутренние силы не возникнут. Если х₃ изменяется в зависимости от центрального угла по линейному закону , то ось бруса превращается в винтовую линию, т.е. брус деформируется подобно витку пружины при растяжении. Известно, что в этом случае в поперечных сечениях возникает крутящий момент

,

где GJ _кр – крутильная жёсткость бруса.

Если при этом отлична от нуля и вторая производная , то меняется кривизна бруса и возникает изгибающий момент

,

где J ₁ – момент инерции сечения относительно центральной оси, лежащей в плоскости кривизны.

Найдём силовые факторы, связанные с поворотом х₄. Если х₄ постоянно, то происходит осесимметричный изгиб кольца, причём в его сечениях возникает изгибающий момент

.

При переменном по длине повороте х₄ соседние сечения поворачиваются друг относительно друга и возникает крутящий момент

.

Суммируя силовые факторы, связанные с перемещениями х₃ и х_4, ,получаем

(256)

Составим уравнение движения элемента Rd бруса (рис.73).

Будем пренебрегать инерцией поворота элемента вокруг своей оси.

Условие динамического равновесия в направлении нормали к плоскости кольца приводит к уравнению:

. (257)

Сумма моментов относительно нормали к оси элемента:

. (258)

Сумма моментов относительно касательной к оси элемента:

. (259)

Исключая поперечную силу из (257) и (258) и заменяя моменты в полученном уравнении и уравнении (259) их значениями (256), приходим к системе уравнений, в которую входят только перемещения х₃ и х₄:

(260)

Ограничиваясь исследованием собственных колебаний замкнутого кольца, решение уравнений (260) можно представить в виде

x₃ = Acosk j × cos w t , x₄ = Bcosk j × cos w t . (261)

Подставляя значения (261) в уравнение движения (260), получим

(262)

Из равенства нулю определителя этой системы получим частотное уравнение, корни которого – собственные частоты – таковы:

(263)

Наименьшая отличная от нуля частота соответствует k =2.

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

[spoiler title=”источники:”]

http://pandia.ru/text/78/558/21860.php

http://www.detalmach.ru/lectdinamika6.htm

[/spoiler]