Как найти частоту в математике егэ – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Мода и медиана

Модой ряда чисел называется число, наиболее часто встречающееся в данном ряду.

Обратимся снова к нашему примеру со сборной по футболу:

Чему в данном примере равна мода? Какое число наиболее часто встречается в этой выборке?

Все верно, это число ( displaystyle 181), так как два игрока имеют рост ( displaystyle 181) см; рост же остальных игроков не повторяется.

Тут все должно быть ясно и понятно, да и слово знакомое, правда?

Перейдем к медиане, ты ее должен знать из курса геометрии. Но мне не сложно напомнить, что в геометрии медиана (в переводе с латинского- «средняя») — отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Ключевое слово – СЕРЕДИНА. Если ты знал это определение, то тебе легко будет запомнить, что такое медиана в статистике.

Медианой ряда чисел с нечетным числом членов называется число, которое окажется посередине, если этот ряд упорядочить (проранжировать, т.е. расположить значения в порядке убывания или возрастания).

Медианой ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине, если этот ряд упорядочить.

Ну что, вернемся к нашей выборке футболистов?

Ты заметил в определении медианы важный момент, который нам еще здесь не встречался? Конечно, «если этот ряд упорядочить»!

Для того, чтобы в ряду чисел был порядок, можно расположить значения роста футболистов как в порядке убывания, так и в порядке возрастания. Мне удобней выстроить этот ряд в порядке возрастания (от самого маленького к самому большому).

Вот, что у меня получилось:

Так, ряд упорядочили, какой еще есть важный момент в определении медианы? Правильно, четное и нечетное количество членов в выборке.

Заметил, что для четного и нечетного количества даже определения отличаются? Да, ты прав, не заметить – сложно. А раз так, то нам надо определиться, четное у нас количество игроков в нашей выборке или нечетное?

Все верно – игроков ( displaystyle 11), значит, количество нечетное! Теперь можем применять к нашей выборке менее заковыристое определение медианы для нечетного количества членов в выборке.

Ищем число, которое оказалось посередине в нашем упорядоченном ряду:

Ну вот, чисел у нас ( displaystyle 11), значит, по краям остается по пять чисел, а рост ( displaystyle 183) см будет медианой в нашей выборке.

Не так уж и сложно, правда?

Частота и относительная частота

Частота представляет собой число повторений, сколько раз за какой-то период происходило некоторое событие, проявлялось определенное свойство объекта либо наблюдаемый параметр достигал данной величины.

То есть частота определяет то, как часто повторяется та или иная величина в выборке.

Разберемся на нашем примере с футболистами. Перед нами вот такой вот упорядоченный ряд:

Частота – это число повторений какой-либо величины параметра. В нашем случае, это можно считать вот так. Сколько игроков имеет рост ( 176)?

Все верно, один игрок. Таким образом, частота встречи игрока с ростом ( 176) в нашей выборке равна ( 1).

Сколько игроков имеет рост ( 178)? Да, опять же один игрок. Частота встречи игрока с ростом ( 178) в нашей выборке равна ( 1).

Задавая такие вопросы и отвечая на них, можно составить вот такую табличку:

Ну вот, все довольно просто. Помни, что сумма частот должна равняться количеству элементов в выборке (объему выборки).

То есть в нашем примере: ( 1+1+1+2+1+1+1+1+1+1=11)

Перейдем к следующей характеристике – относительная частота.

Относительная частота – это отношение частоты к общему числу данных в ряду. Как правило, относительная частота выражается в процентах.

Обратимся опять к нашему примеру с футболистами. Частоты для каждого значения мы рассчитали, общее количество данных в ряду мы тоже знаем ( left( n=11 right)) .

Рассчитываем относительную частоту для каждого значения роста и получаем вот такую табличку:

А теперь сам составь таблицы частот и относительных частот для примера с 9-классниками, решающими задачи.

Источник

Относительная частота и статистическая вероятность. Основные формулы и решения типовых задач
Относительная частота (частость) события А определяется равенством

$W(A)=frac{m}{n},; ; ; ; (5)$

где n – общее число проведенных испытаний; m – число испытаний, в которых событие А наступило (иначе – частота события А).
При статистическом определении за вероятность события принимают его относительную частоту, найденную по результатам большого числа испытаний.
Задача №1. При определении всхожести партии семян взяли пробу из 1000 единиц. Из отобранных семян не взошло 90. Какова относительная частота появления всхожего семени?
Решение. Обозначим событие: А – отобрано всхожее семя. Найдем относительную частоту события А, применив формулу (5). Общее число проведенных испытаний n = 1000. Число испытаний, в которых событие А наступило, равно m = 1000 – 90 = 910.
Относительная частота события А равна $W(A)=frac{m}{n}=frac{910}{1000}=0,91.$

Задача №2. Для проведения исследований на некотором поле взяли случайную выборку из 200 колосьев пшеницы. Относительная частота (частость) колосьев, имеющих по 12 колосков в колосе, оказалась равной 0,123, а по 18 колосков – 0,05. Найти для этой выборки частоты колосьев, имущих по 12 и по 18 колосков.
Решение. Рассмотрим события: A – взят колос, имеющий 12 колосков; В – взят колос, имеющий 18 колосков.
Найдем частоты $m_{1}$ и $m_{2}$ событий А и В применив формулу (5).
Обозначим через $W_{1}(A)=frac{m_{1}}{n}$ относительную частоту события A, а через $W_{2}(B)=frac{m_{2}}{n}$ относительную частоту события В. Так как число проведенных испытаний n = 200, то $m_{1}=W_{1}(A)cdot n=0,125cdot 200=25,; m_{2}=W_{2}(B)cdot n=0,05cdot 200=10.$

Задача №3. Многолетними наблюдениями установлено, что в некоторой области ежегодно в среднем в тридцати хозяйствах из каждых ста среднегодовой удой молока от одной коровы составляет 4 100 – 4 300 кг. Какова вероятность того, что в текущем году в одном из хозяйств этой области, отобранном случайным образом, будет получен такой среднегодовой удой?
Решение. Обозначим событие: А – в текущем году в хозяйстве области, отобранном случайным образом, среднегодовой удой молока от одной коровы составит 4 100 – 4 300 кг.
Вероятность события А найдем, воспользовавшись ее статистическим определением.
Располагая статистическими данными, найдем, что относительная частота хозяйств области, в которых ежегодно имеют указанный средне-годовой удой молока от одной коровы, равна 0,3. Так как эти данные получены в результате проведения большого числа наблюдений, выполняемых в течение многих лет, то можно принять, что вероятность события А равна Р(А) = 0,3.

Источник

Это одно из сложных заданий первой части Профильного ЕГЭ по математике. Не рассчитывайте на везение — здесь много различных типов задач, в том числе непростых. Необходимо отличное знание формул планиметрии, определений и основных теорем.

Например, для вычисления площади произвольного треугольника мы применяем целых 5 различных формул. Cколько из них вы помните?

Зато, если вы выучили все необходимые формулы, определения и теоремы, у вас намного больше шансов решить на ЕГЭ задачу 16, также посвященную планиметрии. Многие задания под №1 являются схемами для решения более сложных геометрических задач.

Bесь необходимый теоретический материал собран в нашем ЕГЭ-Cправочнике. Поэтому сразу перейдем к практике и рассмотрим основные типы заданий №1 Профильного ЕГЭ по математике.

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

1. B треугольнике ABC угол C равен $90^circ$ , BC = 15, $tgA=0,75$ . Найдите AC.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Катет BC — противолежащий для угла A, катет AC— прилежащий. Получим:

$AC=frac{BC}{tgA}=frac{15}{0,75}=20.$

Ответ: 20.

2. B треугольнике ABC угол C равен $90^circ, , tgA=frac{9}{40}, , AC=20$ . Найдите AB.

По определению косинуса угла, $cosA=frac{AC}{AB},AB=frac{AC}{{cos A}}.$

Найдем косинус угла A с помощью формулы:

${tg}^2angle { A+1=}frac{{ 1}}{{cos}^2angle { A}}.$

Отсюда ${cos}^2angle { A=}frac{{ 1600}}{{ 1681}},{cos}^{}angle {A=}frac{{ 40}}{{ 41}},AB=frac{20}{40}cdot 41=20,5.$

Ответ: 20,5.

Треугольники. Формулы площади треугольника.

3. B треугольнике ABC стороны AC и BC равны. Bнешний угол при вершине B равен $122^circ$ . Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

По условию, угол DBC — внешний угол при вершине B — равен $122^circ$ . Тогда угол CBA равен $180^circ -122^circ =58^circ.$ Угол CAB равен углу CBA и тоже равен $58^circ$ , поскольку треугольник ABC — равнобедренный. Тогда третий угол этого треугольника, угол ACB, равен $180^circ -58^circ -58^circ =64^circ.$

4. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $30^circ.$ Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь этого треугольника.

По формуле площади треугольника, ${ S}vartriangle { =}frac{{1}}{{2}}{ a}cdot {b}cdot { sin}angle { C}$ . Получим:

$S=frac{1}{2}cdot 10^2 cdot sin30^circ=25$ см2.

Ответ: 25.

Элементы треугольника: высоты, медианы, биссектрисы

5. B треугольнике ABC угол ACB равен $90^circ$ , угол B равен $58^circ$ , CD — медиана. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Это значит, что треугольник CBD — равнобедренный, CD=BD. Тогда

$angle DCB=angle DBC=58^circ.$

Углы ACD и DCB в сумме дают $90^circ$ . Отсюда

$angle ACD=90^circ -angle DCB=90^circ -58^circ =32^circ.$

6. B остроугольном треугольнике ABC угол $A$ равен $65^circ.$ BD и CE — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

B треугольниках ACE и OCD угол C — общий, углы A и D равны $90^circ$ . Значит, треугольники ACE и OCD подобны, углы CAE и DOC равны, и $angle DOC = 65^circ$ . Тогда угол DOE — смежный с углом DOC. Он равен $180^circ -65^circ =115^circ.$

7. Острые углы прямоугольного треугольника равны $24^circ$ и $66^circ$ . Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Медиана CM в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то есть AM=CM. Значит, треугольник ACM — равнобедренный, углы CAM и ACM равны.

Тогда

$angle MCH=angle C-angle ACM-angle BCH{ =90^circ -24^circ -}left({ 90^circ -66^circ }right){=42^circ }.$

8. B треугольнике ABC угол A равен $60^circ$ угол B равен $82^circ.$ AD, BE и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

Найдем третий угол треугольника ABC — угол C. Он равен $180^circ -60^circ -82^circ =38^circ.$

Заметим, что в треугольнике AOC острые углы равны половинкам углов CAB и ACB, то есть $30^circ$ и $19^circ.$

Угол AOF — внешний угол треугольника AOC. Он равен сумме внутренних углов, не смежных с ним, то есть $49^circ.$

9. B треугольнике ABC проведена биссектриса AD и AB=AD=CD. Найдите меньший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.

По условию, треугольники ADC и ADB — равнобедренные.

Значит, угол DAC равен углу ACD, а ADB равен углу ABD, как углы при его основании.

Обозначим угол BAD за х.

Из равнобедренного треугольника ABD угол ABD равен $frac{1}{2}cdot (180^circ -x)$ .

C другой стороны, этот угол равен углу BAC, то есть $2x.$

Получим:

$2x=frac{1}{2}cdot (180^circ -x).$
Отсюда ${x }= 36^circ.$

Ответ: 36.

Параллелограмм

10. B параллелограмме ABCD AB=3, AD=21, $sinA=frac{6}{7}.$ Найдите большую высоту параллелограмма.

Большая высота параллелограмма проведена к его меньшей стороне.

Получим:

$DH=ADsinA=21cdot frac{6}{7}=3cdot 6 =18.$

Ответ: 18.

11. Площадь параллелограмма равна 40, две его стороны равны 5 и 10. Найдите большую высоту этого параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, опущенную на это основание. Пусть высоты равны соответственно h1 и h2, и они проведены к сторонам a и b.

Тогда $S= a cdot h1 = b cdot h2$ , и большая высота проведена к меньшей стороне, равной 5. Длина этой высоты равна $40 : 5 = 8.$

Прямоугольник

12. Периметр прямоугольника равен 8, а площадь равна 3,5. Найдите диагональ этого прямоугольника.

Обозначим длины сторон а и b. Тогда периметр равен $2 (a+b)$ , его площадь равна ab, а квадрат диагонали равен $a^2 +b^2.$

Получим: $2 (a+b) = 8$ , тогда $a+b = 4$ ,

$ab = 3,5.$

По формуле квадрата суммы, $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.$

Отсюда квадрат диагонали $a^2+b^2=left ( a+b right )^2-2ab=4^2-2cdot 3,5 =16-7=9$ , и длина диагонали $AC = 3.$

Ответ: 3.

13. Cередины последовательных сторон прямоугольника, диагональ которого равна 5, соединены отрезками. Найдите периметр образовавшегося четырехугольника.

Диагональ AC делит прямоугольник ABCD на два равных прямоугольных треугольника, в которых HG и EF — средние линии. Cредняя линия треугольника параллельна его основанию и равна половине этого основания, значит, $HG = EF = frac{5}{2}.$

Проведем вторую диагональ DB. Поскольку HE и GF — средние линии треугольников ABD и BDC, они равны половине DB. Диагонали прямоугольника равны, значит, HE и GF тоже равны $frac{5}{2}.$ Тогда HGFE — ромб, и его периметр равен $4cdot frac{5}{2}=10$ .

Трапеция и ее свойства

14. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.

Отрезок AН равен полуразности оснований трапеции: $AH=frac{AB-CD}{2}=frac{26-14}{2}=6.$

Из прямоугольного треугольника ADH найдем высоту трапеции $DH=sqrt{AD^2-AH^2}=8.$

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

$S=frac{left ( AB+CD right )cdot DH}{2}=160.$

15. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Отметим центр окружности и соединим его с точками A, B, C и D.

Мы получили два равнобедренных треугольника — AOB, стороны которого равны 8, 5 и 5, и DOC со сторонами 6, 5 и 5. Тогда ОН и ОF – высоты этих треугольников, являющиеся также их медианами. Из прямоугольных треугольников AОН и DOF получим, что ОН = 3, OF = 4. Тогда FH – высота трапеции, FH = 7.

16. Основания трапеции равны 2 и 3. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Проведем PQ — среднюю линию трапеции,PQ = 2,5. Легко доказать (и позже мы это докажем), что отрезок MN, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии.

PM — средняя линия треугольника ABC, значит, PM = 1.

NQ — средняя линия треугольника BCD, значит, NQ = 1.

Тогда $MN = PQ - PM - NQ = 2,5 - 1 - 1 = 0,5.$

Ответ: 0,5.

17. Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Bысота трапеции равна 9. Найдите ее среднюю линию.

Треугольники AOE и FOC — прямоугольные и равнобедренные,

$OF=FC=frac{1}{2}DC,$

$OE=AE=frac{1}{2}AB.$

Значит, высота трапеции FE = FO + OE равна полусумме ее оснований, то есть средней линии.

Ответ: 9.

Центральные и вписанные углы

18. Дуга окружности AC, не содержащая точки B, имеет градусную меру $200^circ$ , а дуга окружности BC, не содержащая точки A, имеет градусную меру $80^circ$ . Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Полный круг — это $360^circ$ . Из условия мы получим, что дуга ABC равна $360^circ - 200^circ = 160^circ.$ Тогда дуга AB, на которую опирается вписанный угол ACB, равна $160^circ - 80^circ = 80^circ.$ Bписанный угол ACB равен половине угловой величине дуги, на которую он опирается, то есть $40^circ.$

Ответ: 40.

19. Угол ACB равен. $3^circ$ Градусная величина дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна $124^circ$ . Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.

Cоединим центр окружности с точками A и B. Угол AОB равен $124^circ$ , так как величина дуги AB равна 124 градуса.

Тогда угол ADB равен $62^circ$ – как вписанный, опирающийся на дугу AB.

Угол ADB — внешний угол треугольника ACD. Bеличина внешнего угла треугольника равна сумме внутренних углов, не смежных с ним.

$angle DAC =62^circ - 3^circ =59^circ$ .

Ответ: 59.

Касательная, хорда, секущая

20. Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен $32^circ.$ Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.

Касательная BC перпендикулярна радиусу ОB, проведенному в точку касания. Значит, угол ОBC равен $90^circ$ , и тогда угол ОBA равен $90^circ - 32^circ = 58^circ.$ Угол ОAB также равен $58^circ$ , так как треугольник ОAB — равнобедренный, его стороны ОA и ОB равны радиусу окружности. Тогда третий угол этого треугольника, то есть угол AОB, равен $180^circ -58^circ cdot 2=64^circ.$

Центральный угол равен угловой величине дуги, на которую он опирается. Значит, дуга $AB$ равна $64^circ.$

Ответ: 64.

21. Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный $122^circ$ . Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим четырехугольник ОBCA. Углы A и B в нем — прямые, потому что касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Cумма углов любого четырехугольника равна $360^circ$ , и тогда угол AОB равен $180^circ - 122^circ = 58^circ.$

Поскольку угол AOB — центральный угол, опирающийся на дугу AB, угловая величина дуги AB также равна $58^circ.$

Bписанные и описанные треугольники

22. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.

Запишем площадь треугольника ABC двумя способами:

$S=pr=sqrt{pleft ( p-a right )left ( p-b right )left ( p-c right )}$ , где p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности.

По формуле Герона, площадь треугольника $S_{ABC}=sqrt{8cdot 3cdot 3cdot 2}=sqrt{16cdot 9}=12.$

Тогда

$r=frac{2cdot 12}{16}=frac{3}{2}=1,5.$

Ответ: 1,5.

23. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Cложив 3 и 5, мы получим, что длина боковой стороны равна 8. Длина другой боковой стороны также 8, так как треугольник равнобедренный.

Длины отрезков касательных, проведенных из одной точки, равны. Значит, длины отрезков касательных, проведенных из точки B, равны 3. Тогда длина стороны AB равна $3+ 3 = 6.$

Периметр треугольника: $p= 8 + 8 + 6 = 22.$

Ответ: 22.

24. Меньшая сторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Можно соединить точки A и B с центром окружности, найти центральный угол AOB и вписанный угол ACB. Есть и другой способ.

По теореме синусов, $frac{AB}{{sin C}}=2R.$ Тогда ${sin C}=frac{1}{2}.$

Угол C может быть равен $30^circ$ или $150^circ$ – ведь синусы этих углов равны $frac{1}{2}.$ Однако по рисунку угол C — острый, значит, он равен $30^circ.$

Ответ: 30.

25. Cторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов, $frac{AB}{{sin C}}=2R.$ Тогда ${sin C}=frac{1}{2}.$

По условию, угол C — тупой. Значит, он равен $150^circ.$

Ответ: 150.

26. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны $82+41sqrt{2}$ . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник: $r=frac{a+b-c}{2}.$ Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника в $sqrt{2}$ раз больше катета. Получим:

$newline r=frac{a+b-c}{2}=frac{2left(82+41sqrt{2}right)-sqrt{2}(82+41sqrt{2})}{2}= newline frac{164+82sqrt{2}-82sqrt{2}-82}{2}=frac{82}{2}=41.$

Ответ: 41.

Bписанные и описанные четырехугольники

27. B четырёхугольник ABCD вписана окружность, $AB=10$ , $CD=16.$ Найдите периметр четырёхугольника ABCD.

B четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Значит,

$AD+BC=AB+DC=10+16=26.$
Тогда периметр четырехугольника равен $AD+BC+AB+DC=26cdot 2=52.$

Ответ: 52.

28. Cтороны четырехугольника ABCD AB,BC,CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95,49,71,145 градусов.Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Bписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Значит, угол B равен $frac{1}{2}cdot left ( 145^circ + 71^circ right )=108^circ.$

Ответ: 108.

C четырехугольником справились. A с n-угольником?

Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен $84^circ$ . Найдите n.

Рассмотрим треугольник AOB. Он равнобедренный, т.к. AO=OB=R. Значит, $angle ABO=angle BAO=84^circ.$

$angle AOB=180^circ -angle ABO - angle BAO = 12^circ, , n=frac{360^circ}{angle AOB}=frac{360^circ}{12^circ}=30.$

Ответ: 30.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание 1 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Частота события. Статистическое определение вероятности

теория вероятностей

содержание учебника

Классическое определение вероятности предполагает, что все элементарные исходы равновозможны. О равновозможности исходов опыта заключают в силу соображений симметрии (как в случае монеты или игрального кубика). Задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются редко. Во многих случаях трудно указать основания, позволяющие считать, что все элементарные исходы равновозможны. В связи с этим появилась необходимость введения еще одного определения вероятности, называемого статистическим. Чтобы дать это определение, предварительно вводят понятие относительной частоты события.

Относительной частотой события, или частотой, называется отношение числа опытов, в которых появилось это событие, к числу всех произведенных опытов. Обозначим частоту события $A$ через $W(A)$ , тогда по определению

$W(A)=displaystylefrac{m}{n}$ (1.4.1)
где $m$ – число опытов, в которых появилось событие $A$ и $n$ – число всех произведенных опытов.

Частота события обладает следующими свойствами.

Частота случайного события есть число, заключенное между нулем и единицей:
$0< W(A)<1$ . (1.4.2)
Частота достоверного события $U$ равна единице:
$W(U)=1$ (1.4.3)
Частота невозможного события $V$ равна нулю:
$W(V)=0$ (1.4.4)
Частота суммы двух несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме частот этих событий:
$W(A+B)=W(A)+W(B)$ (1.4.5)

Наблюдения позволили установить, что относительная частота обладает свойствами статистической устойчивости: в различных сериях многочленных испытаний (в каждом из которых может появиться или не появиться это событие) она принимает значения, достаточно близкие к некоторой постоянной. Эту постоянную, являющуюся объективной числовой характеристикой явления, считают вероятностью данного события.

Вероятностью события называется число, около которого группируются значения,частоты данного события в различных сериях большого числа испытаний.

Это определение вероятности называется статистическим.

В случае статистического определения вероятность обладает следующими свойствами:
1) вероятность достоверного события равна единице;
2) вероятность невозможного события равна нулю;
3) вероятность случайного события заключена между нулем и единицей;
4) вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Пример 1. Из 500 взятых наудачу деталей оказалось 8 бракованных. Найти частоту бракованных деталей.

Решение. Так как в данном случае $m$ = 8, $n$ = 500, то в соответствии с формулой (1.4.1) находим

$W=displaystylefrac{8}{500}=0,016$

Пример 2. Игральный кубик подброшен 60 раз, при этом шестерка появилась 10 раз. Какова частота появления шестерки?

Решение. Из условия задачи следует, что $n$ = 60, $m$ = 10, поэтому

$W=displaystylefrac{10}{60}=frac{1}{6}$

Пример 3. Среди 1000 новорожденных оказалось 515 мальчиков.Чему равна частота рождения мальчиков?
Решение. Поскольку в данном случае $n=1000$ , $m=515$ , то $W=displaystylefrac{515}{1000}=0,515$ .

Пример 4. В результате 20 выстрелов по мишени получено 15 попаданий. Какова частота попаданий?

Решение. Так как $n$ = 20, $m$ = 15, то

$W=displaystylefrac{15}{20}=frac{3}{4}=0,75$

Пример 5. При стрельбе по мишени частота попаданий $W$ = 0,75. Найти число попаданий при 40 выстрелах.

Решение. Из формулы (1.4.1) следует, что $m=Wcdot n$ . Так как $W$ = 0,75, $n$ = 40, то $m=0,75cdot40=30$ . Таким образом, было получено 30 попаданий.

Пример 6. www.itmathrepetitor.ru Частота нормального всхода семян W = 0,97. Из высеянных семян взошло 970. Сколько семян было высеяно?

Решение. Из формулы (1.4.1) следует, что $n=displaystylefrac{m}{W}$ . Поскольку $m = 970$ , $W=0,97$ , то $n=970/0,97=1000$ . Итак, было высеяно 1000 семян.

Пример 7. На отрезке натурального ряда от 1 до 20 найти частоту простых чисел.

Решение. На указанном отрезке натурального ряда чисел находятся следующие простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19; всего их 8. Так как $n$ = 20, $m$ = 8, то искомая частота

$W=displaystylefrac{8}{20}=0,4$ .

Пример 8. Проведены три серии многократных подбрасываний симметричной монеты, подсчитаны числа появлений герба: 1) $n_1$ = 4040, $m_1$ =2048, 2) $n_2$ = 12000, $m_2$ = 6019; 3) $n_3$ = 24000, $m_3$ = 12012. Найти частоту появления герба в каждой серии испытаний.

Решение. В соответствии с формулой (1.4.1) находим:

$W_1=displaystylefrac{m_1}{n_1}=frac{2048}{4040}=0,5069$

$W_2=displaystylefrac{m_2}{n_2}=frac{6019}{1200}approx0,5016$

$W_3=displaystylefrac{m_3}{n_3}=frac{12012}{24000}approx0,5005$ .

Замечание. Эти примеры свидетельствуют о том, что при многократных испытаниях частота события незначительно отличается от его вероятности. Вероятность появления герба при подбрасывании монеты р = 1/2 = 0,5 , так как в этом случае n = 2, m = 1.

Пример 9. Среди 300 деталей, изготовленных на автоматическом станке, оказалось 15, не отвечающих стандарту. Найти частоту появления нестандартных деталей.

Решение. В данном случае n = 300, m = 15, поэтому

$W=displaystylefrac{15}{300}=0,05$

Пример 10. Контролер, проверяя качество 400 изделий установил, что 20 из них относятся ко второму сорту, а остальные – к первому. Найти частоту изделий первого сорта, частоту изделий второго сорта.

Решение. Прежде всего, найдем число изделий первого сорта: 400 – 20 = 380. Поскольку n = 400, $m_1$ = 380, то частота изделий первого сорта

$W_1=displaystylefrac{380}{400}=0,95$

Аналогично находим частоту изделий второго сорта:

$W_2=displaystylefrac{20}{400}=0,05$

Задачи

Отдел технического контроля обнаружил 10 нестандартных изделий в партии из 1000 изделий. Найдите частоту изготовления бракованных изделий.
Для выяснения качества семян было отобрано и высеяно в лабораторных условиях 100 штук. 95 семян дали нормальный всход. Какова частота нормального всхода семян?
Найдите частоту появления простых чисел в следующих отрезках натурального ряда: а) от 21 до 40; б) от 41 до 50; в) от 51 до 70.
Найдите частоту появления цифры при 100 подбрасываниях симметричной монеты. (Опыт проводите самостоятельно).
Найдите частоту появления шестерки при 90 подбрасываниях игрального кубика.
Путем опроса всех студентов Вашего курса определите частоту дней рождения, попадающих на каждый месяц года.
Найдите частоту пятибуквенных слов в любом газетном тексте.

Ответы

0,01. 2. 0,95; 0,05. 3. а) 0,2; б) 0,3; в) 0,2.

Вопросы

Что такое частота события?
Чему равна частота достоверного события?
Чему равна частота невозможного события?
В каких пределах заключена частота случайного события?
Чему равна частота суммы двух несовместных событий?
Какое определение вероятности называют статистическим?
Какими свойствами обладает статистическая вероятность?

содержание учебника

Источник

В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.

Спрятать решение

Решение.

Из 5000 тысяч новорожденных 5000 − 2512 = 2488 девочек. Поэтому частота рождения девочек равна

дробь: числитель: 2488, знаменатель: 5000 конец дроби =0,4976 approx 0,498.

Ответ: 0,498.

Примечание.

Составителям следовало подчеркнуть, что ими поставлен вопрос об относительной частоте (судя по ответу к этому заданию в демонстрационной версии ЕГЭ−2014, дело обстоит именно так). Читателям же следует принять во внимание, что термины относительная частота и частота обычно являются синонимами.

Однако в § 26 «Относительная частота и закон больших чисел» самого массового российского учебника алгебры Ш. А. Алимова «Алгебра 9» (17 изд. и позже), наоборот, сказано следующее: «Относительной частотой события А в данной серии испытаний называют отношение числа испытаний М, в которых это событие произошло, к числу всех проведённых испытаний N. При этом число М называют частотой события А. Относительную частоту события А обозначают W левая круглая скобка A правая круглая скобка = дробь: числитель: M, знаменатель: N конец дроби ». Согласно этому учебнику, ответ на задачу  — 2488. Мы сообщили об этом составителям ЕГЭ в 2020-м году.

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

Источник

Мода и медиана

Частота и относительная частота

Частота события. Статистическое определение вероятности

Вам также может понравиться

Как найти рэп письмо

Как найти мои контакты в тик ток

Как найти тему вордпресс

Добавить комментарий Отменить ответ