Как найти чему эквивалентна функция

Определение эквивалентных функций

Эквивалентные функции – это функции, имеющие одинаковое значение. Они могут представлять собой бесконечность малых и больших величин.

Функция может иметь такое понятие лишь при наличии предела. Следует понимать, что одна и та же функция принимает значение малой или большой до бесконечности лишь в единственной точке.

Теорема о замене функций эквивалентными в пределе частного

Если при x₁, стремящимся к x₂, f(x)~f₁(x) и g(x)~g₁(x) существует предел:

то существует и предел:

Доказательство

Допустим, что следствие этой теоремы часто применяемое. Если мы имеем частное, являющееся результатом произведения функций:

в этом случае, при нахождении предела, можно сделать замену этих функций на эквивалентные:

при этом:

f(x) ~ f₁(x), p(x) ~ p₁(x), … , r(x) ~ r₁(x), g(x) ~ g₁(x), q(x) ~ q₁(x), … , s(x) ~ s₁(x).

Выражения равны друг другу, это значит, что при существовании одного из таких пределов, применимо существование выражения, равного первому. Соответственно, если не существует такой предел, то не может существовать и второй. 

Следует отметить, что можно делать замену как одной величины функции, так и нескольких одновременно. 

Таблица эквивалентных функций

Ниже приведена таблица равнозначных функций и формул при t → 0. В данном случае величина t может представлять собой как переменную, так и до бесконечности малую функцию t = t(x) при x → x₀: 

Эквивалентность при t → 0	Равенство при t → 0
sin t ~ t	sin t = t + 0(t)
arsin t ~ t	arsin t = t + 0(t)
tg t ~ t	tg t = t + 0(t)
artg t ~ t	artg t = t + 0(t)
1-cos t ~	1-cos t = + 0(t2)
et – 1 ~ t	et – 1 = t + 0(t)
at – 1 ~ t ln a	at – 1 = t ln a + 0(t)
ln (1 + t) ~ t	ln (1 + t) = t + 0(t)
loga (1 + t) ~	loga (1 + t) =  + 0(t)
(1 + t)b – 1 ~ bt	(1 + t)b – 1 = bt + 0(t)
sh t ~ t	sh t = t + 0(t)
arsh t ~ t	arsh t = t + 0(t)
th t ~ t	th t = t + 0(t)
arsh t ~ t	arsh t= t + 0(t)
ch t – 1 ~ t2/2	ch t – 1 ~ t2/2 + 0(t2)

Свойства замены функций равносильными доступны для дробных выражений с перемножаемыми величинами и произведений, где необходимо найти предел. 

В этом случае величины в числителе или знаменателе допускается заменить равнозначными функциями. Если математическое выражение представляет собой сумму чисел, замену сделать нельзя.

Примеры решения пределов с помощью эквивалентных функций

Для сравнения рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

Вычислить

 

Начнём решение, учитывая, что tg2x ~ 2x, sin3x ~ 3x при x → 0, тогда

 

Пример 2

Найти

Пусть arcsin x = t, тогда x = sin t и t → 0 при x → 0. Исходя из этого:

Значит, arcsin x ~ x при x → 0. 

Пример 3

Вычислить

Решение: если sin (15x) ~ 15x, tg (10x) ~ 10x, тогда

 

Для решения пределов можно использовать онлайн калькуляторы, размещенные на ресурсах в свободном доступе.

Эквивалентные функции

Говорят, что функции ff и gg, определенные в некоторой проколотой окрестности точки x0x_0 (возможно, x0=±∞x_0=pminfty) эквивалентны, если

lim⁡x→x0f(x)g(x)=1.
limlimits_{xto x_0}frac{f(x)}{g(x)}=1.

Если функции эквивалентны, то мы пишем

f(x)∼g(x)при   x→x0.f(x)sim g(x)quadtext{при },, xto x_0.

Если существует конечный предел lim⁡x→x0f(x)=A≠0limlimits_{xto x_0 }f(x)=Ane 0, то, очевидно,

f(x)∼A  при  x→x0.f(x)sim A,,text{при},,xto x_0.

Если lim⁡x→x0f(x)=0limlimits_{xto x_0 }f(x)= 0, то говорят, что величина f(x)f(x) бесконечно малая при x→x0xto x_0.

Пример 1

Как следует из статьи замечательные пределы, имеют место следующие эквивалентности

sin⁡x∼tg⁡x∼arcsin⁡x∼arctg⁡x∼x,  1−cos⁡x∼x22sin xsimoperatorname{tg} xsimoperatorname{arcsin} xsimoperatorname{arctg} x sim x,,, 1-cos xsimfrac{x^2}{2}

ln⁡(1+x)∼x,  (1+x)a∼1ax,  ex∼1+xпри   x→0.
ln(1+x)sim x,,,(1+x)^asim 1 ax,,,e^xsim 1+xquadtext{при },, xto 0.

При вычислении пределов функции можно заменять на эквивалентные.

Пример 2

Вычислить предел

lim⁡x→01+sin⁡x−1arcsin⁡x.
limlimits_{xto 0}frac{sqrt{1+sin x}-1}{arcsin{x}}.

Заменяем функции на эквивалентные:

1+sin⁡x−1arcsin⁡x∼1+x−1x∼1+12x−1x=12
frac{sqrt{1+sin x}-1}{arcsin{x}}simfrac{sqrt{1+ x}-1}{{x}}simfrac{1+frac{1}{2}x-1}{x}=frac{1}{2}

Таким образом,

lim⁡x→01+sin⁡x−1arcsin⁡x=12.
limlimits_{xto 0}frac{sqrt{1+sin x}-1}{arcsin{x}}=frac{1}{2}.

Однако, как показывает следующий предел, замена выражений на эквивалентные при вычислении пределов может привести к неопределенности:

lim⁡x→0x−sin⁡xarcsin⁡x−x=lim⁡x→0x−xx−x=00.
limlimits_{xto 0}frac{x-sin x}{arcsin x-x}=limlimits_{xto 0}frac{x- x}{ x-x}=frac{0}{0}.

O-большое

Пусть функции f(x)f(x) и g(x)g(x) определены в некоторой проколотой окрестности точки x0x_0 (или определены для достаточно больших значений ∣x∣|x|, если x0=±∞x_0=pminfty), причем функция g(x)g(x) строго положительна.

Говорят, что f(x)=O(g(x))f(x)=O(g(x)) при x→x0xto x_0, если существует постоянная C>0C>0 для которой

∣f(x)∣<Cg(x).
|f(x)|<Cg(x).

Заметим, что запись f(x)=O(1)f(x)=O(1), x→x0xto x_0 означает, что f(x)f(x) ограничена в некоторой проколотой окрестности точки x0x_0.

Пример 3

• x=O(ex)x=O(e^x) при x→+∞xto+infty, так как x<exx<e^x для всех x>0x>0;

• ex=O(∣x∣)e^x=O(|x|) при x→−∞xto -infty, так как ex<∣x∣e^x<|x| для всех x<−1x<-1;

• 1x=O(1×2)frac{1}{x}=Oleft(frac{1}{x^2}right) при x→0xto 0, так как 1∣x∣<1x2frac{1}{|x|} < frac{1}{x^2} для всех x∈(−1;0)∪(0;1)xin (-1;0)cup(0;1);

• 1×2=O(1∣x∣)frac{1}{x^2}=Oleft(frac{1}{|x|}right) при x→±∞xto pminfty, так как 1×2<1∣x∣frac{1}{x^2}<frac{1}{|x|} для всех ∣x∣>1|x|>1.

Из определения следует, что условие f(x)=O(g(x))f(x)=O(g(x)) при x→x0xto x_0 равносильно тому, что

∣f(x)g(x)∣<Cleft|frac{f(x)}{g(x)}right|<C

в некоторой проколотой окрестности точки x0x_0.

Если f(x)=O(g(x))f(x)=O(g(x)) и g(x)=O(f(x))g(x)=O(f(x)) при x→x0xto x_0, то пишут

f(x)≍g(x),x→x0.f(x)asymp g(x),quad xto x_0.

Данное отношение равносильно существованию положительных констант c,C>0c,C>0, для которых в некоторой проколотой окрестности точки x0x_0 выполнено

c<f(x)g(x)<C.
c<frac{f(x)}{g(x)}<C.

Например, x≍3×2−1,x→+∞xasymp sqrt{3x^2-1},quad xto +infty.

Свойства O-большого

• f1(x)=O(g1(x))f_1(x)=O(g_1(x)), f2(x)=O(g2(x))f_2(x)=O(g_2(x)) ⇒Rightarrow f1(x)f2(x)=O(g1(x)g2(x))f_1(x)f_2(x)=O(g_1(x)g_2(x)),

в частности если функция h(x)h(x) положительна, то h(x)O(g(x))=O(h(x)g(x))h(x)O(g(x))=O(h(x)g(x));

• f1(x)=O(g1(x))f_1(x)=O(g_1(x)), f2(x)=O(g2(x))f_2(x)=O(g_2(x)) ⇒Rightarrow f1(x)+f2(x)=O(g1(x)+g2(x))f_1(x)+f_2(x)=O(g_1(x)+g_2(x)),

в частности f1(x),f2(x)=O(g(x))f_1(x), f_2(x)=O(g(x)) ⇒Rightarrow f1(x)+f2(x)=O(g(x))f_1(x)+f_2(x)=O(g(x));

Пусть функции f(x)f(x) и g(x)g(x) определены в некоторой проколотой окрестности точки x0x_0 (или определены для достаточно больших значений ∣x∣|x|, если x0=±∞x_0=pminfty).

Говорят, что f(x)=o(g(x))f(x)=o(g(x)) при x→x0xto x_0 (f(x)f(x) является бесконечно малой от g(x)g(x)), если

lim⁡x→x0f(x)g(x)=0.
limlimits_{xto x_0}frac{f(x)}{g(x)}=0.

Заметим, что запись f(x)=o(1)f(x)=o(1), x→x0xto x_0 означает, что lim⁡x→x0f(x)=0limlimits_{xto x_0}f(x)=0.

Пример 4

• xa=o(ex)x^a=o(e^x) при x→+∞xto+infty для любого a∈Rainmathbb{R};

• ex−1=o(1)e^x-1=o(1) при x→0xto 0;

• sin⁡x−x=o(x)sin x-x=o(x) при x→0xto 0;

• 1−cos⁡x=o(x)1-cos x=o(x) при x→0xto 0.

Свойства o-малого

Свойства o-малого аналогичны свойствам O-большого. Кроме того

o(O(g(x)))=O(o(g(x)))=o(g(x)).
oleft(O(g(x))right)=Oleft(o(g(x))right)=o(g(x)).

Пример 5

Покажем, что

sin⁡x−x=o(x2).sin x-x=oleft(x^2right).

Действительно, используя неравенство xcos⁡x<sin⁡x<xxcos x<sin x<x, (см. Пример 2 статьи Предел функции в точке), имеем

0<x−sin⁡x<x(1−cos⁡x)=xo(x)=o(x2).0<x-sin x<x(1-cos x)=xo(x)=oleft(x^2right).

Откуда следует sin⁡x−x=o(x2)sin x-x=oleft(x^2right).

На самом деле имеет место более сильное равенство

x−sin⁡x=O(x3).x-sin x=Oleft(x^3right).

Следствия формулы Маклорена

Используя ряд Маклорена для элементарных функций, можно получить следующие формулы (ряд Маклорена с остаточным членом в форме Пеано)

• sin⁡x=x+x36+o(x4)sin x=x+frac{x^3}{6}+o(x^4)

• arcsin⁡x=x−x36+o(x4)arcsin x=x-frac{x^3}{6}+o(x^4)

• tg⁡x=x+x33+o(x4)tg x=x+frac{x^3}{3}+o(x^4)

• arctg⁡x=x−x33+o(x4)operatorname{arctg} x=x-frac{x^3}{3}+o(x^4)

• ln⁡(1+x)=x−x22+o(x2)ln(1+ x)=x-frac{x^2}{2}+o(x^2)

• (1+x)a=1+ax+a(a−1)x22+o(x2)(1+x)^a=1+ax+frac{a(a-1)x^2}{2}+o(x^2)

Пример 6
lim⁡x→0x−sin⁡xarcsin⁡x−x=lim⁡x→0x36+o(x3)x36+o(x3)=lim⁡x→01+o(1)1+o(1)=1.limlimits_{xto 0}frac{x-sin x}{arcsin x-x}=limlimits_{xto 0}frac{frac{x^3}{6}+oleft(x^3right)}{frac{x^3}{6}+oleft(x^3right)}=limlimits_{xto 0}frac{1+o(1)}{1+o(1)}=1.

Тест по теме “Сравнение функций”

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 19 февраля 2020 года; проверки требуют 8 правок.

Асимптотическое равенство (эквивалентность) в математическом анализе — отношение эквивалентности между функциями, определёнными в некоторой проколотой окрестности точки, означающее равенство функций вблизи этой точки со сколь угодно малой относительной погрешностью. Асимптотические равенства широко используются при вычислении пределов. Часто асимптотически эквивалентные функции называют просто эквивалентными, опуская слово асимптотически. Также довольно распространённым является термин эквивалентные бесконечно малые, что есть не что иное как частный случай асимптотической эквивалентности для бесконечно малых функций.

Мотивировка[править | править код]

Про многие функции часто говорят, что они примерно равны или ведут себя одинаково вблизи некоторой точки. Однако такая терминология слишком расплывчата, и если мы действительно хотим говорить про одинаковое поведение функций, этому нужно дать формальное определение.

Определим следующий термин: будем говорить, что функция приближает или аппроксимирует функцию вблизи точки , если для сколь угодно малого числа можно взять такую окрестность, где эти функции будут отличаться не более чем на это число. На -языке:

Не трудно увидеть, что это определение означает равенство предела разности функций нулю при стремлении к точке . есть не что иное как абсолютная погрешность приближения функции функцией . При определении аппроксимирующей в точке функции мы требуем того, чтобы абсолютную погрешность можно было сделать сколь угодно малой. При этом относительная погрешность совсем не обязательно будет мала. Простой пример: функция аппроксимирует функцию в точке , так как у них равный предел. Однако относительная погрешность этой аппроксимации во всех точках кроме равна .

Можно вместо условия малости абсолютной погрешности потребовать малость относительной. Функции с таким условием и называются асимптотически эквивалентными^{[1][нет в источнике]}. Относительная погрешность (для неравной нулю в некоторой проколотой окрестности точки ) функций и считается по формуле . Условие асимптотической эквивалентности формулируется тогда так:

Это, очевидно, эквивалентно условию , которое чаще всего и принимается за определение асимптотической эквивалентности.

Определение[править | править код]

Классическое определение

Пусть и определены в некоторой проколотой окрестности точки ( также может быть бесконечностью, как с определённым знаком, так и беззнаковой) и не равна в некоторой проколотой окрестности. Функции и называются асимптотически равными при , если:

Эквивалентность по базе

Конечно, асимптотическое равенство можно рассматривать не только для простого стремления аргумента к некоторому значению. Можно рассматривать предел и по другим базам: при стремлении аргумента справа, слева, по какому-то подмножеству и вообще по любой базе. Поэтому имеет смысл определить асимптотическую эквивалентность для любой базы . Пусть и определены на некотором элементе базы и не равна на некотором элементы базы. Функции и называются асимптотически равными по базе , если:^{[2][нет в источнике]}

Общий случай

Понятие асимптотического равенства может быть обобщено и на случай, если условие неравенства нулю не выполняется ни в какой окрестности. Пусть и определены на некотором элементе базы . Функции и называются асимптотически равными по базе , если функцию можно представить в виде , где ^[3].

Через о-малое

Эквивалентное определение асимптотическому равенству может быть дано с использованием понятия о-малого. Пусть и определены на некотором элементе базы и не равна на некотором элементы базы. Функции и называются асимптотически равными по базе , если функцию можно представить в виде , где есть о-малое от по базе .

Через бесконечно малое

Для общего случая приведённое выше определение через о-малое можно сформулировать используя понятие бесконечно малое. Пусть и определены на некотором элементе базы . Функции и называются асимптотически равными по базе , если функцию можно представить в виде , где есть бесконечно малое по базе ^[3].

Для обозначения асимптотического равенства используется тильда: .

Отношение эквивалентности[править | править код]

Асимптотическое равенство по некоторой базе в полном смысле является отношением эквивалентности на множестве определённых на некотором элементе базы функций, то есть оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Поэтому множество таких функций может быть разбито на классы эквивалентности.

Любые две функции, имеющие одинаковый конечный ненулевой предел, эквивалентны между собой. С другой стороны, эквивалентность функции некоторой функции с ненулевым конечным пределом, автоматически влечёт за собой равенство их предела. Таким образом, множество функций с одинаковым ненулевым конечным пределом образует класс эквивалентности.

Совсем не так обстоит дело с бесконечно малыми, бесконечно большими и не имеющими предела функциями. Именно такие эквивалентности и представляют интерес. Эквивалентность двух функций влечёт за собой равенство их пределов (либо их несуществование), поэтому можно рассматривать отдельно классы эквивалентности бесконечно больших и бесконечно малых функций^[3].

Примеры[править | править код]

Полином при эквивалентен своему ненулевому слагаемому со старшей степенью, а при с младшей.

при

при

При вычислении пределов во многих учебниках часто приводят таблицы эквивалентностей для некоторых элементарных функций:

Эквивалентные бесконечно малые при

Функция 1	Функция 2

Довольно известной является формула Стирлинга, приближающая факториал непрерывной функцией:

при

Асимптотики полезны при оценке комбинаторных величин с достаточно большими параметрами. Например, подставив формулу Стирлинга в явную формулу вычисления биномиального коэффициента, можно получить, что:

при

Количество простых чисел, меньших некоторого заданного числа, также имеет простое асимптотическое приближение:

при ,

где  — количество простых чисел, меньших

Свойства[править | править код]

Это свойство позволяет заменять выражение под знаком предела на эквивалентное. Именно на нём основана техника вычисления пределов с помощью эквивалентностей.

по базе .

по базе .

по базе .

Все равенства тут в смысле пределы либо равны, либо оба не существуют. Последнее свойство может быть обобщено и на случай дробной степени, однако так как отрицательные числа возводить в нецелую степень нельзя, необходимо предварительно проверить, будут ли итоговые функции определены на каком-либо элементе базы. Для арифметических корней нечётной степени свойство может быть применено без дополнительных проверок.

Эти свойства широко используются на практике для вычисления предела. Пример:

Заметим, что аналогичного свойства для суммы нет: сумма эквивалентных не обязана быть эквивалентна сумме.

• Представление через о-малое.

Так как это альтернативное определение эквивалентности, его можно использовать и в обратную сторону. К примеру: при , поскольку . Это позволяет в эквивалентностях избавляться от малых слагаемых. Пример:

Это свойство в прямую сторону часто используется в комбинации со следующим:

• o-малое есть о-малое от эквивалентного.

Несмотря на то, что в сумме на эквивалентные заменять нельзя, можно воспользоваться последними двумя свойствами:

Теорема об эквивалентности сложных функций как и теорема о пределе сложной функции имеет непростую формулировку. Сформулируем 3 варианта этой теоремы:

• Эквивалентность сложных функций.

Версия теоремы для непрерывных функций, впрочем, покрывает большинство примеров, встречающихся на практике. К примеру: при . Для разрывных функций требуется дополнительное условие.

Оба этих свойства являются следствием общей теоремы для пределов по произвольной базе.

и ,

если и ряд:

расходится, то из следует, что:

.

Порядок[править | править код]

Сходным по смыслу с асимптотическим равенством, но менее строгим отношением является наличие одинакового порядка функций. Говорят, что функции и имеют одинаковый порядок, если . В этом случае используют обозначение или . В случае если эти функции бесконечно малые порядок обычно называют порядком малости, а если бесконечно большие, то порядком роста.

При этом из одинаковости порядка отнюдь не следует существование константы такой, что . Для примера достаточно заметить, что
, так как
, однако не существует такой константы , что .

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. В 3-х томах. Том 1. — М.: Дрофа, 2003. — 704 p.
• Архипов, Г. И. Лекции по математическому анализу : учеб. для вузов / Г. И. Архипов, В. А. Садовничий, В. Н. Чубариков ; под ред. В. А. Садовничего. — 5-е изд., испр.. — М.: Дрофа, 2004. — 640 с. — (Классический университетский учебник). — ISBN 5-7107-8900-3.
• Asymptotic equality. Encyclopedia of Mathematics.

Эквивалентные функции

Содержание:

• Что такое эквивалентные функции
• Эквивалентные функции и их применение к нахождению пределов
  • Свойства функций
  • Применяемые определения 
  • Применяемые теоремы
• Сравнение функций
  • Сравнение бесконечно малых функций
  • Сравнение бесконечно больших функций
• Примеры решения пределов с помощью эквивалентных функций

Что такое эквивалентные функции

Определение

Эквивалентность — равнозначность в каком-либо отношении.

Эквивалентные функции позволяют облегчить процесс вычисления пределов с помощью замены множителей в примерах с дробями и произведениями.

Функции α(x) и β(x) называются эквивалентными при x→α, если ( lim_{xrightarrowalpha}frac{alpha(x)}{beta(x)}=1.)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Данное определение применимо к бесконечно большим и малым функциям.

Эквивалентность обозначается знаком ∼, т.е. чтобы показать, что функции α(x) и β(x) эквивалентны, нужно оформить запись следующим образом: α(x)∼β(x)

Для удобства следует использовать специальную таблицу.

Эквивалентные функции и их применение к нахождению пределов

Свойства функций

Основные свойства бесконечно малых функций:

1. (alphasimalpha,;(lim_{xrightarrow a})fracalphaalpha=1.)
2. Если (alphasimbeta и betasimgamma, то alphasimgamma,;(lim_{xrightarrowalpha}fracalphagamma=lim_{xrightarrowalpha}(fracalphabetatimesfracbetagamma)=1times1=1).)
3. Если (alphasimbeta и betasimgamma и betasimgamma, то (lim_{xrightarrowalpha}fracbetaalpha=lim_{xrightarrowalpha}frac1{displaystylefracalphabeta}=1).)
4. Если (alphasimalpha_1 и betasimbeta и lim_{xrightarrowalpha}fracalphabeta=kappa, то и lim_{xrightarrowalpha}frac{alpha_1}{beta_1}=kappa или lim_{xrightarrowalpha}fracalphabeta=lim_{xrightarrowalpha}frac{alpha_1}{beta_1}.)

Основные свойства эквивалентных бесконечно больших функций:

1. (frac{alpha(x)-beta(x)}{alpha(x)}=(1-frac{beta(x)}{alpha(x)})overset{x-alpha}{rightarrow0}.)
2. (x = {-b pm sqrt{b^2-4ac} over 2a}alpha(x)simlambdabeta(x), где lambda=lim_{xrightarrowalpha}frac{alpha(x)}{beta(x)}.)
3. (alpha(x)+beta(x)simalpha(x).)

Применяемые определения 

Основные определения:

1. Функции (alpha(x) и beta(x)) бесконечно малы при (xrightarrowalpha.)
2. Если есть (lim_{xrightarrowalpha}frac{alpha(x)}{beta(x)}=Cneq0,;infty, то alpha(x) и beta(x)) бесконечно малые одного и того же порядка при (xrightarrowalpha ) 
3. Если есть (lim_{xrightarrowalpha}frac{alpha(x)}{beta(x)}=0) , то (alpha(x))— величина более высокого порядка малости, чем (beta(x)) при (xrightarrowalpha.)
4. Если (notnilim_{xrightarrowalpha}frac{alpha(x)}{beta(x)}), то бесконечно малые (alpha(x) и beta(x)) несравнимы при (xrightarrowalpha.)
5. Суммой двух бесконечно больших функций при (xrightarrowalpha) является неопределенность.
6. Произведением бесконечно большой функции и функции, имеющей в точке α конечный ненулевой предел, является бесконечно большая функция при (xrightarrowalpha.)

Данных определений будет достаточно для решения пределов с применением понятия эквивалентности.

Применяемые теоремы

Теорема 1 (о замене эквивалентными в произведении и отношении):

Если (alpha_1(x),;alpha_2(x),;beta_1(x),;beta_2(x)) являются бесконечно малыми при (xrightarrowalpha и alpha_1(x)simbeta_1(x),;alpha_2(x)simbeta_2(x)) при (xrightarrowalpha), то

• (alpha_1(x)timesalpha_2(x)simbeta_1(x)timesbeta_2(x);)
• (frac{alpha_1(x)}{alpha_2(x)}simfrac{beta_1(x)}{beta_2(x)}) при (xrightarrowalpha;)
• (lim_{xrightarrowalpha}frac{alpha_1(x)}{alpha_2(x)}=lim_{xrightarrowalpha}frac{beta_1(x)}{beta_2(x)}.)

Теорема 2:

Для того чтобы бесконечно малые функции α(x) и β(x) были эквивалентными при (xrightarrowalpha), нужно, чтобы при (xrightarrowalpha) выполнялось любое из равенств:

• (alpha(x)-beta(x)=circ(alpha(x));)
• (alpha(x)-beta(x)=circ(beta(x)).)

Теорема 3:

Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем каждая из них.

Верно и обратное утверждение.

Теорема 4:

Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Теорема 5 (о замене эквивалентных функций в пределах частного):

Если при (xrightarrow x_0, alpha(x)simalpha_1(x), beta(x)simbeta_1(x)) существует предел (lim_{xrightarrow x_0}frac{a_1(x)}{beta_1(x)},) то существует и предел (lim_{xrightarrow x_0}frac{a(x)}{beta(x)}=lim_{xrightarrow x_0}frac{a_1(x)}{beta_1(x)}.)

Сравнение функций

Сравнение бесконечно малых функций

1. Если (lim_{xrightarrowalpha}frac{a(x)}{beta(x)}) есть конечное ненулевое число, то (alpha(x)) и (beta(x)) называются бесконечно малыми одного и того же порядка.
2. Если (lim_{xrightarrowalpha}frac{a(x)}{beta(x)}) есть ноль, то (alpha(x)) по сравнению с (beta(x)) является бесконечно малой более высокого порядка при (xrightarrowalpha), а (beta(x)) по сравнению с (alpha(x) )— бесконечно малой меньшего порядка.
3. Если (lim_{xrightarrowalpha}frac{a(x)}{beta(x)}) есть бесконечность, то (beta(x)) по сравнению с (alpha(x)) является бесконечно малой более высокого порядка при (xrightarrowalpha), а (alpha(x)) по сравнению с (beta(x)) — бесконечно малой меньшего порядка.

Сравнение бесконечно больших функций

1. Если (lim_{xrightarrowalpha}frac{a(x)}{beta(x)}) больше нуля и меньше бесконечности, то (alpha(x)) и (beta(x)) называются бесконечно большими одного и того же порядка.
2. Если (lim_{xrightarrowalpha}frac{a(x)}{beta(x)}) есть бесконечность, то (alpha(x)) по сравнению с (beta(x)) является бесконечно большой более высокого порядка, при (xrightarrowalpha). При этом (beta(x)) имеет меньший порядок роста.
3. Если (lim_{xrightarrowalpha}frac{a(x)}{beta(x)}) есть ноль, то (beta(x)) по сравнению с (alpha(x)) является бесконечно большой более высокого порядка при (xrightarrowalpha.)
4. Если (alpha(x) и beta^n(x)) являются бесконечно большими функциями одного и того же порядка, то функция (alpha(x)) по сравнению с (beta^n(x)) называется бесконечно большой n-ного порядка.

Примеры решения пределов с помощью эквивалентных функций

Пример 1

Найти предел:

(lim_{xrightarrow0}frac{lnleft(1+4xright)}{sinleft(3xright)} )

Решение

Воспользуемся таблицей эквивалентных функций. 

(lnleft(1+alpharight)simalpha,;sinleft(alpharight)simalpha)

Следовательно,

(lim_{xrightarrow0}frac{lnleft(1+4xright)}{sinleft(3xright)}=lim_{xrightarrow0}frac{4x}{3x}=frac43)

Пример 2

Найти предел:

(lim_{xrightarrow0}frac{sqrt[3]{1+x}-1}x)

Решение

Воспользуемся таблицей эквивалентных функций.

(sqrt[3]{1+x}sim1+frac x3)

Следовательно,

(lim_{xrightarrow0}frac{sqrt[3]{1+x}-1}x=lim_{xrightarrow0}frac{{(1+x)}^{displaystylefrac13}-1}x=lim_{xrightarrow0}frac{1+{displaystylefrac x3}-1}x=frac13lim_{xrightarrow0}frac xx=frac13)

Пример 3

Найти предел:

(lim_{xrightarrowmathrmpi}frac{1+cosleft(xright)}{{(x-mathrmpi)}^2})

Решение

Произведем замену переменной

 ((x-mathrmpi)=y, где yrightarrow0, если xrightarrowmathrmpi)

Преобразуем выражение.

(L=lim_{xrightarrowmathrmpi}frac{1+cosleft(xright)}{{(x-mathrmpi)}^2}=lim_{yrightarrow0}frac{1+cosleft(y+mathrmpiright)}{y^2})

Применим формулу приведения:

(cosleft(y+mathrmpiright)=-cosleft(yright))

Получим:

(L=lim_{yrightarrow0}frac{1-cosleft(yright)}{y^2})

Воспользуемся таблицей эквивалентных функций.

(1-cosleft(yright)simfrac{y^2}2)

Следовательно,

(L=lim_{yrightarrow0}frac{1-cosleft(yright)}{y^2}=lim_{yrightarrow0}frac{displaystylefrac{y^2}2}{y^2}=frac12)

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

В тех случаях, когда функциональная зависимость имеет довольно сложный вид, возникают большие трудности при изучении ее свойств. Простой просчет значений функции на ЭВМ порой может оказаться неосуществимым, так как даже современные ЭВМ допускают значительные погрешности в расчетах с очень большими или же малыми числами. Мы рассмотрим весьма интересный подход к изучению функциональных зависимостей, основанный на их замене более простыми функциями в окрестности некоторых предельных точек.

Будем говорить, что функции и ЭКВИВАЛЕНТНЫ в окрестности предельной точки (конечной или бесконечной), если найдется такая функция в окрестности этой предельной точки, что

,

Где

Очевидно, новое определение обобщает данное ранее для бесконечно малых функций.

Теорема. Для эквивалентности функций и при достаточно, чтобы предел их отношения при был равен единице:

Рассмотрим пример. Пусть

Тогда

А так как

То в качестве функции, эквивалентной данной при , может быть взята

Действительно .

Найдем, для каких x эквивалентная функция будет отличаться от данной менее чем на :

(9. 35)

Можно провести вычислительный эксперимент и достаточно точно определить, с каких x более сложную функцию

Допустимо заменить более простой

Сделаем приближенную оценку этих значений x, усиливая рассматриваемое неравенство (9.35):

Значения x, соответствующие неравенству

Тем более будет удовлетворять неравенству (9.35).

Поэтому искомые значения х определяются неравенством:

Положим, к примеру, что . Тогда

Это означает, что для x > 2,43 и x < –2,43 данная функция будет отличаться по абсолютной величине от функции менее чем на 0,002.

Может показаться, что в качестве функции, эквивалентной данной, для достаточно больших по модулю x можно взять функцию

Она действительно проще, чем . Однако при той же абсолютной погрешности E, заменив более сложную функцию на такую простую функцию как , мы получим, что неравенство

Путем аналогичных рассуждений

Дает допустимый диапазон значений x:

Если принять то же значение , то для и значения данной функции можно полагать равными нулю. Как видим, при заданной абсолютной погрешности диапазон допустимых значений меняется. Выигрывая в простоте эквивалентной функции, мы, вместе с тем, теряем часть промежутка, на котором осуществляется упрощение.

Найдем функцию, эквивалентную данной, в окрестности предельной точки . Для этого представим иначе данную функцию:

Так как

То эквивалентная функция в окрестности нуля будет иметь вид:

Определим, при каких x, близких к нулю, функция отличается от данной по абсолютной величине менее, чем на E :

Найдем искомые значения x с некоторым “запасом”:

Тогда

При той же погрешности вычислений получим

Или

На рис. 9.22 изображены данная функция и эквивалентные ей. Мы видим, что на весьма значительной части области определения функции при абсолютной погрешности расчета можно использовать на практике более простые функциональные зависимости.

Рассмотрим другой пример. Функция

Как несложно установить, при имеет эквивалентную:

Значения x, допускающие такую замену при абсолютной погрешности E, определяются следующим образом:

Поэтому имеем:

,

Находим с некоторым запасом требуемые значения x:

При получаем , то есть или .

Если же данную функцию непосредственно табулировать с использованием вычислительных средств, то переполнение порядка на ЭВМ для практически неизбежно, однако эта функция ведет себя, как эквивалентная ей . Отметим также, что отыскание путем вычислительного эксперимента допустимых x, упрощающих при заданной абсолютной погрешности вычисления, едва ли осуществимо в полной мере, так как этому могут воспрепятствовать вычислительные возможности ЭВМ. Следовательно, полученная аналитически оценка более значима.

< Предыдущая		Следующая >