Как найти чему равен arcsin – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

В данной статье рассматриваются вопросы нахождения значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса заданного числа. Для начала вводятся понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Рассматриваем основные их значения, по таблицам, в том числе и Брадиса, нахождение этих функций.

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Необходимо разобраться в понятиях «значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса».

Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа помогут разобраться в вычислении заданных функций. Значение тригонометрических функций угла равняется числу a, тогда автоматически считается величиной этого угла. Если a – число, тогда это и есть значение функции.

Для четкого понимания рассмотрим пример.

Если имеем арккосинус угла равного π3, то значение косинуса отсюда равно 12 по таблице косинусов. Данный угол расположен в промежутке от нуля до пи, значит, значение арккосинуса 12 получим π на 3. Такое тригонометрическое выражение записывается как arcos(12)=π3.

Величиной угла может быть как градус, так и радиан. Значение угла π3 равняется углу в 60 градусов (подробней разбирается в теме перевода градусов в радианы и обратно). Данный пример с арккосинусом 12 имеет значение 60 градусов. Такая тригонометрическая запись имеет вид arccos12=60°

Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg

Благодаря таблице синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, мы имеет точные значения угла при 0, ±30, ±45, ±60, ±90, ±120, ±135, ±150, ±180 градусов. Таблица достаточно удобна и из нее можно получать некоторые значения для аркфункций, которые имеют название как основные значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Таблица синусов основных углов предлагает такие результаты значений углов:

sin(-π2)=-1, sin(-π3)=-32, sin(-π4)=-22, sin(-π6)=-12,sin 0 =0, sinπ6=12, sinπ4=22, sinπ3=32, sinπ2=1

Учитывая их, можно легко высчитать арксинус числа всех стандартных значений, начиная от -1 и заканчивая 1, также значения от –π2 до +π2 радианов, следуя его основному значению определения. Это и является основными значениями арксинуса.

Для удобного применения значений арксинуса занесем в таблицу. Со временем придется выучить эти значения, так как на практике приходится часто к ним обращаться. Ниже приведена таблица арксинуса с радианным и градусным значением углов.

α	-1	-32	-22	-12	0	12	22	32
arcsin αкак угол	в радианах	-π2	-π3	-π4	-π6	0	π6	π4	π3
в градусах	-90°	-60°	-45°	-30°	0°	30°	45°	60°
arcsin α как число	-π2	-π3	-π4	-π6	0	π6	π4	π3

Для получения основных значений арккосинуса необходимо обратиться к таблице косинусов основных углов. Тогда имеем:

cos 0=1, cos π6=32 , cos π4=22, cos π3=12, cosπ2=0,cos2π3=-12, cos3π4=-22, cos5π6=-32, cosπ=-1

Следуя из таблицы, находим значения арккосинуса:

arccos (-1)=π, arccos (-32)=5π6, arcocos (-22)=3π4, arccos-12=2π3, arccos 0 =π2, arccos 12=π3, arccos 22=π4, arccos32=π6, arccos 1 =0

Таблица арккосинусов.

α	-1	-32	-22	-12	0	12	22	32	1
arccos αкак угол	в радианах	π	5π6	3π4	2π3	π2	π3	π4	π6	0
в градусах	180°	150°	135°	120°	90°	60°	45°	30°	0°
arccos α как число	π	5π6	3π4	2π3	π2	π3	π4	π6	0

Таким же образом, исходя из определения и стандартных таблиц, находятся значения арктангенса и арккотангенса, которые изображены в таблице арктангенсов и арккотангенсов ниже.

α	-3	-1	-33	0	33	1	3
arctg aкак угол	в радианах	-π3	-π4	-π6	0	π6	π4	π3
в градусах	-60°	-45°	-30°	0°	30°	45°	60°
arctg a как число	-π3	-π4	-π6	0	π6	π4	π3

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

arcsin, arccos, arctg и arcctg

Для точного значения arcsin, arccos, arctg и arcctg числа а необходимо знать величину угла. Об этом сказано в предыдущем пункте. Однако, точное значении функции нам неизвестно. Если необходимо найти числовое приближенное значение аркфункций, применяют таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса.

Такая таблица позволяет выполнять довольно точные вычисления, так как значения даются с четырьмя знаками после запятой. Благодаря этому числа выходят точными до минуты. Значения arcsin, arccos, arctg и arcctg отрицательных и положительных чисел сводится к нахождению формул arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел вида arcsin(-α)=-arcsin α, arccos(-α)=π-arccos α, arctg(-α)=-arctg α, arcctg(-α)=π-arcctg α.

Рассмотрим решение нахождения значений arcsin, arccos, arctg и arcctg с помощью таблицы Брадиса.

Если нам необходимо найти значение арксинуса 0,2857, ищем значение, найдя таблицу синусов. Видим, что данному числу соответствует значение угла sin 16 градусов и 36 минут. Значит, арксинус числа 0,2857 – это искомый угол в 16 градусов и 36 минут. Рассмотрим на рисунке ниже.

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

Правее градусов имеются столбцы называемые поправки. При искомом арксинусе 0,2863 используется та самая поправка в 0,0006, так как ближайшим числом будет 0,2857. Значит, получим синус 16 градусов 38 минут и 2 минуты, благодаря поправке. Рассмотрим рисунок с изображением таблицы Брадиса.

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

Бывают ситуации, когда искомого числа нет в таблице и даже с поправками его не найти, тогда отыскивается два самых близких значения синусов. Если искомое число 0,2861573, то числа 0,2860 и 0,2863 являются ближайшими его значениями. Этим числам соответствуют значения синуса 16 градусов 37 минут и 16 градусов и 38 минут. Тогда приближенное значение данного числа можно определить с точностью до минуты.

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

Таким образом находятся значения arcsin, arccos, arctg и arcctg.

Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Чтобы найти арксинус через известный арккосинус данного числа, нужно применить тригонометрические формулы arcsin α+arccos α=π2, arctg α+arcctg α=π2 (не обходимо просмотреть тему формул суммы арккосинуса и арксинуса, суммы арктангенса и арккотангенса).

При известном arcsin α= -π12 необходимо найти значение arccos α, тогда необходимо вычислить арккосинус по формуле:

arccos α=π2−arcsin α=π2−(−π12)=7π12.

Если необходимо найти значение арктангенса или арккотангенса числа a с помощью известного арксинуса или арккосинуса, необходимо производить долгие вычисления, так как стандартных формул нет. Рассмотрим на примере.

Если дан арккосинус числа а равный π10, а вычислить арктангенс данного числа поможет таблица тангенсов. Угол π10 радиан представляет собой 18 градусов, тогда по таблице косинусов видим, что косинус 18 градусов имеет значение 0,9511, после чего заглядываем в таблицу Брадиса.

Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

При поиске значения арктангенса 0,9511 определяем, что значение угла имеет 43 градуса и 34 минуты. Рассмотрим по таблице ниже.

Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Фактически, таблица Брадиса помогает в нахождении необходимого значения угла и при значении угла позволяет определить количество градусов.

Источник

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arcus — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Так, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Манера обозначать таким образом обратные тригонометрических функции появилась у австрийского математика XVIII века Карла Шерфера и закрепилась благодаря Лагранжу. Впервые специальный символ для обратной тригонометрической функции использовал Даниил Бернулли в 1729 году. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: ${displaystyle sin ^{-1},{frac {1}{sin }},}$ но они не прижились^[1].
Лишь изредка в иностранной литературе, также как и в научных/инженерных калькуляторах, пользуются обозначениями типа sin⁻¹, cos⁻¹ для арксинуса, арккосинуса и т. п.^[2], — такая запись считается не очень удобной, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.

Тригонометрические функции периодичны, поэтому функции, обратные к ним, многозначны. То есть, значение аркфункции представляет собой множество углов (дуг), для которых соответствующая прямая тригонометрическая функция равна заданному числу. Например, $arcsin 1/2$ означает множество углов $left ( frac{pi}{6}, frac{5 pi}{6}, frac{13 pi}{6}, frac{17 pi}{6} dots ~ (30^circ, 150^circ, 390^circ, 510^circ dots) right )$ , синус которых равен $1/2$ . Из множества значений каждой аркфункции выделяют её главные значения (см. графики главных значений аркфункций ниже), которые обычно и имеют в виду, говоря об арксинусе, арккосинусе и т. д.

В общем случае при условии $-1leqslant alpha leqslant 1$ все решения уравнения $sin x=alpha$ можно представить в виде $x=(-1)^{n}arcsin alpha +pi n,~n=0,pm 1,pm 2,dots ~.$ ^[3]

Основное соотношение[править | править код]

$arcsin x+arccos x={frac {pi }{2}}$

$operatorname {arctg},x+operatorname {arcctg},x={frac {pi }{2}}$

Функция arcsin[править | править код]

График функции $y=arcsin x$

Аркси́нусом числа x называется такое значение угла y, выраженного в радианах, для которого ${displaystyle sin y=x,quad -{frac {pi }{2}}leqslant yleqslant {frac {pi }{2}},quad |x|leqslant 1.}$

Функция $y=arcsin x$ непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей.

Свойства функции arcsin[править | править код]

Получение функции arcsin[править | править код]

Дана функция $y=sin x$ . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, на всей числовой прямой обратное соответствие $y=arcsin x$ функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок ${displaystyle [-pi /2;pi /2]}$ , на котором функция $y=sin x$ строго монотонно возрастает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на отрезке ${displaystyle [-pi /2;pi /2]}$ существует обратная функция $y=arcsin x$ , график которой симметричен графику функции $y=sin x$ относительно прямой $y=x$ .

Функция arccos[править | править код]

График функции $y=arccos x$

Аркко́синусом числа x называется такое значение угла y в радианной мере, для которого ${displaystyle cos y=x,qquad 0leqslant yleqslant pi ,quad |x|leqslant 1.}$

Функция $y=arccos x$ непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей и неотрицательной.

Свойства функции arccos[править | править код]

Получение функции arccos[править | править код]

Дана функция $y=cos x$ . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, на всей числовой прямой обратное соответствие $y=arccos x$ функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок $[0;pi ]$ , на котором функция $y=cos x$ строго монотонно убывает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на отрезке $[0;pi ]$ существует обратная функция ${displaystyle y=arccos x}$ , график которой симметричен графику функции $y=cos x$ относительно прямой $y=x$ .

Функция arctg[править | править код]

График функции $y=operatorname {arctg},x$

Аркта́нгенсом числа x называется такое значение угла ${displaystyle y,}$ выраженное в радианах, для которого ${displaystyle operatorname {tg} y=x,quad -{frac {pi }{2}}<y<{frac {pi }{2}}.}$

Функция $y=operatorname {arctg}x$ определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго возрастающей.

Свойства функции arctg[править | править код]

Получение функции arctg[править | править код]

Дана функция $y=operatorname {tg},x$ . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие $y=operatorname {arctg},x$ функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал ${displaystyle (-pi /2;pi /2)}$ , на котором функция $y=operatorname {tg},x$ строго монотонно возрастает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на интервале ${displaystyle (-pi /2;pi /2)}$ существует обратная функция $y=operatorname {arctg},x$ , график которой симметричен графику функции $y=operatorname {tg},x$ относительно прямой $y=x$ .

Функция arcctg[править | править код]

График функции ${displaystyle y=operatorname {arcctg} x}$

Арккота́нгенсом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого ${displaystyle operatorname {ctg} ,y=x,quad 0<y<pi .}$

Функция $y=operatorname {arcctg},x$ определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго убывающей и всюду положительной.

Свойства функции arcctg[править | править код]

Получение функции arcctg[править | править код]

Дана функция $y=operatorname {ctg},x$ . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие $y=operatorname {arcctg},x$ функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал $(0;pi )$ , на котором функция $y=operatorname {ctg},x$ строго монотонно убывает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на интервале $(0;pi )$ существует обратная функция $y=operatorname {arcctg},x$ , график которой симметричен графику функции $y=operatorname {ctg},x$ относительно прямой $y=x$ .

График арккотангенса получается из графика арктангенса, если последний отразить относительно оси ординат (то есть заменить знак аргумента, $xrightarrow -x$ ) и сместить вверх на π/2; это вытекает из вышеупомянутой формулы $operatorname {arcctg}x=operatorname {arctg}(-x)+pi /2.$

Функция arcsec[править | править код]

График функции ${displaystyle y=operatorname {arcsec} x}$

Арксе́кансом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого ${displaystyle sec y=x,qquad |x|geqslant 1,quad 0leqslant yleqslant pi .}$

Функция ${displaystyle y=operatorname {arcsec} x}$ непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей и всюду неотрицательной.

Свойства функции arcsec[править | править код]

Функция arccosec[править | править код]

График функции ${displaystyle y=operatorname {arccosec} x}$

Арккосе́кансом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого ${displaystyle operatorname {cosec} y=x,qquad |x|geqslant 1,quad -pi /2leqslant yleqslant pi /2.}$

Функция ${displaystyle y=operatorname {arccosec} x}$ непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей.

Свойства функции arccosec[править | править код]

Разложение в ряды[править | править код]

Производные от обратных тригонометрических функций[править | править код]

Все обратные тригонометрические функции бесконечно дифференцируемы в каждой точке своей области определения. Первые производные:

производные обратных тригонометрических функций

Функция $f(x)$	Производная $f'(x)$	Примечание
${displaystyle arcsin {x}}$	${frac {1}{{sqrt {1-x^{2}}}}}$	Доказательство Найти производную арксинуса можно при помощи взаимно обратных функций. ${displaystyle sin(arcsin((x))=x}$ После чего мы должны взять производную этих обеих функций. ${displaystyle [sin(arcsin((x))]'=x'}$ ${displaystyle cos(arcsin(x))cdot (arcsin(x))'=1}$ Теперь мы должны выразить производную арксинуса. ${displaystyle (arcsin(x))'={frac {1}{cos(arcsin(x))}}}$ Исходя из тригонометрического тождества( ${displaystyle sin^{2}x+cos^{2}x=1}$ ) — получаем. ${displaystyle (arcsin(x))'={frac {1}{pm {sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))}}}}}$ Для того, чтобы понять плюс должен стоять или минус взглянем какие значения. ${displaystyle D(cos(x))=[{frac {pi }{2}};-{frac {pi }{2}}]}$ Так как косинус находится в 2-й и 4-й четвертях то, получается что косинус положительный. ${displaystyle (arcsin(x))'={frac {1}{sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))}}}}$ Получается. ${displaystyle (arcsin(x))'={frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}}$
${displaystyle arccos {x}}$	$-{frac {1}{{sqrt {1-x^{2}}}}}$	Доказательство Найти производную арккосинуса можно при помощи данного тождества: ${displaystyle arcsin(x)+arccos(x)={frac {pi }{2}}}$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. ${displaystyle [arcsin(x)+arccos(x)]'=({frac {pi }{2}})'}$ ${displaystyle (arcsin(x))'+(arccos(x))'=0}$ Теперь выражаем производную арккосинуса. ${displaystyle (arccos(x))'=-(arcsin(x))'}$ Получается. ${displaystyle (arccos(x))'=-{frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}}$
${displaystyle mathrm {arctg} x}$	${displaystyle {frac {1}{1+x^{2}}}}$	Доказательство Найти производную арктангенса можно при помощи взаимнообратной функции: ${displaystyle tg(arctg(x))=x}$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. ${displaystyle [tg(arctg(x))]'=1}$ ${displaystyle {frac {1}{cos^{2}(arctg(x))}}cdot (arctg(x))'=1}$ Теперь мы должны выразить производную арктангенса: ${displaystyle (arctg(x))'=cos^{2}(arctg(x))}$ Теперь на помощь нам придет на помощь тождество( ${displaystyle cos(x)={frac {1}{sqrt {1+tg^{2}(x)}}}}$ ): ${displaystyle (arctg(x))'=({frac {1}{sqrt {1+tg^{2}(arctg(x))}}})^{2}}$ Получается. ${displaystyle (arctg(x))'={frac {1}{1+x^{2}}}}$
${displaystyle mathrm {arcctg} x}$	${displaystyle -{frac {1}{1+x^{2}}}}$	Доказательство Найти производную арккотангенса можно при помощи данного тождества: ${displaystyle arctg(x)+arcctg(x)={frac {pi }{2}}}$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. ${displaystyle [arctg(x)+arcctg(x)]'=({frac {pi }{2}})'}$ ${displaystyle (arctg(x))'+(arcctg(x))'=0}$ Теперь выражаем производную арккотангенса. ${displaystyle (arcctg(x))'=-(arctg(x))'}$ Получается. ${displaystyle (arcctg(x))'=-{frac {1}{1+x^{2}}}}$
${displaystyle mathrm {arcsec} x}$	${displaystyle {frac {1}{\|x\|{sqrt {x^{2}-1}}}}}$	Доказательство Найти производную арксеканса можно при помощи тождества: ${displaystyle arcsec(x)=arccos({frac {1}{x}})}$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. ${displaystyle (arcsec(x))'=(arccos({frac {1}{x}}))'}$ ${displaystyle (arcsec(x))'=-{frac {1}{sqrt {1-{frac {1}{x^{2}}}}}}cdot (-{frac {1}{x^{2}}})}$ ${displaystyle (arcsec(x))'={frac {1}{x^{2}{sqrt {frac {x^{2}-1}{x^{2}}}}}}}$ ${displaystyle (arcsec(x))'={frac {1}{x^{2}{frac {sqrt {x^{2}-1}}{\|x\|}}}}}$ Получается. ${displaystyle (arcsec(x))'={frac {1}{\|x\|{sqrt {x^{2}-1}}}}}$
${displaystyle mathrm {arccosec} x}$	${displaystyle -{frac {1}{\|x\|{sqrt {x^{2}-1}}}}}$	Доказательство Найти производную арккосеканса можно при помощи данного тождества: ${displaystyle arccosec(x)+arcsec(x)={frac {pi }{2}}}$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. ${displaystyle [arccosec(x)+arcsec(x)]'=({frac {pi }{2}})'}$ ${displaystyle (arccosec(x))'+(arcsec(x))'=0}$ Теперь выражаем производную арккосинуса. ${displaystyle (arccosec(x))'=-(arcsec(x))'}$ Получается. ${displaystyle (arccosec(x))'=-{frac {1}{\|x\|{sqrt {x^{2}-1}}}}}$

Интегралы от обратных тригонометрических функций[править | править код]

Неопределённые интегралы[править | править код]

Для действительных и комплексных x:

${begin{aligned}int arcsin x,dx&{}=x,arcsin x+{sqrt {1-x^{2}}}+C,\int arccos x,dx&{}=x,arccos x-{sqrt {1-x^{2}}}+C,\int operatorname {arctg},x,dx&{}=x,operatorname {arctg},x-{frac {1}{2}}ln left(1+x^{2}right)+C,\int operatorname {arcctg},x,dx&{}=x,operatorname {arcctg},x+{frac {1}{2}}ln left(1+x^{2}right)+C,\int operatorname{arcsec} x,dx&{}=x,operatorname{arcsec} x-ln left(xleft(1+{sqrt {{x^{2}-1} over x^{2}}},right)!right)+C,\int operatorname {arccosec},x,dx&{}=x,operatorname {arccosec},x+ln left(xleft(1+{sqrt {{x^{2}-1} over x^{2}}},right)!right)+C.end{aligned}}$

Для действительных x ≥ 1:

${begin{aligned}int operatorname{arcsec} x,dx&{}=x,operatorname{arcsec} x-ln left(x+{sqrt {x^{2}-1}}right)+C,\int operatorname {arccosec},x,dx&{}=x,operatorname {arccosec},x+ln left(x+{sqrt {x^{2}-1}}right)+C.end{aligned}}$

См. также Список интегралов от обратных тригонометрических функций

Использование в геометрии[править | править код]

Обратные тригонометрические функции используются для вычисления углов треугольника, если известны его стороны, например, с помощью теоремы косинусов.

В прямоугольном треугольнике эти функции от отношений сторон сразу дают угол.
Так, если катет длины $a$ является противолежащим для угла $alpha$ , то

${displaystyle alpha =arcsin(a/c)=arccos(b/c)=operatorname {arctg} (a/b)=operatorname {arccosec} (c/a)=operatorname {arcsec}(c/b)=operatorname {arcctg} (b/a).}$

Связь с натуральным логарифмом[править | править код]

Для вычисления значений обратных тригонометрических функций от комплексного аргумента удобно использовать формулы, выражающие их через натуральный логарифм:

${displaystyle {begin{aligned}arcsin z&{}=-iln(iz+{sqrt {1-z^{2}}})={frac {pi }{2}}-iln(z+{sqrt {z^{2}-1}})=-ioperatorname {arsh} ,iz,end{aligned}}}$

${displaystyle arccos(z)={dfrac {pi }{2}}+iln(iz+{sqrt {1-z^{2}}})=-ioperatorname {arch} (iz)}$

${displaystyle operatorname {arctg} (z)={dfrac {i}{2}}(ln(1-iz)-ln(1+iz))=-ioperatorname {arth} (iz)}$

${displaystyle operatorname {arcctg} (z)={dfrac {i}{2}}left(ln left({dfrac {z-i}{z}}right)-ln left({dfrac {z+i}{z}}right)right)=ioperatorname {arcth} (iz)}$

${displaystyle operatorname {arcsec}(z)=arccos left(z^{-1}right)={dfrac {pi }{2}}+iln left({sqrt {1-{dfrac {1}{z^{2}}}}}+{dfrac {i}{z}}right),}$

${displaystyle operatorname {arccosec} ,(z)=arcsin left(z^{-1}right)=-iln left({sqrt {1-{dfrac {1}{z^{2}}}}}+{dfrac {i}{z}}right).}$

См. также[править | править код]

Обратные гиперболические функции
Теорема Данжуа — Лузина

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Weisstein, Eric W. Обратные тригонометрические функции (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская Энциклопедия», 1982. — [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3612/%D0%9E%D0%91%D0%A0%D0%90%D0%A2%D0%9D%D0%AB%D0%95 Т. 3. — с. 1135].
Обратные тригонометрические функции — статья из Большой советской энциклопедии. — М.: «Советская Энциклопедия», 1974. — Т. 18. — с. 225.
Обратные тригонометрические функции // Энциклопедический словарь юного математика / Савин А.П. — М.: Педагогика, 1985. — С. 220—221. — 352 с.
Построение графиков обратных тригонометрических функций онлайн
Онлайн калькулятор: обратные тригонометрические функции

Некоторые внешние ссылки в этой статье ведут на сайты, занесённые в спам-лист.

Эти сайты могут нарушать авторские права, быть признаны неавторитетными источниками или по другим причинам быть запрещены в Википедии. Редакторам следует заменить такие ссылки ссылками на соответствующие правилам сайты или библиографическими ссылками на печатные источники либо удалить их (возможно, вместе с подтверждаемым ими содержимым).

Список проблемных доменов

dic.academic.ru

Источник

Определение
График арксинуса
Свойства арксинуса
Таблица арксинусов

Определение

Арксинус (arcsin) – это обратная тригонометрическая функция.

Арксинус x определяется как функция, обратная к синусу x, при -1≤x≤1.

Если синус угла у равен х (sin y = x), значит арксинус x равняется y:

arcsin x = sin^-1 x = y

Примечание: sin^-1x означает обратный синус, а не синус в степени -1.

Например:

arcsin 1 = sin^-1 1 = 90° (π/2 рад)

График арксинуса

Функция арксинуса пишется как y = arcsin (x). График в общем виде выглядит следующим образом (-1≤x≤1, -π/2≤y≤π/2):

График арксинуса

Свойства арксинуса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства арксинуса с формулами.

Таблица арксинусов


x	arcsin x (рад)	arcsin x (°)
-1	-π/2	-90°
-√3/2	-π/3	-60°
-√2/2	-π/4	-45°
-1/2	-π/6	-30°
0	0	0°
1/2	π/6	30°
√2/2	π/4	45°
√3/2	π/3	60°
1	π/2	90°

microexcel.ru

Источник

План урока:

Арккосинус

Арксинус

Арктангенс

Решение уравнения cosx = a

Решение уравнения sinx = a

Решение уравнений tgx = a и ctgx = a

Арккосинус

Напомним, что на единичной окружности косинус угла – это координата х точки А, соответствующей этому углу:

1ghfhjkk

Можно утверждать, что косинус – это ф-ция, которая ставит каждому углу в соответствие некоторую координату х. Теперь предположим, что нам известна эта координата (пусть она будет равна величине а), и по ней надо определить значение угла. Отложим на оси Ох отрезок длиной а, проведем через него вертикальную прямую и отметим ее точки пересечения с единичной окружностью. Если – 1<а < 1, то должно получиться две точки, которым соответствуют два противоположных угла:

2hgjhj

Получается, что каждому значению числа а соответствует некоторый угол α. А если есть соответствие, то есть и функция:

α = f (a)

В математике ее называют арккосинусом. Записывается она так:

3hgfgh

Вертикальная прямая может пересекать единичную окружность в двух разных точках. Им соответствуют разные углы. Принято считать, что арккосинус – это значение того угла, который лежит в первой или второй четверти, то есть ему соответствует точка, лежащая выше оси Ох. Тогда другая точка пересечения будет соответствовать углу (– arccosa):

4gfgh

Выходит, что арккосинус может принимать только значения из отрезка [0; π]. Дадим определение арккосинуса:

5gfdhg

Задание. Вычислите арккосинус числа 1/2.

Решение. Мы помним, что косинус угла π/3 равен 1/2:

6gfgjhj

Следовательно, arccos 1/2 – это и есть угол π/3:

7fdfg

Ответ: π/3.

Обратим внимание, что если число а равно 1 или (– 1), то его арккосинус равен нулю в первом случае и π во втором:

8gfghfgh

В тех случаях, когда а > 1 либо а <– 1, то соответствующая прямая не пересечет единичную окружность. Это значит, что эти значения не входят в область определения арккосинуса:

9gfghh

Получается, что область определения арккосинуса – это промежуток [– 1; 1].

Для вычисления арккосинусов от отрицательных величин удобно пользоваться формулой

10gfdty

Действительно, если отложить на координатной прямой числа а и (– а), то вертикальные прямые, проходящие через них, пересекут окружность в некоторых точках А и С:

11fdty

Дополнительно обозначим буквой В точку с координатами (1; 0) и буквой D точку с координатами (– 1; 0). Эти точки располагаются на пересечении оси Ох и единичной окружности. Тогда можно записать, что

12fgfhgj

ведь эти два угла образуют вместе развернутый угол ВОD, равный π. С другой стороны, из симметрии очевидно, что углы ∠COD и ∠АОВ равны друг другу, значит, ∠COD = ∠АОВ = arccosa. Тогда

13fgghhjghj

Но ∠СОВ – это арккосинус от (– а), поэтому

14gdfgty

15hfyu

Задание. Вычислите arccos (– 1/2).

Решение. Используем только что полученную формулу:

16hyutyu

17hgyuty

Ответ: 2π/3.

Арксинус

Арккосинус – это ф-ция, обратная косинусу. Аналогично можно вести и другие обратные тригонометрические ф-ции. Пусть нам требуется узнать, синус какого угла равен числу а. Так как синус – это координата у точки на единичной окружности, то достаточно провести горизонтальную линию у = а:

18bgfhy

Прямая может пересечь окружность сразу в двух точках. За арксинус принимают угол, соответствующей точке, расположенной правее оси Оу. Вторая же точка соответствует углу π – arcsin α:

19gnhjjk

Арксинус может быть вычислен и для отрицательного значения а. В этом случае точка пересечения прямой и окружности будет располагаться в IV четверти, а соответствующий ему угол окажется отрицательным:

20nhkjk

При значениях а, равных (– 1) и 1, точка пересечения будет только одна. В этих случаях арксинус окажется равным либо углу π/2, либо углу (– π/2):

21bghjk

Таким образом, арксинус может принимать значения из отрезка [– π/2; π/2], а вычислить его можно для чисел а, принадлежащих отрезку [– 1; 1]. Если же число а выходит за пределы этого промежутка, то горизонтальная прямая не пересекает единичную окружность, а потому ф-ция арксинуса становится неопределенной:

22hghjt

Получается, что областью определения арксинуса является промежуток [– 1; 1], а областью значений – промежуток [– π/2; π/2].

Дадим определение арксинусу:

23gfghy

Задание. Чему равен arcsin0,5?

Решение. Мы знаем, что sinπ/6 = 1/2 = 0,5. Следовательно, арксинус 0,5 равен π/6.

24bgfhy

Для вычисления арксинусов отрицательных углов используется формула

25bgj

Справедливость этой формулы очевидна из картинки:

26bghj

27nhgkjk

Задание. Вычислите arcsin (– 0,5).

Решение. Используем формулу для арксинуса отрицательного числа:

28bgjhj

Арктангенс

Введем ф-цию, обратную тангенсу. Она называется арктангенс.

Напомним, что величину тангенса на координатной плоскости можно получить, если продолжить угол до его пересечения с вертикальной прямой х = 1. Аналогично, чтобы определить арктангенс некоторого числа а, надо отметить на этой прямой точку с координатами (1; а) и соединить её с началом координат:

29bghjf

Несложно видеть, что, какое бы число а нами не было выбрано, мы с помощью построения всегда сможем соединить точку А с началом координат и получить некоторый угол arctga. Это значит, что область определения арктангенса – это вся числовая прямая, то есть промежуток (– ∞; + ∞).

Ещё раз уточним, что вводимые нами функции arcos, arcsin, arctg называются ОБРАТНЫМИ тригонометрическими функциями. C их помощью можно определить угол, если известно значение его синуса, косинуса или тангенса.Образно говоря, обратные триг-кие функции играют в тригонометрии ту же роль, что и квадратные корни при исследовании квадратных ур-ний. Как без квадратных корней невозможно решать квадратные ур-ния, так и без знания об обратных триг-ких функций нельзя решать уже тригом-кие уравнения.

Теперь вернемся к понятию арктангенса. При положительном значении числа а угол arctga будет принадлежать I четверти. Если же а – отрицательное число, то угол arctga окажется также отрицательным и будет принадлежать IV четверти:

30ghjuk

Получается, что величина arctgа может принадлежать промежутку (– π/2; π/2). Обратите внимание, что в данном случае у промежутка круглые скобки. Действительно для углов (– π/2) и π/2 тангенс не определен, а потому арктангенс не может принимать эти два значения.

31gfgh

Задание. Чему равен arctg 1?

Решение. Из таблицы тангенсов мы знаем, что tgπ/4 = 1. Это значит, что

32bgfhgj

Для вычисления арктангенсов отрицательных чисел используют формулу

33bgj

В ее справедливости можно убедиться, взглянув на рисунок:

34gfhj

35nghjh

Задание. Вычислите arctg (– 1).

Решение.

36nhgh

Ответ: – 1

В принципе можно ввести ещё ф-цию, обратную котангенсу – арккотангенс. Однако для решения тригонометрических уравнений, как мы убедимся далее, она не требуется, а поэтому в рамках школьного курса математики ее можно не изучать.

В заключение приведем таблицы, которые помогают вычислять значение обратных тригон-ких функций:

37nfgjhj

Решение уравнения cosx = a

Рассмотрим тригонометрическое уравнение, в левой части которого стоит ф-ция cosx, а в правой – число, например, 0,5:

38hfgh

По определению арккосинуса очевидно, что arccos 0,5 будет его решением, ведь

39hgfgh

Так как arccos 0,5 = π/3, то мы находим очевидный корень х = π/3. И действительно, если подставить это значение в исходное ур-ние, то получится верное равенство:

40gfyu

Значит ли это, что мы решили ур-ние? Нет, ведь мы нашли только один корень, а их может быть несколько. Проведем на единичной окружности вертикальную прямую х = 0,5 и посмотрим, где она пересечет окружность:

41gfdyu

Видно, что есть ещё одна точка пересечения, соответствующая углу (– arccos 0,5). Это значит, что этот угол также является решением ур-ния. Проверим это:

42gfjhj

Здесь мы использовали тот факт, косинус – четная функция, то есть

43gfgjhj

Итак, число – π/3 также является корнем ур-ния. Есть ли ещё какие-нибудь корни? Оказывается, есть. Построим график ф-ции у = cosx и посмотрим, где ее пересекает прямая у = 0,5:

44hgfjhj

Оказывается, прямая пересекает график в бесконечном количестве точек! Это связано с периодичностью ф-ции у = cosx. Период этой ф-ции равен 2π, то есть

45bgjhj

Поэтому, если число π/3 является решением ур-ния, то так же решением будут и число π/3 + 2π. Но к этому числу можно ещё раз добавить 2π и получить число π/3 + 4π. И оно тоже будет корнем. С другой стороны, период можно не только добавлять, но и вычитать, поэтому корнями ур-ния окажутся числа π/3 – 2π, π/3 – 4π и т.д. Как же записать все эти бесчисленные решения? Для этого используется такая запись:

46hhkjk

Запись «π/3+ 2πn» называется серией решений. Она включает в себя бесконечное количество значений х, которые обращают ур-ние в справедливое равенство. Достаточно выбрать любое целое число и подставить его в серию решений. Например, при n = 0 получим решение

47hgfj

При n = 5 получим корень

48hgjj

При n = – 10 у нас получится решение

49jhkjk

Однако помимо серии х = π/3 + 2πn решениями ур-ния будет определять ещё одна серия:

50hgfyu

Действительно, число (– π/3) является корнем, но не входит в первую серию. Поэтому оно порождает собственную серию корней. Так, подставив в эту серию n = 4, получим корень

51ghjhj

Итак, решением ур-ния являются две серии решений. Заметим, что каждой серии решений с периодом 2π соответствует ровно одна точка на единичной окружности:

52hjkjk

Объединить же обе серии можно одной записью:

53ghyu

Напомним, что мы решали ур-ние

54gfhyu

и получили для него решение

55bggfh

Число π/3 появилось в записи по той причине, что arccos 0,5 = π/3. Поэтому в общем случае, когда ур-ние имеет вид

56hgi

где а – некоторое число, его решением будут все такие х, что

57jhjk

58jyui

Для краткости запись «n– целое число» заменяют эквивалентной записью

«n ∈ Z»

Напомним, что буквой Z обозначают множество целых чисел.

Задание. Решите ур-ние

59nhgj

Решение. Вспомним, что

60hgfhf

Задание. Решите ур-ние

61gfty

Решение. В таблице стандартных углов нет такого числа, у которого косинус равен 0,25. Поэтому вычислить значение arccos 0,25 мы не сможем. Но для записи решения и не нужно его вычислять:

62kgit

Иногда встречаются задачи, в которых надо не просто решить ур-ние, но и выбрать некоторые его корни, удовлетворяющие определенному условию. Процедуру выбора корней, удовлетворяющих условию задачи, часто называют отбором корней. Заметим, что иногда при отборе корней удобнее записывать решение ур-ние не в виде одной серии, а в виде двух серий, у каждой из которых период равен 2π. Рассмотрим отбор корней на примере.

Задание. Укажите три наименьших положительных корня ур-ния

63bgh

Решение. Так как

64gfdgd

то все решения образуют две серии:

65gfdfg

Начнем подставлять вместо n целые числа и выпишем из каждой серии несколько чисел. Так мы сможем найти наименьшие положительные числа в каждой серии.

Для первой серии:

66gfdfg

Для второй серии:

67gdffgs

Отметим все найденные корни на координатной прямой (схематично, не выдерживая масштаб):

68gfdgs

Видно, что тремя наименьшими положительными корнями являются числа π/4, 7π/4 и 9π/4

Ответ: π/4, 7π/4 и 9π/4.

Отметим, что возможны три частных случая, когда две серии решений сливаются в одну. Для ур-ния

69fhgh

На графике видно, что этим значениям х соответствуют вершины синусоиды. Решениями же ур-ния

70gfdhgh

являются точки, в которых график пересекает ось Ох:

71gdfg

Отдельно отметим, что если правая часть в ур-нии – это число, большее единицы или меньшее (– 1), то ур-ние корней не имеет, ведь область определения косинуса – это отрезок [– 1; 1].

Решение уравнения sinx = a

Ур-ние cosx = a называют простейшим тригонометрическим уравнением, ведь, ведь для его решения не требуется проводить никаких преобразований. Аналогично простейшими являются ур-ния sinx = a, tgx = a и ctgx = a.

Ситуация с ур-нием sinx = a аналогична ситуации с косинусом. Если число а не принадлежит промежутку [– 1; 1], то корней у ур-ния не будет. Если же число а будет принадлежать этому промежутку, то у ур-ния окажется бесконечное число решений.

Рассмотрим случай, когда 0<а< 1. Тогда решениями ур-ния окажутся числа arcsina и π – arcsina:

72jgjfkd

В свою очередь каждое из этих двух решений порождает свою собственную бесконечную серию решений

73fdhh

Однако, как и в случае с косинусом, существует способ записать одной формулой сразу оба этих решения. Для этого перепишем первую серию таким образом:

74gfjhjh

Действительно, если n окажется четным, то, то выражение (– 1)ⁿ,будет равно единице, и мы получим первую серию. Если же n – нечетное число, то, то выражение (– 1)ⁿокажется равным (– 1), и мы получим вторую серию.

75ggfdhgh

Задание. Решите ур-ние

76gghj

Задание. Запишите корни ур-ния

77gdhgh

Теперь будем подставлять в это решение значения n, чтобы найти конкретные значения х. Нас интересуют корни, которые больше π, но меньше 4π, поэтому будем сразу сравнивать полученные результаты с этими числами.

78dfgf

Получили два корня, относящихся к промежутку – это 7π/3 и 8π/3. Нет смысла проверять другие возможные значения n, ведь они будут давать корни, заведомо меньшие 2π/3 или большие 13π/3:

79gfdfg

Ответ: 7π/3 и 8π/3.

Как и в случае с косинусом, есть несколько частных случаев, когда решение ур-ния записывается проще. Ур-ние

80gdfhg

Это видно из графика, где корням ур-ния соответствуют точки пересечения синусоиды с осью Ох:

81jhdfg

Решениями ур-ния

82kjhgfg

83gtyui

Наконец, решениями ур-ния

84hkjhjk

Решение уравнений tgx = a и ctgx = a

Ур-ния вида tgx = a отличаются тем, что имеют решение при любом значении а. Действительно, построим одну тангенсоиду и проведем горизонтальную линии у = а. При любом а прямая пересечет тангенсоиду, причем ровно в одной точке, которая имеет координаты (arctga; a):

85ghyu

Таким образом, у ур-ния tgx = a существует очевидное решение

x = arctg a

Однако напомним, что тангенс является периодической ф-цией, его график представляет собой бесконечное множество тангенсоид, расстояние между которыми равно π. Поэтому корень х = arctga порождает целую серию корней, которую можно записать так:

86gdfgy

87fgjt

88yiui

Задание. Решите ур-ние

89gfjdg

Задание. Запишите формулу корней ур-ния

90fjdfgfg

Далее рассмотрим ур-ние вида

91gfdgu

Задание. Решите ур-ние

92gjiyu

Существует особый случай, когда нельзя заменить котангенс на тангенс. В ур-нии

93jkyllu

Из сегодняшнего урока мы узнали про обратные тригонометрические ф-ции – арксинус, арккосинус и арктангенс. Также мы научились находить решения простейших тригонометрических уравнений. Это поможет нам в будущем при изучении более сложных ур-ний.

Источник

Как найти арксинус: формула, свойства, функция

Содержание:

Понятие арксинуса
Зачем нужен арксинус
Получение функции arcsin с пояснением на примерах
Свойства функции arcsin
График арксинуса

Понятие арксинуса

Обратные тригонометрические функции называют по соответствующим им тригонометрическим функциям. Формулировка наименования заключается в приписывании приставки «арк», что является производным от латинского слова «дуга» (arcus).

Такая методика объясняется тем, что в геометрии функцию, обратную тригонометрической, связывают с длиной, которую имеет дуга единичной окружности, равной какому-то отрезку, либо с углом, стягивающим данную дугу. В результате с помощью синуса можно, учитывая дугу окружности, определить хорду, которая ее стягивает.

Обратная функция под названием арксинус призвана решить противоположную задачу. Арксинус обозначают (arcsin x) и определяют, как угол с синусом, равным х.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Для тригонометрических функций характерна периодичность. В связи с этим, обратные тригонометрические функции являются многозначными. Аркфункция обладает значением в виде множества из углов, для которых прямая тригонометрическая функция соответствует заданному числу.

Пример 1

Рассмотрим функцию: (arcsin ½). Данная аркфункция обозначает множество из углов:

(left ( frac{pi}{6}, frac{5 pi}{6}, frac{13 pi}{6}, frac{17 pi}{6} dots ~ (30^circ, 150^circ, 390^circ, 510^circ dots) right ))

Значение синуса при этом: ½

Как правило, под обратными тригонометрическими функциями понимают ключевые значения каждой аркфункции, выделенные из ее множества значений.

Если (-1leqslant alpha leqslant 1), то любое решение уравнения (sin x=alpha) записывают в такой форме: ( x=(-1)^{n}arcsin alpha +pi n,~n=0,pm 1,pm 2,dots )~

Арксинус числа х — значение для угла у, определенного в радианах, для которого (sin y=x,quad -{frac {pi }{2}}leqslant yleqslant {frac {pi }{2}},quad |x|leqslant 1).

Зачем нужен арксинус

С помощью аркфункций, в том числе — арккосинуса, арктангенса, арккотангенса, арксинуса — определяют углы треугольника. Подобное действие доступно при наличии информации о сторонах данной геометрической фигуры.

В том случае, когда имеется некий прямоугольный треугольник, обратные тригонометрические функции от отношений сторон позволяют определить угол. Например, длина катета составляет «а». Этот катет определяется, как противолежащий для угла (alpha), то:

(alpha =arcsin(a/c)=arccos(b/c)=operatorname {arctg} (a/b)=operatorname {arccosec} (c/a)=operatorname {arcsec}(c/b)=operatorname {arcctg} (b/a))

Определение угла

Источник: ru.wikipedia.org

Получение функции arcsin с пояснением на примерах

Предположим, что существует некая функция:

(y=sin x)

Записанная функция обладает областью определения. В ее рамках она приобретает кусочно-монотонный вид. По этой причине обратное выражение y=arcsin x нельзя причислить к функциям.

В результате целесообразно проанализировать отрезок, где наблюдается строгое возрастание функции, и все значения относятся к ряду из области значений:

(left[-{frac {pi }{2}};{frac {pi }{2}}right])

Функция (y=sin x ) на отрезке (left[-{frac {pi }{2}};{frac {pi }{2}}right]) обладает следующей особенностью: какое-либо из значений этой функции возможно только при одном значении аргумента. По этой причине на данном интервале может существовать обратная функция с формулой (y=arcsin x.)

График обратной функции является симметричным графику функции (y=sin x) в рамках интервала (left[-{frac {pi }{2}};{frac {pi }{2}}right]) по отношению к прямой y=x. Можно наблюдать симметричность в расположении графиков функций, которые являются взаимно обратными, по отношению к биссектрисе первого и третьего координатных углов на плоскости координат Oxy.

Пример 2

Определим значение выражение:

(arcsin 0,4)

По определению обратной тригонометрической функции можно сделать вывод, что запись означает угол с синусом, равным 0,4. В данном выводе заключается смысл понятия арксинус.

решение

Источник: www.egesdam.ru

Пример 3

Требуется найти, что означает (arcsin 0,5).

Если знать определение, эта простая обратная тригонометрическая функция является обозначением угла с синусом, равным 0,5. Таким синусом обладает угол в 30°. Таким образом:

(arcsin 0,5 = 30°)

Общий ответ можно высчитать не в градусах, а в радианах:

Ответ

Источник: www.egesdam.ru

Свойства функции arcsin

Рассмотрим функцию (y=arcsin x). Она является непрерывной в тригонометрии и ограничивается на протяжении всей своей области определения. Данная функция строго возрастает.

Область определения, в которой функцию можно вычислить:

(D(arcsin x)=[-1;1]qquad) (от минус единицы до плюс единицы)

Область значений:

(E(arcsin x)=left[-{frac {pi }{2}};{frac {pi }{2}}right]qquad )

Значения функций можно посчитать таким образом:

(sin(arcsin x)=xqquad), если (-1leqslant xleqslant 1)
(arcsin(sin y)=yqquad), если (-{frac {pi }{2}}leqslant yleqslant {frac {pi }{2}})

Функция arcsin обладает следующими свойствами:

(arcsin(-x)=-arcsin xqquad )(нечетная функция);
(arcsin x>0, когда 0<xleqslant 1);
(arcsin x=0, когда x=0);
(arcsin x<0, если -1leqslant x<0);
(arcsin x=left{{begin{matrix}arccos {sqrt {1-x^{2}}},qquad 0leqslant xleqslant 1\-arccos {sqrt {1-x^{2}}},qquad -1leqslant x<0end{matrix}}right.)
(arcsin x=operatorname {arctg}{frac {x}{{sqrt {1-x^{2}}}}});
(arcsin x=left{{begin{matrix}operatorname {arcctg},{frac {{sqrt {1-x^{2}}}}{x}},qquad 0<xleqslant 1\operatorname {arcctg},{frac {{sqrt {1-x^{2}}}}{x}}-pi ,qquad -1leqslant x<0end{matrix}}right.)

График арксинуса

График функции (y=arcsin x):

График арксинуса

Источник: ru.wikipedia.org

Источник

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Основное соотношение[править | править код]

Функция arcsin[править | править код]

Свойства функции arcsin[править | править код]

Получение функции arcsin[править | править код]

Функция arccos[править | править код]

Свойства функции arccos[править | править код]

Получение функции arccos[править | править код]

Функция arctg[править | править код]

Свойства функции arctg[править | править код]

Получение функции arctg[править | править код]

Функция arcctg[править | править код]

Свойства функции arcctg[править | править код]

Получение функции arcctg[править | править код]

Функция arcsec[править | править код]

Свойства функции arcsec[править | править код]

Функция arccosec[править | править код]

Свойства функции arccosec[править | править код]

Разложение в ряды[править | править код]

Производные от обратных тригонометрических функций[править | править код]

Интегралы от обратных тригонометрических функций[править | править код]

Неопределённые интегралы[править | править код]

Использование в геометрии[править | править код]

Связь с натуральным логарифмом[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Определение

График арксинуса

Свойства арксинуса

Таблица арксинусов

Арккосинус

Арксинус

Арктангенс

Решение уравнения cosx = a

Решение уравнения sinx = a

Решение уравнений tgx = a и ctgx = a

Как найти арксинус: формула, свойства, функция

Понятие арксинуса

Зачем нужен арксинус

Получение функции arcsin с пояснением на примерах

Свойства функции arcsin

График арксинуса

Вам также может понравиться

Как найти qr код в телефоне хонор

Как найти координаты точки пересечения высот треугольника

Как найти диаметр шкива по оборотам

Добавить комментарий Отменить ответ